……….. ;
a2n = u12u1n + u22u2n Nyatakan u 2i dalam unsur a ij :
− – _ [ _ / √ ( _ ) ] [ _ / √ ( _ ) ] =
u22 =
=
u23 =
... …
u2n =
– =
Baris ketiga : a33 = …;
+
+
;
a3n = u13u1n + u23u2n + u33u3n Nyatakan unsur u 3i dalam unsur aij :
u33 =
…
− − ⎣ ⎦
u3n =
=
dengan nilai uij didapat dari perhitungan sebelumnya.
Rumusan umum untuk menyatakan unsur matriks [A] pada po sisi diagonal :
Contact detail:
[email protected]
+ + +⋯+ = (=) = + + +⋯+ ∑ ( <) = − (1 < = ( 2 ) ) 1 = − (1 < <) (3) >) (4) aii =
atau
Unsur matriks di luar posisi diagonal :
Atau aij =
sehingga rumusan umum untuk menyatakan unsur matriks [U] menurut persamaan (1) adalah :
uij = 0 (
Persamaan (2), (3), dan (4) disebut formula faktorisasi yang mengubah unsur matriks T
[A] menjadi unsur dari dua matriks [U] dan [U] seperti persamaan (1). Cara ini dinamakan metode Akar Cholesky karena adanya unsur akar pada pernyataan u , dan hanya berlaku bagi matriks yang simetri serta nilai di bawah tanda akar adalah ii
bilangan positif. Untuk menjelaskan metode ini, tinjau matriks simetri berikut ini :
9 −3 6 =−36 −1170 −1120
Contact detail:
[email protected]
00 0 =√ 9 =3 ; = √ = −33 =−1 ; = √ = 63 =2 = − =√ 1 7−1=4 = − = −10+24 =−2 = − − =√ 1 2−4−4=2 3 − 1 2 3 0 0 [] =00 40 − 22;[ ] =−2 1− 42 02 [ ][] =−32 1− 042 020 300 −40 1− 222=−396 −1−3170 −1062 Untuk mendapatkan [U] =
dengan menggunakan persamaan (1), (2), (3),
diperoleh:
Sehingga
Dapat dibuktikan :
Apabila matriks simetri tidak memenuhi nilai positif definitif, faktorisasi dilakukan ke dalam
[ ] = [][][]
produk, maka :
(5)
Matriks [D] merupakan matriks diagonal dengan unsur-unsur matriks berupa suku
kuadrat dari faktorisasi baris matriks [U] [1]. Jika suku terfaktor adalah u , maka unsur ii
diagonal dalam matriks [D] adalah
= ;=1,2,3,…,
Contact detail:
[email protected]
Nilai kuadrat u menghindarkan perhitungan di bawah tanda akar seperti dalam ii
persamaan (2). Dengan ketetapan ini, perlu dilakukan modifikasi untuk persamaan (2) dan persamaan (3), prosedur modifikasi ini disebut cara Modifikasi Cholesky. Persamaan (5) dapat dinyatakan dalam format yang lengkap berikut ini :
[ ] 1 0 0 … 0 0 0 … 0 1 … = … …1 …01 ……… …00 …00 …0 …0 ……… …00 …00 …10 …1 ……… … (6) ⎣ … 1⎦⎣ 0 0 0 … ⎦⎣0 0 0 … 1 ⎦ Unsur matriks [A] di posisi diagonal berdasarkan rumusan (6) adalah a
11
= d pada 11
= + + +⋯+ ; = (1<< +) + +⋯+ = + ∑()
suku pertama. Suku pada posisi diagonal lainnya a dalah :
(7)
Unsur matriks [A] di luar posisi diagonal sebagai :
(8) Unsur matriks [D] dan [ (8) dalam persamaan faktorisasi d11 = a11
]
dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (7) dan
d22 = a22 – d11
d33 = a33 – d11 …
dnn = ann – d11
- d22
- d22
-…-
Contact detail:
[email protected]
atau secara umum :
= − ; ( 1< = )
(9)
=1 , = , = ,…, = = ( −), = ( −),…, = ( −) Cara mendapatkan unsur matriks [U] pada persamaan faktorisasi (9) adalah
(10) atau secara umum :
− ∑ 9−36 −10−317 −11620 00 00 00 1 ] 00 10 1 =
;1
(11)
= 0, i > j
Jika diuraikan unsur matriks pada contoh
[A] =
Untuk mendapatkan [D] =
[
=
dan
dengan menggunakan persamaan (10) dan (11) akan dipero leh
Contact detail:
[email protected]
1 2 1 − 9 0 0 [] =00 106 04 [] = ⎣00 103 −3112⎦ [][][] = [ ] Dapat dibuktikan bahwa
Dengan memperhatikan persamaan (9) dan (11), urutan penyelesaian adalah
mendapatkan suku pada diagonal d , kemudian menghitung unsur pada baris ke-i dari matr iks ii
[U]. Perhitungan ini dapat diubah dalan urut an kolom, sehingga :
1 = − ; 1 << = − ; 1 <= ∗ ∗ = , ∗ = − ∗; ( 1< < ) = − ∑ ; ( 1< = ) = ∗ Perkalian
dan hitung unsur
terdapat dalam kedua persamaan ini. Tetapkan
,u dengan rumusan
(12)
dengan
(13)
Contact detail:
[email protected]
Nilai
∗
[ ] = [][][]
yang merupakan nilai antara di kolom – j diperoleh untuk setiap unsur di
luar diagonal setelah kolom pertama. Unsur diagonal pada saat bersamaan nilai akhir dari unsur
dihitung dari persamaan (12), yang
diproses dengan persamaan (13). Dengan
urutan perhitungan ini, jumlah perkalian dapat dikurangi dibanding dengan cara Akar Cholesky, dan perhitungan akar dihindari.
[ ]{} = {} [][][]{} = {} []{} = {}
Apabila persamaan linear simultan yang akan diselesaikan dinyatakan sebagai , dengan mengganti matriks
dinyatakan sebagai
,berarti persamaan linear dapat
100 10 1 ……… = …⎣0 …0 0… …… …1 ⎦⎩⎭ ⎩⎭ 0 0 00 …… 00 []{} = {}, ⎣ …00 0…0 0… ……… …0 ⎦ … = … 1 0 0 … 0 {} = {}, … …1 …01 ……… …00 … = … ⎣ = … 1⎦⎩⎭ ⎩⎭ == −− − , = − ∑ ; (1 <)
Namakan
yaitu
(14) dan
(15)
Dengan substitusi ke depan
Contact detail:
[email protected]
Dengan mengetahui vector
=
; (i=1,2, …., n)
{}
, dari persamaan (15) diperoleh unsur vector
Proses perhitungan terakhir adalah menemukan vektor substitusi ke belakang
{}
= = − = − ; ( < )
Contact detail:
[email protected]
{}
, yaitu :
dari persamaan dengan cara
BAB IV
ANALISIS
Pada bab ini akan dibahas mengenai tahapan-tahapan penyelesaian dari persoalan matriks dengan menggunakan metode Cholesky. Selain itu pada bab ini akan dibahas pula jawaban-jawaban dari setiap pertanyaan yang tert era pada rumusan masalah.
Penerapan metode Cholesky pada matriks simetris yang memenuhi nilai
4 2 −1 0 [ ] =−120 57 707
positif definitif
Langkah-langkah yang harus dilakukan :
√ √ 4 −(() )(5−) (1) √ 4 =2 − () −()² 70 − (−5) −(6)² √ 9 200 120 − 635
1. Cari nilai [U] u11 = u12 = u13 = u22 = u23 = u33 =
=
=
=2
=1
=
= -5
=
=
=
=
=6
=
Untuk u21 , u31 , u32 bernilai nol (0) karena i > j
[U] =
T
2. Cari nilai [U ].
Mengubah baris jadi kolom dan sebaliknya.
Contact detail:
[email protected]
=
=3
2−1 5 026 300 4−102 257 −10770 −21 5 026 300200 120 − 635 (((−215...222)))+++(((026..00.0)))+(+(+(003..00.0))) (((−215..11.1)))+++(((026..22.2)))+(+(+(003..00.0))) (((−215...−−−555)))+++(((026..66.6)))+(+(+(003..33.3))) 4−102 257 −10770 −1420 257 −10770 T
[U ] =
3. Pembuktian
Buktikan bahwa [A] = [U T][U]
=
=
=
(TERBUKTI BENAR)
PENGGUNAAN MATLAB
% Dekomposisi Metode Cholesky % untuk matrik simetri dan positif % Cara Panggil: C = Cholesky(A) % Input: A = matrik simetri dan positif % Output: C = matrik segitiga atas dimana: A = C*B A=[4 2 -10;2 5 7; -10 7 70] [m,n] = size(A); if m~=n, error('Matrik harus bujur sangkar'); end B=chol (A) C=transpose (B) A=C*B
Penerapan metode Cholesky pada matriks simetris yang tidak memenuhi nilai positif definitif
Contact detail:
[email protected]
Buktikan hingga menjadi
8 2 −4 =−4−620 2 13 −6 = [][][]
Langkah-langkah penyelesaian :
100 10 1 = = (√ ) = 28 =4 14 1 = 1 = (√ ) =− 8 =−2 1 = (−−6−8.. . .−)= −[−5]=− ( −. . ) 1 1 1 − 4 2 [] = ⎣00 10 −15⎦ 1 10 100 1 10 00 − − 1 00 00 00 = =8
1. Cari nilai matriks [U] =
=
=
Untuk u21 , u31 , u32 bernilai nol (0) karena i > j
T
2. Cari nilai [U ] =
.
Mengubah baris jadi kolom dan sebaliknya.
[UT] =
3. Cari nilai matriks [D] =
Contact detail:
[email protected]
= − =13−8. 1 25 2 = − − =20−8.−2 − 2 − 5 =20−2−2=16 8 0 0 [] =00 02251 06 1 1 1 0 0 8 0 0 1 − 8−4−620 22 13− −64= 41 12 0 0 225 0 0 41 −25 ⎣− 2 − 5 1⎦ 0 0 1 6 ⎣0 0 1 ⎦ 1 1 1 − 8 0 0 8−4−620 2 −4 4 2 2 0 = 2 13 −6 −4−516 00 10 −125 8 2 − 4= 8 2 −4 =
Sehingga didapat :
4. Pembuktian
T
Buktikan bahwa [B] = [U ] [D] [U]
2−4−620 13 −6 −4−620 2 13 −6
(TERBUKTI BENAR)
Tidak semua persoalan linier dapat diselesaikan dengan metode Cholesky ini . Hal ini dikarenakan adanya syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi seperti bentuk matriks yang harus simetris, angka diluar diagonal utama nya harus memiliki nilai yang sama, dan lain-lain.
Kelebihan Metode Cholesky: 1. Dapat mengetahui factor-faktor dari suatu matriks
Kekurangan Metode Cholesky: 1. Tidak semua persoalan dapat diselesaikan dengan metode Cholesky 2. Terlalu banyak persyaratan dalam penyelesaiannya
Contact detail:
[email protected]
Contact detail:
[email protected]
BAB V
PENUTUP
V.1. Kesimpulan Metode Cholesky adalah sebuah metode penyelesaian persamaan linear simultan yang diperoleh dari rumusan matematika berdasarkan atas unsur koefisien variabel yang simetris. Metode ini memiliki beberapa ciri, yaitu matriks yang akan diselesaikan harus merupakan matriks bujursangkar (ber-ordo sama), unsur matriks baris sama dengan unsur matriks kolom pada indeks baris dan kolom yang sama. Angka diluar diagonal utama harus memiliki nilai yang sama. Metode Cholesky ini memiliki 2 jenis rumusan. Hal ini berdasarkan jenis matriks
[ ] [ [][][
yang dikerjakan, yaitu apabila matriks tersebut memenuhi nilai positif definitif maka penyelesaian matriks tersebut menggunakan rumusan [A] = maka menggunakan rumusan [A]=[ memenuhi nilai positif definitif yaitu
U], bila tidak memenuhi,
U]. Ada pun ciri-ciri dari matriks yang
Nilai pada diagonal utamanya selalu positif Determinannya bernilai positif
Dari hasil penyusunan makalah yang kami lakukan, dapat disimpulkan bahwa terapan metode numerik khususnya metode Cholesky dalam persoalan matematika cukup diperlukan karena dengan metode ini dapat dibuktikan dan dicari faktor dari suatu matr iks. Selain itu, berdasarkan analisis soal yang kami lakukan, dapat di simpulkan pula bahwa tidak semua persoalan matriks dapat diselesaikan dengan metode Cholesky.
V.2. Saran Kami menyadari bahwa dalam penulisan makalah ini, masih terdapat kekurangan. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun dari para pembaca.
Contact detail:
[email protected]
Selain itu, kami pun menyarankan kepada pembaca sekalian, sekiranya dapat mempelajari dan berusaha mengenal lebih jauh mengenai terhadap rekayasa sipil dalam berbagai bidang dengan mencari tahu dan tidak hanya terpaku pada makalah ini.
Contact detail:
[email protected]
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Lipson, Marc and Seymour Lipschutz. 2001. Schaum’s Outlines of Theory and th
Problems of Linear Algebra 3 ed. New York: The McGraw-Hill Companies. [2]
Yahya, Yusuf dkk. 2001. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghalia Indonesia.
[3]
Zakaria, Hasballah dan Amrinsyah Nasution. 2001. Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. Bandung: ITB.
[4]
Tam. Metode Cholesky. ars.uns.ac.id. 24-11-2008 11.35 WIB
[5]
Zakaria, Hasballah dan Amrinsyah Nasution. Metode Numerik secara Umum. mail.si.itb.ac.id. 21-11-2008 10.01 WIB
[6]
________. materimahasiswateknik.blogspot.com. 21-11-2008 10.30 WIB
[7]
________. mti.ugm.ac.id. 23-11-2008 16.43 WIB
[8]
________. www.eng.ui.ac.id. 23-11-2008 13.12 WIB
[9]
________. www.google.com. 20-11-2008 08.44 WIB
[10]
________. www.malang.ac.id. 21-11-2008 11.14 WIB
[11]
________. www.math.ui.ac.id. 24-11-2008 08.40 WIB
[12]
________. www.yahoo.com. 21-11-2008 17.50 WIB
Contact detail:
[email protected]
