D. FAKTORISASI LU Untuk menyelesaikan sistem linier dengan n persamaan dan n tidak
×, , , … , = = () = ⋮ , = ⋮ =
diketahui berordo
.
dimana
adalah matriks
dan
Faktorisasi LU dari matriks kuadrat A adalah berbentuk :
dimana
L adalah matriks segitiga bawah dan U adala matriks segitiga atas. Setelah mempunyai faktorisasi LU dari A ,maka kita dapat menyelesaiakn AX=C dalam dua langkah.untuk menyederhanakan notasi,AX = C dapat ditulis sebagai LY=C dimana UX = Y. Langkah pertama adalah menyelesaiakn LY=C dan dan langkah kedua adalah menyelesaikan UX=Y untuk X. Agar matriks L dan U tunggal maka elemen-elemen diagonal tidak boleh sembarang. Ada dua macam pemfaktoran yaitu metode Doolittle dan metode Crout. 1. Metode doolittle
Pada metode ini, diagonal matriks L bernilai 1. Untuk matriks koefisen
⋯ 1 01 ⋯ 00 0 ⋯ = [ ⋮ ⋯⋱ ⋮ ] = [ ⋮ ⋯⋱ 1⋮] [ 0 ⋮ 0 ⋯⋱ ⋮ ] = A yang berordo n, faktorisasinya adalah:
2. Metode crout Metode ini matriks segitiga atasnya,yaitu U,semua elemen diagonalnya bernilai 1.
⋯ 0 ⋯ 00 10 1 ⋯ = [ ⋮ ⋯⋱ ⋮ ] = [ ⋮ ⋯⋱ ⋮] [ 0 ⋮ 0 ⋯⋱ 1⋮ ] =
3. Metode Cholesky
> 0 = ≠ 0 ×
== = = =
Jika A adalah matriks simetrik dan definit positif, yaitu untuk setiap
dipilih dengan
, maka faktorisasi
dengan demikian
koefisien berordo
dan
dapat
. Jika matriks
, maka faktorisasinya adalah
E. Eliminasi Gauss-Jordan
.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah variasi lain dari Eliminasi Gauss dengan
=
mereduksi bentuk segitiga dalam Eliminasi Gauss ke bentuk diagonal. Metode ini tidak baik untuk menyelesaikan sistem
, tetapi baik
digunakan untuk matriks invers dengan situasi sebagai berikut: Invers matriks bujur sangkar A tak singular ditentukan dari penyelesaian n
= = 1,2,3, … . , , ~, − sistem
Dimana
adalah kolom ke-i dari matriks satuan berukuran
× , .
Pada prinsipnya Eliminasi Gauss-Jordan adalah merubah matriks yaitu
.
,
F. Metode Iterasib Metode
iterasi
adalah
kebalikan
dari
metode
langsung
dimana
penyelesaiannya dimulai dengan menghampiri selesaian eksaknya dengan perhitungan berulang sampai keakuratan yang diinginkan tercapai. Metode iterasi diterapkan jika proses kekonvergenan mengalami kegagalan. 1. Metode Iterasi Gauss-Seidel
= 1 = 1,2,3, … ,
Untuk memperoleh suatu algoritma Iterasi Gauss-Seidel, misal rumus umum diturunkan untuk iterasi ini,
untuk
ini
dapat terjadi jika persamaan-persamaan dapat disusun kembali sehingga tak ada koefisien diagonal yang nol kemudian setiap
= ……. 1
persamaan dibagi dengan koefisien diagonal yang bersesuaian.
× = , = = = = …. 2 + = + = + = +
Dimana adalah matriks satuan
dan L dan U adalah matriks
segitiga bawah dan atas dengan diagonal utamanya nol. Jika persamaan (1) disulihkan ke
Karena
maka diperoleh:
, maka diperoleh:
Dibawah diagonal utama gunakan hampiran baru dan di atas diagonal utama digunakan hampiran lama, sehingga diperoleh rumus iterasi:
Dimana
adalah hampiran yang ke-k dan
adalah hampiran yang ke-(k+1). 2. Iterasi jacobi
Iterasi jacobi disebut sebagai metode koreksi simultan yaitu tidak ada komponen dari hampiran komponen dari
+
yang digunakan sampai senua
+ + + =
dihitung. Iterasi jacobi menggunakan hampiran
lam untuk membangun semua hampira baru. Iterasi jacobi menghitung semua komponen
digunakan semua komponen
jacobi dinotasikan dalam matriks berbentuk:
. Iterasi
Jika
A
adalah
untuk setiap
matriks
simetrik
dan
denifit
positif,yaitu
,maka faktorisasi A=LU dapat dipiih dengan
U=L.dengan demikian.jika matriks koifisien borordo n x n berukuran umum ,maka faktorisasinya adalah A = LU=
