LYS Geometri PDF

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

01

TARAMA

1.

ABC bir üçgen

4.

│CA│ = │CB│

[AD] açıortay % m (ADC) = 102° % m (ACB) = x

A

102° B

x

C

D

2.

B) 35

C) 36

D) 38

E

A x

96°

D

B

C) 30

A

B) 16

x

B

11

D

25

C

& & DAC + ABC DC AC 25 x = = & AC BC x 36

C) 28

E) 20

5.

[BE] iç açıortay

│AB│ = │AC│

[CE] dış açıortay % m (ADB) = 96°

CE ^ AD % % m (BAC) = 2.m (DAC)

D) 32

E) 36

E

x

B

│DC│ = 25 cm

│AC│ = x

E) 30

│BC│ = 14 cm

Yukarıdaki verilere göre, │CE│ = x kaç cm dir? B)

13 2

C) 7

D)

& & ACH , ACE

E

│AB│ = 12 cm

12

│AE│ = 6 cm

9

x

E) 8

[AD] ve [BE] açıortay

6

B

15 2

ABC bir üçgen

A

D

C

6.

│BD│ = 11 cm

D) 29

ABD bir üçgen

A

B) 27

D) 18

│AB│ = [AC]

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 24

C) 17

ABC ikizkenar üçgen

ABC bir üçgen % % m (DAC) = m (ABC)

C

Yukarıdaki verilere göre, │AC│ = x kaç cm dir?

A) 6

3.

│DC│ = 4 cm

D

A) 15

E) 44

% Yukarıdaki verilere göre, m (BEC) = x kaç derecedir? B) 28

│BD│ = 10 cm

x

C

A) 26

│AB│ = │AD│ = 13 cm

B

Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 34

ABC bir üçgen

A

C

D

│EC│ = 9 cm │BD│ = x cm


B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

AB AE 12 6 = = & BC EC BC 9 AB BD 12 x = = & AC DC 15 18 − x

LYS Geometri Planlı Ders Föyü

1

Tarama A

7.

ABC bir üçgen [AD] ve [BE] açıortay

E

8

4.│DE│ = 3.│BD│

D

B

C

12

A) 12

B) 13

C) 14

A

ABC bir üçgen F

D

ADEF kare [EK] ^ [BC]

10

3

E

│BD│ = 3 cm

│AB│ = 8 cm

│BC│ = 12 cm

B

Yukarıdaki verilere göre, │BK│ = x kaç cm dir?

Yukarıdaki verilere göre, │AC│kaç cm dir?

10.

D) 15

x

A) 2 2

E) 16

K

C

10

B) 3

C) 2 3

│CK│ = │CF│ = 10 cm

D) 4

E) 2 5

CB DB 12 4 = = & CE DE CE 3

ABC eşkenar üçgen

A

8.

A, D, E doğrusal % % m (ABD) = m (CBE)

x D

│BD│ = │BE│

│EC│ = 4 cm B

│AD│ = x

C

B) 2

x

D, B, C doğrusal D

12

C) 4

D) 6

B

8

C

│DB│ = 12 birim │BC│ = 8 birim

Yukarıdaki verilere göre, │AC│ = x kaç birimdir? A) 10

B) 12

C) 15

D) 16

E) 17

AB AB 12 3 = = & 20 AC AC 5


AB ^ BC % % m (EAD) = m (BAD)

E

ABC bir üçgen A

4

E

11.

E) 8

& & ABD , EBC

A

9.

ABC bir üçgen % m (ACB) > 45°

│BD│ = │DC│

│AB│ = 12 birim

│AC│ = 16 birim

x

B

C

D

A) 25

B) 28 V) > m (C V) m (B

V) + m (C V) m (B

C) 30

D) 32

% U) m _EDC i = m ( B

E) 36

A

│DA│ = │DB│ = │DC│

D

│AB│ = │DE│ 10°

B

E

A) 110

B) 115

C) 120

V) m (B


C

% Yukarıdaki verilere göre, m (BDE) kaç derecedir?

AB 2 % m (HDE) % m (BDE)

2

ABC bir üçgen % m (ACB) = 10°

│AD│ = x birim

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

12.

DE 2

D) 130

E) 140

Tarama

13.

A

6

G

8

x B

ABC dik üçgen

16.

[AB] ^ [BC]

G ağırlık merkezi

│AG│ = 6 cm

│GC│ = 8 cm

C

A) 4

B) 2 5

C) 5

D) 4 2

E) 3 5

2 3

=

2 3

5

5

ABC ve ABD

birer üçgen

│CE│ = 8 birim C

D

│AE│ = x birim

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği kaç tam sayı değeri vardır? B) 3

C) 4

D) 5

% % % m (CAE) < m (BAE) & m (AEC)

% m (CAD) = 36°

36°

17.

D

x

A

ABC dik üçgen │AD│ = │DC│

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (CBD) = x kaç derecedir? A) 15

=

B) 18

C) 20

D) 24

E) 36

36° = 2

│AB│ = 6 cm

D

6

│BC│ = │DC│ + 3 cm

B

15.

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?

ABC ve DEF birer üçgen

E

x

C

3

F

|CK| = 7 cm

│BE│ = 4 cm

│CF│ = 3 cm │EC│ = x

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? B) 4

6 (x + 4) x 6 = &k= x x+4 k 7 (x + 3) x 7 = &k= x x+3 k

E) 32

|EK| = 6 cm

A) 3

D) 30

DF // AC

7

6 4

C) 28

DE // AB

K

B) 26

[AC] ∩ [DE] = {K}

D

B

A) 24

│AB│ = │DF│

A

E) 6

% m (AEC)

│AB│ = │AC│ = │AD│

A

B

│AC│ = 10 birim

8

% % m (CAE) = m (BAE)

14.

E

10

A) 2

5 =

x

Yukarıdaki verilere göre, │BG│ = x kaç cm dir?

AB // CD % % m (ACE) = m (DCE) % % m (CAE) < m (BAE)

B

A

C) 5

D) 6

18.

ABC bir üçgen

A

[AD] iç açıortay

[AE] dış açıortay

│DC│ = 3 birim │CE│ = 21 birim

B

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ = x kaç birimdir?

x

D 3 C

21

E

E) 7

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) 9

EC DC 21 3 = = & EB DB x + 24 x


3

Tarama A

19.

ABC bir üçgen

22.

│AB│ = │AC│

BD ^ AC

│AD│ = 24 cm

│DC│ = 1 cm

24

D

1 B

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ = x kaç cm dir?

A) 4 2

B) 6

C) 5 2

A, B, D doğrusal

12

│BE│ = │EC│ B

C

E

D) 8

E) 6 2

│AB│ = 8 cm │BD│ = 6 cm

6 x

│AC│ = 12 cm

D

│DE│ = x cm

C

x

ABC bir üçgen

A

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği en küçük tam sayı değeri ile en büyük tam sayı değerinin toplamı kaçtır? A) 17

B) 18

C) 19

D) 20

E) 21

2

20.

A

ABD ve BCD birer üçgen % m (BAD) > 90°

9

12

x

B

D

8

│AB│ = 9 cm

23.

│BC│ = 8 cm

│CD│ = 11 cm

│AD│ = 12 cm

11

│BD│ = x cm

C

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

│DA│ = │DB│

5

BE ^ AD

x E

ABC bir üçgen

A

│BE│ = 5 cm 2

B

D

3

C

│DC│ = 3 cm │DE│ = 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AC│ = x kaç cm dir? A) 7

B) 5 2

C) 8

D) 6 2

E) 9

E) 7

& & AHD , BED

21.

A

│AB│ = │AC│

8

F

12

ED // AB

E

B

9

D

x

C

A

24.

FD // AC

2

ABC bir üçgen

│AD│ = │DC│

│AF│ = 8 cm

│AE│ = 12 cm

│BD│ = 9 cm

A) 4 & & FBD + EDC

4

9 B) 2

C) 5

11 D) 2

FB BD 12 9 = = & ED DC 8 x


E) 6

DE ^ BC

D

│DE│ = 6 cm

6 B

Yukarıdaki verilere göre, │DC│ = x kaç cm dir?

ABC dik üçgen

x

E

8

C

│EC│ = 8 cm │BE│ = x cm

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 12 & & EDC + ABC

B) 14

C) 15

10 8 = x + 8 20

D) 16

E) 17

Tarama

25.

A

9

10

ABC ve ACD

28.

birer dik üçgen % % m (BAC) = m (CAD)

│AD│ = 9 cm

x

[BE] ^ [AD]

E

C

F

6

B

[EF] // [BC] 2│BD│ = 3│DC│

C

D

│EF│ = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ kaç cm dir? A) 10

ABC bir üçgen % % m (ABE) = m (DBE)

x B

│AB│ = 10 cm D

A

B) 12

C) 15

D) 16

E) 18

Yukarıdaki verilere göre, │CD│ = x kaç cm dir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5


A

26.

E) 6

KE // AB

E

F

K

2 3

C

KD ^ BC

│EK│ = 4 cm

│KF│ = 2 cm

& Yukarıdaki verilere göre, A (ABC) kaç cm2 dir?

B) 18 3

D) 24 3

│FC│ = 4 cm │BC│ = 3 cm

F

│DB│ = 3 cm

E

│KD│ = 2 3 cm

B

A) 15 3

x

4

D

ABC ve DFC birer üçgen & & A (AEF) = A (DBE)

A

KF // AC

4

2

29.

C) 21 3

D

3

3

C

Yukarıdaki verilere göre, │AF│ = x kaç cm dir? A) 3

E) 25 3

B

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

& & & & A (AEF) = A (BDE) & A (AEF) + S = A (BDE) 6 3 =3 3 2

4

7

│AB│ = 4 cm

30.

│AC│ = 7 cm

│BC│ = x cm

A

x

C

F

A) 30

B) 32

C) 35

D) 38

E) 40

B

4

3

BE ^ CF

E

│GE│ = 3 cm

G

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

ABC bir üçgen G ağırlık merkezi

B

CV

ABC çeşitkenar üçgen

A

V= 1 C 2

1 2

a2 3 = 25 3 4

a 3 =5 3 2

27.

& & A (ABC) = A (DCF)

3

│GF│ = 4 cm D

C

Yukarıdaki verilere göre, │GA│ kaç cm dir? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12


5

Tarama

31.

A


34.

A

│AB│ = │AC│

D

% m (BAC) = 30°

x

DE ^ AC

30°

E

F

C

ABC bir üçgen

│DE│ = 8 cm

│DF│ = 6 cm

│AB│=│BD│=│DE│=│EC│ % m (ABF) = 84°

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (ABC) kaç cm2 dir?

% Yukarıdaki verilere göre, m (BDE) = x kaç derecedir? A) 80

A) 16

B) 172

C) 180

D) 192

C

E

DF ^ AB

D

84° F B

B) 86

C) 92

D) 96

E) 100

E) 196

28 . 14 & = A (ABC) = 2

A

32.

2

E

ABC ikizkenar üçgen F

│CA│ = │CB│

4

│EB│ = │ED│ │AF│ = 2 cm

B

C

D

│EF│ = │BD│ = 4 cm

35.

A) 8

B) 6 2

C) 4 5

D) 9

25°

dış açıortay % m (ADB) = 25°

x

B

E) 10

[AD] ve [CD]

Yukarıdaki verilere göre, │AB│kaç cm dir?

ABC bir üçgen

D A

& & AEF , BEH

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACB) = x kaç derecedir? A) 45

B) 50

C) 55

D) 60

E) 65

5 5

A

33.


ADC dik üçgen

B

x

C

D

│DC│ = 2.│BD│

% Yukarıdaki verilere göre, m (ADC) = x kaç derecedir?

A) 45

B) 60

C) 64

D) 72

E) 80

36.

% % m (BAE) = m (CAD)

6


AB ^ AC

8

& & ABE , ACD

ABC dik üçgen

A

B

2 D

x

x

│AB│ = 8 cm C

│BD│ = 2 cm │AC│ = │DC│ = x


B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

Tarama A


40.

ED ^ BC

DF ^ AB

│BF│ = 2.│AE│

37.

E

F

B

Yukarıdaki verilere göre, A) 1

B)

C

D

3 2

D)

5 2

ABC bir üçgen │BD│ = 6 cm

x

│DC│ = 5 cm

x

B

│AC│ = 4 5 cm C

D

│AB│ = │AD│= x


ED oranı kaçtır? DF

C) 2

A

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

E) 3

ED 3k 3 t 3 = = = DF 2k 3 2k 2

A

38.

70°

ABC bir üçgen

41.

│AB│ = │AC│ – │DC│ W = 70° m (A)

W = 30° m (C)

B

D

x

30°

B) 30

C

16

E

B

5

F

D

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ . │AC│çarpımı kaç cm2 dir?

H

A) 30

B) 36

C

C) 40

42.

D) 42

E) 45

│BE│ = │EC│

│AB│ = 16 cm

│DE│ = 5 cm

A) 6

E) 10

ABC dik üçgen AB ^ AC

A

AD ⊥ BD

D) 9

│AH│ = 3 cm

B

C) 8

15°

Yukarıdaki verilere göre, │AC│ = x kaç cm dir? B) 7

% m (ACB) = 15°

E) 45

ABC bir üçgen % % m (BAD) = m (DAC)

x

D) 40

A

39.

C) 35

[AH] ^ [BC] 3

% Yukarıdaki verilere göre, m (CBD) = x kaç derecedir? A) 25

[AB] ^ [AC]

C

ABC dik üçgen

A

2

DE ^ BC

D 9 x B

│AB│ = 9 cm

10

│AD│ = 2 cm C

E

│DC│ = 10 cm │DE│ = x


B) 6

C) 7

D) 9

E) 9

& & CED + CAB x 10 = 9 15


7

Tarama

43.

A

40°

ABC dik üçgen AC = 3 AB

46. c

│AD│ = │AE│ % m (DAE) = 40°

B

D

C

E

ABC bir üçgen V = 65° m (B)

A

B

W = 50° m (C)

b

65°

50°

C

a

% Yukarıdaki verilere göre, m (BAD) kaç derecedir?

Yukarıdaki verilere göre,

A) 10

ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

B) 12

C) 15

AC V) = 3 & m (C AB

D) 18

E) 20

V) m (B

% m (BAD) +

A) a

% m (BAD) =

44.

ABC bir üçgen % % m (BAC) + m (ADC) = 180°

│AB│ = 9 cm

A

│a + c – b│ + │a – b│ + │c – b│ B) a + b

D) b – a

E) b – c

V = m (B V) m (A)

X V) < m (B) m (C

│BD│ = 6 cm

9

A

47.

ABC ikizkenar üçgen │AB│ = │AC│

B

6

D

C

x


A) 6

B)

13 2

% m (BAC) +

C) 7

D)

15 2

E) 8

x

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ kaç cm dir?

ABC bir üçgen F

K diklik merkezi % m (ACD) = 18°

48.

18°

│DA│ = │DK│

K

C

E

A) 51

B) 54

C) 60

D) 63

% % % % m (ABF) = 18°, m (DAK) = m (DKE) = 45° ve m (BKD) % % m (BKD) + m (DKA) +

8


C) 5 5

E) 72

D) 12

E) 6 5

5

5

A

ABC bir üçgen │AF│ = │AE│

E

│DE│ = │DF│ 3│AB│ = 2│AC│

% Yukarıdaki verilere göre, m (AKF) = x kaç derecedir?

B) 10

F

B

C

D

A) 4 5

D

│EC│ = 3 cm

3 B

A

│AE│ = 12 cm

E

15 6 9 = &x= 2 9 x+6

DE ^ AC

45.

│BD│ = │DC│

12

% m (BAC) =

& & ABD + CBA

C) c

B

4

D

C

x

│BD│ = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, │DC│= x kaç cm dir? A)

9 2

B) 5

C)

11 2

D) 6

E)

DB AB 4 2 = & = DC AC x 3

13 2

Tarama

49.

A

D 5

4

6

K

52.

KE // BC

│KD│ = 4 birim E

B

DK // AB

AH ^ BC E

│KE│ = 6 birim

│DE│ = 5 birim

20

Yukarıdaki şekilde K noktası ABC üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi olduğuna göre, │AC│ kaç birimdir? B) 14

C) 15

D) 16

A

50.

│AB│ = 20 cm

B

E) 18

C

H

Yukarıdaki verilere göre, │EC│ kaç cm dir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

│AB│ = │AD│= 17 cm

17

│BD│ = 16 cm

17

│DC│ = 6 cm

53.

A

ABC dik üçgen

B

D

C

6

& Yukarıdaki verilere göre, A (ADC) kaç cm2 dir?

A) 36

B) 42

C) 45

D) 48

E) 60

51.

ABC bir üçgen


% % m (ABG) = m (CBG)

D

G

C

│AE│ = 12 cm

C) 38

% m (ACB) = 15°

15°

B

C

E

B) 4

=

C) 3 2

A

│AB│ = │AC│ CH ^ AB

H

│AH│ = 5 cm │HB│ = 8 cm

8

B

E) 42

E) 4 2


5

D) 5

BD = 2

D) 40

│DC│ = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ = x kaç cm dir?

% m (ADB)

│BD│ = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir? B) 36

6

54.

DE // BC

E

B

A) 34

DE ^ BC

x

A) 3 A

│BE│ = │EC│

D

6 . 15 & = A (ADC) = 2

│FH│ = 2.│AF│

ABC bir üçgen

AH ∩ BE = {F}

F

C

A) 13


A

C

x

AD AD 2 2 = & = AB 3 AD + 4 3

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ = x kaç cm dir? A) 6 5

B) 14

C) 4 13 D) 15

E) 5 10

AE 2 12 2 = & = AC 3 AC 3 13 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

9

Tarama

55.

ABC bir üçgen

58.

ADE ikizkenar dik üçgen

% m (BAC) = 135°

A

Yukarıdaki verilere göre, │DE│ = x kaç cm dir? A) 6

x

E

8

B) 8

│CD│ = 6 cm

C │BD│ = 4 cm

B

D

% m (BCD) = 15° D

4

│EC│ = 8 cm

C) 6 2

D) 8 2

6

x

E) 12

15°

B

& & ABD + CAE

6 − 2

B)

4 a = &a=4 2 a 8

56.

A

│DC│ = 13 birim

│BC│ = x birim

B

C

x

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 15

57.

B) 16

C) 17

D) 18

│BD│ = 10 birim D

E) 19

[AE] ^ [BC]

C

E

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin çevresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaç birimdir? A) 26

B) 27

C) 28

D) 29

E) 30

a + c = 16 b + c = 17

c

b

A

60.

B

a

C

W < m (B) W B) m (A) W < m (C) W < m (B) V < m (C) V A) m (A)

W < m (C) W D) m (B) W < m (A) W V < m (A) V < m (C) C) m (B)

W < m (A) W < m (B) V E) m (C)

B

│AB│ = │EC│= 8 birim D

C

│AE│ = 2 birim │DE│ = x birim

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 9

B) 10

C) 11

D) 12

% % m (DFC) = m (BAC)

V) < m (A) V < m (B V) m (C LYS Geometri Planlı Ders Föyü

│BD│ = │DC│

F x

Yukarıdaki verilere göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

ABC bir üçgen % m (BAC) > 90°

E

10

[AC] ^ [BD]

F

a + b = 19

A

ABC bir üçgen

2+ 6

│AE│ = 6 birim

B

C) 3 2 − 6

2− 6

A

59.

│BA│ = │BD│

E)

6 =3 2+ 6

ABC bir üçgen │AD│ = 6 birim

D

3 2

5 2

D)

2. 2=8

C

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ = x kaç cm dir? A)

a


A

E) 13

Tarama

61.

A

E

x 21

7

C

D

64.

AB ^ AC

ED ^ BC

& A (DEC) = 7 cm2

4

B

ABC dik üçgen

A(ABDE) = 21

B) 9

C) 10

ABC dik üçgen │AB│ = │AD│ │DC│ = 6 cm

B


E) 12

C

D

│DE│ = 4 cm

D) 11

│BD│ = 4 cm

x

cm2

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ = x kaç cm dir? A) 8

A

B) 6 2

C) 4 5

D) 9

E) 10

& & CDE + CAB 7 4 2 1 4 2 =c m & =c m 28 x 4 x 5

1 4 = 2 x

&

A

65.

ABC bir üçgen

D

|AD│ = │DF│ = │FB│

E

A

62.

E

[BE] açıortay W = 2.m (E) V m (A) % m (ACE) = 70°

D

70° x

B

ABC bir üçgen

B) 40

V m (A)

D) 50

A

C) 18

D) 20

E) 24

E) 55

[BE] açıortay x

│AD│ = │DB│

E

70°

B

C

│AE│ = │EC│ % m (ACB) = 70°

ABC dik üçgen

A

│AC│ = 2.│AB│

% m (ADB) = 45°

│DC│ = 4 cm B

ABC bir üçgen

B) 15

m (EU)

63. D

C

x

8 1 = x 3

66.

│FG│ = 4 cm

G

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ = x kaç cm dir? A) 12

C

C) 45

4

B

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACB) = x kaç derecedir? A) 35

DE // FG // BC F

45° H

D

4

C

& Yukarıdaki verilere göre, A (ABC) kaç cm2 dir? A) 10

B) 12

C) 15

D) 16

E) 20

h k h 1 = = & h + 4 2k h+4 2

% Yukarıdaki verilere göre, m (ADE) = x kaç derecedir? A) 30

B) 35

C) 40

D) 45

E) 50 BC . h 10 . 4 & = = 20 A (ABC) = 2 2


11

Tarama

67.

ABC dik üçgen

70.

│DC│ = 2│BD│

│AB│ = 7 birim

A

7

x

25

│AC│ = 25 birim │AD│ = x

B

B) 4 6

=

C) 10

D)

E

8

D

6 E

12

B) 10

ABC bir üçgen

AD // BC % % m (BAC) = m (CAD)

│AB│ = 12 cm

│AD│ = 8 cm

x

│AE│ = 6 cm

B, E, D doğrusal

B

C

AC ∩ DF = {E}

C) 9

│FB│ = 12 cm │BC│ = 6 cm

B

Yukarıdaki verilere göre, │AF│ = x kaç cm dir?

6

A) 3

D) 10

C

B) 4

E) 11

ABC bir üçgen

72.

[AD] kenarortay

DE // CL

2.│AL│ = 3.│LE│

│KC│ = 14 cm

Yukarıdaki verilere göre, │DE│ = x kaç cm dir?

L

B

A) 6

K 14 C

D

B) 8

C) 9

AL AL KL 3 KL 3 = , = = & LE 2 DE AE DE 5

2

C) 5

=

│CD│ = 2 cm

D) 6

E) 7

1. 2

D) 10

E) 12

A

ABC bir üçgen [AD] açıortay

6

B

│AB│ = 6 birim

x

│AC│ = 9 birim


C

D

│AD│ = x birim

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 4

B) 5

t 9−t 18 = &t= 6 9 5

12

D

8 6 = 12 x

A

E

& & A (AFE) = A (CDE)

E 12

1. 2

B) 8

birer üçgen

F

A) 7

E) 16

ABC ve BDF

& & A (AFE) + S = A (CDE) + S

69.

D) 14

x

Yukarıdaki verilere göre, │EC│ = x kaç cm dir?

& & ADE + CBE

C) 12

A

71.

│AC│ = 6 cm

24 =8 3

% m (ACB) = 50°

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ = x kaç cm dir?

A

50° C D

25°

B

113 E) 11

= 113

68.

% m (ABC) = 25°

6

A) 8

Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? A) 9

ABD dik üçgen

C

D

ABC bir üçgen

A

C) 6

36 5

D) 7

E) 8

Tarama A

73.

8

6

B

C

E

ABC dik üçgen

76.

AD ^ BC

│AB│ = │AD│

│AB│ = 8 cm

ABC bir üçgen │AB│ = │AC│= 15 cm │BD│ = 14 cm

x

│DC│ = 4 cm B

│AC│ = 6 cm

A

C

D

D

& A (ABE) Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? & A (BDE) A) 1

B)

Yukarıdaki verilere göre, │AD│ = x kaç cm dir? A)

25 2

B) 13

1 2 3 4 C) D) E) 2 3 2 3 =

24 & A (ABE) 5 = 3 = & A (BDE) 16 2 5

=

C)

G

F

ABCD dik üçgen

DEFG bir kare

│FG│ = 12 cm

│EC│ = 20 cm

B

x D

E

C

20

B) 7

C) 7,2

D) 7,5

E) 8

│AE│ = 6 cm

6 E

│DE│ = 3 cm

x

│CD│ = 4 cm

3 D

C

4

olduğuna göre, │AD│ = x kaç cm dir? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

& & AED + ADC

x 12 = & 12 20

3 6 = 4 x

A

75.

ABC dik üçgen [AB] ^ [AC]

x

6

29 2

ABC bir üçgen

Yukarıdaki şekilde % % % m (BAD) = m (DAC) = m (BDE)

& & GBD + CFE

A

B

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ = x kaç cm dir? A) 6,4

E)

24 24 16 = , ED = 8 − 5 5 5

A 12

D) 14

14 + 4 =9 2

77. 74.

27 2

B

5

C

H

[AH] ^ [BC]

78.

│AC│ = 6 cm

│BH│ = 5 cm

B) 2 5

C) 5

D) 2 7

E) 4 2

[AD] açıortay

6 E

x

DE // AB │AE│ = 6 cm

8 B

C

D

│EC│ = 8 cm


5

ABC bir üçgen

Yukarıdaki verilere göre, │AH│ = x kaç cm dir? A) 4

A

B)

19 2

C) 10

D)

21 2

E) 11

6 8 21 = &x= x 14 2


13

Tarama

79.

A

N

M

L

K B

C

ABCD dik üçgen

82.

[BM] ve [CN]

kenarortay

│BK│ = │KG│

│CL│ = │LG│

│BC│ = 12 cm

Yukarıdaki verilere göre, KLMN dörtgeninin çevresi kaç cm dir? A) 16

B) 18

C) 20 =

D) 22

A

│BC│ = 3.│DC│

12

│AC│ = 12 cm B

D

C

x

│DC│ = x cm

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 4 2

E) 24

ABC bir üçgen % % m (ABC) = m (DAC)

B) 6

C) 3 5

D) 4 3

E) 7

& & ADC + BAC

BC =6 2

x 12 & & 12 3x 3

83.

A

80.

ABC bir üçgen % % m (ABC) = m (ACD)

4

│AC│ = 6 cm

D

6

│AD│ = 4 cm

x B

C

9

B) 4

C) 5

│BC│ = 14 cm B

D) 6

│AB│ = 6 cm

6

Yukarıdaki verilere göre, │CD│ = x kaç cm dir? A) 3

ABC bir üçgen W V = 2.m (C) m (B)

│BC│ = 9 cm

A

C

Yukarıdaki verilere göre, A noktasının [BC] kenarına uzaklığı kaç cm dir? A) 4

E) 7

B) 3 2

4 x = & 6 9

84. ABC bir üçgen

D

DE // BC & A (BDE) = 10 cm2 & A (BCE) = 15 cm2

E 10 15

B

A

C) 25

& A (ADE) AD AE x x + 10 = = & DB EC 10 15

14


D) 30

E) 36

4.│AD│ = 3.│DC│

D

DE ^ BC

│BC│ = 12 cm

B

C

E

│DE│ = 4 cm

& Yukarıdaki verilere göre, A (ABC) kaç cm2 dir? A) 24

B) 20

ABC bir üçgen

C

& Yukarıdaki verilere göre, A (ADE) kaç derecedir? A) 15

E) 4 2

5

A

D) 3 3

% % m (DAC) = m (ACB) =

& & ACD + ABC

81.

C) 2 5

B) 30

C) 36

& 12 . 4 = A (DBC) = 2 4. & A (ABC) 7

& A (ABC) =

D) 40

E) 42

Tarama

85.

A

ABC bir üçgen

88.

74°

│BE│ = │EC│

DE ^ BC

│AB│ = │DC│

B

% m (BAC) = 74°

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACB) = x kaç derecedir?

D

C

E

A) 27

B) 30

C) 34

D) 37

E) 40

A

ABC bir üçgen │AD│ = │DC│ │AB│ = 10 birim

D

│BC│ = 14 birim

x B

│BD│ = x birim

C

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

% m (ADB) =

89.

A

ABC bir üçgen

A

86.

ABC bir üçgen

8

BCD dik üçgen

13

B

│AB│ = 8 birim

C

│BD│ = 24 cm

BD ^ BC

ABD ikizkenar dik üçgen

x B

C

D

│DC│ = 4 cm


B) 19

C) 20

D) 21

E) 24

│AC│ = 13 birim

x D

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ nin en büyük tam sayı değeri için │DC│ nin en küçük tam sayı değeri kaçtır? A) 22

B) 21

C) 18

D) 15

E) 14 A

90.


[BD] ve [DE] E

87.


A

açıortay D

│AC│ = 16 cm

│DC│ = 6 cm

B

x

C

x

16

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ = x kaç cm dir? A) 6 + 6 3

B

│BE│ = 6 3 cm

6 3

C

D

B) 6 + 8 3

D) 4 + 8 3

Yukarıdaki verilere göre, │AD│ = x kaç cm dir? A) 12

B) 13

3

C) 14

D) 15

C) 9 + 6 3

E) 6 + 4 3

3

E) 16

3 =

9+3 3 = 3 3+3 3 3

3


15

Tarama

91

A

94.

[AB] ^ [BC]

5

ABC dik üçgen E

[DE] ^ [AC]

x

D B

│AB│ = 12 cm

B


13 D) 2

C) 6

FE / AB │EF│ = 2.│DE│

C

11 B) 2

Yukarıdaki verilere göre, │DE│ kaç cm dir?

E) 7

A) 2

B)

95. A

7 2

D)

E) 4

A

ABC ve BDE birer dik üçgen

[CD] açıortay

│AE│ = │EB│

[BF] ∩ [CD] = {E}

│BE│ = │EF│

D

│BC│ = 6 cm

E

│CD│ = 9 cm

% m (ABC) = 80°

E

B B

C) 3

x F

5 2

ABC bir üçgen

C

E

5 x = x + 4 12

& & AED + ABC

92.

DE // AC

F D

│BD│ = 4 cm

4

% % m (ABC) = m (ACB)

│EC│ = 7 cm

7

ABC bir üçgen

│AE│ = 5 cm

A

6

C

D

9

C

% Yukarıdaki verilere göre, m (AFD) = x kaç derecedir? A) 80

B) 90

C) 95

D) 100

Yukarıdaki verilere göre, │AC│ kaç cm dir?

A) 11

B) 12

D) 14

6 2x = x 15

& & ABC + DBE

E) 120

C) 13

E) 15

5

5 A

ABC bir üçgen

D

B) 4 5

C) 9

D) 4 6

B

E) 10

x

│AC│ = 10 cm

10

6

Yukarıdaki verilere göre, │GC│ = x kaç cm dir? A) 6 2

AH ^ BC

│AC│ = 12 cm

C

AB ^ AC

A

│AH│ = 6 cm C

H

Yukarıdaki verilere göre, │BH│ = x kaç cm dir? A) 3

B)

7 2

C) 4

5

x=

9 2

82. D 83. C 62. B

61. A

84. E

63. C 64. C 43. A 23. B 3. E

85. D 65. E

44. D 45. D 24. E 4. A

25. B 5. C

86. B 66. E 46. A 26. E 6. C

87. C

88. B

89. C

90. A

67. D 68. C 69. D 70. C 47. E 27. D 7. D

48. D 49. C 50. C 28. E 8. C

29. B 9. E

30. C 10. B

91. C 92. D 71. B 51. E 31. E 11. A

93. B

94. E

72. D 73. D 74. C 52. E 32. C 12. E

53. A 33. B 13. B

54. C 34. D 14. B

95. B 75. B 55. B

96. D 76. B

60. A 40. C 20. A

19. C

15. A

16. B

37. B 17. A

58. C

80. D

79. A 39. A

36. D

57. E

78. D

59. B

35. B

56. C

77. A


9 2

81. B

16

D)

2. A

B

│BC│ = 16 cm

1. E

x

96.

42. B

AG ^ BG

22. D

E G

21. E

41. B


E) 5

Cevaplar

93.

38. A 18. A

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

02

TARAMA

1.

2x–y–2=0 D

O

D köşesi 2x – y – 2 = 0 doğrusu üzerinde bulunan şekildeki ABCD karesinin B köşesi (7, 0) noktasıdır.

y C

A

y x + =1 − 10 5

B(7,0) x

−a b + =1 − 10 5

Buna göre, karenin alanı kaç birimkaredir? A) 9

B) 16

C) 20

D) 25

E) 36

10 . 5 − 2

4.

(m – 2)x + (m + 1)y + m – 3 = 0

doğrularının kesim noktasından ve orijinden geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

2. P(1, –2) noktasına,

A) x – 2y = 0

B) x – 3y = 0

C) x + 2y = 0

D) x + 3y = 0

doğrusunun en yakın noktasının koordinatlarının çarpımı kaçtır?

x+y–9=0

A) 3

B) 9

C) 18

D) 20

E) x + 4y = 0

E) 24

5. Denklemi 2x – y + 1 = 0 olan doğrunun, A(2, –1) noktasına göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x – y – 1 = 0

B) 2x – y – 3 = 0

C) 2x – y – 11 = 0

D) 2x – y – 13 = 0

3.

y

D C E –10

AOBC dikdörtgen

d

D(0,5)

5

E) 2x – y – 15 = 0

E(–10,0)

B

A

O

x

Yukarıdaki şekilde AOBC dikdörtgeninin çevresi 16 birim olduğuna göre, boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir? A) 10

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

1

Tarama

6. Analitik düzlemde, A(–1, 2) ve B(3, 7) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x – 8y – 49 = 0

B) 8x + 10y – 53 = 0

C) 5x – 4y – 27 = 0

D) 3x – 4y + 28 = 0

B

A(3 3 , 9) A(3 3,9)

O

E) 8x + 5y – 43 = 0

(x + 1) 2 + (y − 2) 2 = (x − 3) 2 + (y − 7) 2

x

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ kaç birimdir? A) 5

7.

B) 4 2

C) 6

D) 3 5

E) 7

OABC eşkenar dörtgen

y C(3,4)

OA ^ AB

y

9.

B

C(3, 4)

10. A(1, 2) noktasından geçen ve O

A

x

doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Yukarıdaki verilere göre, AC doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x + y – 5 = 0

B) x + 2y – 10 = 0

C) 2x + y – 10 = 0

D) 2x – y + 5 = 0

3x – 2y – 4 = 0

A) 3x – 2y + 1 = 0

B) 2x – 3y – 1 = 0

C) 3x – 2y – 1 = 0

D) x – y + 2 = 0

E) 2x – 3y + 1 = 0

E) x + 2y + 5 = 0

x−5 y−0 = 5−3 0−4

8. A(5, –7) noktasının 11.

x–y+4=0

doğrusuna göre simetriği olan nokta aşağıdakilerden hangisidir? A) (–7, 5)

B) (–10, 8)

D) (2, 5)

C) (2, 3)

E) (–11, 9) b−7 a+5 +4 = 2 2 b+7 =− 1 a−5

2


x–

3 y + 5 = 0 ve x + y – 2 = 0

doğruları arasında kalan dar açının ölçüsü kaç derecedir? A) 15 3

B) 30

C) 45 1 3 = 3 3

= =

3 3

D) 60

E) 75

Tarama y

12.

y 1 y= x 3

düzgün altıgen

D

│AB│ = 6 birim

F

C

A

O

15.

ABCDEF E

6

B

O

x

Yukarıdaki verilere göre, D noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (6, 6 3 )

B) (8, 6 3 )

C) (9, 6 3 )

D) (9, 4 3 )

x=3

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 10

B) 11

E) (9, 8 3 )

C) 12

3

16.

göre simetriği C noktası olduğuna göre, │BC│ kaç birimdir?

C) 5

D) 6

E) 8


B

C

D

B) 42

C) 48

D) 54

E) 60

20 & = 10 A (AGE) = 2 & A (ABC)

3x – 4y – 12 = 0

17.

y

OC ^ AB

O

C(4, –2) O

x

B

doğrusuna teğet olan şekildeki çemberin yarıçapı kaç birimdir? A)

3 2

B) 2

x

C(4,–2)

3x–4y–12=0

G(1, –1)

& Yukarıdaki verilere göre, A (ABC) kaç birimkaredir?

Koordinat eksenlerine ve

E(3, 2)

G(1,–1)

(2 + 2) 2 + (− 3 + 3) 2 = 4 2 = 4

y

A(–1, 6)

E(3,2)

A) 36

14.

E) 14

ABC bir üçgen

A(–1,6)

13. A(2, 3) noktasının x eksenine göre simetriği B, orijine

B) 4

D) 13

(1 + 3) . (9 − 3) = 12 2

3+3 3 = 6 3

A) 3

x

x=9

C)

5 2

D) 3

E)

7 2

A

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ kaç birimdir? A) 9

− r − 12 3r − 4r − 12 =r& 5 5

=

B) 4 6

C) 10

D) 11

E) 5 5

−2 − 0 1 =− 2 4−0

5 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

3

Tarama

18. t∈R için,

A(2t, 3t – 2)

noktalarının geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x – 2y + 4 = 0

B) 3x – 2y – 4 = 0

C) 3x + 2y + 4 = 0

D) 3x – 2y – 6 = 0

21.

A(1 – m, 2)

B(3, m)

olmak üzere,

[AB] doğru parçasının orta noktası koordinat eksenlerine eşit uzaklıkta olduğuna göre, m kaçtır? A) –1

E) 3x – 2y + 6 = 0

22.

Köşeleri

A(3,7)

A(3, 7) B(–2, 1)

D

c

B) –25

=−

noktaları olan şekildeki ABC üçgeninin │BD│ = Vb kenarortay uzunluğu kaç birimdir? B) 6

C) 3 5

D) 7

3 2

E) 2

doğrusunun orijine en yakın noktasının apsisi –3 olduğuna göre, k kaçtır?

A(7,–3)

A) 4 2

D)

C) –15

D) 15 =

B(–2,1)

C) 1

3x – 4y + k = 0

A) –50

C(7, –3)

Vb

1 2

1−m+3 2+m c m , 2 2 4−m 2+m = 2 2

x =t 2 y+2 =t 3 x y+2 = 2 3

19.

B) –

4 3 4 =− 3

E) 25

3 4 =−

4 3

E) 5 2

3+7 7−3 m= , 2 2 (− 2 − 5) 2 + (1 − 2) 2 = 5 2

20.


x

E

D

A) c

5

B) 2 2

9

x

D) 3

E) 4

d2

Şekilde verilenlere göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 60

2−5+6 5+1+3 m= , 3 3 5


B(0, 9)

d1

C(6,3)

C) 2 5

A(10, 9)

A(10,9)

O

(2 − 1) 2 + (5 − 3) 2 =

4

A∈d2

Yukarıdaki verilere göre, │AG│ = x kaç birimdir?

d1 // d2

G B(–5,1)

y

23.

ABC bir üçgen

A(2,5)

B) 72

C) 84

D) 90

E) 108

Tarama

24.

y D

│OA│ = 3 birim

9

│OD│ = 9 birim

B

O

uzaklığı B(1, 7) noktasına olan uzaklığına eşittir.

│AD│ = 2.│AB│

27. A(a, 5) noktasının koordinat başlangıcına (orijine) olan

ABCD dikdörtgen

C

3

A

H

Buna göre, a kaçtır? A) –10

B) –6

C) –3

D) 2

E) 3

a 2 + 5 2 = (a − 1) 2 + (5 − 7) 2

x

Yukarıdaki verilere göre, B noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

28.

A

& & AHB + DOA BH k = 3 2k +

=

3 2

AH k = 9 2k

=

F(–1,2)

9 2

9 15 = 2 2

E(1,1)

B 15 3 + =9 2 2

C

D(0,–1)

Şekilde kenarlarının orta noktaları verilen ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) 15

25. A(–3, 2) noktasının,

4x – 3y + a = 0

doğrusuna uzaklığı 4 birim olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 32

B) 34

C) 36

D) 38

E) 40

− 12 − 6 + a = 16 + 9

29.

26. OAB ve OCD birer üçgen B

O

5x + 2y – 1 = 0

doğrularının kesim noktası ile A(1, 1) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 9y + 8 = 0

B) x + 7y – 8 = 0

C) 2x – 17y + 13 = 0

D) 4x + 11y – 9 = 0

E) 13x + 6y – 19 = 0

C(3, 0)

E(a,b)

3x + 20y – 17 = 0

A(2, 0)

D

[AB] ∩ [CD] = {E}

y

& 5 A (DEF) = 2 & = . 5 = A (ABC) 4 c m 10 2

B(0, 3)

A

C

x

D(0, 2)

Yukarıdaki verilere göre, a + b toplamı kaçtır? A)

8 5

x y + =1 2 3 x y + =1 3 2

B) 2

C)

12 5

D) 3

E)

16 5

5x 5y + =2 6 6 =

12 5 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

5

Tarama

30.

y

A

B

│AB│ = │BO│

33.

│OC│ = │CD│

AC ∩ BD = {E}

ABCD bir kare

C

A(4, 0) D

B

E

C

O

D

O

x

Şekildeki boyalı iki bölgenin alanları toplamı 18 birimkare olduğuna göre, A(OCEB) kaç birimkaredir?

y

A) 15

B) 18

C) 20

D) 24

A(4,0)

x

& Yukarıdaki verilere göre, A (BOA) kaç birimkaredir? A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

& & DOA , AHB

E) 36

& 4.4 = A (BOA) = 8 2

34. Analitik düzlemde,

Boy (m)

31.

Şekildeki grafik bir ağacın yıllara göre boyunun değişimini göstermektedir.

13

A(–3, 2)

B(5, k)

noktaları arasındaki uzaklık 10 birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) –4

B) –2

C) 4

D) 8

E) 12

(− 3 − 5) 2 + (2 − k) 2 = 10

4 O

Yıl

6

Buna göre, 16. yılın sonunda ağacın boyu kaç m olur?

A) 20

B) 24

C) 28

D) 30

E) 36

35. Köşeleri A(0, 3), O(0, 0), B(8, 3) olan AOB üçgeni y−4 x−0 = 4 − 13 0 − 6

doğrusu ile alanları eşit iki parçaya bölündüğüne göre, a kaçtır? A) –

A(2, k)

B(–1, 3)

C(–4, 5)

noktaları doğrusal olduğuna göre, k kaçtır? B) 2

C) 3

k−3 3−5 = 2 − (− 1) − 1 − (− 4) k − 3 −2 = 3 3

6

1 4

3 8

B) –

C) –

1 1 3 D) E) 2 4 8 c

32.

A) 1

y = ax + 3


D) 4

E) 5

3 = 2 −

3 = 2 =−

3 8

0+8 0+3 3 m = c4 , m , 2 2 2

Tarama


noktası ile

39.

A(x + 3, 2x – 13)

A(3,4)

d2

noktası aynı bölgededir.

Buna göre, x in alabileceği tamsayı değerlerinin toplamı kaçtır? B) 15

C) 16

D) 17

<

37.

13 2

d1

E) 18

Yukarıdaki verilere göre, boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

=

d1 // d2

C(7,6)

C(7, 6)

D(–1, 2) d2

x

B) 15

C) 16

D) 18

E) 20

13 2

D(–1,2)

d1

A∈d2

–4

A) 12 <

6

O

B(1, –3)

A) 14

d1 // d2

y

A

B

x–2y–3=0

Yukarıdaki şekilde, [AB] kenarı d2 doğrusu üzerinde bulunan ABCD paralelkenarının C(7, 6) köşesi ile D(–1, 2) köşesi d1 doğrusu üzerindedir.

−4 − 0 2 = 3 0−6 2 = 3 4 .6 2 .3 + = 15 2 2

40. İki köşesi,

d1 : 3x – 4y – 8 = 0

doğrusu ve üçüncü köşesi de

d2 : 3x – 4y + 7 = 0

d2 doğrusunun denklemi,

doğrusunun üzerinde bulunan eşkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 3

olduğuna göre, paralelkenarın alanı kaç birimkaredir?

x – 2y – 3 = 0

A) 16

B) 20

= 8

=

C) 28

D) 32

E) 48

2+ 2

41.

7 − 12 − 3 8 = 1+4 5 8 = 32 5


A(–2a + 7, –a + 2)

noktası koordinat sisteminin dördüncü bölgesinde olduğuna göre, a için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a < –2

B) –

7 2

D) 2 < a <

−8 − 7 =3 5

C) 4

D) 3 3

a 3 =3 2

3

E) 6

a 2 3 12 3 = =3 3 4 4

4 =4 5

5.

<

=

B) 2 3

7 < x < 2 2 E) a >

C) 0 < x < 2 7 2

x = 3k – 2

y = 4k + 1

olmak üzere,

(x, y) noktalarının oluşturduğu doğruya paralel olan ve A(1, 2) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x + 4y + 6 = 0

B) 4x – 3y + 2 = 0

C) 4x – 3y – 2 = 0

D) 4x + 2y + 1 = 0

E) 4x – 3y – 1 = 0

x+2 y−1 = 3 4

x+2 =k 3 y−1 =k 4 4 3

4 3

7 2 <

7 2

=


7

Tarama


45.

d

A(0, 6)

B(8, 0)

[AB] doğru parçasın orta dikmesinin x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır? A)

olmak üzere,

C

–12

13 17 21 25 7 B) C) D) E) 4 4 4 4 4 =− =

3 4

B

A

O

x

d doğrusunun x ekseninin kestiği noktanın apsisi –12 olduğuna göre, y ekseninin kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

4 3 =

4 3

A) 4

B) 5

C) 6

7 = 4

D) 8

E) 10

y x + =1 − 12 b

43.

A(3, –1)

B(–1, 5)

noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerinin denklemi hangisidir?

−3 3 + =1 − 12 b

A) 3x – 2y + 4 = 0

B) 2x + 3y – 4 = 0

C) 2x – 3y = 0

D) x – y + 2 = 0

Bir köşesi d doğrusu üzerinde bulunan şekildeki AOBC karesinin alanı 9 birim karedir.

y

46.

x+y≤6

x≥0

y≥0

eşitsizlik sisteminin analitik düzlemde belirttiği bölgenin alanı kaç birimkaredir?

E) 2x – 3y + 4 = 0

A) 18

B) 16

C) 14

D) 12

E) 10

= (x − 3) 2 + (y + 1) 2 = (x + 1) 2 + (y − 5) 2

6 .6 = 18 2

44. Analitik düzlemde köşe koordinatları,

A(–2, 3)

B(8, 7)

C(6, –1)

olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin orijine olan uzaklığı kaç birimdir?

noktasının x eksenine göre simetriği B noktası, B noktasının y = 2 doğrusuna göre simetriği C noktası olduğuna göre, A noktası ile C noktası arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 2 6

A) 2

47.

B) 5

C) 2 7 D)

30

E) 6

A(–1, 2)

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

− + + + − a 2 8 6 , 3 7 1k = G 3

3

= 0 + (2 − 6) 2 = 4

34. C

33. A

18. B

17. E

2. C

1. B

35. B 19. E 3. C

36. E 20. A 4. E

37. D 21. C 5. C

38. D 22. E 6. B

39. B 23. D 7. C

40. D 24. B 8. E

41. B 25. C 9. C

42. A 26. C 10. A

43. E 27. A 11. E

44. B 28. C 12. C

45. A 29. A 13. B

46. A 30. B 14. D

47. B 31. C 15. C


Cevaplar

32. A 16. E

8

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

03

TARAMA

1.

ABCD ikizkenar yamuk

4.

DC // AB

|AB| = 16 cm

|CD| = 8 cm

|BD| = 13 cm

D

C

A

B

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 40

B) 48

C) 56

D) 60

D

3

E

C

ABCD dikdörtgen [AE] ^ [BE] |AD| = 6 cm

6

|DE| = 3 cm A

B

& Yukarıdaki verilere göre, A _BCEi kaç cm2 dir? A) 18

B) 36

C) 48

D) 60

E) 72

E) 64 12 $ 6 A (& BCE ) = 2

5.

ABC bir üçgen

A

BDEF eşkenar dörtgen

F

12

2.

D

E

ABCD bir kare

C

6

|AB| = 12 cm D

B

|AH| = 4 cm

H

|DC| = 3|BD|

x

BH ^ AE

A, F, D doğrusal

E

|HE| = 6 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, |EC| = x kaç cm dir? A) 12

B) 15

C) 18

D) 20

E) 24

4 A

12 = a 3a AC

B

AE = a 3a AC

& Yukarıdaki verilere göre, A (ADE) kaç cm2 dir? A) 20

B) 21

C) 54

D) 30

E) 36

6.

& + BHA & ADE x 10 4= a &) = a $ x A (ADE 2

C

18° < a < 24° olduğuna göre, bu çokgen en az kaç kenarlıdır? C) 16

1 1 1 360° 360° 18° > α > 24 & 18° > n > 24°

D) 18

E) 19

ABCD paralelkenar A(ABCD) = 120 cm2

|KH| =

1 |AB| 4 1 |EF| = |DC| 5

3. Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü a dır.

B) 15

F

A) 12

E

D

A

36 - x = 1 36 3

K

H

B

Yukarıdaki verilere göre, EKHF dörtgeninin alanı kaç cm2 dir? A) 20

B) 24

C) 27

D) 30

E) 36

&) + A (& A (EKH HEF ) 1 1 +1 1 2 $ 4a$h 2 $ 5 a$h+ a$h 8 10


1

Tarama

7.

D

C

8

10.

[AB] // [CD]

EB ^ AB

|AD| = |BC|

|BE| = 2 3 cm

m (\ ABD) = 30°

ABCD paralelkenar


D

E

C

2 3

|BD| = 8 cm 30° 4 3

A

A

B

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir?

A) 16

B) 18

C) 16 3

B

\ ) oldu\ ) = m (EAD \ ) = m (CBE Yukarıdaki şekilde m (EAB

ğuna göre, paralelkenarın çevresi kaç cm dir?

D) 20 3 E) 24 3 A) 16

B) 18

C) 20

D) 24

E) 30

4 3 4 3 = 16 3

8.

E

ABCD paralelkenar

11.

x

[BE] açıortay

C

D

m (W A) = 50°

DF ^ AB E

x

A

A) 45

\) = x m (DEK

F

B) 50

C) 55

D) 60

B


E) 65

B) 40

\) m (EAK

m (\ AEK ) = m (\ AKE ) =

9.

D

C

7

DC // AB \) = 2m (\ m (CDA ABC)

12.

|AB| = 12 cm

|BC| = 7 cm

A

D

12

C) 42

D) 45

E) 48

180° - 48° 2

C

ABCD kare |CE| = |CF| A(AFCE) = A(FBC)

E

|DC| = 12 cm

B

Yukarıdaki verilere göre, ABCD yamuğunun çevresi kaç cm dir? A) 24

2

m (\ AKF) = 30°

B

Yukarıdaki verilere göre, m (\ AEB) = x kaç derecedir?

K ∈ [DF]

30°

50°

C K

A

ABCDE düzgün beşgen

D

B) 27

C) 29


D) 31

E) 33

A

x

F

B

olduğuna göre, |AF| = x kaç cm dir? A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Tarama

13.

E 3

3

D

C

F

ABCD bir kare

16.

DE ^ EC

[BE] ∩ [DC] = {F}

|DE| = |EC| = 3 cm

D

ABCD paralelkenar

C

|BE| = |EC| [AB ∩ [DE = {F} E

Taralı alan 18 cm2

x A A

B


Yukarıdaki verilere göre, |BF| = x kaç cm dir?

A) 36

A) 2 3

& ECD , & EBF

B) 3

C) 2 5

D) 4

F

B

B) 54

C) 72

D) 90

E) 108

&) = A (& A (EBD ECD)

E) 3 2 3 5 3 2 2

3 2 & EHF + & BCF 3 2 EF EH EF 1 = & x = 2 =2 BF BC 3 2

F

E

ABCD dikdörtgen \) = m (BEC \) m (DEC

C

60°

m (\ ADE) = 60°

E

|EF| = 10 cm A

B

Yukarıdaki verilere göre, |AB| + |CD| toplamı kaç cm dir? A) 24

B) 30

C) 32

D) 36

E) 40

AD 2

B

ABCD dikdörtgenin çevresi 18 cm olduğuna göre, & A (CDE) kaç cm2 dir? A) 9

B) 10

&) = A (CDE

C) 12

D) 15

E) 18

A (ABCD) x $ 2x = 2 2

18.

D

C

15.

D

C

ABCD eşkenar dörtgen

12

K

A

H

B) 5

A

A(ABCD) = 120 cm2

D) 7

E) 8

17

B

Yukarıdaki şekilde A ve D açılarının açıortaylarının kesim noktası E, B ve C açılarının açıortaylarının kesim noktası F dir.

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir?

B

C) 6

F

KH ^ AB

Yukarıdaki verilere göre, |KH| = x kaç cm dir? A) 4

|BC| = 9 cm

x E

|BC| = 12 cm x

ABCD bir paralelkenar |AB| = 17 cm

[AC] ∩ [BD] = [K}

|BF| = |FC| |AD| = 12 cm

G

D

A

ABCD bir yamuk [AE ve [DE] açıortay

2 5

C

5

14.

D

17.

A) 5

B) 6

9+ +9 2 x 2

C) 7

D) 8

E) 9

9 2


3

Tarama E 19. A D 5 3 B C

d

ABC bir üçgen

22.

[AB] ^ [AC]

|AB| = |AC|

[BE] ^ d

[CD] ^ d

A) 24

B) 26

[AC] açıortay 8

|BC| = |BE|

6

A, B, E doğrusal |AC| = 8 cm

A

|BE| = 5 cm


|CD| = 3 cm

C) 28

ABCD paralelkenar

C

E, A, D doğrusal

D) 30

B

A) 12

Yukarıdaki verilere göre, A(BCDE) kaç cm2 dir?

D

E) 32

E

B) 16

|CE| = 6 cm

C) 18

D) 24

E) 36

8$6 2

& & ABE , CAD

8$8 2

23. 20.

A

D

2 E

7

12

F

B

|AB| = |DC|

AD // BC

EF ^ AB 7


D

9

ABCD dik yamuk

C

AC ^ CB |AD| = 6 cm

6

|CD| = 9 cm A

B

|DF| = |FC| = 7 birim

|EF| = 12 birim

C

|AE| = 2 birim

Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

Yukarıdaki verilere göre, ABCD dörtgeninin çevresi kaç birimdir?

A) 40

B) 44

C) 48

D) 52

E) 54

D

24.

K

C

ABCD ve EFKL birer kare m (\ AEL) = 15°

21.

D

C


L

[BD] köşegen

15° A

|BD| = 15 cm

|DH| = 12 cm A

H

A) 130

B) 140

7 2

C) 150

7 2 25 2

25 2

4

B

E


B


6

DH ^ AB

15

12

|EF| = 6 cm

F


D) 160

E) 180

A) 48

B) 54 6 4

C) 60

D) 64

3 9 1 A (& AEL) = 2 $ 6 $ 2 = 2

3 2

A (& AEL) 9 2

E) 72

Tarama

25. D

C

9

F

x

E

28.

BE ^ CE

DF ^ CE

ABCD paralelkenar

C

|BE| = |EC|

F

[AC] ∩ [DE] = {F} A(ABCD) = 120 cm2

E

|DF| = 9 cm

4

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? B) 4

B

A

B

A) 3

D

|BE| = 4 cm

A

ABCD bir kare

C) 5

D) 6

Yukarıdaki verilere göre, A(ABEF) kaç cm2 dir? A) 36

E) 7

B) 40

C) 45

D) 48

E) 50

& EBC , & FCD &) A (OAB

26.

D

C

120 + 60 4 a 6 k$ 2

ABCD

eşkenar dörtgen

AC köşegen \ ) = 3 $ m (\ m (CDE ADE)

5

|AE| = 5 cm

E

A


B) 196

|EC| = 13 cm

C) 200

D


C

B

29.

|AF| = |FD|

D) 216

|AE| = |EB|

F

3k 2

E) 240 A

AC $ BD 2 18 $ 24 2

[BD] ∩ [EC] = {K}

K

B

E

Yukarıdaki verilere göre, A)

3 2

B)

5 3

EF BK

C) 2

oranı kaçtır? D)

5 2

E) 3

3k EF = 2 =3 2 k BK D

27.

C

ABCD bir yamuk

[DC] // [EF] // [AB] E

[EF] ∩ [AC] = {K} & A ^ AKEh = 4 cm2 &i B A _CFK = 12 cm2

|DE| = 2 . |EA|

F

K

A

2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm dir? A) 63

B) 65

C) 68

A (& AKE) k 2 4 1 =a k & = 3k A (ACD) 9 A (& ACD) & A (& ACD) A (& CFK ) 2k 2 12 4 =a k & & = & 3k A (CAB) A (CAB) 9 &) & A (CAB

D) 72

30. D

E

C

[AE] ve [BE] açıortay

15

|AE| = 15 cm

8

E) 75

|BE| = 8 cm A

ABCD paralelkenar

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (BCE) kaç cm2 dir? A) 24

B) 30

C) 36

D) 40

E) 48

15 $ 8 A (& ABE) = 2 A (& ABE) &) = A (& A (ADE BCE ) = 2 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

5

Tarama

31.

D

C

K

E

36

ABCD bir yamuk

34.

DC // AB

|BE| = 3 . |EC|

|AB| = 12 cm

|DC| = 8 cm & A (AED) = 36 cm2

A


L

A) 60

B) 72

B

C) 80

D) 84

E) 90

ABCD bir dörtgen

A

[AC] ve [BD] köşegen 6

8

AC ^ BD |AB| = 6 cm

B

D

4

|BC| = 4 cm |AD| = 8 cm

x C

Yukarıdaki verilere göre, |CD| = x kaç cm dir? A) 2 10 B) 2 11 C) 3 5 D) 4 3

E) 7

A (ALKD) 2 2 11

35. D

C

13

32. D

K

ABCD bir kare

C

|BE| = |EC|

E

H

|HF| = 3 cm

A

A

B

C) 6

D) 7

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (ADP) = S1 kaç birimkaredir? A) 20

Yukarıdaki verilere göre, |KH| = x kaç cm dir? B) 5

S2

22

|AH| = 8 cm

3

8

A) 4

P

S1

KH ^ BE

x

ABCD kare & A _DPCi = 13 birimkare & A ^ APBh = 22 birimkare S1 3 = S2 2

B) 21

C) 24

D) 27

E) 30

E) 8

& & FCE + FHK a = 2a x 14

36.


A

C ABCD paralelkenar

[AC] ∩ [BD] = {O}

[AE] ve [BF] açıortay

OH ^ CD

|DF| = 6 cm

|FE| = 8 cm

33.

D

6

F

8

E

|AC| = 24 cm B

D

O

|BD| = 10 cm

H A

B

Yukarıdaki verilere göre, paralelkenarın çevresi kaç cm dir?

A) 56

B) 60

C) 62

D) 64

E) 68

C

Yukarıdaki verilere göre, |OH| kaç cm dir? A)

60 13

B) 5

C) 60 13

6


60 11

D) 6

E)

20 3

Tarama

37.

ABCD paralelkenar

D′ 2

A′

D

C

x

40. Köşegen uzunlukları 30 cm ve 40 cm olan bir eşkenar

|AA′| = 6 birim

dörtgenin yüksekliği kaç cm dir?

|BB′| = 3 birim

A) 12

|DD′| = 2 birim B′

A

B

15 O

Yukarıdaki verilere göre, |CC′| = x kaç birimdir?

D

4

C) 3

D) 4

C

8

|AE| = 4 cm

[AD] ^ [DC]

C) 80

D

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (CDF) kaç cm2 dir? B) 40

C) 45

D) 48

E) 50

E) 96

&) = 3 A (CDF 4

ABCD bir yamuk

C

DC // AB

[AC] açıortay

AC ^ BC

|AC| = 8 cm B


&+& CDE ABC

|CD| = 5 cm

D) 36

A (& ABC ) + A (& ACD)

ABCD yamuk [DC] // [AB]

3

[CE] // [AD]

8

|AD| = 8 cm

E

|EC| = 3 cm

A

Yukarıdaki verilere göre, |DC| = x kaç cm dir?

16

B

|AB| = 16 cm

E) 40

A) 6

3=4 x 8

C

C) 32

x

A

B) 30

D

42.

8$6 + 8$3 2 2

E

&) = 120 A (ACD 2

A) 24

A(ABCD) = 120 cm2

FA = 4 =1 12 3 FC

(20 + 4) $ 8 2

39.

4

A) 35

D) 92

|CD| = 12 cm

F A

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 72

ABCD paralelkenar

B

A) 64

C

12

[AC] ∩ [DE] = {F}

ABCD dik yamuk

|DC| = 4 cm A

D

|AD| = 8 cm

D

E) 5

[AC] ^ [BC]

15

C

41.

38.

E) 24

20

B

B) 2

D) 20 40 $ 30 2

a

20

3

A) 1

C) 18

C′

6

B) 16 A

B) 7

C) 8

D) 10

E) 12

& + ABD & CDE x =3 16 8


7

Tarama ABCD eşkenar dörtgen

46.

EF ^ AB

|DE| = 3 cm

|EC| = 10 cm

|FB| = 5 cm

43.

D

E

A

C

B

F


A) 150

B) 156

C) 160

D) 168

D

F

C

ABCD paralelkenar [AE] ve [BE] açıortay

x

EF ^ CD

E 12

|AE| = 12 cm

9

|BE| = 9 cm A(ABCD) = 168 cm2

A


E) 172

B

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

56 5 36 5 56 - 36 5 5

D

44.

x

C

ABCD paralelkenar

[DF] açıortay

DF ^ CE 8

F

|BC| = 8 cm |AE| = 5 cm

A

5

B

E

47. D A

ABCD dik yamuk

C

DC // AB

2

DA ^ AB

E

AE ^ BC 8

|AB| = 10 cm |BE| = 8 cm B

|EC| = 2 cm


Yukarıdaki verilere göre, |CD| = x kaç cm dir? A) 36 A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

B) 40

C) 42

D) 45

E) 48

\) = m (CAB \) m (DCA \) = m (BCA \) 3 & m (DCA \) = m (CAB \) m (BCA & & ACE , ACD (10 + 2) $ 6 2

45.

D

6

ABCD dik yamuk

C

[AB] ^ [AD]

[CD] ^ [AD]

[AC] ^ [BD]

|AB| = 24 cm

A

24

B

48. D

C

x

|BE| = 7 cm 7

|CD| = 6 cm A

Yukarıdaki verilere göre, A(BCD) kaç cm2 dir?

A) 30

B) 32

C) 36

&) = 6 $ 12 A (BCD 2

8


D) 40

E) 42

|DE| = 17 cm

17

[BD] , ABCD karesinin köşegenidir.

B

Yukarıdaki verilere göre, |CE| = x kaç cm dir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

Tarama

49.

D

M

N

C

52.

|AK| = 2 . |KB|

|DC| = 2 . |MN|

L

8

K

2

B) 48

D) 56

DH ^ BC

5 E 3

[AC] ∩ [DH] = {E}

H

|DE| = 5 cm

|EH| = 3 cm A

C) 50


C

B

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir? A) 45

D

[AN] ∩ [KM] = {L} A(ABCD) = 168 cm

A

ABCD paralelkenar

B

x

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

& ) = 4k $ 4h + 3 k $ 3 h A (& LAB ) + A (LMN 2 2

53.

D

ABCD paralelkenar

C

[AE] ve [DE] açıortay

50.

D

ABCD bir yamuk

C

DC // AB

V ) = 90° m (W A) + m (B

DH ^ AB

|AH| = 3 cm

A

H

E

B

|HB| = 8 cm

|AB| = 15 cm E

|AE| = 8 cm


B) 132

C) 140

D) 144

E) 150

2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm dir? B) 15 3 C) 16 3 D) 30

24 5

E) 36 48 5

48 5

(11 + 4) $ 2 3 = 15 3 2

51.

D

C

E 7

ABCD eşkenar dörtgen EF ^ BC

6

x F

54.

26

|AB| = 32 cm

26

|AD| = |BC| = 26 cm

|CD| = 12 cm

|BF| = 2 cm A

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? C) 10


C

B) 9

12

|DE| = 6 cm 2

A) 8

D

|AE| = 7 cm

B

A

|BC| = 10 cm

B

2 3

10

8 A

|CD| = 4 cm

A) 24

E) 15

E) 60

D) 11

E) 12

B

& Yukarıdaki verilere göre, A _ ABCi kaç cm2 dir? A) 320

B) 348 D) 384

C) 360 E) 528

32 $ 24 A (& ABC ) = 2 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

9

Tarama

55.

E

F

G

ABCDEFGH düzgün sekizgen

58.

|HD| = 10 cm

D

|DB| = |BE| \ ) = 90° m (DCE

H

A

|DB| = |BE| D, B, E doğrusal

C

A

A) 25 2

B) 60

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 18 3 B) 20 3 C) 24 3

E) 100

D) 27 3 E) 30 3

360° 8

12 2

` 21 $ 5 $ 5 $ sin 45° j

2 &) = 6 $ 3 = 9 3 A (BCD 4 &) = 18 3 (BCD

50 2

56. D

ABCD bir kare

C 15° 8

|CE| = 8 cm

E

x

59.

CE ^ AE \ ) = 15° m (BCE

|CF| = 2 . |FB|

E

C

F

A

B

ABCD dikdörtgen [AE] ∩ [BD] = {F} & A (ADF) = S 1 & A (BEF) = S 2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm dir?

S 4

C) 58

10

D) 60

S 4 A (& ABF )


D) 32

E) 34

A (& AEF )

E) 64

C


|AD| = |BC|

[DH] ^ [AB]

|HB| = 8 cm

|AC| = 10 cm

2

2

B) 54

C) 30

A (& EFC )

D

60.

S1 + S2 = 20 cm

A) 50

B) 27

&) = 4 $ A (& A (ADE BCE )

|DE| = |EC|

S2

S1

Yukarıdaki verilere göre, A(CDEF) kaç cm2 dir?

A (& BEF )

E) 15

A(ABCD) = 60 cm2

B

E

A) 24

C) 12

16 = 8 2 2

57. D

F

A

D) 10 2

ABCD paralelkenar |AE| = 4 . |EB|

B) 8 2

C

B

A) 10

D

Yukarıdaki verilere göre, |AB| = x kaç cm dir?

|DE| = 12 cm

E

C) 50 2

D) 80

B

B

Yukarıdaki verilere göre, düzgün sekizgenin alanı kaç cm2 dir?

A


C

10

D

A

H

B


B) 36

C) 48

D) 52

E) 56

Tarama

61.

D

10

C

2 E

8

K F

64. D

[AC] köşegen

EF ^ BC

|EK| = |KF|

B) 80

ABCD dik yamuk AC ^ CB |CB| = 3 cm

x

|AB| = 15 cm

|AE| = 8 cm A


C

|DE| = 2 cm

B

A


C) 96

D) 100

B

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? B) 5 5

A) 10

E) 120

D) 13

C) 12 E) 6 5

6 5

62.

D

E

x

70°

C ABCD paralelkenar

[AE] açıortay

m (\ AEF) = 70° \ ) = 40° m (CFE m (\ ADC) = x

40°

F

A

65.

B) 110

C) 120

D) 130

C

DB ^ BC

F

6

x

E) 135

ABCD paralelkenar [AE açıortay |AB| = 10 cm |BC| = 6 cm

A

Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?

E

B

A) 105

D

10

B

Yukarıdaki verilere göre, |BF| = x kaç cm dir? A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

DF AD 8-x 6 = & x = 10 FB AB

63. D

M

ABCD ve AKLM dikdörtgen

C

L

|AD| = 12 cm

66. D

|AB| = 8 cm

B A

B) 60

ABCD dik yamuk

C

[DC] // [AB]

[AC] ^ [CB]

|AB| = 13 cm

|CD| = 4 cm

K

A

Yukarıdaki verilere göre, A(AKLM) kaç cm2 dir? A) 48

4

C) 72

& ) = A (AKLM) = A (ABCD) A (MAB 2 2

D) 96

E) 120

B


B) 50

C) 51

D) 52

E) 65

(13 + 4) $ 6 2


11

Tarama

67.

D R

C

S

ABCD bir dörtgen

70.

P, Q, R, S kenarların orta noktaları

D

C

ABCD eşkenar dörtgen [AC] köşegen

|AE| = |EC|

E

P(2, –2)

EH ^ AB

Q(a, 3)

|AH| = 12 cm

R(–2, b)

A

A

S(–4, 2)

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?


Q

P

A) 8

B

B) 9

C) 10

D) 11

12

A) 150

E) 12

H

|HB| = 3 cm

3 B

B) 156

C) 160

D) 172

E) 180

15 $ 6 A (& EAB) = 2

68. D

E

A (& EAB)

ABCD bir kare

C

[AC] köşegen

|DE| = 3|EC|

F

10

|BC| = 10 cm

71.

D

x

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (AEF) kaç cm2 dir?

A) 10

B) 12

C) 15

D) 16

69.

15

B) 5

C) 6

D) 7

A, E, F noktaları doğrusal

E

72.

D

ABCD bir yamuk

C

C

B

Yukarıdaki verilere göre, 2 A) 3

B) 1

DC // AB

F

E) 8

FC 3 15 - x = 3 =5 & 15 5 AB

ABCD bir dikdörtgen & A (ADE) = A(BFEC)

D

B

Yukarıdaki verilenlere göre, |DF| = x kaç cm dir? A) 4

A

|EF| = 3 cm

5 A

|BE| = 5 cm

E

E) 18

100 A (& EAB) = 2

|AB| = 15 cm

3

A

C ABCD paralelkenar

F

AE EF

oranı kaçtır?

5 4 3 C) D) E) 4 3 2

&) A (ADE

E x

F

AE EF

12


[AC] ∩ [BE] = {F} 12

2 . |AB| = 3 . |CD|

A

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 2

A (& ABE) = A (& BEF )

|AE| = |ED|

G

& EFG + & BFA x k = 12 3k &

B

B) 3

C) 4

|BF| = 12 cm

D) 5

E) 6

Tarama

73.

D

C

15 E

9

76.

[AC] köşegen

DE ^ AC

|AD| = 15 cm

D

ABCD bir yamuk AECD paralelkenar & A (BCF) = 8 birimkare

8

F

A(AEFD) = 20 birimkare

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (ABE) kaç cm2 dir? A) 48

B) 50

C) 52

D) 54

A

E) 60

E

B) 10

C) 12

D) 15

E) 16

x=8 4=8 8 y&8 y

77. D

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (EBF) kaç birimkaredir? A) 9

9 $ 12 A (& ABE) = 2

74.

C

|AE| = 9 cm

A

ABCD dikdörtgen

K

12

C


KH ^ AB

|AH| = |HK| = |KC| = 12 cm

E

ABCDEF düzgün altıgen & A (BDF) = 9 3 cm2

D

F

C

12

A A

L

B

H

2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm dir? A) 120

B) 144

C) 160

D) 164

B

Yukarıdaki verilere göre, altıgenin çevresi kaç cm dir? A) 8

B) 15 D) 16

E) 180

C) 9 3 E) 12 3

a 3 2 &) = 9 3 & (a 3 ) $ 3 = 9 3 A (BDF 4

2 3 12 3

75. D

x

E

C

F

K

6

ABCD paralelkenar

78.

[AC] ve [BD] köşegen

[AC] ∩ [BE] = {F}

4

|AB| = 21 cm

|KF| = 4 cm

A

21

B

|FC| = 6 cm

|DE| = x


B) 9

C) 10

D) 11

C

|BE| = |ED| = 6 cm

E

EH ^ AB

6

|AH| = 9 cm 9

H

B

A


E) 12

ABCD eşkenar dörtgen [BD] köşegen

6

D

B) 60 D) 108

C) 48 3 E) 72 3

& CFE + & AFB CE CF 21 - x 6 = & 21 = 14 AB AF

3 3 6 3 6 3


13

Tarama

79.

D

C

15

ABCD paralelkenar

82.

|EB| = 3 . |AE| & A (BCF) = 15 cm2

E

A) 60

B) 65

AF ^ BE F

B

|AF| = 9 cm |BE| = 8 cm

A


C) 70

D) 72

B


E) 90

B) 75

C) 80

E) 85

(& ABE)

&) A (BCD &) A (BCD

D

83.

C


DC // AB E

D

80.

C


[DC] // [AB]

|AD| = |BC| 6

|BE| = 2 . |EC|

|AB| = 11 cm

A

Yukarıdaki verilere göre, |AE| kaç cm dir?

B

A) 4 5

|DH| = 6 cm A

H

15

C) 92

D) 96

C) 3 11 E) 4 7

3 3t 11 22 2 = = = 4 2t 11 & t 2

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm dir? B) 90

B) 9

D) 10

2

A) 84

|CD| = 5 cm

& CKB + & AEB

|HB| = 15 cm

B

|AD| = |BC|

[DH] ^ [AB]

D) 84

8$9 A (& ABE) = 2

S 4 15 = 3

ABCD paralelkenar

C

F A

E

D

E) 108

&t=

22 2

& 2t =

22

AHD , & KCB 3 11

84.

ABCD bir dörtgen

A

AB ^ AD

81.

D

ABCD bir yamuk

C

4

DC // AB x

8

E

A

16

B

B) 2

C) 3

4 x = 16 8 &

14


E

CE // DA

|AB| = 16 cm


x

B

F

D

|AE| = |EC| |BF| = |FD|

C

|CD| = 4 cm

|AD| = 8 cm


Yukarıdaki verilere göre, |CE| = x kaç cm dir? A) 1

BC ^ CD

D) 4

E) 5

A) 7

|AC| = 48 cm

B) 8 BD 2

|BD| = 50 cm

C) 9

D) 10

E) 12

Tarama

85.

A

ABC dik üçgen

E

88.

D

6


C

AHDE bir kare

|AB| = 15 cm

[AD] ^ [BD]

|AC| = 20 cm

|AD| = |BC|

|AB| = 10 cm

B

H

D

C

Yukarıdaki verilere göre, A(AHDE) kaç cm2 dir? A) 144

B) 150

C) 156

D) 160

E) 172

A

|CD| = 6 cm

B

Yukarıdaki verilenlere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? A) 30

B) 32

C) 48

D) 54

E) 60

(10 + 6) $ 4 2

86.

ABCD dikdörtgen

E

3 D

C

10

x

A

5

89.

DE ^ EC

[AE açıortay

|AB| = 5 cm

BF ^ AE

|BC| = 10 cm

|DF| = 3 cm

|CE| = 3 cm

|AE| = x

C) 13

B) 2 41

D 3 F

4

E

D) 6 5 E) 10 2

C

|FE| = 4 cm A


ABCD paralelkenar

EDC dik üçgen

B

Yukarıdaki verilere göre, paralelkenarın çevresi kaç cm dir? A) 24

B) 30

C) 32

D) 34

E) 36

& + FAD & EDC

2 41

87.

D

C ABCD paralelkenar

E

6

F

3

A


90.

EF ^ BC

|BF| = 3 cm

|EF| = 6 cm

B) 14

C) 15


E 3 C

DC // AB |AD| = |BC| 5

EF ^ AB

B

Yukarıdaki verilere göre, |AB| kaç cm dir? A) 13

D

D) 16

E) 17

|AF| = 7 cm A

7

F

B

|EC| = 3 cm |EF| = 5 cm


B) 42

C) 45

D) 48

E) 50


15

Tarama

91.

ABCD bir dörtgen

D 2 2 60°

C 4 2

4 2

A

|AD| = 6 2 cm B

|CD| = 4 2 cm

B) 8

2 2

C) 6 2

D) 5 3

ABCD dörtgen

C

eşkenar

BE ^ CD |BD| = 4 3 cm

4 2 4 3

|BE| = 4 2 cm B

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 20 2 C) 24 2 D) 36

A) 18

E) 42

E) 9 6 2

2 2 =4 2

4 2

4 2

4 2 = 24 2

4 2$ 2

92. D

E

A

Yukarıdaki verilere göre, |BC| = x kaç cm dir? A) 3 5

D

m (\ ADC) = 60°

x 45°

94.

AD ^ AB m (\ ABC) = 45°

4 2

C

95.

ABCD bir kare

AE ^ EB

|EB| = 4 cm

E

ABCD paralelkenar

D′ 3 D

C

|BB′| = 2 birim

x

A′

|AA′| = 7 birim |DD′| = 3 birim

C′

7 4

B′ A

B

& Yukarıdaki verilere göre, A (EBC) kaç cm2 dir? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

B

A

E) 12

2

Yukarıdaki verilere göre, |CC′| = x kaç birimdir? A) 5

B) 4

C) 3

D) 2

E) 1

a$h A (& EBC ) = 2

93. D

C 2

P

ABCD dikdörtgen B, P, D doğrusal

5

|PA| = 15

|PC| = 5 cm

A


B

1 4

15 cm

B)

96.

3 1 5 3 C) D) E) 8 2 8 4

4

ABCD bir yamuk

D

W ) = m (B V ) = 45° m (C

4 2

45°

B

|CD| = 4 2 cm |AD| = 4 cm

45°

|PD| = 2 cm & A (ABP) oranı kaçtır? A (ABCD)

A

C

Yukarıdaki verilere göre, ABCD yamuğunun alanı kaç cm2 dir? A) 32

15 A (& ABP) 3S 3 = = A (ABCD) 8S 8

B) 30

C) 26

D) 16 2 E) 10 2 (12 + 4) $ 4 2

73. D 74. E 75. E 76. E 77. E 78. E 79. C 80. B 81. B 82. A 83. C 84. A 85. A 86. B 87. C 88. B 89. D 90. E 91. B 92. A 93. B 94. C 95. D 96. A 49. C 50. B 51. E 52. A 53. D 54. D 55. C 56. B 57. D 58. A 59. E 60. C 61. B 62. C 63. D 64. E 65. B 66. C 67. D 68. A 69. B 70. E 71. C 72. C 25. C 26. D 27. A 28. E 29. A 30. B 31. C 32. D 33. E 34. B 35. B 36. A 37. A 38. E 39. D 40. E 41. C 42. A 43. B 44. D 45. C 46. B 47. A 48. D 1. D

2. A

3. C

4. B

5. E

6. C

7. C

8. E

9. D 10. C 11. C 12. B 13. C 14. A 15. B 16. C 17. C 18. D 19. E 20. E 21. C 22. D 23. D 24. B LYS Geometri Planlı Ders Föyü

Cevaplar

16

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

04

TARAMA

1.

[AD, D noktasında

C

50°

B

x D

A

B) 50

C) 55

çembere teğet

A, B, C doğrusal

│BA│=│BD│

% m (ACD) = 50°

D) 60

d

E) 65

% m (BDA) = 50°

A

7

F

│BC│= 2 cm

B 2 C 1 D

│CD│= 1 cm A, B, C, D doğrusal

Yukarıdaki şekilde d doğrusu A merkezli çembere E ve D merkezli çembere F noktasında teğet olduğuna göre, │EF│= x kaç cm dir? A)

2.

│AB│= 7 cm

E x

% Yukarıdaki verilere göre, m (CAD) = x kaç derecedir? A) 45

4.

13 2

B) 7

C)

15 2

C

D

% m (CAE) = 68°

5. C O

17 2

A

x

68° B

E

Yukarıdaki şekilde [AE ışını B noktasında ve [AC ışını C noktasında çembere teğet olduğuna göre,

B) 56

3.

C) 58

A D

O

x

C

80°

D) 60

% m (BAC) = x

x

A

Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?

B

A) 15

% m (DBE) = x kaç derecedir? A) 54

O çemberin merkezi AB, B noktasında çembere teğet A, O, C doğrusal │AB│ = │BC│

E)

CD // AB

D) 8

B) 20

C) 30

D) 45

E) 60

E) 62

6.

D

O çemberin merkezi

130°

% m (APB) = 80°

P

A

O çemberin merkezi C

[AB] çap % m (ADC) = 130°

x B

O

% m (BAC) = x

E B

Yukarıdaki şekilde [PA ışını A noktasında ve [PB ışını % B noktasında çembere teğet olduğuna göre, m (DOE) = x kaç derecedir? A) 30

B) 40

C) 45

D) 50

E) 60

Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir? A) 40 V) m (B

B) 45

C) 50

D) 55

E) 60

V) m (B

% m (AOB)


1

Tarama

7.

E

C

D

A

[AB] çap

│AB│ = 20 cm

B

O

15 A) 2

B) 8

D) 9

E) 10

x 10 & & = AOD + ACB & 12 16 =

[AD] açıortay

10

6

x E

B

│AB│= 6 cm

C

│AC│= 10 cm

4

│DE│= 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, │OD│= x kaç cm dir? 17 C) 2

ABC bir üçgen

A

│AC│ = 16 cm

10.

OE ^ AB

x

O yarım çemberin merkezi

│AE│= x

D

Şekildeki çember ABC üçgeninin çevrel çemberi olduğuna göre, x kaç cm dir? A) 4

B) 5

& & ABD + AEC

15 2

C) 6

D) 7

11.

ABC bir üçgen O yarım çemberin merkezi

│AB│= 17 cm

│AC│= 15 cm C

15

x 17

A

d

B

Şekildeki iki çember C noktasında dıştan teğettir.

A ve B noktaları ortak teğetin değme noktaları olduğuna göre, │BC│= x kaç cm dir?

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

3 F

BA ^ AC

A

8.

AC, E noktasında

E

çembere teğet

6 B

D

O

x

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir?

│CD│= x

A) 5

B) 6

C) 7

C

D

O2

80° d

A

% m (BO2 D) = 80°

B

% olduğuna göre m (ACD) = x kaç derecedir?

A) 30

2

B) 35

C) 40


D) 45

E) 50

E) 9

ABC bir üçgen [AC], O merkezli yarım çembere A noktasında teğet

S1 S2

O1

D) 8

CO OE x+6 6 = = & CB BA x + 12 9

E) 11

Yandaki şekilde d doğrusu, O1 merkezli çembere A noktasında, O2 merkezli çembere B noktasına teğettir.

│FB│= 6 cm

x

x

│AF│= 3 cm

C

C

12.

9.

E) 8

6 x+4 = x 10

A

2

S1 = S2 B

O

│AC│= x

│OA│= 2 birim


B) 3

C) p D)

& πr 2 A (ABC) = 2 4 . x 4π = 2 2

3π 2

E) 2p

Tarama

13.

A

20° B

N

O

E

x

B, O, N, E doğrusal

[BF, D noktasında

B) 50

$ $ m (BC ) = m (ND )

C) 55

D) 60

[BE] küçük çembere

x

E) 65

D noktasında teğet

D 6 C

% m (BAC) = 20°

% Yukarıdaki verilere göre, m (CDF) = x kaç derecedir? A) 45

[BA ortak teğet

E

CD // BE

D

F

16.

çembere teğet

C

O çemberin merkezi

│BC│= 4 cm 4 B

A

│CD│= 6 cm

Yukarıdaki şekilde küçük çember büyük çembere A noktasında içten teğet olduğuna göre, │DE│= x kaç cm dir? A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 25

$ m (CD ) $ m (CD ) = = 2

14.

[AB] ^ [BC]

A

│AB│= │BC│= 8 cm

Yukarıdaki şekilde

O1

[AB] ve [BC] doğru

parçaları yarım B

C

O2

A) 8p – 12

D) 12p – 12

E) 8p – 32

1

[AE] ∩ [BC] = {D}

D

4

C

A, B, C, D noktaları çember üzerinde

% Yukarıdaki verilere göre, m (BEC) = x kaç derecedir?

18.

B) 27

C) 30

% m (ADC)

D) 83

E) 90

% m (ADC)

100°

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? B)

7 2

Şekildeki çemberler C noktasında dıştan teğettir.

A

│AD│= 2 cm

│CD│= 4 cm % $ m (AC) + m (BE) = 180°

E

a =

F

│BD│= 1 cm

A) 4

13° C

ABC bir üçgen

70°

% % m (DCF) + m (FU) = m (ADC)

2 B

B

% m (DCF)

A

% m (EBF) = 70°

A) 26

16π 4 . 4 − c m 4 2

15.

% m (AFB) = 13°

D

Buna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?

birer üçgen

A

C) 12p – 16

EBC ve ABF

x

çemberlerin çaplarıdır.

B) 8p – 16

E

17.

C) 3

D)

$ # m (AC ) + m (BE ) 180° = = 2 2

5 E) 2

5

% m (BAD) = 100°

B

D

% Yukarıdaki verilere göre, m (BCD) kaç derecedir? A) 110

=

5 2

B ve D noktalarında çembere teğettir.

C

[AB ve [AD doğruları

B) 115

C) 120

D) 125

E) 130

%h = 130° m ^BCD


3

Tarama

19.

D

6

4

AD ^ AB

C

F

H x

A

AD ^ DC

│GC│= 4 cm

│GD│= 6 cm

Yukarıdaki şekilde ABCD dörtgeninin kenarları E, F, G, H noktalarında çembere teğet olduğuna göre, │FB│= x kaç cm dir? A) 7

B) 8

C) 9

D

9 7

C

│BC│= 3 cm

3

O

│CD│= 9 cm

B

x

A

[AC] çap

│AD│= 7 cm

B

ABCD bir dörtgen

22.

D) 10

Yukarıdaki verilere göre, │AB│= x kaç cm dir? A) 12

B) 11

C) 10

C

ABC bir üçgen 2

Şekilde O1 ve O2 merkezli teğet çemberlerin yarıçapları sırasıyla 6 birim ve 2 birimdir

A B O1

O2

AB doğrusu çemberlere teğet olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 12 3 – 7p

B) 15 3 – 5p

22π C) 16 3 − 3

20π D) 16 3 − 3

% m (O1 O2 K)

% m (O1 O2 B)

çembere teğet

x A

│AC│= 4 cm

B

O

│CD│= 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BD│= x kaç cm dir? A) 3

24.

3 −

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

π . 6 2 π . 2 2 (6 + 2) . 4 3 22π − − = 6 3 2 3

O çemberin merkezi

CD, D noktasında B

O

6

C

│DA│= │DC│ A, O, B, C doğrusal

│BC│= 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, çemberin çevresi kaç cm dir? A) 6p

B) 8p

C) 9p


D) 10p

E) 12p

E x

40°

P

[AD ∩ [BC = {P} [AC] ∩ [BD] = {E}

C

% m (APB) = 40°

B

% m (AEB) = 80°

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACB) = x kaç derecedir?

çembere teğet

80°

22π 3

çember üzerinde

D

21.

A

A, B, C, D noktaları

A

3−

4

[AB] çap [AC], A noktasında

D 4

E) 15 3 – 5p

% m (AO1 O2)

E) 8

E) 11

23.

20.

D) 9

A) 50

B) 60

C) 65

D) 70

$ $ $ $ m (AB ) + m (CD ) = m (AB ) + m (CD ) 2 $ $ $ $ m (AB ) − m (CD ) = m (AB ) − m (CD ) 2 $ $ m (AB ) m (AB ) $ m (AB ) = x= 2

E) 75

Tarama [AD, D noktasında

25. D

x

2x

40°

çembere teğet

A, B, C doğrusal

% % m (CBD) = 2 . m (BDC) = 2x

A

B

C

x

A

[AB] çap

40°

% m (BAC) = 40°

B

O

% m (ADC) = x


B) 44

$ m (BD )

C) 46

D) 48

E) 50

│AB│= 13 cm

O

r

│BC│= 14 cm

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı r kaç cm dir? B)

5 2

C) 3

D)

7 2

C) 125

x C

çembere teğet P, B, C dğrusal

9

16

B

P

9

│AB│= │PB│= 9 cm │BC│= 16 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AC│= x kaç cm dir? A) 10

E) 4

E) 140

[PA, A noktasında A

D) 130

V) m (B

29.

│AC│= 15 cm

C

B

A) 2

B) 120

V) m (B

A

26.


4x − (360° − 6x) = 2

O çemberin merkezi

C

D

% m (CAD) = 40°

28.

B) 12

C) 15

D) 16

E) 18

14 + 15 + 13 = 2 & A (ABC) = 21 . 7 . 6 . 8

u=

30.

D

[DC] // [AB]

C

│AD│= │BC│

27.

D

7

E

x

C

24

A

F

3

B

Yukarıdaki verilere göre, │EC│= x kaç cm dir? A) 15

B) 17

C) 21

D) 22

│DC│= 4 cm

A

B

Yukarıdaki şekilde ABCD yamuğunun kenarları O merkezli çembere teğettir.

Buna göre, çemberin yarıçap uzunluğu kaç cm dir?

│BC│= 24 cm │DE│= 7 cm

│AB│= 16 cm

O

ABCD dikdörtgen │BF│= 3 cm

A; çeyrek çemberin merkezi

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

E) 25


5

Tarama

31.

E

│OA│= 16 cm

x

│AD│= 4 cm

C

34. Şekildeki iki çember E noktasında dıştan teğet ve [BC ışını küçük çembere C noktasında teğettir.

Yandaki şekilde,

OABC dikdörtgeninin

B köşesi, O merkezli ve

B

[OD] yarıçaplı çember

O

16

A 4

D

A) 4

B) 5

x

D 40°

E B

C) 6

D) 7

E) 8

% m (BDC) = 40° % m (CBD) = 35°

35° C

üzerindedir.

Buna göre, │EC│= x kaç cm dir?

[AC] ∩ [BD] = {E}

A

% olduğuna göre, m (BAC) = x kaç derecedir? A) 60

B) 65

C) 70

D) 75

E) 80

% m (ACD) % m (BCE)

32.

A, E, B doğrusal

D F

C

D, F, C doğrusal

B

% m (DAB) = 2x

3x

2x

% m (ABC) = 3x

E

A

A

Şekildeki iki çemberin kesim noktaları E ve F olduğuna göre, x kaç derecedir?

A) 36

B) 40

C) 45

D) 48

B

A merkezli çemberin yarıçapı 18 cm olduğuna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir? A) 36

% m (APB) = 40°

A D

x 15°

K

40°

P

% m (PBD) = 15°

B

A) 60 % m (ADB)

B) 65

36.

C

% Yukarıdaki çemberde verilenlere göre, m (AKB) = x kaç derecedir?

C) 70

D) 75


C) 32

E) 28

merkezi B

C

OABC dikdörtgen │AC│= 15 cm

15

│CE│= 3 cm

O

D) 30

O çeyrek çemberin

3

E) 80

% % % m (ACB) = m (ADB) & m (ACB) =

B) 34

E

A

x

D

Yukarıdaki verilere göre, │AD│= x kaç cm dir? A) 2

6

C

E) 52

33.

Yandaki şekilde B ve C merkezli çemberler birbirine dıştan, A merkezli çembere ise iç teğettir.

35.

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

Tarama

37.

O çemberin merkezi D

K C

O

A H

OH ^ AB

OK ^ CD

│OK│= │OH│

│CD│= (2x – 5) birim

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır? A) 22

B) 25

> 5 < 2

[AB] çap A 70°

C) 28

D) 30

A) 45

E) 33

5 2

% m (ADC)

% m (AOB) = 60°

% m (CAD) = 20°

O

│AB│= 12 cm

12

B

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin (daire parçasının) alanı kaç cm2 dir? A) 12p – 18 3

B) 24p – 36 3

C) 30p – 36 3

D) 18p – 24 3

D

% Yukarıdaki verilere göre, m (CBD) = x kaç derecedir? B) 10

C) 15

D) 20

E) 16p – 24 3 πr 2 12 2 . 3 − = 6 4

E) 40

$ m (CD ) = x= 2

3

42.

[AB] kiriş

│OC│= 7 cm │AC│= 8 cm

O d

39.

AD ^ d

D F

2

E) 70

60°

20°

A) 5

D) 60

O çemberin merkezi

C

C) 55

41.

│AB│= │AC│= │AD│

x

% m (BAD) = 70°

B) 50

A

B

│AB│= 2 │CD│

B

% m (ADC)

x O

% Yukarıdaki verilere göre, m (ABC) = x kaç derecedir?

A

38.

O çemberin merkezi

D

│AB│= (x + 3) birim

B

C

40.

C

E

BC ^ d

│CB│= 15 cm

7 A

8

15

B

│AE│= 6 cm

6

│ED│= 2 cm

A

Yukarıdaki şekilde d doğrusu, [AB] çaplı yarım çembere F noktasında teğet olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç cm dir?

O

A) 3

B) 4

=

B

C) 5

D) 6

Yukarıdaki şekilde O noktası çemberin merkezidir.

Buna göre, bu çemberin yarıçap uzunluğu kaç cm dir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

E) 7

8+2 = 2


7

Tarama

43.

D

O, çeyrek çemberin merkezi

x

10

B

C

CB // OA │OC│= 15 cm

15

│CD│= 10 cm

O

A

46. D

5

E

7

C

ABCD paralelkenar

ABED teğetler dörtgeni

│DE│= 5 cm

A

Yukarıdaki verilere göre, BCE üçgeninin çevresi kaç cm dir?

│BD│= x

A) 18

B

B) 24

│EC│= 7 cm

C) 25

D) 28

E) 30


A) 5 5

B) 11

D) 6 10

C) 12

E) 10 5

5

44.

C x

D 56°

Çemberler E noktasında teğet

47.

O merkezli çember

[AC] çaplı ve B merkezli

[AB] ortak teğet

% m (ADE) = 56°

E

A

B

% Yukarıdaki verilere göre, m (BCE) = x kaç derecedir?

A) 30

B) 32

C) 33

C

45.

teğettir.

│AC│= 12 cm

olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir? A) 18p

E) 35

O

B

8

C) 24p

D) 27p

E) 30p

B) 25

E

x


D

[AB] çap OC ^ AB

% Yukarıdaki verilere göre, m (EDF) = x kaç derecedir? # 180° − m (EF ) = 2 # m (EF ) = x= 2

C 36°

D

A) 20

B) 20p

% m (ACB) = 70°

E

x

çembere C noktasında

48. A

C

O

[AB] çap

F

B

O çemberin merkezi

70°

D) 34

A

C) 30 # m (EF )


D) 35

E) 40

A

O

B

[OC] ∩ [AD] = {E} % m (CD) = 36°

% Yukarıdaki verilere göre, m (CED) = x kaç derecedir? A) 54

B) 60

% 90° − 36° = m (BAD) = 2

C) 63

D) 65

E) 72

Tarama

49.

O çemberin merkezi

B

x

E

40° C

F

O

A

D

B

[AB, B noktasında çembere teğet

[AE] ∩ [BD] = {F}

C noktasında teğet

DE // AB

│AB│= 8 cm

% Yukarıdaki verilere göre, m (BFE) = x kaç derecedir? A) 100

C

A

[AB] küçük çembere

O

% m (BAE) = 40°

O noktası her iki çemberin merkezi

52.

B) 105

C) 110

$ % m (BOA) = m (BC )

D) 115

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin alanı kaç p cm2 dir?

E) 120 A) 12

B) 15

C) 16

# m (BE )

$ m (CD ) x=

53.

130° + 80° = 2

C

100°

A

daireye B noktasında teğet

O çemberin merkezi D

x

[AB] çap B

O

[AB] çap

6

O

B

% m (ACD) = 100°

│AD│= 6 cm

% Yukarıdaki verilere göre, m (BAC) = x kaç derecedir? B) 45

' m (BDC ) 20° + 80° = = = 2 2

C) 50

D) 60

│BC│= 4 cm

C

4

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin çevresi kaç cm dir? (p = 3 alınız.) A) 6

A) 40

A, D, C doğrusal

D

│AC│= │CD│

E) 24

[CB, O merkezli

A

50.

D) 20

AB 2 c m = 2

B) 6 3

D) 6 3 + 6

C) 8 3

E) 8 3 + 6

E) 80

3 3

51. [AB], [AD] ve [DB] çaplı yarım daireler şekildeki gibi teğet-

3 2π r + 2

tir.

[CD], D noktasında

C

[AD] ve [DB]

6

A

O1

D

O2

B

çaplı yarım dairelere teğet, │CD│= 6 cm

olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir? A) 8p

B) 9p

C) 10p

D) 12p

E) 15p

54.

ABC bir üçgen

C

A çeyrek çemberin D

merkezi │CD│= 4 cm

A

B

( x + y) 2 . r x 2 . r y 2 . r – 2 – 2 = 2

3=8 3+

│BD│= 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 3

B) 2 3

C) 4

D) 2 5

E) 5

5


9

Tarama

55. A

8

ABC dik üçgen

58.

AB ^ AC

│BC│= 10 cm

O çemberin merkezi

A

K

O

% m (AOB) = 5a

5a

% m (APB) = a

a

P

│AC│= 8 cm

B

10

C

B

Yukarıdaki şekilde üçgenin kenarlarını çap kabul eden yarım çemberler çizilmiştir.

Buna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir? A) 6p

B) 24

C) 8p

D) 25

A) 190

B) 195

C) 200

6 .8 2

[AB ışını B noktasında B

x B

8 6

4 F

C E

D

ABC bir üçgen

│BF│= 6 cm

│FC│= 4 cm

│AC│= 8 cm

x C

Yukarıdaki şekilde, ABC üçgeninin dış teğet çemberi kenarlara D, E, F noktalarında teğettir.

Buna göre, │AB│= x kaç cm dir? B) 6,5

C) 7

D) 7,5

E) 8

% m (ADB) = 25°

A

% m (CBD) = 75° % Yukarıdaki verilere göre, m (BAD) = x kaç derecedir? B) 45

% m (ABC)

A, C, D doğrusal

25°

D

A) 40

A) 6

çembere teğet

75°

A

60.

C) 50

D) 55

ABC bir üçgen

A

│AB│= 9 cm

E F

& = 30 cm Ç (ABC)

B

x

merkezi

│OC│= │CD│

C

x

B) 62

B

C) 65


D) 68

Şekildeki çember ABC üçgeninin iç teğet çemberi olduğuna göre │DC│= x kaç cm dir? A) 3

% Yukarıdaki verilere göre, m (OAD) = x kaç derecedir? A) 57

10

48° C

% m (BCD) = 48°

D

D

O çeyrek çemlerin

A

O

E) 60

% m (ACB)

57.

E) 210

' m (AKB )

59.

56.

D) 205

E) 10p

& = A (ABC) =

Yukarıdaki şekilde [PA ışını A noktasında [PB ışını B ) noktasında çembere teğet olduğuna göre AKB yayının ölçüsü kaç derecedir?

E) 72

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Tarama Şekildeki A, B ve C merkezli eş çemberlerin yarıçapları 6 cm olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir?

61. A C

64.

F

D

C

A çember üzerinde

E

B

A

B) 4p

C) 5p

D) 6p

E) 8p

πr 2 36π = = 6 6

[AB ışını B noktasında,

B

[AC ışını C noktasında

D

x

80°

A


B) 50

C) 70

7 2

C) 4

D)

9 2

E) 5

ABC dik üçgen

AB ^ AC │BH│= 3 cm

A

│HC│= 12 cm

çembere teğet % m (BDC) = x

C

B)

65.

% m (BAC) = 80°

Şekildeki dikdörtgenin [BC] kenarı E, [CD] kenarı F noktasında çembere teğet olduğuna göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 3

62.

│BC│= 9 cm │CD│= 8 cm

B

A) 3p

ABCD dikdörtgen

D) 80

B

3

H

C

12

Yukarıdaki şekilde A merkezli çember, [BC] kenarına H noktasında teğettir.

Buna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?

E) 100

A) 36 – 9p

B) 36 – 6p

D) 45 – 12p

C) 45 – 12p

E) 45 – 9p

2 & πr = 15 . 6 − 36π A (ABC) − 4 2 4

66. O yarım çemberin merkezi

63. C

x

A

4 H

6

O

B

│AH│= 4 cm

│OC│= 2 cm

O

│HO│= 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, [CH] = x kaç cm dir? D) 9

% m (DCB) = 60°

4

C) 8

çemberin merkezi D

B) 7

[CH] ^ [AB]

A) 6

O noktası çeyrek

[AB] çap

A

E) 10

│DC│= 4 cm

60° 2

D

C

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapının uzunluğu kaç cm dir? A) 4

B) 2 5

3

C) 5

D) 2 7

E) 4 2

7 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

11

Tarama O dairenin merkezi

70.

AB, B noktasında

çembere teğet

│AB│= 9 cm

│AC│= 3 cm

67. B

9

A

3 C

Yukarıdaki verilere göre, dairenin alanı kaç cm2 dir? A) 64p

B) 81p

C) 100p

D) 121p

AB ^ CD

A

Yukarıdaki verilere göre, çemberin çapı kaç cm dir? B) 10

x

AB 6+4 = = 2 2

D) 5 5

=

E) 12

CD 8 + 3 11 = = 2 2 2

11 5 −3 = 2 2 =

5 5 2

5

[AB] çap

E 9

C) 11

5 2 c m 2


C

│ED│= 8 cm

C

=

D

│EC│= 3 cm

B

E

=

68.

│AE│= 6 cm

O

A) 4 5

E) 144p

O çemberin merkezi

D

CO ^ AB

15

A

│OE│= 9 cm

71.

│BE│= 15 cm

[AB] yarıçaplı çeyrek daire

│ED│= x

ile O merkezli [AB] çaplı


yarım daire verilmiştir.

│AB│= 2 2 birim

O

A) 3,8

B) 4

B

OC ∩ BD = {E}

C) 4,2

D) 4,6

E) 5

12 15 = x + 15 24

& & BOE + BDA

Şekilde A merkezli,

C

A

olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç p birimkaredir? A)

69. 5

E

D)

3 2

E) 2

│AO│= 13 cm A

13

O

B

72.

│EF│= 5 cm

Yukarıdaki [AB] çaplı ve O merkezli çemberde verilenlere göre, │FP│= x kaç cm dir?

D

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

a O

% m (BCD) = 110° B

% m (ABC) = a

% Yukarıdaki verilere göre, m (ABC) = a kaç derecedir? A) 60 =


│BC│= │DC│

110°


C

A

12

C) 1

[EF] ^ [OP]

1 1 B) 4 2

(2 2) 2 . π ( 2) 2 . π − = 4 2

[AB] ^ [OP]

P x F

B

O

B) 55

40° + 70° = 2

C) 50

D) 45

E) 40

Tarama

E

F

10

ABC dik üçgen

A

73.

O

3 B

O iç teğet çemberin

merkezi

│EC│= 10 cm

& Yukarıdaki verilere göre, A( ABC ) kaç cm2 dir? A) 30

B) 32

A

B

C

C) 36

D) 40

E) 45

P merkezli iki daire verilmiştir.

D

A, B, C, D noktaları doğrusal ve

P

│FB│= 3 cm

C

D

Yandaki şekilde

76.

│AB│= │BC│= 4 birim

olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç birimkaredir? A) 24p

B) 32p

C) 36p

D) 40p

E) 42p

5 . 12 & = A (ABC) = 2

74.

B

O çeyrek çemberin

merkezi C, D, E teğet

D

değme noktaları

x E

% m (BED) = x

M

% % m (AB) = m (BC)

C

77.

% m (APC) = 60°

x

B

O

C

60°


B) 67,5

C) 70

D) 72,5

A

E) 75

% m (EMO)

$ % m (ED ) = m (EMD) x=

135° = 2

P

Yukarıdaki şekilde [PA ışını çembere A noktasında teğettir. % Buna göre, m (ACP) = x kaç derecedir? A) 30

B) 35

% m (ABP)

C) 40

D) 60

E) 80

% m (BAP)

O yarım çemberin

75. D

A

P, B, C doğrusal

A

24°

x B

O

C

12

merkezi

78.

[AD ışını D noktasında çembere teğet

O, [AB] çaplı yarım

çemberin merkezi

% m (CAD) = 24°

% Yukarıdaki verilere göre, m (ACD) = x kaç derecedir?

D

C

F x B

A) 24

B) 30

C) 32

D) 33

E) 35

[DF] teğet

E

A

O

ABCD bir kare

│CD│= 12 cm │FB│= x


B)

7 2

C) 4

D)

9 2

E) 5


13

Tarama

79. Aşağıdaki şekilde AB doğrusu, B noktasında O merkezli çembere teğettir.

B

C

8

│AC│= 8 cm

B

olduğuna göre, çemberin yarı çapı kaç cm dir? A) 3

B) 4

P

│AB│= 12 cm

A

│PA│= 6 cm

6 C

doğrusal,

12 O

[PA ^ [PB

A

A, C, O noktaları

82.

C) 5

D) 6

Yukarıdaki şekilde [PA ışını A noktasında, [PB ışını B noktasında çembere teğet olduğuna göre, ACB yayının uzunluğu kaç cm dir? A) 6p

E) 7

B) 8p

270° = 360°

C) 9p

│AC│= 13 cm

A

C

A

83.

│BC│= 12 cm

ABC bir üçgen │AD│= 18 cm

B

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

A D x 150°

P

Yandaki şekilde [PA ışını A noktasında ve [PB ışını B noktasında çembere teğettir. % m (ACB) = 150°

C

B

Buna göre, ABC üçgeninin çevresi kaç cm dir?

A) 120

' m (ADB )

' m (ACB )

14

B) 90

84.

C) 75

' m (ACB )


D) 60

C) 32

O

65°

D) 36

E) 42

O çemberin merkezi E

E) 30

B) 30

B

D

[AB, [AC ve [EF] x

A

çembere teğet B, C, D değme noktaları

F

% m (EOF) = 65°

C

% olduğuna göre, m (APB) = x kaç derecedir?

yandaki şekilde O merkezli çember ABC üçgeninin dış teğet çemberlerinden biridir.

O

A) 24

81.

C E

A, B ve C merkezli üç çember şekildeki gibi teğet olduklarına göre, A merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 8

F

D

B

E) 12p

│AB│= 15 cm

80.

D) 10p

3 4

% Yukarıdaki verilere göre, m (BAC) = x kaç derecedir? A) 70 % m (BOC)

B) 65

C) 60

D) 55

E) 50

Tarama

85.

OABC dikdörtgen

D

O çemberin merkezi

88.

[AB] çap

DC // AB

merkezi

[AC] ∩ [OD] = {E}

│OC│= │CE│

% m (BOD) = 140°

│OA│= 4 cm

D

C x E

140°

A

B

O

% Yukarıdaki verilere göre, m (AED) = x kaç derecedir? A) 50

B) 55

C) 60

$ % m (AD ) = m (AOD) % m (ACD)

D) 65

E) 70

E

C

O

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir? B) 4p – 2

D) 4p + 2

= % m (AOE)

86.

E

D

C

ABCD dikdörtgen ABED teğetler dörtgeni

│EC│= 12 cm

89.

│BE│= 20 cm

A

B

B) 11

C) 12

D) 13

E) 4p + 4 4 4 2 = =2 2 2 2

O çemberin merkezi

12

E) 14

│OA│= 12 cm ( ; AKB ; = 5p cm

O

Yukarıdaki verilere göre, │DE│ kaç cm dir? A) 10

C) 2p + 6

16π 2 2 . 2 2 + = 8 2

O çeyrek çemberin

A

4

A) 2p + 4

% % m (ODC) = m (AOD)

B

x

A

B K

% Yukarıdaki verilere göre, m (AOB) = x kaç derecedir? A) 60

B) 75

C) 90

D) 120

E) 135

5π x = 24π 360°

90. 87.

[AB] kiriş

[OC] ^ [AB] O

A

110°

│AB│= 16 cm

D

B

C

A) 35

A) 17

' m (ACD )

C) 20

D) 21

x

P

E) 24

çembere A ve B noktalarında teğettir. % m (ACB) = 110°

B

V = x kaç derecedir? olduğuna göre, m (P)

Yukarıdaki verilere göre, O merkezli çemberin yarıçap uzunluğu kaç cm dir? B) 18

C

│HC│= 2 cm

H

[PA ve [PB

A

' m (ADB )

B) 40

C) 45

D) 50

E) 60


15

Tarama

91.

30°

[BA ve [BC çembere A ve C noktalarında teğet,

A

B

E x

50°

D

F

C

94.

B) 50

$ m (AC ) =

C) 60 # m (EF )

$ # m (AC ) − m (EF ) = 2

92.

4

% m (DAF) = 30°

│AD│= 2 cm

│EC│= 4 cm

C

D) 70

O

E) 80

15°

B) 9

C) 10

D) 11

d

95.

│BD│= 2 cm

A

3

E) 12

│AC│= 3 cm

C

D

A2

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir?

ABCDE düzgün beşgen % m (PDC) = 15°

E

OABC dikdörtgen

B

% m (ABC) = 50°

A) 8

D

O çeyrek çemberin merkezi

% olduğuna göre, m (ADC) = x kaç derecedir? A) 35

E

C

│CD│= 13 cm

D 2 B

P x

A

% Yukarıdaki verilere göre, m (PAB) = x kaç derecedir? A) 18

B) 21

C) 22

& 360° = m (BPC ) = 5 # $ m (BP ) + m (PC )

D) 24

E) 24

[AB] çemberin bir çapı

K∈[AB] A

9

K

Yukarıdaki şekilde, d doğrusu C merkezli çembere A noktasında ve D merkezli çembere B noktasında teğettir.

Buna göre, │AB│ kaç cm dir? A) 8

93.

B

25

96.

A

│OB│= 10 cm

x O

E) 12

10

B

Yukarıdaki verilere göre, K noktasından geçen en kısa kirişin uzunluğu kaç cm dir?

Yukarıdaki şekilde [AO] çaplı çember, O merkezli ve [AB] çaplı çembere A noktasında içten teğet olduğuna göre, │BC│= x kaç cm dir?

A) 24

A) 8

C) 10

D) 12

E) 15

Cevaplar

42. D

41. B

22. B

21. E

2. B

1. B

43. E 23. D 3. D

44. D 24. B 4. D

B) 9

64. E

85. C 86. C 65. E 45. A 25. B 5. C

66. D 46. B 26. E 6. A

87. A 67. E

88. A 68. C

47. D 48. C

E) 40

84. E

89. B 69. A 49. B

90. B 50. C

27. C 28. D 29. C 30. C 7. A

8. B

9. E

91. A

70. D 71. C 10. C

51. B 31. E 11. B

92. B 72. B 52. C 32. A 12. C

93. B 73. A 53. E 33. C 13. B

94. C 74. B 54. D 34. B 14. B

95. E 75. D 55. B 35. A

96. D 76. B 56. A 36. E

15. D 16. C

77. C 57. A 37. B 17. B

78. A 58. E 38. B 18. E

79. C

80. A

59. D 60. D 39. C

40. B

19. C 20. C


D) 36

63. C

C) 32

62. B

B) 30

82. C 83. D

16

D 8

D) 11

│AD│= 8 cm

C

│AK│= 9 cm

C) 10

│KB│= 25 cm

B) 9

81. A

61. D

B

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

05

DÖNÜŞÜMLER

Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler

hhANALİTİK DÜZLEMDE TEMEL

"

"

Q noktasının, P nin u nün doğrultusunda, u nün uzunluğu kadar ötelenmiş olduğu,

DÖNÜŞÜMLER

Öteleme

Q = T" (P) u

biçiminde gösterilir. "

Analitik düzlemde bir P noktası ve u vektörü verildiğinde $ " PQ = u olacak şekilde bir tek Q noktası vardır. Bu Q noktası, P " noktasının u vektörü doğrultusunda ötelenmişidir. y

Düzlemin noktalarını düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyonlara düzlemde bir dönüşüm denir. Öteleme düzlemde bir dönüşümdür.

Q

y →

u

P

P →

Tanım

→

u

u

O

O

x

Şekil I

" Şekil II

x

u ∈R2 verilmiş bir vektör olmak üzere, "

: R2 → R2, T" (P) = P + u T" u

u

fonksiyonuna öteleme denir. "

Şekil I de analitik düzlemde bir P noktası ve u alınmıştır. "

Şekil II de u , başlangıç noktası P olacak şekilde taşınarak Q noktası bulunmuştur. "

Q noktası, P nin u doğrultusunda ötelenmişidir. y →

u

Örnek 1:

Q

Analitik düzlemde verilen

P

A(3, –2)

noktasının

→

u

O

x

"

u = (2, –4)

doğrultusunda ötelenmişi olan Q noktasını bulunuz. Başlangıç noktaları orijin (koordinat eksenlerinin kesiştiği nokta) olan vektörler, bitim noktaları ile ifade edilir. Buna göre, $

$

"

"

OQ = OP + u ⇒ Q = P + u

olur.


1

DÖNÜŞÜMLER / Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler

Örnek 2:

Örnek 4:

Analitik düzlemdeki bir A noktasının

"

"

noktasının u ile ötelenmişi olan nokta

u = (–2, 3)

P(4, –3)

ile ötelenmişi olan nokta

Q(1, 2)

olduğuna göre, u vektörünü bulunuz.

"

Q(4, –1)

noktası olduğuna göre, A noktasını bulunuz. "

"

"

u

u

"

u

"

u

u

"

u

"

u

Not Örnek 3:

1.

Köşeleri

A(–2, 1)

B(–2, 3)

C(2, 1)

2.

Düzlemde öteleme fonksiyonu, doğru parçalarının uzunluklarını ve açıların ölçülerini değiştirmez. "

u , analitik düzlemde sabit bir vektör olmak üzere, "

"

a) ∀P, K∈R2 için P ¹ K ⇒ P + u ¹ K + u

⇒ T" (P) ¹ T" (K) u u

"

olan ABC üçgeni u = (4, 3) doğrultusunda ötelenerek

olduğundan öteleme fonksiyonu bire birdir. "

A′B′C′ üçgeni elde edilmiştir.

b) ∀Q∈R2 için P + u = Q olacak biçimde bir P∈R2 noktası vardır.

A′B′C′ üçgeninin köşelerinin koordinatlarını bulunuz.

T" u

"

u

"

"

P+ u =Q⇒P=Q– u

"

"

Düzlemin her Q noktasına, u ile Q – u noktası eşlenir. Buna göre, öteleme fonksiyonu örten fonksiyondur.

Dönme Analitik düzlemde bir P noktasının, O noktası etrafında a açısı kadar döndürülmesi ile elde edilen nokta Q olsun.

Q = Ra(P)

biçiminde gösterilir. T" u

y

"

u

y1

Q(x1,y1)

y T" u

2

"

u


a q O x1

P(x,y)

x

x

DÖNÜŞÜMLER / Analitik Düzlemde Temel Dönüşümler y x = cosq ⇒ x = Rcosq ve = sinq ⇒ y = Rsinq dır. R R Şimdi de Q noktasının koordinatlarını bulalım.

Örnek 5:

P(5, –2)

noktası, orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor.

x1

= cos(q + a) ⇒ x1 = Rcos(q + a) R ⇒ x1 = R(cosq . cosa – sinq . sina)

Elde edilen Q noktasının koordinatlarını bulunuz.

⇒ x1 = Rcosq . cosa – Rsinq . sina x y

y 5

Q

⇒ x1 = xcosa – ysina

y1

= sin(q + a) ⇒ y1 = Rsin(q + a) R ⇒ y1 = R(sinq . cosa + cosq . sina)

O

2

–2

⇒ y1 = Rsinq . cosa + Rcosq . sina y x

5

x

P

⇒ y1 = ycosa + xsina

bulunur.

Q = Ra(P) = (xcosa – ysina, xsina + ycosa)

Örnek 6: Burada Ra dönme dönüşümü adını alır. Düzlemin her P noktası için Ra(P) dönmesi yapılabileceğinden bu dönüşüm Ra : R2 → R2, Q = Ra(P)

P(2, 6)

noktası, orijin etrafında negatif yönde 60° döndürülüyor. Elde edilen Q noktasının koordinatlarını bulunuz.

şeklinde bir fonksiyondur. = e2 .

1 3 3 1 − 6 . e− o , 2 . e− o+ 6 . o 2 2 2 2 3

Dönme Yönü

3 y 6

P(2,6)

1) a > 0 ise, dönme yönü pozitif (saat ibrelerinin dönme yönü ile ters yönde), 2) a < 0 ise, dönme yönü negatif (saat ibrelerinin dönme yönü ile aynı yönde) kabul edilir.

Q(1+3 3, – 3+3) O

2

x


3


Örnek 7:

Dönme Merkezi

Dönme, bir nokta dışında bütün noktaları değiştirir. Değişmeyen noktaya dönme merkezi denir. Dönme sırasında, şekildeki uzunlukların ve açıların ölçüleri değişmez.

P(–4, 2)

noktası, orijin etrafında pozitif yönde 270° döndürülüyor. Elde edilen Q noktasının koordinatlarını bulunuz.

Örnek 10: Merkezi

Örnek 8:

M(–2, 3)

noktası ve yarıçapı 1 birim olan çember, orijin etrafında pozitif yönde 270° döndürülüyor. Elde edilen şekli bulunuz.

A(3, –1) noktası,

→

u = (1, –2)

doğrultusunda ötelenerek B noktası elde ediliyor. B noktası da orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülerek C noktası bulunuyor. Buna göre, C noktasının koordinatlarını bulunuz.

Örnek 11: Örnek 9: Köşeleri

A(1, 4)

B(1, 1)

C(3, 1)

A(4, –2)

B(2, 3)

olmak üzere, [AB] orijin etrafında 150° döndürülerek [A¢B¢] elde ediliyor. A¢ ve B¢ noktalarının koordinatlarını bulunuz.

noktaları olan ABC üçgeni orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülerek A¢B¢C¢ üçgeni elde ediliyor. Buna göre, A¢B¢C¢ üçgenininin köşelerinin koordinatlarını bulunuz.

=−

= e4 . e− 3

4


3 2

=

1 2

3 1 1 3 o − (− 2) . , 4 . + (− 2) . e − oo 2 2 2 2 3

= e2 . e−

3 1 1 3 o − 3 . , 2 . + 3 . e− oo 2 2 2 2

= e− 3 −

3 3 3 o ,1 − 2 2


Örnek 12:

2x + 3y – 6 = 0

doğrusu orijin etrafında pozitf yönde 90° döndürülüyor. Elde edilen doğrunun denklemini bulunuz.

Yansıma x y + =1 −2 3

Noktanın Noktaya Göre Yansıması (Simetriği) Bir P noktasının M noktasına göre simetriği P¢ = 2M – P dir. P¢

M

Örnek 13:

y = –x2 + 2x + 3

parabolü orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor. Elde edilen parabolün denklemini bulunuz.

−

P

Burada M noktasına simetri merkezi denir. SM : R2 ⇒ R2, SM(P) = 2M – P dönüşümüne, M noktasına göre yansıma dönüşümü denir.

−2 b = =1 . 2a 2 (− 1)

Örnek 14:

A(3, –1)

noktasının M(1, 4) noktasına göre simetriğini bulunuz.


5


Bir Noktanın Eksenlere Göre Yansıması (Simetriği)

Not

y

P = (x, y) noktasının M = (a, b) noktasına göre simetriği C(–a,b)

P¢ = (x¢, y¢) ise

A(a,b)

P¢ = 2M – P ⇒ (x¢, y¢) = 2(a, b) – (x, y)

⇒ (x¢, y¢) = (2a – x, 2b – y)

⇒ x¢ = 2a – x ve y¢ = 2b – y

dir.

–a

a

O

x

B(a,–b)

A = (a, b) noktasının 1) x eksenine göre yansıması B(a, –b) dir. 2) y eksenine göre yansıması C(–a, b) dir.

Noktanın Orijine Göre Yansıması (Simetriği) P = (x, y) noktasının O = (0, 0) noktasına (orijine) göre simetriği P¢ = (x¢, y¢) ise P¢ = 2O – P ⇒ (x¢, y¢) = 2(0, 0) – (x, y)

⇒ (x¢, y¢) = (–x – y)

⇒ x¢ = –x ve y¢ = –y

Örnek 16:

A(5, 12)

noktasının x eksenine göre simetriği B, y eksenine göre simetriği C olduğuna göre, │BC│ kaç birimdir?

= (5 + 5) 2 + (12 + 12) 2

olur. (P noktasının koordinatlarının işareti değişir.)

Örnek 17:

Örnek 15:

A(–1, 8)

A(–2, 3)

noktasının x =1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz. y A(–2,3)

noktasının M(1, 2) noktasına göre simetriği, B, B noktasının orijine göre simetriği C olduğuna göre, │BC│ kaç birimdir?

–2

A′(x1,y1)

O

x x=1

= (3 + 3) 2 + (− 4 − 4) 2 =

6


− 2 + x1 =1 2


Örnek 18:

Örnek 19:

A(2, 5)

noktasının y = 2 doğrusuna göre simetri A′(a, b) olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? y

A(2, 4)

noktasının y = x doğrusuna göre simetriği B, B noktasının y = –x doğrusuna göre simetriği C olduğuna göre, │BC│ kaç birimdir?

A(2,5)

5

b+5 =2 2

y=2 2 O

= (4 + 2) 2 + (2 + 4) 2 = 6 2

x A′(a,b)

Örnek 20:

2x – 4y + 3 = 0

doğrusunun y = –x doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Bir Noktanın Açıortay Doğrularına Göre Yansıması (Simetriği) y a

y

B(b,a)

A(a,b)

b

Örnek 21:

A(a,b)

b

–b

O

b

a

O

x C(–b,–a)

y=x I. açıortay

A(a, b) noktasının

a

x

–a II. açıortay

y=–x

A(2, –3)

noktasının x eksenine göre simetriği B, aynı A noktası& nın orijine göre simetriği C olduğuna göre, A( ABC ) kaç birimkaredir? y C

1) y = x doğrusuna göre yansıması

B(b, a) noktası ve

2) y = –x doğrusuna göre yansıması

3

B

2 –2

O

2

–3

A

x

& = 6 . 4 = 12 A (ABC) 2

C(–b, –a) noktasıdır.


7


Bir Noktanın Bir Doğruya Göre Yansıması (Simetriği)

Örnek 23:

P

A(–1, 6) noktasının x – 2y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriği A′(a, b)

ax+by+c=0 H


d

A(–1,6)

P¢

d doğrusunun denklemi ax + by + c = 0 olmak üzere, P noktasının d doğrusuna göre yansıması P¢ olsun.

a−1 b+6 − 2c m+ 3 2 2 x–2y+3=0

H

PP¢ ^ d, PP¢ Ç d = {H} ve H noktası [PP¢] doğru parçasının orta noktası olur. Bu özelliklerden yararlanarak P¢ noktasının koordinatlarını bulunur.

a–1 b+6 , 2 2

=

b−6 = a+1

A¢(a,b)

Örnek 22: A(1, 3) noktasının

x – 2y – 5 = 0

doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Doğrunun Doğruya Göre Yansıması (Simetriği) 1) Doğrular paralel olabilir.

A(1,3)

d1 : ax + by + c1 = 0 doğrusunun x–2y–5=0 a+1 b+3 H , 2 2

d : ax + by + c = 0 doğrusuna göre yansıması d2 olsun.

d1 // d olduğundan d2 // d olur. d1

A¢(a,b)

a+1 b+3 −2. − 2 2

b−3 =− 2 a−1

d2


ax+by+c2=0

d1 ve d doğruları arasındaki uzaklık, d ve d2 doğruları arasındaki uzaklığa eşittir.

8

ax+by+c=0

d 1 2

ax+by+c1=0

c1 − c a2 + b2 elde edilir.

=

c − c2 a2 + b2

⇒ │c1 – c│ = │c – c2│


Örnek 24:

Örnek 25:

3x – y – 4 = 0 doğrusunun

x + 2y – 2 = 0 doğrusunun

3x – y + 1 = 0

doğrusuna göre yansımasını bulunuz.

x–y–5=0

doğrusuna göre yansımasını bulunuz.

x+2y–2=0

B(2,0)

x–y–5=0 H

A(4,–1)

a+2 b , 2 2

C(a,b)

2) Doğrular dik olabilir. l doğrusunun d doğrusuna göre yansıması (simetriği), l doğrusunun kendisidir.

l

d c

a+2 b − −5 2 2

3) Doğrular bir A noktasında kesiştiğinde P

a+2 , b m 2 2

d1 b =− 1 a−2

A

H

P¢

d

d2

d1 doğrusu üzerindeki bir P noktasının d doğrusuna göre simetriği P¢ olsun. d1 doğrusunun d doğrusuna göre simetriği AP¢ doğrusu olur.


9


Örnek 26:

Örnek 27:

d1: x – 2y – 4 = 0

d : x – 2y + 1 = 0 doğrusunun

doğrusunun

A(2, –1) noktasına göre simetriğinin denklemini bulunuz.

d2: x + y – 1 = 0 doğrusuna göre simetriğinin denklemini bulunuz.

d:x–2y–1=0

B¢(4–x,–2–y)

A(2,–1) x–2y–4=0 d1

d3 d2

md = 1

d1

1 2

K(2,–1)

C(x,y)

a a md =m 3

1 − (− 1) −1 − m = = 2 1 + (− 1) m 1 1 + (− 1) 2

Örnek 28: d1 : 4x – 3y – 5 = 0 doğrusunun

Doğrunun Noktaya Göre Yansıması (Simetriği) d : ax + by + c = 0 doğrusunun A = (m, n) noktasına göre yansımasını bulalım. d:ax+by+c=0

P¢(2m–x,2n–y)

A(1, –2)

noktasına göre simetriği d2 doğrudur. Buna göre, d1 ve d2 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir? B¢(2–x,–4–y)

d1

A(m,n)

d1

P(x,y)

d doğrusunun, A noktasına göre yansıması d1 olsun. d1 doğrusu üzerindeki bir P = (x, y) noktasının A noktasına göre simetriği P¢ = (2m – x, 2n – y) olur. Bu noktanın koordinatları, d doğrusunun denklemini sağlar.

10


A(1,–2) d2

B(x,y)

− 5 − (− 15) 16 + 9

=2


̇ Ötelemeleriṅ Bileşke s

" "

u, v düzleminin sabit iki vektörü, T" ve T" R2 de iki öteleme u v fonksiyonu olsun. ( T" oT" ) (P) = T" 7T" (P)A

u

Örnek 30:

v

u

= T"

u

" (P)

u+ v

A(2, 4)

noktası orijin etrafında pozitif yönde, önce 115° ve sonra da 155° döndürülüyor. Bu iki dönme sonunda elde edilen noktanın koordinatlarını bulunuz.

olur.

Örnek 29: A(3, –2) noktası önce "

u = (2, –1) doğrultusunda, daha sonra da "

v = (–1, 4)

doğrultusunda ötelenerek B noktası bulunmuştur. Buna göre, B noktasının koordinatlarını bulunuz. T" + " u v

Dönme Fonksiyonlarının Bileşkeleri Ra ve Rb gibi herhangi iki dönme fonksiyonunun bileşkesi

(Ra o Rb)(P) = Ra[Rb(P)]

(Ra o Rb)(x, y) = Ra+b(x, y)

dır.

= Ra+b(P) dir.

= (xcos(a + b) – y sin(a + b), x sin(a + b) + y cos(a + b))

Örnek 31: A(3, –2) noktası, önce

"

u = (–1, 5)

doğrultusunda ötelenmiş, sonra da elde edilen nokta orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülmüştür. Bu iki dönüşüm sonucunda elde edilen noktayı bulunuz. T" u

T" u


11


Örnek 32:

Öteleme Simetriği

A(3, 5) noktası,

Bir A noktasının paralel iki doğruya göre yansımasının bileşkesi, bu iki doğru arasındaki uzaklığın iki katı kadar bir ötelemedir.

M(2, 1)

noktası etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor. Elde edilen noktayı bulunuz. $

A

"

A′

A″

"

OM = u

u

AA″ 2

d1

y 5

A

→

4

d2

–u

B

Dönme Simetriği →

–u

O

1

M 2

3

Bir A noktasının, kesişen iki doğruya göre yansımasının bileşkesi, bu iki doğru arasındaki açının iki katı kadar bir dönmedir.

x

"

u

A

"

u

d1 O d2

a a b b

A′

Örnek 33: A(–1, 3) noktasının x = 1 doğrusuna göre yansımasının A″

x = 5 doğrusuna göre, yansımasını bulunuz. y A(–1,3)

–1 O

12

A¢(3,3)

3

x=1

3


A″(7,3)

x=5

7

x

DÖNÜŞÜMLER

Konu Testi - 1

1. Analitik düzlemde

4. A(2, –3) noktasının

A(3, –4)

"

B(–2, 1)

y = –x

noktasının u doğrultusunda ötelenmişi

doğrusuna göre simetriği

noktası olduğuna göre, u aşağıdakilerden hangisidir?

doğrusu üzerinde olduğuna göre, m kaçtır?

"

A) (–3, 4)

B) (–3, 5)

D) (–5, 5)

y = mx – 1

A) 3

B) 2

C) (–4, 5)

C) 1

D) –1

E) -

1 3

1 3

E) (–5, 6)

"

u


"

u

2x – y – 3 = 0


A¢(a, b)

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) –3

2.

B) –2

C) –1

D) 1

E) 2

P(5, –3)

noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor.

2

Elde edilen Q noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

a+5 b–3 H , 2 2

A) (3, 6)

A¢(a,b)

B) (3, 5)

D) (2, 5)

C) (3, 4) c

E) (2, 4)

a+5 b−3 m− m−c 2 2 =−

b+3 1 =− 2 a−5

1 2

3. Köşeleri,

A(1, 6)

B(–2, 1)

C(4, 2)

noktaları olan ABC üçgeni, orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülüyor.

Elde edilen üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (–3, 1)

6. A(–3, 4) noktası

B) (–2, 1)

D) (–2, 2)

E) (–3, 3)

C) (–3, 2)

"

u = (5, –1)

ile ötelenerek B noktası elde ediliyor. Daha sonra B noktası orijin etrafında negatif yönde 90° döndürülerek C noktası bulunuyor.

Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (3, –2)

B) (2, –3)

D) (2, –1)

C) (1, –2)

E) (3, –4)

"

u

c

1−2+4 , 6+1+2 m 3 3


13

DÖNÜŞÜMLER

7.

Konu Testi - 1


A(a, 3) "

noktası u = (2, –1) doğrultusunda ötelenerek

noktası elde ediliyor.

doğrusuna göre simetriği B olduğuna göre, │AB│ kaç birimdir?

Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

B(–3, b)

A) –4

B) –3

C) –2

3x – 4y + 12 = 0

A) 6

D) 1

B) 8

C) 10

D) 12

E) 15

E) 2

"

u

8.

=

A(2, 4)

noktası orijin etrafında 270° döndürülerek bir B noktası elde ediliyor.

Buna göre, │AB│ kaç birimdir? A) 2 7

B) 6

D) 3 5

C) 2 10

11.

E) 7

= (2 − 4) 2 + (4 + 2) 2 10

9.

2x – 3y – 6 = 0

doğrusunun y = x doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir? A) 3x – 2y – 6 = 0

B) 3x – 2y + 6 = 0

C) 3x + 2y – 6 = 0

D) 3x + 2y + 6 = 0

E) 3x – 2y – 4 = 0

A(a, –2 3 )

noktası, orijin etrafında pozitif yönde 120° döndürülerek



B(b, 3 3 )

D) 4

E) 5

1 3 3 1 ,a . + ^− 2 3 h . c − m o m − ^− 2 3 h . 2 2 2 2

a a 3 +3 , + 3o 2 2

3

noktasının

noktasına göre simetriği C ve C noktasının x eksenine göre simetriği D olduğuna göre, │AD│ kaç birimdir?

3

A) 7

a 3 + 3=3 3 2 4 2

C) 2 17

E) 4 5

= (− 2 − 6) 2 + (4 − 2) 2 = 2 17

8. C

9. E

10. D

11. B

12. C


4. ?

5. ?

7. B

3. ?

6. ?

6. A

2. ?

7. ?

5. B

1. ?

D) 2 19

8. ?

4. E

Cevaplar

−

B) 8

9. ?

3. A

a +3 2

B(2, 1)

10. ?

2. B

e−

C) 3

A(–2, 4)

11. ?

1. D

ea . c −

B) 2

12.

12. ?

Cevaplar

A) 1

14

32 + 42

−

6 + 12 + 12

DÖNÜŞÜMLER

Konu Testi - 2

1. Analitik düzlemde bir A noktası

4.

"

u = (2, –3)

doğrultusunda ötelenerek

x – 2y – 3 = 0

doğrusunun, x = 2 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 2y + 1 = 0

B) x – 2y – 1 = 0

noktası bulunmuştur.

C) x + 2y – 3 = 0

D) x + 2y – 2 = 0

Buna göre, A noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

B(–1, 4)

A) (–2, 4)

B) (–2, 5)

D) (–3, 6)

C) (–2, 6)

E) (–3, 7)

5.

2.

A(2, –3)

noktasının y eksenine göre simetriği B,

doğrusuna göre simetriği C olduğuna göre, │BC│ kaç birimdir? B) 3 5

C) 7

D) 5 2

d : 4x – 3y – 1 = 0

doğrusunun,

noktasına göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y = –x

A) 6

E) x + 2y – 1 = 0

A(2, 1)

A) 4x – 3y – 2 = 0

B) 4x – 3y – 5 = 0

C) 4x – 3y – 7 = 0

D) 4x – 3y – 9 = 0

E) 4x – 3y – 10 = 0

E) 8

= (− 2 − 3) 2 + (− 3 − 2) 2 = 5 2

3.

A(–3, 1)

B(5, 3)

olmak üzere,

doğrultusunda ötelenerek [A¢B¢] elde ediliyor.

Buna göre, [A¢B¢] nın orta noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

6.

"

[AB], u = (2, –1)

A) (2, 1)

B) (2, 2)

D) (3, 2)

"

u

E) (3, 4)

C) (3, 1)

A(2 3 , 2)

noktası orijin etrafında 120° döndürülüyor.

Elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (– 3 , 4)

B) (– 3 , 3)

C) (–2 3 , 2)

D) (–2, 2 3 )

E) (–4 3 , 4) = e2 3 . c−

1 3 3 1 ,2 3 . + 2 . c − mo m− 2 . 2 2 2 2 3 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

15

DÖNÜŞÜMLER

7.

10.

A(3, –1)

Konu Testi - 2

B(2, 4) $

olmak üzere, B noktası AB doğrultusunda ötelenerek C noktası elde ediliyor.

doğrusunun,

noktasına göre simetriği, x eksenini B noktasında kestiğine göre, B noktasının apsisi kaçtır?

Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, 7)

B) (2, 8)

D) (1, 8)

x – 2y – 3 = 0

A(–2, 1)

A) –7

B) –8

C) –9

D) –10

E) –11

C) (–1, 7)

E) (1, 9)

$

AB $

AB

11.

noktası

u = (3, –6) doğrultusunda ötelenerek B noktası bulunuyor. B noktası da orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülerek C noktası elde ediliyor.

Buna göre, │BC│ kaç birimdir?

8. Analitik düzlemde bir A noktası "

u = (3, –2)

doğrultusunda ötelenerek

"

B) 5 2

A) 7

B(1, 4)

Buna göre, A noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (–2, 4)

B) (–3, 4)

E) 9

D) (–2, 6)

= (4 − 3) 2 + (− 3 − 4) 2 = 5 2

C) (–3, 5)

E) (–1, 7)

12.

"

u

A(–2, 4)

noktasının,


x–y–4=0

A¢(a, b)

olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

A(a, –4)

noktasına göre simetriği


H

K(–1, 2)

B(–5, b)

C) 11

3. ?

10. E

11. B

12. A


9. C

2. ?

4. ?

8. D

1. ?

−4 + b =2 2

5. ?

7. E

Cevaplar

b−4 =− 1 a+2

E) 15

6. ?

6. C

a + (− 5) =− 1 2

D) 12

7. ?

5. D

B) 8

a−2 b+4 m−c m− 4 2 2

8. ?

4. E

A) 3

c

a–2 b+4 , 2 2

9. ?

3. C

10. ?

2. D

11. ?

1. E

noktasının

12. ?

Cevaplar

16

D) 6 2

u


9.

C) 8

"

A(1, 3)

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

06

ANALİTİK GEOMETRİ

Çemberin Analitik İncelenmesi

hhÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ

Örnek 2:

Düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların

Bir çapının uç noktaları A(–1, 2) ve B(3, –6) olan çembe-

kümesi bir çemberdir.

rin standart denklemini bulunuz. Merkez, [AB] nin orta noktası M(1, –2) dir.

y r

P(x, y)

r

A

M

r

B

r = |MA| = r=

M(a, b)

(1 + 1) 2 + (− 2 − 2) 2

20 birim olur.

İstenen çember denklemi (x – 1)2 + (y + 2)2 = 20 dir.

O

x

M(a, b) noktasına r uzaklıkta bulunan değişken nokta P(x, y) olsun.

Örnek 3:

Merkezi M(1, –2) noktası olan ve A(–3, 1) noktasından

|MP| = r

geçen çemberin standart denklemini bulunuz.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden

^x - ah2 + ^y - bh2 = r ⇒ (x – a)2 + (y – b)2 = r 2

bulunur.

(x – a)2 + (y – b)2 = r 2

denklemine, M(a, b) merkezli ve r yarıçaplı çemberin standart

( 1 + 3) 2 + ( − 2 − 1 ) 2

r = |MA| =

r = 5 birim bulunur. Çemberin denklemi (x – 1)2 + (y + 2)2 = 25 olur.

denklemi denir.

Örnek 4:

Örnek 1:

A(2, –1) noktası

Merkezi M(2, –3) ve yarıçapı r = 4 birim olan çemberin

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 16

(x + 2)2 + (y – 2)2 = r2

standart denklemini yazınız.

çemberi üzerinde olduğuna göre, çemberin yarıçapı r kaç birimdir? A noktasının koordinatları çember denklemini sağlar (2 + 2)2 + (–1 – 2)2 = r2 ⇒ 16 + 9 = r

⇒ r = 5 birimdir.


1

ANALİTİK GEOMETRİ / Çemberin Analitik İncelenmesi

Örnek 5:

Örnek 8:

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 169

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 4

Çemberinin A(1, –2) noktasından geçen en kısa kirişi-

çemberinin merkezinin 4x – 3y + 10 = 0 doğrusuna

nin uzunluğu kaç birimdir?

uzaklığı kaç birimdir?

En kısa kiriş M(–3,1)

C

M(1, – 2) noktasının 4x – 3y + 10 = 0 doğrusuna uzaklığı 4.1 − 3. (− 2) + 10 = 20 = 4 5 4 2 + ( − 3) 2

MA ⊥ CD olmak üzere [CD] kirişidir. |MA|2 = (–3 – 1)2 + (1 + 2)2 = 25

13

) (1,–2

D

A

birimdir.

|MA|2 + |AD|2 = |MD|2

Örnek 9:

25 + |AD|2 = 169

|AD| = 12 cm bulunur.

|CD| = 2.|AD| = 24 cm dir.

Merkezi M(–3, 2) noktası olan ve orijinden geçen çemberin x eksenini kesim noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

Örnek 6:

M(–3, 2) noktasının O(0, 0) noktasına uzaklığı

y A(0, 4)

( − 3) 2 + 2 2 & r =

r=

13 birimdir.

İstenen çemberin denklemi (x + 3)2 + (y – 2)2 = 13 olur.

y = 0 için x eksenini kesim noktalarının apsisleri: B

O

C(8, 0)

x

Şekilde iki köşesinin koordinatları gösterilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin denklemini bulunuz.

(x + 3)2 + (–2)2 = 13 ⇒ x = –6 veya x = 0

bulunur. Apsisler toplamı –6 dır.

Örnek 10:

|BO|.|OC| = |OA|2 ⇒ |BO|.8 = 16

⇒ |BO| = 2 birim

(x + 1)2 + (y – 3)2 = r2

çemberinin çaplarından biri [AB] doğru parçasıdır.

B noktasının koordinatları (–2, 0) olur. Üçgeninn çevrel çemberi [BC] çaplı çemberdir. [BC] nin orta noktası olan D(3, 0) noktası çemberin merkezidir.

A(2, 1) olduğuna göre, B noktasının koordinatlarını bu-

Çemberin yarıçapı BC r = |DA| = = 5 birim olur. 2 Çemberin denklemi

lunuz.

(x – 3)2 + y2 = 25 tir.

Örnek 7:

A(2, 1)

M(–1, 3)

B(m, n)

2 + m =− 1 & m =− 4 2 1+n = 3 & n = 5 bulunur. 2

Örnek 11:

A(5, 0) ve B(0, 3) noktalarından geçen ve merkezi

y = x + 1 doğrusu üzerinde bulunan çemberin merkezi-

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25

Çemberinin 6 birim uzunluğundaki kişilerinin orta nok-

nin koordinatlarını bulunuz.

talarının geometrik yer denklemini bulunuz. Merkez M(x, x + 1) biçimindedir. |MA| = |MB| ⇒ (x – 5)2 + (x + 1)2 = x2 + (x – 2)2 ⇒ x = 11 bulunur. 2 Merkezin ordinatı 11 + 1 = 13 dir. 2 2 Merkezin koordinatları ( 11 , 13 ) 2 2 elde edilir.

2


3

3

H

rıçaplı çemberdir. Bu çemberin denklemi 5

4

A

Geometrik yer M(2, 3) merkezli ve 4 birim ya-

B

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 olur.

M(2,3)

C 3

K

3

D


Örnek 12:

Örnek 15:

Merkezi,

A(0, –2), B(6, 0) noktalarından ve orijinden geçen çem-

berin denklemini bulunuz.

(x + 1)2 + (y – 2)2 = 49

y

çemberinin merkezi ile aynı olan ve A(2, – 2) noktasın-

B(6, 0)

O

dan geçen çemberin denklemini bulunuz.

M(3, –1)

A(0, –2)

Merkezler aynı olacağından çember denklemi

x

3 2 + (− 1) 2 =

10 birim

Çember denklemi (x – 3)2 + (y + 1)2 = 10 olur.

(x + 1)2 + (y – 2)2 = r2

r = |OM| =

biçimindedir. A noktasının koordinatları denklemi sağlar. (2 + 1)2 + (–2 – 2)2 = r2 ⇒ r2 = 25

Eksenlere Teğet Çemberlerin Denklemleri

bulunur. Çember denklemi (x + 1)2 + (y – 2)2 = 25

olur.

y y b

Örnek 13:

r

çemberinin merkezi x + 2y + k = 0 doğrusunun üzerinde olduğuna göre, k kaçtır? M(1, –2) noktasının koordinatları doğru denklemini sağlar.

M(a, b)

b

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 9

M(a, b) r

O

x

a

Çember x eksenine teğet ise r = |b| dir.

O

a

x

Çember y eksenine teğet ise r = |a| dır.

1 + 2(–2) + k = 0 ⇒ k = 3

Çember her iki eksene de teğet ise,

y

bulunur.

|a| = |b| = r dir.

Örnek 14:

M(a, b)

b y

x O A

M x

O

a

1

9

Örnek 16:

y eksenine A noktasında teğet olan şekildeki çemberin

Merkezi M(–3, 1) noktası olan çember y eksenine teğet

denklemini bulunuz.

olduğuna göre, denklemini bulunuz.

|OA|2 = 1.9 ⇒ |OA| = 3 birimdir. Merkezin apsisi 1 + 9 = 5 ordinatı 3 tür. 2 r = |5| = 5 birim olur. çemberin denklemi:

(x – 5)2 + (y – 3)2 = 25

y M –3

r = |–3| = 3 birim Çemberin denklemi

1 O

x

(x + 3)2 + (y – 1)2 = 9


3


Örnek 17:

Örnek 21:

Merkezi M(2, –4) noktası olan çember x eksenine teğet

x = 1 ve x = 5 doğrularına teğet olan ve merkezi

olduğuna göre, denklemini bulunuz. y O –4

r = |–4| = 4 birim 2

x

x–y–1=0

doğrusu üzerinde bulunan çemberin denklemini bulunuz.

Çemberin denklemi

y

(x – 2)2 + (y + 4)2 = 16 2

M

Çemberin merkezinin apsisi 1+5 x = 2 = 3 tür. Ordinatı, x – y – 1 = 0 denkleminde x

x–y–1=0 M x

O

yerine 3 yazılarak y = 2 bulunur. Çemberin çapı, x = 1

x=1 x=3 x=5

ve x = 5 doğruları arsaındaki uzaklığa eşittir.

Örnek 18:

2r = 5 – 1 ⇒ 2r = 4

⇒ r = 2 birim bulunur.

Merkezi M(–2, 2) noktası olan çember her iki eksene te-

Çemberin denklemi

ğet olduğuna göre, denklemini bulunuz.

(x – 3)2 + (y – 2)2 = 4 olur.

r = |–2| = |2| = 2 dir. çemberin denklemi (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4 elde edilir.

Örnek 22:

Örnek 19: A(1, 2) noktasından geçen ve eksenlere I. bölgede teğet

(x + 1)2 + (y – 3)2 = 16

çemberinin A(5, –5) noktasına en yakın noktası B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir?

olan farklı çemberlerin yarıçapları toplamı kaç birimdir? I. bölgede eksenlere teğet olan çemberin standart denklemi

4 M(–1,3)

(x – r)2 + (y – r)2 = r2

|MA| = B

A(5,–5)

(− 1 − 5) 2 + (3 + 5) 2 = 10 bi-

rimdir |AB| = 10 – 4 = 6 birim bulunur.

biçimindedir. A(1, 2) noktasının koordinatları bu denklemi sağlar. (1 – r)2 + (2 – r)2 = r2 ⇒ r2 – 6r + 5 = 0

denkleminde r1 + r2 = 6 dır.

Örnek 20:

Örnek 23:

Eksenlere IV. bölgede teğet olan bir çemberin merkezi

çemberinin, 4x – 3y + 15 = 0 doğrusuna en yakın nokta-

3x – 4y – 14 = 0

doğrusu üzerinde olduğuna göre, bu çemberin denkle-

(x – 2)2 + (y + 4)2 = 25

sı, bu doğrudan kaç birim uzaklıktadır?

mini bulunuz. Çemberin yarıçapı r olsun. IV. bölgede eksenlere teğet olan çemberin mer-

8 + 12 + 15 = 7 birim 16 + 9 |AH| = 7 – 5 = 2 birim |MH| =

M(2,–4)

kezi M(r, –r) olur. Merkezin koordinatları doğru denklemini sağlar.

3r – 4(–r) – 14 = 0 ⇒ r = 2

bulunur. Çemberin denklemi (x – 2)2 + (y + 2)2 = 4 olur.

4


A H

4x – 3y + 15 = 0


Örnek 24:

Örnek 26:

A(–3, 2) noktasından geçen merkezil çemberin denkle-

(x – 2)2 + (y – 1)2 = r2

mini bulunuz.

çemberinin bir çapı [AB] doğru parçasıdır.

Çemberin yarıçapı A noktasının orijine uzaklığıdır.

A noktasının koordinatları (–1, 3) olduğuna göre, B nok-

r=

tasının koordinatları toplamı kaçtır?

A(–1,3)

r

r

13 birim olur.

Çemberin denklemi

− 1 + xO = 2 & xO = 5 2 3 + yO = 1 & yO = − 1 bulunur. 2

B(xO ,yO)

M(2,1)

9+4 =

x2 + y2 = 13 tür.

B noktasının koordinatları toplamı 5 + (–1) = 4 tür.

Çemberin Genel Denklemi Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan standart çember denklemini

Örnek 25:

açarak düzenleyelim.

(x – 2)2 + (y + 3)2 = 4

çemberinin A(–4, 5) noktasına en uzak noktası B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? M(2, –3) B

M(2,–3)

A(–4,5)

|MA| =

(x – a)2 + (y – b)2= r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0

Burada, –2a = D, –2b = E ve a2 + b2 – r2 = F yazılırsa

r = 2 birimdir.

2

(2 + 4) 2 + (− 3 − 5) 2 = 10 bi-

rimdir.

denklemi elde edilir. Bu denkleme çemberin genel denklemi

|AB| = 10 + 2 = 12 birim olur.

denir.

Merkezil Çemberin Denklemi merkezil çember denir. Merkezil

P(x, y)

çemberin denklemi,

r x O

|OP| =

( x − 0) + ( y − 0)

2

=r

⇒x2

+

y2

=

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Çember denkleminde

Merkezi O (0, 0) olan çembere,

y

2

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

r2

D E Merkez: M  − , −   2 2 Yarıçap: r2 = a2 + b2 – F 2

2

 D  E r2 =  −  +  −  − F 2    2

r=

D2 + E 2 − 4 F 2

dir.

dir.


5


Örnek 27:

Genel Denklemin Çember Belirtme Koşulları

x2 + y2 + 12x – 6y – 19 = 0

çemberinin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bulunuz. _ D D = 12 & − 2 = − 6bb ` & M (− 6, 3) E E =− 6 &− 2 = 3 b a 12 2 + (− 6) 2 − 4 (− 19) = 8 birim bulunur. r= 2

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

denklemi verilsin. D = D2 + E2 – 4F

ifadesine çemberin diskriminantı denir. a) D > 0 ise denklem bir gerçek çember belirtir. D E b) D = 0 ise denklem bir nokta belirtir. Bu nokta M  − , −   2 2 noktasıdır. c) D < 0 ise denklem gerçek çember belirtmez, boş kümedir.

Örnek 28:

x2 + y2 – 6x – 7 = 0

çemberinin merkezinin koordinatlarını ve yarıçapını bu-

Örnek 30:

lunuz.

_ D D = − 6 & − 2 = 3bb ` & M ( 3, 0) E E = 0 &− 2 = 0 b a (− 6) 2 + ( 0 ) 2 − 4 (− 7 ) = 4 birimdir. r= 2

x2 + y2 – 4x + 2y + k = 0

denklemi bir çember belirttiğine göre, k nın alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? D2 + E2 – 4F > 0 ⇒ 16 + 4 – 4k > 0

⇒ k < 5

k nın alabileceği doğal sayı değerleri 0, 1, 2, 3, 4 olmak üzere 5 tanedir.

Örnek 29:

x2 + y2 – 4x + 3y – 1 = 0

çemberiyle aynı merkezli olan ve A(–1, 2) noktasından geçen çemberin denklemini bulunuz. Merkezler aynı olacağından aranan çember denklemi x2 + y2 – 4x + 3y + k = 0 biçimindedir. A noktasının koordinatları bu denklemi sağlar. x = –1 ve y = 2 için, (–1)2 + 22 – 4(–1) + 3.2 + k = 0 ⇒ k = –15 bulunur.

Örnek 31:

(m – 1)x2 + 3y2 + 6x + 12y + 2m – 5 = 0

denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? x2 ve y2 li terimleri katsayıları eşit olmalıdır. m – 1 = 3 ⇒ m = 4 bulunarak 3x2 + 3y2 + 6x + 12y + 3 = 0 Denklemi elde edilir. Bu denklemin her iki yanı 3 ile bölünerek x2 + y2 + 2x + 4y + 1 = 0 denklemi bulunur. r=

6


4 + 16 − 4 = 2 birimdir. 2


Örnek 32:

Örnek 33:

Parametrik denklemi

x2 + y2 + (m – 2)xy + 2mx + 12y + 4 = 0

denklemi bir çember belirttiğine göre, bu çemberin merkezinin koordinatlarını bulunuz. Çember denkleminde xy li terim bulunmaz. Bu terimin katsayısı sıfır ol-

x = 2 + 3 cos a

y = –1 + 3 sin a

olan eğrinin bir çember olduğunu gösteriniz.

malıdır.

x – 2 = 3 cosa ⇒ (x – 2)2 = 9 cos2a

m – 2 = 0 ⇒ m = 2 bulunarak

y + 1 = 3 sina ⇒ (y + 1)2 = 9 sin2a

x2 + y2 + 4x + 12y + 4 = 0 Denklemi elde edilir. Çemberin merkezinin koordinatları − D = − 4 = − 2 ve − E = − 12 = − 6 dır. 2 2 2 2

Bulunan eşitlikler taraf tarafa toplanırsa (x – 2)2 + (y + 1)2 = 9(cos2a + sin2a)

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 9

1

Çember denklemi elde edilir.

Uyarı Standart denklemi (x – a)2 + (y – b)2 = r2

Çemberin Parametrik Denklemi y

cos α =

P(x, y) r y α O x H

x

olan bir çemberin parametrik denklemi x = a + r cos α

x r

y = b + r sin α

y sin α = r

olur.

Örnek 34:

x = r cos α  2 2 2 2 2 α + cos α)  ⇒ x + y = r (sin y = r sin α  1 ⇒ x2 + y2 = r 2 olduğundan

x = r cosa

y = r sina

sistemi merkezil çemberin parametrik denklemidir.

x2 + y2 – 2x + 4y – 11 = 0

çemberinin parametrik denklemini yazınız. Verilen denklem

(x – 1)2 – 1 + (y + 2)2 – 4 – 11 = 0

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 16

şeklinde yazılır.

x – 1 = 4 cos α

y + 2 = 4 sin α

ifadeleri çember denklemini sağlar. Bu çemberin parametrik denklemi

x = 1 + 4 cosα

y = –2 + 4 sinα

dır.


7


Denklemleri Verilen Doğru İle Çemberin Birbirine Göre Durumları

Örnek 35:

ax + by + c = 0 doğrusu ile

kesim noktaları A ve B olduğuna göre, |AB| kaç birim-

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberinin kesim noktaları

dir?

ax + by + c = 0

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

x – y + 1 = 0 doğrusu ile x2 + y2 + x – 7y = 0 çemberinin

A) 2 2

B) 3 2

C) 4 2

D) 5 2

E) 6 2

x–y+1=0⇒y=x+1 y nin bu değeri çember denkleminde yazılırsa

sisteminin ortak çözümüne karşılık gelen noktalardır. Ortak

x2 + (x + 1)2 + x – 7(x + 1) = 0

çözüm için doğru denkleminde değişkenlerden biri, örneğin y

x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x = –1 veya x = 3

çekilir ve çember denkleminde yerine yazılır. Elde edilen ikinci

x = –1 için y = 0

dereceden bir bilinmeyenli denklemin diskrimantı D olsun

x = 3 için y = 4 elde edilir. Bu durumda doğru ile çemberin kesim noktaları A(–1, 0) ve B(3, 4) noktalarıdır. |AB| =

a)

B(x2,y2)

D > 0 ise farklı iki gerçek kök vardır. Bu durumda doğru çem-

M

(− 1 − 3) 2 + (0 − 4) 2 & AB = 4 2 birim bulunur.

beri iki noktada keser.

Örnek 36: 4x – 3y + 3 = 0 doğrusu x2 + y2 – 4x + 6y + k = 0 çem-

A(x1,y1)

berine teğet olduğuna göre, çemberin yarıçapı kaç birimdir?

b)

D = 0 ise eşit iki kök (çakışık kök) vardır. Bu durumda doğru çembe-

T(x1,y1) M

re teğet olur.

Çemberin merkezi M(2, –3) noktasının doğruya uzaklığı yarıçapa eşittir. − − + r = 4.2 3 ( 3) 3 = 4 birim bulunur. 16 + 9

Örnek 37: D < 0 ise denklemin gerçek kökü

c)

yoktur. Bu durumda doğru çemberi kesmez. M

x – y – 1 = 0 doğrusu x2 + y2 – 4x + 2y + k = 0 çemberine teğet olduğuna göre, k kaçtır? x–y–1=0⇒y=x–1 Çember denkleminde y yerine x – 1 yazılırsa x2 + (x – 1)2 – 4x + 2(x – 1) + k = 0 x2 + x2 – 2x + 1 – 4x + 2x – 2 + k = 0 2x2 – 4x + k – 1 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır. D = 16 – 4.2(k – 1) = 0 ⇒ k = 3 bulunur.

8



Örnek 38:

Örnek 42:

x2 + y2 – 2x+ 4y – 3 = 0

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 25

çemberinin x ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç

çemberinin 3x – 4y + 5 = 0 doğrusundan ayırdığı kirişin

birimdir?

uzunluğu kaç birimdir?

Çemberin x eksenini kesim noktalarının apsisleri

M noktasının AB doğrusuna uzaklığı + + |MC| = 6 4 5 = 3 birimdir. 5 3x – 4y + 5 = 0 MBC dik üçgeninden |BC| = 4 birim

y = 0 için M(2,–1)

x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ x = –1 veya x = 3 tür. A(–1, 0) ve B(3, 0) noktaları arasındaki uzaklık 4 birimdir. A

5

C

bulunur.

B

|AB| = 2.|BC| = 8 birimdir.

Örnek 39:

x2 + y2 – 2y + m = 0

Örnek 43:

çemberinin x = 2 doğrusuna teğet olması için m sabiti

hangi değeri almalıdır?

çemberi x eksenine teğet olduğuna göre, k kaçtır?

x = 2 için 4 + y2 – 2y + m = 0 y2 –2y + m + 4 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminantı sıfır

x2 + y2 – 12x – 4y + k = 0

y = 0 için x2 – 12x + k = 0

olmalıdır.

denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.

D = 0 ⇒ 4 –4.1(m + 4) = 0

D = 144 – 4k = 0 ⇒ k = 36 bulunur.

⇒ m = –3 bulunur.

Örnek 44:

Örnek 40:

x2 + y2 – mx + 5y + 6 = 0

çemberinin y ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir? x2 + y2 – mx + 5y + 6 = 0 çember denklemi x = 0 için y2 + 5y + 6 = 0 ⇒ (y + 2)(y + 3) = 0

⇒ y = –2 veya y = –3 olur. Çemberin y eksenini kes-

Merkezi M(–2, 6) olan çember x + 2y + 5 = 0 doğrusuna teğettir. Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? Merkezin teğete uzaklığı çemberin yarıçapına eşittir. − 2 + 12 + 5 r = = 15 = 3 5 birim bulunur. 5 12 + 22

tiği noktalar, A(0, –2) ve B(0, –3) olur. Buradan, |AB| = |–2 – (–3)| = 1 birim bulunur.

Örnek 45: Örnek 41:

M(2, 3) merkezli ve r = 5 yarıçaplı çemberin x eksenini

çemberinin 4x – 3y + 15 = 0 doğrusuna en uzak noktası

kestiği noktaların apsisleri toplamı kaçtır?

A olduğuna göre, A noktasının bu doğruya uzaklığı kaç

Bu çemberin denklemi

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 25 tir.

y = 0 için (x – 2)2 + 9 = 25 x2 – 4x – 12 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökler toplamı 4 tür.

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 4

birimdir? Çemberin merkezi M(1, –2) ve yarıçapı r = 2 birimdir. 4 + 6 + 15 Merkezin doğruya uzaklığı = 5 birim olur. . 16 + 9 A noktasının doğruya uzaklığı 5 + r = 5 + 2 = 7 birimdir.


9


Çembere Üzerindeki Bir Noktadan Çizilen Teğetin ve Normalin Denklemi

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun bu noktadaki teğetinin eğimine eşittir.

Teğete değme noktasında dik

Normal

olan doğruya normal denir. Nor-

T

mal çemberin merkezinden geçer.

M

Not

Örnek 48:

Teğet

x2 + y2 = 13

çemberine üzerindeki A(–2, 3) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. kapalı fonksiyonunun türevi 2x + 2yy′ = 0 dır. Türev fonksiyo-

Örnek 46:

nunda A (–2 , 3 ) noktasının koordinatları yazılırsa

x2 + y2 = 20

çemberine üzerindeki A(4,2) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. A(4, 2) x

O

y – 3 = 2 . (x + 2) ⇒ 2x – 3y + 13 = 0 dır. 3

Normalin eğimi : − MN = 2 0 = 1 4−0 2 Teğetin eğimi :

y

MT = – 2 olur

Teğet

Teğetin denklemi

Normal

2(–2) + 2.3.y′ = 0 ⇒ y′ = 2 3 ⇒ m = 2 bulunur. 3 Teğetin denklemi

y – 2 = – 2(x – 4) ⇒ 2x + y – 10 = 0 bulunur.

Örnek 49:

x2 + y2 – 2x + 4y – 3 = 0

çemberine üzerindeki A(3, –4) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. Fonksiyonun türevi 2x + 2yy′ – 2 + 4y′ = 0 x = 3 ve y = –4 için

Örnek 47:

6 – 8y′ – 2 + 4y′= 0 ⇒ y′ = 1

(x – 2)2 +( y – 1)2 = 10

çemberine üzerindeki A(3,–2) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. Normal

M(2,1) A(3,–2)

Teğet

−2 − 1 mN = 3 − 2 = − 3 m N .m T = − 1 − 3. m T = − 1 1 mT = 3 olur.

Teğetin denklemi y + 2 = 1 . (x – 3) ⇒ x – 3y – 9 = 0 3

10


⇒ m = 1 bulunur.

Teğetin denklemi y + 4 = 1.(x – 3) ⇒ x – y – 7 = 0 elde edilir.

Uyarı 1. x2 + y2 = r2 çemberinin üzerindeki A(x1, y1) noktasından geçen teğetin denklemi

x.x1 + y.y1 = r2 dir.

2. x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 çemberi üzerindeki A(x1, y1) noktasından geçen teğetin denklemi D E x.x1 + y.y1 + (x + x1) + (y + y1) + F = 0 dir. 2 2


Örnek 50:

x2 + y2 = 25

çemberine üzerindeki A(–3, 4) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. –3x + 4y = 25 ⇒ 3x – 4y + 25 = 0 elde edilir.

Örnek 53: A(7, 11) noktasından

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 25

çemberine çizilen teğetlerden birinin değme noktası T olduğuna göre, |AT| kaç birimdir? |AT|2 = |MA|2 – r2 ⇒ |AT|2 = (52 + 12)2 – 25

T

⇒ |AT| = 12 birimdir.

5 M(2,–1)

A(7,11)

Örnek 51:

x2 + y2 + 4x – 2y – 27 = 0

çemberine üzerindeki A(2, –3) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz. − − D = 4 = − 2, − E = 2 = 1 2 2 2 2 olduğundan çemberin merkezi M(–2, 1) noktasıdır. MA doğrusunun (normalin) eğimi −3 − 1 =− 1 2+2 ve teğetin mT = 1 olur.

Örnek 54:

çemberin üzerindeki A(4, 2) noktasından çizilen teğetin koordinat eksenleriyle oluşturduğu üçgenin alanı kaç birimkaredir? Çemberin denklemi: x2 + y2 = 20

y

Teğetin denklemi

x2 + y2 = 20

B

y + 3 = 1.(x – 2) ⇒ x – y – 5 = 0

bulunur.

Teğet denklemi: 4x + 2y = 20 ⇒ 2x + y – 10 = 0

A(4, 2) O

A

x

Teğetin x eksenini kesim noktasının apsisi y = 0 için x = 5 ve y eksenini kesim noktasının ordinatı x = 0 için y = 10 dur. T

= A (AOB )

5= .10 25 birimkare bulunur. 2


Merkezi başlangıç noktası olan çember

y = mx + n doğrusunun x2 + y2 = r2 çemberine teğet

olma koşulunu bulunuz.

doğrusuna teğettir.

İki denklemin ortak çözümü yapılır. x2 + (mx + n)2 = r2 ⇒ (1 + m2)x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır. D = (1 + m2)r2 – n2 = 0 (teğet olma koşulu)

3x + 4y – 15 = 0

Buna göre, bu çemberin denklemini bulunuz. Çemberin yarıçapı, başlangıç noktasının doğruya uzaklığıdır. 0 + 0 − 15 = 15 = 3 birim r= 5 9 + 16 Çemberin denklemi x2 + y2 = 9 olur.


11


İki Çemberin Birbirine Göre Konumu

Örnek 56:

a) Dıştan Teğet

(x – 2)2 + (y + 1)2 = 1

(x + 2)2 + (y – 2)2 = r2

r1

çemberleri dıştan teğet olduğuna göre, r kaç birimdir?

r2

M1

M2

M1(2, –1), M2(–2, 2) dir. 4 2 + ( − 3) 2 = 1 + r

|M1M2| = 1 + r ⇒

|M1M2| = r1 + r2

⇒ 5 = 1 + r


b) İçten Teğet

Örnek 57:

r2

r1

M1 M2

M1(–5, 2) merkezli ve r yarıçaplı çember (x – 3)2 + (y + 4)2 = 256

|M1M2| = r1 – r2

çemberlerine içten teğet olduğuna göre, r kaç birimdir? M1(–5, 2), M2(3, –4) tür. |M1M2| = 16 – r ⇒

c) r1

r2

M1

(− 5 − 3) 2 + (2 + 4) 2 = 16 – r

⇒ 10 = 16 – r


M2

r1 – r2 < |M1M2| < r1 + r2

Örnek 58: Merkezi M(2, –3) ve yarıçapı 4 birim olan çembere dış-

d)

tan teğet olan 2 birim yarıçaplı çemberlerin merkezlerinin geometrik yerinin denklemini bulunuz. r1 M1

Geometrik yer M(2, –3) merkezli ve

r2

r = 4 + 2 = 6 birim yarıçaplı çemberdir. Bu

M2 M

|M1M2| > r1 + r2

12


4

2 M1

çemberin denklemi (x – 2)2 + (y + 3)2 = 36 olur.


Konu Testi - 1

1. Köşeleri A(6, 0), B(0, 4) ve O(0, 0) noktaları olan ABC

üçgeninin çevrel çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

4.

A) (x – 6)2 + (y – 4)2 = 52

x2 + y2 – x + 2y – 6 = 0

çemberinin x ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

B) (x – 3)2 + (y – 2)2 = 13 C) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 9 D) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 26 E) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 9

B(0,4)

y

9+4 =

13

M(3, 2) O

A(6, 0)

x

5. Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çember x = –2 ve x = 6 doğrularına teğettir.

Buna göre, bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) (x – 2)2 + y2 = 16

B) (x – 1)2 + y2 = 25

C) (x + 1)2 + y2 = 16

2. Merkezi orijin (koordinat başlangıcı) olan ve A(2, 4)

noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 + y2 = 16

B) x 2 + y2 = 20

D) x 2 + y2 = 25

E) x 2 + y2 = 36 x = –2

x2 + y2 + 4x – 2y – 4 = 0

r=

C) 4

16 + 4 − 4 (− 4) = 3 birimdir. 2

D) 3

x=6

x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0

çemberinin A(3, 4) noktasına en uzak noktası B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? A) 6

çemberinin yarıçapı kaç birimdir? B) 5

x

O M

A) 6

−2 + 6 = 2 dir. 2

C) x 2 + y2 = 24

6.

+ (y + 1)2 = 4

y

4 + 16 = 2 5

3.

E) (x –

D) (x – 2)2 + y2 = 25 2)2

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

E) 2 4 + 4 − 4 ( − 7) = 3 birim ve 2 2 MA = (3 + 1) + (1 − 4) 2 = 5 birimdir.

r=


13


7.

Konu Testi - 1

10.

y

M A x O

2

(x – 1)2 + (y + 2)2 = 16

çemberinin iç bölgesindeki A(2, 1) noktasından geçen en kısa kirişin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x – 3y + 1 = 0

B) x + 2y – 1 = 0

C) x + 3y – 5 = 0

D) 2x + 3y – 5 = 0

8

E) x + y – 2 = 0

Şekildeki M merkezli çember y eksenine A noktasında teğettir. Bu çemberin x eksenini kestiği noktaların apsisleri 2 ve 8 olduğuna göre, denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A(2,1)

B

1+2 = 2−1 3 −1 3

M(1,–2)

−1 3

A) x 2 + y – 5x – 4y + 4 = 0 B) x 2 + y2 – 10x – 8y + 16 = 0 C) x 2 + y2 + 5x + 4y – 6 = 0 D) x 2 + y2 – 10x – 8y – 1 = 0 E) x 2 + y2 – 2x – 8y – 4 = 0

11.

2+8 = 5 2

x2 + y2 + 4x – 2y – 5 = 0 çemberine üzerindeki A(1, 2) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x + 3y – 7 = 0

B) 2x + y – 4 = 0

C) x + 2y – 5 = 0

D) 3x + y – 5 = 0

E) x – 2y + 3 = 0 2−1 = 1 1+2 3

8. Parametrik denklemi x = 3 + 4 cosq

o l a n çemberin x ekseninden ayırdığı kirişin uzunluğu kaç birimdir?

y = 4 sin q

E) 8

12. A(–2, 5) noktasından

2 2 2 + θ sin 2 θ) 4 & (x − 3) + y = 16. (cos 144424443 1

& (x − 3) 2 + y 2 = 16

x2 + y2 – 8x + 6y – 11 = 0

çemberine çizilen teğetlerden birinin değme noktası B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? A) 4

9.

E) 8

64 + 36 − 4 (− 11) =6 2

A(–2,5)

E) 6

8. E

9. A

10. C

11. D

12. E


D) 2

7. B

C) –4

M(4,–3)

6. C

14

B) –7

r=

D) 7

6

çemberi y = –3 doğrusuna teğet olduğuna göre, k kaçtır? A) –11

C) 6

B

x2 + y2 – 4x – 2y + k = 0

5. A

B) 5

4. E

y = 4 sin θ

D) 7

3. D

x − 3 = 4 cos θ

C) 6

2. B

B) 5

1. B

A) 4

Cevaplar

*


Konu Testi - 2

1. Merkezi M(–2, 4) noktası olan çember A(1, 2) noktasından geçmektedir.

4.

Buna göre, bu çemberin A noktasından geçen teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x + 3y – 8 = 0

B) 2x + y – 4 = 0

C) 2x – 3y + 4 = 0

D) 2x – 3y + 4 = 0

x2 + y2 – 2x + 4y + a = 0

denklemiyle verilen çemberin yarıçapı 4 birim olduğuna göre, a kaçtır? A) –8

B) –9

C) –10

D) –11

E) –12

4 + 16 − 4a = 4 & 20 − 4a = 64 2 & a = − 11

E) 3x – 2y + 1 = 0

4−2 2 m MA = − 2 − 1 = − 3 3 mT = 2 bulunur. 3 y − 2 = 2 (x − 1) & 3x − 2y + 1 = 0

2.

5. Parametrik denklemi,

(x – 4)2 + (y + 2)2 = 16

çemberinin A(–8, 3) noktasına en uzak noktası B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? A) 9

B) 11

C) 13

D) 15

E) 17

x = 1 + 3 cos a

y = –2 + 3 sin a

olan çemberin merkezi M(a, b) noktası ve yarıçapı r olduğuna göre, a + b + r toplamı kaçtır? A) 3

(4 + 8)

3.

2+

(− 2 − 3)

2

6.

çemberi ve bu çember üzerinde A(3, 1) noktası veriliyor.

A noktasında geçen çapın öteki uç noktası B(b, c) olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A(3,1)

M(0,2)

B(b,c)

D) 4

E) 8

2 2 4 & (x − 1) + (y + 2) = 9 + = y 2 3 sin α a + b + r = 1 − 2 + 3 = 2 bulunur.

B) –6

C) 2

x − 1 = 3 cos α

x2 + y2 – 4y + a = 0

A) –8

B) –1

C) –5

D) 3

E) 4

(x – 2)2 + (y – 3)2 = 2

çemberine üzerindeki A(3, 2) noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = –x + 5

B) y = –2x + 1

D) y = 2x – 1

C) y = x – 1

E) y = –2x + 3

2−3 m MA = 3 − 2 = –1

b+3 = 0 & b =− 3 2 c+1 = 2&c=3 2


15


Konu Testi - 2

7. Merkezi, 3x + y + 12 = 0 doğrusu üzerinde ve üçüncü bölgede olan çember her iki eksene de teğettir.

10.

Buna göre, bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x2 + y2 – 6x + 8y = 0

çemberinin, 6 birim uzunluğundaki kirişlerine teğet olan aynı merkezli çemberin denklemini bulunuz. A) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 9

A) (x – 6)2 + (y – 6)2 = 36

B) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 16

B) (x + 2)2 + (y – 2)2 = 4

C) (x – 3)2 + (y + 4)2 = 25

C) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 9

D) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 16

D) (x + 4)2 + (y + 4)2 = 16

E) (x + 3)2 + (y – 4)2 = 25

E) (x + 6)2 + (y + 6)2 = 36 3

A

y x

O

K

3

B

r=

36 + 64 = 5 birim 2

M(3,–4)

M

11. Merkezi M(2, –3) noktası olan çember 3x – 4y + 2 = 0 doğrusuna teğettir.

8. A(2, 1) noktasından

x2 + y2 + 2x – 3y + 3 = 0

çemberine çizilen teğetlerden birinin değme noktası B olduğuna göre, |AB| kaç birimdir? 3 B) 2

C) 2

A) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 B) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 9

E) 3

C) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 12 D) (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16

3 M a − 1, 2 k r=

B

1 2 1 2 AB 2 = MA 2 − r 2 & AB 2 = 3 2 + a 2 k − a 2 k

r M(–1, 3 ) 2

A(2,1)

(x – 4)2 + (y + 3)2 = 1

çemberinin orijine en yakın noktasının orijine uzaklığı kaç birimdir? B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

12. Merkezi,

çemberinin merkezi ile aynı olan ve A(–3, 1) noktasından geçen çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 5

y 4

x

M (1, − 2), r = MA =

A

C) 3

D) 2

E) 1

(1 + 3) 2 + (− 2 − 1) 2 = 5

M

6. C

7. C

8. E

9. D

10. B

11. D

12. A


5. C

16

B) 4

4. D

O –3

x2 + y2 – 2x + 4y – 3 = 0

3. B

A) 1

6 + 12 + 2 =4 9 + 16

2. E

r=

& AB = 3 birim bulunur.

1. E

9.

E) (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25

4 + 9 − 12 = 1 2 2 birim

Cevaplar

A) 1

5 D) 2

Buna göre, bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

07


Elips – Hiperbol – Parabol

hhELİPS

d) P(x, y) noktası elips üzerinde bir nokta olmak üzere |PF| + |PF'| = 2a

Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların kümesine elips denir.

y B

Sabit noktalara elipsin odak noktaları, uç noktaları odak noktaları olan doğru parçasının orta noktasına da elipsin merkezi denir. A'

F'(–c,0)

P(x,y)

O

F(c,0)

A

x

y B B'

A'

F'

O

F

A

x

Elips üzerindeki her noktanın odak noktalarına uzaklıkları toplamı 2a olur. Örneğin; B'

|FA| +|F'A| = 2a

|FB| + |F'B| = 2a

Merkezi, koordinat eksenlerinin kesim noktası olan elipsin; a) F(c, 0) ve F'(–c, 0) odak noktalarıdır. Odak noktaları arasındaki uzaklık |FF'| = 2c olur.

e)

y B

P(x,y) a

b F'

O

C

F

x

b) [AA'] asal eksen, A(a, 0) ve A'(–a, 0) asal eksen köşeleridir. Asal eksen uzunluğu |AA'| = 2a dır. B'

BOF dik üçgeninde Pisagor bağıntısından, a2 = b2 + c2 c) [BB'] yedek eksen, B(0, b) ve B'(0, –b) yedek eksen köşeleridir. Yedek eksen uzunluğu |BB'| = 2b dir.

elde edilir.


1

ANALİTİK GEOMETRİ / Elips f) Merkezi orijin ve odak noktaları x ekseni üzerinde olan elipsin denklemi:

Odak noktaları F(6, 0) ve F'(–6, 0) olan elipsin asal eksen uzunluğu 20 birim olduğuna göre, denklemini yazınız.

y B

A'

F'(–c,0)

Örnek 2:

P(x,y)

O

F(c,0)

A

x

2 x2 + y = 100 64 1

B'

|PF| + |PF'| = 2a

(x - c) 2 + y 2 +

(x + c) 2 + y 2 = 2a

denkleminin her iki tarafının karesi alınarak, c2 = a2 – b2 yazılırsa, b2x2 + a2y2 = a2b2

Örnek 3: Odak noktaları F(4, 0) ve F'(–4, 0) olan elipsin yedek eksen uzunluğu 6 birim olduğuna göre, denklemini yazınız.

denklemi bulunur. Bu denklemin her iki yanı a2b2 ifadesine bölünerek elipsin, x2 y2 + =1 a2 b2 standart denklemi elde edilir.

2 x2 y 25 + 9 = 1

Örnek 1:

Örnek 4:

Odak noktaları x ekseni üzerinde bulunan ve asal eksen uzunluğu 12 birim, yedek eksen uzunluğu 8 birim olan merkezil elipsin denklemini yazınız.

2 x2 + y = 36 16 1

2


y2 x2 + =1 169 144 elipsinin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

ANALİTİK GEOMETRİ / Elips

Örnek 5:

Örnek 8:

5x2 + 9y2 = 180 elipsinin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

2 5x 2 + 9y = 180 180 1

2 x2 + y = 36 20 1

x2 y2 + =1 64 b 2 elipsi P(4, 3 3 ) noktasından geçtiğine göre, bu elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

3 3 16 + 27 = 64 b 2 1 2 7 4 7

Örnek 9: Örnek 6:

y2 x2 + =1 100 64 elipsinin odak noktaları F ve F' dür.

Odak noktaları x ekseni üzerinde bulunan bir merkezil elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık 18 birimdir.

P, elips üzerinde herhangi bir nokta olduğuna göre, PFF' üçgeninin çevresi kaç birimdir?

Bu elipsin asal eksen uzunluğu 30 birim olduğuna göre, denklemini bulunuz.

y B

P

x F'

O

2 x2 + y = 225 144 1

F

B'


y

d

B

x2 y2 + =1 25 16 elipsinin asal eksen köşeleri A ve A', yedek eksen köşeleri B ve B' olduğuna göre, A(ABA'B') kaç birimkaredir?

A'

x

O

y B

A'

B'

O

A

B'

x

2a.2b = 10.8 2 2

x2 y2 + = 1 dir. 49 36 A' ve B noktalarından geçen d doğrusunun denklemini bulunuz. Şekildeki elipsin denklemi

x y –7 + 6 = 1


3


Örnek 11:

Örnek 12: y

d

x2 y2 + =1 48 36 elipsinin asal çemberi ile yedek çemberinin sınırladığı halkanın alanı kaç birimkaredir?

B K A'

A F'

O

F

x y

B' 2

2

y x + = 1 elipsin odak noktaları F' ve F dir. 25 16 A'K doğrusu [F'F] çaplı çembere K noktasında teğet olduğuna göre, K noktasının ordinatı kaçtır?

Şekildeki

x

O

12 5

g) Merkezi orijin ve odak noktaları y ekseni üzerinde olan elipsin denklemi:

Not 2

y

A(0, a)

2

y x + = 1 elipsi verilsin. a2 b2 a) O merkezli ve a yarıçaplı çembere elipsin asal çemberi denir.

F(0, c)

B'(–b, 0)

O

B(b, 0)

x

x2 y2 + =1 b2 a2

F'(0, c)

Asal çemberin denk-

y

lemi x2 + y2 = a2 dir.

x

O

b) O merkezli ve b yarıçaplı çembere elipsin yedek çemberi denir.

A'(0, –a)

Yedek çemberin denk-

y

Örnek 13: Odak noktaları F(0,9) ve F'(0, –9) olan elipsin asal eksen uzunluğu 30 birim olduğuna göre, denklemini yazınız.

lemi x2 + y2 = b2 dir.

O

4


x

2 x2 + y 144 225 = 1


Elipsin Ötelenmesi

Örnek 14:

2

2

^x - 3h2 ^y - 2h2 + =1 100 36 Elipsinin odak noktalarının koordinatlarını bulunuz.

y x + =1 a2 b2

elipsinin M = (m, n) vektörü ile ötelenmişinin denklemi,

^x - mh2 ^y - nh2 + = 1 dir. a2 b2

^x - mh2 ^y - nh2 + =1 a2 b2

Merkezil Çember İle Merkezil Elipsi Karşılaştırma

B1

F1

A'1

y

M(m, n)

F'1

B

y

y

A1 r

F A'

O(0, 0)

F'

A

x

O

a x

O

x

y x + a2 b2

B'

b

r

B'1

hh Denklemleri:

Ötelenmiş elipsin,

x2 y2 + 2 = 1 r2 r

x2 y2 + =1 a2 b2

x2 + y2 = r2

b2x2 + a2y2 = a2b2

hh Merkezi M(m, n) hh Odak noktaları,

hh P(x1, y1) noktasındaki teğetleri:

F1(c + m, n), F1'(–c + m, n)

x1x + y1y = r2

x 1.x a

2

+

y 1.y b2

=1

hh Köşeleri A1(a + m, n), A1'(–a + m, n) B1(m, b + n), B1'(m, –b + n)

hh Alanları:

noktalarıdır.

B

d

V=π.a.b

x2 y2 + =1 25 16

y

A'

V = π . r . r = πr2

F'

F

B'

A

x

y x -3+4 = 1 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

5


Örnek 15:

Örnek 17:

x2 y2 + =1 25 16 12 elipsine üzerindeki P c 4, m noktasından çizilen teğetin 5 denklemini bulunuz.

x = 10 . cost

y = 8 . sint

12 4x + 5 . y =1 25 16 12 5

elipsinin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimkaredir?

_ x = x2 = 2 b 10 cost & 100 cos t b ` y y2 = sint & = sin 2 t bb 8 64 a 2 x2 + y = 1 100 64

Örnek 16: y

hhHİPERBOL 2

O

x

2

y x + =1 36 16

Yukarıdaki şekilde elips ile çember arasında kalan taralı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir?

Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları farklı sabit olan noktaların kümesine hiperbol denir. Sabit noktalara hiperbolün odak noktaları, uç noktaları odaklar olan doğru parçasının orta noktasına da giperbolün merkezi denir. y B c F'

A'

a

O

b x A

F

B'

Elipsin Parametrik Denklemleri

x = a . cost

y = b . sint dir.

Merkezi koordinat eksenlerinin kesim noktası olan hiperbolün, a) F(c, 0) ve F'(–c, 0) odak noktalarıdır. Odak noktaları arasındaki uzaklık,

|FF'| = 2c dir.

b) [AA'] asal eksen, A(a, 0) ve A'(–a, 0) asal eksen köşeleridir. Asal eksen uzunluğu,

6


|AA'| = 2a dır.

ANALİTİK GEOMETRİ / Hiperbol c) [BB'] yedek eksen, B(0, b) ve B'(0, –b) yedek eksen köşeleridir. Yedek eksen uzunluğu,

|BB'| = 2b dir.

d) P(x, y) noktası hiperbol üzerinde bir nokta olmak üzere,

||PF| – |PF'|| = 2a dır.

g) İkizkenar hiperbol: x2 y2 - 2=1 a b hiperbolünde a = b ise hiperbol, ikizkenar hiperbol adını alır. İkizkenar hiperbolde, x2 y2 = 1 ⇒ x2 – y2 = a2 dir. a2 a2

y P(x, y)

Örnek 18: x

F'(–c, 0)

–a

a

F(c, 0)

Odak noktaları F(5, 0) ve F'(–5, 0), yedek eksen uzunluğu 8 birim olan hiperbolün denklemini bulunuz.

Hiperbol üzerindeki her noktanın odak noktalarına uzaklıkları farklı 2a dır.

2 x2 y = 9 – 16 1 dir.

e) Bir hiperbolde asal eksen uzunluğu 2a, yedek eksen uzunluğu 2b ve odak noktaları arasındaki uzaklık 2c olmak üzere,

Örnek 19:

c2 = a2 + b2

hiperbolünün odak noktalarını bulunuz.

16x2 – 20y2 = 320

bağıntısı vardır. 2 2 16x 2 20y = x2 y = 320 – 320 1 & 20 – 16 1

f) Merkezi orijin ve odak noktaları x ekseni üzerinde olan hiperbolün denklemi;

|PF| – |PF'| = 2a

^x - ch2 + y 2 -

^x + ch2 + y 2 = 2a

denkleminin her iki tarafının karesi alınarak, c2 = a2 + b2 yazılırsa, b2x2 – a2y2 = a2b2 bağıntısı elde edilir. Bu eşitliğin her iki tarafı a2b2 ifadesine bölünerek, x2 y2 =1 a2 b2 hiperbol denklemi elde edilir.

Örnek 20: 4x2 – y2 = 36 hiperbolünün odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? 2 2 4x 2 y = x2 y = – 1 & – 36 36 9 36 1

3 5

6 5


7

ANALİTİK GEOMETRİ / Hiperbol

Örnek 21:

Örnek 24:

Odak noktaları x ekseni üzerinde bulunan ve merkezi koordinat eksenlerinin kesim noktası olan bir hiperbolün odak noktaları arasındaki uzaklık 20 birim ve asal eksen uzunluğu 12 birim olduğuna göre, denklemini bulunuz.

Merkezi koordinat eksenlerinin kesim noktası, odak noktaları x ekseni üzerinde bulunan ve asal eksen uzunluğu 8 birim olan ikizkenar hiperbolün denklemini bulunuz.

2 x2 y = 16 – 16 1 2 x2 y = 36 – 64 1

Örnek 22: x2 – y2 = 18

b) Merkezi orijin ve odak noktaları y ekseni üzerinde olan hiperbolün denklemi;

hiperbolünün odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

y F(0, c)

2 x2 y = 18 – 18 1

A a

c

O

b

x

A' F'(0, –c)

Örnek 23: F(5, 0) ve F'(–5, 0) noktalarına uzaklıkları farkı 8 birim olan noktalar kümesinin denklemini bulunuz.

hh [AA'] asal eksen, A(0, a) ve A'(0, –a) asal eksen köşeleridir.

hh F(0, c) ve F'(0, –c) odak noktalarıdır. hh c2 = a2 + b2 dir. 2 x2 y = 16 – 9 1

8


hh Hiperbolün denklemi:

y2 x2 – =1 a2 b2


Örnek 25:

Örnek 26:

Odak noktaları F(0, 15) ve F'(0, –15) olan hiperbolün asal eksen uzunluğu 18 birim olduğuna göre, denklemini bulunuz.

^x + 2h2 ^y - 3h2 =1 9 16 hiperbolünün odak noktalarının koordinatlarını bulunuz.

y2 x2 = 81 – 144 1

Hiperbolün Ötelenmesi x2 y2 – =1 a2 b2

hiperbolünün M = (m, n) vektörü ile ötelenmişinin denklemi,

^x - mh2 ^y - nh2 = 1 dir. a2 b2

Not

x2 y2 =1 a2 b2

hiperbolünün üzerinde bulunan P(x1, y1) noktasındaki teğetinin denklemi, y

M(m, n)

F 1'

F1

x 1.x a

2

-

y 1.y b2

= 1 dir.

^x - mh2 ^y - nh2 =1 a2 b2 F'

O

x F

x2 y2 =1 a2 b2

Ötelenmiş hiperbolün

Örnek 27: 4x2 – 9y2 = 27 hiperbolüne P(3, 1) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.

Merkezi: M(m, n) Odak noktaları: F1(c + m, n), F1'(–c + m, n) Köşeleri: A1(a + m, n), A1'(–a + m, n) noktalarıdır.

2 4x 2 9y = 27 – 27 1

2 x2 y = 27 – 3 1 4

3x 1. y = 27 – 3 1 4


9


Parabolün Denklemi

Örnek 28: x2 y2 =1 4 3 hiperbolünün üzerindeki P(4, –3) noktasından geçen normalinin denklemini buluunz.

a) Odak noktası x ekseni üzeride, tepe noktası orijin ve parametresi p olan parabolün denklemi: p p Parabolün odak noktası F b , 0l doğrultmanı x = - doğ2 2 rusu olur. y p Hc– , 0m 2

4. x – 3. y 4 – 3

K(x, y)

O

x=-

hhPARABOL Bir düzlem üzerinde verilen sabit bir noktaya ve sabit bir doğruya eşit uzaklıktaki noktaların kümesine parabol denir. Sabit noktaya parabolün odak noktası, sabit doğruya da parabolün doğrultmanı denir. Odak noktasının doğrultmana uzaklığına parabolün parametresi denir. Parametre p ile gösterilir.

|KH| = |KF| ⇒

bx +

x

p Fc , 0m 2

p 2

p 2 l = 2

bx -

p 2 l + y 2 ⇒ y 2 = 2px 2

denklemi elde edilir. Parabolün simetri ekseni x eksenidir. b) Odak noktası y ekseni üzerinde, tepe noktası orijin ve parametresi P olan parabolün denklemi: p p Parabolün odak noktası F b0, l , doğrultmanı y = - doğ2 2 rusu olur.

y K(x, y)

y L

O

p Fc , 0m 2

x

p Fc , 0m 2

H

Şekildeki parabolün, Parbolün denklemi

hh Parametresi |FL| = p p hh Odak noktası F b , 0l 2 hh Tepe noktası O(0, 0) noktasıdır.

10


x

O

p x=2

hh Doğrultmanının denklemi x = -

K(x, y)

p 2

x2 = 2py

bulunur. Simetri ekseni y eksenidir.

y=-

p 2

ANALİTİK GEOMETRİ / Parabol

Örnek 29:

Örnek 32:

y2 = 8x

A(1, 0) noktası ile x = –1 doğrusuna eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesinin denklemini bulunuz.

parabolünün odak noktasını bulunuz.

P 2

P 2

Örnek 30:

Örnek 33:

x2 = 12y

Doğrultmanı y = –2 ve odak noktası F(0, 2) olan parabolün denklemini bulunuz.


P 2

P 2

Örnek 31:

Örnek 34:

Odak noktası F(–4, 0) ve doğrultumanı x = 4 olan parabolün denklemini bulunuz.

y2 = 12x parabolünün odak noktasından geçen ve x eksenine dik olan kirişin uzunluğunu bulunuz.

P 2 P 2 y 6

A

3

O

–6

x

B


11

ANALİTİK GEOMETRİ / Parabol b) Odak noktası y ekseni üzerinde olan x2 = 2py parabolü

Örnek 35:

M = â, bh vektörü ile ötelenirse,

Parametrik denklemi,

x = cos2t

y = 6cost

(x – a)2 = 2p(y – b)

p parabolü elde edilir. Bu parabolün odak noktası F' b a, + b l , 2 doğrultmanın y = -

olan parabolün odak noktasını bulunuz.

p + b ve tepe noktası T(a, b) dir. 2

P 2

Örnek 36:

(y – 3)2 = 8(x – 2)


M = ( 2, 3)

Parabolün Ötelenmesi

P 2

a) Odan noktası x ekseni üzerinde olan y2 = 2px parabolü M = â, bh vektörü ile ötelenirse,

(y – b)2 = 2p(x – a)

p parabolü elde edilir. Bu parabolün odak noktası, F' b + a, b l , 2 doğrultmanı x = -

p + a ve tepe noktası T(a, b) olur. 2 (y – b)2 = 2p(x – a)

y2 = 4x

y T(a, b)

O

p Fc , 0m 2

F' c

p + a, b m 2

x

parabolüne üzerindeki K(1, 2) noktasından çizilen teğetin denklemini bulunuz.

x

B y2 = 2px

12

Örnek 37:


2 x 2 x

2 x

2 x 1 x


Konu Testi - 1

4. y2 = 20x

x2 y2 + =1 25 16 elipsi için;

1.

I. Asal eksen uzunluğu 10 birimdir.

II. Odak noktaları arasındaki uzaklık 6 birimdir.

III. Yedek eksen uzunluğu 4 birimdir.

ifadelerinden hangileri doğrudur A) Yalnız I

B) I ve II

D) II ve III

x2 = 48y

parabollerinin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 13

B) 15

C) I ve III

D) 26

E) 32

(5 – 0) 2 + (0 – 12) 2 = 13

E) I, II ve III

2.

C) 16

5. (–8, 0) ve (8, 0) noktalarına uzaklıkları toplamı 20 bi-

y B

rim olan noktalar kümesinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A'

O

A

x

A)

y2 y2 x2 x2 x2 y2 + = 1 B) + = 1 C) + =1 100 64 64 100 16 64 D)

x2 y2 + = 1 25 64

E)

y2 x2 + =1 100 36

B'

x2 y2 + = 1 elipsinin eksenleri kestiği noktalar ABA'B' 72 50 olduğuna göre, A(ABA'B') kaç birimkaredir? A) 110

B) 116

C) 120

6 2

D) 132

2 x2 + y = 100 36 1

E) 136

5 2

2a. 2b = 6 2 .5 2 2

y2 x2 =1 49 36 hiperbolünün parametrik denklemi aşağıdakilerden

3.

hangisidir? A) x = 3sinα y = 7tanα

B) x = 7sinα y = 6cosα

D) x = 6secα y = 7tanα x sina _ x = 6tanxa & 6 = cosa bb ` y 1 y = 7seca & 7 = cosa b a

6. y = x + a doğrusu y2 = 8x parabolüne teğet olduğuna göre, a kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

C) x = 6tanα y = 7secα

E) x = 5tanα y = 7secα y2 x2 sin 2 = = 1 49 – 36 cos 2 a – cos 2 a 1


13


Konu Testi - 1

7. y2 – 9x = 0

parabolünün P(1, –3) noktasındaki normalinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2x – 3y – 11 = 0

B) 3x + 2y + 3 = 0

C) x – 2y – 7 = 0

D) 2x – y – 5 = 0

^x - 3h2 ^y - 1h2 + =1 25 16 elipsinin odak noktalarından biri aşağıdakilerden hangisidir?

10.

A) (4, 1) D) (7, 1)

E) x + y + 2 = 0 –3 x

B) (5, 1)

C) (6, 1) E) (8, 1)

3 x –3 x

–3 x

–

3 2 x

3 mT = – 2

2 3 2 3

11.

8. Parametrik denklemleri,

x = 5cosθ

y = 3sinθ

olan elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç bi-

hiperbolünün odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 4

rimdir? A) 2

9x2 – 16y2 = 144

2

B) 6 2

C) 8 2

D) 9

E) 10

2

16y y 9x x 144 – 144 = 1 & 16 – 9 = 1

B) 4

C) 6

D) 8

E) 10

_ x x2 2 b 2 2 5 = cosi & 25 = cos ib & x + y = 1 ` 25 9 y y2 bb 2 = = 3 sini & 9 sin i a

12. x2 – 4x – 8y – 12 = 0

9. x2 – y2 = 64 hiperbolünün bir odağından geçen en kısa kirişin uzunluğu kaç birimdir? C) 14

D) 16

2 x2 y = = = 64 – 64 1, a b 8 dir. 8 2

B) (2, 4)

D) (4, 2)

E) (0, 4)

P 2P = 8 & 2 = 2

5. E

6. B

7. A

8. D

9. D

10. C

11. E

12. C


C) (2, 0)

8 2

8 2

4. A

14

A) (–2, 0)

E) 18

P 2

3. C

8 2

dir?

2. C

B) 12

parabolünün odak noktası aşağıdakilerden hangisi-

1. B

A) 10

Cevaplar


Konu Testi - 2

1. F(3, 0) ve F'(–3, 0) noktalarına uzaklıkları toplamı 8 bi-

4. Asal eksen köşeleri A(13, 0), A'(–13, 0) noktaları olan

rim olan noktaların geometrik yerinin denklemi aşağı-

12 ) noktasından geçen merkezil elipsin denk13 lemi aşağıdakilerden hangisidir? ve K(–5,

dakilerden hangisidir? A)

x2 y2 x2 y2 + = 1 B) + =1 8 5 16 7

C)

x2 y2 + = 1 7 16

E)

D)

x2 y2 + =1 5 8

x2 y2 + =1 16 9

A)

y2 x2 x2 + y 2 = 1 B) + =1 169 169 144

C)

y2 x2 + = 1 144 25

E)

y2 x2 + =1 25 144

x2 y2 + =1 25 16

2 x2 + y = 169 b 2 1

7 2

D)

2 25 12 2 144 25 + y 2 2 = = 2 = 2 = 169 b 2 1 & y b a1– 169 k & a 13 k b . 169 & b 1

2

x +y = 16 7 1

x2 + 2 = 169 y 1

2.

y

P(1, 2) x

O

5.

y2 x2 =1 144 25

hiperbolünün odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 10

B) 12

D) 24

E) 26

Tepe noktası orijin olan P(1, 2) noktasından geçen parabolün doğrultmanının denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) x = –2

B) x = –1

D) x = 2

C) x = 1 E) x = 3

6.

y

p 2

3.

C) 13

x

O

y2 – 18x = 0

Şekildeki elipsin denklemi,

olduğuna göre, bu elipsin yedek çemberi ile elips arasında kalan taralı bölgelerin alanları toplamı kaç birim

parabolünün odak noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (18, 0) D) (2, 6) P 9 2P = 18 & 2 = 2

B) (9, 0)

9 C) c , 0 m 2 E) (1, 3 2 ) 9 Fa 2 , 0 k

x2 y2 + =1 16 9

karedir? A) p

B) 2p

C) 3p

D) 4p

E) 6p


15


Konu Testi - 2

7. K(4, 0) noktasına uzaklığı, x = 1 doğrusuna uzaklığının 2 katı olan noktalar kümesinin denklemi aşağıdakiler-

10.

y

den hangisidir? A) 3x 2 – y2 = 8

B) 3x 2 – y2 = 12

C) x2– y2 = 10

D) x2 – 2y2 = 8

y2 = 4x

C

x

B

O

E) x2 – y2 = 12

A ^ x – 4h2 + y 2 = 2. x – 1

Şekildeki analitik düzlemde verilen OABC dörtgeni bir kare ve bu karenin A ve C köşesi y2 = 4x parabolü üzerindedir.

Buna göre, bu karenin alanı kaç birimkaredir? A) 16

x2 y2 + =1 16 4

8.

B) 24

C) 32

D) 48

E) 64

elipsinin odaklarının birinden geçen ve asal eksene dik olan doğru elipsi P ve K noktalarında kestiğine göre, KOP üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 2 3 B) 4 3

C) 8

D) 12

e2 2

E) 16

y P

11. Parametrik denklemleri

x

F

O

K

2 3 ^2 3 h

2

x=2 3

16

&h = A ÔKP

+

8 cosθ y = 6tanθ

olan eğrinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y2 4 = 1 & y =! 2

PK . OF = 4. 2 3 = 4 3 2 2

x=

A)

x2 y2 x2 y2 = 1 B) =1 48 36 64 36

C)

x2 y2 = 1 64 72

E)

D)

x2 y2 + =1 64 36

x2 y2 + =1 32 36

_ x= 1 x2 = 1 b 8 cosi & 64 cos 2 i b x 2 y 2 ` & 64 – 36 = 1 y y 2 sin 2 i b = = 6 tani & 36 cos 2 i b a

x2 y2 =1 36 64 hiperbolü için,

9.

12. Denklemi,


II. Odak noktaları arasındaki uzaklık 10 birimdir.


olan hiperbolün P(3, –2) noktasındaki teğetinin denkle-

ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I

B) I ve II

D) II ve III

x2 y2 =1 3 2

mi aşağıdakilerden hangisidir? C) I ve III

E) I, II ve III

A) 2x + y – 5 = 0

B) 2x – y – 7 = 0

C) 3x + 2y – 7 = 0

D) 3x + 2y – 11 = 0

E) x + y – 1 = 0

3 x – 2y = 3 – 2 1. B

2. B

3. C

4. A

5. E

6. C

7. B

8. B

9. C

10. C

11. B

12. E


Cevaplar

16

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

08

VEKTÖRLER

hhVEKTÖRLER

Örnek 2:

Standart Birim Vektörler

A = 4 e1 - e 2

B = 2 e 1 + 3e 2

y

olduğuna göre, C = 2 A + B vektörünü bulunuz. e 1 = (1, 0)

e2 = (0,1)

A = 4 e 1 – e 2 & A = ( 4 , – 1)

e2 = (0, 1)

B = 2 e1 + 3 e 2 & B = (2, 3) olur.

x

O

C = 2 A + B & C = 2. (4, –1) + (2, 3) & C = (10, 1)

e1 = (0,1)

Uzunluğu 1 birim olan e 1 = (1, 0) ve e 2 = (0, 1) vektörlerine standart birim vektörler denir. Dik koordinat sisteminde alınan herhangi bir A = (x, y) vektörü bu iki vektörün lineer bileşimi şeklinde yazılabilir.

İki Vektörün İç Çarpımı Dik koordinat sisteminde A = (x1, y1) ve B = (x2, y2) olmak üzere, A ve B vektörlerinin iç çarpımı,

y

A = (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xe 1 + ye 2

O

x

< A , B >= x 1.x 2 + y 1.y 2 dir.

A = (x,y) y

< A , B > iç çarpımı A . B şeklinde de gösterilebilir.

Örnek 3:

A = (2, - 3)

B = (4, 2)

x

olduğuna göre, < A , B > iç çarpımını bulunuz.

Örnek 1:

< A, B>

A = (2, –4) vektörünü e 1 ve e 2 standart birim vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazınız. A = ^2, –4h & A = 2 e1 – 4 e 2

Not İki vektörün iç çarpım sonucu bir gerçek sayıdır.

< A , B >d R


1

VEKTÖRLER

Örnek 4:

Örnek 5:

A = 3 e 1 - 2e 2

A = (2,-4)

B = 2 e 1 + 4e 2

B = (3,1)

C = (–2,5)

olduğuna göre, < AB,B > iç çarpımını bulunuz.

olduğuna göre, < 2. A + B , C > ifadesinin değeri kaçtır? A = 3 e 1 – 2 e 2 & A = ( 3, – 2) B = 2 e 1 + 4 e 2 = B = ( 2, 4)

< 2. A + B , C >

AB = B – A = (–1, 6) olur.

< 2. A , C > + 2. < A , C > + 

< AB , B )

Örnek 6: İç Çarpımının Özellikleri a) < A , A >= A

2

A + B = (3, 5)

A

2

+ B

2

= 30

olduğuna göre, < A , B > iç çarpımı kaçtır? b) < A , B > = < A + B , A + B > 3 .3 + 5. 5

c) k∈R olmak üzere,

i. k. < A , B >= < k A , B >= < A, k B >

ii. < A , B + C > = < A , B >+ < A , C >

< A + B , C >= < A , C >+ 

Not Vektörlerden biri sıfır vektörü ise iç çarpım sıfırdır. Ancak iç çarpım sıfır ise vektörlerden biri veya ikiside sıfır olmayabilir.

A

2 2

+< A , B > + + B

2

= 34

2

A + B + 2. < A , B >= 34 144424443 < A , B >= 34 < A , B >= 2

Örnek 7:

2 A - B = (- 10, 0)

A + B = (1, 3)

olduğuna göre, < A , B > iç çarpımı kaçtır?

2 A – B = (–10, 0) & 3 A = (–9, 3) & A = (–3, 1) 4 A + B = ( 1, 3) A + B = (1, 3) & B = (1, 3) – (–3, 1) & B = (4, 2)

2


VEKTÖRLER

Örnek 8:

Örnek 11:

Analitik düzlemde A(1, –2), B(–3, 4) ve C(–2, 7) noktaları veriliyor.

A = 5 birim

< A , B >= –4

Buna göre, < AB, BC > iç çarpımı kaçtır?

AB = B – A = (–4, 6)

olduğuna göre, < A + B , 2 A > iç çarpımı kaçtır?

< A + B , 2 A > =< A , 2 A > + 

BC = C – B = (1, 3)

= 2. < A , A > + 2. 

< AB , BC >= –4.1 + 6.3 = 14

= 2. A

Örnek 9:

2

+ 2. (–4)

Örnek 12:

A = (1, –2)

A = 8 birim

AB = (–4, 6)

B = 5 birim

A – B = 3 birim


olduğuna göre, A + B kaç birimdir? AB = B - A & AB + A = B & B = (–3, 4) < A , B >= 1. (–3) + (–2) .4 = –11

2

A – B

= 32 & A

2

– 2. < A , B > + B

2

=9

& 64 – 2. < A , B > + 25 = 9 &< A , B >= 40 A+ B

Örnek 10:

A = (a, 2)

B = (3,5)

< A , B >= –2

olduğuna göre, a kaçtır?

2

= A

2

+ 2. < A , B > + B

2

= 64 + 80 + 25 = 169

A + B = 13

İki Vektör Arasında Açı Analitik düzlemde sıfır vektöründen farklı u ve v vektörleri verilsin. Bu iki vektörün konum vektörleri sırasıyla OA ve OB % olmak üzere, AOB açısına u ve v vektörleri arasındaki açı denir.

< A,B>


3

VEKTÖRLER y y

B

u = OA v

A

v θ

O

v = OB

u x

x

% m _ AOBi = θ

0° ≤ θ ≤ 180°

c) A = (x 1, y 1) ve B = (x 2, y 2) vektörleri için A // B ise, x y A = k. B & 1 = 1 = k olur. x2 y2 Bu durumda,

i) Yönleri aynı olan iki vektörün iç çarpımı < A , B >= A . B , (cos0° = 1)

ii) Yönleri zıt olan iki vektörün iç çarpımı < A , B >= - A . B , (cos180° = - 1)

d) A ⊥ B ise,

u

< A, B >= 0 (cos90° = 0)

x1 . x2 + y1 . y2 = 0 dır. hh Aynı doğrultu ve yönde olan iki vektör arasındaki açının ölçüsü 0° dir. hh Aynı doğrultu ve zıt yönde olan iki vektör arasındaki açının ölçüsü 180° dir. A = (x 1, y 1), B = (x 2, y 2) ve A ile B vektörleri arasındaki açının ölçüsü θ olmak üzere, < A , B >= A . B .cosθ veya

x 1.x 2 + y 1y 2 = A . B .cosθ dır. hh cosθ =

< A, B >

dir.

A . B

Örnek 13: u = 6 birim, v = 4 birim ve u vektörü ile v vektörü arasındaki açının ölçüsü 120° olduğuna göre, iç çarpımını bulunuz. 1 = u . v .cos120° = 6.4. a – 2 k = –12

Sonuçlar: a) İki vektör arasındaki açı dar açı ise bu iki vektörün iç çarpımı pozitif bir gerçek sayıdır. < A, B >= A . B .cosθ (cosθ > 0)

Örnek 14: A =(2, 0) ve B = (4, –3) vektörleri arasındaki açının kosinüs değerini bulunuz.

b) İki vektör arasındaki açı geniş açı ise bu iki vektörün iç çarpımı negatif bir gerçek sayıdır. < A, B >= A . B .cosθ (cosθ < 0)

4


cosi =

< A, B > A . B

=

2 . 4 + 0 . (– 3 ) = 8 =4 2 2 + 0 . 4 2 + ( – 3) 2 2 . 5 5

VEKTÖRLER

Örnek 15:

Örnek 18:

A = 4 birim

A = (2, –3)

B = 6 birim

B = (6,4)

< A , B >= 12

olduğuna göre, A ile B vektörü arasındaki açının ölçüsü kaç derecedir?

< A, B > A . B

vektörleri arasındaki açı kaç derecedir? cos =

< A , B > 2.6 + ^- 3h .4 = =0 A .B A .B

12 1 & cosi = 4.6 & cosi = 2 & i = 60°

Örnek 19: ABC dik üçgen

A

BC = 6 birim

Örnek 16:

A = 2 e 1 + 3e 2

B = k e 1 – 4e 2 B

vektörleri için A = B olduğuna göre, k kaçtır?

6

C

Yukarıdaki verilere göre, < AC, CB > iç çarpımı kaçtır? A = 2 e 1 + 3 e 2 & A = (2 , 3 ) B = k e1 – 4 e 2 & B = (k, –4)

< AC , CB >=< –CA , CB >= – CA . CB .cosi = – CA .6.

A = B &< A , B >= 0 & 2k–12 = 0 & k = 6 bulunur.

6 = –36 CA

Örnek 20:

Örnek 17:

A = (6, k)

B = (3,–4)

vektörlerinin açıortay vektörü v = (a, 2) olduğuna göre, a kaçtır?

< A,V>

B = (2,3)

A . V

vektörleri için A//B olduğuna göre, k kaçtır?

6= k 3 –4

A = (–6, 4) ve B = (2, 3)

V = (a, 2)

α α

A = (–6, 4)

=

< B,V> B . V

– 6a + 8 = 2a + 6 36 + 16 4+9

– 6a + 8 = 2a + 6 2 13 13 2 –5


5

VEKTÖRLER

Örnek 21:

Örnek 23:

A θ

ABC bir üçgen

A

A(1, 6)

120°

ABC bir üçgen

% m _BACi = 120°

|AB| = 6 birim

B(–2, 2) 8

6

C(7, –2)

|AC| = 8 birim

% m _BACi = θ

B

B

C

Yukarıdaki verilere göre, cosθ kaçtır?

C

Yukarıdaki verilere göre, < AB, BC > iç çarpımı kaçtır? < AB , BC >=< AB , BA + AC >=< AB , BA > + < AB , AC >

AB = B – A = (–3, –4) AC = C – A = (6, –8) cosi =

< AB , AC > AB . AC

=

–18 + 32 7 = 5.10 25

Örnek 24: ABC bir üçgen

A

|AB| = |AC| = 10 birim |BD| = |DC| = 6 birim 10

B

6

D

6

C

Yukarıdaki verilere göre, < AB + CA, AD > iç çarpımı kaçtır?

Örnek 22: A

6

ABC bir dik üçgen

AB + CA = CA + AB = CB

AB ⊥ AC

< AB + CA , AD >= < CB , AD >

AH ⊥ BC 30°

B

10

H

W) = 30° m (C

C |AH| = 6 birim

Yukarıdaki verilere göre, BA . BC iç çarpımı kaçtır?

Örnek 25:

A = 3 e 1 + 2e 2

B = - 8 e 1 + me 2

vektörleri veriliyor. 6 3

2 3

BA . BC = 4 3 . 8 3 . cos60° = 48

4 3

8 3

A= B

olduğuna göre, m kaçtır?

A = (3, 2), B = (–8, m) A = B &< A , B >= 0 & 3. (–8) + 2.m = 0 & m = 12

6


VEKTÖRLER

Örnek 26:


A

ABCDEF düzgün altıgen

D

E

|AD| = 6 birim

6

[AD] ve [BD] köşegen

|DC| = 8 birim

D

|AB| = 6 birim

8

B

6 3

F

C

C A

Yukarıdaki verilere göre, < BD, CA > iç çarpımı kaçtır?

6

B

Yukarıdaki verilere göre, < DA, DB > iç çarpımı kaçtır? < BD , CA >=< BA + AD , CA >=< BA , CA > + < AD , CA > 3 < DA , DB >= 12.6 3 .cos30° = 12.6 3 . 2 = 108

Örnek 27: D

ABCD bir kare

C

[AC] köşegen |AE| = 2.|EC|

E

Dik İzdüşüm Vektörü

|AB| = 6 birim

A

A

B

6

A

a

a

Yukarıdaki verilere göre, < DE, DC > iç çarpımı kaçtır? < DE , DC >=< DA + AE , AB >=< DA , AB > + < AE , AB > 2 = 3 .6 2 .6.cos45° 24

α

α

2 0 + < 3 .AC , AB >

O

B

H

H

O

b

B

b

Örnek 28:

OA = a , OB = b olsun. Yandaki şekilde denklemi

y

B

O

A

b vektörü üzerine dik izdüşümü denir.

2x + 3y – 12 = 0

olan doğru x eksenini A, y eksenini B noktasında kesmektedir.

C

AH ⊥ OB ve H∈OB olmak üzere OH vektörüne, a vektörünün

a) 0 < α < 90° için OH izdüşüm vektörü b ile aynı yönlüdür. OH

cosα =

a elde edilir.

&

< a, b > a . b

=

OH

& OH =

a

< a, b > b

x

2x+3y–12=0

|AC| = |CB| olduğuna göre, < AB, OC > iç çarpımı kaçtır? b) α = 90° ise dik izdüşüm bir nokta olur. AB = B – A = (–6, 4) < AB , OC > –6.3 + 4.2 = –10


7

VEKTÖRLER c) 90° < α < 180° için OH dik izdüşüm vektörü b ile zıt yönlüdür. OH

A = (–1,a) vektörünün B = (–4,3) vektörü üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu 5 birim olduğuna göre, a kaçtır?

= cos (180°–α) = –cosα

a OH

=-

< a, b >

a

& OH = -

Örnek 32:

< a, b >

a . b

bulunur.

b

< A,B> B

+ a = 5 & 4 53 = 5 & a = 7

a vektörünün b vektörü üzerine dik izdüşüm vektörü, < a, b > .b 2 b

OH =

elde edilir.

Örnek 33:

Örnek 30: A = (2,4) vektörünün B = (8,6) vektörü üzerine dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?

A = (a, –5) vektörünün B = (15,9) vektörü üzerine dik izdüşümü bir nokta olduğuna göre, a kaçtır?

A = (2,4)

OH =

O

H

< A,B> B

+ = 16 24 = 4 10

A = B &< A , B >= 0 & 15a – 45 = 0 & a = 3

B = (8,6)

Örnek 34: Örnek 31: A = (5,10) vektörünün B = (4,3) vektörü üzerine dik izdüşüm vektörünü bulunuz. < A, B > B

2

.B =

5.4 + 10.3 . ( 4, 3) = 2. ( 4, 3) = ( 8 , 6 ) 25

A = 7 e 1 + 4e 2 vektörünün B = 12 e 1 + 5e 2 vektörü üzerindeki dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?

A = (7, 4) ve < A,B> B

8


B = (12, 5)

+ = 84 20 13

VEKTÖRLER

Örnek 35:

elde edilir. A ve B noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemi,

A = - 2 e 1 + 4e 2 vektörünün B = 12 e 1 + 16e 2 vektörü üzerine dik izdüşüm vektörünü bulunuz.

A = (–2, 4) ve < A,B> B

2

.B =

B = (12, 16)

P = A + λ ( B - A ), (λ d R)

biçimindedir.

Örnek 36:

–24 + 64 1 6 8 = = 400 . (12, 16) 10 . (12, 16) a 5 , 5 k

A(2,4) ve B(3, –1) noktalarından geçen doğrunun vektörel denklemini bulunuz.

B – A = (3, –1) – (2, 4) = (1, –5) tir.

Bir Doğrunun Vektörel Denklemi

P = A + m ( B – A ) & (x, y ) = ( 2, 4) + m ( 1, –5)

a) İki noktası verilen doğrunun vektörel denklemi: b) Verilen bir vektöre paralel olan ve bir noktadan geçen doğrunun denklemi:

y

y

A(x1, y1) B(x2, y2)

O

P(x,y)

V = (V1, V2)

P(x,y)

A(x1, y1)

x

x

O

Analitik düzlemde A ve B noktaları verilsin. P, AB doğrusu üzerinde değişken bir nokta olmak üzere, OP = OA + AP dir.

d

A noktasından geçen ve V vektörüne paralel olan d doğrusu üzerinde değişken bir P noktası alalım. OP = OA + AP dir. AP ile V paralel olduğundan,

AB ile AP aynı doğrultuda olduğundan λ∈R olmak üzere,

AP = λAB

yazılabilir.

OP = OA + AP ⇒ OP = OA + λAB

AP = λ V , (λ d R)

yazılabilir.

OP = OA + AP & OP = OA + λ V & P = A + λ V

elde edilir. A noktasından geçen ve V vektörüne paralel olan doğrunun denklemi,

⇒ OP = OA + λ (OB - OA)

⇒ P = A + λ( B - A)

biçimindedir. Burada λ gerçek sayısına doğrunun parametresi, V vektörüne de doğrultu vektörü (doğrultmanı) denir.

P = A + λ V , (λ d R)


9

VEKTÖRLER

Bir Doğrunun Kartezyen Denklemi:

Örnek 37: A(3, –2) noktasından geçen ve V = (1,4) vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz.

A(x1, y1) noktasından geçen ve V = (v 1, v 2) paralel olan doğrunun üzerinde değişken bir P(x, y) noktası alalım.

A(x1,y1)

P

P(x,y)

P = A+mV

V = (v1,v2)

AP = P – A & AP = (x – x 1, y – y 1) AP// V &

Bir Doğrunun Parametrik Denklemi: A(x1, y1) noktasından geçen ve V = (v1, v2) vektörüne paralel olan doğrunun,

P = A + λ V , (λ d R)

vektörel denkleminden

(x, y) = (x1, y1) + λ(v1, v2)

(x,y) = (x1 + λv1, y1 + λv2)

x = x1 + λv1

y = y1 + λv2

x – x1 y – y1 = v2 v1

elde edilir. Bu denkleme doğrunun kartezyen denklemi denir.

Örnek 39: Kartezyen denklemi, x+ 1 y- 2 = 3 4 olan doğrunun kapalı denklemini bulunuz. x+1 = y – 2 + + 4 & 4x 4 = 3y – 6 & 4x – 3y 10 = 0 3

parametrik denklemi elde edilir.

Örnek 38:

Örnek 40:

A(2, 3) noktasından geçen ve V = (4, - 2) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bulunuz.

Vektörel denklemi,

(x, y) = (2, –3) + λ(1, 4) , λ∈R

olan doğrunun kartezyen denklemini bulunuz. AP = P – A = (x – 2, y – 3)

V

P

AP = m V & (x – 2, y – 3) = m (4, –2) &

A

)

10

x = 2 + 4m y = 3 – 2m


x- 2 =  1 y+3 & 4 =  x- 2 = y+3 1 4

VEKTÖRLER

Örnek 41:

Örnek 42:

A(3, –4) noktasından geçen ve N = (–2,6) vektörüne dik olan doğrunun kapalı denklemini bulunuz.

mx + (n – 2)y + 4 = 0

doğrusunun normal vektörü N = (2, 5) olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?

AP = P – A & AP = (x – 3, y + 4)

N = (–2,6)

AP = N &< AP , N >= 0

A(3, –4)

P(x,y)

Örnek 43: Analitik düzlemde parametrik denklemi,

*

x = –4 + 3λ y = a + 4λ

olan doğru A(5, 3) noktasından geçtiğine göre, a kaçtır?

Not 1. Bir doğruya ya da bu doğrunun doğrultmanına dik olan vektöre bu doğrunun normal vektörü denir.

5 = – 4 + 3m 2 3 = a + 4m

Bir d doğrusunun normal vektörü N ve doğrulultmanı V ise, N < N, V> = 0 dır.

Örnek 44:

d V

a 2. ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi m = - dir. O halde b bu doğrunun,

• Doğrultmanı V = (b, –a)

• Normal vektörü N = (a, b)

olarak alınabilir.

Analitik düzlemde bir d doğrusu V = (5 – a, 4) vektörüne paralel ve N = (3,2a) vektörüne dik olduğuna göre, a kaçtır?

< V ,N>


11

VEKTÖRLER

Örnek 45:

Örnek 48:

Analitik düzlemde A(a, 3) noktası,

Vektörel denklemi,

(x,y) = (2, –1) + λ(3, 2)

doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?

(x, y) = (1, 3) + λ(–1, 2) (λ∈R)

olan doğrunun kapalı denklemini bulunuz.

x- 1 -1 y- 3 2 x- 1 = y- 3 -1 2

Örnek 46: Analitik düzlemde A(3, –2) noktasının, parametrik denklemi,

*

x = –1 + 3λ y = 1 + 4λ, λ d R

Örnek 49: Parametrik denklemi,

olan d doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

*

x = 2 - 3λ y = - 1 + 2λ, (λ d R

olan doğrunun x eksenini kesim noktasının apsisi kaçtır?

` 21 j

x+1 = y –1 + 4 & 4x – 3y 7 = 0 3

1 2

1 2

4. 3 – 3 ( – 2 ) + 7 =5 5

Örnek 50: → A(1,2) noktasından geçen ve normal vektörü N = (–3,2) olan doğrunun x eksenini kesim noktasının apsisini bulunuz.

Örnek 47: Denklemleri sırasıyla,

(x,y) = (–2, 1) + λ(1, 2)

(x,y) = (1, –3) + λ(1,2)

olan d1 ve d2 doğruları arasındaki uzaklık kaç birimdir.

5 - ( - 5) = 10 = 2 5 5 2 2 + (- 1) 2

12


1 3

VEKTÖRLER

Konu Testi - 1

1.

A = –4 e 1 + 2e 2

4.

B = 3 e 1 + ke 2

vektörleri için A = B olduğuna göre, k kaçtır? A) 3

B) 4

A = (–4, 2) ve

C) 5

D) 6

OA = 5 birim

OB = 8 birim

8

E) 8

B = (3, k)

60°

< A , B >= 0

A=B

% m _ AOBi = 60°

B

O

5

A

Yukarıdaki verilere göre, OB – OA kaç birimdir? B) 3 5 C) 4 3

A) 6

D) 7

E) 8

OB - OA = OB + AO = AO + OB = AB

AB

2.

2

= 5 2 + 8 2 – 2.5.8. 1 & AB = 7 2

A + B = (–8, 6)


A – B =6

A) 12

B) 16 2

A+ B A – B

C) 18 2

= 100 & A 2

= 36 & A

2

D) 20

+ 2. < A , B > + B – 2. < A , B > + B

2 2

5. Analitik düzlemde A = (–8, 6) vektörünün B = (2, 6) vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü aşağıdakiler-

E) 24

den hangisidir?

= 100

A) (–1,2)

= 36

B) (1,2)

D) (2,3) < A,B>

4. < A , B >= 64 &< A , B >= 16

B

2

.B =

6.

3. A(–3,2) noktasından geçen ve (x,y) = (2,3) + λ(1,2)

doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdaki-

C) (x,y) = (–3, 2) + λ(1,2) D) (x,y) = (–3,2) + λ(1,–2) E) (x,y) = (–5,2) + λ(–1,2) V = ( 1, 2) V = ( 1, 2)

–16 + 36 = 40 . (2, 6) (1, 3)

ABC bir üçgen

A(7,9)

AH ⊥ BC

A(7, 9)

B(–2, 6)

C(4, –2)

B(–2,6)

B) (x,y) = (–2,1) + λ(1,2)

E) (1,4)

lerden hangisidir? A) (x,y) = (4,3) + λ(1,2)

C) (1,3)

H

C(4,–2)

Yukarıdaki verilere göre, |BH| kaç birimdir? A) 2

B)

5 2

C) 3

D)

7 2

E) 4

BA = A – B = (9, 3) BC = C – B = (6, –8) BA

BC

< BA , BC > BC

=

54 – 24 =3 10


13

VEKTÖRLER

Konu Testi - 1

7.

A = 8 birim

10.

B = 6 birim

< A , B >= –24

olduğuna göre, A vektörü ile B vektörü arasındaki

ABC bir üçgen

A

|AB| = 5 birim |AC| = 7 birim 5

7

|BC| = 8 birim

açının ölçüsü kaç derecedir? A) 60 cosi =

B) 90 < A,B> A . B

C) 120

= cosi =

D) 135

E) 150 B

–24 1 = = 8.6 & cosi – 2 & i 120°

8

C

Yukarıdaki verilere göre, < AB, AC > iç çarpımı kaçtır? A) –7

B) –5

C) 5

V = 5.7. < AB , AC >= AB . AC .cosA

8.

A = (4, - 2)

B = (3, 6)

vektörleri

2

E) 8

2

5 +7 – 8 =5 2. 5. 7

11. A(–2, 3) noktasından geçen ve V = (3, –1) vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemi aşağıdaki-

arasındaki

açıyı

ortalayan

bir

lerden hangisidir? (t∈R)

vektör

v = (a,3) olduğuna göre, a kaçtır? A) 5

D) 7 2

B) 6

C) 8

B

cosa =

D) 8 < A, v> A , v

=

E) 9 < v ,B> v . B

V

B) * x = 2t - 3 y =- t+ 1

C) * x = 3t - 1 y =- t+ 2

D) * x = 3t + 1 y = t- 2

E) * x = t + 2 y =- t- 3

4a – 6 = 3a + 18 2 5 3 5 α α

A) * x = 3t - 2 y =- t+ 3

A

(

x = 3t – 2 y = –t + 3

12.

A = 4 birim

ABC bir eşkenar üçgen

B = 3 birim

|BD| = 8 cm

|DC| = 4 cm

9.

A

A ve B vektörleri arasındaki açının ölçüsü 120° olduğuna göre, < A , BA > iç çarpımı kaçtır? A) 16

B) 18

C) 20

D) 22

E) 24

1 < A , BA >=< A , A – B >=< A . A > – < A , B >= 4.4 – 4.3. a – 2 k

B

D

4

C

Yukarıdaki verilere göre, < DA, DC > kaçtır? A) –8

B) –4

C) –2

D) 4

E) 8

< DA , DC >=< DC + CA , DC >=< DC , DC > + < CA , DC > = 4.4 + < CA , –CD > 2. B

3. C

4. D

5. C

6. C

7. C

8. E

9. A

10. C

11. A

12. D


1. D

14

Cevaplar

6

VEKTÖRLER – II

Konu Testi - 2

1.

A + B = 11 birim

A – B = 3 birim

olduğuna göre, iç çarpımı kaçtır? A) 20

B) 21 2

A+ B A – B

= 11 2 & A 2

= 32 & A

C) 24 2 2

4. A(–1,2) noktasından geçen ve N = (–3,1) vektörüne dik olan doğrunun kapalı denklemi aşağıdakilerden hangi-

D) 27

+2. < A , B >+ B

2

sidir? E) 28

= 121

A) 3x + y – 5 = 0

B) x + 3y – 5 = 0

C) x – 3y + 5 = 0

D) 3x + y – 1 = 0

– 2 .< A , B > + B = 9

E) 3x – y + 5 = 0 1 m1 = – 3

N

4. < A , B >= 112 &< A , B >= 28

2.

A = (4, –2) vektörünün B = (4, 3) vektörü üzerindeki

5. A(1, –2) noktasından geçen ve

dik izdüşümünün uzunluğu kaç birimdir?

doğrusuna dik olan doğrunun kapalı denklemi aşağı-

A) 2 < A,B> B

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

(x,y) = (–3, 4) + λ(2, 1)

dakilerden hangisidir?

4. 4 + ( – 2) . 3 = =2 5

A) 2x + y = 0

B) 2x – y – 4 = 0

C) 2x – y = 0

D) 2x + y – 1 = 0

E) 2x + y – 3 = 0 V

1 m1 = 2

3.

ABC bir üçgen % m _ ABCi = 60°

A

|AB| = 4 birim

4

|BC| = 6 birim

6. İki kenarı OA = (4, 3) ve OB = (–2, 6) vektörleri olan OAB üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A) 9

B) 10 6

60° C

α

Yukarıdaki verilere göre, < AB, AC > iç çarpımı kaçtır? A) 4

B) 6

C) 8

D) 12

< AB , AC >=< AB , AB + BC >=< AB , AB > + < AB , BC >

E) 24

E) 16

2 10 4. (–2) + 3.6 = 5.2 10

A

3

6

B

D) 15

y

C) 12

–2

O

4

x

sina =

1 10

3 10

& h = 1 .5.2 10 . 3 = 15 A ÔAB 2 10

= 4.4 + < –BA , BC >= 16 – 4.6.cos60° = 4 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

15

VEKTÖRLER – II

7.

Konu Testi - 2

A

2

D

ABC bir üçgen

10.

|AD| = 2 cm

|AD| = 4 birim

|DC| = 8 cm

|DC| = 2 birim


A

BA.BC = 0

D

DB.DC = 0

8

2 B

C

B

Yukarıdaki verilere göre, BD.BC iç çarpımı kaçtır?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

C

Yukarıdaki verilere göre, BD . _BC + CDi iç çarpımı kaçtır?

E) 24

A) –24

BA . BC = 0 & BA = BC ve DB . DC = 0 & DB = DC dir.

B) –18

C) 18

D) 24

E) 28 2+4 =3 2

4 = BD . BC = BD . BC .cosa = 4. BC . 16 BC

2 7 BD . _BC + CD i = BD . BD = 2 7 .2 7 = 28

8.

u = (2, - 3)

v = (1, 2)

olduğuna göre, iç çarpımı kaçtır? A) –6

B) –4

C) 2

D) 6

11.

A = 4 birim

B = 8 birim

A – B = 10 birim

olduğuna göre, A + B kaç birimdir?

E) 8

A) 4 5 B) 5 3 C) 2 15

u + v = (3, –1) ve 2 v = (2, 4) tür.

D) 5 2 E) 3 5



A

2

– 2 .< A , B + B

2

= 100

< A , B > + 64 = 100 < A , B > –10 A+ B

2

= A

2

+ 2. < A , B > + B

2

= 16 – 20 + 64 = 60

A + B = 2 15

|AB| = 8 birim

12. D

E

A

B

DC // AB

DA ⊥ AB

< AC, BD >= 0

AC = 2 5 cm

BD = 8 5 cm

Yukarıdaki verilere göre, < AE, EC > iç çarpımı kaçtır? A) –16

B) –12

C) 14

D) 16

E) 18

A

B


4 5 < AE , EC >=< –EA , –EB >= ^–4 5 h . ^–4h .cosa = ^ –4 5 h^ –4h .

4

A (ABCD) =

7. B

8. C

9. D

10. E

11. C

12. E


6. D

16

B) 30

C) 32

D) 36

E) 40

< AC , BD >= 0 & AC = BD dir.

4 5

5. A

8

ABCD dik yamuk

C

AC . BD = 2 5 .8 5 = 40 2 2

4. E

|BE| = |EC|

3. A

2. A

C

1. E

D

ABCD bir kare

Cevaplar

9.

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

09

UZAY GEOMETRİ

Uzayda Doğru ve Düzlem

hhUZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM

d) Bir doğru ile dışındaki bir noktadan bir tek düzlem geçer.

Uzayda Bir Düzlemin Belirtilmesi

A

a) D oğrusal olmayan farklı üç noktadan bir tek düzlem geçer. (Uzayın farklı üç noktası bir düzlemin yerini belirtmeye yeter.)

d

A

B

C

Uzayda Doğru ve Düzlemin Birbirine Göre Durumları Bir Düzleme Dik Doğrular

b) Bir noktada kesişen iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

1. B ir doğru, bir düzlemi keser ve düzlemin kesim noktasından geçen farklı iki doğrusuna dik olursa, bu doğru düzleme de diktir. d

d1 d1

A A

d2

d2 (E)

2. B ir doğruya bir noktadan bir ve yalnız bir dik düzlem çizilebilir. c) Çakışık olmayan paralel iki doğrudan bir tek düzlem geçer.

d

d

d1 d2

A

A


1

UZAY GEOMETRİ / Uzayda Doğru ve Düzlem 3. A ve B noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi, [AB] doğru parçasının orta dikme düzlemidir.

Uzayda Paraleller 1. P aralel iki düzlemden birine dik olan doğru, diğerine de diktir. d

D

AB ⊥ E |CA| = |CB|

A (E)

A

C

B

⇒ d // (P)

(P)

∀D ∈(E) için |DA| = |DB| dir.

4. B ir düzleme, dışındaki bir noktadan bir dik ve birçok eğikler çizilirse,

d ⊥ (E)

B

E

(E) // (P)

2. P aralel iki düzlemin üçüncü bir düzlemle arakesitleri birbirine paraleldir. Q

a) Dikme eğiklerden kısadır.

b) Ayağı, dikme ayağından eşit uzaklıkta bulunan eğikler eşit uzunluktadır.

c) Ayağı, dikme ayağından uzak olan eğik, yakın olandan daha büyüktür.

d1 (E)

(E) // (P) ⇒ d1 // d2

d2

(P)

A

AB] ⊥ (P)

|BC| = |BD| ve

C E

|BC| < |BE| ise B

3. B ir doğru kesişen iki düzlemden her birine ayrı ayrı paralelse, bu iki düzlemin arakesitine de paraleldir.

D (P)

E

A Q

d

|AB| < |AC|

|AC| = |AD|

|AC| < |AE| dir.

d // (Q)

B

2


d // (P)

⇒ d // AB

UZAY GEOMETRİ / Uzayda Doğru ve Düzlem 4. K esişen iki doğrunun her biri bir (P) düzlemine ayrı ayrı paralel ise, bu iki doğrunun belirttiği düzlem de (P) düzlemine paraleldir.

Üç Dikme Teoremleri Bir düzlemin dışındaki bir A noktasından, bu düzleme ve düzlemin bir d doğrusuna AH ve AB dikmeleri çizilirse, düzlem içindeki HB doğrusu da d doğrusuna dik olur. A

d1 d2

d1 // (P)

(Q)

⇒ (Q) // (P)

d2 // (P)

d B

H (P)

(P)

Yukarıdaki şekle göre, bu teorem ve karşıtları aşağıdaki gibi ifade edilebilir. a) AH ⊥ (P) AB ⊥ d

5. Aynı doğruya paralel olan farklı iki doğru birbirine paraleldir.

b) AH ⊥ (P) HB ⊥ d d1 // d d2 // d

d1

d2

⇒ d1 // d2

c)

AB ⊥ d HB ⊥ d

⇒ HB ⊥ d

⇒ AB ⊥ d

⇒ AH ⊥ d

d

Kesişen İki Düzlem Arasındaki Açı (Ölçek Açısı)

ynı düzlemde bulunmayan (düzlemsel olmayan) iki doğruA ya aykırı doğrular denir.

Kesişen (P) ve (Q) düzlemlerinin arakesiti d doğrusu olsun. d doğrusu üzerindeki bir A noktasından d doğrusuna; (P) düzlemi üzerinde bir AB dikmesi ve (Q) düzlemi üzerinde bir AC dikmesi çizilirse, AB ve AC doğrularının oluşturduğu açıya (P) ve (Q) düzlemlerinin ölçek açısı denir. d

d2 d1

P

Q A B

d1 ve d2 aykırı doğrulardır. Aykırı doğrular kesişmezler ve paralel değildir.

C

% BAC açısı ölçek açısıdır.


3

UZAY GEOMETRİ / Uzayda Doğru ve Düzlem

Dik Düzlemler

Dik İzdüşüm

Kesişen ik düzlemin ölçek açısının ölçüsü 90° ise, bu iki düzlem birbirine diktir denir. 1. B ir doğru bir (P) düzlemine dik ise, bu doğruyu içine alan her düzlem aynı (P) düzlemine diktir.

A' (P)

(E)

d

(Q) d ⊥ (P) ⇒

(E) ⊥ (P) (Q) ⊥ (P)

(P)

A noktasından (P) düzlemine çizilen dik doğrunun düzlemi kesim noktası A' olsun. A' noktasına, A noktasının (P) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü denir.

A

1. B ir düzleme dik olmayan bir doğrunun, bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir doğrudur.

2. B ir düzleme dik olan bir doğrunun, bu düzlem üzerindeki dik izdüşümü bir noktadır.

2. P aralel iki düzlemden birine dik olan düzlem diğerine de diktir.

d d

(E) d'

A

E

P

(P) (P) // (Q) (E) ⊥ (P)

⇒ (E) ⊥ (Q)

3. P aralel ve farklı iki doğrunun bir düzlem üzerindeki dik izdüşümleri aşağıdakilerden biri olabilir.

(Q)

Paralel iki doğru

a) d2

d1 // d2 ⇒ d1' // d2'

d1 d'2

3. K esişen iki düzlemden her biri ayrı ayrı bir (E) düzlemine dik ise, bunların arakesiti de (E) düzlemine diktir.

d'1 E

(E)

d Q

A

(P) ⊥ (E) (Q) ⊥ (E)

⇒ d ⊥ (E)

b)

B P E

4


d'

d1

d1 // d2

d2

d1 ve d2 oğrularının dik izdüşüd mü aynı bir d' doğrusu olabilir.

UZAY GEOMETRİ / Uzayda Doğru ve Düzlem c)

d1

d1 // d2

d2

d1 ⊥ (P)

A

Örnek 1: (P)

B

P

1 ve d2 doğrularının dik izdüşümleri A ve B gibi iki nokd tadır.

60°

(E)

Bir tabanı (E) düzlemi üzerinde bulunan şekildeki dikdörtgenler prizmasının taban alanı 12 cm2 dir. Bu prizma, (E) düzlemi ile 60° lik açı yapan bir (P) düzlemiyle kesilmiştir.

Kesit alanı kaç cm2 dir?

Bir Doğru Parçasının Dik İzdüşümü [AB] doğru parçasının (P) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü [A'B'] olsun. [AB] doğru parçasını içine alan doğrunun (P) düzlemiyle yaptığı açının ölçüsü α ise, B A

|A'B'| = |AB| . cosα dır.

Örnek 2:

α

A A'

B'

C

Bir Düzlemsel Bölgenin Dik İzdüşümü (P) düzlemi üzerindeki K kapalı bölgesinin, (E) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü K' kapalı bölgesi olsun. (P) ve (E) düzlemleri arasındaki açının ölçüsü α olmak üzere; K' bölgesinin alanı, K bölgesinin alanının cosα ile çarpımına eşittir.

D P

B

Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgeninin [BC] kenarı (P) düzlemi içindedir. Bu üçgenin (P) düzlemi üzerindeki dik izdüşümü D açısı dik açı olan DBC üçgenidir.

|DB| = 4 2 cm & olduğuna göre, A( ABC ) kaç cm2 dir?

(P)

K

A(K') = A(K) . cosα α K' (E)


5


Örnek 3:

Örnek 6: [AD] ⊥ E düzlemi

A 60

|AB| = |BC| = |CA| = 60 m

B

Bir kenarı 60 m olan ABC eşkenar üçgeni biçimindeki arsa, şekildeki gibi kazılıp düzeltilerek yatay BDC dik üçgeni biçimine getirilmiştir.

D E C

ABC eşkenar üçgeninin dik izdüşümü olan BDC dik üçgeni biçimindeki yeni arasının alanı kaç m2 dir?

x.x = x 2 = 1800 = 900 2 2 2

P bir düzlem

A 11

[AB] ⊥ P [CD] ⊥ P

B

C

15

|AB| = 11 cm

9

P

|CD| = 9 cm

D

|BC| = 15 cm

Yukarıdaki verilere göre, A noktasının D noktasına uzaklığı kaç cm dir?

Örnek 7:

Örnek 4:

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? P bir düzlem d⊂P [AB] ⊥ P

A

7

9

[AC] ⊥ d d

B

[BC] ⊂ P

C

|AB| = 7 cm

2

x

|AC| = 9 cm

D P

|CD| = 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, |BD| = x kaç cm dir?

A) Paralel iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğerine paraleldir. B) Bir doğru bir düzleme dik ise, bu düzlem üzerinde bulunan ve kesim noktasından geçen her doğruya diktir. C) Bir doğru bir düzleme paralelse, düzlem içindeki her doğruya paraleldir. D) Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir. E) Bir doğru parçasının orta dikme düzlemi üzerindeki her nokta, bu doğru parçasının uç noktalarından eşit uzaklıktadır. d d1

Örnek 5:

d2

Kesişen P ve Q düzlemlerinin ölçek açısı 30° dir.

P

A ∈ P alınıyor.

A K B L

E bir düzlem

A

A nın Q düzlemine uzaklığı

d⊂E

|AB| = 12 3 cm

[AB] ⊥ E d

C

olduğuna göre, A nın düzlemlerin arakesiti olan KL doğrusuna uzaklığı kaç cm dir? (CV)

3 24 3

6

Örnek 8:


3

B E

C D

[BC] ⊥ d |AB| = 16 cm |BC| = 12 cm |CD| = 15 cm

Yukarıdaki verilere göre, |AD| kaç cm dir?


Hatırlatma

Örnek 11:

Bir dik prizmanın taban alanı G, yüksekliği h ve taban çevresi Ç ise, A'

Şekildeki prizmanın ADEF yüzü, ABCD yüzüne diktir.

E

C'

B'

A

C

Yanal alanı: Y = Ç . h

F

Bütün alanı: 2G + Y

5

C

D

|AB| = 12 cm, |BC| = 10 cm ve |AF| = 5 cm

10

Hacmi: V = G . h olur. A

12

B

olduğuna göre, BCEF yüzünün alanı, ABCD yüzünün alanından kaç cm2 fazladır?

B

Örnek 9: D

F

Hatırlatma

9

Bir dikdörtgenler prizmasının

E

C

D'

A 15

C'

c

B

& & Şekilde, ADF ve BCE birbine eş dik üçgen ABCD, ABEF ve DCEF birer dikdörtgendir. |AB| = 8 cm, |AD| = 9 cm ve |BE| = 15 cm olduğuna göre, bu cismin hacmi kaç cm3 tür?

Alanı: S = 2(ab + ac + bc)

B'

A'

8

f

D

C

b

Hacmi: V = a . b . c

e a

A

B

Yüzey köşegeninin uzunluğu:

9.12 A ^& BCE h = 2 = 54

BD = e =

a2 + b2

Cisim köşegeninin uzunluğu: BD' = f =

Örnek 10: D'

C'

Şekildeki kare dik prizmada [C'E] ⊥ [D'B]

E A'

H

|D'E| + |FB| = 4 3 cm D

Örnek 12:

[AF] ⊥ [D'B]

B'

C

a 2 + b 2 + c 2 dir.

G

|AB| = 4 cm |BC| = 3 cm

E

F

|AB| = 6 cm

6

|GC| = 6 cm

F A

6

B

D

C

olduğuna göre, prizmanın hacmi kaç cm3 tür?

3 A

2 3

6 3

4

B

Yukarıdaki dikdörtgenler prizmasında verilenlere göre, A(DBFH) kaç cm2 dir?


7


Örnek 13:

Örnek 16:

Farklı üç ayrıtının uzunlukları a, b, c birim olan bir dikdörtgenler prizmasının alanı S birim kare ve hacmi V birimküptür. S = 2V olduğuna göre,

H

L

G

2 . |HL| = |LG|

E

F

1 1 1 + + toplamı kaçtır? a b c

S 1 + 1 + 1 = bc + ac + ab = 2 = V = a b c V V 1 abc

|AK| = |KD|

12

|AB| = 24 birim |BC| = 18 birim

C

D

K

18

A

24

|CG| = 12 birim

B

Yukarıdaki şekil bir dikdörtgenler prizması olduğuna göre, |KL| kaç birimdir?

Örnek 14: H

G

|AB| = 6 cm |BC| = 3 cm

E

F

4

Hatırlatma

|GC| = 4 cm

Küp C

D

D'

C'

3 6

A

B

B'

A'

Şekildeki dikdörtgenler prizmasında verilenlere göre, & A _EDCi kaç cm2 dir?

5. 6 2

Hacmi: V = a3

f

a D

C

a & EDC

Alanı: S = 6a2

e a

A

Yüzey köşegeninin uzunluğu:

e B

e= a 2

Cisim köşegeninin uzunluğu: f= a 3

Örnek 15: Farklı üç boyutu 3, 4, 5 sayılarıyla orantılı olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi 480 cm3 olduğuna göre, alanı kaç cm2 dir?

Örnek 17: D'

C'

A(BB'D'D) = 25 2

A' B'

D A

a 2 .a = 25 2

8


Şekildeki küpte

C B

birimkare olduğuna göre, küpün hacmi kaç birimküptür?


Örnek 18:

Örnek 21:

H

G

H

G

[BG] ∩ [CF] = {K}

F

E

ABCDEFGH bir küp

|AB| = 4 cm

A

F

D

C

4

& A _BGEi = 18 3 cm2

E

K D

ABCDEFGH bir küp

C

Yukarıdaki verilere göre, küpün bir ayrıtının uzunluğu kaç cm dir?

B A

B

Yukarıdaki verilere göre, |AK| kaç cm dir? â 2 h . 3 2

4

2 6

= 18 3

Hatırlatma Dik silindir

Örnek 19:

r r

H

G

A(EBCH) = 36 2 cm2 olduğuna göre, küpün cisim köşegeninin uzunluğu kaç cm dir?

E F

D

A

Yandaki şekil bir küptür.

C

B

h

h

2πr

Taban alanı: G = πr2

Yanal alanı: Y = 2πr . h

r r

Bütün alanı:

S = 2G + Y

= 2πr2 + 2πr . h

= 2πr . (r + h)

Hacmi: V = πr2 . h

a 2 = 36 2 a 3 =6 3

Örnek 20: Hacmi 576 cm3 olan bir metal küp eritilerek, boyutları 3, 4, 6 sayılarıyla orantılı olan bir dikdörtgenler prizması biçiminde dökülecektir.

Örnek 22: Uzun kenarı 6 cm, kısa kenarı 4 cm olan bir dikdörtgen uzun kenarı etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç cm3 tür?

Buna göre, bu prizmanın en uzun ayrıtı kaç cm olur? D

A

C

6

4 B


9


Hatırlatma

Örnek 23: D

C

Piramit

D

a) Piramidin alanı:

T 12

Taban alanı ile yan yüzlerinin alanları toplamına eşittir.

12

A

8π

h

A

B

Yukarıdaki şekilde, kenar uzunlukları 8π cm ve 6 cm olan dikdörtgen biçimindeki metal levha yan yüz olacak şekilde bükülerek ve tabanı ayrı bir levha ile kapatılarak silindir biçiminde bardak yapılmıştır. Bu bardak kaç

πcm3

C

D

Taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.

H A

b) Pramidin hacmi:

B

su ile dolar?

Örnek 26: Düzgün bir kare piramidin bütün alanı 360 cm2 ve tabanının bir kenar uzunluğu 10 cm dir.

Örnek 24:

Buna göre, piramidin hacmi kaç cm3 tür? A

Taban yarıçapı 4 cm olan bir dik silindir, taban düzlemiyle 60° lik açı yapan bir düzlemle şekildeki gibi kesilmiştir.

T

&h = 260 = 65 cm 2 A ^TBC 4 10. TK = 65 2

h C

D

60° B

4 O

C

H

Elde edilen cismin hacmi kaç cm3 tür?

A

10

1 3

K

5 B

8 3 1 V = 2 .r.16.8 3 = 64 3 r

Örnek 27: H

Örnek 25: Bir ayrıtının uzunluğu 8 cm olan bir küpün içine, küpün yüzlerine teğet şekildeki gibi bir silindir yerleştirilmiştir.

G K

E

F

Yandaki küp ile köşeleri bu küpün ayrıtları üzerinde olan BFGK piramidi verilmiştir. |EK| = |KF| = 3 cm

D

A

C B

olduğuna göre, piramidin hacmi kaç cm3 tür? Buna göre, silindirin hacmi kaç cm3 tür? KF . FG = 3. 6 = 9 A ^& KFG h = 2 2 1 3

10



Örnek 28:

Örnek 30: Yanal alanı 15π cm2 olan bir dik koninin ana doğrusunun uzunluğu 5 cm dir.

Yandaki şekilde EFGH düzlemi piramidin ABCD taban düzlemine paraleldir.

P

H

2 . |PE| = 3|EA|

G

E

F C

D A

Buna göre, bu koninin hacmi kaç cm3 tür?

olduğuna göre, (P, EFGH) piramidinin hacminin (P,ABCD) piramidinin hacmine oranı kaçtır?

T

5

h

1 3

B A

O

3k 27 a 5k k = 125 3

B

r

Örnek 29: Şekildeki piramit tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

T

D

Taban alanı, kesit alanının 9 katı olduğuna göre, kesik piramidin hacmi küçük piramidin hacminin kaç katıdır?

F E

A

Örnek 31:

C

A

B d

6 Vküçük 1 3 1 Vbüyük = a 3 k = 27

TE 2 1 TE n = & =1 9 3 TB TB

B

C

Şekildeki gibi, koni biçiminde bir kapak ile koni biçiminde bir gövdeden oluşan kapaklı bir cisim yapılacaktır. Kapak koninin yanal ayrıtı 6 cm yanal alanı 48 cm2 dir.

15

Hatırlatma

D

Koni

Gövde koninin yanal ayrıtı 15 cm olduğuna göre, yanal alanı kaç cm2 olur?

T

T

α

Kapak

,

KapakGövde

T

T

S1

S1

Gövde

r

r

Y = 2πr 2πr

2πr

A

r O Koni

B

S2 2πr

2πr

r O

r O

2πr S2

r O D

D

Taban yarıçapının uzunluğu r, yükseklik uzunluğu h ve ana doğrusunun uzunluğu  olan bir koninin, Yanal alanı: Y = πr Bütün alanı: S = πr2 + πr = πr(r + 1) 1 Hacmi: πr2h 3 r Açık şekilde merkez açı: α = . 360° dir. , LYS Geometri Planlı Ders Föyü

11


Örnek 32:


A

B merkezli ve 6 birim yarıçaplı çeyrek daireden [AC] doğru parçasının ayırdığı şekildeki taralı bölge, [BC] etrafında 360° döndürülüyor.

A

[AB] ⊥ [AC] [AH] ⊥ [BC] 6

|BH| = 3 cm B

3

H

12

C

Oluşan cismin hacmi kaç π birimküp olur?

|HC| = 12 cm

Şekildeki dik üçgen [BC] hipotenüsü etrafında 360° döndürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç cm3 olur?

B

6

C

A A

1 4 3 1 2 =1 4 1 3 2 2 . 3 . rr – 3 rr . h 2 . 3 . r. 6 – 3 r. 6 . 6 = 144r – 72r

6 6 B B

3

H

12

A'

1 1 V = 3 .r.6 2 .3 + 3 .r.6 2 .12

Örnek 35: Yarıçapı 10 cm olan kürenin içine taban yarıçapı 6 cm olan bir dönel koni yerleştiriliyor.

Hatırlatma

Koninin hacmi en fazla kaç π cm3 olur?

Küre

r

O

A

r

Bir küre merkezinden geçen bir düzlemle kesilirse, elde edilen çembere kürenin büyük çemberi B denir. Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin, Alanı: S =

4πr2

Hacmi: V =

Buna göre, elde edilen kesit dairenin alanı kaç cm2 dir?

O

A

12

1 3 1 3

10 10 8 B

H

6

C

Örnek 36:

Yarıçapı 5 cm olan bir küre, merkezinden 4 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.

4

A

4 3 πr tür. 3

Örnek 33:

H

= 72r birimküp

C

6

C

5 B


Şekildeki küre, silindirin yan yüzüne ve tabanlarına teğettir. Kürenin yarıçap uzunluğu 6 cm olduğuna göre, silindirin yanal alanı kaç cm2 dir?

UZAY GEOMETRİ

1.

Konu Testi - 1 [AB] ⊥ P

4.

[AC] ⊥ d

[BC] ⊂ P

A

9

15

d⊂P

d

B

|AB| = 9 cm

C

|AC| = 15 cm

5

x D

|CD| = 5 cm

P

Yukarıdaki şekilde A noktası P düzleminin dışındadır.

Buna göre, |BD| = x kaç cm dir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

ABC bir üçgen

A

[AB] ⊥ [AC] [AH] ⊥ [BC]

8

|AB| = 8 birim

C |BH| = 2 birim

B

ABC üçgeninin [BC] hipotenüsü etrafında 360° döndü-

H

2

rülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç π birimküp olur? A) 540

B) 600

C) 620

D) 640

E) 680

A

E) 16

6

B

2

C

H

2. Uzayda:

I. Bir doğru bir düzleme dik ise düzlemi kestiği noktadan geçen ve bu düzlem içinde bulunan her doğruya diktir.

II. Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.

III. Aynı düzleme paralel olan iki doğru birbirine paraleldir.


B) I ve II

D) II ve III

A'

5. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 2, 3, 6 sayıları ile orantılıdır.

C) I ve III

Bütün alanı 288 cm2 olduğuna göre, hacmi kaç cm3 tür?

E) I, II ve III

A) 416

3. Bir kürenin alanı t cm2 ve hacmi t cm3 tür. Bu küre, merke-

6.

B) 312

C) 288

D) 254

α

Arakesit çemberin düzlemden ayırdığı dairenin alanı B) 3π

C) 4π

D) 5π 4 3

O

A

2

R

H

r

B

E) 6π A

5

O Şekil I

2

6 A'

A

6

kaç cm2 dir? A) 2π

E) 196

T

T

zinden 2 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.

1 3

1 3

B

O

2

B

Şekil II

I. şekilde verilen bir dik koni açılarak II. şekil elde edilmiştir.

Koninin taban yarıçapı 2 cm ve ana doğrusu 6 cm olduğuna göre, ATA' daire diliminin merkez açısı α kaç derecedir? A) 90

B) 105

2 r a = , = 360° = 6 .360° = 120

C) 120

D) 135

E) 150


13

UZAY GEOMETRİ

Konu Testi - 1

7. Bir dik piramit yan ayrıtlarının orta noktalarından geçen bir

10.

A

düzlemle kesiliyor. A

Elde edilen kesik piramidin hacmi küçük piramidin

14

hacminden 42 cm3 fazla olduğuna göre, piramidin ke-

4

silmeden önceki hacmi kaç cm3 tür? A) 48

B) 56

C) 60

B

D) 64

F C

x B

F

C

I

8.

P

A

E

E) 72

3 V = a 1k 2 V + ^V + 42h

D

D

II

|AB| = 14 cm

|DE| = 4 cm dir.

I. durumda eğik tutulan ve içinde su bulunan silindir kap

PAB bir üçgen

II. duruma getirildiğinde, su yüksekliği |FB| = x kaç cm

|PA| = |PB| = 15 cm

olur?

|AB| = 18 cm

A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

14 – 4 = 5 2 E B

Yukarıdaki şekilde PAB üçgen düzleminin E düzlemiyle

11. Uzayda:

yaptığı açının ölçüsü 30° olduğuna göre, P noktasının E

I. Paralel iki doğrudan birini kesen her doğru diğerini de keser.

II. Paralel iki doğrudan birine paralel olan her doğru diğerine de paraleldir.

III. Birbirine dik iki doğrudan birine dik olan her doğru diğerine paraleldir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

düzlemine uzaklığı kaç cm dir? C) 4 3

D) 8

E) 6 2

P 15

12 = 2 6

A 30°

K

H 9

A) Yalnız I

E

D) II ve III

B

9.

H

G Şekildeki dikdörtgenler

K

prizmasında

E

3

F

C

D

12.

|AB| = 8 cm

4

G

8

F

Şekildeki dikdörtgenler priz-

8 C

A

C) 32

D) 36

E) 40

Buna göre, ayrılan piramidin hacmi kaç cm3 tür? A) 20

B) 24

C) 32

D) 36

E) 40

1 6. 4 V = 3 . 2 .8 = 32

2

6. C

7. B

8. B

9. A

10. C

11. C

12. C


5. C

8. 5 = 20 A ^& KABh =

14

B

4. D

B) 24

6

ması BEG düzlemiyle kesilerek BEFG piramidi ayrılıyor.

4

& K∈[HG] olduğuna göre, A ^KABh kaç cm2 dir? A) 20

|AE| = 8 cm

D

B

|AB| = 6 cm |BC| = 4 cm

E

dir. A

C) Yalnız II E) I, II ve III

H

|BC| = 4 cm |CG| = 3 cm

B) I ve III

3. D

9

2. B

B) 6

1. B

A) 5

Cevaplar

UZAY GEOMETRİ

Konu Testi - 2

1. Uzayda:

4.

üzerinde bulunan şekil-

I. Paralel iki düzlemden biri içindeki her doğru diğer düzleme paraleldir.

II. Kesişen iki düzlemden birini kesen her doğru diğerinide keser.

III. Bir doğru bir E düzlemine dik ise, bu doğruyu içine alan her düzlem E düzlemine diktir.

Bir tabanı (E) düzlemi deki silindirin taban ala(P)

dir, (E) düzlemi ile 45° lik açı yapan bir (P) K' 45°


B) I ve II

D) II ve III

C) I ve III

nı 4π cm2 dir. Bu silin-

Buna göre, kesit alanı kaç cm2 dir? B) 6π C) 6 2 π

A) 4 2 π

E) I, II ve III

düzlemiyle kesilmiştir. (E)

D) 8π E) 8 2 π d

4 2

E

P

PA ⊥ E

5. Uzayda:

[AB] ⊂ E

[AC] ⊂ E % m ^PBA h = 30°

I. Bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi bir çemberdir.

II. Paralel iki düzlemden birine dik olan doru diğerine de diktir.

|PB| = 10 birim

III. Aynı düzleme paralel olan iki doğru birbirine paraleldir.

|AC| = 3 birim

ifadelerinden hangileri doğrudur?

2.

P

30°

x

10 3

A

C

B E

|PC| = x

A) Yalnız I

Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? A) 2 5

B) 5

C) 4 2 D)

10 PA = 2

34

D) I ve II

E) II ve III

E) 6

Şekildeki silindir kap ağzı-

6.

na kadar su ile dolu iken

12

30° eğikliğinde su düzeyi şekildeki gibi olmaktadır.

Silindirin yüksekliği 12 cm olduğuna göre, kaptan kaç cm3 su boşalır? C) 84π

2r 3 = 12 & r = 2 3 cm 2 3 144r 2

D) 90π

E) 96π

Yukarıdaki şekilde 120° bir daire

120°

diliminin alanı 36π birimkaredir. Bu dilim kıvrılarak tepe noktası B

O olan bir dik koni yapılmak isteniyor.

Tabanı için gerekli olan dairenin alanı kaç birimkare olur? A) 9π

B) 72π

O

A

30°

A) 60π

C) Yalnız III

34

3.

B) Yalnız II

B) 12π

C) 15π

D) 16π

E) 18π

r, 2 = 36r & , = 6 3 3 2rr = 120° = = = 2r, 360° & , 3r & 6 3 3r & r 2 3 2 2 rr = ^2 3 h r = 12r


15

UZAY GEOMETRİ

7.

Konu Testi - 2

G

Tahtadan yapılmış şekilde-

F

KLB düzlemi ile kesilerek

L

H

10. Hacmi 72π birimküp olan bir dik koni, yüksekliğinin tam ortasından tabana paralel bir düzlemle kesiliyor.

ki dikdörtgenler prizması

K E

taralı olan parça ayrılıyor.

D

A) 63π

C

A

Elde edilen kesik koninin hacmi kaç birimküptür? B) 48π

C) 36π

D) 32π

E) 24π

V = 1 3 V =1 = 72r a 2 k & 72r 8 & V 9r

B

K ve L bulundukları ayrıtların orta noktaları olduğuna

göre, ayrılan parçanın hacminin kalan parçanın hacmine oranı kaçtır? A)

1 7

B)

1 1 1 1 C) D) E) 8 15 23 24

11.

Vpiramit 1 . a . b . c 1 3 2 2 2 Vprizma = a.b.c = 24

D

|AE| = 8 cm ve |BD| = 25 cm & olduğuna göre, A ^DEBh kaç

cm2 dir?

A

B

8. Bir kürenin içine taban yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 8 cm

E

olan bir dik koni yerleştiriliyor.

A) 135

Buna göre, kürenin alanı en az kaç A) 64π

B) 100π

C) 110π

cm2

B) 140

C) 144

D) 150

D) 125π

E) 144π &h = 20.15 = 150 A ^DEB 2

R O

R

H

12.

C

C ABCD bir paralelkenar

D

m ^W A h = 60°

9.

Bir dik silindir, CDE düzlemi ile şekil-

C E

E) 160

dir?

A

B

|AB| = 17 cm dir.

1 23

Şekildeki dik silindirin taban çapı

C

deki gibi kestirilerek üstteki parça

20

A

olduğuna göre, bu cismin hacmi kaç cm3 tür? A) 920π D) 1000π

B

Şekildeki ABCD paralel kenarının [AB] kenarı etrafında

A) 72π

|AD| = 20 cm

B) 948π

8

olur?

|CD| = 20 cm B

|AD| = 6 cm

60°

360° döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç cm3

|BC| = 36 cm

36

|AB| = 8 cm

A

Kalan parçada,

20

atılmıştır.

D

6

B) 120π

C) 144π

E) 240π

C

D

C) 690π

D) 216π

A

B

E) 1008π 3 3 3 3

20 + 36 = 28 2

1. C

2. D

3. B

4. A

5. B

6. B

7. D

8. B

9. E

10. A

11. D

12. D


Cevaplar

16

3 3

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

10

TARAMA

1.

6

L

K

3

CL ^ DE

│AK│ = 3 cm

│CL│ = 6 cm

A

Yukarıdaki verilere göre, │EB│ = x kaç cm dir?

B

x

9

D

B) 3

D) 5

G

D

C

H

A

Yukarıdaki dörtgenin köşegenlerinin uzunlukları toplamı 16 cm olduğuna göre, EFGH dörtgeninin çevresi kaç cm dir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

│EC│ = 10 cm

C)

85

D) 10

E) 5 5

8 6 = 10 + x 9

85

5. x2 + y2 – 2x – 4y + k – 2 = 0

B

E

B) 9

E, F, G, H bulundukları kenarların orta noktaları

F

C

8

&+& DCE ACB

ABCD bir dörtgen

E) 6

5 3 = a 6

& KAE + & LCD

2.

C) 4

│DC│ = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, şekildeki çemberin çapı kaç cm dir? A) 6 2

A) 2

10

B

E

│AB│ = 9 cm

│EK│ = 4 cm

4

ABC dik üçgen E

AK ^ DE

A

4.

ABCD bir kare

C

D

çemberin yarıçapı 2 birim olduğuna göre, k kaçtır? A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

4 + 16 − 4 (k − 2) = 2

E) 16

AC 2 =

BD 2

6.

A

x – 2y – 3 = 0

A) x + 2y – 3 = 0

B) 2x + y + 1 = 0

C) 2x + y – 1 = 0

D) x + 2y + 1 = 0

E) x + 2y – 1 = 0

│BD│ = │BF│ │CD│ = │CE│

x B

E

F

doğrusunun x = 2 doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

% m(BAC ) = 70°

70°

3.

ABC bir üçgen

C

D

% Yukarıdaki verilere göre, m(EDF ) = x kaç derecedir? A) 45

B) 50 V B

C) 55

D) 60

E) 65

CV


1

Tarama D

7.

C

F

A

ABCD paralelkenar

10.

AECD bir yamuk

│CF│ = 2.│FB│

A(ABCD) = 72 cm2

E

B

& Yukarıdaki verilere göre, A(CEF ) kaç cm2 dir?

A) 10

B) 12

C) 15

D) 16

[DC] // [AB]

C

[AD] ^ [DB] 8

6

│AD│ = 6 cm │BD│ = 8 cm

A

B

│DC│ = 5 cm


E) 18

5

D

B) 28

C) 30

D) 36

E) 40

24 5 (10 + 5) . 24 = = 2 5 =

8.

A

7

x

P C

[AB] ⊥ (E)

│PC│ = 3 cm

11.

│AC│ = 7 cm

[BC] ^ [CD]

│BC│ = 9 cm

│AB│ = 9 cm

3

A

│AC│ = 15 cm

D

B

9

B

│AD│ = 25 cm

C

E

Yukarıdaki şekilde [PA ışını A noktasında çembere teğettir.

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ = x kaç cm dir?

Yukarıdaki şekilde B, C, D noktaları (E) düzlemi içindedir.

A) 10

& Buna göre, A(BCD ) kaç cm2 dir?

B) 12

C) 13

D) 14

E) 15

A) 60

B) 75

C) 90

D) 105

E) 120

& & ACP + BAP 3 7 = 6 x

& = 12 . 20 = A (BCD) 2

12.

→

A = (5, 12)

9.

A) (5, 12) C) c −

1 A

5 , 12 − 5 , − 12 m D) c m 13 13 13 13 − 12 , − 5 E) c m 13 13 − = b−

2

B) (–5, –12)

4

3


GD // AB GE // AC

G

│AD│ = 4 cm

B

C

│AE│ = 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ kaç cm dir? A) 10

B) 12

1 13

5 12 ,− l 13 13


D

E

vektörü ile zıt yönde ve aynı doğrultuda olan birim vektör aşağıdakilerden hangisidir?

ABC dik üçgen

A

= 15 = 2

C) 13 5 2

D) 14 =

15 2

E) 15

Tarama

16.

x2 y2 − =1 64 36 hiperbolü için,

13.

II. Odaklarından biri F(10, 0) noktasıdır.



D) II ve III

C

A) 12

B) 14

C) 16

x

−

[OE] ⊥ [AD]

D

│ED│ = 1 cm

17.

C

F

D

ABCD bir kare

C

[AE] ^ [BF] │CF│ = 3.│FD│

Yukarıdaki verilere göre, │OE│ = x kaç cm dir? B)

5 2

C) 3

D)

7 2

E

│AE│ = 16 cm

16

E) 4 A

15.

E) 20

│AE│ = 9 cm

E 1

O

A) 2

D) 18

25 2

│EC│ = 7 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BE│ kaç cm dir?

│AB│ = │AD│

B

B

ABCD deltoid 9

C) Yalnız III

E) I, II ve III

A

│AB│ = 15 cm 7 D

B) Yalnız II

% % m(BCA ) = m(BCD )

15


14.

ABC ve ADC dik üçgen

A

A = (4, 1)

noktasının,

olduğuna göre simetriği


B

Yukarıdaki verilere göre, karenin bir kenar uzunluğu kaç cm dir? A) 18

B) 20

C) 21

D) 24

E) 25

x+y–1=0 & ABF

B = (a, b)

A) –3

B) –2

C) 1

D) 2

5k . 16 2

E) 3

18.

A, B, C, D, E noktaları

C

B

D

18°

E A

b−1 = a−4

ardışık 5 köşesidir. % m(CBD ) = 18°

a+4 b+1 − + 2 2

bir düzgün çokgenin

olduğuna göre, bu çokgen kaç kenarlıdır? A) 8

B) 9

=

C) 10

D) 11

E) 12

360° = 36° LYS Geometri Planlı Ders Föyü

3

Tarama

19. A

x

B

4

x O

C

P

O çemberin merkezi

22.

[BC] çap

B, C, P doğrusal

[PA, A noktasında

çembere teğet

│OB│ = 4 cm

│AB│ = │AP│ = x

B) 4 3

A) 6

C) 7

D) 8

ABCD bir kare

C

│CE│ = 2.│BE│

12

[CF] ^ [AF] │CF│ = 12 cm

F x A


D

B

Yukarıdaki verilere göre, │EF│ = x kaç cm dir? A) 2

B)

5 2

C) 3

D)

7 2

E) 4

& CEF + & AEB

E) 5 3

12 x = 3k k 3


A(2, –1)

noktasının değişken bir P noktasına göre simetriği, denklemi,

y = 2x + 1

olan doğrunun elemanıdır.

Buna göre, P noktalarının geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = 2x – 4

B) y = 2x – 3

C) y = 2x – 2

D) y = 2x – 1

D

23.

A

[CD] dış açıortay

% m(CAD ) = 50°

B

C

% Yukarıdaki verilere göre, m(BDC ) = x kaç derecedir? A) 36

E) y = x – 2

B) 40

% BAC

=

C) 45

D) 50

E) 60

80° = 2

d : 2x – 4y – 3 = 0

doğrusunun

A = (1, –3)

B = (7, 2)

C = (–2, 4)

doğrusuna göre simetriği d1 doğrusu olduğuna göre, d1 doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangsidir?

D = (5, a)

A) 4x – 2y – 3 = 0

B) 2x – 4y + 3 = 0

C) 2x + 4y + 3 = 0

D) 4x + 2y – 3 = 0

→ → →

olduğuna göre, a kaçtır?

→

AD ⊥ BC

A) –5

4

[BD] iç açıortay

50°

24. 21.

ABC bir üçgen

x

B) –4

C) 10


D) 15

E) 18

y = –x

E) 4x + 2y + 3 = 0

Tarama

25.

D

C

G

28.

birer kare

& A( ABG ) = A(BEFG)

F

3 5

ABCD ve BEFG

│AG│ = 3 5

A

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ = a kaç cm dir?

a

A) 5

C

ABCD bir kare

E

% % m(DEC ) = m(DEF )

x

% % m(DEF ) = m(BEF )

E

B

B) 6

C) 7

D) 8

E) 10

A

a .b = 2

& ABG

D

B

F

% Yukarıdaki verilere göre, m( ADF ) = x kaç derecedir? A) 10

B) 15

C) 18

D) 20

E) 24

5 →

→

29. A ve B vektörleri için

26.

A

B 4

D

C 2

│2 A + B│ = 10 birim

O merkezli çemberlerde

│ A – B│ = 2 13 birim

│CO│ = 2 cm

olduğuna göre, │ A│ kaç birimdir?

→

→

→ →

→

A) 2

B) 3

C) 4

B) 20

C) 21

D) 24

E) 25

3 . (36π − 4π) 4π 3 . 32π + +π = 4 4 4

30.

A

ABC dik üçgen

BDEF dikdörtgen

27.

ABC ve BDE

A

30°

% m( ACB ) = 105°

F

% m(BDE ) = 45°

105°

B

45°

C

D

│AB│ = 10 cm │BD│ = 7 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AF│ = x kaç cm dir? A)

2 B)

3

C) 2

D) 2 2

20

B

C

D

Yukarıdaki verilere göre, A(BDEF) = S kaç cm2 dir? A) 48

B) 50

C) 54

D) 60

E) 72

& & AFE + EDC 2 & AF A (AFE) 45 9 &f = = p & 20 4 ED A (EDC)

E) 2 3 &

% ABD

& A(EDC ) = 20 cm

E

F S

% m(BAC ) = 30°

x

E

& A( AFE ) = 45 cm

45

birer üçgen

E) 6

olduğuna göre, taralı alanlar toplamı kaç p cm2 dir? A) 18

D) 5

% m( AOB ) = 90°

→

A⊥ B

│AC│ = 4 cm

O

→

AF ED

=

3 2

A (& AFE) 3 2 45 3 2 9 =b l & =b l = 5 45 + S + 20 5 25 A (& ABC) 3


5

Tarama

31. Taban yarıçapı r = 4 cm olan bir silindir kap içinde bir miktar su vardır. Bu silindirin içine demirden bir küre atıldığın2 da tamamen batıyor ve su yüzeyi cm yükseliyor. 3 Buna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir?

3 B) 2

A) 1 4 3

5 D) 2

C) 2

2 3

E

34.

ABCD bir kare

D

C

1

% % m( ABF ) = m(CBE ) 6

│BK│ = 6 cm

│DF│ = 1 cm

E) 3

B

A

Yukarıdaki verilere göre, │BF│ kaç cm dir? A) 4 3

→

→

BEF dik üçgen

F

B) 7

C) 8

D) 6 2

E) 9

→

A = 2 e1 – 4 e2

32.

→

→

AB = 3 e1 + e2

olduğuna göre, B vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

→

→

→

→

→

A) 3 e1 – 3 e2 B) e1 + 5 e2 →

→

→

→

C) 5 e1 – 3 e2 D) e1 + 3 e2 →

35.

K

E


D

& A( AKE ) = 3 cm2

& A(CKD ) = 7 cm2

A

Yukarıdaki verilere göre, & A( ABC ) kaç cm2 dir?

C

→

E) 5 e1 + e2 B

A) 10

B) 12

C) 15

D) 16 & CKD

& AKD & ABC

& ADE & AKE

A

33.

ABC bir üçgen % m(BAC ) > 90°

Va

B

8

D

│BD│ = │DC│ = 8 birim

A

& AKD

( ( m( AKB ) = 2.m( ALD )

L

x

% m( ABC ) = 80°

D

K

40°

C

8

36.

B

%

P m( APC ) = 40°

80°

Yukarıdaki şekilde [PC ışını C noktasında çembere te-

C

Yukarıdaki verilere göre, │AD│ = Va nın alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

A) 26 % BAC

B) 27

C) 28 BC 2

D) 29

E) 30

ğet olduğuna göre,

% m(BAP ) = x kaç derecedir? A) 100

E) 18

B) 110

% PCD % ALD

C) 115 % PCD

D) 120 $ BC

% AKB

$ CD

E) 130

2a + b − 120 = 2 =

6


b + 120° 120° + 120° = = 2 2

Tarama

37.

A

5 2

[DC] ⊥ [BC]

│AB│ = 4 cm

5 cm 2 │CD│ = 2 cm

40.

│AD│ =

D

4

[AB] ^ [BC]

2

Şekildeki dik yamuk [AB] kenarı etrafında 360° dönB C dürülüyor. Oluşan cismin hacmi kaç cm3 olur? A) 6p

B) 8p

D) 10p

C) 9p

=

=

3 2

b

3 l 2

ED // BC F

b

D

B

C


B) 5

AE

C

3 l 2

ABC bir üçgen A çeyrek çemberin D

merkezi 6

AE EB

AD

=

B

E

B) 4

C) 2 5

D) 5

39.

E

P

M C

Q

K 4 A

F

A

K

kenarların

B

3 A (KLMNPQ) = A (ABCDEF)

(a 3) 3 4 (2a) 2 . 3 6. 4

6.

=

3a 2 3 = 4 4a 2

│KE│ = 6 cm

N

│KF│ = 4 cm

B

Yukarıdaki verilere göre, │KN│ = x kaç cm dir? A)

5 2

B) 3

42.

C)

7 2

D) 4

E)

9 2

% m(DEF ) = 70° D

orta

ABC bir üçgen

A

F 70° E

B

nok-

taları olduğuna göre A (KLMNPQ) oranı kaçtır? A (ABCDEF) 1 2 3 4 5 D) E) A) B) C) 2 3 4 5 6 2.

[MN] ⊥ [BC]

x

│KM│ = 7 cm

K, L, M, N, P, Q noktaları üzerinde bulundukları

L

[EF] ^ [AB]

6 7

altıgendir. F


C

E) 4 2

ABCDEF düzgün

Yandaki şekilde

D

M

│BD│ = 6 cm

5 N

E) 9

2k 12 = k x

E

D

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 2 3

&

DC

│CD│ = 4 cm

A

D) 8

AF 2k & = = k 4 EB FD

18π 1 . 18π + 4 3 4

C) 6

AF

│DF│ = 4 birim │CD│ = x

41.

38.

│AE│ = 2.│EB│

x

E) 12p

1 3

EF // BD

4 E

ABC bir üçgen

A

C

Yukarıdaki şekilde ABC üçgeninin kenarları çembere teğettir. W ) toplamı kaç derecedir? W ) + m(C Buna göre, m(B A) 120 V A

$ DF

B) 130

C) 135 V A

V B

D) 140

E) 150

CV


7

Tarama y

C

43.

46.

A(ABCD) = 25 birimkare

B(0, 3)

B(0,3)

D

ABCD bir kare

A) –3

B) –1

C) 0

D) 1

B

H

│KH│ = 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ = x kaç derecedir? A) 8

Yukarıdaki verilere göre, D köşesinin koordinatları toplamı kaçtır?

│DK│ = 5 cm

3

x

[AC] ⊥ [DH] = {K}

x

K A

ABCD eşkenar dörtgen [DH] ^ [AB]

5

A

C

[AD] ^ [AB]

D

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

& & + KDC KAH

E) 3

& & , AOB DKA

44.

A

ABC bir üçgen

36°

│AB│ = │AC│

[DC] // [AB]

│AE│ = │CD│ % m(BAC ) = 36°

E

x

40°

B

D

C

% m(CBE ) = 40°

% Yukarıdaki verilere göre, m( ADC ) = x kaç derecedir?

A) 105

B) 108

& & BAE = ACD

C) 110

D) 112

47.

│DM│ = │MC│ A

B

& Yukarıdaki verilere göre, A(KLM ) kaç cm2 dir?

L

A) 8

B) 10

C) 11

D) 14

E) 22

E) 120 =

A (ABCD) = 2

ABC bir üçgen

6

G

5


48.

│GA│ = 6 cm

│GB│ = │GC│ = 5 cm

5

B

B) 30

C) 32

& = 4.3 = BGH 2 & BGH


O çeyrek çemberin merkezi

B

C

30°

x

% m( ACD ) = 30°

D

CD // OA │OA│ = 12 cm

C

& Yukarıdaki verilere göre, A( ABC ) kaç cm2 dir?

8

A(ABCD) = 44 cm2

% AEB

A

& ABC

│AL│ = │LB│

K

& = A (MKLN) = KLM 2

45.

A) 24

ABCD bir dörtgen

C

│AK│ = │KD│

% AEB

M

D

D) 36

E) 40

│CD│ = x

O


12

A) 8

B) 8 2

A

C) 9

12 = =4 3 3

3

6

D) 3 10

E) 4 6

Tarama

49.

A

D

│BC│ = 4 cm

B

52.

ABCD dikdörtgen

r

C

4

r

Yukarıdaki verilere göre, iç çarpımının değeri kaçtır? A) 4

B) 8

C) 16

D) 16 2

E) 32

Bir kenarı r olan küpün hacmi V1, r yarıçaplı kürenin hacmi ise V2 dir. V Buna göre, 1 oranı kaçtır? (p = 3) V2 A)

C) 1

D)

4 3

E) 1

V1 r3 1 = = V2 4 . . 3 4 π r 3

4 │

1 1 B) 4 2

│

53. m bir parametre olmak üzere, y

50.

M

Koordinat eksenlerine ikinci bölgede teğet olan şekildeki çemberin merkezi,

doğrularının kesim noktasından geçen ve

x + 2y – 3 = 0

doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

x O

x+2y–3=0

B)

3 2

C) 2

D)

5 2

A) x + 2y – 2 = 0

B) x + 2y – 1 = 0

C) x + 2y + 1 = 0

D) x + 2y + 2 = 0

E) 3

ABC dik üçgen

A

│AE│ = │EC│

[BE] ∩ [AF] = {D}

E

9

B

5

C

F

│BF│ = 5 cm

│AB│ = 9 cm


B) 48

C) 52

D) 54

E) 60

[AB] yarım çemberin çapı

E

D

│DC│ = 2 cm

2 C

A

O

B

Yukarıdaki şekilde [BC] doğru parçası B, [CE] doğru parçası D ve [AE] doğru parçası A noktasında çembere teğet olduğuna göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir? A) 36 – 8p

9 . 12 % ABC = = 2

│ED│ = 8 cm

8

│BD│ = │DE│

D

E) x + 2y + 3 = 0 m+1 m−2 = 1 2

54. 51.

x + 2y – 3 = 0

doğrusu üzerinde olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 1

(m + 1)x + (m – 2)y – 6= 0

B) 36 – 6p

D) 40 – 8p

−

πr 2 = 2

C) 40 – 10p

E) 40 – 6p

& − 16π OCE 2

10 . 4 − 2


9

Tarama

55. Bir üçgenin yükseklikleri 8 cm, 18 cm ve 12 cm dir.

58.

A = (a, 3)

Üçgenin çevresi 57 cm olduğuna göre, en uzun kenarı kaç cm dir?

noktası orijin etrafında pozitif yönde 90° döndürülerek

A) 23



B) 24

C) 25

D) 26

E) 27

a .8 b . 18 c . 12 = = = 2 2 2

B = (b, –2)

A) –5

B) –2

59.

56.

y

Yandaki şeklide denklemi x y + =1 3 6 olan doğru koordinat eksenlerini K ve L noktalarında kesmektedir.

K

P

Q

L

O

x x y + =1 3 6

B) 10

C) 12

│BC│ = 12 cm

│AB│ + │AC│ = 20 cm B

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı en çok kaç cm2 dir? A) 40

B) 42

D) 15

D

+ 2x – 4y – 4 = 0

çemberine, P(2, –2) noktasından çizilen teğetlerden birinin değme noktası A olduğuna göre, │PA│ kaç birimdir?

12

D) 5

E) 6

6

=


E) 50

A

4 + 16 − 4 (− 4) = 2

ABCD eşkenar dörtgen [DH] ^ [BC] │BH│ = 6 cm │HC│ = 12 cm

B

x


10

C H

C) 4

D) 48

E) 16

57.

B) 3

C) 45

12 . 8 & ABC = = 2

A) 2

ABC bir üçgen

│KP│ = │PQ│ = │QL│

x2

+

E) 4

60. y2

D) 3

A

olduğuna göre, OP . OQ iç çarpımı kaçtır? A) 8

C) 1

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

Tarama

61.

ABCD bir dörtgen

D

F

12

G

│FD│ = │FC│

│AG│ = │GD│

│GE│ = 10 cm

10 A

│FG│ = 8 cm

B) 60 2

D) 60 5

C) 60 3

65. 7

AD, D noktasında

D

çembere teğet

6

A

C

B

│AD│ = 6 birim

→

b

A

a+ b 3

+

2a−3b 3a−4b E) 3 4

→

→

66.

15

D

C

D

B

E

A

F

% % m(KED ) = m(KEF )

A

Yukarıdaki verilere göre, │CH│ kaç cm dir? A) 13,8

Yukarıdaki şekilde A, B, C, D, E, F, … noktaları bir düzgün çokgenin ardışık köşeleridir.

Buna göre, bu çokgen kaç kenarlıdır? D) 13 =

│AE│ = 12 cm

[BK] ^ [EK]

C) 12

[CH] ^ [AB]

E

% % m(KBA ) = m(KBC )

K

B) 11

ABCD eşkenar dörtgen [AC] ∩ [BD] = {E}

C

A) 10

a−2b 2a−3b C) 3 2

B)

2a – 3b 3

12

→

2 3

63.

→

DC = a

Yukarıdaki verilere göre, DE vektörü aşağıdakilerden hangisine eşittir?

1 2 3 4 5 B) C) D) E) 2 3 4 5 6

& A (DAB) 4 & = 5 A (DBC)

│AE│ = 2.│EB│

BC = b

B

E

D)

│AB│ = 4 birim & A (DAB) Yukarıdaki verilere göre, oranı kaçtır? & A (DBC) A)

C

A)

A, B, C doğrusal

4

ABCD paralelkenar

a

7

62.

E) V = 6S

→

D

& EFG = 15 . 3 . 7 . 5 = 15 7 & EFG

D) V = 4S

C) V = 3S

E) 60 7

12 + 8 + 10 = = 2

& EKF

B) V = 2S

S bc + ac + ab 1 1 2 & = = abc 4 V 4


1 1 1 1 + + = a b c 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) V = S

│EF│ = 12 cm

B

E

dikdörtgenler prizmasının hacmi V cm3 ve alanı S cm2 dir.

│AE│ = │EB│

C

8

64. Farklı üç ayrıtının uzunlukları a cm, b cm ve c cm olan bir

360° = 30°

E) 14

B

B) 14

H

C) 14,4

=

│CD│ = 15 cm

D) 14,8

E) 5

36 = 5


11

Tarama

67.

D

C

E

8

A

B

H

70.


[AB] ^ [AD]

[EH] ^ [AB]

[CD] ⊥ [AD]

│BC│ = 12 cm

│EH│ = 8 cm


68.

B) 150

C) 160

D) 180

E) 192

C

│AB│ = 5 birim A

B

Yukarıdaki verilere göre, CD . BC iç çarpımı kaçtır? A) –6

B) –4

C) 2

D) 4

E) 6

[AF] ^ [CF] D

E

│AD│ = │DB│

F

x

│AC│ = 16 cm

B

C


B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

71.

16 2

A

[OD] ^ [AB] 8

D

E

[OE] ^ [AC] x

│AD│ = │DB│

O B

C

│AE│ = │EC│

% m( ABC ) = 60°

│OA│ = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, │EC│ = x kaç cm dir? A) 6

69.

ABC bir üçgen

B) 3 5

C) 4 3

D) 7

E) 3 6

ABC dik üçgen A

[AD] iç açıortay

6

[AE] dış açıortay

B

│AC│ = 6 cm

│DC│ = 3 cm

Yukarıdaki verilere göre, │CE│ = x kaç cm dir?

D 3 C

A) 9

EC EB

12

│CD│ = 2 birim

[CF] dış açıortay

2

D

ABC bir üçgen

A

ABCD dik yamuk

ABCD paralelkenar

B) 12

=

DC DB

&

x

C) 15

x 3 = x+8 5


E

3

B, D, C, E doğrusal

D) 16

E) 18

72.

D

C

ABCD paralelkenar [CE] ∩ [BD] = {K}

3.│AE│ = 2.│EB│

K

& A(BCK ) = 15 cm

A


B

E

B) 80

C) 84

D) 90

E) 96

Tarama

73.

A x

6

D

E

ABC bir üçgen

76.

[BE], B açısının açıortayı

[DE] // [BC]

│DE│ = 6 birim

B

C

10

│BC│ = 10 birim

│AD│ = x

Yukarıdaki verilere göre, x kaç birimdir? B) 6

C) 7

D) 8

C∈[AE]

10

x

C 6

B

│BC│ = 6 cm

8

│AD│ = 10 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AB│= x kaç cm dir? B) 6 2

A) 8

C) 9

E) 9

C

[DC] ^ [CB]

B

D

2 3

2

77.

[DA] ^ [AB] │AB│ = 3 3 birim │AD│ = 2 birim

B) 60

C) 62,5

D) 67,5

C

ABCD bir kare

│AE│ = │EB│

[AC] ∩ [DE] = {F} F

│EF│ = 5 cm 5


D

% m( ACB ) = x

A

E) 8 2

ABCD bir dörtgen x

D) 10 2

x 6 = x+6 10

74.

│CD│ = 8 cm

D

E

A) 5

[AE] ^ [BD]

ABD bir üçgen

A

A

E) 75

B

E

Yukarıdaki verilere göre, ADF üçgeninin alanı kaç cm2 dir? A) 25

B) 30

C) 32

D) 36

E) 40

5 k . 2k & AED = = 2

% ADB

2 & ADF = 3

2 & AED = 3

75. Analitik düzlemde, parametrik denklemi

x = 3 cost

y = 2 sint

olan elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

78. Üç iç açısının ölçüleri 72°, 48°, 96° olan konveks bir çokgenin diğer iç açıları eşit olup her birinin ölçüsü 174° dir.

A) x = 3 y = 2

5

B) 4

C) 2 5

D) 5

E) 2 7

Buna göre, çokgen kaç kenarlıdır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

2

2

y x + =1 9 4


13

Tarama A

79.

ABC ve DBF

[AC] ∩ [DF] = {E}

F

60°

B

75°

D

C

% m( ACB ) = 75°

B(x,y)

d

C(7,–5)

d doğrusu üzerinde koordinatları ile verilen şekildeki A, B ve C noktaları için │BC│ = 2.│AB│ dir.

Buna göre, x . y çarpımı kaçtır?

% m( ABD ) = 60°

E

6

A(–2,1)

birer üçgen

82.

│FA│ = │FE│

A) –4

B) –2

C) –1

D) 2

E) 4

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ kaç cm dir? A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 14

& BDF

80. Analitik düzlemde, 83.

A(3, 4)

noktasından geçen ve doğrultman vektörü

olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

│AB│ = │AC│

→

V = (1, 2)

y−4 x−3 x−4 B) =y–3 = 2 3 2 y−4 y 4 C) x – 3 = D) x + 3 = + 2 2 y−4 E) x + 3 = −2

D 2 B

E 4

C

ABCD dikdörtgen [AE] ^ [BD]

A) 24

│FD│ = 4 cm

A

& Yukarıdaki verilere göre, A(DEF ) kaç cm2 dir?

B

B) 6

B) 28

C) 30

D) 32

E) 36

& & + AHC BHE =

HE HC

&

x 2 & = 8 x

C) 9

D) 10

84. Uzayda aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur? A) Bir düzlem içindeki bir doğruya dik olan doğru düzleme diktir.

│BF│ = 16 cm

16

A) 4

│EH│ = 2 cm

BC . AH 8 .8 & ABC = = = 2 2

y−4 2

F

│AE│ = 6 cm

& Yukarıdaki verilere göre, A( ABC ) kaç cm2 dir?

AH

D

C

H

BH

81.

[BD] ^ [AC]

E

[AH] ^ [BC]

6

A)

⇒x–3=

ABC bir üçgen

A

E) 12

B) Bir doğruya üzerindeki bir noktadan yalnız bir dik doğru çizilebilir. C) Bir düzleme içindeki bir noktadan yalnız bir dik düzlem çizilebilir. D) Kesişen iki düzlemden birinin içindeki her doğru diğer düzlemi keser.

4.2 & DEF = = 2

14


E) Paralel iki düzlemden birine dik olan doğru diğerine de diktir.

Tarama ABC ikizkenar üçgen

88. Denklemi,

│AB│ = │AC│

y2 = 12x

[DE] ^ [AB] [DF] ^ [AC]

olan parabolün odak noktasından x eksenine dik olarak çizilen kirişin uzunluğu kaç birimdir?

85.

A

E

F 4

B

x

│DC│ = 9 cm

6 D

9

B) 8

C) 10

B) 6 ED

&+& EBD FCD

86.

FD

C) 7 =

BD CD

&

D) 8

(T, ABC) piramidi

A′

E) 9

4 x & = 6 9

T

TAl 1 = 3 AAl

C′ B′

A

C

olacak şekilde tabanına paralel bir düzlemle kesiliyor.


A

89.

│AD│ = │DE│

cm3

Üstteki küçük piramidin hacmi 2 olduğuna göre alttaki kesik piramidin hacmi kaç cm3 tür? B) 126

C) 130

D) 144

│BE│ = 6 birim

B

E) 150

2 1 3 2 1 =b l & = V 4 V 64

6

D

A) 4 2

ABCD bir dörtgen 9

12

A

D) 7

E) 8

a 3 =4 3 2

│CD│ = 9 cm │AD│ = 12 cm

90.

A) 108

C) 114

D) 120

E) 124

x2 y2 + =1 72 56

elipsinin odakları arasındaki uzaklık kaç birimdir? A) 4

& ABC

C) 4 3

│BC│ = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCD) kaç cm2 dir? B) 110

B) 6

│AB│ = 17 cm

B

17

C

[AD] ^ [DC]

C 8

E

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ kaç birimdir?

=

87.

[DE] ⊥ [BC]

D

B

A) 120

E) 14

P = 2

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ = x kaç cm dir? A) 5

D) 12

│DF│ = 6 cm

A) 6

│DE│ = 4 cm

C

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

15 . 8 9 . 12 & ACD = + = 2 2


15

Tarama

91

6

D 4 F

ABCD bir yamuk

C

[EF] ^ [AD] │AF│ = 14 cm

A

B

x

│EF│ = 12 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ = x kaç cm dir? D) 20 =

% m( ABC ) = 60° B

│BC│ = 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, yamuğun çevresi kaç cm dir? A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 12

E) 24

14 + 4 = 2

x+6 = 2

95. Analitik düzlemde, 3x + 4y – 5 = 0 doğrusu

92. Merkezi,

noktası olan çember

doğrusuna teğettir.

Buna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir?

M(–2, 3)

(x – 3)2 + (y – 4)2 = r2

çemberine teğet

olduğuna göre, çemberin yarıçapı r kaç birimdir? A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

3x – 4y – 2 = 0

A) 3 =

B) 4

3 (− 2) − 4 . 3 − 2 9 + 16

C) 5

D) 6

=

96.

=

A x

D

A

10

E


[DE] ^ [BC]

│DE│ = 4 3

12

│AE│ = 2.│EC│ E

B

C) 6

D) 7

E) 8

│AB│ = 12 cm

D

│AD│ = 14 cm


B) 5

[AB] ^ [AD]

14

C

C


ABCD bir dörtgen

│EC│ = 10 cm

4 3 B

9 + 16 − 5 20 = = 5 9 + 16

E) 7

93.

│BC│ = │AD│

60°

A

│CD│ = 6 cm

C) 18

B) 16

[AC] ^ [CB] 2

│FD│ = 4 cm

A) 15

C

│BE│ = │EC│ E

D

[DC] // [AB]

12


94.

B) 116

C) 120

D) 124

E) 126

& = 12 . 14 = ABD 2 & = 84 = BCD 2

76. B 77. B 78. B 79. C 80. C 81. A 82. C 83. D 84. E 85. B 86. B 87. C 88. D 89. C 90. C 91. D 92. B 93. C 94. D 95. C 96. E 51. D 52. A 53. D 54. D 55. E 56. B 57. C 58. A 59. D 60. A 61. E 62. D 63. C 64. B 65. D 66. C 67. E 68. C 69. B 70. E 71. C 72. B 73. E 74. B 75. C 26. E 27. E 28. B 29. C 30. D 31. C 32. C 33. C 34. B 35. A 36. D 37. A 38. C 39. C 40. C 41. B 42. D 43. A 44. D 45. D 46. C 47. C 48. E 49. C 50. E 1. D

2. E

3. E

4. C

5. C

6. C

7. B

8. D

9. D 10. D 11. E 12. E 13. E 14. C 15. A 16. D 17. B 18. C 19. B 20. C 21. D 22. E 23. B 24. A 25. B LYS Geometri Planlı Ders Föyü

Cevaplar

16

LYS // GEOMETRİ

FÖY NO

11

TARAMA

1.

ABC bir üçgen

4.

[AD] iç açıortay

[AD] ^ [AE]

B, C, E doğrusal

│BD│ = 8 cm

A

B

8 D 4 C

E

x

│DC│ = 4 cm

│CE = x


EC EB

B) 9

DC

=

DB

C) 10

D) 12

[DC] // [AB]

│AB│ = 15 cm A

B

B) 132

[AH] ^ [BC]

│BH│ = 1 birim

│HC│ = 3 birim

B

x 1

H

C

3

E) 156


D

[EF] ^ [AB]

8


E

│AF│ = 2 cm

A

C

O 2

B) 30

C) 36

D) 45

E) 60

│DE│ = 8 cm E, O, F doğrusal

F

B

3 3


B) 64

3.

ABC dik üçgen

A

[AB] ^ [AC]

[AD] ve [BE]

E G

kenarortay

B

C

D

D) 80

E) 96

[AD] ^ [BE]

│AB│ = │AD│ = x x

C) 14

D) 10 2 E) 12 2 2

5

x

│BC│ = │CD│ = 6 cm │AO│ = 5 cm

B

D

O 6

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ kaç cm dir? B) 12

ABCD deltoid

A

│BE│ = 12 cm

A) 8 2

C) 72

3

6.

D) 150

% Yukarıdaki verilere göre, m( ACB ) = x kaç derecedir? A) 15

C) 144

AB + CD 15 + 9 = = = 2 2

│CD│ = 9 cm


E) 15

ABC dik üçgen

│AD│ = │BC│ [AC] ^ [BD]

5.

A

2.


C E

A) 120

x 4 = x + 12 8

&

D

4

│OC│ = 4 cm

6

C

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? A) 2 7

B) 4 2

C) 6

D) 3 5

E) 4 3

5

2 5

5


1

Tarama & ABE bir üçgen

A

7.

A, B, D, C

çember üzerinde

│AB│ = │AC│

x

B

C

H

% m( AEB ) = 40°

[DC] // [AB]

│AD│ = │BC│ 15°

A

B) 65

C) 70

B


D) 75

=

E) 80

B) 36

C) 40

3 3

C

6

E

ABC dik üçgen

ABD eşkenar üçgen

│AB│ = 6 cm

│AB│ = │AD│

A)

2 B)

3

F B

D) 2 2

E) 3

= FO EK

A

ABC bir üçgen │DC│ = 2.│AD│

D

3.│EC│ = 2.│BE│

& A( ABC ) = 60 cm2 B

A) 18

B) 20

& = 3 . 2 . BDC 5 3 =

2

C) 21

& ABC

2 . 60 5


=

12.

D) 24

E) 30

B) 13

C) 14

BO BK

&

ABCD bir dörtgen

F 4

150°

% m(HEF ) = 150°

6 B

E

│EH│ = 4 cm │EF│ = 6 cm

E, F, G, H bulundukları kenarların orta noktaları

C

H

A

E) 16

FO 18 & = 12 27

G

D) 15

24 = 2

D

C

E

& Yukarıdaki verilere göre, A(BDE ) kaç cm2 dir?

│BD│ = 36 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AF│ kaç cm dir?

3

D

O

A) 12

AD 6 = = = 3 3

9.

│AE│ = │ED│ = 15 cm

C

C) 2

3

[AC] ∩ [BE] = {F}

E

F

D

Yukarıdaki verilere göre, │ED│ = x kaç cm dir?

│AC│ = 3 3 cm

x B

E) 48

ABCD deltoid

A

8.

D) 45

12 =3 4

11. A

% m(BAC ) = 15° │AC│ = 12 cm

% Yukarıdaki verilere göre, m( ABC ) = x kaç derecedir? A) 60

ABCD ikizkenar

E

C

yamuk

40°

D

[AD] ^ [BC]

D

10.


B) 24

C) 26 1 = 2

D) 28

E) 30

Tarama

13.

A

E

ABC dik üçgen

16.

[AB] ^ [AC]

│BD│ = │DC│ = 4 cm

A

ABC bir üçgen % m( ABC ) = 135°

15°

% m(BAC ) = 15° 8 2

B

4

D

4

C

Yukarıdaki şekilde B merkezli çember yayı, C merkezli çember yayına D noktasında teğet olduğuna göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir? A) 4p – 2 3

B) 4p –

C) 8 3 – 4p

D) 4 3 – 2p

135° C

B

3

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ = x kaç cm dir? B) 3 3

A) 8

E) 2 3 – p

│AC│ = 8 2 cm

x

= 3

C) 6

D) 4 2

E) 4

8 2 =4 2 2

2. 2 =8

2 & − πr = 4 . 4 3 − 16π A (ABC) 4 2 4

3

14. A(1, 4) noktasının y = 3 doğrusuna göre simetriği

3x – y + a = 0

doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır? A) –2

B) –1

17.

D

6

C) 4

D) 7

ABCD bir dörtgen

C

[DC] // [AB]

6

│AD│ = │AE│

E) 10

E

│DC│ = │CE│ = 6 cm

x

│AB│ = 11 cm

A

B

11

Yukarıdaki verilere göre, │BE│ = x kaç cm dir? A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

% = m (CAB) % = m (DCA) y

15.

A(0, –3) B(4, 0)

C

C(5, 2)

O

B

→

x

18. A = (3, 2)

A

Yukarıdaki şekilde C merkezli çember AB doğrusuna teğet olduğuna göre, bu çemberin yarıçapı kaç birimdir? A) 1

=

B)

15 − 8 − 12 9 + 16

3 2

C) 2 x y − =1 4 3

D)

5 2

→

B = (1, –2) →

→ →

→

olduğuna göre, <2 A + 3 B, A – 2 B> iç çarpımı kaçtır? A) –18

B) –15

C) –3

D) 10

E) 15

E) 3

= LYS Geometri Planlı Ders Föyü

3

Tarama

19. Bir ABC üçgeninin kenarortay uzunlukları arasında,

22.

Va > Vb

Vb = Vc

bağıntıları vardır.

Buna göre, üçgenin A açısının derece cinsinden ölçüsünün en büyük tam sayı değeri kaçtır?

A) 58

B) 59

C) 60 V A

V A V A

20.

V A

CV

O F

E

E) 62

ABCD bir kare

23.

[BD] köşegen

% m(FAB ) = 15°

│AE│ = 8 cm

C) 12

D) 4 10 E) 8 3

C

D

│AC│ = x birim

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? B) 13

C) 14

D

C

D) 15

E) 16

ABCD bir kare │AE│ < │EB│

7

[CE] ^ [EF]

9

│BC│ = 9 cm

F x

│DF│ = 7 cm B

E

Yukarıdaki verilere göre, │EF│ = x kaç cm dir? A) 2 2

% CAF

B) 3

C) 2 3 D)

13

E) 4

& FAE + & EBC

3

k 2 = 9 9−k

3

[PA] ^ (E)

P

21.

│BA│ = 14 birim

A

B

B) 8 2

│BD│ = │DC│

B

15°

A) 10

14

x >7 2

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ kaç cm dir?

% % m(BAD ) > m(DAC )

A) 12

8 A

ABC bir üçgen

V A

C

D

V B

V B

V B

D) 61

A

% m(PBA ) = 30°

E

30°

B C

40°

D

24. y2 = 16x parabolüne

Yukarıdaki verilere göre, │PB│, │PC│, │PD│ için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

13

% m(PDA ) = 40°

A 35°

% m(PCA ) = 35°

A) │PD│ < │PC│ < │PB│ B) │PC│ < │PO│ < │PB│ C) │PB│ < │PC│ < │PD│ D) │PD│ < │PB│ < │PC│

A(4, 8)

noktasından çizilen teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) y = –2x + 16

B) y = –x + 12

C) y = x + 4

D) y = 2x

E) y = 4x – 8 x

E) │PB│ < │PD│ < │PC│ % BPA

4

x

% CPA

& DPA


x

=

4 2 = 2 x x

Tarama

25.

A

ABC bir üçgen m( W A ) > 90°

6

│AB│ = 6 birim

8

│AC│ = 8 birim

B

28.

C

x

│BC│ = x birim

O2

12 T

A) 8

A) 7

D) 11

Yukarıdaki verilere göre, │O1B│ kaç cm dir?

Yukarıdaki verilere göre, x in alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır? C) 10

│AD│ = 12 cm dir.

A

B) 9

ABCD karesinde O1 ve O2 merkezli çemberler birbirine T noktasında teğettirler.

C

D

E) 12

B

E

O1

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

29. 2x – y + 1 = 0 doğrusunun

F

26.

doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

ABCD bir kare

FAB bir üçgen D

C 2

y = –x

A) 2x + y – 1 = 0

B) 2x – y + 1 = 0

C) x – 2y + 1 = 0

D) x + 2y + 1 = 0

│EC│ = 2 cm

E) x – 2y – 1 = 0

│EB│ = 2 3 cm

E 2 3

A

B

Yukarıdaki verilere göre, │FA│ kaç cm dir? A) 5

B) 4 2

C) 6

D) 4 3

30. E) 8

O yarım çemberin

A

merkezi

[BC] çap

3

B

3

C

H 3 O

│BH│ = │HO│ = 3 cm

27. Vektörel denklemleri,

(x, y) = (3, 2) + λ(k, –3), λ∈R

(x, y) = (1, –3) + t(4, 2), t∈R

olan iki doğru birbirine paralel olduğuna göre, k kaçtır? A) –8 k −3 = 4 2

B) –6

C) –4

D) 2

[AH] ^ [BC]

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgelerin alanları toplamı kaç cm2 dir? A) 12(p –

3 )

B) 15(p –

3)

C) 18(p +

3 )

D) 18(p –

3)

E) 20(p –

3)

3

E) 4 BC . AH πr 2 π . 6 2 12 . 3 3 − − = 2 2 2 2 3 LYS Geometri Planlı Ders Föyü

5

Tarama A

31.

F

B

x

34. d : 2x – y + 1 = 0 doğrusunun

[DF] ^ [AB]

│DE│ = │EF│

noktasına göre simetriği d1 doğrusu olduğuna göre, d1 doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

B, C, D doğrusal

E

4


D

C

│BF│ = 4 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ = x kaç cm dir?

A) 3

B) 4

C) 5

3

D) 6

A = (3, –1)

A) 2x – y – 18 = 0

B) 2x – y – 15 = 0

C) 2x – y – 9 = 0

D) 2x – y – 7 = 0

E) 2x – y – 3 = 0

E) 7

3

% ACD

32. 15

15

E

35. x

6p I

II

C

D

Kenar uzunlukları 6π cm ve 15 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir metal levha (I. şekil), kıvrılarak ve tabanı aynı türden bir metal levha ile kapatılarak silindir biçiminde bir bardak yapılmıştır (II. şekil).

A) 96p

B) 105p

A

C) 108p

D) 120p

E) 135p

Yukarıdaki verilere göre, │CE│ = x kaç cm dir?

E) 6 3 – 4

3

3

36. y = ax + b doğrusu x2 + y2 – 4x + 6y + c = 0 çemberine

│AC│ = 9 cm

│BH│ = 2 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AB│ kaç cm dir?

noktasında teğet olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 2 5

A) 5

B

2

C

H

B) 5

C) 4 2

D) 6

E) 3 5

A(–1, –2)

B) 6

1 −2 + 3 = =− 3 −1 − 2

32

6

C) 2 3

% m( ACB ) = 2a

D) 4 3 – 4

% m(BAH ) = a

9

B) 2 3 – 1

% OEB

[AH] ^ [BC]

a

ABC bir üçgen

A

│AC│ = │BE│ = 4 cm

B

A) 2 3 – 2

33.

A, C, E doğrusal

E

Bu bardak kaç cm3 su alır?

ABCD bir kare


C) 7

D) 8

E) 9

Tarama →

ABC bir üçgen

40. A = (3, –3) noktası u = (1, 5) doğrultusunda ötelenerek B

│AB│ = │AC│

[DE] ^ [AB]

noktası, B noktası da orijin etrafında pozitif yönde 270° döndürülerek C noktası elde ediliyor.

[DF] ^ [AC]

37.

A

E

F

│BD│ = 5 cm

8 B

5

D

Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı kaçtır? A) –2

C) 1

D) 2

E) 3

│DF│ = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, B noktasının [AC] kenarına uzaklığı kaç cm dir? A) 10

B) 12

C) 14

ED

&+& EBD FCD

BD

=

FD

CD

D) 15

E) 16

ED 5 = 8 10

&

41. A

38.

6

3 3

B) –1

│DC│ = 10 cm

C

10

B

C

E

ABC dik üçgen

ABD eşkenar üçgen

│AB│ = 6 cm

│AC│ = 3 3 cm

ABCD bir dörtgen

D C

10 x

[AC] ∩ [BD] = {E} & A( AEB ) = 12 cm2

8

E

& A(BEC ) = 8 cm2

12

x

A

B

& A(CED ) = 10 cm2

& Yukarıdaki verilere göre, A( AED ) = x kaç cm2 dir?

D

A) 14

Yukarıdaki verilere göre, │ED│ = x kaç cm dir? A) 2

B) 2 2

C) 3

D) 2 3

% DAC DE

&+& DEC AEB

AE

DE EB

E) 4

=

B) 15

=

DC AB

=

x 3 = 6−x 6

D

E

C F

L


[DK] ^ [AB]

[EL] ^ [BC]

A(AKFE) = 12 cm2

ABC bir üçgen

A

[DE] // [BC]

6 D

[BE] ∩ [CD] = {F]

E 2

x

│AD│ = 6 cm

F 5

│DF│ = 2 cm

B

C

A

K

B

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCDE) kaç cm2 dir? A) 28

B) 30

& AFE

E) 18

3

D) 17

x 10 = 12 8

42. 39.

C) 16

C) 32

D) 36

E) 40

│FC│ = 5 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ = x kaç cm dir? A) 7 DE BC

B) 8 =

C) 9

D) 10

E) 11

AD 2 2 & = 5 5 AB &

6 2 = 6+x 5


7

Tarama

43. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) Uzayda, paralel ve farklı iki doğrudan bir ve yalnız bir düzlem geçer.

A

9

B, C, P doğrusal

12

x

│AB│ = 9 cm

B) Uzayda, bir doğruya üzerindeki bir noktadan bir ve yalnız bir dik doğru çizilebilir.

C) Uzayda bir doğru ve dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer.

│PC│ = 8 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AC│ = x kaç cm dir?

D) Uzayda, doğrusal olmayan üç noktadan bir ve yalnız bir düzlem geçer. E) Uzayda, kesişen bir doğrudan bir ve yalnız bir düzlem geçer.

B

C

A)

9 2

47.

44.

E B

x

[AB ve [AC

çemberet eğet

% m(BAC ) = 80°

80°

A

D

C

' BDC

B) 130

% m(DCF ) = y

y

C) 135

$ BC

C)

8 x = 12 9

11 2

D) 6

E) 7

[AB] çemberin çapı

9 15

[AC], A noktasında

D

çembere teğet │AC│ = 15 cm B

O

│CD│ = 9 cm

D) 140

Yukarıdaki verilere göre, çemberin yarıçapı kaç cm dir? A) 10

B) 12

C) 14

D) 15

E) 16

E) 150

' BDC

45. 3x – 4y + 1 = 0 doğrusunun, parametrik denklemi

4

x = 5 + 5 sint

y = –1 + 5 cost

olan çemberin içinde kalan parçasının uzunluğu kaç birimdir?

ABCD bir dörtgen

A

48.

[AB] ^ [AD]

3

B

D

B) 3

C) 4

D) 5

│AB│ = 4 cm │AD│ = 3 cm

12

│BC│ = 12 cm

13

│CD│ = 13 cm

A) 2

│PA│ = 12 cm

ABC bir üçgen

Yukarıdaki verilere göre, x + y kaç derecedir? $ BC

8

C

A

F

A) 120

P

% m(DBE ) = x

B) 5

&+& PAC PBA

[PA ışını A noktasından çembere teğet

46.

E) 6 C


=

8


15 + 4 + 1 =4 5

B) 30

& ABD

C) 32

D) 34

& = 4 . 3 + 12 . 5 BCD 2 2

E) 36

Tarama

49.

A

E

G 8

x

3

B

C

D

52.

[AD] ve [BE] kenarortay

[AD] ^ [BE]

│BG│ = 8 cm

[AH] ^ [EC]

B) 2 13 C) 8

D) 6 2

│AE│ = 6 cm

C

Yukarıdaki verilere göre, │AH│ = x kaç cm dir? A) 4

E) 9

D

H

x

B


düzgün altıgen

6 A

│GD│ = 3 cm

ABCDEF

E

F

│EC│ = x

ABC bir üçgen

B) 3 2

13

C) 3 3 =

D) 4 2

E) 4 3

6 =2 3 3

3

50.

C

D

[AC] köşegen

E

ABCD bir kare

% m(EBC ) = 15°

53.

│AB│ = 6 2 cm

çemberinin

doğrusuna en yakın noktası A dır.

Buna göre, A noktasının bu doğruya uzaklığı kaç birimdir?

15°

A

B

6 2

Yukarıdaki verilere göre, │EB│ kaç cm dir? A) 3 5

B) 4 3

C) 7

6 = =2 3 3

D) 8

E) 6 2

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 16

4x – 3y – 11 = 0

A) 2

3

B) 3

C) 4

D) 5 − 12 − 12 − 11 16 + 9

51.

K 9

D

C

15 E

54.

[AD] ^ [DE]

[KH] ^ [AB

│DE│ = 15 cm

A


B x H

│KE│ = 9 cm

A) 3

C) 4

9 D) 2

E) 5

[DE] ^ [AC] │AB│ = 12 cm 12

9 12 9 &x= = x 6 2

7

D

│DC│ = 9 cm 9

C

Yukarıdaki verilere göre, │DE│ = x kaç cm dir? A) 5

& + HEB & KDE

│BD│ = 7 cm

E x

B

=7

ABC dik üçgen

Yukarıdaki verilere göre, │BH│ = x kaç cm dir? 7 B) 2

A

E) 6

B) 5,2

C) 5,4

D) 5,8

E) 6

& = 9 . 12 = 20 . x A (ADC) 2 2


9

Tarama →

A = (2, 5)

55.

58.

AB = (5, 3)

→

A = (2, m + 1)

→

B = (4, 7)

olduğuna göre, B vektörü aşağıdakilerden hangisidir?

vektörleri için,

A) (–3, 2)

olduğuna göre, m kaçtır?

→

B) (3, –2)

D) (–7, –8)

C) (7, 8)

E) (5, 10)

→ →

< A, B> = –27

A) –6

56.

D

C

K

A

B

H

E) 5


│HA│ = │HB│

59.

[AC] ∩ [DH] = {K}

│KC│ = 8 cm

D

B)

9 2

C) 5

D)

11 2

C

ABCD dikdörtgen

F

│AB│ = 21 cm

K

E

=

A

E) 6

% ADH

│BC│ = 18 cm

KC =4 2

E

57.

y

Yukarıdaki şekilde E merkezli çember, F merkezli yarım çembere K noktasında teğettir.

Buna göre, F merkezli çemberin yarıçapı kaç cm dir?

% m(CAD ) = x

% m( ADC ) = y x

C) 4

D) 5

E) 6

C

B


B) 3


D

A

B

A) 2

y2 x2 + =1 169 25 denklemiyle verilen elipsin odak noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?

60. x kaçtır? y

1 1 2 2 3 B) C) D) E) 3 2 3 5 4

x 36° 1 = = y 72° 2

10

D) 3

Yukarıdaki verilere göre, │DK│ = x kaç cm dir? A) 4

C) –3

[DH] ^ [AB]

8

x

B) –5


A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 24

Tarama

61.

A

ABC dik üçgen

64.

│BC│ = 12 cm

D

[DH] ^ [AB] 10 2

B

C

Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin alanı en çok kaç cm2 dir? A) 25

B) 28

C) 30

D) 32

E) 36


C

A

x

│HB│ = 2.│AH│ │DH│ = 10 2 cm

B

H


B) 13

12 . 6 = 36 2

C) 14

D) 15

E) 16

2

62. Analitik düzlemde, bir karenin karşılıklı iki kenarı,

x + 2y + 4 = 0

–2x – 4y + 12 = 0

doğruları üzerinde olduğuna göre, bu karenin köşegeni kaç birimdir? A) 2 5

→

65.

B) 2 10 C) 5 2

D) 5 3

→

vektörleri için, A ⊥ B olduğuna göre, m kaçtır?

E) 6 2

B = m e1 + 4 e 2

5. 2

C) 9

D) 10

E) 12

10

66. 63.

A

E

F

B

6

D

ABC bir üçgen

AFDE eşkenar dörtgen

4.│AB│ = 3.│AC│

│BD│ = 6 cm

C

x

A) 8

BD

B) 9

=

AB AC

&

6 3 = x 4

C) 10

A

D) 11

E) 12

ABCD bir dörtgen D

6 2

[AB] ^ [BC] [AC] ∩ [BD] = {E}

E

│AB│ = │BC│ = 6 2 cm │BE│ = 2.│ED│

B


DC

B) 8

4 − (− 6) 10 = =2 5 1+4 5 2

→

A) 6

=

→

A = – e1 + 3 e2

6 2

C

& Yukarıdaki verilere göre, A( ACD ) kaç cm2 dir? A) 36

B) 30

C) 24

D) 21

E) 18

& = 6 2 .6 2 = (ABC) 2 & & = A (ABC) = (ACD) 2


11

Tarama A

67.

4

D


70.

│AD│ = 4 birim

│DC│ = 6 birim

6

C

B) –49

[AD] kenarortay

E

[BE] ^ [AC]

F

│AF│ = │FD│

C) –35

B

│AE│ = 4 cm

C

D

│BE│ = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, iç çarpımı kaçtır? A) –70

ABC bir üçgen

B

A

D) 10

E) 24


B) 24

C) 36

D) 40

E) 45

. & = AC BE = 12 . 6 = A (ABC) 2 2

→

68.

O O1

B

C

v

B

Koninin hacmi kaç cm3 tür?

C →

B) 72p

C) 60p

D) 54p

E) 48p

→

Yukarıdaki verilere göre, u – v vektörü aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) BC

A) 81p

AC = v

→

u

olan bir kürenin içine, kürenin merkezinden geçen bir düzlemle kesiti eşkenar üçgen olan bir dönel koni yerleştiriliyor.

→

Alanı 144p cm2

A

→

AB = u

A

71.

B) BA

D) CA

E)

C) CB

AB + AC 2

3 =

69.

1 . (3 3) 2 3

72. x2 + y2 – 4x + n + 2 = 0

A

ABC bir üçgen [AD] açıortay

3 2 3

B

C

D

B, F, E doğrusal

F

│DB│ = │DC│ = │DE│

E

│FE│ =

3 cm

& Yukarıdaki verilere göre, A( ABC ) kaç cm2 dir? A) 9 3

B) 10 3

D) 12 3 3

. & = AC BE = 6 . 3 3 = 9 3 A (ABC) 2 2

12

│BF│ = 2 3 cm


E) 27

C) 18

çemberi x = 3 doğrusuna teğet olduğuna göre, n kaçtır? A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

Tarama

73.

B T A O

C 6

D

2 E

│DE│ = 2 cm

B) 16p

C) 18p

D) 20p

E

D

x

C

ABCD eşkenar dörtgen [EF] ^ [AB] │AF│ = 10 cm │FB│ = 3 cm

B

F

Yukarıdaki verilere göre, taralı bölgenin alanı kaç cm2 dir? A) 12p

76.

A

│AE│ = 10 cm dir

O merkezli iki dairede [AB] kirişi T noktasında küçük çembere teğet; [AE], C ve D noktalarında küçük çemberi kesiyor.

│DE│ = 5 cm


B) 9

C) 10

D) 11

E) 24p

Bir tasarımcı dik silindir biçimindeki bir tahtadan, silindirin üs tabanına değecek biçimde yarım küreyi oyarak çıkarıp kalan parçayla bir avize yapıyor.

77.

74.

2x – y + 5 = 0

3x + y – 7 = 0

doğruları arasındaki dar açının ölçüsü kaç derecedir? A) 15

=

B) 30

C) 45

D) 60

E) 72

m1 − m 2 2+3 & tanα = 1 + m1 . m 2 1 + 2 . (− 3)

Avizenin her tarafı 180p cm2 lik kumaşla kaplanabildiğine göre, avizenin çapı kaç cm dir? A) 12

B) 13 +

75.

P C

d1

P′

A

B P″

d2

d1 ∩ d2 = {A}

78.

% m(BAC ) = 40°

% PAP

B) 64

C) 72

D) 80

D) 16

E) 18

4π r = 2

E

C

ABCD paralelkenar [AE] ^ [BE] açıortay

8

│AE│ = 8 cm

│AB│ = 10 cm

A


E) 90

C) 14

2

D

Yukarıdaki şekilde P noktasının d1 doğrusuna göre yansıması P′ ve P′ nonkatısının d2 doğrusuna göre yansıması P″ noktasıdır.

% Buna göre, m(PAP ″) kaç derecedir? A) 60

E) 12

10

B) 42

B

C) 48

D) 56

E) 60

& = 6 .8 = A (ABE) 2 & ABE


13

Tarama 5

79.

D

E x

A

B

O

[AB] çap

[AB] ∩ [CD] = {E}

denklemi

3x + 4y – 24 = 0 x

C

% % % şekildeki çemberin AC, CB ve AD yaylarının uzunlukları sırasıyla 4 birim, 2 birim ve 5 birimdir.

Buna göre, x kaç derecedir? A) 60

B) 65

$ BD

=

$ BD

O

D) 72

C d1

d2

C) 70

B

Yukarıdaki verilere göre, AB . AC iç çarpımı kaçtır? A) –24

E) 75

B) –12

C) 36

$ $ m (AC ) + m (BD ) 120° + 30° = = 2 2 H

G 4 2

A

F

B

E

ABCDEFGH düzgün sekizgen

83.

│AG│ = 4 2 cm

A

ABC dik üçgen [AD] açıortay

│BD│ = 3 cm

D

B) 32 2 C) 45

A) 40

8 .b

2 o 2

6 B

8

4 E

C

D

&+& ABD AEC

14

3

D

C

6

Yukarıdaki verilere göre, │AD│ = x kaç cm dir? B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

2

% % m(BAD ) = m(DAC )

noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

│AB│ = 6 cm

A) y2 – 8x + 8 = 0

B) y2 + 8x + 8 = 0

│AC│ = 8 cm

C) y2 – 8x = 0

D) y2 + 8x = 0

│AE│ = 4 cm

B) 5

E) y2 + 8 = 0 x−2 1

│ED│ = x cm


A) 6

ABC bir üçgen

x

E) 48 2

B

84. x = 2 doğrusu ile A(–2, 0) noktasına eşit uzaklıktaki

A

81.

D) 48

1 . . . 4 4 sin 45°l 2

e2 . 4 .

│DC│ = 6 cm

Yukarıdaki verilere göre, A(ABCDEFGH) kaç cm2 dir?

x

C

E) 60

6 = 10 8 − OB

D) 50

OB

360° = 30° 12

80.

d1 doğrusunun

A

2

4

$ AC

% % m(BAO ) = m(BAC )

82.

% m(BED ) = x

y

O çemberin merkezi

C) 6 6 x+4 = 4 8


D) 7

(x + 2) 2 + y 2

E) 8

Tarama

85.

A

8

88.

% m( ABC ) = 60°

% m( ACB ) = 45°

│AB│ = 8 cm

B

ABC bir üçgen

60°

45°

C

4 F

16

ABCD bir kare

C

% % m ÊADh = m ÊBA h

x

EF ⊥ CD E

|DF| = 4 cm |FC| = 16 cm

Yukarıdaki verilere göre, │BC│ kaç cm dir? A) 3 + 4 3

B) 4 + 5 3

C) 6 + 4 3

D) 4 + 4 3

D

A

B

Yukarıdaki verilere göre, |EF| = x kaç cm dir? A) 8

B) 10

C) 11

D) 12

E) 15

% m ^BAEh = 90°

E) 4 + 6 3

3 3

86.

A

ABC dik üçgen 4

D

5

B

89.

[AB] ^ [AC]

│AD│ = 4 birim

│DC│ = 5 birim

A) 18

B) 24

C) 32

D) 36

ABC bir üçgen

D

[AC] ^ [BC] │AD| = 2 cm

8

│DB│ = 8 cm B

C

O

C

Yukarıdaki verilere göre, AC . BD iç çarpımı kaçtır?

A

2

Yukarıdaki şekilde [BC] kenarını çap kabul eden O merkezli yarım çember [AB] kenarını D noktasında kesmektedir.

Buna göre, ABC üçgeninin alanı kaç cm2 dir?

E) 45

A) 10

B) 12

C) 15

D) 18

E) 20

& = 10 . 4 = A (ABC) 2

87.

D

H3

12

C

ABCD paralelkenar │BE│ = │EC│

E

EH ^ CD

90.

AD ⊥ DE

│DH│ = 12 cm

│HC│ = 3 cm

A

B


B) 150

C) 160

D) 180

E) 200

D

6

ABCD ikizkenar

C

yamuk [DC] // [AB]

x

│AD│ = │BC│

[AC] açıortay

A

B

│DC│ = 6 cm


B) 6

C) 7

D) 8

E) 9


15

Tarama

91.

A

D

20 4

B

C

ABC bir üçgen

94.

[BD] ^ [AC]

% % m(BAC ) = 2.m(CBD )

│AB│ = 20 cm

│DC│ = 2 cm

ABCD kirişler dörtgeni

A

[AC] ^ [BD] │AE│ = 15 cm

15

│DE│ = 9 cm

E

B

9

D

│EC│ = 3 cm

3

Yukarıdaki verilere göre, │BD│ kaç cm dir? A) 12

B) 13

C) 14

D) 15

E) 16

C


B) 118

=

92.

1

D

C

E

A

B

9

[AD] ^ [DC]

│AB│ = 9 cm

Yukarıdaki verilere göre, │AD│ kaç cm dir? A) 6

B) 7

C) 8

D) 9

93.

x

D


C

│EF│ = │FD│

96.

│BD│ = 4 3 cm

D

│AF│ = x

4 3

C

Yukarıdaki verilere göre, x kaç cm dir? B)

3 2

C) 2

A

45° H

2

B

B)

7 2

C) 4

D)

E) 3

% % m(BAE ) = m(EAC )

% m(BAC ) = 45°

% % m( ACB ) = m(BCE )

[CH] ^ [AB]

│BD│ = 6 cm

│AC│ = 6 2 cm

B

6

C

D

9 2

E) 5

│EC│ = 8 cm

8 E

Yukarıdaki verilere göre, │CH│ = x kaç cm dir? A) 3

5 2

│HB│ = 2 cm

D)

ABC dik üçgen

A

[DC] // [AB] 6 2

eşkenar üçgen

x F

A) 1

ABC ve BDE

E) 10

&,& EDC EAF

E) 130

A

B

D) 126

AC . BD 18 . 14 = = 2 2

E

[BE] ^ [EC] │CD│ = 1 cm

95.

│AE│ = │ED│

ABCD dik yamuk [AD] ^ [AB]

C) 122

% Yukarıdaki verilere göre, A(CDE ) kaç cm2 dir? A) 20

B) 24

C) 27

D) 30

E) 32

& = 8 .6 = A (CDE) 2 76. E 77. A 78. C 79. E 80. B 81. E 82. E 83. A 84. D 85. D 86. D 87. D 88. C 89. E 90. B 91. A 92. A 93. C 94. D 95. C 96. B 51. D 52. C 53. B 54. C 55. C 56. A 57. B 58. A 59. C 60. E 61. E 62. B 63. A 64. D 65. E 66. E 67. A 68. A 69. A 70. C 71. C 72. D 73. B 74. C 75. D 26. D 27. B 28. B 29. C 30. D 31. D 32. E 33. D 34. B 35. A 36. C 37. B 38. A 39. E 40. B 41. B 42. C 43. B 44. B 45. E 46. D 47. A 48. E 49. B 50. B 1. D

2. B

3. E

4. C

5. D

6. D

7. B

8. C

9. D 10. B 11. E 12. B 13. C 14. B 15. A 16. A 17. A 18. C 19. B 20. E 21. A 22. D 23. D 24. C 25. D LYS Geometri Planlı Ders Föyü

Cevaplar

16

LYS Geometri PDF

Recommend Documents