ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO FACULTA FACULTAD D DE ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS EMP RESAS ESCUELA: INGENIERÍA EN GESTIÓN DE TRANSPORTE CARRERA: INGENIERÍA EN GESTIÓN DE TRANSPORTE
TEMA: LÍMITES Y SUS CONCEPTOS, CARACTERÍSTICAS, PROPIEDADES Y LAS CLASES DE INDETERMINACIONES
ANÁLISIS MATEMÁTICO NOMBRE: SANTIAGO ISRAEL PEÑAFIEL VILLA
CÓDIGO: 563
SEMESTRE: SEGUNDO “3”
NOMBRE DEL DOCENTE: ING. PATRICIO PATRICIO VILLAGOMEZ
PERIÓDO ACADÉMICO: ABRIL – AGOSTO !"6
LIMITES Límite matemti!" E# $%&'$(&)*%, '+ #ímite ' -# *#*'/& 0-' 1'*2)' +% tendencia 1' -#% -*')4# -#% -#*)4#, % $'1)1% 0-' + /%2($'&2 1' '% -*')4# -#*)4# ' %*'2*%# % 1'&'2$)#%1 %+2. E# *(+*-+ 7'/'*)%+$'#&' '# %#(+)) 2'%+ 8 $%&'$(&)*9 '&' *#*'/& ' -&)+):% /%2% 1')#)2 + *#*'/& -#1%$'#&%+' 1' *#'2;'#*)%, *#&)#-)1%1, 1'2)%*)4#, )#&';2%*)4#, '#&2' &2. Límite $e %&a '%&!i(& L% 1')#)*)4# 1'+ +<$)&' $%&'$(&)* '# '+ *% 1' -#% -*')4# ' $-8 /%2'*)1% % +% 1')#)*)4# 1'+ +<$)&' 1' -#% -#*)4# *-%#1 = &)'#1' %. D'*)$ 0-' +% -*')4# a tie&$e )a*ta *% #ímite a , 0-' !"&+e,-e e* !"&+e,-e&te 7% %9, n
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lim
f ( x ) = L
x→ c
f ( x ) → F-#*)4#
L → R'-+&%1 C → N$'2 R'%+ lim x→ 2
√ x −1=√ 2 − 1=√ 16−1 =√ 15 4
4
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
SUMA lim x →C
[ f ( x )+ g ( x )]= lim f ( x ) + lim g ( x ) x →C
x→ C
L + N
RESTA lim x →C
[ f ( x )− g ( x )]= lim f ( x )− lim g ( x ) x →C
x→ C
L.N MULTIPLICACIÓN
lim x →C
[ f ( x ) ∙ g ( x ) ]= lim f ( x ) ∙ lim g ( x ) x →C
x →C
/L0/N0 DI1ISIÓN lim f ( x ) f ( x ) x→ C = lim x →C g ( x ) lim g ( x ) x →C
L N
E2PONENTE lim x →C
g ( x ) [ f ( x )] =[ lim f ( x )]
lim
x→C
x →C
g( x )
INDETERMINACIONES o ∞ ; ;∞− ∞ o ∞
C
0
0
C
C ∞
∞ C
=∞ ; =0 ; = 0 ; =∞ ; 0. C = 0 ; C ±0 =C
LIMITES
INFINITOS
E=)&'# %2) *% 1' +<$)&' 1' -#*)#' 0-' )#+-*2%# +% #*)4# 1'+ )#)#)&
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C-%#1 -#% %2)%+' &)'#1% % )#)#)&, -/#;%$ x, -&)+):%2'$ '+ <$+ 1'+ )#)#)& 1' '&% $%#'2%. E& );#))*% 0-' +% %2)%+' x &$% %+2' %2)&2%2)%$'#&' ;2%#1', '# $%;#)&-1 A#%+<&)*%$'#&' 1)2'$ 0-', )?%1 *)'2& #$'2 2'%+ R, x + -/'2%2( '# %+2 %+-&, *-%+0-)'2% '% '+ R &$%1.
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R'-+&% 1' '/'*)%+ )#&'2@ '+ *$/2&%$)'#& 1' *)'2&% -#*)#' '# '+ )#)#)&. C-%#1 '& +<$)&' '=)&'#, 8 # #$'2 2'%+', /1'$ *#&2-)2 +% '*-%*)4# 1' +% %<#&&% >2):#&%+' - +)*-% 1' +% -#*)4#. D')#)2'$ '#&#*' '+ +<$)&' 1' -#% -#*)4#, *-%#1 +% %2)%+' )#1'/'#1)'#&' &)'#1' % )#)#)&, /%2% *-%+0-)'2 );#.
S) 4+ ' &$% -# 1' + *%, %&% %%1)2 +% 2'&2)**)4# *22'/#1)'#&'. P2 '?'$/+, ) 0-'2'$ *%+*-+%2 '+ +<$)&' 1' , *#)1'2%2'$ +% 1')#)*)4# %#&'2)2 *# +% %+'1%1 1' 0-' =H! . CÁLCULO DE LÍMITES L *#*'/& 1')#)1 /'2$)&'# )#&21-*)2 >'22%$)'#&% /%2% '+ *(+*-+ 1' +<$)&'. A /%2&)2 1' +% 1')#)*)#' /-'1'# 1'$&2%2' /2/)'1%1' %+;'2%)*%, +)&%1% '# 1'&%++' % *#&)#-%*)4#.
PROPIEDADES GENERALES
S) 7=9 8 ;7=9 # 8 ' -# '*%+%2, );-)'#&'
-#*)#' 1' %2)%+' 2'%+ '#&#*', ' *-$/+'# +% /2/)'1%1'
INDETERMINACIONES L% /2/)'1%1' ;'#'2%+' /'2$)&'#, ?-#& *# +% 1')#)*)4#, *%+*-+%2 +<$)&' )#1'&'2$)#%1 $'1)%#&' &2%#2$%*)#' %+;'2%)*%. J%8 %2) &)/ 1' )#1'&'2$)#%*)#', '#&2' '++% +% 0-' ' $-'&2%# '# +% &%+% );-)'#&'. C#)1'2%2 K *$ '+ +<$)&' 0-' &)'#1' % )#)#)& 8 ! " %+ +<$)&' 1' -#% -#*)4# 0-' &)'#1' % ! ",
2'/'*&)%$'#&'.
LIMITES TRIGONOMETRICOS
EJERCICIOS 2
x −4 4 −4 0 = = lim 2− 2 0 x→ 2 x −2
lim x→ 2
lim x → 4
( x + 2 )( x −2 ) lim ( x + 2 )=2 + 2 =4 ( x −2) x→ 2
2
−16 − = lim 16 16 = 0 0 √ x − 2 x→ 2−2
x
4
2 x −16 √ x + 2 ( x − 4 )( x + 4 )( √ x + 2 ) = . lim x − 4 x → 4 √ x − 2 √ x + 2
¿ ( x + 4 ) ( √ x + 2 )= 4 + 4 ( √ 4 + 2 )=8 ( 4 )= 32
LIMITES 5UE TIENDEN AL INFINITO
2
lim x → ∞
x + x ∞ = 2 3 x + 1 ∞
lim x → ∞
x
2
x
2
3 x
x
x
+
x 2
x
4
1
1+
x
=
1
+
2
1+
2
1
3+
2
=
x
3+
2
1
∞ 1
∞
=
1 3
2
2
x −2 x + 5 lim 4 x → ∞ 2 x + x − 1 x
4
x
4
−
x
2 x
x
2 x
4
4
2
4
x
+
x
4
5
+
x x
4
2
x
=
1
−
1−
4
2+
2
+
5
x
1
1
x
x
− 3
1−
4
4
=¿
2+
2
∞ 1
∞
+
−
5
∞ 1
∞
lim ¿ x→ ∞
3
x − 2 x lim x →∞ x − 1 3
x 2 x 2 2 − − 1 1− 3 3 2 x x x ∞ 1 = = = =∞ lim 1 1 1 1 1 0 x →∞ x − − − 3 3 2 3 ∞ ∞ x x x x
=
1 2
∞
LÍMITE TRIGÓNOMETRICO lim x→ 0
lim x→ 0
sin x
x
=1
4 sen 4 x 4 x
lim 4 =4 x→ 0
lim x→ 0
1− cosx
x
2
2 sen lim x→ 0
lim x→ 0
lim x→ 0
x
2
2
x 2
2 sen
=lim x→ 0
2
x
sen
2
x 2
()() x
2
2
x
=
1 2
2
tgx x senx cosx senx = = 1 = 1 =1 x xcosx cosx cos ( 0 )
( x − x ) ctgx 3
lim x→ 0
2
( 1−cosx )
() x
x ( x −1 ) cosx 2 x ( x −1 ) cosx 2 ( x −1 ) cosx = = lim x x x x→ 0 2 x 2 sen senx 2 sen sen senx 2 sen 2
2
2
¿
2
2
2
( 0 −1 ) cos ( 0 ) −1 = =∞ sen
0
0
2
LIMITE ALGEBRÁICO 1
(
lim 1 + x
)
x
lim
=e
x→ 0
x→ 0
( )=
lim 1 + x→ 0
lim x→ 0
1
lim
x
x
x→ 0
e
( ) 2+ x
x
x
( ) ( ) x 2 + x x
x
=¿ 1+
x
2
x
lim x→ 0
¿
2
∙2
=e
lim 2
x→ 0
=e
2
( )
[ f ( x ) ] g x
[ f ( x ) ] g( x )
