Analisis Varians

Analisis Varians Jenis Varians Varians yang diperoleh dari sampling disebut varians sampel s 2 digunakan

untuk mengestimasi varians populasi varians proporsi

2

 x / n .



2

. Juga dikenal varians sampling



2

x

dan

Selanjutnya dibedakan dua jenis varians, yakni : varians

sistematik dan varians galat(= error, mistake, oversight). Varians sistematik terjadi karena pengaruh sistem pengukuran yang cenderung ke satu arah. Sebagai contoh, seorang guru yang mengajar pendekatan active learning cenderung menghasilkan skor siswa yang lebih tinggi daripada skor siswa yang diajar oleh guru yang direktif. Pengukuran reaksi auditif sejumlah respon cenderung terlambat beberapa mili-sekon karena tingkat kepekaan instrumen yang tak mutakhir lagi. Sebaliknya varians galat dapat terjadi karena kekelituan penerapan prosedur.

Analisis Varians Klasifikasi Satu-Arah

Misalkan terdapat beberapa sampel yang memiliki karakteristik umum yang sama, hendak ditentukan apakah terdapat perbedaan antara rerata yang signifikan dari sampel-sampel tersebut. Prinsip dasar pengujian ini adalah dengan mengkaji, apakah rerata sampel akan berubah lebih lanjut dari rerata populasinya ditinjau dari variasivariasi data yang terkumpul. Variasi dari beberapa rerata sampel terhadap rerata populasinya ditunjukkan oleh kekeliruan baku



2

x

dan dihitung dari nisbah



2

/ n dimana n = jumlah kombinasi

sampel. Jika harga dikalikan dengan n , maka akan diperoleh varians populasi Dengan lain perkataan, varians populasi dapat diestimasi dari varians antar rerata.



x



( X   )

n

2





n

dari persamaan ini diperoleh



2

2

 ( X   ) .



2

.

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





Membuat analisis variansnya dalam bantuk tabel anova Sumber varians Rata-rata kolom Error

Jumlah Kuadrat JKK

Derajat bebas k – – 1

JKE

K (n – 1)

Total

JKT

Nk – – 1

Rata-rata kuadrat

Fo

Berikut ini dikemukan sebuah contoh menghitung varians populasi dan kekeliruan baku populasi dari varians antar rerata. Contoh

Rerata IPK lulusan dari lima fakultas suatu perguruan tinggi yang diambil secara sampling dari seluruh lulusan adalah sebagai berikut : Fakultas

A

B

C

D

E

Jumlah Sampel

30

30

30

30

30

2,65

3,00

2,70

2,73

3,12

IPK rata-rata lulusan

 

 X  2,65  3,00  2,70  2,73  3,12  14,2  2,84 5

n

5

Jumlah kuadrat rerata dikoreksi (terhadap

 ( X   )

2

 )

2

:

2

2

2

 (2,65  2,84)  (3,00  2,84)  (2,70  2,84)  (2,73  2,84)  (3,12  2,84)

2

2

2

2

 (0,21)  (0,16)  (0,14)  (0,11)  (0,28) 2

2

2

 0,1798    n. x

Berdasarkan uraian di atas, populasi



x





2

x





2

n

0,036  0,190 .

Jumlah Kuadrat Antar Kelompok



0,1798 5

 0,036 sehingga simpangan baku

2





masing berukuran n . Untuk setiap k rerata akan diperoleh simpangan terhadap rerata total (grand mean)

yang besarnya dinyatakan dengan persamaan :



d 1  ( X i  X T ) , diman2a X i = rerata dari masing-masing sampel k (untuk i =

1...k). Jika semua simpangan itu dikuadratkan dan dijumlahkan, maka akan diperoleh varians terhadap rerata populasi yang diestimasi. Varians ini sebenarnya adalah kuadrat dari kekeliruan simpangan terhadap rerata (  x2 ) yang dihitung dari jumlah kuadrat simpangan dari n pengamatan tunggal, yakni sama dengan n. d i2   ( X i  X T ) 2 . Pernyataan ini merupakan sebuah estimasi dari jumlah

kuadrat simpangan dari sejumlah pengamatan terhadap rerata populasi. Karena besaran ini dihasilkan dari beberapa rerata, maka ia disebut jumlah kuadrat antar kelompok( SS B ). Jika SS B diperoleh dari k sampel, maka rerata kuadrat antar kelompok ( MS B ) didefinisikan sebagai : MS B 

SS B k  1



n. d i2 k  1

 ( X   ) 

2

k  1

b. Jumlah Kuadrat dalam kelompok

Jika diasumsikan varians dari beberapa sampel sama besarnya kecuali adanya fluktuasi acak, maka jumlah kuadrat dari seluruh sampel itu dapat digabungkan untuk mengestimasi varians populasi. Jika k sampel digabungkan, maka derajat kebebasan

sampel-sampel

itu

juga

digabungkan

sehingga

diperoleh

df  k .(n  1)  N  k , sehingga rerata jumlah kuadrat dalam kelompok( MSW ) dapat didefinisikan didefinisikan dengan persamaan persamaan : MSW 

SSW k (n  1)

 X i

2



k (n  1)

 X i 

2

N  k





c. Kuadrat Rerata yang Diharapkan

Nilai rerata sampel xi yang diharapkan adalah rerata populasi E ( x i ) 

1

k

 ,

ditulis :

.  i  

Demikian juga nilai varians sampel sampel yang diharapkan diharapkan adalah varians populasi



2

,

ditulis : E ( s 2 ) 

1

k

. i2   2

Kuadrat rerata yang diharapkan diperlukan untuk menguraikan sumber variasi dari parameter-parameter parameter-parameter yang diestimasi. d. Uji-signifikansi untuk Analisis Satu-Arah

Untuk analisis satu arah ditentukan berdasarkan nisbah F: F 

MS B MSW

Dengan derajat kebebasan untuk penyebut penyebut df = k-1, dan derajat kebebasan untuk pembilang df = k.(n-1). Hipotesis nol ( H 0 ) diuji dengan menggunakan rumus F 

MS B MSW

, yakni jika

terdapat k sampel independen yang diambil dari populasi normal yang sama sehingga dipenuhi : E ( X i )  

Untuk semua k perlakuan, dan E ( si2 )   2

Jika rumus E ( si2 )   2 benar, maka MSW merupakan estimasi yang tak bias untuk varians



2

dalam arti E ( MSW )   2 . Jika rumus E ( X i )   dan E ( si2 )   2 benar,

maka harus ditunjukkan juga bahwa, MS B merupakan estimasi yang tak bias dalam arti E ( MSW )   2 . Hal ini dibuktikan dengan F = 1,0. tetapi jika rumus E ( X i )   tidak





Dari tabel distribusi F dengan tingkat signifikansi yang dipilih dapat diperoleh harga F yang diharapkan jika kesua rumus E ( X i )   dan E ( si2 )   2 benar. Konsekuensinya, jika harga F hitung lebih besar daripada harga F yang diperoleh dari tabel pada tingkat signifikansi tertentu, maka dapat disimpulkan bahwa, rerata-rerata yang diperoleh dari semua perlakuan (treatment) diatas bukan estimasi dari parameter populasi b yang sama,

 ( H A ) .W

e. Interprestasi Nisbah-F

Signifikansi nisbah F ditentukan berdasarkan tabel distribusi F yang dikenal juga dengan sebutan Snedecor’s table. Penggunaan tabel ini perlu memperhatikan harga dari dua jenis derajat kebebasan df. Setelah terlebih dahulu menentukan tingkat signifikansi

 (biasanya

terdapat dua pilihan, untuk

 

0,05 dan



 0,01 , cari

harga F yang terdapat dalam sel pertemuan antara df 1 (pembilang) pada arah horizontal dengan df 2 (penyebut) pada arah vertikal. f.

Komputasi Jumlah Kuadrat dari Data Mentah

SS B , SSW , SST dapat langsung dihitung dari data mentah dengan menggunakan rumus-rumus berikut ni : ( X ) i

2

SS B  

n



( X )

2

(9.09)

N

SS w   ( X ) i

 ( X ) i 

(9.10)

SST   ( X ) i

 ( X ) i 

(9.11)

2

2

n

2

2

N

Untuk mengaplikasikan ketiga rumus di atas pada data pengukuran Tabel 9-01, terlebih dahulu data tersebut perlu direduksi dengan mengurangi data tiap sel dengan bilangan yang sama yakni 110. Dengan demikian yang dianalisis hanya hasil selisih pengukuran seperti terter dalam Tabel 9-02 di bawah ini. Dari tabulasi tersebut diperoleh : ( X )

2

( X )

2

2





SS w   ( X ) i

 ( X ) i 

SST   ( X ) i

 ( X ) i 

2

2

n

 652 

2

2

N

 652 

2914 5 100

 652  582,8  69,2

2

20

 652  500  152

Harga-harga SS B , SSW , SST di atas sama dengan perhitungan pada tabel 9-01, namun metode terakhir ini lebih cepat dengan hasil yang cukup teliti.

ANALISIS VARIANS KLASIFIKASI DUA-ARAH

Dalam Anava satu-arah kumpulan data dideferensiasikan berdasarkan satu variasi eksperimen, pada analisis klasifikasi dua-arah deferensiasi didasarkan pada dua variasi atau klasifikasi yang berbeda.

a. Sumber variansis pada analisis Dua-Arah

Misalkan ANAVA dilakukan berdasarkan nisbah f dan dinyatakan signifikan pada

 tertentu.

Namun hal itu belum menjelaskan sumber variansi, apakah

karena perbedaan antar sasaran, atau perbedaan antar mesin, atau kombinasi







suatu metode untuk mengungkapkan apa yang disebut dampak yang mengacukan. Metode tersebut harus dapat memisahkan variansis yang berasosiasi dengan setiap variabel ekperimental. Dengan demikian dapat diketahui sumber atribut perbedaan yang signifikan. Prosedur yang dikembangkan harus dapat memisahkan berbagai sumber variansis sehingga bisa dibeda-bedakan apakah perbedaan antar rerata itu disebabkan oleh divergensi ukuran sasaran, karena perbedaan mesin, atau karena keduanya atau bukan karena kedua-duanya. Jika kemungkinan terdapat dua sumber variansis , maka kemungkinan terjadi apa yang disebut variansi interaksi. Varians interaksi merupakan dampak bersama dari dua sumber atau lebih. Oleh karena itu jumlah kuadrat varians interaksi dinyatakan dengan SS rxk . Jika diketahui bahwa, dengan makin besarnya ukuran sasaran menyebabkan makin besarnya skor, maka gejala itu disebut sebagai dampak utama. Hal yang sama bisa secara sistematik disebabkan oleh mesin. Gejala dampak utama merupakan gejala yang dapat diisolasi dan bersifat langsung. b. Solusi berdasarkan Deviasi

Metode ini menggunakan rumus-rumus (9.12 s/d 9.14). dalam rumus-rumus tersebut subskrip k untuk menyatakan kolom, r untuk lajur. Simbol X ij =hasil setiap observasi yang ditempatkan dalam sel ij, X rk =rerata dari lima observasi pada lajur r dan k dan n= jimlah observasi dalam setiap kelompok. Pada contoh Tabel 9.04 n=5. jumlah jalur dinyatakan dengan r , jumlah kolom dinyatakan dengan k dan jumlah seluruhbobservasi seluruhbobservasi dinyatakan dengan N=n.r.k.





Varians interaksi dapat diestimasi dengan beberapa cara. Cara yang lazim digunakanditurunkan dari jumlah kuadrat antar semua kelompok dikurangi jumlah kuadrat antar kolom ( SS K )dan lajur ( SS R ). Jumlah kuadrat rerata antar kelompok dan rerata total dihitung dengan rumus : 2

SS RK  n[ ( X RK  X T ) ]

(9.15)

Dan varians interaksi dihitung dengan rumus : SS RxK  SS RK  SS K  SS R

(9.16)

Cara lain untuk menghitung varians interaksi dapat secara langsung dari komponen-komponen komponen-komponen jumlah kuadrat : SS RxK  n[ ( X RK  X K  X R  X T ) 2 ]

(9.17)

Jumlah kuadrat dalam semua kelompok dihitung dengan rumus : SSW   ( X ij  X RK ) 2

(9.18a)

Kalau hitungan ini benar, maka haruslah : SSW  SST  SS K  SS R  SS RxK

(9.18b)

c. Derajat kebebasan

Derajat kebebasan kebebasan untuk jumlah kuadrat total ( SST ) df 1  N  1 ; untuk jumlah kuadrat antar rerata df 2  r .k  1 ; untuk rerata lajur df 3  r  1 ; rerata kolom df 4  k  1 . Selanjutnya dengan analogi di atas, untuk varians inteaksi kontribusi variansis dapat digambarkan sebagai hasil perkalian dari dua sumber, df 5  (r  1)(k  1) . Untuk memudahkan mengingat, ragam derajat-kebebasan





d. Nisbah f

Pada contoh di atas terdapat tiga nisbah F yakni F R untuk dampak utama dari jalur

F K untuk dampak dari kolom dan

F RxK untuk dampak interaksi.

Perhitungan ketiga nisbah F ini dirangkum pada tabel 9-05 berikut ini. Tabel 9-05 menunjukkan bahwa,

F RxK  0,97 .(

mendekati

1,0)

menyatakan adanya varians interaksi yang signifikan. Sedangkan F K  F tabel menunjukkan bahwa, kecurigaan adanya kesulitan membidik yang disebabkan oleh mesin terlepas dari variasi ukuran, sasaran, terbukti. Sel;anjutnya F R  F tabel membuktikan bahwa variasi ukuran sasaran berkontribusi atas

perolehan skor. e. Menghilangkan sumber variansis

Pada Tabel 9-06 ditunjukkan ke-12 rerata dari kumpulan hasil uji psikomotor. Variansis antara rerata itu diperkirakan berasal dari tiga sumber, yaitu perbedaan ukuran sasaran, perbedaan mesin, dan interaksi antar keduannya. Pada Tabel 9-06A tampak dari perbedaan ukuran sasaran ditunjukkan oleh rerata pada kolom 6 yang besarnya 3,4,6, dan 7. dampak karena mesin ditunjukkan oleh rerata pada lajur kelima, yakni 6,5,4. jika tidak ada perbedaan, maka semua rerata akan sama dengan X T  5 (rerata dari semua pengamat)seperti pengamat)seperti ditunjukkan pada lajur dari tabel 9-06C. Setiap penyimpangan dari rerata kolom terhadap merupakan kekeliruantetap dari mesin tertentu. Dalam hal inio mesin B1 memiliki kekeliruan +1,





menurut lajur dan kolom semuanya sama dengan 5. tetapi di dalam tabel masih terdapat empat empat sel yang yang nilainya menyimpang dari 5.

hal ini kemungkinan kemungkinan

disebabkan oleh varians interaksi dari uji F diketahui bahwa, perbedaan itu dinyatakan tidak signifikan, Tabel 9-05 sumber varians dan Nisbah f Sumber

Jumlah

df

Kuadrat rerata MS  SS / df

Kuadrat Ukuran sasaran (A)

SS R  150

df R  4  1  3

MS R  50,0

Mesin(B)

SS K  40

df K  3  1  2

MS k  20,0

Interaksi(AXB)

SS RxK  20

df RxK  3x 2  6

MS RxK  3,33

SS w  164

df w  60  12  48

MSW  3,42

SST  374

df T  60  1  59

F hitung

F tabel ,   0,05 *

F tabel ,   0,01 *

2,30

3,20

3,19

5,08

4,76

9,78

Dalam Kelompok Total

F-interaksi

MS RxK / MSW

3,33/3,42=0,97

F-mesin, MS K / MSW

20/3,42=5,85

F-sasaran,

MS R / MS RxK

f.

50/3,33=15,0

Estimasi kekuatan Asosiasi

Tingkat asosiasi(dinyatakan dengan simbol

2



) antara dua variabel atau lebih

dalam suatu perlakuan dapat diestimasi dengan menggunakan rumus-rumus berikut.





perhitungan ini diperoleh harga

2

 est

yang negatif, hubungannya dapat

disamakan dengan nol. Perhitungan ini lazim dilakukan setelah diperoleh uji-F yang signifikan, yakni untuk menyakinkan tidak diperoleh harga negatif.

2. untuk analisis varians dua-arah dengan menggunakan menggunakan rumus Estimasi proporsi varians yang dipengaruhi oleh dampak lajur : 2 K  est

SS r  (r  1). MSW



MSW  SS t

(9.20a)

Estimasi proporsi varians yang dipengaruhi oleh dampak kolom : 2

r  est



SS K  (k  1). MSW MSW  SS t

(9.20b)

Estimasi proporsi varians yang dipengaruhi oleh interaksi : 2 rxk  est



SS rxk  (r  1)(k  1). MSW MSW  SS t

(9.20c)

g. Solusi Berdasarkan Data Pengukuran

Penghitungan SST , SS RK , SS R , SS K , SS RxK , SSW dapat dilakukan secara langsung dengan menggunakan data mentah(hasil pengukuran) dengan rumus-rumus berikut ini SST   X  2 ij

( X ij ) 2

N

(9.21)

Analisis Varians

Recommend Documents