LINGKARAN MOHR
LINGKARAN MOHR
Lingkaran Lingkaran Mohr diperkenalkan diperkenalkan oleh seorang insinyur Jerman, Otto Mohr (1835-1913) Lingkaran Mohr adalah se!uah "ara gra#is yang dapat meru!ah persamaan tegangan tegangan ke dalam persamaan lingkaran lingkaran Lingkaran Lingkaran ini digunakan untuk melukis trans#ormasi tegangan tegangan maupun regangan, regangan, !aik untuk persoalan-persoalan tiga dimensi maupun dua dimensi
LINGKARAN MOHR Asumsi
$egangan tekan adalah positi# dan tegangan tarik adalah tarik adalah negati#
%istem tidak !erputar atau ata u !ergerak
$egangan di!agi ke dalam dua !uah tegangan tegak lurus sum!u longitudinal yang dise!ut dengan tegangan prinsipal
LINGKARAN MOHR Asumsi
&uatlah koordinat hori'ontal dan ertikal dengan skala yang sama, lalu gam!arkan %1 dan % pada sum!u hori'ontal *am!ar se!uah lingkaran dengan titik pusat antara %1 dan % dengan garis mele+ati titik %1 dan %
LINGKARAN MOHR Asumsi
Jika pada !idang tegangan !idang geser mem!entuk sudut terhadap !idang normal, maka gam!arkan se!esar pada Lingkaran Mohr $itik menun.ukkan !esar tegangan pada !idang, dimana !esar tegangan normal ditun.ukkan pada sum!u horisontal dan tegangan geser pada sum!u ertikal
LINGKARAN MOHR Tiga Prinsip Dasar dalam Lingkaran Mohr
rah dari !idang geser selalu diperlihatkan oleh !esar sudut nya &esar sudut pada Lingkaran Mohr adalah dua kali dari !esar sudut yang se!enarnya %udut selalu diukur dengan "ara yang sama, !aik pada kondisi yang se!enarnya ataupun pada Lingkaran Mohr
LINGKARAN MOHR on!oh "
$entukan !esarnya tegangan normal dan tegangan geser, pada !idang tegangan di !a+ah ini
P#n$#l#saian on!oh "
$entukan !esarnya sudut yang di!entuk antara !idang geser terhadap sum!u hori'ontal, seperti yang terlihat pada gam!ar
P#n$#l#saian on!oh "
%elan.utnya, !uatlah gra#ik untuk menggam!arkan Lingkaran Mohr
/imana titik tengah lingkaran !erada pada (%ma0 %min)2
/an radiusnya adalah (%ma0-%min)2, dengan garis lingkaran yang mele+ati %1 dan %
P#n$#l#saian on!oh "
ngat, !esar sudut dalam Lingkaran Mohr adalah dua kali !esar sudut yang se!enarnya /an semua sudut diukur dengan "ara yang sama
P#n$#l#saian on!oh "
4etika kita menggam!arkan !esarnya sudut, diperoleh !ah+a titik tegangan !erada pada setengah !agian !a+ah dari diagram
P#n$#l#saian on!oh "
/apat kita lihat dalam keadaan se!enarnya, !ah+a tegangan akan menghasilkan pergeseran !idang ke kanan /engan demikian apa!ila pada /iagram Mohr tegangan geser !ernilai negati#, mem!eri pengertian !ah+a !idang mengalami pergeseran lateral ke kanan
P#n$#l#saian on!oh "
ada akhirnya kita menemukan !esarnya tegangan normal dan tegangan geser pada !idang
LINGKARAN MOHR on!oh %
&erikut ini kita mempunyai geometri yang sama dengan 6ontoh 1, namun salah satu tegangannya merupakan tegangan tarik $entukan !esarnya tegangan normal dan tegangan geser, pada !idang tegangan di !a+ah ini
P#n$#l#saian on!oh %
TEGANGAN DALAM DUA DIMEN&I
erhatikan se!uah elemen !u.ursangkar dengan sisi yang sangat ke"il pada !idang 0-y dan te!al t 7lemen ini mengalami tegangan normal σx, σy dan tegangan geser τxy = τyx.
TEGANGAN DALAM DUA DIMEN&I
kan ditentukan tegangan normal dan tegangan geser yang !eker.a pada se!uah !idang yang normalnya mem!entuk sudut θ terhadap sum!u 0 dimana σx !eker.a. erlu digunakan prinsip kesetim!angan a a dalam se!uah se iti a an san at ke"il dengan te!al t
TEGANGAN DALAM DUA DIMEN&I
an.ang sisi segitiga & a O a sin θ O& a "os θ
:ntuk memenuhi kondisi kesetim!angan, seluruh gaya yang !eker.a pada arah σ dan τ dalam keadaan setim!ang
TEGANGAN DALAM DUA DIMEN&I /ari gam!ar terse!ut diperoleh persamaan ; persamaan
σ=
σx + σy
2
σ x − σ y cos2θ + τ xy sin2θ + 2
σ x − σ y 2 sin2θ + τ xycos2θ
τ = −
Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normal σ dan tegangan geser τ pada setiap !idang yang dide#inisikan oleh < untuk setiap kom!inasi nilai σ0, σy, dan τ0y
TEGANGAN DALAM DUA DIMEN&I σ x
τ = −
− σ y
sin2θ + τxycos2θ 2 σ x − σ y sin2θ + τ xycos2θ 0 = − 2 σx − σy
sin2θ = τ xycos2θ 2 2τxy sin2θ = cos2θ σ x − σ y tan 2θ =
2τxy σx − σy
TEGANGAN DALAM DUA DIMEN&I
%udut 2θ merupakan sudut dari sum!u 0 yang menun.ukkan arah tegangan-tegangan utama σ1 dan σ3. 4arena tan 2θ tan (θ 18=o) maka
%udut θ merupakan arah σ1
%udut θ 9= merupakan arah σ3.
%etelah sudut θ diperoleh, σ1 dan σ3 dapat dihitung dengan menggunakan persamaan untuk menghitung σ. σ1 =
1 (σ x 2
)
1 (σx 4
+ σy +
− σy
)2 + τ2xy
σ3 =
1 (σx 2
+ σy −
)
1 (σx 4
− σy
)2 + τ2xy
LINGKARAN MOHR Pada T#gangan Bidang
+ + +
-
+ + +
LINGKARAN MOHR Pada T#gangan Bidang
:ntuk memplot !#gangan g#s#r pada Lingkaran Mohr, digunakan kon'#nsi !anda posi!i( dan n#ga!i( $ang han$a 'alid un!uk k#p#rluan pr#s#n!asi gra(is $egangan geser diplot posi!i( .ika tegangan terse!ut akan memutar elemen )#rla*anan dengan arah putaran .arum .am egangan geser p o a egangan erse u a an memu ar elemen s#arah dengan arah putaran .arum .am
LINGKARAN MOHR Pada T#gangan Bidang
LINGKARAN MOHR Pada T#gangan Bidang
Lingkaran Mohr merupakan metode gra#is sederhana dan "epat yang dapat digunakan untuk
Menentukan !esar tegangan normal dan tegangan geser pada !idang tertentu -
LINGKARAN MOHR on!oh +
•
Tentukan tegangan normal dan tegangan geser (ke arah mana?) yang bekerja pada Bdan !
•
Tentukan besar dan arah tegangan utama mayor (σ1) dan tegangan utama mnor (σ3)
P#n$#l#saian on!oh +
P#n$#l#saian on!oh +
Perhatikan Bidang C Normalnya bersudut 30o counter clockwise dari arah bekerjanya
σx
(sumbu x)
ATAU Bersudut 30o counter clockwise dari bidang tempat σx bekerja (Bidang A) PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30o = 60o
P#n$#l#saian on!oh +
Perhatikan Bidang C Normalnya bersudut 60o clockwise dari arah bekerjanya
σy
(sumbu y)
ATAU Bersudut 60o clockwise dari bidang tempat σy bekerja (Bidang B) PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60o = 120o
P#n$#l#saian on!oh +
Jadi se"ara gra#is σ
= 23.2 "#a
τ
=
3.$ "#a
-
σ x − σ y cos2θ + τ xy sin2θ + σ= 2 2 σ x − σ y τ = − 2 sin2θ + τ xycos2θ σx + σy
P#n$#l#saian on!oh + σ x − σ y cos2θ + τ xy sin2θ σ= + 2 2 22 + 6 22 − 6 O 0 σ= + cos60 + 6 sin60 2 2 σ = 14 + 4 + 5.196 = 23.196 MPa σx + σy
σ x − σ y sin2θ + τ xycos2θ τ = − 2 22 − 6 O O τ = − sin60 + 6 cos60 2 τ = −6.928 + 3 = −3.928 MPa
P#n$#l#saian on!oh + Secara grafis: σ τ
= 23.2 MPa = 3.9 MPa
Dengan rumus:
OK OK?
σ
= 23.196 MPa
τ
= -3.928 MPa
P#n$#l#saian on!oh +
σ1
= 24 MPa
Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5o counter clockwise dari arah bekerjanya σx (sumbu x) ATAU Bekerja pada bidang yang bersudut 18.5o counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya σx (Bidang A)
P#n$#l#saian on!oh +
σ3
= 4 MPa
Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5o counter clockwise dari arah bekerjanya σx (sumbu x) ATAU Bekerja pada bidang yang bersudut 108.5o counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya σx (Bidang A)
P#n$#l#saian on!oh +
/engan menggunakan persamaan-persamaan σ1 =
1 (σ x 2
+ σy +
)
1 (σ x 4
− σy
)2 + τ2xy
σ3 =
1 (σx 2
+ σy −
)
1 (σx 4
− σy
)2 + τ2xy
P#n$#l#saian on!oh +
σ1,3 =
1 (σ x 2
)
+ σy ±
1 σ1,3 = (22 + 6 ) ± 2 σ1,3 = 14 ± 10 σ1 =
24 MPa
σ3 =
4 MPa
1 (σ x 4
− σy
)2 + τ2xy
1 (22 − 6 )2 + 62 4
36
P#n$#l#saian on!oh +
2θ = tan
σ
xy
x
− σy
2(6)
2θ = tan −1 2θ = tan
2
−1
22 − 6 −1 12 16
2θ 1
= 36.87
2θ 2
=
(180
o
o
⇒ θ 1 = 18.43
+ 36.87
o
o
) ⇒ θ = 108.43
o
2
P#n$#l#saian on!oh + Dari rumus :
Secara grafis : σ 1 =
24 MPa ⇒ θ 1
= 18.5
σ 3 =
4 MPa ⇒ θ 2
= 108.5
OK
o
o
OK
σ 1 =
24 MPa ⇒ θ 1
= 18.43
σ 3 =
4 MPa ⇒ θ 2
= 108.43
o
o
