Instituto Universitario de Tecnología “Alonso Gamero” I Semestre del 2006 Cátedra: Matemática I LIC. LILA V. LUGO G.
Coordinación de Matemática I
Límites Trigonométricos De manera General los límites trigonométricos se pueden resolver aplicando un limite notable o una identidad trigonométrica y en algunos casos se debe aplicar ambas operaciones. Sin embargo a veces es necesario realizar algunas operaciones algebraicas como multiplicar y dividir por un numero, factorizar, multiplicar por la conjugada o aplicar las propiedades de los límites. Los siguientes límites son considerados como CASOS NOTABLES 1)
Lim
senx 1 x
2)
5)
Lim cos x 1
6)
8)
Lim
x 0
x 0
x 0
tan x 1 x
9)
x senKx 1 3) Lim senx 0 4) Lim 1 x 0 x 0 senx Kx 1 cos x 1 cos x 1 Lim 0 7) Lim x 0 x 0 x 2 x2
Lim x 0
Lim x 0
x 1 tan x
10)
Lim x 0
tan Kx 1 Kx
Algunas IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS más usadas son:
Identidades Básicas
senx
1 1 1 cos x tan x cosecx sec x cot anx
senx cos x cot anx cos x senx
Identidades Fundamentales de la Trigonometría
sen2x+cos2x=1
tan x
1+tg2x=sec2x
1+ctg2x=csc2x
Identidades de la suma de ángulos
cos(x y) cosxcosy senxseny 1 cos 2 x 1 cos 2 x sen 2 x cos2 x 2 2
sen(xy)=senx cosycosx seny
Identidades de ángulos Doble
sen2x=2senxcosx
cos2x=cos2x-sen2x
Identidades de ángulos medio
sen( x / 2)
1 cos x 2
cos(x / 2)
1 cos x 2
A continuación algunos ejemplos resueltos que permite analizar cada caso en particular.
Ejemplos:
1. 2. 3.
si decimos que x-1 = y entonces tendremos:
4.
seny 1 y 0 y
lim
de igual manera
5. 6.
7.
8.
sen 2 x sen0 0 sen 2 x 1 sen 2 x 1 sen 2 x 2 lim lim 2 lim x 0 3x 3(0) 0 x0 3x 3 x0 x 3 x0 2 x 3
lim
cos x 2 cot anx
lim
x
cos
2
cot an
2
0 0
lim
x
2
cos x cos xsenx lim lim senx sen 1 x cos x x 2 cos x 2 2 senx
Para resolverlo utilizaremos un procedimiento común en algunos límites trigonométricos y que consiste en multiplicar por el conjugado de una expresión. Multiplicamos por el conjugado de que es
recordando que sen2x + cos2x=1 sen2x= 1-cos2x
9. recordando que tan x senx
cos x
10.
al evaluar resulta:
sen (
3
1 2 cos
Desarrollemos
) 3 = sen (0) 0 0
3
1 2
1 2
11
0
: recordando la identidad: sen(xy)= senx cosy cosx seny
Luego:
11.
1 tan 1 tan x 4 11 0 lim 2 2 x 2(1 tan ) 2(1 1) 0 4 2(1 tan x ) 4
1 cos x cos x lim 1 cos x cos x lim cos x cos0 1 1 cos x 1 cos x lim lim x 0 tan x senx x 0 senx x 0 senx senx cos x x 0 senx(1 cos x) x 0 senx sen0 0 senx cos x
lim
12.
tan 2 x tan 2 0 0 0 x 0 1 cos x 1 cos 0 (1 1) 0
lim
2
senx 2 1 cos x 1 cos x tan x sen 2 x 1 cos2 x cos x lim lim lim lim lim 2 2 x 0 1 cos x x 0 1 cos x x 0 1 cos x cos x x 0 1 cos x cos x x 0 1 cos x cos2 x
lim
x 0
1 cos x 1 cos0 1 1 2 cos2 x
cos2 0
12
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1) 2) 3) 4)
5) 6) 7) 8) 9)
x 1 sen 2 x 2 sen3x 3 lim x 0 sen 2 x 2 sen 2 x lim 2 x 0 2 cos x tan x lim x senx 2 lim
x 0
=9
senx tan x 0 1 cos x senx cos x 2 lim x 1 tan x 2 4 tan x senx lim 0 x 0 1 cos x senx tan x lim 0 x 0 x lim
x 0
10)
= -2
11)
1 tan x 2 x 1 tan x 4 2
12) 13)
lim
1 cos x 1 x 0 4 x2 1 cos x 1 lim x 0 sen 2 x 2 lim
14)
=2
15)
= 3/5
16)
= 3/5
1 senx 1 senx 1 x 1 cos 2 x 1 18) lim x 3 4 3 xsen 2 x 17)
