GEOMETRI TRANSFORMASI (Teorema Dasar Isometri dan Teorema Ketunggalan) Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen : Nanang Warsa, M.Pd
Disusun Oleh: Iis Irawati Indah Indriani Maulidianah Tina Marliana PMATC-2016-01
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS KUNINGAN 2018
ISOMETRI 1. Teorema-teorema dalam isometri 1.1 Teorema 1 Suatu isometri garis adalah kolineasi. Bukti:
Gambar 1.1 Ambil sebarang A ∈ dan B ∈ . Maka T(g) = g ′, ( ) = ′ dan T (B) = B' Tarik garis melalui A' dan B' sebut h Akan dibuktikan h = g′ (i) Akan dibuktikan h ⊂ g
′
Ambil X ∈ ℎ sebarang. ′
̅ + ̅ Andaikan ( A X B ) artinya ′
′
′
′
′
′
′
Karena T transformasi maka ∃ ∋ ( ) =
′
̅ , ̅ dan ̅ ̅ = ̅ = ̅ = T isometri maka ′
′
′
′
′
′
̅ + ̅ = ̅ = ̅ + ̅ ̅ = Diperoleh ′
′
′
′
′
′
Ini berarti A, X, B segaris pada g dan juga X' = T(X) ∈ g'. Jadi jika X' ∈ h maka X' ∈ g'. Jadi h ⊂ g'.
(ii) Akan dibuktikan g' ⊂ h Ambil Y' ∈ g', maka ∃ ∋ () = .
̅ + ̅ = ̅ Andaikan (AYB) artinya Y ∈ g dan
̅ = ̅ ̅ = ̅ , ′′ ̅ T isometri maka ′′ = ̅ dan ′′ ′
̅ + ′′ ̅ = ̅ ̅ + ̅ = ′′ ̅ = Diperoleh ′′ Ini berarti A' , Y', B' segaris yaitu garis yang melalui A' dan B'. Oleh karena h garis yang melalui A' dan B', maka Y' ∈ h Jadi jika Y' ∈ g' maka Y' ∈ h
Jadi g' ⊂ h Dari uraian diatas diperoleh h ⊂ g' dan g' ⊂ h. jadi h = g' Terbukti bahwa isometric garis akan berupa garis juga. 1.2 Teorema 2
Isometri merupakan besar sudut antara dua garis. Bukti : Ambil ∠ABC sebarang
Gambar 1.2 isometri mempertahankan besar sudut
Maka T(A) = A' ,T(B) = B' dan T(C) = C'.
̅ , ̅ dan ̅ ̅ = ′′ ̅ = ′ ̅ = ′ Karena T isometric maka ′
′
̅ , ′′ ̅ ,′ ̅ berupa garis juga. Menurut teorema 1, maka ′ ′
′
̅ ∪ ̅ maka ∠A'B'C' = ̅ ∪ ̅ Oleh karena ∠ABC = ′
′
′
′
̅ , ̅ dan ̅ ̅ = ′′ ̅ = ′ ̅ = ′ Karena maka ΔABC ≅ A'B'C ' ′
′
Jadi ∠A'B'C ' = ∠ABC Terbukti bahwa isometric mempertahankan besar sudut antara dua garis. 1.3 Teorema 3
Isometri mempertahankan kesejajaran dua garis. Bukti: Ambil sebarang dua garis sejajar, misal garis g dan garis h. Maka () = ′dan (ℎ) = ℎ′
Gambar 1.3 Andaikan ∦ ℎ . Maka dan ℎ berpotongan di sebuah titik, misal titik . Jadi ∈ dan ∈ ℎ′ . Karena T transformasi maka ∀ ∋ () = dengan ∈ dan ∈ ℎ . Ini berarti g dan h berpotongan di titik P . Bertentangan dengan yang diketahui bahwa ||ℎ . . Jadi pengandaian ∦ ℎ salah. Jadi haruslah ||ℎ . Terbukti bahwa isometri mempertahankan kesejajaran dua garis. Akibat: Isometri adalah suatu kolineasi yang mempertahankan keantaraan (jarak), ruas garis, sinar garis, sudut, besar sudut, ketegaklurusan, dan kesejajaran. (Susanta, 1990: 25) Contoh :
Suatu tranformasi T ditentukan oleh T (P) = (x +1, 2y) untuk semua P (x,y) a. Jika A (0,3) dan B (1,-1) tentukan A' = T (A) dan B' = T (B), tentukan
̅ ̅ dan ′′ pula persamaan ̅ selidiki apakah C'' = T (C’) b. Apabila C (c,d) c. Menurut Teorema disebutkan bahwa jika transformasi T suatu isometri maka peta sebuah garis adalah suatu garis, apakah kebalikannya benar? Jawab : a. A (0,3), B (1, -1) A' = T (A) = (0+1, 2.3) = (1,6) B' = T (B) = (1+1, 2.(-1)) = (2, -2)
̅ = = =
−1
−1
=
2−1
2−1
−(−1)
−1
3−(−1)
0−1
+1 4
=
=
−1 −1
= -y – 1 = 4x - 4 = y + 4x – 3 = 0
̅ = ′′ = =
−1
=
2−1
−(−2) 6−(−2) +2 8
=
−1 2−1
=
−2 1−2
−2 −1
= -y – 2 = 8x – 12 = y + 8x – 14 = 0
̅ ̅ akan diselidiki C'' = T (C') ′′ b. C (c,d) ̅ merupakan peta dari ̅ Karena A’ = T (A), B’ = T (B) maka ′′ ̅ , maka C'' = T (C') Sehingga C c. Diketahui h' adalah garis. Akan ditunjukkan h adalah garis dengan h' = T (h) Andaikan h bukan garis maka h' = T (h) bukan garis. Padahal diketahui h' adalah garis.
Maka pengandaian harus dibatalkan. Artinya h suatu garis. Jadi, jika h' garis maka h juga garis dengan h' = T(h) 1.4 Translasi merupakan Isometri
Translasi merupakan suatu transformasi oleh garis berarah. Selanjutnya akan dibuktikan teorema bahwa translasi merupakan isometri. Teorema
Translasi merupakan suatu isometri. Bukti: Misalkan GAB suatu geseran. Diberikan dua titik P dan Q. Diperoleh GAB ( P ) = P' dan G AB ( Q ) = Q' Ini berarti PP' = AB dan QQ' = AB. Diperoleh PP' = QQ' <=> PQ = P'Q'. Akan dibuktikan P'Q' = PQ Jika P, Q dan P' tidak segaris maka PQQ'P jajargenjang. sehingga PQ = P'Q' Jadi P'Q' = PQ. (ii) Jika P, Q dan P' segaris maka Q' akan terletak pada garis yang sama. P'Q' = PQ' - PP' = PQ + QQ' - PP' = PQ + PP' - PP' = PQ. Jadi P'Q' = PQ. Jadi terbukti bahwa translasi merupakan suatu isometri. Akibat: Translasi merupakan suatu kolineasi dan mempertahankan arah garis.
2. Isometri Bidang
Jika diketahui dua titik dan di V, maka merupakan isometri yang memetakan
ke
.
Selain
translasi
tersebut
juga
dengan s adalah sumbu ′ , sehingga ( ) = ′. Dan juga ( ) = ′ jika P titik tengah ′ . Teorema Ketunggalan Isometri
Diketahui tiga titik yang tidak kolinear A, B, dan C. Jika ada tiga titik lain , , dan ′ maka terdapat dengan tunggal isometri yang memetakan
, , ′. Bukti: Andaikan ada 2 isometri T 1 dan T2 sehingga
1 ( ) = = 2 ( ), 1 () = = 2 (), 1 () = = 2 () 1 dan 2 isometri maka = , = , = ′′. Oleh karena A, B dan C tidak kolinear maka , ′ dan juga tidak kolinear. Andaikan 1 () ≠ 2 () dan 1 () = , 2 () = ′′ maka = = ′′
̅ Jadi ′ di sumbu ′′′ ̅ Analog untuk ′dan ′ juga di sumbu ′′′ Jadi , , ′ kolinear. Ini berlawanan dengan yang diketahui yaitu , , ′ tidak kolinear. Jadi haruslah 1 () = 2 (), ∀ ∈ . Ini berarti 1 = 2 . Bahwa tidak selalu ada isometri dapat kita lihat bila ∆ ≇
