Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables.

LÍMITE Y CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE VA VARIAS RIAS VARIABLES José Espina Alvarado

U

na de las ideas centrales del aparato actual del Análisis Matemático es la de límite. En ella se apoyan las demostraciones infinitesimales, caracterizadas por juicios hipotético-deductivos y el -δ δ ). uso de desigualdades específicas (construcción ε -

El concepto de Límite y el camino hasta él datan de épocas remotas en la historia de la matemática.

La primera forma teórica de razonar con límites procede de los antiguos griegos, en particular Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño); Eudoxo de Cnido y Arquímedes de Siracusa utilizaron el "Método de Exhaución " para encontrar el área de una circunferencia con el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del Análisis Matemático. Hasta los trabajos de I. Newton publicados en 1704, lo que entonces era una sucesión de pasos aislados se convirtió en el principio de una investigación seria. Fue Newton quien introdujo el término limes (límite) sin dar una definición formal, Sir Isaac Newton

presuntamente por su “evidencia”.

En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo irlandés G. Berkeley (1685-1753). Los partidarios de los métodos con límites, especialmente el francés J. D’Alembert (1717-1783), defendieron con vehemencia su legitimación. Este investigador afirmó que Newton vio en el Cálculo Diferencial sólo el método de definición de límites de relaciones. Sin embargo, el mismo D’Alembert no pudo encajar en algún método racional a la eliminación de infinitesimales de Leibniz. A principios del siglo XIX las obras de muchos matemáticos reflejaban la necesidad objetiva de diseñar una teoría de límites como base del Análisis Matemático y una reestructuración radical de este último. El más destacado de estos creadores fue Agustín Luís Cauchy (1789-1857). A. Cauchy cursó estudios en la escuela Politécnica de París, culminando su formación en el Instituto de Vías de Comunicación de la misma ciudad, donde además trabajó como INGENIERO , llegando a publicar

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.







Límite y Continuidad de Funciones 2 cerca de 800 trabajos de investigación. En la escuela Politécnica dictó conferencias sobre Análisis Matemático, publicadas posteriormente en tres títulos: “Curso de Análisis” (1821), “Resumen de conferencias sobre el cálculo infinitesimal” (1823), y “Conferencias sobre aplicaciones del análisis a la geometría” (2 tomos, 1826 y 1828). En estas obras se construye por primera vez el Análisis Matemático sobre la base de una teoría de límites, preludio inmediato a su estado actual. En su “Curso de Análisis”, Cauchy describe en mucho los fundamentos contemporáneos de esta rama de la matemática. En él se introduce el concepto de magnitud “infinitesimal” como una variable cuyo límite es cero. La continuidad de una función se explica como la correspondencia de un incremento infinitesimal de la función a un incremento infinitesimal del argumento. Con gran detalle se expone lo referente a la convergencia de series infinitas, cuya existencia se condiciona con la existencia del límite de las sumas de un número finito de términos analizando rigurosamente al resto. No menos importante fue el aporte del eminente matemático checo Bernardo Bolzano (1781-1848), cuyos trabajos lamentablemente, fueron reconocidos treinta años después de su muerte. Bolzano formuló y demostró en 1817 que si un conjunto de números reales está acotado superiormente (o inferiormente) entonces tiene un extremo superior (o inferior), adelantándose al profesor berlinés Karl Weierstrass (1815-1897), quien formuló este teorema en 1860. También antes que Cauchy, Bolzano había deducido el criterio de convergencia de sucesiones y dado una definición rigurosa de continuidad de una función; a él se debe el concepto de continuidad lateral y también la demostración de que una función continua entre dos de sus valores, toma todos los intermedios. A todo aquello se sumaron las ideas de Weierstrass sobre la naturaleza del número real. La utilización sistemática de los conceptos de extremos superior e inferior de conjuntos numéricos, construcción de una función que no es derivable en su dominio y otros, fueron resultados importantes introducidos por Weierstrass al Análisis Matemático. En ese armonioso y riguroso sistema, ya para 1880 se había elaborado la forma actual de las definiciones y el aparato de demostraciones, con base en razonamientos condicional-deductivos (“Para cualquier ε positivo, existe

δ también

positivo, tal que…”), y el

simbolismo correspondiente. Por fortuna, la historia del Análisis tiende a ser infinita. I.

Límite de una función real







Límite de una función vectorial Definición I-1.

Lim

( x , y ) →( x 0 , y 0 )

En esta definición, los símbolos

3

f (x , y ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 (x , y ) ∈ Bδ * ((x 0 , y 0 ) ) ⇒ f (x , y ) ∈ Bε (L ) . ε y δ representan

números reales positivos arbitrariamente pequeños y se

supone que Bδ * ((x 0 , y 0 )) I U ⊆ Bδ * ((x 0 , y 0 )) ⇒ Bδ * ((x 0 , y 0 )) I U ≠ ∅ ; en este caso (x 0, y 0 ) se llama punto de acumulación del conjunto U . Esto significa que toda bola reducida de ese punto contiene puntos de U diferentes del centro, dicho de otro modo, en dicha bola hay infinitos puntos del dominio distintos del centro. El hecho de que (x 0, y 0 ) no este en U es irrelevante: la función puede tener límite en un punto donde no esta definida, por ejemplo en la frontera de un dominio no cerrado. Geométricamente puede ilustrarse la definición como sigue. z L+ L L-

y

( x 0,y 0)

x

δ







Límite de una función vectorial

4

menor que ε . Dicho de otro modo, f (x , y ) está entre (L-ε ) y (L+ε ) siempre que1 (x , y ) este en el disco reducido de centro (x 0, y 0 ) y radio δ . Debe destacarse que para probar un límite se tiene entonces la necesidad de encontrar un

δ para

cada valor de

ε

libremente escogido; por esta razón se recapitula la

definición anterior para hacerla operacional. Definición I-1.(Forma Operacional) Lim

(x , y ) →( x 0 , y 0 )

f (x , y ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0

f (x , y ) − L < ε

s.q. 0 < (x − x 0 )2 + ( y − y 0 )2 < δ .

Más aun, como x − x 0 = (x − x 0 )2 ≤ (x − x 0 )2 + (y − y 0 )2 < δ se puede escribir Lim

(x , y ) →( x 0 , y 0 )

f (x , y ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0

f (x , y ) − L < ε s.q.

0 < x − x 0 < δ , 0 < y − y 0 < δ .

Al igual que en los límites de funciones de una variable real, el reto es definir la cota superior de f (x , y ) − L sabiendo que y − y 0 y x − x 0 están acotados superiormente por algún δ , teniendo presente

que por definición la cota así determinada debe ser igual o menor ε . Ej. 1) Demuestre que

Lim

( 4x − 5y + 2) = −20 .

( x ,y ) →( −3,2)

Sol.Por definición Lim

( x ,y ) →( −3,2)

( 4x − 5y + 2) = -20 ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0

4x − 5y + 2 + 20 < ε

s.q.

0 < (x + 3)2 + (y − 2)2 < δ

Sabiendo que 0 < x + 3 < δ y 0 < y − 2 < δ se define una cota para 4x − 5y + 2 + 20 . Esto se logra manipulando algebraicamente esta ultima expresión de manera que en cada sumando del argumento de la función valor absoluto aparezca al menos uno de los factores (x + 3) o ( y − 2) . De este modo, 4x − 5y + 2 + 20 = 4x − 5y + 22 = 4[(x + 3) − 3] − 5[(y − 2) + 2] + 22 = 4(x + 3) − 5(y − 2)

…factorización;

≤ 4 x + 3 + 5 y − 2

…desigualdad triangular y propiedad del valor absoluto de un producto; …propiedades del producto y la a dición de

< 4δ + 5δ = 9δ ≤ ε

Luego, para cualquier ε seleccionado, basta tomar

desigualdades; uso de la definición. δ ≤ ε

9 que verifique el límite dado.







Límite de una función vectorial Ej. 2) Demuestre que

Lim

( x , y ) →(1,−1)

5

(1 − xy + 2x 2 − 2y 3 ) = 6 .


2

3

(1 − xy + 2x − 2y ) = 6 ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0

1 − xy + 2x 2 − 2y 3 − 6 < ε

( x ,y ) →(1,−1)

s.q.

0 < (x − 1)2 + ( y + 1)2 < δ

Estrategia 1. Factorización Simultánea por Sumas y Diferencias de Potencias n-ésimas. 1 − xy + 2x 2 − 2y 3 − 6 = 2y 3 − 2x 2 + xy + 5

[

] [

]

= 2 (y 3 + 1) − 1 − 2 (x 2 − 1) + 1 + x [( y + 1) − 1] + 5 = 2(y 2 − y + 1)(y + 1) − 2 − 2(x + 1)(x − 1) − 2 + x (y + 1) − [(x − 1) + 1] + 5 = 2(y 2 − y + 1)(y + 1) − 2(x + 1)(x − 1) + x (y + 1) − (x − 1) − 1 + 1 = 2(y 2 − y + 1)(y + 1) − (2x + 3)(x − 1) + x (y + 1) ≤ 2 y 2 − y + 1 y + 1 + 2x + 3 x − 1 + x y + 1

Nótese que en cada sumando uno de los factores esta acotado por definición. Para el otro factor es necesario calcular una cota superior, con el objeto de encontrar una cota para la suma y garantizar garantiza r así que 1 − xy + 2x 2 − 2y 3 − 6 < ε . Como la función de estudio es un polinomio es factible suponer

δ ≤

1 (¿por

qué?), y entonces x − 1 < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇒ 0 < x < 2

y + 1 < 1 ⇒ −1 < y + 1 < 1 ⇒ −2 < y < 0

(1a )

(1a )

2

(1b ) ↑

⇒ x < 2 +(3)

(2) ⋅ (1a ) : 0 < 2x < 4 ⇒ 3 < 2x + 3 < 7

: 0 < y 2 < 4

(2b ) +(1)

( −1) ⋅ (1b ) : 0 < −y < 2 ⇒ 1 < −y + 1 < 3

(2a )

(2a )

2 (2b ) + (3b ) : 1 < y − y + 1 < 7 ⇒

⇒ 2x + 3 < 7

y 2 − y + 1 < 7

Así tenemos: 1 − xy + 2x 2 − 2y 3 − 6 < 2(7)δ + 7δ + 2δ = 23δ ≤ ε

Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar

δ ≤

(1b )

mín(1, ε 23) que verifique el límite dado.

(3b )








6

Estrategia 2. Factorización Simultánea usando Potencias de Binomios. 1 − xy + 2x 2 − 2y 3 − 6 = 2y 3 − 2x 2 + xy + 5 = 2[(y + 1) − 1]3 − 2[(x − 1) + 1]2 + x [(y + 1) − 1] + 5 = 2(y + 1)3 − 6( y + 1)2 + 6(y + 1) − 2 − 2(x − 1)2 − 4(x − 1) − 2 + x (y + 1) − [(x − 1) + 1] + 5 = 2(y + 1)3 − 6( y + 1)2 + 6(y + 1) − 2(x − 1)2 − 4(x − 1) + x (y + 1) − (x − 1) = 2(y + 1)3 − 6( y + 1)2 + 6(y + 1) − 2(x − 1)2 − 5(x − 1) + x (y + 1) 3

2

2

≤ 2 y + 1 + 6 y + 1 + 6 y + 1 + 2 x − 1 + 5 x − 1 + x y + 1 < 2δ 3 + 6δ 2 + 6δ + 2δ 2 + 5δ + 2δ = 2δ 3 + 8δ 2 + 13δ

El hecho que hayamos utilizado x < 2 indica que inicialmente hemos supuesto 3

δ

δ ≤ 1 ,

y en consecuencia

≤ δ 2 ≤ δ . Por tanto:

1 − xy + 2x 2 − 2y 3 − 6 < 2δ 3 + 8δ 2 + 13δ < 2δ + 8δ + 13δ = 23δ ≤ ε

Lo cual nos lleva a las conclusiones ya obtenidas. Ej. 3) Demuestre que

Lim1

(x ,y )→( 2 , 21 )

1 =1. x + y

Sol.Por definición 1 = 1 ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 ( x ,y )→( 2 , 21 ) x + y Lim1

1 − 1 < ε s.q. 0 < (x − 21 ) 2 + (y − 21 ) 2 < δ x + y

1 − x − y 1 −1 = x + y x + y = ( 21 − x ) + ( 21 − y ) ≤ ( x − 21 + y − 21 )

1 …(factorización) x + y

1 …(desigualdad triangular) x + y

De este último resultado debe destacarse que el primer factor está acotado según la definición; no obstante, la cota del segundo factor es desconocida. Como

1 no es acotado cuando (x + y ) → 0 , la x + y









Límite de una función vectorial x − 21 < δ ⇒ −δ < x − 21 < δ ⇒ 21 − δ < x < 21 + δ

(1)

y − 21 < δ ⇒ −δ < y − 21 < δ ⇒ 21 − δ < y < 21 + δ

(2)

(1)+(2): 1 − 2δ < x + y < 1 + 2δ (3) ↑−1

1

⇒ s.q. 1 2 0 1 + 2 −

δ >

δ

<

7

(3)

1 1 1 1 < ⇒ < x + y 1 − 2δ x + y 1 − 2δ

Para llegar a este resultado se ha exigido 1 − 2δ > 0 , o sea,

δ <

1 2

. Ahora podemos suponer que si

δ ≤

1 4

,

entonces: 1 <2 x + y ⇒

1 − 1 < (δ + δ )(2) = 4δ ≤ ε x + y

Finalmente, para cualquier ε seleccionado, basta tomar Ej. 4) Demuestre que

Lim

(x , y ) →( 0,0 )

3xy x 2 + y 2

δ ≤

mín( 1 4 , ε 4) que verifique el límite dado.

=0.


(x , y ) →( 0,0 )

3xy 2

2

x + y

= 0 ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0

3xy 2

2

x + y

< ε

s.q. 0 < x 2 + y 2 < δ

Nótese que a diferencia de los ejemplos anteriores, el denominador de la función de estudio es NULO en el punto de acumulación. En este caso la estrategia consiste en simplificar el denominador utilizando algún








8

2. Si existen los límites de varias funciones en el mismo punto, entonces se verifica el álgebra de límites (adición, producto, cociente y composición), considerando las restricciones pertinentes a indeterminaciones o indefiniciones. Así, se puede extender la definición dada para funciones reales de dos variables a más dimensiones. Definición I-2. Sea f : U ⊂ ℜn → ℜ con regla y = f ( x ) , y sea el extremo (final) de a ∈ ℜ n un punto de acumulación de U . Entonces, Lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 x ∈ Bδ * (a ) ⇒ f ( x ) ∈ Bε (L ) ;

x →a

que en forma operacional puede escribirse como: Lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 f ( x ) − L < ε s.q. 0 < x − a < δ

x →a

Nótese que la condición suficiente indica que 0 < x i − a i < δ , donde x i − a i = ( x − a ) ⋅ eî . Luego, en las pruebas de límites puede procederse en forma análoga al caso de dependencia bidimensional. Aquí podemos hacer la siguiente abstracción geométrica.

U ⊂ ℜ

y

n

f δ

a

L+ L L-

En el caso de funciones reales de varias variables, para demostrar la NO existencia de límite o para







Límite de una función vectorial Ej. 5) Usando trayectorias trayectoria s muestre que la función de regla f (x , y ) =

9

y no tiene límite en (0,0). x + y 2

Sol.Considérese la familia de trayectorias parabólicas por el origen r (t ) = mt î + t 2 jˆ, con m ∈ ℜ . Luego, 1 t 2 t 2 = Lim = 2 2 2 2 t →0 (mt ) + t t →0 (1 + m )t 1 + m 2 Lim

Como este resultado no es único puesto que depende de m , la función dada no tiene límite en (0,0).



Proposición I-2. Sea f : U ⊂ ℜn → ℜ tal que Lim f ( x ) = L . Supongamos que existen los límites x →a

Lim f ( x ) , con x i = x ⋅ eî y a i = a ⋅ eî . Entonces existe y coincide con el límite por trayectorias el límite

x i →a i

⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎞ ⎟ ⎜ Lim ⎜ Lim ⎜⎜L ⎜ Lim ⎜L ⎜⎜ Lim ⎜⎜ ⎜ Lim f ( x ) ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ L⎟ ⎟ L⎟⎟ ⎟ = L , x 1 →a 1 ⎜ x 2 →a 2 ⎜ ⎜ x i →a i ⎜ ⎠ ⎠ ⎠ ⎠⎟ ⎠⎟ ⎠⎟ ⎟ ⎝ ⎝ x n −1 →a n − 1 ⎝ ⎝ x n →a n ⎝ ⎝ ⎝ ⎠

así como los n !-1 !-1 límites determinados al cambiar el orden de prioridad en el cálculo. El recíproco de esta proposición tampoco es correcto, pero si lo es el contrario: si los n ! límites así calculados no coinciden entre sí, o con el límite por trayectorias, entonces no existe límite para la función dada en el punto indicado. Ej. 6) Usando límites reiterados muestre que la función de regla f (x , y ) = Sol.-

y no tiene límite en (0,0). x + y 2







Límite de una función vectorial 10 II.


Ahora interesa hablar del caso de las funciones f cuyas imágenes son vectores en ℜm , específicamente del valor límite de tal función en el algún punto del conjunto de partida que en general, supondremos es ℜn . Esto proporcionará la visión más general sobre la piedra angular de este curso. Definición II-1. Sea f : U ⊂ ℜn → ℜ m con regla y = f ( x ) , y sea el extremo (final) de a ∈ ℜn un punto de acumulación de U . Entonces, Lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 x ∈ Bδ * (a ) ⇒ f ( x ) ∈ Bε (L ) ,

x →a

que en forma operacional puede escribirse como: Lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 f ( x ) − L < ε s.q. 0 < x − a < δ

x →a

Nótese que la condición suficiente indica que 0 < x i − a i < δ , donde x i − a i = ( x − a ) ⋅ eî . Luego, en las pruebas de límites puede procederse en forma análoga al caso de dependencia real n-dimensional. Ahora podemos hacer la siguiente abstracción geométrica. U ⊂ ℜn

ℜm f ε δ

L

a

Considérese y = f ( x ) =

m

f ˆ j con f : U ⊂ ℜ j ( x )e ∑ j 1 j

j

=

m

n

m

→ ℜ y U = I U j . Luego, j =1







Límite de una función vectorial 11 Ej. 7) Demuestre que

Lim

(x + y + z , x 2 + 2y 2 + 3z 2 ) = (6,24) .

(x , y ,z ) →(2,2,2)

Sol.Por definición, Lim

2

2

2

(x + y + z , x + 2y + 3z ) = (6,24) ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0

(x , y ,z ) →(2,2,2)

(x + y + z − 6)2 + (x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 24)2 < ε s. q. 0 < (x − 2)2 + (y − 2)2 + (z − 2)2 < δ

Considerando simultáneamente cada función componente, x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 24 = [(x − 2) + 2]2 + 2[(y − 2) + 2]2 + 3[(z − 2) + 2]2 − 24

x + y + z − 6 = (x − 2) + (y − 2) + (z − 2)

= (x − 2)2 + 4(x − 2) + 2( y − 2)2 + 8(y − 2) + 3(z − 2)2 + 12(z − 2)

≤ x − 2 + y − 2 + z − 2

≤ (x − 2)2 + 4 x − 2 + 2(y − 2)2 + 8 y − 2 + 3(z − 2)2 + 12 z − 2

< 3δ ≤ ε

⇒ x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 24 < 6δ 2 + 24δ δ ≤1

⇒ x 2 + 2y 2 + 3z 2 − 24 < 30δ ≤ ε

Luego, para cualquier ε seleccionado basta tomar

δ =

mín(ε 3 ,1, ε 30) = mín(1, ε 30) que verifique el límite

dado. ⎛ 1 − cos xy

Ej. 8) Muestre que la función f (x , y ) = ⎜⎜

⎝

y 2

,

(x − a )y ⎞⎟ no tiene límite en (a ,0). ,0). (x − a )2 + y 2 ⎠⎟

Sol.Estudiando los límites de cada función componente, se tiene que: (i)

(1 − cos xy )(1 + cos xy ) 1 1 − cos xy x 2 sen2 xy a 2 lim = lim = lim = (x , y ) →( a , 0) ( x ,y ) →(a ,0 ) 2 (x ,y )→(a ,0) x 2y 2 2 y 2 y 2 (1 + cos xy ) ˆ

ˆ









Límite de una función vectorial 12 Teorema 1. Sean las funciones vectoriales f : U ⊂ ℜn → ℜm , g :V ⊂ ℜn → ℜm y h :W ⊂ ℜm → ℜ , la función real p : Ω ⊂ ℜn → ℜ , y el extremo de a un punto de acumulación común a todos los dominios n -dimensionales. -dimensionales. Si los límites de las funciones correspondientes en ese punto son Lim f ( x ) = L , Lim g ( x ) = M y Lim p ( x ) = R ,

x →a

x →a

x →a

entonces: (i)

Lim ( f + g )( x ) = L + M

x →a

(ii) Lim ( f ⋅ g )( x ) = L ⋅ M x →a

(iii) Lim ( p f )( x ) = R L x →a

L (iv) Lim ( f p )(x ) = , s.q. R ≠ 0 x →a R

(v)

Lim f ( x ) = L

x →a

⎞ (vi) Lim (h o f )( x ) = h ⎛ ⎜ Lim f ( x ) ⎟ = h (L ) s.q. L ∈W x →a ⎝ x →a ⎠ III.

Continuidad de una función de varias variables







Límite de una función real 13 4.

Si la función f no es continua en un punto a de acumulación de U , se dice es discontinua en a . En tal caso la discontinuidad es evitable o esencial según que exista o no el límite de f en a . Se dice que se “evita la discontinuidad“ si se cambia lo que sucede en a por el valor límite de f allí; con esta manipulación se consigue que f pase a ser continua en a . Concretamente, la corrección a realizar es: ⎧⎪ f ( x ) , si x ≠ a ( ) fc x = ⎨ Lim ( ) , si . x =a ⎪⎩x →a f x

Las propiedades de límites de funciones que se estudiaron en el apartado anterior, conducen a propiedades análogas para las funciones continuas. Teorema 2. Sean las funciones vectoriales f : U ⊂ ℜn → ℜm , g :V ⊂ ℜn → ℜm y h :W ⊂ ℜm → ℜ , la función real p : Ω ⊂ ℜn → ℜ . Si f , g y p están definidas sobre el mismo conjunto D ⊂ ℜn , y son continuas en a ∈ D ; si además f (U ) ⊂ W , entonces: (i)

( f + g ) ∈ C {a }

(ii)

( f ⋅ g ) ∈ C {a }







Límite de una función real 14 Es obvio que la función sólo presenta una discontinuidad, del tipo esencial para el eje de ordenadas. x 2 + y 2 (x + 1) Ej. 10) Estudie la continuidad de la función cuya regla es f (x , y ) = . x 2 + y 2

Sol.Aquí la función dada es racional y por tanto es continua en ℜ2 − {( 0,0)} (¿por qué?). Estudiaremos entonces el límite de f en (0,0). ⎛ ⎛ x 2 ⎞ x 2 + y 2 (x + 1) ⎞⎟ ⎜ ⎟ Lim(1) = 1 Lim ⎜⎜ Lim Lim = 2 2 ⎟ x →0⎜ x 2 ⎟ = x x →0 y →0 →0 + x y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎛ y 2 ⎞ x 2 + y 2 (x + 1) ⎞⎟ ⎜ ⎟ = Lim ⎜⎜ Lim Lim (1) = 1 2 2 ⎟ y →0⎜ y 2 ⎟ = y Lim y →0 x → 0 →0 x y + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Cualquier trayectoria conducirá también a este resultado. Por tanto, debemos usar la definición para probar que el valor del límite en cuestión es 1. En efecto, x 2 + y 2 (x + 1) Lim = 1 ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 (x , y )→(0,0 ) x 2 + y 2

x 2 + y 2 (x + 1) − 1 < ε s.q. 0 < x 2 + y 2 < δ 2 2 x + y

x y 2 x (x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 (x + 1) − = ≤ = x < δ ≤ ε 1 x 2 + y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2







Límite de una función real 15 Ej. 11) Estudie la continuidad de la función ⎛ sen 2x cos 2y + cos 2y sen 2y x 4 − y 4 ⎞ ⎟. , f (x , y ) = ⎜⎜ y −x ⎟ ln ln( ) x y − − a a − ⎝ ⎠

Sol.Sean f 1 (x , y ) =

sen 2x cos 2y + cos 2y sen 2y x 4 − y 4 ( , ) f x y = y , las funciones componentes de f . 2 ln x − ln( −y ) a −x − a y

Luego, Dom(f 1 ) = (x , y ) ∈ ℜ2 a −x ≠ a y = (x , y ) ∈ ℜ2 − x ≠ y = ℜ2 − {(x 0 ,−x 0 )} , y Dom(f 2 ) = {(x , y ) ∈ ℜ2 ln x ≠ ln( −y ), x > 0, y < 0} = {(x , y ) ∈ ℜ2 x ≠ − y , x > 0, y < 0} = {(x , y ) ∈ ℜ2 x > 0, y < 0} − {(x 0 , −x 0 )}

⇒ Dom(f ) = Dom(f 1 ) I Dom(f 2 ) = (x , y ) ∈ ℜ2 x > 0, y < 0 − {(x 0 , −x 0 )}

Si x < 0 o y > 0 , o si xy = 0 ∧ x 2 + y 2 ≠ 0 , f 2 no está definida y la discontinuidad es esencial. Estudio del límite de cada función componente cuando (x , y ) → (x 0 ,−x 0 ) . sen 2x cos 2y + cos 2y sen 2y (sen 2x + sen 2y ) cos 2y Lim = x y − 1 − a y ( x , y ) →( x 0 , −x 0 ) ( x ,y ) →( x 0 ,−x 0 ) a − a a x Lim

(2x +2y ) (2x 2y )







Límite de una función real 16 Luego, f tiene discontinuidad evitable en (x 0 ,−x 0 ) . La función corregida es: ⎧⎛ sen 2x cos 2y + cos 2y sen 2y x 4 − y 4 ⎞ ⎟ , si x ≠ −y , ⎪⎜⎜ y −x ⎟ ln ln( ) f (x , y ) = ⎨⎝ x y − − . a − a ⎠ ⎪ , si x = − y (− ln2a a x cos2 2x ,4x 4 ) ⎩



REFERENCIAS

1. El Cálculo con Geometría Analítica, por Louis Leithold. HARLA. 2. Cálculo Infinitesimal de Varias Variables, por Juan de Burgos. McGraw-Hill. 3. Calculus, por Tom Apostol. Reverté. 4. Cálculo Diferencial, por José Mazón. McGraw-Hill. 5. Cálculo de Varias Variables con Algebra Lineal, por Philip Curtis. LIMUSA 6. Cálculo Vectorial, por Claudio Pita. Prentice Hall. 7. Cálculo Vectorial, por Marsden/Tromba. Addison-Wesley Iberoamericana. 8. Funciones de Varias Variables, por DeSalvo/Torres. EDILUZ. 9. Historia de las Matemáticas, por K. Ríbnikov. MIR

Límite y Continuidad de Funciones de Varias Variables.

Recommend Documents