FAKTORISASI LU
Fakt Faktor oris isas asii LU dapati dapati diguna digunakan kan sebagai sebagai cara alterna alternatif tif dalam dalam menyeles menyelesaik aikan an sistem sistem persamaan linier. Misalkan ada sistem persamaan linier 3 variabel
a11 a12 a13 x1 b1 a21 a22 a23 x2 = b2 a a 31 32 a33 x3 b3
atau dapat dinyatakan sebagai
[ A]{ x} = { b}
Dengan menggunakan forward menggunakan forward elmination elmination pada pada eliminasi Gauss, akan diperoleh
a11 a12 ! a 22 ! !
a13 x1 b1 a 23 x 2 = b2 a33 x 3 b3
selain itu "uga diperoleh #d # d $ sebagai
d 1 b1 d 2 = b2 d 3 b3
elemen pada matriks % disederhanakan men"adi
a11 a12 [U ] = ! a 22 ! !
a13 u11 a 23 =! a 33 !
u12 u 22 !
&ada saat yang sama kita "uga akan memperoleh bentuk ' L ' L((
u13 u 23 u 33
1 ! ! 1 ! ! [ L ] = f 21 1 ! = l 21 1 ! f f 1 l l 1 31 32 31 32
dalam hal ini f 21 =
a 21
f 31 =
a11
a 31
f 32 =
a11
a 32 a 22
)ika kita mengalikan ' L('U (, maka akan diperoleh ' A(
1 ! LU = f 21 1 f f 32 31
! a11 ! ! 1 !
a12 a 22 !
a13 a11 = a 21 a 23 a33 a 31
a12 a 22 a32
a13 a 23 a 33
dengan mengalikan ' L( dan #d $ akan diperoleh matriks #b$
b1 b1 1 ! ! f 21 1 ! b2 = b2 f f 1 b b 31 32 3 3
Dengan melihat uraian di atas, maka penyelesaian sistem persamaan linier n*variabel dengan faktorisasi LU dilakukan dengan tahapan berikut+
1.
liminasi Gauss dengan forward elimination, untuk matriks '%(, diperoleh matriks 'U ( a11 a12 a13 a1n u11 u12 u13 u1n ! a 22 a 23 a 2 n ! u 22 u 23 u 2 n = ! ! u 33 u 3n = 'U ( ! ! a a 33 3n
!
2.
!
!
n −1- a nn
!
!
Forward substitution untuk mendapatkan matriks #d $ ' L (#d $ = #b$
!
u nn
1 ! ! l 21 1 ! l 31 l 32 1 l n1 l n 2 l n 3
! d 1 b1 ! d 2 b2 ! d 3 = b3
1 d n bn
d 1 = b1 d 2 = b2 − l 21d 1 d 3 = b3 − ( l 31d 1 + l 32d 2 )
d n = bn − ( l n1d 1 + l n 2d 2 + l n 3d 3 + ... + l n n −1- d n −1- ) atau n −1
d i = bi −
∑ l d ij
i = 1, 2, 3,..., n
j
j =1
3. Back substitution untuk mendapatkan matriks # x$ 'U (# x$ = #d $
u11 u12 u13 ! u 22 u 23 ! ! u 33 ! ! !
u1n x1 d 1 u 2 n x 2 d 2 u 3n x 3 = d 3
xn =
xn −1 = xn − 2 = xn − 3 =
u nn x n d n
d n u nn
d n −1 − u n −1- n xn u n −1- n −1d n − 2 − u n − 2- n −1- xn −1 + u n − 2- n xn u n − 2- n − 2 d n − 3 − u n − 3- n − 2 - xn − 2 + u n − 3- n −1- xn −1 + u n − 3- n xn u n − 3- n −3-
n −1
d i − xi =
Contoh :
∑ u x ij
j = i +1
uii
j
i = n − 1-, n − 2-, n − 3-,... 1
Gunakan eliminasi Gaus untuk menyelesaikan 3 x1 !.1 x1 !.3 x1
− !.1 x 2 − !.2 x3 = 0. + 0 x 2 − !.3 x3 = − 1.3 − !.2 x2 + 1! x3 = 01./
Penyelesaian :
3 − !.1 − !.2 ' A( = !.1 0 − !.3 !.3 − !.2 1!
Dengan forward elimination,diperoleh 'U (
!.1 R1 = R2 − !.!333333 R1 3 !.3 R3 ⇒ R3 − f 31 R1 = R3 − R1 = R3 − !.1!!!!! R1 3 R2 ⇒ R2 − f 21 R1 = R2 −
diperoleh
− !.1 − !.2 3 ! 0.!!333 − !.23333 ! − !.1!!!! 1!.!2!!
− !.1!!!!
R3 ⇒ R3 − f 32 R 2 = R3 −
0.!!333
R 2 = R3 + !.!2013!! R 2
− !.2 3 − !.1 ! 0.!!333 − !.23333 = 'U ( ! ! 1!.!12!
Dengan forward substitution, diperoleh matriks #d $ ' L (#d $ = #b$
d 1 ! ! 1 0. 1 ! d 2 = − 1.3 !.!333333 !.1!!!!! − !.!2013!! 1 d 3 01./
sehingga
d 1 0. d 2 = − 1.410 d 3 0!.!/3
Dengan back substitution diperoleh matriks # x$ 'U (# x$ = #d $
− !.2 x1 0. 3 − !.1 ! 0.!!333 − !.23333 x 2 = − 1.410 ! ! 1!.!12! x3 0!.!/3
x1 3 x 2 = − 2. x3 0.!!!!3
Faktorisasi LU dengan Pivoting
%dapun tahap penyelesaian dengan cara ini adalah 1. 2. 3. /.
5akukan partial pivoting , kemudian akan diperoleh matriks permutasi ' P ( 6alikan matriks ' A( dengan matriks permutasi ' P ( Forwad elimination matriks '%( hasil permutasi Forward substitution untuk memperoleh matriks #d $ ' L(#d $ = ' P (#b$
. Back substitution untuk mendapatkan matriks # x$ 'U (# x$ = #d $ Contoh
7arilah penyelesaian persamaan berikut dengan faktorisasi 58 menggungakan partial pivoting
!.!!!3 3.!!!! x1 = 2.!!!1 1.!!!! 1.!!!! x2 1.!!!! Penyelesaian :
Dengan menggunakan matlab
Faktorisasi Cholesky
6ita masih ingat bah9a matriks simetris memiliki ciri untuk elemen*elemennya yang dinyatakan dalam bentuk umum aij : a ji. Di sisi lain matriks simetris "uga memiliki ciri yaitu ' A( : ' A(;.
[ A ] = [U ] # [U ]
'U (# adalah transpose dari matriks simetris 'U (. lemen*elemen matriks 'U ( dapat dihitung dengan menggunakan hubungan rekurensi. 8ntuk baris ke*i
i −1
uii = aii −
∑u
2 ki
k =1
uij =
aij −
i −1
∑u
ki
u kj
k =1
uii untuk j : i = 1,...,n
Contoh :
4 1 [ A] = 1 22 22 0 Penyelesaian :
8ntuk baris pertama i : 1-, elemen*elemennya dapat dihitung sebagai berikut
u11 = a11 = 4 = 2./// u12 =
a12
u13 =
a13
u11 u11
= =
1 2./// 2.///
= 4.12302/ = 22./344
8ntuk baris ke*2 i : 2-, elemen*elemennya
u 22 = a11 − u122 = − 4.12302/- 2 = /.133 u 23 =
a23 − u12 u13 u 22
=
22 − 4.12302/22./344/.133
= 2!.14
8ntuk baris ke*3 i : 3-, elemennya
2 + u232 - = 0 − '22./344- 2 + 2!.14-2 = 4.11!1!1 u33 = a33 − u13
Dengan hasil ini akan diperoleh matriks 'U (
2./// 4.12302/ 22./344 /.133 2!.14 [U ] = ! ! ! 4.11!1! dan ! ! 2./// [U ] = 4.12302/ /.133 ! 22./344 2!.14 4.11!1! #
%dapun tahap penyelesaian sistem persamaan linier ' A(# x$:#b$ yang mengandung matriks simetris dengan menggunakan faktorisasi !olesk" adalah+ 1. ;entukan matriks 'U ( atau 'U (; 2. Dapatkan matriks #d$ dengan forward substitution dari hubungan 'U (# #d $ : #b$ 3. ;entukan matriks # x$ dengan back substitution dari hubungan 'U (# x$ : #d $
Contoh :
[ ]{ } { } 8
2
3
x
1
2
5
4
x
2
3
4
7
x
3
2
= 10 4
Penyelesaian:
Latihan 1. Gunakan faktorisasi '5( dan '8( untuk menyelesaiakan sistem persamaan linier
berikut 0>1 = 2>2 ? 3>3 : *12 2>1 = >2 ? 3>3 : *2! >1 ? >2 ? 4>3 : *24
2. Gunakan faktorisasi '5( dan '8( dengan partial pivoting untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut 2>1 ? 4>2 ? >3 : *3 *3>1 ? >2 = 4>3 : *3/ *>1 = >2 ? 2>3 : */!
3. Gunakan faktorisasi 7holesky untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut >1= 2!>2= 14>3 : 1!! 2!>1 = !>2 = !> 3 : 2! 14>1 = !>2 = 4!> 3 : 1!!
