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Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
TAREA - ANÁLISIS TEMPORAL Ejercicio 1: Haciendo uso de Matlab determine y represente las funciones de transferencia de los sistemas ue tienen los siguientes polos y ceros.
a. b. c. d.
Polos en !"# !$% sin ceros. Polos en &"#!$% cero en '. Polos en − 2 ± % cero en &". Polos en 1 ± 2 % cero en !".
Ejercicio 2: (a siguiente figura corresponde a la respuesta a un escal)n unitario de un sistema del cual s)lo se sabe ue es de primer orden. *Cu+l es la funci)n de transferencia y el tiempo de asentamiento, Respuesta ante un escalon unitario 45
40
35
30
System: System: sy s Time (s econds): 1.8 Amplitude: 25.3
d25 u t i l p m A20
15
10
5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiem po (seconds) (seconds)
Ejercicio 3: (a siguiente figura corresponde a la respuesta a un escal)n unitario de un sistema del cual s)lo se sabe ue es de primer orden. *Cu+l es la funci)n de transferencia y el tiempo de asentamiento,
Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
Respuesta ante un escalón unitario
2
1.5
System: sys Time Time (sec onds): 0.0247 Amplitude: 1.27
d u t i l p m 1 A
0.5
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
Tiempo (seconds)
Ejercicio 4: Un termopar tiene la funci)n de transferencia ue relaciona su salida () en -oltios con su entrada () en ℃ de la forma
() =
() ()
=
30 10 10 + 1
eterminar/
a. 0l tiempo ue transcurre para ue la salida d el termopar alcance el 12.23 de su s u -alor final. b. 0l -alor final en estado estable estable cuando 4ay una entrada entrada escal)n de "''℃.
Ejercicio 5: Un termopar tiene la funci)n de transferencia ue relaciona su salida () en -oltios con su entrada () en ℃ de la forma
() =
() ()
=
30 10 10 + 1
Cuando el termopar est+ su5eto a una entrada de temperatura ue aumenta de manera uniforme a
5 ℃/ # *cu+l ser+ la salida del termopar despu6s de "$ seg7ndos y cu+nto m+s se retrasar+ la salida indicada si 6sta respondiera en forma si mult+nea a la entrada,
Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 6: Un termopar tiene la funci)n de transferencia ue relaciona su salida () en -oltios con su entrada () en ℃ de la forma
() =
() ()
=
30 10 10 + 1
*Cu+l ser+ la salida del termopar 2 segundos despu6s de ue tu-o como entrada un impulso de temperatura de 100 ℃ mediante el contacto muy bre-e y s7bito con un ob5eto caliente,
Ejercicio : (a respuesta al escal)n unitario del sistema del cual s)lo se sabe ue es de segundo orden esta mostrada en la siguiente figura. 8btenga la funci)n de transferencia de este sistema. Respuesta ante un escalón unitario 7 System: sys Time (seconds): 0.32 Amplitude: 6.85
6
5
d u4 t i l p m A 3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Tiem po (seconds)
Ejercicio !: (a respuesta al escal)n unitario del sistema del cual s)lo se sabe ue es de segundo orden esta mostrada en la siguiente figura. 8btenga la funci)n de transferencia de este sistema.
Teoría de Control I
UPS
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y (t)
Respuesta ante una entrada escalón unitaria
0.7
System: sys Time (s econds): 1.8 Amplitude: 0.581
0.6
0.5
0.4 d u t i l p m A0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
Tiem po (seconds)
Ejercicio ": (a respuesta al escal)n unitario del sistema del cual s)lo se sabe ue es de segundo orden esta mostrada en la siguiente figura. 8btenga la funci)n de transferencia de este sistema. Respuesta ante una entrada escalón unitario 16 System: sys Time (sec onds): 0.904 Amplitude: 13.8 14
System: sys Final value: 11
12
10 d u t i l 8 p m A
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tiempo (seconds)
3
3.5
4
4.5
5
Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 1#: (a respuesta al escal)n unitario del sistema del cual s)lo se sabe ue es de segundo orden esta mostrada en la siguiente figura. 8btenga la funci)n de transferencia de este sistema. Respuesta ante una entrada escalón unitario 1.6
1.4 System: sys Time (seconds): 4.02 Amplitude: 1.4 1.2
1 d u t i l 0.8 p m A
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
Tiempo (seconds)
Ejercicio 11: (a siguiente figura representa la respuesta de un sistema ante una entrada escal)n unitario. eterminar/ a$ la funci)n de transferencia# b$ la representaci)n gr+fica de polos y ceros y c$ la ganancia est+tica. y (t)
Respuesta ante una entrada e scalón 2.5 System: sy s Time (s econds): 1.68 Amplitude: 2.44 2
1.5 d u t i l p m A 1
0.5
0
0
2
4
6
Tiempo (seconds)
8
10
12
Teoría de Control I
UPS
Ejercicio 12: Se cuenta con un circuito
RLC #
Ing. Junior Figueroa
como el mostrado en la figura# pero del cual se
desconocen los -alores de sus elementos% este circuito se somete a un e9perimento de laboratorio ue consiste en aplicar un escal)n de "' : de amplitud de entrada ; < y obser-ar la se=al de salida ; <.
0stos resultados se muestran en la siguiente figura. > partir de los resultados de ese e9perimento obtenga/
a$ 0l m+9imo pico se sobreimpulso# . b$ (a frecuencia natural no amortiguada# ! . c$ (a funci)n de transferencia " ()#"(). V2 (voltios)
Respuesta ante una entrada V1= 10 [V] 12
System: sys Time (milliseconds): 6.51 Amplitude: 11
10
8
d u t i l 6 p m A
4
2
0
0
5
10
15
Tiempo (milliseconds)
20
25
Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 13: Un sistema de segundo orden est+ subamortiguado con un factor de amortiguamiento relati-o de '.? y una frecuencia angular libre de "' H@. eterminar/
a. (a relaci)n entre la salida y la entrada en el dominio de s. b. (a relaci)n entre la salida y la entrada en el dominio del tiempo cuando est+ su5eto a una entrada escal)n unitario.
c. 0l porcenta5e de sobrepaso con dic4a entrada.
Ejercicio 14: etermine la respuesta al escal)n unitario de un sistema de control de realimentaci)n unitaria cuya funci)n de trasferencia de la@o abierto es/
() =
$ ( + $)
A obtenga el tiempo de ele-aci)n# el tiempo pico# el m+9imo sobreimpulso y el tiempo de establecimiento. Utilice Matlab para representar los par+metros de dise=o solicitados.
Ejercicio 15: 8btenga %& ! y ' del sistema correspondiente al diagrama de bloues ue se muestra a continuaci)n. Utilice Matlab para representar los par+metros de dise=o solicitados.
Ejercicio 16: 8btenga el tiempo pico# el porcenta5e de m+9imo sobreimpulso y el tiempo de asentamiento para el sistema mostrado en el siguiente diagrama de bloues. Utilice Matlab para representar los par+metros de dise=o solicitados.
Ejercicio 1: 0ncuentre las constantes de tiempo de los siguientes sistemas/
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a.
*
UPS
+ , = −3
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*
b. .
c. () =
Ejercicio 1!: Clasifiue los siguientes sistemas tomando en consideraci)n su comportamiento/ sobreamortiguado# críticamente amortiguado o subamortiguado.
Ejercicio 1": Para los siguientes sistemas# determine el -alor del coeficiente 9# de manera ue la configuraci)n resultante tenga la característica de respuesta indicada.
() = () =
10 + 0 + 9 9 + 6 + 9 + 4
% = 0$
= :8/
Ejercicio 2#: Para los siguientes sistemas# determine el -alor del coeficiente 9# de manera ue la configuraci)n resultante tenga la característica de respuesta indicada.
() =
20 3 + 2 + 9 +
% = 01
Teoría de Control I
() =
UPS
− 6 9 + + 6
Ing. Junior Figueroa
! = 2 :8/
Ejercicio 21: eterminar el porcenta5e de sobreimpulso# el tiempo pico# el tiempo de ele-aci)n y el tiempo de establecimiento de los siguientes sistemas cuando se ingresa una entrada escal)n unitario. Utilice Matlab para representar los par+metros de dise=o solicitados.
() = () =
100 + + 100 4 + + 4
Ejercicio 22: eterminar el porcenta5e de sobreimpulso# el tiempo pico# el tiempo de ele-aci)n y el tiempo de establecimiento de los siguientes sistemas cuando se ingresa una entrada escal)n unitario. Utilice Matlab para representar los par+metros de dise=o solicitados.
() = () =
60 2 + ; + 30 $5 + 3 + 20
Ejercicio 23: Un sistema () responde ante una entrada escal)n de B unidades seg7n la Figura ;a<. 8tro sistema () responde ante una entrada rampa unitaria seg7n la Figura ;b<. Si ambos sistemas se asocian en serie# obtener la respuesta del con5unto ante una entrada escal)n unitaria.
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Ing. Junior Figueroa
y1 (t) Respuesta a nte una e ntrada escalón de 7 unidades 16
14
12
10 d u t i l 8 p m A
System: sys Time (s econds): 3.5 Amplitude: 8.85
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo (seconds)
%i&'ra a y2 (t)
Respuesta ante una entrada rampa unitaria
30
25
20
d u t i l 15 p m A
10
5
0
0
5
10
15 Tiempo (segundos)
%i&'ra b
20
25
30
Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 24: Haciendo uso de Matlab# dibu5e la respuesta ante una entrada escal)n unitario de los siguientes sistemas# compar+ndolos entre sí.
() = () = 7 () = 8 . () =
− +2 −2 + 125 + + 25 1 + 2 − 1
Ejercicio 25: ado el sistema representado por el diagrama de bloues de la siguiente figura% se pide dibu5ar la respuesta ;utili@ar Matlab< ante una entrada escal)n unitario para < = 002& < = 0125 y
< = 25# comparando el & ' y .
Ejercicio 26: (a siguiente figura representa la respuesta de un sistema resorte!masa!amortiguador ante una entrada escal)n de F $' D. Se pide identificar los -alores de & > y 9. x (t) [m] Respuesta ante una entrada escalón de 20 [N] 0.12
9.5 mm
0.1
0.08
d u t i l 0.06 p m A
0.04
0.02
0
0
1
2
3
Tiem po (seconds)
4
5
6
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UPS
Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 2: 8btener el sistema de orden reducido# eui-alente al dado en el siguiente diagrama de bloues# indicando las diferencias en respuesta a una entrada escal)n unitario. Utilice Matlab para graficar el sistema original y el sistema reducido en una misma figura.
Ejercicio 2!: 8btener el sistema de orden reducido# eui-alente al dado en el siguiente diagrama de bloues# indicando las diferencias en respuesta a una entrada escal)n unitario. Utilice Matlab para graficar el sistema original y el sistema reducido en una misma figura.
Ejercicio 2": Para cada uno de los sistemas ue se muestran en la figura# encuentre el -alor de % y reporte el tipo de respuesta esperada.
Ejercicio 3#: ada la funci)n de transferencia () = 0ncuentre & ? & ' , -
100 + 15 + 100
Teoría de Control I
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Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 31: ado el patr)n de polos ue se muestra en la siguiente figura# encuentre %& ! & & ? & , '
Ejercicio 32: etermine la -alide@ de una apro9imaci)n de segundo orden para cada funci)n de transferencia mostradas a continuaci)n.
$00
) () =
( + 15)( + + 100)
) () =
360 ( + )( + 2 + 40)
Ejercicio 33: Para cada una de las siguientes funciones de respuesta# determine si es posible una cancelaci)n entre el cero y el polo m+s cercano al cero.
) @() =
2625( + ) ( + 35)( + 5)( + 6)
) @() =
2625 ( + ) ( + 01)( + 5)( + 6)
Ejercicio 34: etermine la -alide@ de una apro9imaci)n de respuesta escal)n de segundo orden para cada una de las funciones de transferencia ue a continuaci)n se muestran.
) () =
1;5$1( + $) ( + 65)( + 10)( + 20)
) () =
14$1( + $) ( + 64)( + 10)( + 20)
Teoría de Control I
UPS
Ing. Junior Figueroa
Ejercicio 35: 0ncontrar y tambi6n graficar la respuesta de los sistemas con las siguientes funciones de transferencia y entradas escalones# considerando condiciones iniciales nulas.
) () =
) () =
7) () =
@() A() @() A() @() A()
=
=
=
3 +3
&
:() = 6B()
+ 1000
&
− + 20 + 300
&
:() = $B()
:() = 10B()
Ejercicio 36: Para cada uno de los sistemas ue se -en en la figura# encuentre la respuesta de salida# 7()# para una entrada escal)n unitario E;s< "s. Tambi6n encuentre la constante de tiempo y el tiempo de asentamiento para cada caso. >dem+s utilice Matlab y grafiue la respuesta del sistema indicando los par+metros solicitados.
Ejercicio 3: 0ncuentre el -olta5e del capacitor de la red ue se muestra en la figura# si el interruptor se cierra en t '. Suponga condiciones iniciales cero. Tambi6n encuentre la constante de tiempo y el tiempo de asentamiento para el -olta5e del capacitor. >dem+s utilice Matlab y grafiue la respuesta del sistema indicando los par+metros solicitados.
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Ejercicio 3!: Para cada una de las siguientes funciones de transferencia ue se muestran a continuaci)n# realice lo solicitado/ (a$ la representaci)n gr+fica de los polos y ceros ;utilice Matlab<# (b$ escriba una e9presi)n para la forma general de la respuesta escal)n unitaria sin obtener la transformada in-ersa de (aplace# y (c$ clasifiue los sistemas con respecto a su comportamiento ;sobreamortiguado# críticamente amortiguado o subamortiguado<.
Ejercicio 3": Un sistema tiene un factor de amortiguamiento de '.2# una frecuencia natural no amortiguada de "'' rads y una ganancia est+tica de ". 0ncuentre la respuesta del sistema a una entrada escal)n unitario.
Ejercicio 4#: Para los sistemas ue se indican a continuaci)n# obtenga los par+metros/ %& ! & ' & & C y ? . Utili@ando el softGare Matlab represente en forma gr+fica los par+metros de dise=o antes solicitados.
Ejercicio 41: Para cada par de especificaciones de los sistemas de segundo orden ue se indican a continuaci)n# encuentre la posici)n del par de polos de segundo orden.
a. ? = 12?D ' = 06 b. ? = 10?D ' = 5 c. = 3 D ' = $
Teoría de Control I
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Ejercicio 42: 0ncuentre la funci)n de transferencia de un sistema de segundo orden ue produce "$.3 de sobreimpulso y un tiempo de asentamiento de un segundo.
Ejercicio 43: Para el sistema ue se ilustra en la figura# 4aga lo siguiente/ a. 0ncuentre la funci)n de transferencia () = E()/F(). b. 0ncuentre %& ! & ? & ' & & , C .
Ejercicio 44: Para las siguientes funciones de respuesta# determine si se puede apro9imar la cancelaci)n de polo y cero. Si es posible# encuentre el sobreimpulso en porcenta5e# tiempo de asentamiento# tiempo de le-antamiento y tiempo pico. r+fiue los resultados obtenidos 4aciendo uso de Matlab.
Ejercicio 45: Para las siguientes funciones de respuesta# determine si se puede apro9imar la cancelaci)n de polo y cero. Si es posible# encuentre el sobreimpulso en porcenta5e# tiempo de asentamiento# tiempo de le-antamiento y tiempo pico. r+fiue los resultados obtenidos 4aciendo uso de Matlab.
Ejercicio 46: Utilice el Simulin del Matlab para obtener la respuesta escal)n unitario del sistema# () = ba5o las siguientes condiciones/
1 + 3 + 10
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a. 0l sistema es lineal y e9citado por un amplificador cuya ganancia es "'. b. Un amplificador cuya ganancia es "' e9ista al sistema. 0l amplificador se satura a ±025 -oltios. escriba el efecto sobre la salida del sistema.
Ejercicio 4: Un ser 4umano responde a un indicio -isual con una respuesta física# como se muestra en la figura.
(a funci)n de transferencia ue relaciona la respuesta física de salida# G()# con el comando de entrada -isual# "()# es
() =
G() "()
=
( + 05) ( + 2)( + 5)
;Stefani# "1B<. Haga lo siguiente/
a. 0-alu6 la respuesta de salida para una entrada escal)n unitario usando la transformada de (aplace.
b. Utilice Matlab para simular el sistema y obtener una gr+fica de la respuesta escal)n.
Ejercicio 4!: Se usan robots industriales para miles de aplicaciones. (a figura muestra un robot ue se emplea para mo-er bolsas de 22 libras de pastillas de sal por medio de una -entosa para le-antar las bolsas antes de ponerlas en su posici)n. 0l robot puede mo-er 4asta "$ bolsas por minuto ;Sc4neider# "11$<.
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Suponga un modelo para el controlador giratorio en la@o abierto y la planta de
() =
() "H ()
=
< ( + 10)( + + 10)
donde () es la transformada de (aplace de la -elocidad de giro de salida del robot y "H () es el -olta5e aplicado al controlador.
a. 0-alu6 el sobreimpulso en porcenta5e# tiempo de asentamiento# tiempo pico y tiempo de le-antamiento de la respuesta de la -elocidad de giro en la@o abierto a una entrada de -olta5e escal)n. Justifiue todas las suposiciones de segundo orden.
b. Utilice Matlab para simular el sistema y comparar los resultados obtenidos en el inciso a.
Ejercicio 4": (a anestesia induce rela5aci)n muscular ;par+lisis< e inconsciencia en el paciente. Se puede obser-ar rela5aci)n muscular usando se=ales de electromiograma de ner-ios en una mano% se puede obser-ar la inconsciencia usando la presi)n arterial media del sistema cardio-ascular. 0l anest6sico es una me@cla de isofluorano y de atracurio. Un modelo apro9imado ue relaciona la rela5aci)n muscular con el porcenta5e de isofluorano de l a me@cla es
G() I()
=
$6310 + 115 + 02;
onde G() es la rela5aci)n muscular medida como fracci)n de par+lisis total ;normali@ada a la unidad< y I() es el porcenta5e de me@cla de isofluorano ;(ines# "11$<.
a. 0ncuentre e factor de amortiguamiento relati-o y la frecuencia natural no amortiguada de la respuesta transitoria de par+lisis.
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b. 0ncuentre el m+9imo porcenta5e posible de par+lisis# si se utili@a una me@cla de isofluorano al $3.
c. Utili@ando Matlab# grafiue la respuesta escal)n de par+lisis si se usa una me@cla de isofluorano al "3.
d. *Ku6 porcenta5e de isofluorano tendría ue usarse para alcan@ar un "''3 de par+lisis,
Ejercicio 5#: Un M80MS ;M0MS )ptico< es un M0MS ;Sistema Micro 0lectromec+nico< con un canal de fibra )ptica ue toma lu@ generada por un diodo l+ser. Tambi6n cuenta con una c6lula fotoel6ctrica ue mide las -ariaciones de intensidad de lu@ y las -ariaciones de tensi)n de salida proporcionales a las peue=as des-iaciones de dispositi-os mec+nicos. >dicionalmente# una entrada de tensi)n es capa@ de des-iar el dispositi-o. 0l aparato puede ser utili@ado como un conmutador )ptico o como un atenuador )ptico -ariable# y no e9ceda de $''' mm en cualuier dimensi)n. (a Figura muestra las se=ales de entrada y salida utili@adas para identificar los par+metros del sistema. >suma una funci)n de transferencia de segundo orden y encuentre la funci)n de transferencia del sistema ;Loro-ic# $''2<.
Ejercicio 51: (a respuesta de la defle9i)n de un cat6ter ;sonda llena de líuido< a los cambios en la presi)n puede ser modelada mediante un sistema de segundo orden. 0l conocimiento de los par+metros del modelo es importante porue en aplicaciones cardio-asculares la frecuencia natural no amortiguada debe estar cerca de cinco -eces la frecuencia cardíaca. Sin embargo# debido a la esterilidad y otras consideraciones# la medici)n de los par+metros es difícil. Un m6todo para obtener las funciones de transferencia es utili@ar las mediciones de las amplitudes de dos picos consecuti-os de la respuesta y su medida del tiempo se 4a desarrollado ;lant@# "1B1<. Supongamos ue la figura es obtenida a partir de las mediciones del cat6ter. Usando la informaci)n mostrada y asumiendo un modelo de segundo orden e9citado por una entrada escal)n unitario# encontrar la funci)n de transferencia correspondiente.
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Ejercicio 52: 0l modelamiento matem+tico y control de los procesos de pH son bastante desafiantes ya ue los procesos son altamente no lineales# debido a la relaci)n logarítmica entre la concentraci)n de iones de 4idr)geno H &N y el ni-el de pH. (a funci)n de transferencia desde la entrada pH y la salida de pH es
' () =
@' () E' ()
=
14 . 1$;26 + 1
' () es un modelo para el proceso anaer)bico en un sistema de tratamiento de aguas residuales en el ue las bacterias de metano necesitan ue el pH se mantenga en un rango )ptimo de O. a B#$ ;Jiayu# $''1<. Similarmente# ;0larafi# $''< utili@) t6cnicas empíricas para modelar una planta de neutrali@aci)n de pH como un sistema de segundo orden con un retardo puro# produciendo la siguiente funci)n de transferencia relacionando el pH de salida con el pH de entrada/
() =
@ () E ()
=
1$1610J K + 64;410 + 11;510
a. eterminar las e9presiones analíticas para las respuestas de salida ; ,' () y , ()< ante una entrada escal)n unitario para los dos procesos. Utili@ar Matlab para facilitar los c+lculos.
b. Utili@ar Simulin para representar las se=ales de salida ,' () y , () en una sola gr+fica.
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Ejercicio 53: Considere el sistema mec+nico traslacional ue se ilustra en la Figura. Se aplica una fuer@a de " libra# L() # en = 0 . Si > = 1 # encuentre < y # tal ue la respuesta sea caracteri@ada por tener un tiempo de asentamiento de ? segundos y un tiempo pico de " segundo. >dem+s# *cu+l es el porcenta5e de sobreimpulso resultante,
Ejercicio 54: ado el sistema mec+nico traslacional de la figura anterior# donde < = 1 y L() es un escal)n unitario# encuentre los -alores de y > para obtener una respuesta con "B3 de sobreimpulso y un tiempo de asentamiento de "' segundos.
Ejercicio 55: Si H () es un -olta5e escal)n en la red ue se muestra en la figura# encuentre el -alor del resistor tal ue se -ea un $'3 de sobreimpulso en el -olta5e entre los terminales del capacitor si M =
10 F y N = 1 O .
Ejercicio 56: ado el circuito de la figura anterior# donde N = 1 O # encuentre A y M para obtener un $'3 de sobreimpulso y un tiempo de asentamiento de " ms para el -olta5e del capacitor P () . (a entrada H () es un escal)n unitario.
Ejercicio 5: ado el circuito de la figura anterior# donde M = 10 QF # encuentre A y N para obtener un "23 de sobreimpulso y un tiempo de asentamiento de B ms para el -olta5e del capacitor P () . (a entrada H () es un escal)n unitario.
Ejercicio 5!: Para el circuito de la siguiente figura# encuentre los -alores de A y M para obtener un 3 de sobreimpulso y un tiempo de asentamiento de " ms par el -olta5e entre los terminales del capacitor. (a entrada H () es un escal)n unitario.