Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
CONTENIDO CONTENIDO .................... ............................... ............. ........................ ................................ ........ .................... .............................. ............ .. ....................... .......................... ...
1
INTRODUCCIÓN: ..................... ............................... ............ ....................... ................................ ......... .................... .............................. ............ .. .................. .................. 2 I.
.............................. ............ .. ....................... ................................ ......... ..................... ............................... ............ .... 3 EXPLICAR METODO .................... SOLUCIÓN SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES ECUACIONES LINEALES LINEALES ..................... ............................... ............ ................... ............................. .......... 3 .............................. ............ .. ........................ ................................ ........ ..................... ............................... ............ . 4 SISTEMAS SIMÉTRICOS ....................
MÉTODO DE CHOLESKY .................... .............................. ............ .. ........................ ................................ ........ ..................... ............................... ............ . 4 ............................... ............ ...................... ................................ .......... .................... ...................... .. 5 II. DEDUCCION DE FORMULAS .....................
III.
ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY .................... ............................... ............. ........................ ................................ ........ ..... 11
IV.
.............................. ............ .. ............ ............ 12 PROGRAMA ± ALGORITMO ALGORITMO MÉTODO CHOLESKY ....................
VI.
EJEMPLOS EJEMPLOS.................... ............................... ............. ....................... ................................ ......... ..................... ................................ ........... ................... ................... 14
U.N.P.R.
FICSA
ING. CIVIL
Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
INTRODUCCIÓN: La solución de los sistemas de ecuaciones lineales es un tema clásico de las matemáticas, en ideas y conceptos, de gran utilidad en ramas de cono cimiento tan diversas como la economía, biología, física, psicología, etc. La resolución de sistemas casi de cualquier número de ecuaciones (10, 100, 1000, etc.) es una realidad hoy en día gracias a las computadoras, lo cual proporciona un atractivo especial a las técnicas de soluciones directas interactivas: su propagación, propagación, los cálculos necesarios, la propagación d e errores, etc. sin embargo, todo lo anterior requiere una revisión de los conceptos básicos sobre matrices, ortogonalización de vectores y la existencia y unicidad delas soluciones.
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FICSA
ING. CIVIL
Matemática básica II
I.
Sistema de ecuaciones lineales
EXPLICAR METODO
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Grannúmero
de problemas prácticos de ingeniería se reduce al problema de
resolver un sistema de ecuaciones lineales. Por ejemplo:
Puede citarse la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, la aproximación polinomial la solución de ecuaciones diferenciales parciales.
Un
sistema de mecuaciones lineales en nincognitas tiene la forma general
a 1 ,1 x 1 a 1 ,2 x 2 ... a 1 , x
!
b1
a 2 ,1 x 1 a 2 , 2 x 2 ... a 2 , x
!
b1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am ,1 x 1 am ,2 x 2 ... am , x
!
b1
Puede demostrarse que el número máximo de vectores columna linealmente independientes de una matriz A es igual al numero máximo de vectores fila linealmente independientes Con la notación matricial se puede escribir la ecuación anterio como: Y correctamente como Ax=b.
« a 1 ,1 x 1 a 1 , 2 x 2 . . . ¬ a 2 ,1 x 1 a 2 ,2 x 2 . . . ¬ ¬ . . ¬ . ¬ . ¬ . . ¬ am ,1 x 1
U.N.P.R.
am ,2 x 2
FICSA
a 1 , n x n » « x 1 » « b 1 » ¼ a 2 , n x n ¬ x 2 ¼ ¬ b 2 ¼ ¼
¬ ¼ ¬ ¼ . ¼ ¬ x 3 ¼ ¬ b 3 ¼ ¼ ¬ ¼ !¬ ¼ . ¼ x 4 ¬ ¼ ¬b4 ¼ . ¼ ¬ x 5 ¼ ¬ b 5 ¼ ¼¬ ¼ ¬ ¼ . . . am , n x n ½ x 6 ½ b6 ½
ING. CIVIL
Matemática básica II
DondeA
Sistema de ecuaciones lineales
es una matriz del sistema, el vector incógnita y b el vector de
términos independientes Dados
a y b, se entiende por resolver el sistema, encontrar el valor x que
lo satisfaga. Antes de estudiar las técnicas que permita encontrar x se expondrán algunas consideraciones teóricas
SISTEMAS SIMÉTRICOS En caso de que la matriz coeficiente del sistema Ax = b sea simétrica, los cálculos de la factorización (si es posible) se simplifican, ya que se reduce a: Esto disminuye considerablemente el trabajo, en particular cuando
n
es
grande.
l
i, j
!
a a
j
, i
j
, j
i ! j 1,..., n; j ! 1,2,...,
n -1
MÉTODO DE CHOLESKY Una
matriz A cuyas componentes son números reales, es positiva definida si y
solo si los determinantes de A son positivas.
a1,1 "0,
a 1 ,1
a 1 ,1
a 1 ,1
a 1 ,1
" 0,,
a 1, 1
a1 , 2
a 2 ,1
a 2, 2
. . .
. . .
a ,1
a ,1
n
U.N.P.R.
FICSA
n
. .
.
. .
.
ING. CIVIL
. a . a . . . . a
1, n
2, n
n, n
"0
Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
En caso de tener un sistema AX=b, con A positiva definida, la factorización de A en la forma
es posible y muy sencilla ya que toma la forma
L U
L LT ,
donde L es triangular inferior.
l 1 ,1
l 1 ,2
.
.
.
l 1 ,
n
l 2 ,1
l 2 ,2
.
.
.
l 2 ,
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
l
l
L!
n , 2
n , 2
.
.
.
l
n ,
n
Los cálculos se reducen, ya que ahora vasta estimar n(n+1) elementos (los
l 1 , 1 { 0), en lugar de los n 2 elementos de una factorización nominal (los l 1 , 1 tales que i j y los
u
1 , 1
tales
que i u j). Elnúmero de cálculos es
prácticamente la mitad.
II. DEDUCCION DE FORMULAS 1. si se tiene un sistemade la forma AX=b donde la matriz A es simétrica y su determinante es mayor que cero. 2. se aplica EL METODO CHOLESKY que es la factorización de A en la forma LU que toma la forma LL T 3. para poder factorizar la matriz L debe ser triangular superior. 4. una vez hallado la matriz L 5. Se resolver el sistema Lc=bdonde se encontrara la matriz columna C 6. luego con la matriz transpuesta L T se resuelve el sistema LTx=c de donde nosdará el resultado de las X
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FICSA
ING. CIVIL
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Sistema de ecuaciones lineales
DEDUCCION
AX=b
« a 1 ,1 a 1 ,2 ¬ a 2 ,1 a 2 ,2 ¬ . ¬ . ¬ . ¬ . ¬ . . ¬ am ,1
am ,2
.
.
.
.
.
.
.
.
l 2 ,1
l 3 ,1
l 4 ,1
l 2 ,2
l 3 ,2
l 4 , 2
0
l 3 ,3
l 4 , 3
0
0
l 4 , 4
0
0
0
a 1 , n » « x 1 » « b1 »
a 2 , n ¼ ¬ x 2 ¼ ¬ b 2 ¼
¼¬ ¼ ¬ ¼ . ¼¬ . ¼ ¬ . ¼ ¼ ¬ ¼!¬ ¼ . ¼¬ . ¼ ¬ . ¼ . ¼¬ . ¼ ¬ . ¼ ¼¬ ¼ ¬ ¼ . am , n ½ x m ½ bm ½
F ACTORIZA A
« l 1 ,1 ¬ l 2 ,1 ¬ ¬ l 3 ,1 ¬ ¬ l 4 ,1 ¬ l 5 ,1
0
0
0
l 2 , 2
0
0
l 3 , 2
l 3 , 3
0
l 4 , 2
l 4 ,3
l 4 ,4
l 5 , 2
l 5 , 3
l 5 , 4
0 » « l 1 ,1
¼ 0 ¼ 0 ¼ ¼ 0 ¼ l 5 , 5 ¼½
¬0 ¬ ¬0 ¬ ¬0 ¬0
l 5 , 1 »
¼ l 5 , 2 ¼ l 5 , 3 ¼ ¼ l 5 ,4 ¼ l 5 ,5 ¼½
=
. a 1 ,5 » « a 1 ,1 a 1 ,2 . ¬a 2 ,1 a 2 ,2 . ¼ . a 2 ,5 ¬ ¼ ¬ . . . ¼ ¬ ¼ . . ¼ ¬ . ¬a 5 ,1 a 5 ,2 a 5 , 3 a 5 ,4 a 5 ,5 ¼½
Primera f ila por col mnas ( 1, 2, 3, 4, 5)
l 2 1, 1 = a 1, 1
l 1 ,1 = a 1, 1
l 4 ,1
l 1, 1vl 2, 1 = a 1, 2
l 2 ,1 =
l 1 ,1 v l 4 ,1 ! a 1 ,4
a 1 ,2
l 5 ,1
l 1 ,1
U.N.P.R.
a1 , 3 l 1 ,1 FICSA
a 1 , 4 l 1 ,1
l 1 ,1 v l 5 ,1 ! a 1 ,5
l 1 ,1 v l 3 ,1 ! a 1 ,3
l 3 ,1 =
=
ING. CIVIL
=
a 1 ,5 l 1 ,1
Matemática básica II S eg
Sistema de ecuaciones lineales
nda f ila por col mna ( 2, 3, 4, 5)
l
2
l
2
2 , 1
l
l 2 , 2
!
l
l
l
l
!
a
2,1
l
2,2
3,2
v
a
l
2,2
2 , 1
l
2,3
l
-
2,1
2,3
l
3,1
v
- l
2,3
a
!
3,2
v
l
v
2,1
!
3,2
2
a 2 , 2 l 2 2 , 1 3,1
v
a 2 , 2
!
2 , 2
a 2 , 2 l
!
2 , 2
2
3,1
l
2,2
l
2,1
l
4,1
v
l
2,2
v
l
4,2
a
l
4,2
l
2,2
!
a
v
l
4,2
- l
2,4
2,1
- l
2,4
2,1
!
a
!
v
2,4
l
4,1
v
l
4,1
l
2,2
l 2,1 l 5,1 v
l 2,2 l 5,2 v
l 5,2
2
v
!
!
a 2,4
a 2,5 - l 2,1 l 5,1 v
a 2,5 - l 2,1 v l 5,1 !
T er cera
l
l 2,2 l 5,2
l 2,2 f ila por col mna ( 3, 4, 5)
3,1
l 2 3,2 l 2 3,3 ! a 3,3
2 2 l 2 3,3 ! a 3,3 - ( l 3,1 l 3 , 2 )
l 3,3 !
U.N.P.R.
a 3,3 - ( l 2 3,1 l 2 3,2 )
FICSA
ING. CIVIL
Matemática básica II
l 3,1 v l 4,1 l 3,3
l 4,3
v
l 4,3
!
v
l 4,3
!
a 3,4
l 3,2
v
l 4,2 )
v
l 3,2
l 3,3 l 5,3
!
l 3,2 l 5,2 v
v
v
!
Cuarta
v
a 3,4 - (l 3,1 l 4,1
a 3,4 - (l 3,1 l 4,1
l 5,3
l
v
l 4,2 )
l 3,3
l 3,3 l 4,3
2
l 3,3
a 3,4 - (l 3,1 v l 4,1
v
2
l 4,2
v
a 3,4 - (l 3,1 v l 4,1
!
l 3,1 l 5,1
l
l 3,2
Sistema de ecuaciones lineales
!
a 3,4
l 3,2 l 4,2 ) v
l 3,2 l 4,2 ) v
l 3,3
f ila por col umna ( 4, 5)
4,1
4,4
!
l 4,4
!
2
l 2 4,2 l
4,3
2
l
4,4
!
a4,4
a 4,4 - ( l 2 4,1 l 2 4,2 l 2 4,3 ) a 4,4 - ( l 2 4,1 l 2 4,2 l 2 4,3 )
l 4,1 l 5,1 l 4,2 l 5,2 l 4,3 l 5,3 l 4,4 l 5,4 ! a3,4 v
v
v
v
l 4,4 l 5,4 ! a3,4 - (l 4,1 l 5,1 l 4,2 l 5,2 l 4,3 l 5,3 ) v
l 5,4 !
U.N.P.R.
v
v
v
a3,4 - (l 4,1 l 5,1 l 4,2 l 5,2 l 4,3 l 5,3 ) v
v
v
l 4,4
FICSA
ING. CIVIL
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Sistema de ecuaciones lineales
Quinta f ila por col umna ( 5) 2
l 5,1 2
l 5,5 l 5,5
2
l 5,2
!
!
2
l 5,3
2
l 5,4
2 l 5,5 ! a4,4
a5,5 - ( l 2 5,1
l 5,2
2
a 5,5 - ( l 2 5,1
l 5,2
2
2
l 5,3 )
l 5,3 )
2
Formul as de l a ded ucción de este al g oritmo para un sistema de ³ n´ ecuaci ones
l 1,1 ! a1,1 l i ,1 !
l i , i
a1,1
i ! 2,3...,n
l 1,1
i 1 ¨ 2 ¸ ! © a § l , ¹ k !1 º ª i , i
1 2
i ! 2,3...,n
i k
i 1 2 1¨ l i , i ! © ai , i § l i , k l j , k ¸¹
l i , i ª
k !1
º
i ! 2,3...,n j ! i 1 ,i 2,...,n 1 l i , i ! 0
U.N.P.R.
i j
FICSA
ING. CIVIL
Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
Lueg o resolver el sistema Lc = b
« l 1 ,1 ¬ l 2 ,1 ¬ ¬ l 3 ,1 ¬ ¬ l 4 ,1 ¬ l 5 ,1
0 » «c1»
0
0
0
l 2 ,2
0
0
l 3 , 2
l 3 , 3
0
l 4 ,2
l 4 , 3
l 4 ,4
l 5 , 2
l 5 , 3
l 5 , 4
« b1 » ¼ ¬c 2 ¼ ¬ b 2 ¼ 0 ¼¬ ¼ ¬ ¼ 0 ¼ ¬c 3 ¼ ! ¬b3 ¼ ¼¬ ¼ ¬ ¼ 0 ¼ ¬c 4 ¼ ¬ b 4 ¼ l 5 ,5 ¼½ ¬ c 5 ¼½ ¬ b5 ¼½
l 1 ,1 v c1 ! b 1
c1 !
l 2 ,1
v
l 3 ,1
v
l 4 ,1
v
l 5 ,1
v
v
l 2,2
v
b3-
!
v
l
3 ,1 v
!
c1 l 3,2 c2
v
l 3,3
c 1 l 4,2 c2 l 4,3 c 3 l 4,3 c4 b 4
v
b4 -
v
l
4 ,1 v
!
v
c1 l 4,2 c 2 l 4,3 c 3
!
v
v
l 4,3
c1 l 5,2 c2 l 5,3 c3 l 5,3 c3 l 5,4 c 5 b 5
c5
b 2 l 2 ,1 c1 !
c4
!
v
c1 l 3,2 c2 l 3,3 c 3 b 3 c3
l 1 ,1
c1 l 2,2 c 2 b 2 c2
b1
v
b5 -
v
l
5 ,1 v
v
!
v
c 1 l 5,2 c2 l 5,3 c 3 l 5,3 c3
!
v
v
v
l 5,4
Lueg o resolver el sistema L X ! c 1 T
« l 1 ,1 ¬0 ¬ ¬0 ¬ ¬0 ¬0
U.N.P.R.
l 2 ,1
l 3 ,1
l 4 ,1
l 2 ,2
l 3 ,2
l 4 ,2
0
l 3 ,3
l 4 ,3
0
0
l 4 ,4
0
0
0
l 5 ,1 »
¼ ¼ l 5 , 3 ¼ ¼ l 5 ,4 ¼ l 5 ,5 ¼ ½ l 5 , 2
FICSA
« x 1 » « c 1 » ¬ x 2 ¼ ¬c 2 ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ x 3 ¼ ! ¬c 3 ¼ ¬ ¼ ¬ ¼ ¬ x 4 ¼ ¬c 4 ¼ ¬ x 5 ¼½ ¬c 5 ¼½
ING. CIVIL
Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
l 5 ,5 v x 5 ! c 5
x5 !
l 4 ,4 v x4
x3
l 3 ,3
v
l 2 , 2
x2
v
III.
v
c 4 - l 4 ,4 v l x4
l 5,4
l 4,3 x 4
v
!
c3
l 5,3 x5
v
l
x3
3 , 3 v
!
c3
l 4,3 x 4 v
l 5,3
l 3,2 x 3
v
c4 -
x5
l 5,4 v x 5 ! c 4
x5
l 5 ,5
x 5 !
l 1 ,1
c5
l 4,2 x4
v
l
x2
2 , 2 v
!
l 5,2 x 5 v
l 3,2 x 3
v
!
c4
l 4,2 x4 v
l 5,2
x 1 l 1,2 x2 l 1,3 x3 l 1,4 x3 l 1,5 x5 c5
x5
v
x 5 -
l
v
x
1 ,1v 1
!
v
!
v
l 1,2 x2 l 1,3 x3 l 1,4 x3 v
v
v
l 1,5
ALGORITMO MÉTODO CHOLE SKY
U.N.P.R.
FICSA
ING. CIVIL
Mat
ti a bási a II
IV.
Sist
a de ecuaci
PROGRAMA ± A LGORITMO MÉT ODO CHOLESKY
. . . . U ¡
¢
£
es li eales
F C A ¥
¤
¤
. C ¤
¡
¦
¤
§
¨
Mat emática básica II
Sist ema de ecuaci
es li eales
El resultado de ejecutar este Programa, con las matrices de ejemplo sería:
. . . . U ©
F C A
. C
©
Matemática básica II
V I.
Sistema de ecuaciones lineales
EJEMPLOS Sistemas de ecuaciones lineales mediante los métodos de CHOLESKY
1.
«4 1 2 » « x 1 » ¬ 1 2 0 ¼ ¬ x 2 ¼ ¬ ¼¬ ¼ ¬2 0 5 ¼½ ¬ x 3 ¼½
!
«1 » ¬2 ¼ ¬ ¼ ¬4 ¼½ SOLUCIÓN:
T
L.L = A
« l 1 ,1 ¬ l 2 ,1 ¬ ¬ l 3 ,1
0 » « l 1 ,1
0
0 ¼¬0
l 2 , 2
¼¬ l 3 , 3 ¼ ½¬0
l 3 , 2
3 ,1
l
=
l 3 ,1
=
l 2 , 2
l 3 , 2
0
¼ ¼ l 3 , 3 ¼ ½
«4 1 2 » ¬1 2 0 ¼ ¬ ¼ ¬2 0 5 ¼½
=
2,1
l 1 ,1 ! 2 1 l 2 ,1 !
l 3 ,1 »
l
l 1 ,1 = 4 l 2 ,1 =
l 2 ,1
v
l 3,2
2 0.5
l
2 ,1
!
0
l ! 3,2
l
2,2
-
v
0 .5
l ! a 3,2
v
2,3
1
0.3780
2 2 1 2
l
2 ,2
! a 2 ,2
l 2 ,2 ! 2¨© 1 ¸¹
2
l
3,1
2
l
3,2
l 3,3 ! 5 - 1
2
l 3,3 ! 1.9640
ª 2 º l 2 ,2 ! 1.3229
U.N.P.R.
3,1
1.3229
2
2
l
FICSA
ING. CIVIL
2
l 3,3
!
a3,3
0.3780
2
Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
Lueg o resolver el sistema Lc = b
0 «2 ¬0.5 1.3229 ¬ 1 0.3780
l 1 ,1vc1 ! b1
c1
c1
» « c1 » 0 ¼ ¬c 2 ¼ ¼¬ ¼ 1.9640½ c 3 ½ 0
«1» = ¬2 ¼ ¬4 ¼ ½
l 2 ,1v c1 l 2,2 v c2 ! b2
1 !
!
c2
2 0.5
!
2 - 0.5( 0.5 ) 1.3229
c2 ! 1.3229
l 3 ,1v c1 l 3,2 v c2 l 3,3 v c3 ! b3 c3 !
4 - 1 v 0.5 0.3780v 1.3229
1.9640
c3 ! 2.0367
Lueg o resolver el sistema L x = c
«2 ¬0 ¬0
U.N.P.R.
0.5 1.3229 0
» « x » « 0.5 » 0.3780 ¼ ¬ x ¼ ! ¬1.3229 ¼ ¼ ¬ ¼ ¬2.0367 ¼ 1.9640 ½ x ½ ¬ ¼½ 1
1
2
3
FICSA
ING. CIVIL
Matemática básica II
Sistema de ecuaciones lineales
l 3 ,3 v x 3 ! c 3
2.0367
x 3 !
1.9640
x 3 ! 1 . 037 0
l 2 , 2
x 2
v
x 2
l 2,3 x 3 v
1.3229
!
! c2 0.3780
v
1 . 037 0
1.3229
x 2
! 1.2963
l 1 ,1 x1 v
x
1
!
0.5
l x 2,1 v
2
0.5
v
l x 3,1 v
3
1.2963
! c3
1 v 1.037 0
2
x
U.N.P.R.
1
! - 0.5926
FICSA
ING. CIVIL
Mat emática básica II
Sist ema de ecuaci
es li eales
EJERCICIOS DESARROLADOS CON EL PROGRAMA DEL MÉTODO DE CHOLESKY EN MATLAB . Ejercicio Nº 1. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Método de Cholesky, donde la
Matriz A es Simétrica y Def inida Positiva de orden 3 x 3:
. . . . U
F C A !
. C
"
#
$
Mat emática básica II
. . . . U %
&
'
Sist ema de ecuaci
F C A )
(
(
. C (
%
0
(
1
2
es li eales
Mat emática básica II
Sist ema de ecuaci
es li eales
Ejercicio Nº 2. Desarrollar el Sistema A * X = b, con el Método de Cholesky, donde la
Matriz A es Simétrica y Def inida Positiva de orden 4 x 4:
. . . . U 3
4
5
F C A 7
6
6
. C 6
3
8
6
9
@
Mat emática básica II
. . . . U A
B
C
Sist ema de ecuaci
F C A E
D
D
. C D
A
F
D
G
H
es li eales
