Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Zacatenco Análisis Numérico
Método de Factorización LU
Profesor Miguel Jiménez Guzmán Alumno: Huerta Caballero Jose Antonio Grupo: 3AV
Mé!ico C"M#$% & 'ctubre (e &)*
OBJETIVO
OBJETIVO. Por medio de la programación en Matlab, desarrollar un programa capaz de resolver un sistema de ecuaciones lineales por medio del método de factorización LU.
INTRODUCCIÓN La factorización LU de una matriz es una factorización que resume el proceso de eliminación gaussiana aplicado a la matriz y que es conveniente en términos del número total de operaciones de punto flotante cuando se desea calcular la inversa de una matriz o cuando se resolver una serie de sistemas de ecuaciones con una misma matriz de coeficientes. ́
uponga que la matriz ! es una matriz m " n se puede escribir como el producto de dos matrices# ! $ LU donde L es una matriz triangular inferior m " m y U es una matriz escalonada m " n. %ntonces para resolver el sistema# ! & $ b, escribimos ! & $ 'L U( & $ L 'U &(. Una posible estrategia de solución consiste en tomar y $ U & )y* resolver para y# o L y $ b.
+omo la matriz L es triangular superior este sistema puede resolverse mediante sustitución acia aba-o. Una vez con los valores encontrados de y, las incógnitas al sistema inicial se resuelve despe-ando & de U & $ y. uevamente, como U es escalonada, este sistema puede resolverse en caso de tener solución mediante sustitución, lo cual es sencillo. %stas observaciones nos dan la pauta para ver la conveniencia de una factorización como la anterior, es decir factorizar ! como el producto de una matriz L triangular superior, por otra U la cual es escalonada. %sta factorización se llama usualmente descomposición LU.
Ejemplo Numérico
/
0
1
2
34
5
33
6
2
/
0
1
4
6
738/
33
6
2
L$ 3
4
4
/
0
1
28/
3
4
4
6
738/
338/
734
3
4
764
7098/ U$
/
0
1
4
6
738/
/
0
1
4
4
769
4
6
738/
4
4
769
#+A,-.+
7918342444
2183424444 7218342
73834244
7218342444
9183424444
218342
Ejemplo de Aplicación
! $
10 769 794
794
b$
34335864:4444
7/86
3:/864:444
4
:6:5864:4444
738342444 9896
769
75
90
73
73 340
34 4 4 L$ 3.4444
4
74./6:5
3.4444
74.0915 74./096
4 4 3.4444
U$ 10.4444 769.4444 794.4444 4 21.110/ 731.2212 4
4 00.1//1
Lb $ 3.4444
4
74./6:5
3.4444
74.0915 74./096 y$ 34.4444 /.6:59 1.1:46
4 34.4444 4 3.4444
4 4
Uy $ 10.4444 769.4444 794.4444 34.4444 4 4
21.110/ 731.2212 4
00.1//1
/.6:59 1.1:46
&$ 4.6225 4.3332 4.3300
Códio %Programa para la Factorizacion de LU clc clear all A=[ 3 -1 0 6; 4 2 -1 -; - 1 -3 0; 0 10 -4 !" #=[2$3; 6$; -16$; -36" %[L&U"=l'(A) n=lengt*(A) +or ,=1n L(,&,)=1; +or i=,.1n L(i&,)=A(i&,)/A(,&,); +or =,.1n A(i&)=A(i&)-L(i&,)A(,&); end end +or =,n U(,&)=A(,&); end end L& U %ol'cion del itema de ec'acione %A=# LU=# % 1) L5=# % 2) U=5 L#=[L #" [r&c"=ize(L#)
U=5
%U787U98:
LA7>
+or i=1r 'm=0; +or =1i-1 'm='m .L#(i&)5(); end 5(i)=(L#(i&c)-'m); end %>L ?>97:@ :LU98: >L 87>A 5=5B
L5=#
U5=[U 5" [r&c"=ize(U5); %'tit'cion *acia atra (r)=U5(r&c)/U5(r&r); +or i=r-1-11 'm=0; +or =i.1r 'm='m.U5(i&)(); end (i)=(U5(i&c)-'m)/U5(i&i); end %>l Cector ol'ciDn del itema U=5 = B
Corrida
Diarama de !lujo
CONC"U#IÓN. Pues como lo di-e en anteriores pr;cticas, para m< sigue siendo me-or el método de =auss normalizado para la solución de ecuaciones lineales, aunque también se debe a que no investigué m;s para saber qué información se obtiene con este método.
