METODE DEKOMPOSISI LU Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah: Metode Numerik Dosen Pengampu: Saluky, M.Kom
KEL.10
1. Moh. Moh. Irf Irfad adii (594 (59451 5108 082) 2) 2. Ovin Ovinda da fit fitri ri (59 (5945 4510 1089 89)) 3. Santi Santi Andria Andriani ni (5945 (5945109 1092) 2) 4. Titi Titi Roh Rohae aeti ti (59 (5945 4511 1100 00))
JURUSAN/KELAS/SEMESTER JURUSAN/KELAS/SEM ESTER : MATEMATIKA/C/V MATEMATIKA/C/VII II
KEMENTERIAN AGAMA RI INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI CIREBON 2012
Solusi SPAL dengan Teknik Dekomposisi LU
A.
Prinsip Dekomposisi LU dan Identitas A] dari SPAL didekomposisi (difaktorisasis) menjadi matriks-matrik Matriks [ A
L) dan segitiga atas ( U )sedemikian segitiga bawah ( L )sedemikian rupa sehingga identitasnya A] = [ L L]·[U ] atau A = L·U adalah:[ A
B. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode Doolittle
Notasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb:
L
=
Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L diatas berharga 1 (satu) ! Notasi matriks U dituliskan sbb:
U =
Perhatikan, bahwa semua elemen yang terletak di bawah diagonal dari matriks U
di
atas
(=
u1,1
…
un,n)
C. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode Crout
berharga
0
(nol)
!
Notasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb:
L
=
Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L diatas diatas tidak tidak harus harus berharga 1 (satu), sedangkan, elemen-elemen di atas diagonal semuanya berharga 0 (nol) ! Notasi matriks U dituliskan sbb:
U=
Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal (= u1,1 …
un,n)berharga
1 (satu),
sedangkan yang terletak di bawahnyaberharga 0 (nol) !
D. Notasi Matriks A dan LU dalam SPAL
Notasi Matriks LU sebagai dekomposa dekomposan n matriks matriks A dapat dituliskan dalam SPAL sbb: A] · [ x x ] = [ L L]·[U ]·[ x ] = [b] [ A ]·[ x
Sehingga, dalam notasi Metode Doolittle dapat dituliskan:
=
Sedangkan, dalam notasi Metode Crout dapat dituliskan:
=
E. Deskripsi Tahapan dan Strategi Dekomposisi
Notasi A = LU dalam Metode
Doolittle
seperti di atas dapat diuraikan dalam
operasi perkalian matriks (sebagai contoh:matriks n x n) sbb: Baris 1 (i = 1):
; i= 1,...,n
Baris 2 (i = 2):
Baris 3 (i = 3):
Baris n (i = n):
Dari operasi-o operasi-opera perasi si perk perkalian alian matriks matriks # Dari
LU
sepe sepert rtii di atas atas,, dapa dapatt
disimpulkan beberapa hal berikut: 1.
Mekanisme ‘proses dekomposisi’ dilakukan dengan cara mengisi terlebih dahulu baris pertama matriks
U .
Selanjutnya, mengisi matriks L pada
baris terendah terlebih dulu (mulai baris ke-2), dan kemudian diikuti pengisian matriks
U pada
baris yang sama, demikian seterusnya sampai
baris terakhir (ke-n). 2.
Harga-harga dari semua elemen matriks
U pada
baris 1 identik dengan
elemen-elemen matriks A (matriks asal), 3.
HargaHarga-har harga ga elemen elemen pada pada kolom kolom 1 untuk untuk matrik matrikss
L,
dapat dapat dihitu dihitung ng
menggunakan persamaan berikut: l i,1 = ai,1 / u1,1 ; i = 2,…,n 4.
Jumlah Jumlah maksim maksimum um operasi operasi penjum penjumlah lahan an per elemen elemen matrik matrikss
A
sesuai
dengan jumlah/posisi baris, 5.
Pada Pada baris baris rendah rendah,, langka langkah/it h/itera erasi si pengis pengisian ian matrik matrikss dibandingkan dengan matriks L, dan sebaliknya.
F. Algoritma Dekomposisi dan Komputasi Praktis 1.
Algoritma solusi numerik dengan Metode Doolittle: Baris 1: u1,i
= a1,i ;
i
=1,...,n
Baris 2: •
Pengisian matriks L:
U
lebih banyak banyak
•
Pengisian matriks U :
Baris 3: •
•
Pengisian matriks L:
Pengisian matriks U:
Baris n: •
Pengisian matriks L:
•
Pengisian matriks U:
G. Manfaat Dekomposisi LU untuk Solusi SPAL x ] = [b], melalui teknik dekomposisi matriks [ A], sangat Solusi SPAL [ A] · [ x
bermanfaat untuk menyelesaikan problem-problem ataupun model matematis yang membentuk SPAL dengan matriks [ A] yang sama untuk berbagai vektor jawab, [b]. Dengan teknik dekomposisi LU ini, penyelesaian akan menjadi sanga sangatt efisi efisien en dan dan bany banyak ak meng menghem hemat at wakt waktu u pada pada saat saat telah telah dipe dipero role leh h dekomposisi matriks [A], karena hasil dekomposisi LU tersebut dapat dipakai untuk semua SPAL dengan matriks [ A] yang identik. Bentuk umum SPAL yang menggunakan matriks [ A] yang identik, seperti disebutkan di atas, dapat dituliskan sbb:
Perhatikan, bahwa bentuk di atas sesungguhnya merupakan perkalian 2 bentuk matriks, antara matriks bujur sangkar [A] yang berdimensi segi 4 yang berdimensi n
x m!
n
x
m,
n
x n dengan matrik
dengan hasil matriks lain yang juga berdimensi
Contoh soal Tentukan x1, x2 , x3 dan x4 dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan metode dekomposisi LU X1 – 2x3 + 7x4 = 11 2x1 – x2 + 3x3 + 4x4 = 9 3x1 -3x2 + x3 + 5x4 = 8 2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 =10 Jawab: Sistem Sistem persama persamaan an linier linier tersebu tersebutt dinya dinyatak takan an dalam dalam bentuk bentuk perkal perkalian ian matrik matrikss sebagai berikut,
=
X=
Jadi U =
Ly = B
dan B =
, dengan A =
UX =
DAFTAR PUSTAKA
Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John
Wiley & Sons, Toronto, pp. 33-39, 1978. Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical
Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 49-59, 1983. 1983. Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”, Jurusan
TGP-FTUI, 1999.
