LAS CONGRUENCIAS SEGÚN GAUSS David Palomino Alva Consultor en Educación Matemática
[email protected] Que 3 + 5 debe ser 8 lo sabemos desde la escuela primaria, pero, ¿puede ser que 3 + 5 nos de 1?, este resultado en apariencia imposible y absurdo se presenta en algunos sistemas aritméticos. En estos sistemas se producen curiosas igualdades que por extrañas que nos parezcan, las utilizamos en nuestra vida cotidiana quizá sin tener plena conciencia de ello. Estos sistemas son estudiados por la teoría de congruencias. El primero en unificar y sentar las bases de la moderna teoría de congruencias fue Carl Friedrich Gauss, sin duda alguna el más grande matemático que ha existido. Hijo de un humilde albañil Gauss fue un niño prodigio. Son muchas las historias que hablan de su precocidad en el difícil mundo de los números. En 1800, cuando solo contaba 24 años de edad, edad, publicó a sus expensas, Disquisitiones Aritmeticae, Aritmeticae , en ella por vez primera introdujo el concepto de congruencia y desarrolló un importante estudio de la aritmética modular.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
La definición de Gauss dice que dos números son congruentes entre sí respecto a un módulo m, si su diferencia es un múltiplo de m. Así 8 es congruente a 22 módulo 7, ya que 22-8 = 14 es múltiplo de 7, a esta relación se le denota simbólicamente por 8 22 (mod 7). Vemos entonces, que para que dos números sean congruentes entre sí módulo 7, basta que tengan el mismo residuo al ser dividido entre 7.
Regresando a nuestra paradójica igualdad de principio del artículo, vemos que ella es posible si nos referimos a la aritmética de módulo 7. La teoría de congruencias, o aritmética modular, ha sido una herramienta importantísima en el desarrollo de la teoría de números, a partir de sus resultados últimamente se han diseñado algoritmos muy eficientes para la ocultación de mensajes (criptografía).. En la vida diaria, sistemas de aritmética modular son utilizados ampliamente, el reloj es tal vez el ejemplo más palpable. En él contamos las horas en aritmética módulo 12, si la manecilla está actualmente señalando las 3, y quisiéramos saber qué número señalará después de 100 horas, bastaría hallar el residuo de dividir 100 + 3 = 103 entre 12, es decir que marcaría el 10. Los días de la semana están en aritmética módulo 7, debido a esto es posible calcular el día de la semana de cualquier fecha dada mediante unos pocos cálculos. De hecho hay varios métodos para lograr esto. Antiguamente, decir el día de la semana de una fecha pedida era una suerte realizada por los calculadores prodigio en sus presentaciones.
Calendario perpetuo de bolsillo
En la antigüedad, una de las pocas aplicaciones del álgebra de congruencias fue el cálculo de la fecha para la Pascua de resurrección, la determinación de esta fecha depende básicamente de la fecha de pascua de los hebreos , la variación de la fecha de pascua entre el 22 de marzo y el 25 de abril la estableció el emperador Constantino , y el reglamento fue adoptado en el Concilio de Nicea en le año 325 d.c La
norma establece que el día de pascua es el primer domingo después de la luna llena que ocurre en o después del vigésimo primer día de marzo , y si la luna llena ocurre el domingo, el día de Pascua es el domingo siguiente. En 1800, Gauss planteó un método sencillo que nos da la fecha de pascua invirtiendo unos pocos minutos en su cómputo, solo hay que seguir los pasos indicados. Las constantes m y n necesarias para el cálculo (Tabla 1) desde el año 1900 hasta el 2099 son m= 24 y n= 5.
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“a” el resto de la división del año propuesto entre 19. “b” el resto de la división del año propuesto entre 4. “c” el resto de la división del año propuesto entre 7. “d” el resto de la división (19a+ m):30 “e” el resto de la división (2b +4c +6d+ n):7
La fecha de Pascua es 22 +d +e en marzo o d + e-9 en abril. Existen dos excepciones. Si d= 28 y e= 26 o si d= 29 y e = 6 la fecha es una semana antes. Año m n
1582-1699 22 2
1700-1799 23 3
1800-1899 23 4
1900-2099 24 5
2100-2299 25 6
Tabla 1 Si hacemos el cálculo para el 2011 obtenemos a= 16, b= 3,c =2, d =28, e =5 por lo tanto Pascua de resurrección será el 28+ 5 -9 = 24 de abril, luego el jueves santo será el 21 y el viernes santo el 22 de abril. ¡Ya pueden planificar sus vacaciones!
Una aplicación lúdica de las congruencias ocurre en la magia, existen numerosos trucos basados en las congruencias, finalizaremos este artículo presentando uno para adivinar la edad de una persona. Pida a alguien que piense un número cualquiera, que lo multiplique por 9 y al resultado que le sume su edad, ahora pídale que le diga el total. Dicho total será congruente con la edad de la persona en módulo 9. Por ejemplo, si es una persona de 23 años y el número pensado fue 15, el total dado será 15x9 + 23 = 158 5 (mod 9) , es decir que la persona debe tener 5, 14, 23,32, 41, .... y como fácil estimar la edad de una persona en lapsos de 9 años, usted decirle su edad.
El mago americano Max Maven aplica la matemática en sus presentaciones.
BIBLIOGRAFÌA
Gardner M. (2002): Damas, parábolas y otras mistificaciones matemáticas Gedisa, Barcelona Willerding M. (1969): Conceptos matemáticos, un enfoque histórico. Editorial Continental México
