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1.- Valor frontera usando la función de Bessel y Lagrange. 2.- APLICACIÓN EN DEFLEXIONES DE VIGAS Y PANDEO DE COLUMNAS Lic. Lic. SURI SURICH CHA A UI GUTI GUTIER ERRE REZ, Z, Fran Frankl klin in INTEGRANTES:

- PUCLLAS BREÑA, Berny O. - HUAMÁN ARCHE, Fredy - FERNANDEZ CCENTE, Fredy

“UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA” FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS CIVIL AMBIENTAL ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

Con amor y fé a Dios sobre toda las cosas, a aquellos que abren el camino, a nuestros padres y maestros.


INTRODUCCION

Un problema de valor inicial es un problema que busca determinar una solución a una ecuación diferencial sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas especificadas en un valor de la variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones iniciales y se estudian dentro de este estudio realizado.


OBJETIVO

-

Hacer que el estudiante conozca todo sobre los temas que se abarcan

-

Que sea de buen aporte para los estudiantes para así aplicar estos conocimientos de distintas maneras en la ingeniería civil.


APLICACIÓN EN L A INGENIERÍA CIVIL DE CONDICION DE FRONTERA USANDO LA FUNCION DE BESSEL Y LAGRANGE


DEFLEXIONES EN VIGAS Considere una viga horizontal AB de la Figura 01 (a). Se asume que la viga es uniforme en su sección transversal y de material homogéneo. El eje de simetría se indica por la línea punteada. Cuando está sometida a fuerzas, las cuales se asumen que están en un plano que contiene el eje de simetría, la viga, debido a su elasticidad, puede distorsionarse en su forma como se muestra en la Figura 01(b). Estas fuerzas pueden ser debidas al peso de la viga, a cargas aplicadas externamente, o a una combinación de ambas. El eje de simetría distorsionado resultante, punteado en la Figura 01(b), se llama la curva elástica. Figura 01

Fuente: Ecuaciones Diferenciales Aplicadas – Murray R. Spiegel Hay muchas maneras de apoyar vigas. Por ejemplo, la Figura 02 (a) muestra una viga en la cual el extremo A está rígidamente fijo, mientras que el extremo B está libre, para moverse. Esto se llama una viga en voladizo. En la Figura 02(b) la viga está apoyada en los extremos A y B. Esta se llama una viga simplemente apoyada. En tales casos la viga está asegurada en los extremos A y B de modo que aunque esté fija en estos extremos, la rotación se puede dar alrededor de los extremos. La Figura 02(c) muestra aún otra manera de apoyar vigas.


Así como hay diferentes maneras de apoyar vigas, también hay diferentes maneras de aplicar fuerzas de carga externa. Por ejemplo, en la Figura 02(a) hay una carga uniformemente distribuida sobre toda la viga. Puede haber una carga variable sobre toda la viga o sólo en una parte de ella como en la Figura 02(b). Por otro lado puede haber una carga concentrada como se indica en la Figura 02(c). Considere la viga horizontal OB de la Figura 03(a). Coloque el eje de simetría (línea punteada) en el eje x tomado como positivo a la derecha y con origen en 0. Escoja el eje y como positivo hacia abajo. Debido a la acción de las fuerzas externas F1, F2, (y si es apreciable el peso de la viga) el eje de simetría se distorsiona en la curva elástica que se muestra punteada en la Figura 03(b), donde tomamos la viga como fija en 0. El desplazamiento y de la curva elástica desde el eje x se llama la deflexión de la viga en la posición x. Así si determinamos la ecuación de la curva elástica, se conocerá la deflexión de la viga. Mostramos ahora cómo se puede obtener esto.

Sea M(x) el momento flexionante en una sección transversal vertical de la viga en x. Este momento flexionante se define como la suma algebraica de los momentos de esas fuerzas que actúan sobre un lado de x, los momentos se


toman sobre una línea horizontal en la sección transversal en x. Al calcular los momentos adoptaremos la convención de que fuerzas hacia arriba producen momentos negativos y fuerzas hacia abajo producen momentos positivos, asumiendo por supuesto que el eje y se toma hacia abajo como se mencionó antes. Siendo la relación

2  2 = 

FALLA POR DEFLEXION

Ejemplo: Determine la flecha por doble integración.






1. VALORES DE FRONTERA:

En matemáticas, en

el

campo

de

las ecuaciones

diferenciales,

un problema de valor de frontera (también llamados como problemas de valor o condición, de borde o contorno) se lo denomina al conjunto de una ecuación diferencial y a las condiciones de frontera o contorno. Una solución de un problema de condiciones de frontera es una solución de una ecuación diferencial que también satisface condiciones de frontera. Un problema de condiciones de frontera aparece en muchos aspectos de la física, e ingeniería que más adelante se detallara una aplicación de ésta.

2. VALORES DE FRONTERA EN FUNCION A BESSEL: 2.1 FUNCION DE BESSEL En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el Matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:

APLICACION La Ecuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de Laplace o a la ecuación de Helmholtz por el método de separación de variables en coordenadas cilíndricas o esféricas. Por ello, las funciones de Bessel son especialmente importantes en muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos y cualquier otro problema descrito por las ecuaciones de Helmholtz o Laplace en simetrías cilíndricas o esféricas. Cuando se resuelven sistemas en coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero


(ἁ = n) y en problemas resueltos en coordenadas esféricas, se obtienen funciones de Bessel de orden semientero ( ἁ = n/2), por ejemplo: 

Ondas electromagnéticas en guías de onda cilíndricas.



Modos transversales electromagnéticos en guías ópticas.



Conducción del calor en objetos cilíndricos.



Modos de vibración de una membrana delgada circular (o con forma de

anillo). 

Difusión en una red.

2.1.1 Funciones de Bessel ordinarias Las funciones de Bessel ordinarias de orden ἁ, llamadas simplemente funciones de Bessel de orden ἁ son soluciones de la ecuación de Bessel (1). Existen dos formas simples de expresar la solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro ἁ , que están asociadas a las funciones de Bessel ordinarias de primera y de segunda especie.

2.1.2 Funci ones de Bessel de primera especie Las funciones de Bessel de primera especie y orden ἁ son las soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x=0) para no enteros no negativos ἁ y divergen en el límite x

o para ἁ negativo

no entero. El tipo de solución y la normalización de J ἁ están definidos por sus propiedades abajo indicadas. Es posible definir la función J ἁ por su expansión en serie de Taylor en torno a x = 0, la cual puede hallarse aplicando el método de Frobenius a la ecuación de Bessel:

es la función Gamma de Euler , una generalización del factorial para números complejos. Estas funciones cumplen que: 




entonces

son

linealmente

independientes, y por tanto una solución general de la ecuación de Bessel puede expresarse como una combinación lineal de ellas. entonces se cumlpe



por lo que las dos soluciones dejan de ser linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente será una función de Bessel de segunda especie. Las funciones de Bessel son funciones oscilatorias (como las funciones seno o coseno) que decaen proporcionalmente a

1 (como √ 

nos lo

mostrarán las formas asintóticas de estas funciones más abajo), aunque los ceros de estas funciones no son, en general, periódicos, excepto de forma asintótica para grandes x. Como casos particulares, se tienen las dos primeras funciones de Bessel enteras:

Integrales de bessel Para valores enteros de n , se tiene la siguiente representación integral:


También se puede escribir como:

Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definición dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:

2.1.3Las funciones de Bessel de segund a especie Las funciones de Bessel de segunda especie, denotadas por

ἁ()

, son

soluciones de la ecuación diferencial de Bessel, Estas funciones divergen en el origen (x = 0). A estas funciones

ἁ()

, también se les llama a veces funciones de

Neumann o de Weber, y a veces se denotan por enteros,

se

ἁ()

especie

definen

a

partir

de

las

, mediante la siguiente fórmula

ἁ()

funciones

, Para ; no

de

primera


En el caso en el que tengamos un orden entero n, la función es definida como el

siguiente límite sólo válido para α enteros:

que nos da el siguiente resultado en forma integral:

Para el caso en el que tengamos un α no entero, la definición de

ἁ()

,

es

redundante (como queda claro por su definición de arriba). Por otro lado, cuando

α es entero,

ἁ()

,

es la segunda solución linealmente independiente de la

ecuación de Bessel, además, de forma similar a lo que ocurría con las funciones de primera especie, se cumple que:

Ambas

ἁ()

,

y

ἁ()

,

son funciones

holomorfas de x en

el plano

complejo cortado por el eje real negativo. Cuando α es un entero, no hay puntos de ramificación, y las funciones de Bessel son funciones enteras de x. Si fijamos x, entonces las funciones de Bessel son funciones enteras respecto a la variable α.


Solución general de la ecuación de Bessel La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:

Donde A y B son dos constantes arbitrarias.


CONCLUSIONES CASTILLO, GREILYN y GALUE, LEDA. Teoremas para funciones de Bessel

de dos índices y un parámetro. Rev.colomb.mat Las funciones especiales son de suma importancia para científicos e ingenieros en muchas de sus aplicaciones, siendo las funciones de Bessel de las más utilizadas debido a que surgen en la solución de ecuaciones diferenciales en matemática, física, química, ingeniería y otras ramas de la ciencia y la tecnología; por esta razón diversos autores han estudiado diferentes generalizaciones de las funciones de Bessel. En este trabajo se presentan teoremas de adición, multiplicación y de Graf para la función de Bessel de dos índices y un parámetro (Jm,n(x;τ)). El trabajo que se presentó, se pudo ver las distintas formas de desarrollo y aplicaciones en las que los valores frontera en función a Bessel y Lagrange se pueden definir, así como un aporte más para la comprensión de temas próximos del curso, como también en las distintas ramas de la ingeniería.


SUGERENCIAS -

El estudiante debe tener antes los conocimientos previos de los temas anteriores al tema desarrollado así como parciales, transformada de Laplace, etc.

ecuaciones diferenciales


REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

-

MURRAY R SPIEGEL. Ecuaciones Diferenciales, Aplicadas. Prentice-hall hispanoamericana. México.

-

EDUARDO ESPINOZA RAMOS 2008. Análisis Matemático IV. LimaPerú.

- http://www.monografias.com/trabajos97/introduccion-ecuacionesdiferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos/introduccion-ecuacionesdiferenciales-teoria-y-ejemplos-resueltos.shtml#ixzz4z9e9wvD6

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