8. VARIANS ESTIMASI
Estimasi suatu cadangan dicirikan oleh suatu ekstensi / pengembangan satu atau beberapa harga yang diketahui terhadap daerah di sekitar yang tidak diketahui. Suatu harga yang diketahui (diukur pada conto inti, atau pada suatu blok) diekstensikan terhadap bagian-bagian yang diketahui pada satu endapan bijih. Ada beberapa metode estimasi dalam pertambangan antara lain : a. Estimasi kadar rata-rata suatu cadangan bijih berdasarkan rata-rata suatu kadar (misal didapat dari analisa conto pemboran / sumur uji), b. Estimasi endapan bijih pada suatu tambang atau blok-blok penambangan dengan pertolongan poligon sebagai daerah pengaruh, yang antara lain didasari oleh titik-titik pengamatan berikutnya, pembobotan secara proporsional terbalik dengan jarak dll.
Gambar 8.1: Sketsa ekstensi satu titik dan estimasi beberapa titik
Setiap estimasi tidak selalu diinterprestasikan berikut ketelitiannya menggunakan varians estimasi, tetapi bisa juga secara statistik harga estimasi tersebut dikontrol dengan selang kepercayaannya. Untuk estimasi menggunakan satu conto, dimana harga tersebut diekstensikan ke suatu volume yang lebih besar, dikenal dengan istilah ekstensi dan varians ekstensi . Sedangkan estimasi berdasarkan beberapa conto, dimana harga-harga conto tersebut diekstensikan ke suatu volume, dikenal dengan estimasi dan varians estimasi .
1
8.1 ESTIMASI SATU CONTO v DAN EKSTENSI KE VOLUME V (EXTENSION VARIANCE) Dalam suatu kasus sederhana, misalnya V adalah suatu volume cadangan (blok penambangan) dengan harga rata-rata variabel terregionalnya (kadar, ketebalan) tidak diketahui : Untuk
V :
Z V =
1
∫
Z ( x ) dx = U V V
(8-1)
sedangkan v adalah volume (inti bor, blok bijih yang sudah ditambang) dengan harga rata-rata diketahui : Untuk v :
Z v =
1
Z ( x ) dx = U v∫
*
(8-2)
v
Besaran tidak diketahui U akan diperkirakan melalui besaran yang sudah diketahui U*, U*, artinya harga v diekstensikan ke V.
Melalui ekstensi ini akan terjadi kesalahan sebesar : E r = U * − U = Z v − Z V Kesalahan ini dikarekterisasi oleh suatu varians yang dikenal sebagai varians ekstensi dari v ke V.
Gambar 8.2 Ekstensi volume v ke V
Varians kesalahan atau deviasi ini diekspresikan sebagai berikut :
(
)
[
]
ke V)) = var E r Z v − Z V = σ D2 U * − U σ E (v ke V
(8-3)
Deviasi di tengah sama dengan nol (artinya tanpa penyimpangan sistematik atau pencaran yang diharapkan). Menurut MATHERON (1971) persamaan tersebut di atas dapat ditampilkan sebagai berikut : σ E 2 (v ke V ) = 2γ (v ,V ) − γ (V ,V ) − γ (v , v )
(8-4)
2
γ (v ,V ) merupakan harga rata-rata dari γ ( x − y ) dimana x dan y masing-masing tidak tergantung satu sama lain pada volume v dan V, dan V, yaitu yaitu x untuk volume v volume v dan dan y untuk volume V, atau :
( jumlah γ ( x − y ) untuk semua x pada v dan
y(v ,V ) =
semua y pada V )
banyaknya batasan jumlah 1
=
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy
vV v
(8-5)
V
γ (V ,V ) adalah rata-rata dari γ ( x − y ) , dimana x dan y adalah titik-titik di posisi yang tidak tergantung satu sama lain pada volume V, atau : γ (V ,V ) =
=
( jumlah γ ( x − y ) untuk semua x pada V dan semua y pada V ) banyaknya batasan jumlah
1
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy
VV V
(8-6)
V
γ (v , v ) adalah rata-rata dari γ ( x − y ) , dimana x dan y adalah titik-titik di posisi yang tidak tergantung sama lain pada volume v, v, atau : γ (v , v ) =
=
( jumlah γ ( x − y ) untuk semua x pada v dan semua y pada v ) banyaknya batasan jumlah
1 vv
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy v
(8-7)
v
Secara umum hubungan-hubungan mendasar tersebut di atas dapat ditulis sebagai berikut : 2 = ⇐ ko var ians vV σ E 2 (v ke V ) dx γ ( x − y )dy vV v V
∫ ∫
-
1
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy
VV V 1 vv
V
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy v
⇐ var ians V ⇐ var ians v
(8-8)
v
Rumus ini dapat berlaku untuk semua bentuk, dimana v dapat berupa misalnya: titik, garis, bidang, atau volume, sedangkan V dapat berupa garis, bidang, ataupun volume. Perhitungan integral-integral untuk hubungan v ke V dapat dilihat pada tabel ataupun nomogram tersedia.
3
8.1 ESTIMASI SEJUMLAH (N) CONTO S DAN EKSTENSI KE V (ESTIMATION VARIANCE) Di lapangan sering diketahui sejumlah harga conto z ( xi ) pada sejumlah titik pengambilan conto xi . Harga rata-rata suatu blok atau cadangan bijih diperkirakan melalui harga rata-rata conto :
* U =
1
N
∑ z( x )
N i =1
i
Varians deviasi U* - U U disebut varians estimasi dari V melalui N conto z ( xi ) Gambar 8.3: Estimasi beberapa titik conto
x I
ke volume V
MATHERON (1971) memberikan varians estimasi sebagai berikut : σ = σ = 2 N
2 E
-
2 NV
1
N
∑ ∫ γ ( x
− y )dy
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy
VV V 1
i
⇐ ko var ians NV
i =1 V
⇐ var ians V
V N
N
∑ ∑ γ ( x
NN i =1
i
− y j )
⇐ var ians N
(8-9)
j =1
atau dengan S dengan S untuk untuk N conto : σ N 2 = σ E 2 = 2γ (S ,V ) − γ (V ,V ) − γ (S , S )
(8-10)
Persamaan ini penurunannya analog dengan apa yang sudah dikerjakan untuk varians ekstensi. Seperti yang terlihat pada Gambar 8.4, γ (S , S ) dipengaruhi oleh geometri conto, γ (V ,V ) oleh geometri yang diestimasi, sedangkan y (S ,V ) dipengaruhi oleh hubungan antara S dan V.
4
8.2 CATATAN a. Tidak ada perbedaan antara varians eksistensi dan varians estimasi . Varians ekstensi berhubungan dengan ekstensi satu conto pada daerah pengaruhnya, sedangkan varians estimasi ditujukan pada ekstensi sejumlah conto pada daerah pengaruh gabungan (blok bijih atau cadangan bijih). b. Setiap persoalan estimasi dapat dipecahkan dengan rumus-rumus yang tersedia. Dalam hal umum kadang-kadang diperlukan pemecahan persoalan dengan integral rangkap enam, dimana dalam hal ini biasanya digunakan metode pendekatan (sumasi). Penggunaan Tabel dan Grafik sangat membantu dalam mempermudah proses perhitungan.
data tersedia S
data tersedia S
⇓ estimator Z s
⇓ terhadap
Z s yang tidak diketahui
σ E 2 = var error Z S − Z V = 2γ (S ,V ) − γ (V ,V ) − γ (S , S )
(8-11)
STRUKTUR
GEOMETRI S
HUBUNGAN S KE V
GOEMETRI V
Gambar 8.4: Sketsa varians estimasi menurut Huijbregt (1975)
5
c. Varians estimasi sangat erat hubungannya satu sama lain dengan posisi relatif conto S dan hubungan geometriknya dalam penaksiran volume V. Pada rumus-rumus perlu diperhatikan hubungan geometrik antara S dan V melalui γ (S ,V ) , serta hubungan geometrik di dalam conto S melalui y (S , S ) serta di dalam volume V volume V melalui y (V ,V ) . Kedua gambar di bawah ini diperagakan berdasarkan perbedaan hubungan antara conto S dan volume V yang baik menurut perasaan maupun secara teori akan memberikan varians estimasi yang berbeda.
Gambar 8.5 Letak / posisi conto S terhadap proses estimasi
d. Varians estimasi akan kecil, jika letak conto satu sama lainnya dekat dan akan memberikan estimasi volume yang lebih baik. Dalam hal ini akan menghasilkan variogram yang lebih reguler yang berarti, bahwa variasi variabel terregional di dalam endapan / cadangan / ruang semakin kontinu. e. Varians estimasi mempunyai arti penting karena memungkinkan peramalan berapa besar cadangan yang akan diperoleh dengan ketelitian yang tinggi, jika diberikan informasi informasi tambahan seperti penambahan penambahan lubang bor. Varians 2 estimasi σ N sangat tergantung dari γ (h ) dan hubungan geometrik conto. f. Varians estimasi terikat pada rata-rata penyimpangan kuadrat. Ketelitian harga penaksiran dicirikan oleh varians estimasi σ N 2 yang merefleksikan suatu ukuran untuk sebaran harga estimasi yang mendekati harga yang sebenarnya. Kita dapat membuat suatu pernyataan mengenai jenis dispersi untuk harga yang sebenarnya, kemudian dapat juga memberikan suatu selang kepercayaan untuk harga yang sebenarnya. Selang kepercayaan ini dapat diperoleh dari standar deviasi estimasi
σ N = σ E = σ E 2 atau dari
standar deviasi relatif σ N 2 / U *
6
g. Harga-harga tersebut dibawah ini digunakan untuk memberikan selangselang kepercayaan (secara konvensional) terhadap harga yang diestimasi. U U* σ E 2 σ E
= harga sebenarnya = harga yang ditaksir / diestimasi = varians estimasi = standar deviasi estimasi U ≥ U * −2σ E = selang kepercayaan dengan ~ 97,5% tingkat konfidensi pada pembatasan satu sisi atau dengan 2,5 % faktor kesalahan. U ≥ U * −1σ E = selang kepercayaan dengan ~ 85% tingkat konfidensi pada pembatasan satu sisi atau dengan 15% faktor kesalahan.
Hal ini berlaku untuk distribusi normal. Untuk distribusi-distribusi lainnya, batas bawah selang kepercayaan akan tidak terlalu banyak bergeser.
8.3 PERHITUNGAN VARIANS ESTIMASI Berdasarkan persamaan dasar : σ = 2 E
N
2 NV
∑ ∫ γ ( x i =1 V
i
− y )dy −
1
1
N
N
∫ dx ∫ γ ( x − y )dy − NN ∑ ∑ γ ( x
VV V
V
i
− y j )
(8-12)
i =1 j =1
atau σ E 2 = 2γ (S ,V ) − γ (V ,V ) − y (S , S )
(8-13)
akan ditunjukkan beberapa contoh bagaimana varians estimasi dihitung :
8.4.1 Ekstensi Conto Bentuk Titik S Sepanjang Garis L σ E 2 = 2γ (S , L ) − γ ( L , L ) − y (S , S ) 1 2γ (S , L ) = γ ( xi − y )dy 1 ⋅ L L
∫
Integrasi tersebut digantikan oleh sumasi, dimana panjang L dibagi dalam Δ L sejumlah I. sejumlah I. Selanjutnya Selanjutnya N = 1, 1, karena perhitungan berlaku untuk satu titik. γ (S , L ) =
1
N
∑ γ (i.Δ L ) = X ( L )
I i =1
(8-14)
7
Pembentukan harga rata-rata γ ( xi − y ) yang sering terjadi, dimana titiknya tetap xi dan y menyebarkan garis L, ditabelkan sebagai fungsi bantu X(L) X(L) atau diperoleh dari grafik terlampir. Fungsi bantu γ ( L , L ) = F ( L ) telah dibahas pada bab sebelumnya tentang varians dispersi. γ (S , S ) = 0 γ ( x1 − x1 ) = γ (0 ) = 0
Contoh :
(karena terhadap dirinya sendiri ) (variogram dari titik nol) nol )
L= 0,5 → X(0,5) = 0,359; F(0,5) = 0,245 σ E 2 = ( 2 ) ⋅ ( 0 ,359 ) − 0 ,245 − 0 ,0 = 0 ,473
8.4.2 Ekstensi Conto Bentuk Titik S Sepanjang Garis L (Titik S Berada di tengah Garis L)
σ E 2 = 2γ (S , L ) − γ ( L , L ) − γ (S , S )
( )
( )
( )
γ (S , L ) = 1 X L + 1 X L = X L 2 2 2 2 2
γ ( L , L ) = F ( L ) γ (S , S ) = 0
( 2 )− F ( L )
σ E 2 = 2 ⋅ X L
Contoh :
L=0,5 → X (0 ,5 2 ) = 0 ,816 ; F(0,5) = 0,245 σ E 2 = ( 2 ) ⋅ ( 0 ,816 ) − 0 ,245 − 0 ,0 = 0 ,127
Terlihat dari hasil diatas, bahwa satu conto yang terletak di tengah-tengah garis L lebih baik posisinya daripada yang terletak di bagian tepi (lihat 8.4.1). Penentuan varians estimasi dengan mudah dapat diperoleh dari data fungsi bantu X(L) dan X(L) dan F(L) juga F(L) juga dihitung berdasarkan grafik atau tabel.
8.4.3 Ekstensi Conto Bentuk Titik S Sepanjang Garis L (Titik S Berada di ujung-ujung Garis L)
σ E 2 = 2γ (S , L ) − γ ( L , L ) − γ (S , S )
8
γ (S , L ) =
1 NL
N
∑ ∫ γ ( x
i
− y )dy
dengan N = 2
i =1 V
= 1 ⋅ 2 ⋅ X ( L ) = X ( L ) 2
γ ( L , L ) = F ( L )
γ (S , S ) =
= = =
1
N
∑ ∑ γ ( x
NN i =1 1 2⋅2 1 2⋅2 1
N
i
− y j )
j =1
[γ ( x1 − y 1 ) + γ ( x1 − y 2 ) + γ ( x 2 − y1 ) + γ ( x 2 − y2 )] [γ (0 ) + γ ( x1 − y 2 ) + γ ( x 2 − y1 ) + γ (0 )] ⋅ 2 ⋅ γ ( x1 − y 2 ) = 1 ⋅ γ ( x1 − y 2 ) 2
2⋅2 dalam hal ini → 1 ⋅ γ ( L ) 2
σ E 2 = 2 ⋅ X ( L ) − F ( L ) − 1 ⋅ γ ( L ) 2
Contoh : L = 0,5
→ X(0,5) = 0,359; F(0,5) = 0,245; γ (0 ,5 ) =0,688
σ E 2 = ( 2 ) ⋅ ( 0 ,359 ) − 0 ,245 − ( 1 ) ⋅ ( 0 ,688 ) = 0 ,129 2
Contoh ini menunjukkan, bahwa pemosisian satu conto yang terletak di tengahtengah garis L (meskipun jumlah conto lebih sedikit), masih lebih baik daripada dua conto yang terletak di ujung-ujungnya. Seperti pada sub Bab 8.4.2, penentuan varians estimasinya dapat dengan mudah dihitung bersadarkan fungsi-fungsi yang ditaksir dari grafik atau diperoleh dari tabel.
8.4.4 Ekstensi Conto Bentuk Titik S Terhadap Bidang R (Titik S Berada di ujung Bidang R)
σ E 2 = 2γ (S , R ) − γ ( R , R ) − γ (S , S )
γ (S , R ) =
1
∫ γ ( x
1 ⋅ R R
i
− y )dy
(8-15)
Sama seperti pada ekstensi sepanjang garis, di sini fungsi integral juga diganti dengan sumasi (S ). Fungsi bantu yang akan digunakan dinyatakan dalam funsi Q(H,L). Q(H,L). Harga Q(H,L) ini Q(H,L) ini dapat dicari pada Tabel 8.1.
9
γ (S , R ) = Q( H , L ) γ ( R , R ) = F ( H , L )
Fungsi ini telah dibahas dalam perhitungan varians dispersi γ (S , S ) = γ (0 ) = 0
Contoh :
R = L ⋅ H = ( 0 ,4 ) ⋅ ( 0 ,8 ) Q 0 ,4
0 ,8
= 0 ,629 ;
F 0 ,4
0 ,8
= 0 ,451 ;
γ (0 ) = 0 ,0
σ E 2 = ( 2 ) ⋅ ( 0 ,629 ) − 0 ,451 − 0 ,0 = 0 ,807
8.4.5 Ekstensi Lateral Conto S Terhadap Bidang R (Titik S Berada di tengah-tengah tengah-tengah Bidang R)
σ E 2 = 2γ (S , R ) − γ ( R , R ) − γ (S , S )
(
) (
γ (S , R ) = ( 4 ) ⋅ ( 1 ) ⋅ Q H , L = Q H , L 4 2 2 2 2
)
γ ( R , R ) = F ( H , L )
Fungsi ini telah di bahas dalam perhitungan varians dispersi γ (S , S ) = γ (0 ) = 0
(
)
σ E 2 = 2 ⋅ Q H , L − F ( H , L ) 2 2
Contoh :
R = L ⋅ H = ( 0 ,4 ) ⋅ ( 0 ,8 ) Q 0 ,2
0 ,4
= 0 ,346 ;
F 0 ,4
0.8
= 0 ,451 ;
γ (0 ) = 0 ,0
σ E 2 = ( 2 ) ⋅ ( 0 ,236 ) − 0 ,451 − 0 ,0 = 0 ,241
Contoh ini memperlihatkan, bahwa posisi suatu conto yang terletak di tengahtengah bidang memberikan varians yang lebih kecil dibandingkan jika conto berada di ujung bidang.
10
Tabel 8.1 Fungsi bantu ekstensi titik terhadap bidang empat persegi panjang Q(h/a,I/a), Q(h/a,I/a) , untuk model sferis / Matheron, C0 = 0; C = 1,0 (Siemens,1981) 1,0 (Siemens,1981)
Misal Q(0,4/0,8) = 0,629
11
8.4.6 Ekstensi 3D (Ruang) Conto Bentuk Titik Ekstensi-ekstensi conto terhadap ruang bersifat sama seperti ekstensi secara lateral.
8.4.7 Ekstensi Elemen Bentuk Garis dan Bentuk Ruang terhadap Bidang atau Ruang Ekstensi-ekstensi ini didapatkan dengan cara yang sama melalui beberapa perubahan rumus dasar. Beberapa nomogram model Matheron telah dibuat untuk mencari harga-harga varians ekstensi :
• Varians ekstensi titik terhadap garis (Gambar 8.6), • Varians ekstensi titik terhadap bidang bujur sangkar (Gambar 8.7), • Varians ekstensi titik terhadap bidang empat persegi panjang (Gambar 8.8 • • •
dan Gambar 8.9), Varians ekstensi garis terhadap bidang empat persegi panjang (Gambar 8.10), Varians ekstensi garis terhadap ruang bentuk balok (Gambar 8.11), dan Varians ekstensi bidang bujur sangkar terhadap ruang bentuk balok (Gambar 8.12).
12
Gambar 8.6
Nomogram varians eksistensi / estimasi titik terhadap garis untuk model sferis / Matheron, C0 = 0, C = 1,0 (Annels, 1,0 (Annels, 1991)
Misal σ E 2 (− ) untuk h/a = 0,133 adalah 0,133 adalah 0,034
13
Gambar 8.7 Nomogram varians eksistensi / estimasi titik terhadap bidang bujur sangkar untuk model sferis / Matheron, C0 = 0, C = 1,0 (Annels, 1,0 (Annels, 1991)
Misal σ E 2 () untuk h/a = 0,333 adalah 0,333 adalah 0,125
14
Gambar 8.8 Nomogram varians eksistensi / estimasi titik terhadap bidang empat persegi panjang untuk model sferis / Matheron C0 = 0, C = 1,0 (Annels, 1,0 (Annels, 1991)
Mis. σ E 2 () untuk h/a = 0,4 dan 0,4 dan I/a = 0,8 adalah 0,8 adalah 0,241
15
Gambar 8.9 Nomogram varians estimasi titik-titik titik- titik terhadap bidang empat persegi panjang untuk model Matheron C0 = 0, C = 1,0 (Annels, 1,0 (Annels, 1991)
16
Gambar 8.10
Nomogram varians ekstensi garis terhadap bidang empat persegi panjang untuk model Matheron C0 = 0, C = 1,0 (Annels, 1,0 (Annels, 1991)
17
Gambar 8.11
Nomogram varians ekstensi garis terhadap ruang bentuk balok untuk model sferis / Matheron C0 = 0, C = 1,0 (David, 1,0 (David, 1977)
18
Gambar 8.12
Nomogram varians ekstensi bidang terhadap ruang bentuk Balok untuk model sferis / Matheron C0 = 0, C = 1,0 (David, 1,0 (David, 1977)
19
8.5 VARIANS ESTIMASI GLOBAL Penyimpangan total U * − U pada proses estimasi ini dapat diselesaikan dengan sumasi dari masing-masing simpangan sebagai berikut :
[U
*
N
− U ] = ∑ λ i [U i* − U i ]
(8-16)
i =1
Jika dianggap, bahwa setiap simpangan tidak tergantung satu dengan lainnya (seperti yang umum terjadi), akan diperoleh varians estimasi global sebagai berikut :
[
N
] ∑ λ ⋅ Var [U
σ = Var U − U = 2 E
*
2 i
* i
N
− U i ] = ∑ λ i2 ⋅ σ E 2 (i )
i =1
8.5.1
(8-17)
i =1
Varians Estimasi Global Conto Sepanjang Garis dengan Jarak Sama
Panjang L terdiri dari sejumlah N segmen I yang merupakan daerah pengaruh titik pada segmen tersebut, L = N ⋅ I
(8-18)
Varians estimasi untuk segmen I mempunyai faktor bobot : λ = l
L
= I
N ⋅ l
=1
(8-19)
N
σ E 2 ( I ) = λ 2 ⋅ σ E 2 (−) =
1 N
2
⋅ σ E 2 (−)
(8-20)
Untuk seluruh garis L didapatkan varians estimasi global : σ ( L ) = 2 E
N
∑ σ
2 E
i =1
N
⋅ ( I i ) = ∑
1
i =1 N
2
⋅ σ E 2 (− ) =
1 N
⋅ σ E 2 (− )
(8-21)
20
Soal : Pada suatu lintasan sepanjang 160 m diambil m diambil 20 conto 20 conto dengan jarak antar conto 8 m. Jika diketahui daerah tersebut mempunyai penyebaran kadar yang diekspresikan dalam variogram model Matheron, dengan C = 34%² dan a = 60 m, m, dan mempunyai kadar rata-rata z = 3,8% Zn, Zn, ditanyakan berapa besar varians estimasi globalnya dan standar deviasi relatifnya ?
Jawab: Dari nomogram varians estimasi untuk model sferis, diperoleh :
( a) = σ (8 60) = σ (0 ,133) = 0 ,034 ⋅ C = 0.034 ⋅ 34%
σ E 2 ( I ) = σ E 2 I
2 E
2 E
untuk N = 20 20 conto pada 1 1 ⋅ σ E 2 ( I ) = ⋅ 0 ,034 ⋅ 34% 2 = 0 ,058 % 2 σ E 2 ( L ) = N 20
estimasi
global
garis
2
Varians L adalah
:
Standar deviasi = σ E ( L ) = 0 ,058 % 2 = ±0 ,24% Standar deviasi relatif σ E ( L ) / z ⋅ 100% = 0 ,24
8.5.2.1
⋅ 100% = 6 ,30% .
3 ,8
Varians Estimasi Global Conto Sepanjang Garis dengan Jarak yang Tidak Sama
N
∑ I
Jika jarak antar conto tidak sama L =
maka perhitungan rata-rata dan juga
I
i =1
penentuan varians estimasi harus dilakukan dengan pembobotan. faktor bobot
harga rata-rata
: λ i =
I i
: z =
1
(8-22)
L
L
N
∑ I ⋅ z (x ) i
(8-
i
i =1
23) varians estimasi global
: σ E 2 ( L ) =
1 2
L
N
∑ I
2 i
⋅ σ E 2 (− )
(8-24)
i −1
Contoh soal :
21
N = 10 10 conto diambil pada suatu lintasan sepanjang 160 m, m, kadar rata-rata 34%² dan a = 60 m z = 3 ,8 % Zn . Variogram sesuai model Matheron, dengan C = 34%² dan (seperti pada soal sebelumnya). Jarak antar conto I conto II adalah sebagai berikut : I I
I I / a
σ E 2 (− )
5 10 15 5 30 25 20 15 10 25 160
0,083 0,167 0,250 0,083 0,500 0,417 0,333 0,250 0,167 0,417
0,022 0,042 0,065 0,022 0,130 0,106 0,084 0,065 0,042 0,106
σ E 2 ( L ) =
1 2
L
2 2 I i ⋅ σ E (− )
2
I i
25 100 225 25 900 625 400 225 100 625
0,550 4,200 14,625 0,550 117,000 66,250 33,600 14,625 4,200 66,250 321,850
⋅ 321 ,85 ⋅ 34% 2 = 0 ,43% 2
σ E ( L ) = 0 ,43% 2 = ±0 ,65% σ E ( L ) / z ⋅ 100% = 17 ,2%
8.5.3 Varians Estimasi Global Conto pada Bidang Untuk conto pada suatu bidang dapat digunakan aturan seperti halnya conto sepanjang garis. Suatu bidang R terbagi dalam N bagian bidang dengan ukuran yang berbeda r j. Tiap bidang mempunyai satu conto (lubang bor) yang terletak di tengah-tengah. Varians estimasi masing-masing bidang dapat dibaca pada nomogram atau label Ekstensi titik terhadap bidang empat persegi panjang, dan dengan memperhatikan faktor bobot, maka varians estimasi global dapat dihitung sebagai berikut :
22
σ ( R ) = 2 E
1 R
2
N
∑ r
2
i
⋅ σ (r j ) = 2 E
i =1
1 R
2
N
∑ r
2 1
⋅ σ E 2 ()
(8-25)
i =1
Jika semua blok mempunyai besar yang sama, maka berlaku : σ E 2 ( R ) =
1 N
⋅ σ E 2 ()
(8-26)
Contoh : Pada suatu su atu endapan fosfat telah diambil di ambil 95 95 conto pemboran dengan grid 50 x 50 m ² . Kadar rata-rata z akumulasi kadar dan ketebalan adalah 365 m %. %. Variogram model Matheron untuk endapan ini memberikan sill C = 77.912 m ² %² , nugget variance C0 = 30.000 m² %² dan range dan range a = 150 m. m. Ditanya : Varians estimasi global dan deviasi standar relatif! Dengan h/a = I/a = 50/150 = 0,333 diperoleh varians ekstensi titik terhadap bidang bujur sangkar 0,125 → sehingga diperoleh : σ E 2 (r ) = σ E 2 () = C 0 + C ⋅ 0 ,125 = 30.000 + ( 77 ,912 ) ⋅ ( 0 ,125 ) = 39.739 Untuk seluruh bidang diperoleh varians estimasi global : 1 1 σ E 2 ( R ) = ⋅ σ E 2 (r ) = ⋅ 39.739 m 2 % 2 N 95 2 2 2 σ E ( R ) = 418 ,3 m % σ E 2 ( R ) = 20 ,4 m%
Standar deviasi relatif =
20 ,4 365
⋅ 100% = 5 ,6 %
23
