x B= x A + x B ; x B = x B− x A − Desplazamiento Desplazamiento a
A
v B= v A + v B ; v B = v B −v A −Velocidad a
A
a B= a A + a B ; a B =a B− a A− Aceleracion Aceleracion a
A
El bloque deslizante A se mueve hacia la izquierda con una velocidad constante de 6 m/s. Determine:
11.47.-
a) La veloci velocidad dad del bloque bloque B. b) La veloci velocidad dad de de la parte parte D del del cable. cable. c) La velocida velocidad d relativa relativa de la porción porción del del cable con con respecto respecto a la porción porción D. D.
x A + 3 x B= 0 onstante v A + 3 v B =0
a A + 3 aB =0
a)
v A =6 v B=
b)
m
−6 3
=−2
y D + y B =0 v D + v B= 0
v D= 2
m
↓
m ↑ s
onstante
c)
x A + y C =0
onstante
v A + v C = 0
m m v A =6 ∴ v C =−6
v C = v C − v D D
v C =−6 −( 2 ) D
v C =−8
m ↑ s
c)
x A + y C =0
onstante
v A + v C = 0
m m v A =6 ∴ v C =−6
v C = v C − v D D
v C =−6 −( 2 ) D
v C =−8
m ↑ s
11.49.- El
elevador mostrado en la !i"ura se mueve hacia aba#o con una velocidad constante de $% !t/s. Determine: a) b) c) d)
La vel veloc ocid idad ad del del cab cable le.. La veloc velocida idad d del contr contrap apeso eso &. &. La velocid velocidad ad relativa relativa del del cable cable con respe respecto cto al eleva elevador. dor. La velocida velocidad d relativa relativa del contrape contrapeso so & con respecto respecto al elevador. elevador.
y C + 2 y E =0 onstante v C + 2 v E= 0
aC + 2 a E =0
a)
v E=15
ft s
v C =−2 ( 15 ) ft v C =−30 ↑ s
b)
x W + y E =0 v W + v E =0
aW + a E=0 ft v W =−15 ↑ s
c)
v C =v ELE + v v v v
d)
v v v
c ELE c ELE
c ELE
W ELE W ELE
W ELE
c ELE
= v C − v ELE =−30 −15 ft s
=−45 ↑
= v W − v ELE =−15 −15 ft s
=−30 ↑
El collar'n A empieza a moverse desde el reposo ( se desplaza hacia arriba con una aceleración constante. i se sabe que despu*s de + s la velocidad relativa del collar'n B con respecto al collar'n A es de ,- in/s determine: 11.51.-
a) Las aceleraciones de A ( B. b) La velocidad ( el cambio en la posición B despu*s de 6 s. 2 y A
+ y B + ( y B + y A ) =cte
y A + 2 y B =0 v A + 2 v B =0 a A + 2 aB =0
¿ (v A ) =0 ; a A =vcte↑;t =8 s B =24 0
A
s
a)
(v A ) =0 → (v B) 0
0
v A =( v A )0 + a At
v B=( v B)0 + aBt
v B =v B− v A=( a B−a B ) t
a B=
A
v B= A
−3 2
a A t
ero t 0 + s
¿ −3 a (8 s ) 24 = A s
2
a A =2 ¿2 ↑ s a B=1 ¿2 ↓ s
−1 2
a A
b) t 0 6 s
v B=
1
¿ (6 s )
( s) 1
2
2
y B =( y B)0 +( v B )0 t + a t 2
t06s
1
2
y B −( y B ) 0= ( 1 )( 6 ) 2
y B −( y B ) 0=18 ∈ ↓
v B=6 ¿ ↓ s
El bloque deslizante B se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 122 mm/s. Determine: 11.53.-
a) b) c) d)
La velocidad del bloque deslizante A. La velocidad de la porción del cable. La velocidad de la porción D del cable. La velocidad relativa de la porción del cable con respecto al bloque deslizante A.
v B=300
x B +( x B− x A )−2 x A= cte.
m s
2 vB
−3 v A =0 −−−−( 1 ) 2 aB
a) ustitu(endo en ec. $ v B 2 vB
−3 v A =0
(
)
mm − 3 v a =0 s
2 300
600
va =
b)
mm s
x B + ( x B − x c ) =cte 2 vB
−v c = 0
2 300
mm
v c = 600
− v c =0
mm → s
v a =200
mm
→
−3 a A =0 −−−−( 2 )
c)
( x C − x A ) + ( x D− x A )=cte v C −2 v A ++ v D =0 600
mm
−2 ( 200
v D=−200
d)
mm
mm s
v C =v C −v A A
v C =600− 200 A
m v C =400 → s A
)+ v D= 0
11.55.- El
bloque B se mueve hacia aba#o con una velocidad constante de ,2 mm/s. En t 0 2 el bloque A se mueve hacia aba#o con una aceleración constante ( su velocidad es de 12 mm/s. i se sabe que en t 0 1 s el bloque deslizante se ha movido %3 mm a la derecha determine: a) La velocidad del bloque deslizante en t 0 2. b) Las aceleraciones de A ( . c) El cambio en la posición del bloque A despu*s de % s. mm v B=20 ↓ mm ( v A )0 =30 ↑
3 y A 3 v A
+ 4 v B + v c =0−−−( 1 )
3 a A
+ 4 a B + a C =0 −−−( 2)
a) ustitu(endo en ec. $ cuando t 0 2 s 3 v A
+ 4 v B + vC =0 v C
v C =10
b)
mm
( v C ) =10
mm
0
1
→
2
x C =( x C )0 + ( v C )0 t + aC t 2
ustitu(endo datos.
=
57 mm
(
10
mm s
)(
3s
) + 1 aC ( 3 s )
1
aC =
(
2
2
= 30 mm + aC ( 3 )
57 mm
2
2
−30 mm )
2 57 mm
9s
2
aC =6
mm 2
+ 4 y B + x C =0
→
v B=cte ∴ a B=0
ustitu(endo datos en ec. , 3 a A
+ 4 (0 )+
a A =−2
c)
6
mm 2
=0
mm
a A =2
2
mm 2
1
↑
y A =( y A )0 + ( v A ) 0 t + a A t
2
2
1
y A −( y A )0 =( v A )0 t + a A t
2
2
ustitu(endo datos cuando t 0 % s
(
y A −( y A )0 = −30
)
1 mm mm ( 5 s )+ (2 2 )( 5 s )2 s 2 s
y A −( y A )0 =−175 mm
y A −( y A )0 =175 mm ↑
El collar'n A inicia su movimiento desde el reposo en t 0 2 ( se mueve hacia
11.57.-
¿
aba#o con una aceleración constante de 3
s
2
. El collar'n B de desplaza hacia arriba
con una aceleración constante ( su velocidad inicial es de + in/s. i se sabe que el collar'n B se mueve ,2 in entre t 0 2 ( t 0 , s determine: a) Las aceleraciones del collar'n B ( el bloque . b) El tiempo en el cual la velocidad del bloque es cero. c) La distancia que habr4 recorrido el bloque en ese tiempo.
(v A ) =0 a A =7 ¿ ↓ 0
s
2
(v B) =8 ¿ ↑ 0
s
a B= cte
− y A + ( y C − y A ) + 2 y C + ( y C − y B )=cte .
−2 v A − v B + 4 v C =0−−−−( 1 ) −2 a A− aB + 4 aC =0 −−−−( 2 ) t =2 s y −( y B)0 =20 ∈ ↑ 1
y B =( y B ) 0+ ( v B )0 t + a B t
a)
2
ustitu(endo valores cuanto t 0 , s
−20 ∈¿ −8 ¿ ( 2 s ) + a B (2 s ) 1
( s)
2
2
a B=2 ¿2 ↑ s
−4 ∈ ¿ =−2 ¿ 2
2s
= ustitu(endo en ec. ,
−2
¿ − −2 ¿ + 4 a = 0 C
( s) ( 7
2
¿
12
ac =
s
2
s 4
=3 ¿
2
s
2
)
ac = 3 ¿2 ↓ s
2
s
2
b) ustitu(endo en ec. $ cuando t 0 2 s
−2 ( 0 )− −8 ¿ + 4 (v c ) =0
( s)
−8 ¿ (v c ) = 0
s
4
0
=−2 ¿ s
v c =( v c )0 + a c t pero v c =0 0
= −2 ¿ + 3 ¿ t
( s) ( s ) 2
2
t =0.6666 s
t = s 3
1
y C =( y C ) 0+ ( v C )0 t + aC t
c)
2
2
ustitu(endo datos cuando t = s 3
( s )( s ) + ( s ) ( s )
y C −( y C ) = −2 ¿ 0
2
1
3
2
y C −( y C ) 0=−0.6666 ∈¿
¿ 3
2
2
2
3
y C −( y C ) 0=0.6666 ∈ ↑
2
11.59.- El
sistema mostrado inicia su movimiento desde el reposo ( cada componente se mueve con una aceleración constante. i la aceleración re5lativa del bloque con mm
respecto al collar'n B es de 62
2
s
hacia arriba ( la aceleración relativa del bloque mm
D con respecto al bloque A es de $$2
hacia aba#o determine:
2
s
a) La velocidad del bloque despu*s de 1 s. b) El cambio de posición del bloque D lue"o de % s. a C =60
mm
↑ 2 s mm
a D =110
2
↓
ara el cable $ 2 y A
+ 2 y B + y C = cte
2 v A 2 v B
+
+ v C =0−−−−( 1 )
+
+ aC =0 −−−−( 2 )
2 a A 2 a B
ara el cable ,
( y D− y A ) + ( y D− y B )= cte −v A −v B + 2 v D =0 −−−−( 3 ) −a A −a B+ 2 a D =0 −−−−( 4 )
a C =aC − aB =60
a)
mm
a B= aB + 60
2
mm a D = a D−a A=110 2 s
a A =a D −110
ustitu(endo en ec. , ( 2
(a D −110)+ 2 (a D −100 )+ aC =0 +
3 aC 2 a D
=100 −−−( 5 ) −(a D −110)−(a B + 60 )+ 2 a D =0
−aC + a D =−50 −−−( 6 )
esolviendo las ecuaciones % ( 6
+
=100
3 aC 2 a D
−aC + a D =−50 esolviendo por el m*todo de reducción
−3 aC −2 a D=−100 − 3 a D =150
3 aC
−5 a D =50 a D=
50
−10
=−10
a D=−10
mm 2
aC =40
mm 2
v C =v 0 + a C t
uando t 0 1 s mm v C =( 40 2 )( 3 s )
v C =120
mm
1
1 2
2
y D =( y D )0 + v 0 t + a D t
b) uando t 0 % s
y D −( y D )0 = (−10
↓
2
mm s
2
2
)( 5 )
y D −( y D ) y =− 125 ( y Dmm↑ )0 =−125 mm 0 D
11.97.- 7n
avión dise8ado para de#ar caer a"ua sobre incendios !orestales sobre una l'nea horizontal a 1$% 9m/h a una altura de +2 m. Determine la distancia d a la que el piloto debe soltar el a"ua de manera que cai"a sobre el incendio B.
V =315
1
2
y = y 0 + v 0 t − # t 2
y =
−1
2
2
# t
ustitu(endo para el punto B ( calculando t
( )(
−80 m=− t =
1 2
√ ( )(
9.81
m s
−80
−
1 2
m 9.81 2 s
)
2
)
2
t
= 4.03 s
ovimiento horizontal x = x 0 + vt x − x 0= vt
ustitu(endo ( resolviendo x − x 0= 87.5
m
( 4.03 s )
x − x 0=353.37 m
pero x − x 0= d d =353.37 m
!m 1000 m m = = 87.5 " s 3600 s
11.99.- ientras
entre"a periódicos una #oven lanza uno de ellos con velocidad horizontal v2. Determine el intervalo de valores v2 si el periódico debe caer entre los puntos B ( .
ovimiento vertical 1
2
y = y 0 +( v y )0 t − # t 2
ovimiento horizontal x = x 0 +( v x )0 t
ustitu(endo con datos del punto B ara (
ara ;
1
−3 =
−1
3
2
ft 2
s
=( v x ) ( 0.4550 s )
7 ft
0
2
( 32.2 ) t
t =0.4550 s
( v x ) =15.3840 0
ft s
ustitu(endo con datos del punto ara (
−2 ft =
ara ;
12
1 3
(
−1 2
32.2
ft 2
s
)
2
t
=( v x ) ( 0.3524 s ) 0
15.3840
t =0.3524 s
( v x ) =34.992 0
ft ft $ v 0 $ 34.992 s s
ft s
7n #u"ador de voleibol sirve la pelota con una velocidad inicial v 2 que tiene una ma"nitud $1.-2 m/s ( !orma un 4n"ulo de ,2< con la horizontal. Determine: 11.101.-
a) i la pelota pasara sobre el borde superior de la red. b) A que distancia de la red aterrizara la pelota.
v x =13.40cos 20= 12.59 v y =13.40 sin20 =4.583
m
m s
a) ovimiento horizontal x = x 0 +( v x )0 t
unto
9m
t =0.7147 s
m
=( 12.59 ) t
ovimiento vertical 1
2
y c = y 0 +( v y )0 t − # t 2
ara
1 m y c =2.1 m+( 4.583 )( 0.7147 s )− s 2
y c =2.870 m
>
∴ y C 2.43 m
(
9.81
m 2
s
)
2
(0.7147 s )
b) unto B cuando ( 0 2
) (
(
m 1 t − 0 =2.1 m + 4.583 s 2
)
2
m 9.81 2 t s
t B=1.271175 s
d =( v x )0 t B m d =( 12.59 )(1.271175 s ) s d =( 12.59
m
)( 1.271175 s )
d =16 m
% =( 16− 9 ) m
% =7 m
7n "ol!ista "olpea una pelota con una velocidad inicial de $62 !t/s a un 4n"ulo de ,%< con al horizontal. i el terreno de #ue"o desciende con un 4n"ulo promedio de %< determine la distancia d entre el "ol!ista ( el punto B donde la pelota toca el terreno por primera vez. 11.103.-
ara ,%<
(v x ) =160cos 25& 0
(v y ) =160 sen 25 & 0
ara %< x B= d cos5 & y B =−d sen 5 &
ovimiento horizontal x B= x 0 +( v x )0 t
ustitu(endo con respecto a B d cos5 & =(160 cos 25) t
t B=
cos5 160 cos 25
ovimiento vertical 1
2
y B = y 0 +( v y )0 t − # t 2
ustitu(endo con respecto a B 1
−d sen 5=( 160 sen 25 & ) t B − # t B −−−( 2) 2
2
d −−−( 1)
ustitu(endo ec. $ en ,
−d sen 5=( 160 sen 25 & )
(
cos5 160 cos 25
32.2 d ( tan 25 & cos5 & + sen 5 & )− 2
d =726.058 ft
(
)
1
d − ( 32.2 ) 2
cos5 & 160 cos25 &
)
(
cos 5 160 cos25
2 2
d =0
)
2
d
ediante una banda transportadora se descar"a arena en A ( cae en la parte superior de un mont'culo en B. i se sabe que la banda transportadora !orma un 4n"ulo = 0 ,2< con la horizontal determine la velocidad v2 de la banda. 11.105.-
ara ,2<
(v x ) =v 0
cos 20 &
0
(v y ) = v sen 20 & 0
0
ovimiento horizontal x = x 0 +( v x )0 t
=( v
30 ft
0
cos 20 &
) t
t =
31.9253
v0
ovimiento vertical 1
2
y = y 0 +( v y )0 t − # t 2
−18 ft =(v sen 20 ) t − 0
1 2
(
ft
32.2
se#
2
)
2
t
ustitu(endo t
−18 ft =( v sen 20 & ) 0
(
31.9253
v0
)− ( 1 2
ft 32.2 2 se#
2
2
v0 =
(31.9253) 1.7962
v 0 =23.820
ft s
)(
31.9253
v0
)
2
11.107.- 7n
"rupo de ni8os est4 lanzando pelotas a trav*s de una llanta con 2.3, m de di4metro interior la cual cuel"a de un 4rbol. 7n ni8o lanza una pelota con una velocidad inicial v2 a un 4n"ulo de 1< con la horizontal. Determine el intervalo de valores de v2 para los cuales la pelota pasara a trav*s de la llanta.
(v x ) =v 0
0
cos3 &
(v y ) = v sen 3 & 0
0
ovimiento horizontal x = x 0 +( v x )0 t 6m
=( v
0
cos3 &
x =6 m
) t
t =
6m
v 0 cos 3 &
ovimiento vertical 1
2
y = y 0 +( v y )0 t − # t 2
y =( v 0 sen 3 & )
(
6
v 0 cos 3 &
)− ( ) ( 1 2
9.81
)
2
6
v 0 cos3 &
2
v0 =
ara ( 0 2.%1 m 2
v0 =
177.0649
6 tan3 &
−(−0.53 )
v 0 =14.480
m
177.0649 6 tan3 &
− y
ara ( 0 $.,% 2
v0 =
177.0649
6 tan3 &
−(−1.25 )
v 0 =10.638
10.638
m
m
$ v 0 $ 14.480
m
ientras sostiene uno de sus e;tremos un traba#ador lanza un lazo de cuerda sobre la rama m4s ba#a de un 4rbol. i lanza la cuerda con una velocidad inicial v2 a un 4n"ulo de 6%< con la horizontal determine el intervalo de valores de v2 para los cuales la cuerda solo sobrepasar'a a la rama m4s ba#a. 11.109.-
( v x ) =v 0
0
(v y ) = v sen 65 &
cos 65 &
0
0
ovimiento horizontal x = x 0 +( v x )0 t
=( v
5
0
cos 65
pero x =5 m
) t
t BC =
5
v 0 cos 65
ovimiento vertical 1
2
y = y 0 +( v y )0 t − # t
perot =t BC
2
#= 9.81
m 2
ustitu(endo t BC y =( v 0 sen 65 & )
(
5
v 0 cos 65
)− ( 1 2
#
5
v 0 cos 65
)
2
1
y =5 tan65 & − # 2
(
5
v 0 cos 65
)
2
5 tan 65 &
− y
4.905
2
v0 =
=
25
(v
0
cos 65
2
)
686.566 5 tan65 &
− y
ustitu(endo cuando B 0 % m 2
v0 =
686.566 5 tan65 &
v 0 =10.95
−5
m s
ustitu(endo cuando 0 %.> 2
v0 =
686.566 5 tan65 &
v 0 =11.93
−5.9
m s 10.95
m
m $ v 0 $ 11.93
11.117.- 7n
bloque deslizante A se mueve hacia aba#o a una rapidez de 2.% m/s la velocidad con respecto a A de la porción B de la banda entre las poleas locas ( D es V CD =2 A
m ∠ ' . Determine la velocidad de la porción D de la banda cuando: s
a) ? 0 -%< b) ? 0 62<
v CD =V A + V CD A
v A =
0.5
m (−cos65 & i − sen 65 & ( ) s
v A =−0.5cos 65 & i − 0.5 sen 65 & (
m ( cos'i+ sen'( ) s v CD =2 cos'i + 2 sen'( v CD =
2
A
ustitu(endo v A ( v CD en v CD A
v CD =(−0.5cos65 & + 2 cos' ) i + (−0.5 sen 65 & + 2 sen' ) (
a) uando @ 0 -%< v CD =(−0.5cos65 & + 2 cos 45 & ) i+ (−0.5 sen 65 & + 2 sen 45 & ) ( v CD =1.5396
m s
∠ 38.62
&
b) uando @ 0 62< v CD =(−0.5cos65 & + 2 cos 60 & ) i + (−0.5 sen 65 & + 2 sen 60 & ) (
v CD =1.5025
m s
∠ 58.33
&
11.119.- 7n
radar con base en tierra indica que un transbordador sale de su muelle a una velocidad v =9.8 n)dos ∠ 70 & en tanto que los instrumentos a bordo del transbordador indican una velocidad de $2 nudos ( una dirección de 12< hacia el suroeste con la relación al rio. Determine la velocidad de este ltimo.
velocidades de los trenes A ( B son las que se indican en la !i"ura. i se sabe que la rapidez de cada tren es constante ( B alcanza el cruce $2 min. despu*s de que A lo hizo determine: a) La velocidad relativa de B con respecto a A. b) La distancia entre los !rentes de las maquinas 1 min. despu*s de que A paso por el crucero.
v B =(60 ) +( 48 ) −( 2 ) ( 60 ) ( 48 ) cos155 & 2
