Métodos Numéricos.
DESCOMPOSICION LU. Análisis del Método. Como se sabe el método de Gauss resuelve sistemas de ecuaciones ecuaciones algebraicas lineales de la forma [A]*{X} = {B}. n el !lgebra lineal " la factori#aci$n o descom%osici$n &' es una forma de factori#aci$n de factori#aci$n de de una matri# como como el %roducto de una matri# triangular inferior ( ( una su%erior una su%erior . &a descom%osici$n se usa en el an!lisis numérico %ara numérico %ara resolver sistemas de ecuaciones )m!s eficientemente o encontrar las matrices inversas" si la matri# [A] es una matri# no singular )si )si lo fuera" entonces la descom%osici$n %odr+a no ser ,nica. ste método es m!s efica# -ue la eliminaci$n de Gauss Gauss %or-ue se %uede resolver resolver las ecuaciones con los mismos coeficientes de [A] %ero %ara distintos términos inde%endientes {B}. isten algunas breves restricciones restricciones %ara este método una de ellas es -ue la forma matricial del sistema de ecuaciones lineales debe ser la misma -ue -ue la de una /atri# Cuadrada. Al a%licar el método de la eliminaci$n de Gauss Gauss resulta ineficiente cuando deben resolverse ecuaciones con los mismos coeficientes de la matri# [A] %ero con diferentes constantes del lado derec0o del vector {B}. &os métodos de descom%osici$n &' se%aran se%aran el tiem%o usando en las eliminaciones %ara la matri# [A] de las mani%ulaciones del lado derec0o derec0o del vector {B}. 'na ve# -ue la matri# [A] se 0a descom%uesto los m,lti%les vectores del lado derec0o del vector {B} se %uede evaluar de manera eficiente. &os métodos de descom%osici$n &' toma toma como se%arado la matri# [A] [A] de los vectores {B} ( las inc$gnitas 0aciendo m!s f!cil encontrar las diferentes soluciones %ara los diferentes vectores {B}" un 0ec0o mu( interesante es -ue la eliminaci$n de Gauss se %uede e%resar como una una descom%osici$n &'. 1ara resolver este método tenemos -ue tener en cuenta -ue la matri# sea cuadrada. ste método es mu( adecuado %ara a-uellas a-uellas situaciones donde se deben evaluar muc0os vectores {B} del lado derec0o %ara una sola matri# [A]. Matriz Inversa
&as matrices & ( ' %ueden ser usadas %ara calcular calcular la matri# inversa mediante2 A − 1 = U − 1 L − 1
Algunas im%lementaciones -ue invierten matrices usan este método.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. Determinante de una matriz
&as matrices & ( ' %ueden ser usadas %ara calcular calcular el determinante determinante de de la matri# A mu( eficientemente %or-ue det)A = det)&det)' ( los determinantes de matrices triangulares son sim%lemente el %roducto de los elementos de sus diagonales. n %articular" si & es una matri# triangular en cu(a diagonal diagonal todos los elementos son uno" entonces2
1ara a%licar la descom%osici$n &' nos nos basamos en un sistema de ecuaciones lineales )3..&. a11 x 1+ a12 x 2 + a13 x 3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + a1 m x m=b1 a21 x 1 + a 22 x2 + a23 x 3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ a 2 m x m= b2 a31 x 1 + a32 x 2 + a 33 x 3+ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ a 3 m x m= b3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
an 1 x1 + a n 2 x 2+ an 3 x 3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ an m x m= b n
%resando el sistema de ecuaciones ecuaciones lineales en forma matricial se tiene2
[ A] * { X } = { B} )4 a11 a 21 a 31 . . . a n1
a12
a13
.
.
.
a 22
a 23
.
.
.
a 32
a 33
.
.
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.
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an2
a n3
.
.
.
.1 b1 . b a2n 2 2 b3 a 3 n .3 . * . = . . . . . . . a nn . n bn a1n
[ A] ⇒ Contiene los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales )3..&.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. Determinante de una matriz
&as matrices & ( ' %ueden ser usadas %ara calcular calcular el determinante determinante de de la matri# A mu( eficientemente %or-ue det)A = det)&det)' ( los determinantes de matrices triangulares son sim%lemente el %roducto de los elementos de sus diagonales. n %articular" si & es una matri# triangular en cu(a diagonal diagonal todos los elementos son uno" entonces2
1ara a%licar la descom%osici$n &' nos nos basamos en un sistema de ecuaciones lineales )3..&. a11 x 1+ a12 x 2 + a13 x 3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ + a1 m x m=b1 a21 x 1 + a 22 x2 + a23 x 3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ a 2 m x m= b2 a31 x 1 + a32 x 2 + a 33 x 3+ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ a 3 m x m= b3 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙∙ ∙∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙
an 1 x1 + a n 2 x 2+ an 3 x 3 + ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙+ an m x m= b n
%resando el sistema de ecuaciones ecuaciones lineales en forma matricial se tiene2
[ A] * { X } = { B} )4 a11 a 21 a 31 . . . a n1
a12
a13
.
.
.
a 22
a 23
.
.
.
a 32
a 33
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an2
a n3
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.1 b1 . b a2n 2 2 b3 a 3 n .3 . * . = . . . . . . . a nn . n bn a1n
[ A] ⇒ Contiene los coeficientes del sistema de ecuaciones lineales )3..&.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
{ .} ⇒ Contiene las inc$gnitas del sistema de ecuaciones lineales )3..&.
{ B} ⇒ Contiene los términos inde%endientes del sistema de ecuaciones lineales )3..&. &a obtenci$n de las ecuaciones es como el %lanteado %lanteado en el libro estudiado estudiado /étodos 5uméricos %ara 6ngenieros 6ngenieros de )3teven C. C0a%ra ( 7a(mond 1. Canale. Al reordenar reordenar la ecuaci$n tenemos2
[ A] * { X } − { B} = 0 )8 3u%oniendo -ue la ecuaci$n se %uede e%resar como un sistema triangular su%erior se tiene2
[' ] * { X } − { 9 } = 0 ): A0ora su%onga -ue -ue eiste una matri# diagonal inferior con n,meros n,meros 4 en la diagonal diagonal
[ &] { [' ] * { X } − { 9 } } = [ A] * { X } − { B} );
3i esta ecuaci$n se satisface" seg,n la regla entre multi%licaci$n de matrices tenemos2
[ A ] = [ &] * [' ] )<
[ &] * { 9 } = { B} )> 1ara la descom%osici$n &' la matri# matri# [A] se factori#a o descom%one en la matri# triangulares inferiores [&] ( la matri# triangular su%erior [']. 1aso de la sustituci$n [&] ( ['] se usan %ara determinar una soluci$n {X} %ara %ara un lado derec0o {B}. ste %aso se divide a su ve# en dos" %rimero tenemos -ue resolver la ecuaci$n )> la cual se usa %ara generar un valor intermedio {9} mediante sustituci$n 0acia adelante" des%ués sustituimos el vector encontrado {9} en la ecuaci$n ): ( se resuelve %or sustituci$n 0acia atr!s con lo cual obtenemos el vector soluci$n {X}. ?tro método de obtenci$n de las ecuaciones es como el %lanteado en clases %artiendo de la misma ecuaci$n )4 tenemos.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
[ A] * { X } = { B} )4 @e donde e%resamos -ue2
[ A ] = [ &] * [' ] )8 @onde2 [ &] ⇒ /atri# triangular inferior con la condici$n -ue l )i" i=4. [' ] ⇒ /atri# triangular su%erior.
7eem%la#ando la ecuaci$n )8 en la ecuaci$n )4 tenemos2
[ &] * [' ] * { X } = { B} ):
/ulti%licando a ambos miembros de la ecuaci$n ): %or la inversa de la matri# [&] tenemos2
[ &] −1 * [ &] * [' ] * { X } = { B} * [ &] −1 ); @e donde obtenemos las siguientes ecuaciones2
[' ] * { X } = { 9 } )<
[ &] * { 9 } = { B}
)>
@e donde %rimero se resuelve la ecuaci$n )> la cual se usa %ara generar un valor intermedio {9} mediante sustituci$n 0acia adelante" des%ués sustituimos el vector encontrado {9} en la ecuaci$n )< ( se resuelve %or sustituci$n 0acia atr!s con lo cual obtenemos el vector soluci$n {X}. l ultimo método es el mas em%leado %or su facilidad de entender las formulas -ue se encuentran.
Descomposición de Doolittle. ste método se basa en colocar o ace%tar -ue la matri# [&] -ue tiene la siguiente condici$n l )i"i=4" desde i=4 0asta n a este método también se lo llama
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. descom%osici$n &' con la eliminaci$n de Gauss. l método de @oolittle genera [&] ( ['] barriendo las columnas ( filas de la matri#. 1ara la descom%osici$n &' se factori#a la matri# [A] en una matri# triangular inferior [&] ( una matri# triangular su%erior ['] %ara lo cual utili#amos el método de descom%osici$n de @oolittle.
[ &] ⇒ /atri# triangular inferior con la condici$n -ue l )i"i=4.
1 0 0 l 21 1 0 l 31 l n 2 1 [ &] = . . . . . . . . . l l l n1 n 2 n3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 .
1
0
.
.
1
.
.
.
0
0 0 0 0 1 0
[' ] ⇒ /atri# triangular su%erior.
u11 u12 u13 . . . 0 u u 23 . . . 22 0 0 u 33 . . . [' ] = . . 0 . . . . . . 0 . . . . . 0 . . 0 0 0 . . 0
u1n
u 3n . . . u nn
u 2n
@e donde utili#amos el siguiente sistema de ecuaciones lineales )3..& como eem%lo con lo cual se resuelve ( luego se %uede generali#ar el método2
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. 2 .1 + 3 .2 − .3 + . 4 + 2 .5 = 3 .1 − 2 .2 + 3 .3 + 3 . 4 − 2 .5 = 1 3 .1 + 2 .2 + 3 .3 − 2 . 4 + 2 .5 = −2
− 2 .1 + 2 .2 − 3 .3 + 2 .4 − 3 .5 = 4 .1 + 2 . 2 − 3 .3 + 2 . 4 + 2 .5 = −2 @e donde a%licamos la siguiente condici$n2
[ A ] = [ &] * [' ] a11 a 21 a31 . . . a n1
a12
a13
. . .
a 22
a 23
. . .
a32
a 33
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
.
.
. . .
an2
a n3
. . .
a1n
1 0 l a 2n 21 1 a 3n l 31 l n 2 . = . . . . . . . . a nn l n1 l n 2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
.
1
0
0
.
.
1
0
.
.
.
1
l n 3
.
.
.
0 u11
u12
u13
.
.
.
0
0
u 22
u 23
.
.
.
0
0
u 33
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
0
.
0
0
0
.
.
0
0 0 * 0 0 1
7e%resentando en forma numérica. 0 0 0 3 −1 1 2 1 2 1 −2 3 3 −2 l 21 1 0 0 3 0 2 3 − 2 2 = l 31 l 32 1 − 2 2 − 3 2 − 3 l 41 l 42 l 43 1 1 2 −3 2 2 l 51 l 52 l 53 l 54
0 u11
u12
u13
u14
0
u 22
u 23
u 24
0
0
u 33
u 34
0
0
0
u 44
0
0
0
0
0 0 * 0 1
7eali#ando las res%ectivas o%eraciones se tiene. u11 = a11
u11 = 2
u12 = a12
u12 = 3
u13 = a13
u13 = −1
u14 = a14
u14 = 1
u15 = a15
u15 = 2
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
u15
u 35 u 45 u 55 u 25
u1n
u 3n . . . u nn
u 2n
Métodos Numéricos.
u11 * l 21 = a 21 u11 * l 31 = a 31 u11 * l 41 = a 41
l 21 =
a 21
l 31 =
a31
l 41 =
a 41
l 51 =
u11 * l 51 = a 51
u11
1
l 21 =
2 3
l 31 =
u11
l 41 =
u11 a51
l 51 =
u11
2
−2 2 1
= −1
2
u12 * l 21 + u 22 = a 22
u 22 = a 22 − u12 * l 21
u 22 = −2 − "3 * "1 ! 2 = −# ! 2
u13 * l 21 + u 23 = a 23
u 23 = a 23 − u13 * l 21
u 23 = 3 − "−1 * "1 ! 2 = # ! 2
u14 * l 21 + u 24 = a 24
u 24 = a 24 − u14 * l 21
u 24 = 3 − "1 * "1 ! 2 = 5 ! 2
u15 * l 21 + u 25 = a 25
u 25 = a 25 − u15 * l 21
u 25 = −2 − " 2 * "1 ! 2 = −3
u12 * l 31 + u 22 * l 32 = a32
l 32 = "a32 − u12 * l 31 !"u 22
u12 * l 41 + u 22 * l 42 = a42
l 42 = "a42 − u12 * l 41 !"u22
u12 * l 51 + u 22 * l 52 = a52
l 52 = "a52 − u12 * l 51 !"u 22
l 32 = "2 − ""3 * "3 ! 2 !"−# ! 2 = 5 ! # l 42 = "2 − ""3 * "−1 !"−# ! 2 = −10 ! # l 52 = "2 − ""3 * "1 ! 2 !"−# ! 2 = −1 ! # u13 * l 31 + u 23 * l 32 + u 33 = a33
u 33 = a 33 − u13 * l 31 − u 23 * l 32
u14 * l 31 + u 24 * l 32 + u 34 = a 34
u 34 = a 34 − u14 * l 31 − u 24 * l 32
u15 * l 31 + u 25 * l 32 + u 35 = a 35
u 35 = a 35 − u15 * l 31 − u 25 * l 32
u 33 = 3 − "" −1 * "3 ! 2 − ""# ! 2 * "5 ! # = 2 u 34 = −2 − ""1 * "3 ! 2 − ""5 ! 2 * "5 ! # = −3# ! # u 35 = 2 − "" 2 * "3 ! 2 − ""−3 * "5 ! # = $ ! #
u13 * l 41 + u23 * l 42 + u33 * l 43 = a43
l 43 = " a43 − u13 * l 41 − u23 * l 42 !"u33
u13 * l 51 + u 23 * l 52 + u33 * l 53 = a53
l 53 = " a53 − u13 * l 51 − u23 * l 52 !"u33
l 43 = " −3 − ""−1 * "−1 − ""# ! 2 * "−10 ! # !" 2 = 1 ! 2 l 53 = " −3 − ""−1 * "1 ! 2 − ""# ! 2 * " −1 ! # !"2 = −1
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. u14 * l 41 + u24 * l 42 + u34 * l 43 + u 44 = a44
u44 = a44 − u14 * l 41 − u 24 * l 42 − u34 * l 43
u15 * l 41 + u25 * l 42 + u35 * l 43 + u45 = a45
u45 = a45 − u15 * l 41 − u 25 * l 42 − u35 * l 43
u 44 = 2 − ""1 * " −1 − ""5 ! 2 * " −10 ! # − ""−3# ! # * "1 ! 2 = 12% ! 14 u 45 = −3 − ""2 * " −1 − ""−3 * " −10 ! # − ""$ ! # * "1 ! 2 = −41 ! # u14 * l 51 + u 24 * l 52 + u34 * l 53 + u44 * l 54 = a54
l 54 = " a54 − u14 * l 51 − u 24 * l 52 − u34 * l 53 !"u 44
l 54 = "2 − ""1 * "1 ! 2 − ""5 ! 2 * " −1 ! # − ""−3# ! # * " −1 !"12% ! 14 = −1& ! 43 u15 * l 51 + u25 * l 52 + u35 * l 53 + u 45 * l 54 + u55 = a55 u55 = a55 − u15 * l 51 − u25 * l 52 − u35 * l 53 − u45 * l 54 u 55 = 2 − ""2 * "1 ! 2 − ""−3 * "−1 ! # − ""$ ! # * " −1 − ""−41 ! # * " −1& ! 43 = −20 ! 43 @e donde se obtiene la siguiente e%resi$n. 3 −1 1 2 1 0 0 0 2 1 −2 3 3 −2 1 0 0 1 ! 2 3 2 3 − 2 2 = 3 ! 2 5!# 1 0 1 − 2 2 − 3 2 − 3 − 1 − 10 ! # 1 ! 2 1 − 1 − 1& ! 43 2 −3 2 2 1 ! 2 − 1 ! #
3 1 2 −1 0 − 3 0 − # ! 2 # ! 2 5 ! 2 0 * 0 0 2 $!# − 3# ! # 0 0 0 0 12% ! 14 − 41 ! # − 20 ! 43 1 0 0 0 0 0 2
ene!"li#"ción de $o!m%l"s. &uego de observar el eem%lo %odemos generali#ar las siguientes formulas sin tomar en cuenta las variables i ( %or-ue cuando im%lementamos en matlab esta las identifica como imaginarios" %or eem%lo la ra+# de D4.
3iem%re -ue ' )4"4=A )4"4 ( cum%la -ue sea diferente de cero. Eambién debe cum%lir la condici$n -ue2 1ara c=4" 8" :";"F." n &"c' c = 1
@eterminando los elementos de la %rimera fila de la matri# ['] ( la %rimera columna de la matri# [&]. 1ara c=8":" ;"F." n ' )4" c =A )4" c &"c'1 = A"c'1 ! ' "1'1
1ara determinar los elementos de la diagonal de la matri# ['] los cuales deben ser diferentes de cero. 1ara c=8" :";"F.." n
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. ' "c' c = A"c' c −
d =c −1
∑ " &"c' G *' "G ' c d =1
1ara los elementos restantes tanto de la matri# [&] como de la matri# [']. 1ara c=8" :" ;F n 1ara f=cH4"cH8"cH:"F." n
' "c' f = A"c' f −
g = c −1
∑ " &"c' g *' " g ' f
g =1
A" f ' c −
g = c −1
∑ " &" f ' g *' " g ' c
g =1
& " f ' c =
' "c' c
Al&o!itmo de l" descomposición LU. D"tos de ent!"d".
[ A] ⇒ Coeficientes del sistema de ecuaciones lineales )3..&.
D"tos de s"lid".
[ &] ⇒ Coeficientes de la matri# triangular inferior.
[' ] ⇒ Coeficientes de la matri# triangular su%erior.
P"sos. 1.' @eterminamos -ue dimensiones tiene la matri# A)n" m la matri# [A] debe ser cuadrada. (.' 3i el nI=m. ).' Comentario no eiste soluci$n la matri# no es cuadrada. *.' 1arar. +.' ' )4"4=A )4"4. ,.' 3i ' )4"4 ==J.
7eali#ar %asos > al K.
-.' 3alida 5o se %uede factori#ar la matri#" no eiste divisi$n %ara cero.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. .' 1arar. /.' 1ara c=8" :" ;"<"FF." n
7eali#ar %asos L al 48.
10.' ' )4" c=A )4" c. 11.' &)c" 4=)A )c" 4M' )4" 4. 1(.' 1ara. 1).' 1ara c=8" :" ;" <"F.." n
7eali#ar %asos 4: a :8.
1*.' @eterminamos los elementos de la diagonal de la matri# '.
3=J. 1+.' 1ara d=4" 8":"F" )cD4
7eali#ar %asos 4< a 4N.
1,.' 3=3H&)c"d*')d"c. 1-.' 1arar. 1.' ' )c"c =A )c" cD3. 1/.' 3i ' )c"c==J
7eali#ar %asos 4L a 84.
(0.' 3alida 5o se %uede factori#ar no 0a( divisi$n %ara cero. (1.' 1arar. ((.' @eterminamos los dem!s elementos de las matrices & ( '.
1ara f=)cH4" )cH8" )cH:"F." n
7eali#ar %asos 88 a :4.
(). ' 34=J. (*.' 38=J. (+.' 1ara g=4" 8":"F" )cD4
7eali#ar %asos 8< al 8K.
(,.' 34=34H)&)c"g*')g"f. (-.' 38=38H)&)f"g*' )g"c. (.' 1arar. (/.' ' )c"f=A)c"fD34. )0.' & )f"c=))A)f"cD38M)')c"c. )1.' 1arar. )(.' 1arar.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. )).' 1arar %rograma.
Implement"ción en M"tl" p"!" l" descomposición LU.
% % % % % % % % % % % % % % % %
-----------------------------------------------------------------------Universidad de Cuenca. Facultad de Ingeniería Escuela Civil. Nombre: Bron !atricio "odrígue# Merc$n. Factori#aci&n 'U. Este método sirve (ara solucionar varios con)untos de sistemas de ecuaciones lineales con la misma matri# de coe*cientes +, (ero (ara distintos términos derec$os /B0 no $omogéneos 1distintos de cero2. E3(resando en 4orma matricial el sistema de ecuaciones lineales 15.E.'2 5e tiene: +,6/307/B0 8atos de entrada:
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. % +,7Coe*cientes del sistema de ecuaciones lineales. % 8atos de salida: % +'7Matri# triangular in4erior con la diagonal de 9. % +U7Matri# triangular su(erior. % -----------------------------------------------------------------------4unction +'U7'U1,2
dis(1----------------------------------------------------------------2 dis(1 Factori#aci&n 'U dis(1 Universidad de Cuenca dis(1"eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n2 dis(1-----------------------------------------------------------------2
2 2
% 8eterminamos si la matri# +, es cuadrada o no % 8onde: % n7N;mero de *las % m7N;mero de columna +nm7si#e1,2< i4 n=7m 4(rint41No esiste soluci&n la matri# no es cuadrada2 return end % Creamos una matri# de ceros a e3e(ci&n de los elementos de la diagona % >ue en este caso son unos. '7ee1n2< % Creamos una matri# de ceros. U7#eros1n2<
U19927,1992< i4 U199277? 4(rint41No e3iste soluci&n (or>ue no e3iste divisi&n (ara cero92 return end % Calculamos los elementos de la (rimera *la de +U columna +' 4or c7@:n U19c27,19c2< '1c92711,1c922A1U199222< end
4or c7@:n %8eterminamos los elementos de la diagonal de la matrí# +U 57?< 4or d79:1c-92 575'1cd26U1dc2< end U1cc27,1cc2-5< i4 U1cc277? 4(rint41No e3iste soluci&n (or>ue no e3iste divisi&n (ara cero@2 return
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. end %8eterminamos los elementos restantes de la matri# +U+' 4or 471c92:n 597?< 5@7?< 4or g79:1c-92 597591'1cg26U1g422< 5@75@1'14g26U1gc22< end U1c427,1c42-59< '14c2711,14c2-5@2A1U1cc222< end
end end
2%ncion"miento en M"tl" p"!" l" descomposición LU.
, ,7
@ 9 D
D -@ @
-9 D D
9 D -@
@ -@ @
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. -@ 9
@ @
-D -D
@ @
-D @
+'U7'U1,2 ----------------------------------------------------------------Factori#aci&n 'U Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n ----------------------------------------------------------------'7 9.???? ? ? ? ? ?.??? 9.???? ? ? ? 9.??? ?.9GD 9.???? ? ? -9.???? -9.G@H ?.??? 9.???? ? ?.??? -?.9G@J -9.???? -?.D@9 9.???? U7 @.???? D.???? -9.???? 9.???? @.???? ? -D.??? D.??? @.??? -D.???? ? ? @.???? -.@H 9.9G@J ? ? ? J.@9GD -.H9 ? ? ? ? -?.G9
S%stit%ción 3"ci" "del"nte p"!" dete!min"! el 4ecto! 567. n este %aso se obtendr! el vector {9} %or la ecuaci$n dada.
[ &] * { 9 } = { B} 1 0 0 0 l 1 0 0 21 l 31 l 32 1 0 l 41 l 42 l 43 1 l 51 l 52 l 53 l 54
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
0 # 1
b1 # b 0 2 2 0 * # 3 = b3 0 # 4 b4 1 # 5 b5
Métodos Numéricos. 0 0 0 1 1 ! 2 1 0 0 3 ! 2 5 ! # 1 0 1 − 1 − 10 ! # 1 ! 2 1 ! 2 − 1 ! # − 1 − 1& ! 43
# 1 = b1 l 21 * # 1 + # 2 = b2
0 # 1
3 # 1 0 2 0 * # 3 = − 2 0 # 4 4 1 # 5 − 2 z1 = 3
# 2 = b2 − l 21 * # 1
# 2 = 1 − ""1 ! 2 * "3 = −1 ! 2
l 31 * # 1 + l 32 * # 2 + # 3 = b3
# 3 = b3 − l 31 * # 1 − l 32 * # 2
# 3 = −2 − ""3 ! 2 * "3 − ""5 ! # * "−1 ! 2 = −43 ! # l 41 * # 1 + l 42 * # 2 + l 43 * # 3 + # 4 = b4
# 4 = b4 − l 41 * # 1 − l 42 * # 2 − l 43 * # 3
# 4 = 4 − ""−1 * "3 − ""−10 ! # * " −1 ! 2 − ""1 ! 2 * " −43 ! # = 131 ! 14 l 51 * # 1 + l 52 * # 2 + l 53 * # 3 + l 54 # 4 + # 5 = b5 # 5 = b5 − l 51 * # 1 − l 52 * # 2 − l 53 * # 3 − l 54 # 4 # 5 = −2 − ""1 ! 2 * "3 − ""−1 ! # * " −1 ! 2 − ""−1 * " −43 ! # − ""−1& ! 43 * "131 ! 14 = −2&$ ! 43 0 0 0 1 1 ! 2 1 0 0 3 ! 2 5 ! # 1 0 1 − 1 − 10 ! # 1 ! 2 1 ! 2 − 1 ! # − 1 − 1& ! 43
0
3 −1 ! 2 1 0 0 * − 43 ! # = − 2 0 131 ! 14 4 − 2 1 2&$ ! 43 − 3
ene!"li#"ción de l"s $o!m%l"s. 1or lo tanto generali#amos %ara un sistema de ecuaciones lineales de n ecuaciones con n inc$gnitas del eem%lo reali#ado tenemos las siguientes formula generali#adas.
@eterminamos el %rimer elemento del vector {9}. 9 )4=B )4
@eterminamos los dem!s elementos del vector {9}.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. 0 = 2'3'....' n
1ara
. 9 " 0 = B" 0 −
0 −1
∑ &"0' G * 9 "G G =1
Al&o!itmo "nálisis po! s%stit%ción 3"ci" "del"nte p"!" dete!min"! l" m"t!i# 567. D"tos de ent!"d".
[ &] ⇒ Coeficientes de la matri# triangular inferior.
{ B} ⇒ Eérminos inde%endientes del sistema de ecuaciones lineales )3..&.
D"tos de s"lid".
{ 9 } ⇒ Oector -ue %ro%orcionara la soluci$n del sistema.
P"sos. 1.' @eterminamos en forma numérica las dimensiones del vector columna {B}. (.' 9 )4=B )4. ).' 1ara 0=8" :";"F" n
7eali#ar %asos : a <.
*.' 9)0=B)0Dsum)&)0"420D4.*9)420D4. +.' 1arar. ,.' 1arar funci$n.
Implement"ción en M"tl" p"!" l" s%stit%ción 3"ci" "del"nte p"!" dete!min"! el 4ecto! 567.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
% % % % % % % % % % % % % % % % % %
-----------------------------------------------------------------------Universidad de Cuenca. Facultad de Ingeniería Escuela Civil. Nombre: Bron !atricio "odrígue# Merc$n. 5ustituci&n $acia adelante. 8e donde obtenemos el vector /K0 el cual nos audara a resolver el sistema de ecuaciones lineales 15.E.'2. 8atos de entrada: +'7Matri# triangular in4erior. /B07Lector columna los di4erentes valores derec$os del sistema de ecuaciones lineales. 8atos de salida: /K07Lector columna >ue audara a resolver el sistema de ecuaciones lineales 15.E.'2. -----------------------------------------------------------------------
4unction +K7susade1'B2
dis(1----------------------------------------------------------------2 dis(1 5ustituci&n $acia adelante dis(1 Universidad de Cuenca dis(1"eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n2 dis(1----------------------------------------------------------------2
2 2
% 8eterminamos el numero de *las del vectror columna /B0
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. end
n7lengt$1B2< % 8eterminados el (rimer elemento del vector /K0 K1927B192< % 8eterminamos los elementos restantes del vector /K0 4or $7@:n K1$27B1$2-sum1'1$9:$-92.6K19:$-922< end
2%ncion"miento en M"tl" p"!" l" s%stit%ción 3"ci" "del"nte p"!" dete!min"! el 4ecto! 567.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
, ,7
@ 9 D -@ 9
D -@ @ @ @
-9 D D -D -D
9 D -@ @ @
@ -@ @ -D @
+'U7'U1,2 ----------------------------------------------------------------Factori#aci&n 'U Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n ----------------------------------------------------------------'7 9.???? ? ? ? ? ?.??? 9.???? ? ? ? 9.??? ?.9GD 9.???? ? ? -9.???? -9.G@H ?.??? 9.???? ? ?.??? -?.9G@J -9.???? -?.D@9 9.???? U7 @.???? D.???? -9.???? 9.???? @.???? ? -D.??? D.??? @.??? -D.???? ? ? @.???? -.@H 9.9G@J
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. ? ?
? ?
? ?
J.@9GD -.H9 ? -?.G9
B B7 D 9 -@ G -@ +K7susade1'B2 ----------------------------------------------5ustituci&n $acia adelante Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n ----------------------------------------------K7 D.???? -?.??? -.9G@J
J.D9 -.@D@
Análisis po! s%stit%ción 3"ci" "t!ás p"!" dete!min"! l" sol%ción del sistem" de ec%"ciones line"les 8S.E.L9 5:7. [' ] * { X } = { 9 } u11 u12 u13 0 u u23 22 0 0 u33 0 0 0 0 0 0
u14 u 24 u34 u 44 0
u15 .1
# 1 . # u25 2 2 u35 * .3 = # 3 u45 .4 # 4 u55 .5 # 5
−1 3 1 2 3 2 .1 0 − # ! 2 # ! 2 − 3 .2 − 1 ! 2 5! 2 0 0 2 $ ! # * .3 = − 43 ! # − 3# ! # 0 0 12% ! 14 − 41 ! # . 4 131 ! 14 0 0 − 20 ! 43 .5 − 2&$ ! 43 0 0 0
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. u55 * .5 = # 5
.5 = # 5 ! u55
.5 = " −2&$ ! 43 !"−20 ! 43 = &# ! 5 u44 * .4 + u45 * .5 = # 4
.4 = " # 4 − u45 * .5 !"u 44
.4 = ""131 ! 14 − ""−41 ! # * "&# ! 5 !"12% ! 14 = 143 ! 15 u33 * .3 + u34 * .4 + u35 * .5 = # 3
.3 = " # 3 − u34 * .4 − u35 * .5 !"u33
. 3 = ""−43 ! # − ""−3# ! # * "143 ! 15 − ""$ ! # * "&# ! 5 !" 2 = 21# ! 15 u22 * .2 + u23 * .3 + u24 * .4 + u25 * .5 = # 2 .2 = " # 2 − u23 * .3 − u24 * .4 − u25 * .5 !"u 22 . 2 = ""−1 ! 2 − ""# ! 2 * " 21# ! 15 − ""5 ! 2 * "143 ! 15 − ""−3 * "&# ! 5 !"−# ! 2 = 14% ! 15 u11 * .1 + u12 * .2 + u13 * .3 + u14 * .4 + u15 * .5 = # 1 .1 = " # 1 − u12 * .2 − u13 * .3 − u14 * .4 − u15 * .5 !"u11 .1 = ""3 − ""3 * "14% ! 15 − ""−1 * " 21# ! 15 − ""1 * "143 ! 15 − ""2 * "&# ! 5 !"2 = −122 ! 5 3 1 2 3 −1 2 − 122 ! 5 0 − # ! 2 # ! 2 5 ! 2 14% ! 15 − 1 ! 2 − 3 0 0 2 $ ! # * 21# ! 15 = − 43 ! # − 3# ! # − 0 0 0 12% ! 14 41 ! # 143 ! 15 131 ! 14 0 0 0 0 − 20 ! 43 &# ! 5 − 2&$ ! 43
ene!"li#"ción de $o!m%l"s. 1or lo tanto al generali#ar la formula tenemos2
@eterminando el ,ltimo elemento de la soluci$n. X)n=9)nM')n"n.
@eterminamos los dem!s elementos de la soluci$n. 1ara o=)nD4")nD8")nD:"F."4.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. 9 "o − X "o =
G = n
∑' "o' G * X "G
G =i +1
' "i ' i
Al&o!itmo "nálisis po! s%stit%ción 3"ci" "t!ás p"!" dete!min"! l" sol%ción del sistem" de ec%"ciones 5:7. D"tos de ent!"d".
[' ] ⇒ Coeficientes de la matri# triangular su%erior.
{ 9 } ⇒ Oector -ue %ro%orcionara la soluci$n del sistema anterior.
D"tos de s"lid".
{ X } ⇒ 3oluci$n del sistema de ecuaciones lineales.
P"sos. 1.' @eterminamos en forma numérica las dimensiones de la matri# {9}. (.' X)n= )9)nM')n" n. ).' 1ara o=)nD4" )nD8" )nD:"F"4
7eali#ar %asos : a <.
*.' X)o=)9)oDsum)')o"oH42n.*X)oH42nM')o"o. +.' 1arar. ,.' 1arar funci$n.
Implement"ción en M"tl" del "nálisis po! s%stit%ción 3"ci" "t!ás p"!" dete!min"! l" sol%ción del sistem" de ec%"ciones 5:7.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
% % % % % % % % % % % % % % % %
-----------------------------------------------------------------------Universidad de Cuenca. Facultad de Ingenieria Escuela Civil. Nombre: Bron !atricio "odrígue# Merc$n. 5ustituci&n $acia atras. 8e donde obtenemos el vector soluci&n /0 del sistema de ecuaciones lineales. 8atos de entrada: +U7Matri# triangular su(erior. /K07Lector >ue auda a resolver el 15.E.'2. 8atos de salida: /07Lector soluci&n del sistema de ecuaciones lineales. -----------------------------------------------------------------------
4unction +7sustatr1UK2
dis(1----------------------------------------------------------------2 dis(1 5ustituci&n $acia atras dis(1 Universidad de Cuenca dis(1"eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n2 dis(1-----------------------------------------------------------------2
2 2
% 8eterminamos el numero de columnas del vector /K0 n7lengt$1K2< % 8eterminamos el ultimo elemento del vector soluci&n del sistema
de % ecuaciones lineales 15.E.'2. 1n271K1n2AU1nn22< % 8eterminamos los demas elementos del vector soluci&n del sistema de % ecuaciones lineales 15.E.'2.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
4or o71n-92:-9:9 1o271K1o2-sum1U1oo9:n2.61o9:n222AU1oo2< end
end
P!%e" de $%ncion"miento p"!" el "nálisis po! s%stit%ción 3"ci" "t!ás p"!" dete!min"! l" sol%ción del sistem" de ec%"ciones 5:7.
, ,7
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
@ 9 D -@ 9
D -@ @ @ @
-9 D D -D -D
9 D -@ @ @
@ -@ @ -D @
+'U7'U1,2 ----------------------------------------------------------------Factori#aci&n 'U Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n -----------------------------------------------------------------
'7 9.???? ? ? ? ? ?.??? 9.???? ? ? ? 9.??? ?.9GD 9.???? ? ? -9.???? -9.G@H ?.??? 9.???? ? ?.??? -?.9G@J -9.???? -?.D@9 9.???? U7 @.???? D.???? -9.???? 9.???? @.???? ? -D.??? D.??? @.??? -D.???? ? ? @.???? -.@H 9.9G@J ? ? ? J.@9GD -.H9 ? ? ? ? -?.G9 B B7 D 9 -@ G -@ +K7susade1'B2 ----------------------------------------------------------------5ustituci&n $acia adelante Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n ----------------------------------------------------------------K7 D.???? -?.??? -.9G@J
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
J.D9 -.@D@
Métodos Numéricos. +7sustatr1UK2 -----------------------------------------------------------------5ustituci&n $acia atras Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n -----------------------------------------------------------------7
[email protected]
J.JDDD 9G.G
J.DDD 9D.G???
P!o&!"m" P!incip"l l %rograma %rinci%al consiste en im%lementar las dem!s funciones -ue se reali#aron en un solo %rograma con el fin de -ue si se tuviera un error se %uede modificar (a en una funci$n es%ec+fica ( no se necesita modificar todas las caracter+sticas del %rograma %rinci%al.
Al&o!itmo del p!o&!"m" p!incip"l.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
diseado de tal 4orma >ue se tenga >ue ingresar *cientes del sistema de ecuaciones lineales el vector /B0 >ue son los términos inde(endientes del siste
, obtenemos (or descom(osici&n las matrices triangulares in4eriores +' con la combinaci&n >ue e 1i i2 7 +, 7 +' 6 +U. cia adelante en vector intermedio /K0 el cual nos audara a solucionar el sistema de ecuaciones lineales +' 6 +K 7 /B0 cia atrs un vector /0 >ue es la soluci&n del sistema de ecuaciones lineales. +U 6 /0 7 /K0
las matrices triangulares in4eriores +' la matri# triangular su(erior +U el vector intermedio /K0 el vect
Implement"ción en M"tl" del p!o&!"m" p!incip"l
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
% % % % % % % % % %
-----------------------------------------------------------------------Universidad de Cuenca. Facultad de Ingeniería Escuela Civil. Nombre: Bron !atricio "odrígue# Merc$n. !rograma (rinci(al de la descom(osici&n 'U Coe*cientes de la matri# +,. Coe*ciente derec$o vector columna /B0 -----------------------------------------------------------------------
4unction +'UK7descom'U1,B2 +'U7'U1,2< +K7susade1'B2< K7K< +7sustatr1UK2< 7< end
P!%e" de $%ncion"miento del p!o&!"m" p!incip"l
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos.
, ,7
@ 9 D -@ 9
D -@ @ @ @
-9 D D -D -D
9 D -@ @ @
@ -@ @ -D @
B B7 D 9 -@ G -@
+'UK7descom'U1,B2 ----------------------------------------------------------------Factori#aci&n 'U Universidad de Cuenca
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5ustituci&n $acia adelante Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5ustituci&n $acia atras Universidad de Cuenca "eali#ado (or: Bron !atricio "odrígue# Merc$n ----------------------------------------------------------------'7 9.???? ? ? ? ? ?.??? 9.???? ? ? ? 9.??? ?.9GD 9.???? ? ? -9.???? -9.G@H ?.??? 9.???? ? ?.??? -?.9G@J -9.???? -?.D@9 9.???? U7 @.???? D.???? -9.???? 9.???? @.???? ? -D.??? D.??? @.??? -D.???? ? ? @.???? -.@H 9.9G@J ? ? ? J.@9GD -.H9 ? ? ? ? -?.G9 K7
D.???? -?.??? -.9G@J J.D9 -.@D@
7
[email protected] J.JDDD 9G.G J.DDD 9D.G???
Com%robando las res%uestas con una de las funciones incor%oradas en /atlab tenemos( )) +,-B +
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. 24.3333 %.%333 14.4&&# %.5333 13.4000
?tra forma de verificar con /atlab tenemos2
+'U7lu1,2 '7 ?. ?.??? ?.DDDD -?.H??? 9.???? ? -?. 9.???? ?.DDDD ?.G??? U7 D.???? @.???? ? D.DDDD ? ? ? ? ? ?
?.JGG ?.? 9.???? -?.DDDD 9.???? ? ? ? ? ? ? ? 9.???? ? ? D.???? -@.???? @.???? -9.???? ?. -9. -D.??? @.G??? @.???? ? .???? -D.DDDD ? ? ?.DDDD
K7'PB K7 -@.???? @.
[email protected]??? D.???? G.G 7UPK 7
[email protected] J.JDDD 9G.G J.DDD 9D.G???
Eomando otro eem%lo un sistema de ecuaciones lineales )3..& de 4J ecuaciones con 4J inc$gnitas.
, ,7 9
@
-D
G
-
-9
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
@
9
D
-D
Métodos Numéricos. 9 -@ G -D -@ 9
-D 9 @ @ - @ @ -H -
G D -@ D -G G
G @ 9 9 -9 -D @ -9
-@ -9 -@ 9 9 -D 9 G @
9 D D 9 @ -D -9
-G G @ G 9 @ 9 - 9
9 D -9 @ -9 @ - -
D @ D - - -G @ D 9
-@ 9 9 G @ - G G
B B7 @ D - G 9 -G G -G @ -@ +'UK7descom'U1,B2 '7 Columns 9 t$roug$ 9.???? ? ? ? ? ? ? 9.???? 9.???? ? ? ? ? ? .???? 9.H??? 9.???? ? ? ? ? -@.???? -9.@??? 9.D9 9.???? ? ? ? G.???? 9.@??? ?.JGD ?.?? 9.???? ? ? .???? D.??? -@.@H -9.JH -@.?J 9.???? ? -D.???? -9.??? 9.@9GD 9.9J@D @.D? -?.D?@J 9.???? -@.???? -9.@??? -?.?9G ?.9999 -?.9H9 ?.DG@H -?.9 9.???? @.???? -9.@?? -?.D@J ?.HG -?.GGG 9.D9H .???? D.???? -?.HJ@J -9.9?J? -9.G9@ ?.@H ?.G@?J
Columns H t$roug$ 9? ? ? ? ? ? ? ? 9.????
? ? ? ? ? ? ? ?
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
? ? ? ? ? ? ? ?
Métodos Numéricos. -.D?J 9.???? @9.HD9 -D.HHG@
? 9.????
U7 Columns 9 t$roug$ 9.???? @.???? -D.???? G.???? -.???? -9.???? @.???? ? -.???? H.???? ? D.???? @.???? -.???? ? ? .??? -9H.???? 9H.??? G.G??? G.H??? ? ? ? DD.G@H -DD.G@J -@.9G -.9GD ? ? ? ? 9.HD @.DH -?.HHG ? ? ? ? ? 9?.?JG@ G.G@? ? ? ? ? ? ? .@?9J ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Columns H t$roug$ 9? 9.???? D.???? -D.???? ? ? 9.???? -@.???? -9D.???? 9G.@??? D.9GD @.G@J -@D.?9G @. -.DG@J @.DG? G.D9 -9D.D?D H.JG@G -G.JH -?.?G -.H@ -?.9D9 .GH
[email protected]@@G ? G@.GHD D.?9 ? ? H@.H9 K7 @.???? 9.???? -9.H??? D@.???? .GD 9.DG -9G.G@? -9.J9H -9.D?D
[email protected]J 7
-?.?9@9 9.9?G9 ?.H@ -?. -D.@9 -?.GH -9.9?@ -?.GJ@
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
Métodos Numéricos. -9.HH 9.?HH Com%robando con las funciones im%uestas en /atlab.
7,PB 7
-?.?9@9 9.9?G9 ?.H@ -?. -D.@9 -?.GH -9.9?@ -?.GJ@ -9.HH 9.?HH
?tra forma de verificar a%licando otras funciones en /atlab.
+'U7lu1,2 '7 Columns 9 t$roug$ ?.9 -?.G@H ?.9 ?.@H ?.HDDD -?.H9 -?.DDDD ? ?. -?.H9 9.???? ? -?.??? ?.9G@J -?.DDDD ? ?.9 9.???? ?.HDDD ? Columns H t$roug$ ? ? ? ? ? ? ? ? -?.?H ?.?J ? ? ? ? -?.?H@ 9.???? ? ? 9.???? ?
?.??DJ ?.@J9D 9.???? ?.@ ?.H?9 ? ?.?J? -?.DHH ? ?.GH 9?
9.???? ?.G@J ? -?.9@DD -?.?9 ? ?.JDH -?.D??9 ? -?.G ? ? ? ?
9.???? ? ? ? ? ?
U7 Columns 9 t$roug$
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
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Byron Patricio Rodríguez Merchán .
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Métodos Numéricos. @e donde obtenemos -ue el %rograma -ue soluciona un sistema de ecuaciones lineales )3..& %ara distintos términos del lado derec0o esté bien %rogramado (a -ue al com%robar con las funciones -ue eisten im%lementadas en matlab cum%le o se asemean a las obtenidas con nuestro %rograma. 3e asemean los resultados antes e%uestos (a -ue en /atlab los resultados no son tan eactos %or-ue son a%roimaciones (a -ue dentro del %rograma de /atlab eisten a%roimaciones (a sea %or truncamiento o %or -ue s e toman una menor cantidad de decimales.
;ent"<"s des4ent"<"s de l" descomposición LU Como una de las ventaas de la descom%osici$n &' se da cuando 0a( -ue resolver sistemas de ecuaciones lineales )3..& [A]*{X}={B} %ara varios vectores {B} distintos (a -ue las o%eraciones -ue se reali#an en la matri# [A] no se relaciona con el vector de términos inde%endientes. ?tra de las ventaas de la descom%osici$n &'" es -ue al reali#ar el c!lculo de la inversa de una forma mu( sencilla. &a matri# [&] ( ['] también %uede ser usadas %ara calcular el determinante de la matri# [A] mu( definidamente %or-ue det)A=det)&*det)' ( determinante de matrices triangulares son sim%lemente el %roducto de los elementos de sus diagonales. n %articular si [&] es una matri# triangular en cu(a diagonal todos los elementos son 4" entonces. det)A=det)&*det)'=det)' 'na desventaa se da cuando se trabaa en resoluci$n en sistema de ecuaciones lineales [A]*{X}={B} (a -ue la fase de sustituci$n -ue se necesita %ara resolver el sistema mediante la descom%osici$n &' re-uiere ma(or esfuer#o %or-ue se reali#a sustituci$n 0acia adelante ( 0acia atr!s.
Concl%siones &uego de 0aber estudiado a %rofundidad los métodos %ara resolver el sistema de ecuaciones lineales )3..&" se conclu(e -ue %ara resolver estos sistemas de ecuaciones lineales eisten diferentes métodos" %ero de%ender! del gusto de cada %ersona en elegir uno en es%ec+fico. 1uesto -ue al anali#ar cada método tiene sus ventaas ( desventaas.
Byron Patricio Rodríguez Merchán .
