Lu y Cholesky Objetivo general •
Comprender las diferentes formas de solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de los métodos de descomposición LU .
Objetivos específicos •
•
Proporcionar al estudiante una idea clara y comprensible de los métodos de descomposición LU. Mostrar cómo aplicar los métodos mencionados para facilitar la solución de siste sistemas mas de ecuac ecuacion iones es,, y poder así prog progra ramar mar dicho dichos s métod métodos os en la computadora.
Introducción Su nombre se deria de las palabras inglesas !Lo"er# y !Upper#. $stu $studi dian ando do el proc proces eso o %ue %ue se sigu sigue e en la desc descom ompo posi sici ción ón LU es posi posibl ble e comprender el por %ué de este nombre, anali&ando como una matri& original se descompone en ' matrices triangulares, una superior y otra inferior.
(escomposición Lu
La descomposic descomposición ión LU inolucr inolucra a solo solo operaciones operaciones sobre los coeficientes de la matri& )*+, proporcionando un medio eficiente para calcular la matri& inersa o resoler sistemas de lgebra lineal. lgebra lineal. Primeramente se debe obtener la matri& )L+ y la matri& )U+.
)L+ es una matri& diagonal inferior con n-meros sobre la diagonal. )U+ es una matri& diagonal superior en la %ue sobre la diagonal no necesariamente tiene %ue haber n-meros . $l primer paso es descomponer o transformar )*+ en )L+ y )U+, es decir obtener la matri& triangular inferior )L+ y la matri& triangular superior )U+. Pasos para encontrar la matri& triangular superior /matri& )U+0 . 1acer cero todos los alores aba2o del piote sin conertir este en . '. Para lograr lo anterior se re%uiere obtener un factor el cual es necesario para conertir a cero los alores aba2o del piote. 3. (icho factor es igual al n-mero %ue se desea conertir en cero entre el n-mero piote. 4. $ste factor multiplicado por 5 se multiplica luego por el piote y a ese resultado se le suma el alor %ue se encuentra en la posición a cambiar /el alor en la posición %ue se conertir en cero0. $sto es6
- factor * pivote + posición a cabiar !asos para encontrar la atri" triangular inferior #atri" $L%& Para encontrar la matri& triangular inferior se busca hacer ceros los alores de arriba de cada piote, así como también conertir en cada piote. Se utili&a el mismo concepto de 7factor7 e8plicado anteriormente y se ubican todos los 7factores7 deba2o de la diagonal seg-n corresponda en cada uno. $s%uemticamente se busca lo siguiente6
9riginalmente se tenía6
(ebido a %ue )*+ : )L+)U+, al encontrar )L+ y )U+ a partir de )*+ no se altera en nada la ecuación y se tiene lo siguiente6
Por lo tanto, si *8 : b, entonces LU8 : b, de manera %ue *8 : LU8 : b.
!'(O( !')' )(OL) , (I(./' 0 C,'CIO( !O) L /1.O0O 0 0(CO/!O(ICI2 L, . 9btener la matri& triangular inferior L y la matri& triangular superior U. '. ;esoler Ly : b /para encontrar y0. 3. $l resultado del paso anterior se guarda en una matri& nuea de nombre 7y7. 4. ;eali&ar U8 : y /para encontrar 80. <. $l resultado del paso anterior se almacena en una matri& nuea llamada 787, la cual brinda los alores correspondientes a las incógnitas de la ecuación. $2emplo6 ;esoler el siguiente sistema de ecuaciones, factori&ando la matri& en LU6
: Las matrices de factores L y U de * son6
L:
U:
$l primer paso es resoler la ecuación L = : b por sustitución progresia para obtener los elementos del ector au8iliar =6
: (onde
$l segundo paso es resoler la ecuación U > : = para encontrar los elementos de >, por sustitución regresia6
: (e donde se obtiene6
$?$MPL9 P;9@L$M*6 $ncontrar los alores de 8, 8' y 83 para el siguiente sistema de ecuaciones6
O.'3 ;ecuérdese %ue si la matri& es '8' se har iteraciónA si es 383, ' iteracionesA si es 484, 3 iteracionesA y así sucesiamente.
(OL,CI23
4
)*+ :
<
I.)'CI2 4 factor : /a' B a0 : < B 4 : .'< factor ' : /a3 B a0 : B 4 : .'<
ncontrando $,% fila ' : 5 /factor 0 D /fila 0 E /fila '0 fila 3 : 5 /factor '0 D /fila 0 E /fila 30 a : a a' : a'
a3 : a3 a' : 5 /.'<0 D /40 E /<0 : a'' : 5 /.'<0 D /5 '0 E /0 : 3.< a'3 : 5 /.'<0 E /5 0 E /5 0 : .'< a3 : 5 /.'<0 D /40 E /0 : a3' : 5 /.'<0 D /5 '0 E /'0 : '.< a33 : 5 /.'<0 D /5 0 E /5 0 : 5 .F<
)U+ :
ncontrando $L%
)L+ :
I.)'CI2 5 factor 3 : /u3' B u''0 : '.< B 3.< : .F4'G
ncontrando $,% fila 3 : 5 /factor 30 D /fila '0 E /fila 30
a3 : 5 /'.< B 3.<0 D /0 E /0 : a3' : 5 /'.< B 3.<0 D /3.<0 E /'.<0 : a33 : 5 /'.< B 3.<0 D /.'<0 E /5 .F<0 : 5 .H'G
)U+ :
ncontrando $L%
)L+ :
*hora ya se tiene la matri& )U+ y la matri& )L+. $l siguiente paso es resoler Ly : b para encontrar la matri& y. $n pocas palabras es como %ue se pidiera resoler el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los alores de y, y' y y36
*l resoler el sistema anterior, se obtienen los siguientes alores para y, y' y y36
$l -ltimo paso es resoler U8 : y para encontrar la matri& 8. $n otras palabras es como %ue se pidiera resoler el siguiente sistema de ecuaciones, encontrando los alores de 8, 8' y 836
La solución del sistema es6
$ste es finalmente el alor de 8, 8' y 83A es decir, la respuesta del e2ercicio utili&ando la descomposición LU.
'lgorito3 Para J:,K..,nA k − 1
l kk ukk = akk −∑ l kr urk ; r −1
k − 1
a ik −∑ l ir urk l ik =
r− 1
ukk
,i=k + 1, … . , n ;
k − 1
a kj−∑ l kr urj lkj=
r −1
l kk
, j = k + 1, … . , n ;
