Facultad de Ingeniería de Ingeniería Electrónica y Mecatrónica
SEGUNDO CONJUNTO DE PROBLEMAS ANALISIS MATEMATICO I CICLO : SEGUNDO CICLO - LUNES 11 de MARZO de 2013 TURNO : MAÑANA MAÑANA – – B515 - C203 - 2013 1 DOCENTE : RICARDO CHUNG CARRERA : INGENIERÍA ELECTRÓNICA ELECTRÓNICA – MECATRONICA – TEXTIL – – MECATRONICA – TEXTIL – BIOMEDICA TEMA : COMPOSICION COMPOSICION – ESPECIALES – LIMITE y CONTINUIDAD DE FUNCIONES – FUNCIONES ESPECIALES – ___________________________ ______________ __________________________ _________________________ _______________________ ________________________ __________________ _____
SIMETRÍA. FUNCIÓN PAR. PAR. Si una función f satisface que f(-x) = f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función par. Ejemplo. Ejemplo. Comproba Co mprobarr que f(x) = x2 es par. f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) Como f(-x) = f(x), entonces la función es par!
f (-x)
f (x)
-x
x
La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje y. FUNCIÓN IMPAR. IMPAR . Si una función f satisface que f(-x) = - f(x) para todo x en su dominio, entonces f es una función impar. Ejemplo. Ejemplo. Demostrar que f(x) = x 3 es una función impar. f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x) Como f(-x) = - f(x), entonces la función es impar!
f (x)
1
-x f (-x)
x
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Ejemplos. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguno de los dos. f(x) = x5 + x f(x) = 1 – x4 f(x) = 2 x – x2
Funciones pares e impares: Sea f una f una función tal que si x si x está en el dominio de f de f , - x x también lo está: (i) f es f es una función par función par si si f f ((-x) -x) = f = f (( x), x), para toda x toda x en el domf . (ii ii)) f es f es una función impar impar si si f f ((-x) -x) = f ( f ( x), x), para toda x toda x en el domf . La gráfica de una función par función par es es simétrica con respecto al eje y eje y La gráfica de una función impar es impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplos Ejempl os ilustrativos:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y f y g , se llama composición de las funciones f y g , y se escribe g o g o f, a la función definida de R en R , por ( g ( g oo f )( f )( x) x) = g [ f f ( x)] x)].. 2
-x f (-x)
x
La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen. Ejemplos. Determine si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguno de los dos. f(x) = x5 + x f(x) = 1 – x4 f(x) = 2 x – x2
Funciones pares e impares: Sea f una f una función tal que si x si x está en el dominio de f de f , - x x también lo está: (i) f es f es una función par función par si si f f ((-x) -x) = f = f (( x), x), para toda x toda x en el domf . (ii ii)) f es f es una función impar impar si si f f ((-x) -x) = f ( f ( x), x), para toda x toda x en el domf . La gráfica de una función par función par es es simétrica con respecto al eje y eje y La gráfica de una función impar es impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas. Ejemplos Ejempl os ilustrativos:
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas dos funciones reales de variable real, f y f y g , se llama composición de las funciones f y g , y se escribe g o g o f, a la función definida de R en R , por ( g ( g oo f )( f )( x) x) = g [ f f ( x)] x)].. 2
La función ( g ( g oo f )( f )( x) x) se lee « f « f compuesto compuesto con g con g aplicado aplicado a x a x ».
Primero actúa la función f función f yy después actúa la función g función g , sobre f sobre f ( x). x).
Cálculo de la imagen de un elemento mediante una función compuesta Para obtener la imagen de la función compuesta aplicada a un número x, x, se siguen estos pasos: 1. Se calcula la imagen de x de x mediante la función f función f , f ( x). x). 2. Se calcula la imagen mediante la función g , de f de f ( x). x). Es decir, se aplica la función g función g al al resultado obtenido anteriormente. Ejercicio: composición de funciones 1.- Sean las funciones f funciones f ( x) x) = x + 3 y g y g ( x) x) = x = x2. Calcular g o g o f y f y la imagen mediante esta función de 1, 0 y -3. 2.- Dadas las funciones f funciones f ( x) x) = x = x2 + 1, y g y g ( x) x) = 3x - 2, calcular: a) ( g o g o f ) f ) ( x) x) b) ( f o f o g ) g ) ( x) x) c) ( g o g o f ) f ) (1) y ( f o f o g ) g ) ((-1) d ) d ) El original de 49 para la función g función g oo f . FUNCIONES SIMÉTRICAS Funciones pares Una función Una función f es f es par par cuando cuando cumple f cumple f ( x) x) = f = f (-x). -x). Es decir, las imágenes de valores opuestos coinciden.
Por coincidir las imágenes de valores opuestos, la gráfica de una función par es simétrica respecto del eje Y .
Funciones impares función f es f es impar si cumple f x) = - f f ( x). x). Una función Una cumple f ( x) A valores opuestos de x de x corresponden imágenes opuestas. (La imagen de 2 es la opuesta de la imagen de -2; la imagen de -1 es la opuesta de la imagen de 1...). Por corresponder a valores opuestos de x, x, imágenes opuestas, la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas. Ejercicio: ejemplos de funciones pares e impares 1.- Indicar cuáles de estas funciones son pares: 2.- ¿Cuáles de estas funciones son impares?:
3
Funciones inversas Dada una función f ( x), su inversa es otra función, designada por f -1( x) de forma que se verifica: si f (a) = b, entonces f -1(b) = a Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada: _ Despejar la variable independiente x. _ Intercambiar la x por la y, y la y por la x. La función así obtenida es la inversa de la función dada. Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1. er cuadrante y del 3. er cuadrante. Ejercicio: cálculo de la función inversa de una dada 1.- Hallar la función inversa de y = 5 x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes. las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes. 3.- Hallar la función inversa de y = -x + 4, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Idea intuitiva de límite de una función en un punto
Idea intuitiva de límite 1. Considérese la función lineal y = 2 x + 1. ¿A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 3? Resolución: Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando x tiende a 3, hay que ver los valores que toma la función en puntos muy próximos a 3. Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores: x y
2,8 6,6
2,9 6,8
2,99 2,999 6,98 6,998
3,1 7,2
3,01 7,02
3,001 7,002
Se observa que al tomar valores de x muy próximos a 3, ya sean mayores o menores que él,
sus imágenes se aproximan al valor 7. Cuanto mayor es la proximidad de x a 3, mayor es la proximidad de f ( x) a 7. Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 3, el límite de la función y = 2 x + 1 es 7, y se escribe
LÍMITES LATERALES
4
Relación entre el límite y los límites laterales de una función límites laterales y coinciden: Si se verifica esto, y l es un número finito, se dice que la función es convergente. En el ejemplo anterior los límites por la derecha y por la izquierda coinciden:
Ejercicio: cálculo aproximado de límites 1) Sea la función definida por
¿Cuál es su límite cuando x tiende a 2?
¿A qué valor se aproxima la función cuando x se aproxima a 3?
LÍMITE DE UNA FUNC. EN UN PUNTO 1. Se dice que una función f( x ) converge, en el punto x0, hacia el valor l , o que x0 corresponden valores de la función muy próximos a I . La definición anterior se puede concretar más: cualquier > 0, existe un > 0 tal que si
Límites infinitos Se estudiarán los siguientes límites:
OPERACIONES CON LIMITES DE FUNCIONES
5
Límite de una suma de funciones El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas:
Límite de una resta de funciones El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los límites de cada una de ellas:
Límite de un producto de funciones El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas:
Límite de un cociente de funciones El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:
Ejercicio: límites de suma, resta, producto y cociente de funciones
6
Operaciones con expresiones infinitas ( ) l
( )·(l )
( ) ( )
( )·()
( ) l
( )·(l )
( ) ( )
( ) ( )
() l
l
( ) ( )
0
( ) ( ) 0
0
0 0
si
l
( ) ( l )
0
( ) ( l ) 0
l ( ) l 1 ( ) l 0 l ( ) 0 0 l 1 ( ) l
0
Indeterminaciones ·0 0 0
0 1 00
CALCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES Algunos límites infinitos Potencias: si k>0 lim p· x k x
Exponenciales:
si a>0
Logarítmicas:
si a>1
lim p·a x
x
lim p·log a x
x
Comparación de infinitos Si lim f ( x) y lim g ( x) se dice que f(x) es un infinito de orden superior x
a g(x) si lim
x
f ( x) g ( x)
x
o, lo que es lo mismo lim
x
7
g ( x) f ( x)
Dadas dos potencias de x, la de mayor exponente es un infinito de orden
3
superior. Por ejemplo lim
x
x 4 5 x
Dadas dos funciones exponenciales de base mayor que 1, la de mayor base es un infinito de orden superior Toda función exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior que cualquier potencia. Funciones exponenciales y potencias de x son infinitos de orden superior que cualquier función logarítmica.
Si lim f ( x) y lim g ( x) se dice que f(x) y g(x) son infinitos del mismo x
orden si lim
f ( x)
x
g ( x)
x
l 0
Dos polinomios del mismo grado o dos exponenciales de la misma base son infinitos del mismo orden.
Cálculo de límites a) Cociente de polinomios 2 x 3 x lim x x 2 5 2 x 3 x lim x x 8 5 2 x 3 x lim x 4 x 3 5
b) Cociente de otras expresiones infinitas 5 x 3 x
lim
2 x 5
x
c) Diferencia de expresiones infinitas lim x
x
3
x
lim x 8 x 2 x
x
3 x 2 7
2 x 1
2 x 2 5 x 2 x lim x x 3 lim
x
x
2
x x
d) Límite de una potencia
8
lim x 2
x
x
3
2 x 1 lim x x x 1 lim x 2 x
x
x
lim f ( x ) 1· g ( x )
e) Expresiones del tipo 1 : lim f ( x) g ( x) e x
x
x 2 x 1 lim 2 x x 2
3 x 1
Límite de una función cuando x lim f ( x) lim f ( x) x
x
Cálculo de límites cuando x c a) Casos inmediatos: se verifican siempre que f(x) está definida en x=c y lim f ( x) f (c) x c
lim ( x 1) x 2
x 2
b) Indeterminaciones del tipo 0/0 x 2 4 lim x 2 x 3 2 x 2 5 x 1 c) Indeterminación del tipo k/0 x 2 3 lim 2 x 1 x 5 x 4 d)Indeterminación del tipo lim
x 3
x 2 6 x 2 3 x
1 x 3
d) Indeterminación del tipo 1 x 4 x 10 lim x 6 x 4 2
1 x 6
ASINTOTAS Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito. Una definición más formal es: DEFINICIÓN
9
Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función. Las asíntotas se clasifican en:
a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY) Si existe un número “a” tal, que :
lim f ( x)
x a
La recta “x = a” es la asíntota vertical.
b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX) Si existe el límite: lim f ( x) b x
La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
c. Asíntotas oblicuas (inclinadas) Si existen los límites: :
La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.
CONTINUIDAD Función continua
Si alguna de las tres condiciones no se cumple, la función es discontinua en x0.
10
Se dice que una función es continua en un intervalo cuando es continua en todos los puntos del intervalo.
Ejercicio: estudio de la discontinuidad de una función
OPERACIONES CON FUNCIONES CONTINUAS Suma La suma de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto.
Resta La resta de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto. Producto El producto de dos funciones continuas en un punto es también una función continua en ese punto. Producto de una función por un número El producto de una función continua en un punto, por un número real, es otra función continua en ese punto. Cociente El cociente de dos funciones continuas en un punto es otra función continua en ese punto. (Siempre que el denominador no se anule). Composición de funciones
CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES Función constante La función constante f ( x) = k es continua en todos los puntos.
11
Función identidad La función identidad f ( x) = x es continua en todos los puntos.
Función potencial La función potencial f ( x) = xn es continua en todos sus puntos, salvo el caso en que n<0 y x=0, ya que en este caso se tendría una función racional con denominador nulo.
Función polinómica los puntos, por ser suma de funciones continuas en todos los puntos.
Función racional
en todos los puntos, salvo en los que el denominador se anula, por ser un cociente de dos funciones continuas.
Función exponencial La función exponencial f ( x) = ax, con a > 0, es continua en todos los puntos.
Función logarítmica La función f ( x) = log a x, siendo a > 1, es continua en todos los puntos de su campo de existencia (0, + ).
Ejercicio: estudio de los puntos de continuidad
12
en los intervalos (-3, 0) y (0, 2).
CLASIF. DE PUNTOS DE DISCONT. darse una, al menos, de estas condiciones:
Dependiendo de qué condición se verifique, los puntos en los que una función no es continua se clasifican en puntos de discontinuidad evitable y en puntos de discontinuidad no evitable (o inevitable).
Discontinuidad evitable Una función presenta una discontinuidad evitable en un punto x0 cuando, existiendo el límite de la función en éste, no coincide con el valor que toma la función en el punto (caso c): La discontinuidad se puede evitar asignando a la función, en el punto x0, el valor de su límite. el que hace la función sea continua en ese punto.
Discontinuidad inevitable Una función presenta una discontinuidad inevitable en un punto x0 cuando o bien no existe algún límite lateral (caso a) o bien los límites laterales existen pero son distintos (caso b), en cuyo caso no existe el límite.
Una discontinuidad inevitable es de salto infinito si lim x x0
Una discontinuidad inevitable es de salto finito si lim a x x0
o
lim
x x0
lim b y a≠b
x x0
Ejercicio: estudio y clasificación de los puntos de discontinuidad de una función 1) Realizar un estudio de los puntos de discontinuidad de la función
13
LIMITES - lim{a f(x)+b g(x)} = a lim{f(x)} + b lim{g(x)} (linealidad: dos propiedades en una) - lim {f(x)g(x)} = lim(f(x))lim(g(x)) (implica que también es válido para la división) - lim(f(g(x)) = f(lim(g(x))) Estas propiedades están sujetas a restricciones: existencia del límite, etc. Cuidado. Límites notables, no fáciles de demostrar: n
1 - lim n 1 e n - lim sin( n ) 1 n n0 - lim cos( n )1 0 n n0 que se demuestra con el anterior
- lim x→ ∞ xn/n! = 0
A) PRIMER TIPO: CUANDO X ES FINITO
1)
Indeterminado. Hay que ir por otro camino, factorizando:
(x-2) = 0. Ese era el problema:
= 11 / 4
2)
Indeterminado: factorizamos de nuevo: 14
(x-3) es lo que causa la indeterminación del problema:
= 108 / 7. 3)
Desarrollamos la suma de fracciones:
El denominador puede factorizarse (bastante típica, bueno saberlo: C 3-D3 = (C-D)(C2+CD+B2))
= -1 /48. 4)
Veamos que logramos al eliminar la raíz del numerador (Siempre puede hacerse esto)
15
Eliminamos (x-4) que nos causaba todo el problema:
= -1 / 6. COMENTARIO PEDAGÓGICO: Fíjense que muchos problemas se pueden resolver si se encuentra el cero molesto arriba y abajo, oculto entre los términos. Al revés, pensemos que tenemos lo siguiente: lim (x→6) (x+3) / (x-3). Nadie tendría problemas en llegar a 3. Ahora, si multiplicamos arriba y abajo por (x-6), osea 0, nos quedará: lim(x→6) (x2+9x+18) / (x2-9x+18), que pareciera también ser indeterminado. Al multiplicar por cero arriba y abajo la expres ión completa será cero. Así puede “ensuciarse” cua lquier expresión para hacerla parecer indeterminada (y pueden generar miles de problemas de límites para enviar a sus peores enemigos). CONCLUSIÓN: Si quieren resolver un límite del tipo lim (x→a), con a finito, busquen primero la posibilidad de expresar el numerador y el denominador como la multiplicación de (x-a) por algo, aunque no es infalible. 5)
Cualquier número es el cubo de otro, si se mira con los ojos adecuados:
Y utilizamos la “bastante típica”.
= 27 . 16
6)
x1
lim
x 1
x
1 4
1
Arriba apelamos a la mundialmente famosa suma por su diferencia 1 1 2 x 1 x 2 1 lim 1
x 1
x
4
1
Como (casi) siempre, queremos simplificar. La parte izquierda del numerador es una nueva mundialmente famosa suma por su diferencia: 1 1 1 4 4 x 1 x 1 x 2 1 lim 1
x 1
x
4
1
Que, al simplificar 1 1 4 2 lim x 1 x 1 x 1
= 4 COMENTARIO PEDAGÓGICO: No es difícil darse cuenta que este método puede extrapolarse a cualquier potencia de 2 y calcular que, por ejemplo, lim (x→1) (x1/32-1) / (x-1) es 1/32. Incluso se llegar a las expresiones generales (resultados debieran ser: 2 n o 1/2n dependiendo de si la potencia es 2 n o 1/2n y de si (x-1) está en el numerador o el denominador. Hay 4 casos.) 7) lim
0
sen( 7 x ) 3x
Hay que saber que (famoso): sin( )
1 Por lo que los siguientes pasos no deben parecer mágicos: lim
0
lim
0
7 sen( 7 x ) . 3 (7) x
= 7/3 8) 17
Sea la function: F(x) = { a + bx si x > 3, 5 si x = 3, bx 2 - 6a si x <3 } Determinar para qué valores de a y b el límite en x→3 existe:
Solución: Para que el límite exista, a + bx = 5 y bx 2-6a = 5 en x = 3. Se resuelve el sistema 2x2 de ecuaciones y resulta a = 10/9 y b = 35/27 B) SEGUNDO TIPO: CUANDO X ES FINITO Obviaremos los límites triviales, cuando el orden de magnitud (el exponente de la X) es distinto entre el numerador y el denominador: GRAN IDEA FUERZA: Dividir numerador y denominador por x n, donde n es el orden de magnitud mayor presente. 9)
Dividimos por el orden de magnitud mayor, que en este caso es x 2
Pero un cualquier número real dividido en infinito es cero.
= 7/2 10)
18
=
=
= =0 Órdenes de magnitud diferentes. Límite es cero y no se habla más del asunto. Ocurre que en el infinito, 7 se desprecia frente a x 2, y es similar a restar “x – x”. El mismo problema, pero con lim x→ -∞ daría como resultado -∞, que NO ES LO MISMO que un límite indefinido. 11)
=
=
= Este paso es válido debido a que la función raíz cuadrada es continua (también se puede con logaritmos, exponentes, factores, sumas, etc). Ahora es fácil, y hacemos lo de siempre en una fracción con límites tendientes a infinito, dividir por x n . En este caso, n = 2. =
= Pero x→ ∞ 19
= =1/3. 12).
Se intuye que 3 x es despreciable comparado con 9 x Por lo tanto, debiéramos ser capaces de deshacernos de 3 x
= 9(0+1)0 =9 13)
Hay que fijarse inmediatamente que el orden de magnitud del numerador es mayor. No importa que se sumen dos órdenes de magnitud menores abajo. La suma de órdenes de magnitud no “alcanza” a un solo orden de magnitud mayor. Se puede detectar al toque que la fracción diverge (sin límite, va a infinito). Ahora hay que demostrarlo. 20
=
= Un número mayor que 1 elevado a infinito es infinito, y uno menor que uno es cero:
= =∞
Este problema también podría resolverse dividiendo arriba y abajo por 5 x y llegando a numerador 1 y denominador 0, o dividiendo por 2x, despreciando 1 frente a (3/2) x y llegando finalmente a (5/3) x, que diverge. 14) lim
7 e x
x ( )
2e
(3 x )
Se debiera detectar de inmediato que el orden de magnitud de abajo es mayor. El 7 que amplifica al numerador es una alpargata comparado con el 3 que amplifica al exponente del denominador. El límite es 0. Ahora demostrémoslo rigurosamente, dividiendo por e x. lim
x ( )
7 ( x )
2e e 7 2 0
(2 x )
=0 15)
Hay que detectar de inmediato que la fracción izquierda del argumento es cero (distintos órdenes de magnitud). Dividimos por 1/x 2
21
= Coseno es función continua en todo el dominio.
= = cos(π/3) =½ TEOREMA DEL SANDWICH (SQUEEZE PRINCIPLE ) Si se cumple
y . Entonces . IMPORTANTE: Este teorema suele usarse para calcular límites de funciones trigonométricas, ya que en el infinito sen(x) y cos(x) están indefinidas. En cuanto vean una función trigonométrica y un límite a infinito, intenten resolver el problema usando este principio. 16)
. Pero cos(x) es una función acotada. . Y nos la arreglamos para llegar a la expression original, sumando, restando, multiplicando y dividiendo por lo que sea necesario: . 22
.
, Debido al teorema del sandwich
. 17) lim
x
x 2 ( sen( x ) cos x 3 ) ( x 3 ) ( x 2 1 )
(Se usará notación inglesa, sin(x) en vez de sen(x), para que lo reconozca el editor de ecuaciones) Como
y
se tiene: .
. Los signos cambiaron de sentido porque (x-3) es negativo. En todo caso, esto no debiera ser muy importante si resulta el sándwich, ya que quedará lo mismo a ambos lados.
.
23
Desarrollando los paréntesis del denominador y dividiendo el límite de la derecha y el de la izquierda por x3, el orden de magnitud mayor, quedará cero a ambos lados cuando x→ -∞, y aplicamos el sanguche. 3.1.4. Límites Laterales, al Infinito e Infinitos.
Límites Laterales Considere la función f , definida por:
y cuya gráfica aparece en la figura 8.5.
fig. 8.5.
Se desea conocer el valor de los siguientes límites:
a. b. c. d. e. El problema ahora se reduce a "sustituir" apropiadamente f(x) en cada uno de los literales anteriores. a. Nótese que en las "cercanías" de
la función f(x) es:
24
. Asi que:
b. Igualmente, en las "cercanías" de forma:
c. También en las "cercanías" de
la función f(x) es:
la función f(x) es:
. De esta
. Por lo tanto,
Ahora, nótese en la fig. 8.5. que para los valores de x anteriores al viene dada por:
. Mientras que para los valores de x próximos a 1 pero
posteriores
viene dado por:
¿Cuál es entonces la f(x) apropiada para sustituir en la parte d.? En situaciones como esta, es útil y natural introducir los llamados Límites laterales. El símbolo: menores que 1).
significa que: x se aproxima a 1 por la izquierda (por valores
El símbolo: mayores que 1).
significa que: x se aproxima a 1 por la derecha (por valores
En el caso particular que interesa, se tiene:
(1)
(2) Igualmente, en el caso e. ocurre algo similar en las cercanías del punto x = 3. Es decir, si
y
si
.
Asi que:
(3)
(4) En general, denotamos por: para expresar que: x se aproxima al valor a por la derecha.
25
Esto es por valores de x > a. para expresar que: x se aproxima al valor a por la izquierda. Esto es por valores de x < a. Lo anterior, nos permite dar una definición informal de los límites laterales. Definiciones. i.Límite por la derecha.
Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la derecha de a, entonces f(x) está cerca de L. ii. Límite por la izquierda.
Decir que , significa que cuando x está cerca, pero a la izquierda de a, entonces f(x) está cerca de L. Observación:
Decir que
es diferente a decir que
.
El siguiente teorema establece la relación que existe entre el límite de una función en un punto y los límites laterales.
TEOREMA.
Observaciones:
i.Otra forma equivalente de enunciar el teorema es la siguiente: no existe, si y solo si, no existe alguno de los límites laterales, o, si existen, son diferentes. ii. Las dos formas del teorema se utilizan para determinar la existencia o no del límite de una función, en particular para la función inicial de estudio en esta
sección, se deduce de (1) y (2) que:
existe y
puesto que deduce que:
,
. De igual forma, de (3) y (4) se no existe, ya que
Límites al Infinito 26
En lo que sigue vamos a estudiar los límites infinitos para diversas funciones. Aquí consideraremos un problema diferente al considerado en capítulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qué pasa con f(x) cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aquí nos preguntaremos qué pasa con f(x) cuando x crece ilimitadamente ( x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los límites al infinito.
Ejemplo 7. Crecimiento ilimitado de x. Sea
, nos preguntamos:
a) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos crecer a x ilimitadamente? b) ¿Qué sucede con f(x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez "más abajo") Solución: La gráfica de la función indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f(x) se acercan arbitrariamente a 2. a) Construyamos una tabla de valores que nos refuerza lo que vemos en la gráfica:
Tabla 4.4 Hacia x
10
100
1000
10000
100000
f(x)
3,125
2,091836
2,009018
2,0009
2,00009
Hacia 2 Con la tabla 4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2. La expresión " x crece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a infinito. Toda la situación anterior se escribe simbólicamente como
b) Para comprobar la respuesta también construiremos una tabla de valores. Tabla 4.5 Hacia 27
x
-10
-100
-1000
-10000
-100000
f(x)
1,25
1,911764
1,991017
1,9991
1,99991
Hacia 2
Nuevamente, a partir de la tabla 4.5 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f(x) se aproximan a 2. La expresión " x decrece sin cota" se simboliza con y se dice que x tiende a menos infinito. La situación anterior se escribe simbólicamente como
Podemos
dar
una
definición
informal
para
estas
situaciones.
Definición 4.3. Límites al infinito a. Decimos que el límite cuando x tiende a infinito de f(x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a L. Simbólicamente
(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a infinito es L). b. Decimos que el límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f(x) se aproximan a M . Simbólicamente
(Esto se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es M ).
Teorema 4.3. Propiedades de los límites al infinito 1. Si k es una constante entonces
y
2. Si n es un número natural par entonces 3. Si n es un número natural impar entonces
28
y y
4. Si m es un número natural par entonces 5. Si m es un número natural impar entonces y 6. Si k es un número racional positivo y r es un número real arbitrario entonces
siempre que xk esté definido.
y
Además, son válidas las propiedades dadas en los teoremas 2.1 y 4.2 si en vez de x tiende a c escribimos o escribimos . Aplicaciones del Teorema 4.3
Ejemplo 9. , por el punto 1 del teorema anterior tomando k=439.
y
y
, por el punto 2 del teorema, tomando n=2 (par). , por el punto 3 del teorema, tomando n=5 (impar).
, por el punto 4 del teorema, tomando m=2 (par).
y y
, por el punto 5 del teorema, tomando m=3 (impar). , por el punto 6 del teorema, tomando r=42 y k=4.
Ejemplo 10. Un método para calcular ciertos límites al infinito.
Calcular Solución: Tenemos
Calcular
.
Solución: Usualmente, con el fin de utilizar las propiedades anteriores, se procede
en estos casos del siguiente modo: 29
Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresión "sacando" el término de mayor exponente, por esta razón dentro del paréntesis quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El objetivo que se persigue con esto es muy claro: estas fracciones que acabamos de mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, el límite solo va a depender del término de mayor exponente. Entonces, (¿por qué?) El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el cálculo de muchos de los límites al infinito.
Calcular Solución: Procedemos del siguiente modo:
Límites al infinito de funciones polinomiales El procedimiento usado es bastante general y podemos deducir de él las dos reglas siguientes.
Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x)=an xn+an-1 xn-1+ ··· +a1 x+a0 (con an diferente de 0) entonces
y también
Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x)=an xn+an-1 xn-1+ ··· +a1 x+a0 (con an distinto de 0) y q(x)=bm xm+bm-1 xm-1+ ··· +b 1 x+b0 (con bm distinto de 0) entonces
30
y además
Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los límites al infinito de un polinomio basta considerar solo el término de mayor grado. Del mismo modo, al calcular los límites al infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los términos de mayor grado de ambos polinomios.
1. Evaluar los siguientes límites:
a.
b.
Solución a. El límite es indeterminado de la forma . Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x ; así:
Como
, x < 0 y se puede escribir
Luego,
31
en el numerador.
b. Este límite también es indeterminado de la forma
.
Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador nuevamente por x y como numerador, asi:
, se puede escribir
en el
2. Evaluar el siguiente límite:
Solución El límite es indeterminado de la forma:
.
Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se divide la expresión inicial por
y luego, se divide numerador y denominador por x .
Esto es,
32
Ahora, como x > 0 se puede escribir fracción. De esta forma:
en el denominador de la última
3. Evaluar los siguientes límites:
a.
b. Solución a. Al dividir numerador y denominador por obtiene:
b. Nótese que como la función
(mayor potencia de x ), se
es una función par, esto
es , significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos, es el mismo. Asi que,
33
Límites infinitos Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin límite a medida que la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado. Crecimiento infinito:
Decrecimiento infinito:
Teorema de límite13:
Teorema de límite14:
34
Teorema de límite15:
Teorema de límite16:
Teorema de lìmite 17:
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7, determine el límite. En los ejercicios 9 a 11. encuentre la(s) asíntota(s) vertical(es) de la gráfica de la función y trácela(s).
35
Soluciones 1. Solución:
2. Solución:
3. Solución:
36
4. Solución:
5. Solución:
37
6. Solución:
FUNCIÓN INYECTIVA
Se dice que una función f es inyectiva si es tal que a preimágenes distintas, asigna imágenes
f
distintas. A
B 4
c 5
d
7
a 8
f es inyectiva, a cada preimagen le corresponde una imagen distinta.
38
g (x) = x 2 – 1 g : ] – ,0] es inyectiva, a cada preimagen le corresponde una imagen distinta.
h (x) = x 2 – 1 h:
k (x) = 2 x – 1 k :
NO es inyectiva, a cada preimagen le corresponden una misma imagen. h (2) = 3 h ( – 2) = 3
es inyectiva, a cada preimagen le corresponde una imagen distinta.
39
FUNCIÓN SOBREYECTIVA SOBREYECTIVA
codominio . En otras Se dice que una función f es sobreyectiva si el ámbito es igual al codominio. palabras, una función es sobreyectiva si todos t odos los elemen e lementos tos del codominio son imagen de al al menos una preimagen. A
f B 6
u w
7
m 9
f es sobreyectiva, a cada preimagen le corresponde al menos una imagen. NO sobran elementos en el codominio.
l es Sobreyectiva
h (x) =
x3
h:
Es sobreyectiva. No sobran elementos 40 en el codominio
g (x) = – x 2 +1 g :
NO es sobreyec sobran elementos en el codominio [ 2, [
41
FUNCIÓN B IYECTIVA
Se dice que una función f es biyectiva si esta es Sobreyectiva e Inyectiva a la vez.
f A
B 6
u w
7
m 9
f es Biyectiva ya que es sobreyectiva e inyectiva a la vez. NO sobran elementos en el codominio y su relación es uno a uno.
g (x) = x 2 – 1 g : ] – ,0] [0, [ es Inyectiva y Sobreyectiva, por , por
tanto es Biyectiva
42
FUNCIÓN INVERSA
Una función tiene Inversa , si y solo si ésta es Biyectiva. Sea f : A
B una función Biyectiva. Por tanto existe f – 1 , si definimos la función de B
en A de manera que a cada elemento de B le corresponda un único elemento de A. La función Inversa se denota de la siguiente manera f – 1. f : A
Sea
f – 1 : B
B
f
A
A
A
B
B 6
u
6
u w
w 7
m
7
m 9
9 f – 1 f (u) = 9
f (m) = 7
f – 1(9) = u
f – 1 (7) = m
f (w) = 4
f (n) = 6
f – 1 (4) = w
f – 1 (6) = n
Ejemplos Determine la función inversa para cada una de las siguientes funciones a) f (x) = 2 x + 11 f :
b) k (x) = – 2 x + 5 k : ] – 10, – 1 [
] 7, 25 [
c) g (x) = x 2 – 2 g : [ 0, [ [ – 2, [ d) g (x) =
h( x )
x 3 2
h: [ 3, [ [ – 2, [
43
Gráfica ejemplo a)
44
Gráfica ejemplo b)
45
Gráfica ejemplo c)
Gráfica ejemplo d)
46
47
Práctica A. Dados los siguientes datos determine 1. Sea f (x) = 3 x – 1 si f (2) = 5 entonces f – 1(5) tiene el siguiente valor ________________
2. Sea g (x) = – x2 – 4, si f : ] – 3, 1
5
]
] – 13, – 9 ] entonces el dominio de g –
(x) es el siguiente intervalo ________________
3. Sea h
– 1
(x) =
x
h
1 , si
– 1
: [ – 1, [
[ 0,
[ entonces el codominio de la
función h (x) es el siguiente intervalo ________________
4. Determine la función inversa de las siguientes funciones e indique como está definida dicha función.. a)
h( x ) 7 4 x
b)
m( x )
c)
j ( x) 9 x2 3
d)
k ( x)
3 x 5
1 5 x 4
h :
m : ,
5 0, 3
3, j : , 0 k : :
[ – 3, 5 [
] – 6, 4 ]
SIMETRIA RESPECTO DEL ORIGEN. FUNCIONES IMPARES: Una función es simétrica respecto del origen O(0, 0) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de O en la misma gráfica.
48
Si P( x, f ( x)) es un punto de la gráfica, su simétrico P '( x ', f ( x ')) pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y P ' son simétricos respecto del origen y sus coordenadas verifican que x ' x f ( x ') f ( x)
P( x, f ( x)) f ( x)
x f ( x )
x
P '( x ', f ( x '))
Por tanto, Una función es simétrica respecto del origen O(0, 0) cuando para todo punto x del dominio D se
tiene que x pertenece a D y f ( x) f ( x) . Las funciones simétricas respecto del origen reciben el nombre de FUNCIONES IMPARES. Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del origen, éstas tienen todos sus exponentes impares.
Ejemplos de funciones simétricas respecto del origen:
La función f ( x)
1
ya que f ( x)
1
1
f ( x)
x x Su gráfica como sabemos es (hipérbola equilátera) : x
f ( x)
f ( x) x3
1 x
La función f ( x) x3 ya que f ( x) ( x)3 x3 f ( x)
La función f ( x) x | x | ya que f ( x) ( x) | x | x | x | f (x )
SIMETRIA RESPECTO DEL EJE DE ORDENADAS ( OY ). FUNCIONES PARES : Sea f : D . Se dice que f es simétrica respecto del eje de ordenadas ( OY ) cuando todo punto de la gráfica de f tiene su simétrico respecto de OY en la misma gráfica. 49
Si P( x, f ( x)) es un punto de la gráfica, su simétrico P '( x ', f ( x ')) pertenece también a la misma gráfica: Si consideramos la siguiente figura, los puntos P y P ' son simétricos respecto del eje OY y sus coordenadas verifican que
P '( x ', f ( x '))
x ' x f ( x ') f ( x)
P( x, f ( x))
f ( x) f ( x)
Una función es simétrica respecto del eje de ordenadas (OY ) cuando para todo punto x del
x
x
dominio D se tiene que x pertenece a D y f ( x) f ( x ) .
Geométricamente significa que si doblamos el papel por el eje OY , las dos partes de la gráfica coinciden. Estas funciones reciben también el nombre de FUNCIONES PARES . Este nombre proviene de que en el caso de que se trate de funciones polinómicas simétricas respecto del eje OY , éstas tienen todos sus exponentes pares.
Ejemplos de funciones simétricas respecto del eje de ordenadas:
La función cuadrática f ( x) x2 ya que f ( x) ( x)2 x2 f ( x) .
La función valor absoluto f ( x) | x | ya que f ( x) | x | | x | f (x )
La función f ( x) x2 | x | ya que f ( x) ( x)2 | x | x2 | x | f ( x) Sus respectivas gráficas serían:
50
f ( x) x
2
f ( x) x 2 | x |
f ( x) | x |
FUNCIÓN PERIÓDICA : Sea f : D . Se dice que f es periódica si existe un número real, no nulo, T, llamado PERIODO, tal que para todo x D , x T D y se verifica que f ( x + T ) = f ( x ) . De la propia definición se deduce que si T es un periodo de la función f , también lo es 2T , 3T ,..., es decir sus periodos son múltiplos enteros del menor periodo positivo T , que recibe el nombre de periodo principal o propio. El conocimiento de la gráfica de una función en un periodo nos permite construir por periodicidad toda la gráfica.
Ejemplos de funciones periódicas: Todas las funciones circulares: Las funciones seno y coseno tienen por periodo T 2 , mientras que la función tangente y la cotangente tienen por periodo T . La función decimal o mantisa: su periodo principal es 1.
51
FUNCIONES ACOTADAS. Funciones acotadas superiormente. Una función f se dice que está acotada superiormente si existe un número real M tal que
M '
f ( x) M x Dom( f ) M
Este número real M recibe el nombre de
COTA
SUPERIOR
de
la
función
f .
Geométricamente significa que ninguna imagen
f ( x)
es superior al valor M y, por tanto, la gráfica de la función f estará por debajo de la recta y = M .
NOTA: Si M es una cota superior de la función f , cualquier otro número real M ’ mayor que M , también es cota superior de f. En consecuencia, si una función está acotada superiormente siempre tendrá un conjunto de cotas superiores. Funciones acotadas inferiormente. Una función f se dice que está acotada inferiormente si existe un número real m tal que f ( x) m x Dom( f ) Este número real m recibe el nombre de COTA INFERIOR de la función f . Geométricamente significa que ninguna imagen es inferior al valor m y, por tanto, la gráfica de la función f estará por encima de la recta y = m.
f ( x)
m
NOTA: Si m es una cota superior de la función f, cualquier otro número real m’ menor que m, también es cota inferior de f . En consecuencia, si una función está acotada inferiormente siempre tendrá un conjunto de cotas inferiores.
Funciones acotadas. Una función se dice que está acotada si lo está inferior y superiormente. 52
m'
Por estar acotada superiormente, existirá un número real M que es mayor o igual que todas las imágenes de la función y por estar acotada inferiormente, existirá otro número real m que es menor o igual que todas las imágenes de la función. En consecuencia,
m, M / m f ( x) M
x Dom( f )
lo cual significa que todas las imágenes de nuestra función estarían comprendidas entre m y M y, por tanto, geométricamente, la gráfica de la función f estaría en la banda comprendida entre las rectas y = m e y = M .
Ejemplo: La función f ( x) sen( x ) es una función acotada ya que está acotada superiormente por M 1 e inferiormente por m 1 .
y 1
f ( x) sen( x)
y 1
Una definición equivalente de función acotada sería la siguiente: f está acotada
k R* / | f ( x) | k
x Dom( f )
Podríamos demostrar que la suma y el producto de funciones acotadas es otra función acotada y, en consecuencia, el conjunto de funciones acotadas tendría la misma estructura que el conjunto de funciones reales de variable real.
Funciones acotadas en un punto. Sea f una función definida de D en
y sea a un punto perteneciente a D ( a D ).
Se dice que f está acotada superiormente en el punto a D si existe un entorno V (a, r ), en el cual la función está acotada superiormente.
Se dice que f está acotada inferiormente en el punto a D si existe un entorno V (a, r ), en el cual la función está acotada inferiormente.
Se dice que f está acotada en el punto a D si está acotada superior e inferiormente en el punto a D
Resulta evidente que si una función f está acotada en su dominio D estará acotada en cada uno de los puntos de D, pero el recíproco no tiene por qué verificarse: una función puede estar acotada en cada uno de los puntos de su dominio y, sin embargo, no estar acotada en 53
su dominio. Es lo que le ocurre, por ejemplo, a la función cuadrática f ( x) x 2 : está acotada en todos sus puntos y no está acotada en su dominio.
Extremo superior. Máximo absoluto. Se llama extremo superior de una función f a la menor de las cotas superiores de dicha función. Se representa por sup( f ). Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de máximo absoluto. Por tanto, se dice que una función f tiene un máximo absoluto o global en un punto a D si se verifica que f ( x) f (a) x D.
Extremo inferior. Mínimo absoluto. Se llama extremo inferior de una función f a la mayor de las cotas inferiores de dicha función. Se representa por inf( f ). Si este valor lo alcanza la función en algún punto de su dominio, recibe el nombre de mínimo absoluto . Por tanto, se dice que una función f tiene un mínimo absoluto o global en un punto a D si se verifica que f ( x) f (a) x D.
Ejemplos:
La función f ( x) x2 está acotada inferiormente por el cero y cualquier valor negativo. La mayor de las cotas inferiores sería el cero, por lo que nuestra función tiene extremo inferior y como existe un punto en el dominio en el que se alcanza este extremo inferior, diremos que nuestra función tiene un mínimo absoluto en el punto x 0 .
La función f ( x)
1 x 2
f ( x) x2
también tiene como
cota inferior máxima el valor k 0 ; sin embargo, esta función no alcanza el valor cero en ningún punto de su dominio, por lo que tiene extremo inferior y no tiene máximo absoluto. 54
f ( x)
1 x 2
Máximos y mínimos relativos de una función. Sea f una función definida de D en
y sea a un punto perteneciente a D.
Se dice que una función f tiene un máximo relativo en un punto a D si existe un entorno de a, V ( a, r ) , en el cual se verifica que f ( x) f (a) x V (a, r ) D. Se dice que una función f tiene un mínimo relativo en un punto a D si existe un entorno de a, V ( a, r ) , en el cual se verifica que f ( x) f (a) x V (a, r ) D. La palabra relativo nos indica que estamos comparando la imagen de f en el punto a con la imagen de puntos próximos al punto a. En consecuencia, no debemos confundir los máximos y mínimos absolutos de una función con los máximos y mínimos relativos de la misma: mientras que los primeros son únicos, los segundos no tienen por qué serlos (puede haber más de uno). También debemos tener en cuenta que los máximos y mínimos absolutos son al mismo tiempo relativos, pero la recíproca no siempre es cierta: un máximo o mínimo relativo no tiene por qué ser absoluto. En el ejemplo cuya gráfica se adjunta vemos que la función tiene un máximo y un mínimo relativos, pero no tiene extremos absolutos.
FUNCIONES MONÓTONAS. Una función f se dice que es monótona en un punto a cuando sea creciente, estrictamente creciente, decreciente o estrictamente decreciente en ese punto.
Funciones crecientes en un punto. Una función es creciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que: si x a f ( x) f (a) x V (a, r ) : si x a f ( x ) f (a)
Esta relación también puede expresarse en función de la tasa de variación de la siguiente forma: pasando todo al primer miembro de las desigualdades obtenemos 55
si x a 0 f ( x ) f (a ) 0 si x a 0 f ( x ) f (a ) 0
Por tanto, si dividimos la variación de la imagen entre la variación del original, tanto si el punto x está a la izquierda como si está a la derecha del punto a, el cociente (tasa de variación media) será mayor o igual que cero: f ( x ) f (a ) x a
0
Funciones estrictamente crecientes en un punto. Una función es estrictamente creciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que: si x a f ( x) f (a) x V (a, r ) : si x a f ( x) f (a)
Esta relación también puede expresarse en función de la tasa de variación de la siguiente forma: pasando todo al primer miembro de las desigualdades obtenemos si x a 0 f ( x ) f (a ) 0 si x a 0 f ( x ) f (a ) 0
Por tanto, si dividimos la variación de la imagen entre la variación del original, tanto si el punto x está a la izquierda como si está a la derecha del punto a, el cociente (tasa de variación media) será mayor o igual que cero: f ( x ) f (a )
Funciones decrecientes en un punto.
x a
0
Una función es decreciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que: si x a f ( x) f (a) x V (a, r ) : si x a f ( x) f (a)
Podemos observar como a medida que va aumentando el original, las imágenes van disminuyendo. Esta relación también puede expresarse en función de la tasa de variación de la siguiente forma: pasando todo al primer miembro de las desigualdades obtenemos si x a 0 f ( x ) f (a ) 0 si x a 0 f ( x ) f (a ) 0
Por tanto, si dividimos la variación de la imagen entre la variación del original, tanto si el punto x está a la izquierda como si está a la derecha del punto a, el cociente (tasa de variación media) será mayor o igual que cero: f ( x ) f (a ) x a
56
0
Funciones estrictamente decrecientes en un punto. Una función es decreciente en un punto a si para cualquier x valor perteneciente a un entorno de a, se verifica que: si x a f ( x) f (a) x V (a, r ) : si x a f ( x) f (a) Podemos observar como a medida que va aumentando el original, las imágenes van disminuyendo.
Esta relación también puede expresarse en función de la tasa de variación de la siguiente forma: pasando todo al primer miembro de las desigualdades obtenemos si x a 0 f ( x) f (a) 0 si x a 0 f ( x) f (a) 0 Por tanto, si dividimos la variación de la imagen entre la variación del original, tanto si el punto x está a la izquierda como si está a la derecha del punto a, el cociente (tasa de variación media) será mayor o igual que cero: f ( x) f (a ) x a
En resumen: Sea f una función definida de D en creciente estrictame nte crecie nte f es decrecient e estrictame nte decrec iente
0
y sea a un punto perteneciente a D.
0 f ( x) f (a) 0 en a D x V (a, r ) : x a 0 0
Ejemplos:
Estudiar la monotonía de la función f ( x) x 3 en el punto de abscisa x = 0. Para ello calculamos la tasa de variación media de la función en el punto de abscisa cero: f ( x) f (0) x 3 0 x 3 x 2 0 x V (0, r ) x 0 x 0 x En consecuencia, al ser la tasa de variación media estrictamente positiva en cualquier entorno de cero, la función cúbica es estrictamente creciente en el punto de abscisa x 0.
Estudiar la monotonía de la función f ( x) x 2 3x 2 en el punto de abscisa x = 1. 57
Para ello calculamos la tasa de variación media de la función en el punto de abscisa uno: f ( x) f (1) ( x 2 3 x 2) 0 ( x 1).( x 2) x 2 0 x V (1, r ) x 1 x 1 x 1 En consecuencia, al ser la tasa de variación media estrictamente negativa en cualquier entorno de uno, la función dada es estrictamente decreciente en el punto de abscisa x 1.
Demostrar que la función f ( x) 1 f ( x) f (a) x a
1
1 x
es estrictamente decreciente en todo punto.
a x
a ax a x 1 0 x a x a ax( x a) ax
x
x V (a, r ) que no contenga al
punto cero.
Funciones monótonas en un intervalo. Sea f una función definida de D en
.
creciente estrictame nte creciente Se dice que f es en un intervalo I D, si x, x' I se decrecient e estrictame nte decrecient e x x' f ( x) f ( x' ) x x' f ( x) f ( x' ) verifica la siguiente relación x x' f ( x) f ( x' ) x x' f ( x) f ( x' )
Es evidente que si una función es monótona en D, lo es en cada uno de sus puntos. Sin embargo, el recíproco es falso: una función puede ser monótona en todos sus puntos y no serlo en su dominio. En la práctica, el método más cómodo para estudiar la monotonía de una función es mediante la tasa de variación media. Operando igual que en la monotonía de una función en un punto llegamos a la siguiente definición de función monótona en un intervalo (equivalente a la anterior):
Sea f una función definida de D en creciente estrictame nte crecie nte f es decrecient e estrictame nte decrec iente
.
0 f ( x) f ( x' ) 0 en I D x, x' I : x x' 0 0
Ejemplos:
Estudiar la monotonía de la función lineal f ( x) ax b según los distintos valores de a 58
Calculamos el cociente incremental: f ( x) f ( x' ) x x'
(ax b) (ax'b) x x'
ax ax' x x'
a( x x' ) x x'
a
Al ser el cociente incremental igual a “a”, tendremos:
Si a > 0, entonces la función será estrictamente creciente.
Si a < 0, entonces la función será estrictamente decreciente.
Demostrar que la función f ( x) x 3 es estrictamente creciente en R. Calculamos el cociente incremental: f ( x) f ( x' ) x x'
x 3 x'3 x x'
( x x' )( x 2 xx' x' 2 ) x x'
x 2 xx' x' 2 0
x, x' R
Por tanto, la función cúbica es estrictamente creciente en R.
EJERCICIOS. 1. Calcular el dominio, ceros y simetrías de las siguientes funciones:
f ( x)
x 2 x 2 1
Al ser una función racional su dominio será el conjunto de números reales salvo los puntos que anulan el denominador. Por tanto: Dom( f ) R {1,1}
Para calcular los ceros de la función igualamos a cero: f ( x) 0
x 2 x 2 1
0
x 2 0 x 2
C ( f ) {2}
Simetría: calculamos f ( x) para compararlo con f ( x) f ( x)
( x) 2 ( x) 2 1
f ( x) f ( x) x 2 x 2 x 2 1 x 2 1 f ( x) f ( x)
Por tanto, no tiene simetría respecto del eje OY ni respecto del origen.
f ( x) x 2 6 x 8
Dominio: Dom( f ) { x R / x 2 6 x 8 0} Veamos cuales son estos puntos: x 2 0 x 2 x 4 x 4 0 x 4 x 2 6 x 8 0 ( x 2)( x 4) 0 x 2 0 x 2 x 2 x 4 0 x 4
Por tanto, Dom( f ) , 2 4, 2, 4
Ceros: 59
x 2 f ( x) x 2 6 x 8 0 x 2 6 x 8 0 x 4
f ( x) L( x 2 1)
Dominio: el dominio de la función logarítmica es el conjunto de puntos que hacen el argumento estrictamente positivo. Entonces: Dom( f ) {x / x2 1 0} puesto que x 2 1 siempre es estrictamente mayor
que cero.
Ceros: f ( x) 0 L( x 2 1) 0 x 2 1 1 x 0 Simetría: f ( x) L(( x) 2 1) L( x 2 1) f ( x)
Por tanto, es una función par y es simétrica respecto del eje OY . 2. Dada la función decimal f ( x) dec( x) razona si: a. Es periódica o no . La parte decimal de un número real es una función que toma siempre valores comprendidos entre 0 y 1: cada vez que incrementamos un número real en una unidad, se repite la misma imagen (sólo varía su parte entera). Es, por tanto, una función periódica de período T = 1. b. Está acotada superiormente e inferiormente . Al tomar siempre valores comprendidos entre 0 y 1, la función f ( x) dec ( x) estará acotada superior e inferiormente; luego, estará acotada: Cotas superiores = {valores mayores o iguales que 1} Cotas inferiores = {valores menores o iguales que 0} c. Tiene extremo superior y extremo inferior . sup( f ) {menor cota superior } = 1 inf( f ) {mayor cota inferior } = 0
d. Tiene máximo y mínimo. No tiene máximo puesto que el valor 1 no lo alcanza en ningún punto mientras que si tiene mínimo ya que el valor cero se alcanza en cualquier punto de abscisa entera.
EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Calcular dominio, ceros y simetrías de las siguientes funciones: f ( x) x2 | x |
f ( x)
1 x 1 2
f ( x)
x 1 x 1
2 f ( x) 1 sen x f ( x) L(1 x )
2. Hallar razonadamente el máximo o el mínimo de las siguientes funciones: f ( x) x 2
f ( x)
1 x 2
f ( x) | x |
60
f ( x) x 2 | x |
f ( x)
1 x 2 1
