UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRES FACULTAD DE INGENIERIA
PRACTICA 2do PARCIAL
DOCENTE: Ing. Oswaldo Terán Modregon ESTUDIANTE: ESTUDIANTE: Univ. Alvaro Z Antezana Garcia FECHA: 09/06/2017
La Paz - Bolivia
23. Encuentre un plan de muestreo simple para el cual p1=0,01, α=0,05, p2=0,10 y β=0,10. Suponga que se someten lotes de N=2000 a la inspección. Trace la curva ITM para este plan. Trace también la curva CMS y determine el LCMS. Datos: AQL:
, 10 ,
p1=0,01, α=0,05 LTPD:
c
0,05
0,1
0 1 2 1,21 ~1
p'n1-a 0,051 0,355 0,818 0,455
p'nb 2,3 3,89 5,32 4,198
p2=0,10 y β=0,10 N=2000
r 45,098 10,958 6,504 10
Para c=1
, , 45,5
, , 41,98
Se usara n=4
n p
44 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
λ=n*p Pa ITM CMS 0,44 186,0056 0,907 0,88 0,7798 474,7112 1,5253 1,32 0,6198 787,6712 1,8185 1,76 0,4748 1071,2912 1,8574 2,2 0,3546 1306,4024 1,734 2,64 0,2598 1491,8312 1,5245 3,08 0,1875 1633,25 1,2836 3,52 0,1338 1738,2872 1,0469 3,96 0,0946 1814,9624 0,8327
curva OC 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 Serie 1 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
Serie 1 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 Serie 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
24. Una compañía utiliza el siguiente procedimiento de muestreo para aceptación. Se toma una muestra igual al 10% del lote. Si el 2% o menos de los artículos son defectuosos, se acepta el lote; de otra manera se rechaza. Si los lotes enviados varían en tamaño de 5000 a 10000 artículos, ¿qué se puede decir acerca de la protección mediante este plan? ¿Ofrece este esquema una protección razonable para el consumidor, si el PDTL deseado es 0,05?
Datos: N=5000 n=0.1*N=500 C=0.02*n =10 N=10000 n=0.1*N=1000 C=0.02*n =20
n
c 500
P
λ=n*p
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
n 10
Pa 5 10 15 20 25
0,9863 0,583 0,1185 0,0108 0,0014
c
1000 20 λ=n*p Pa 10 0,9984 20 0,5591 30 0,033945 40 7,83E-04 50 1,11E-05
El plan es más ventajoso para el consumidor porque hay menos probabilidades de aceptar un lote malo que de rechazar un lote bueno.
25. Una compañía utiliza un tamaño muestral igual a la raíz cuadrada del tamaño del lote. Si el 1% o menos de los artículos en la muestra son defectuosos, se acepta el lote; de otra manera, se rechaza. Los lotes enviados varían en tamaño de 1000 a 5000 artículos. Comente la eficacia de este procedimiento. a. Derivar un plan de muestreo secuencial artículo por artículo para el que AQL=0,01, α=0,05, LTPD=0,10 y β=0,10. b. Trazar la curva OC para este plan.
n
c 32
P 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
n 0
c 72
0
λ=n*p Pa λ=n*p Pa 0,16 0,8521 0,36 0,7011 0,32 0,7261 0,72 0,4916 0,64 0,5272 1,44 0,2417 0,96 0,3828 2,16 0,1188 1,28 0,278 2,88 0,0584 1,6 0,2018 3,6 0,0287
1 0.8 0.6 Serie 1 0.4
Serie 2
0.2 0 0.005
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
26. Considerar la inspección con rectificación para un muestreo único. Desarrollar una ecuación AOQ suponiendo que todos los artículos defectuosos se eliminan pero no se reemplazan con artículos satisfactorios. .- si no existen defectuosos la ecuación AOQ será cero.
27. Suponga que se usa un plan de muestreo simple con n=150 y c=2 en la inspección a la recepción para un producto que el proveedor envía en lotes de tamaño 3000. a) Trace la curva CO para este plan. b) Grafique la curva CMS y encuentre el LCMS. c) Dibuje la curva ITM para este plan. Datos: n=150 c=2
n P
150 c λ=n*p
0 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,02 0,03 0,04 0,05
2
Pa 0 1,5 1,65 1,8 1,95 2,1 2,25 2,4 2,55 2,7 2,85 3 4,5 6 7,5
AOQ 1 0,8088 0,7704 0,7306 0,6902 0,6496 0,6093 0,5697 0,5311 0,4936 0,4576 0,4232 0,1736 0,062 0,0203
0 0,0076836 0,00805068 0,00832884 0,00852397 0,00863968 0,00868253 0,00865944 0,00857727 0,00844056 0,00825968 0,0080408 0,0049476 0,002356 0,00096425
ATI 150 694,92 804,36 917,79 1032,93 1148,64 1263,495 1376,355 1486,365 1593,24 1695,84 1793,88 2505,24 2823,3 2942,145
0,06 0,07
9 10,5
0,0062 0,0018
0,0003534 0,0001197
2982,33 2994,87
28. Suponga que un proveedor envía componentes en lotes de tamaño 5000. Se utiliza un plan de muestreo simple con n=50 y c=2 para inspección a la recepción. Se tamizan los lotes rechazados y se vuelven a trabajar todos los artículos defectuosos para después regresarlos al lote. a) Trace la curva CO para este plan. b) Obtenga el nivel de calidad del lote que se rechazaría el 90% de las veces. c) La administración se puso al empleo del procedimiento anterior de muestreo, y quiere usar un plan con número de aceptación c=0, argumentando que esto es más acorde con su programa de cero defectos. ¿qué opina de esto? d) Diseñe un plan de muestreo simple con=0 que corresponde a una probabilidad de 0,90 de rechazar lotes con el nivel de calidad encontrado en el inciso b). Observe que los dos planes se equiparan ahora en el punto de PTDL. Trace la curva CO para este plan y compárelo con aquel para el cual n=50, c=2. Datos: N=5000 n=50 C=2
P
Pa
λ=n*p
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
1 0,9856 0,9197 0,8088 0,6767 0,5438 0,4232 0,3208
b)
P
Pa
λ=n*p
0,1
5 5340 5,5
0.1067 0,11
0,1246 0,1 0,0884
c)
P
Pa
λ=n*p
0,001 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,02
0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 1
0,9512 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,3679
d)
P 0,04 0.0466 0,05
λ=n*p
2 2,3317 2,5
Pa 0,1246 0,1 0,082
29. Un proveedor embarca un componente en lotes de tamaño N=3000. El AQL para este producto se ha establecido en 1%. Encontrar los planes de muestreo único con inspección normal, rigurosas y reducida para esta situación a partir del estándar MIL STD 105E, suponiendo que el nivel II de inspección general es apropiado. Datos: N=3000 AQL=1% Nivel de Inspección II La letra será K
normal
rigurosa
reducida
n c r
125 125 50 3 2 1 4 3 4 30. Repetir el ejercicio 32 usando el nivel I de inspección general. Discutir las diferencias en los diferentes planes de muestreo. Datos: Nivel I con Inspección General N=5000 AQL es 0.65% a) Con la letra J, para los planes de inspección normal, rigurosa y reducida usando tablas tenemos:
normal n c r
80 1 2
rigurosa
reducida
80 1 2
32 0 2
Graficando para cada nivel de inspección:
Comparando ambos planes, se observa que el mejor plan es el primero, el que se lo realiza con un nivel de inspección I.
31. Un producto se surte en lotes de tamaño N=10000. El AQL se ha especificado en 0,10%. Encontrar los planes de muestreo único con inspección normal, rigurosa y reducida para la situación a partir del estándar MIL STD 105E, suponiendo que se usa el nivel II de inspección general. Datos: N = 10000 ; AQL = 0,1% La letra código es: L
;
Nivel de inspección = II
NORMAL RIGUROSA n c r
200 0 1
RIGIDA
200 0 1
50 0 1
32. Se está utilizando el estándar MIL STD 105E para inspeccionar lotes de entrada de tamaño N=5000. Se emplea un muestreo único, el nivel II de inspección general y un AQL de 0,65%. a. Encontrar los planes de inspección normal, rigurosa y reducida. b. Trazar la misma gráfica de curvas OC de los planes de inspección normal, rigurosa y reducida. Datos: N = 5000 ; AQL = 0,65% La letra código es: L
;
Nivel de inspección = II
a) los planes son:
NORMAL RIGUROSA n c r
200 3 4
RIGIDA
200 2 3
80 1 4
λ=n*
b) Para las gráficas:
p
λ=n*
p 0 0,01
0 2
0,02
4
0,03
6
0,04
8
0,05
10
0,06
12
NORMA L
λ=n*
p
RIGUROS A
1 0,8571234 6 0,4334701 2 0,1512038 8 0,0423801 1 0,0103360 5 0,0022917 9
0 2
1 0,67667642
0 0,8
4
0,23810331
1,6
6
0,0619688
2,4
8
0,01375397
3,2
10
0,0027694
4
12
0,00052226
4,8
p
REDUCI DA 1 0,8087921 4 0,5249309 5 0,3084410 4 0,1712012 6 0,0915781 9 0,0477325 3
Graficando:
33. Se va a usar muestreo simple con nivel II de inspección general y AQL 0,65%. El tamaño del lote es 5.000. Si el producto tiene una calidad media de 0,5%, a) ¿cuál es la probabilidad de aceptación con inspección reducida? b) Si la calidad del producto cambia a 1%, ¿cuál es la probabilidad de que (después de que se inspeccione la primera muestra) se continúe con la inspección reducida? ¿Y de que se acepte el lote y se pase a inspección normal? ¿Y de que se rechace el lote? c) Determine la probabilidad de aceptación de un lote 0,8% defectuoso con inspección normal y con inspección rigurosa. Datos: N = 5000 ; AQL = 0,65% La letra código es: L
;
Nivel de inspección = II
p = 0,5% = 0,005
a)
Inspección Reducida Letra código L Para la probabilidad de aceptación:
c
r
80
1
4
, 0,5 ∗ −∗ 80∗ (1 ≤ 1) ∑ 100 ! 0,938 =
b) p = 0,5%
n
→ p = 1%
−∗ 1 80∗ 100 ∗ (1 ≤ 1) ∑ 0,809 ! = [ ] 0,809 ∗ 0,809 ,
Con la inspección normal:
Inspección Normal Letra código L
n
c
r
200
3
4
−∗ 1 200∗ ∗ 100 (1 ≤ ) ∑ 0,8571 ! = [] 0,809∗0,8571 ,
34. En un muestreo de aceptación que utiliza MIL-STD-105E, se usa muestreo simple con letra-código M y AQL 0,40%. Se pide: a) Cuáles son los criterios de aceptación con inspección normal, rigurosa y reducida? b) ¿Cuál es el intervalo más probable del tamaño del lote? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote con calidad 0,5% sea aceptado bajo inspección rigurosa? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote con calidad 0,5% sea aceptado bajo inspección reducida? Datos: La letra código es: M
;
AQL = 0,40%
;
Nivel de inspección = II
a) los planes son:
NORMAL RIGUROSA n c r
315 3 4
315 2 3
RÍGIDA 125 1 4
b) estaría entre 1000 y 35000 c) p = 0.5% para inspección rigurosa n = 315 c = 2 r = 3. Utilizando por acercamiento la distribución poisson: Para hallar la probabilidad de aceptación en el punto
−∗ , 0,5 315 ∗ ∗ 100 (1 ≤ ) ∑ , ! =
d) p = 0.5% para inspección rigurosa n = 125 c = 1 r = 4. Utilizando por acercamiento la distribución poisson: Para hallar la probabilidad de aceptación en el punto
, 0,5 ∗ −∗ 125 ∗ 100 (1 ≤ ) ∑ , ! =
35. MIL STD 105E no incluye inspección rectificadora. Sin embargo un proveedor de un departamento del gobierno utiliza planes MIL STD 105E con inspección rectificadora para inspeccionar el producto terminado antes de despacharlo a su destino. El proveedor usa muestreo doble, nivel II de inspección normal, AQL 1,0% y tamaño 5.000 de lote. Si la calidad media del proceso es 1,5% ¿cuál es el AOQ? Datos: N = 5000 ; AQL = 1% ; Nivel de inspección = II Con muestreo doble e inspección normal: La letra código es: L
n c r p 0,01 5
λ1 1,87 5
P(X1<2) 0,676676 42
λ2 1,87 5
1ra
2da
125 2 5
250 6 7
p = 1,5% = 0,015
P(X1=3)
P(X2<3)
P(X1=4)
P(X2<2)
L
0,16848 08
0,878945 61
0,078975 37
0,710464 81
0,88087 11
L 0,8808711
% CMS o AOQ (Pa*p) 1,32130665
36. Se viene inspeccionando un producto usando muestreo simple, letra-código J y AQL 1,0. La cantidad de elementos defectuosos hallados en los diez primeros lotes fue: 3, 1, 2, 2, 4, 0, 1, 1, 0 y 1. ¿Qué decisión sobre iniciar/continuar la inspección normal, rigurosa ó reducida se tomará después de cada inspección de la muestra? Datos: Letra codigo = J
;
AQL =1
Primero calculamos datos a partir de las tablas, como ya sabemos pertenece a la letra J: de ahí tenemos que: c = 2, r = 3 con n = 80, por lo que ahora veremos los cinco primero datos de los lotes y analizaremos:
LOTE # Defectuosos
1
2 3 4
5
3
1
4
2
2
¿Se acepta?
no si si si no
Como hemos visto en nuestra tabla, el número de lotes rechazados es 2 de los cinco lotes consecutivos que elegimos, y como vemos nuestro grafico debemos pasar a una inspección RIGUROSA. Para la inspección rigurosa, debemos buscar tablas de acuerdo a la letra J: De ahí tenemos que: c=1 r= 2 con n = 80, por lo que ahora veremos los siguientes cinco datos de los lotes y analizaremos:
LOTE 6 7 8 9 10 # Defectuosos 0 1 1 0 1 ¿Se acepta? si si si si si Como hemos visto en nuestra tabla, el número de lotes aceptados son los cinco lotes consecutivos, y como vemos nuestro grafico debemos pasar a una inspección NORMAL:
37. Siguiendo con el plan de muestreo anterior con inspección normal, la inspección de diez lotes consecutivos de producto mostró 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1 y 0 defectos, respectivamente. ¿Puede utilizarse inspección reducida con dicho producto? Siguiendo el plan anterior vemos que para plan NORMAL de las tablas es c=2 r=3 con n=80, y vemos que los diez lotes se aceptan. Para que la inspección sea reducida, veremos en la tabla de los números límite para la inspección REDUCIDA; CON AQL=1% vemos que es 4 lo máximo, por lo tanto se puede cambiar a una inspección REDUCIDA.
38. Un producto se embarca en lotes de tamaño N=2000. Encontrar un plan de muestreo único Dodge-Roming para el que LTPD=1%, suponiendo que el promedio del proceso es 0,25% de unidades defectuosas. Trazar la curva OC y la curva ATI para este plan. ¿Cuál es el AOQL para este plan de muestreo? Datos: N = 2000 ; LTPD = 1% El promedio del proceso es 0.25% Tenemos: n = 490 c = 2 AOQL = 0.21
p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01
λ=n*p 0 0,49 0,98 1,47 1,96
Pa
AOQ
ATI
2,45
0,5567015
0,27835075 1159,38074
2,94 3,43 3,92 4,41 4,9
0,43676608 0,33398871 0,25006129 0,18395708 0,13333107
0,26205965 1340,48322 0,2337921 1495,67705 0,20004903 1622,40746 0,16556137 1722,22481 0,13333107 1798,67008
1 0 490 0,98635913 0,09863591 510,59772 0,92334037 0,18466807 605,756048 0,81633894 0,24490168 767,328202 0,68750178 0,27500071 961,872311
39. Quiere encontrarse un plan de muestreo único para una situación en la que se embarcan lotes de un proveedor. El proceso del proveedor opera con un nivel de porción caída fuera de 0,50% de unidades defectuosas. Se requiere que el AOQL de la actividad de inspección sea 3%. a. Encontrar un plan Dodge-Roming apropiado. b. Trazar la curva OC y la curva ATI para este plan ¿Cuál será la inspección necesaria en promedio, si el proceso del proveedor opera cerca del nivel de porción caída fuera promedio? c. ¿Cuál es la protección LTPD para este plan? Datos: p = 0,5% ; AOQL = 3% ; N = 10000 a) Plan Dodge – Roming n = 45 ; c = 2
LTPD = 11.6
b)
p 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
λ=n*p 0,46 0,92 1,38 1,84 2,3 2,76 3,22 2,68
Pa
ATI
0,988 0,934 0,838 0,719 0,596 0,479 0,375 0,288
166 703 1659 2844 4068 5233 6268 7134
−∗ , 0,5 46∗ 100 ∗ ∑ , ! = 46 + (10,993)(10000 46) , ≈
C) 11,6 es la protección LTPD
40. Un proveedor embarca un producto en lotes de tamaño N=8000. Quiere tenerse un AOQL de 3% y se usará un muestreo único. No se conoce la porción caída del proceso del proveedor pero se presume que es a lo sumo del 1% de unidades defectuosas. a. Encontrar el plan Dodge-Roming apropiado. b. Encontrar la ATI para este plan, suponiendo que los lotes de entrada tienen 1% de unidades defectuosas. Datos:
N = 8000 ;
a) Plan Dodge – Roming
AOQL = 3% ; n=65 ; c= 3
A lo sumo tienen 1% de unidades defectuosas Calidad limite = LQ=10.3
b)
p
λ=n*p 0,01 0,65
Pa
ATI
0,99555217
100,293513
41. Suponer que la estimación obtenida del promedio del proceso del proveedor es incorrecta y que es en realidad del 0,25% de unidades defectuosas. ¿Qué plan de muestreo deberá usarse? ¿Qué reducción en la ATI se habría obtenido si se hubiera usado el plan correcto? Datos: N=8000 AOQL =3 % tienen 0.25% de unidades defectuosas a) Plan Dodge – Roming n=46 c= 2 Calidad limite=LQ=11.6 b) P 0,0025
λ=n*p 0,115
Pa AOQ ATI 0,99976741 0,245255443 47,85002816
La reducción en ATI más del 50%, por lo tanto este plan es que por menor cantidad de defectuosos más probabilidad de aceptación y una reducción del ATI, debió tomarse este plan desde un principio.
42. Un consumidor está preocupado por la posibilidad de aceptar un producto con el 5% de elementos defectuosos. Se sugieren dos planes posibles: 1) un plan estándar de Philips con punto de control 3% (n=85 c=2); y 2) un plan de muestreo simple de Dodge – Roming con AOQL 2% (n=65, c=2). El tamaño del lote es 800 y la media del proceso asumida es 1% (promedio del proceso) ¿Cuál de los dos planes proporcionará mayor protección al consumidor? Datos: P=5% Plan 1 Estándar de Philips Punto de Control 3% n=85 c=2 Plan 2 muestreo simple de Dodge – Roming AOQL 2% n=65 c=2 N=800 AQL=1% Para el plan 2, vemos que en la tabla coinciden los datos además que a partir de ello tenemos PDTL=8
n
c 85
n 2
c 65
2
P
λ=n*p Pa λ=n*p Pa 0,05 4,25 0,8521 3,25 0,7011 Por lo tanto decimos que con p=5%, el plan 1 le favorece al consumidor.
43. Se compra un elemento en lotes de 5000. Para un riesgo del 10% por parte del consumidor con una tolerancia del 5% en el lote, las tablas de Dodge-Romig dan los siguientes planes alternativos, según el valor estimado de la media d el proceso: a) n=105; c=2 b) n=160; c=4 c) n=235; c=7 Comparar la inspección media total y la calidad de salida de estos tres planes si la calidad de entrada es realmente 0,4% defectuosa. Datos: N=5000 LTPD=5% B=10% Con p= 0.4%
P PLAN A B C
0,004 n
c 105 160 235
λ=n*p Pa ITM CMS 2 0,42 0,991 149,055 0,3963 4 0,64 0,9995 162,42 0,3997 7 0,94 1 235 0,4
El que tiene mejor plan para el caso del fabricante es el a) ya que su ITM es el menor de todos, pero para el consumidor el mejor plan es el a) porque así nos aseguramos la calidad media de salida.
44. Un departamento del Gobierno compra a un fabricante grandes cantidades de un pequeño producto. El tamaño del lote es 1200. Cuando se recibe el producto, dicho departamento usa un plan de muestreo simple para inspeccionarlo. Este plan lo obtiene del MIL STD 105E basado en AQL 0,65 y nivel II de inspección general. Cuando se fabrica, el producto se somete a una inspección de muestreo y rectificadora antes de su envío. El fabricante usa un plan Dodge – Roming con AOQL 2% con la asunción de que la calidad media del proceso es igual al AOQL establecido por el departamento del gobierno si la calidad media del proceso es igual al AQL establecido por el departamento del Gobierno (n=65, c=2). a) ¿Cuál es la calidad media del producto enviado al departamento del Gobierno si la calidad real de producción es 0,65%
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el departamento del Gobierno acepte el producto recibido? Datos: N=1200 AQL=0.65 Nivel II Inspección General Por Tablas tenemos vemos que corresponde a la letra JPara plan n=80 c=1 r=2 El fabricante usa plan Dodge – Roming Calidad Media del proceso=AQL n=65, C=2LCMS =AOQL=2% AOQ=LTPD =8.2
45. Un proveedor surte un producto en lotes de tamaño N=5000. Se desea tener un LCMS de 2%, y se utilizará un muestreo simple. No se conoce el rechazo del proceso del proveedor (p), pero se sospecha que es de alrededor de 1% de defectuosos. a) Obtenga el plan de Dodge – Roming apropiado (n=125, c=4). b) Halle la ITM para este plan, suponiendo que los lotes que llegan tienen 1% de defectuosos. c) Suponga que su estimación del promedio del proceso del proveedor es incorrecta, y que realmente es igual a 0,25% de defectuosos. Entonces el plan de muestreo adecuado sería n=42, c=1 ¿Cuál habría sido la reducción en la ITM si se hubiera utilizado el plan correcto? Datos: N=5000 LCMS= 2% P=? Se sospecha 1% a) Plan Dodge – Roming: n=125, c=4 LTPD=6.4 b) P=1%
P 0,01
λ=n*p 1,25
Pa
ITM 0,9909
169,4809
c)
n P
42 c 0,0025
λ=n*p Pa 0,105
1 ITM 0,9949 67,4911
Para el plan verdadero vemos que el ITM es mucho mejor que antes, esto es mejor para el fabricante.
46. Un plan de muestreo único se da como n=15, c=1. ¿Cuáles serían las probabilidades de aceptación de lotes que son defectuosos al 6%, 10% y 18%? Datos: n=15 c=1 Hallar las probabilidades para 6, 10 y 18%
n P
15 c λ=n*p
0,06 0,1 0,18
1
Pa 0,9 1,5 2,7
0,7725 0,5578 0,2487
