Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

DIFERENSIAL DAN INTEGRAL LAPORAN PRAKTIKUM MATEMATIKA DASAR

oleh Veniola Forestryani 141810101035

LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2014

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial terdiri dari persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsiil. Persamaan diferensial biasa adalah jika turunan fungsi bergantung pada satu variabel bebas, sedangkan persamaan diferensial parsiil adalah jika turunan fungsi bergantung pada lebih dari satu variabel bebas. Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak, Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksi matematika. Dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Turunan juga sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. Salah satu cabang dari matematika yaitu integral. Integral merupakan lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integral tertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan-batasan.

Fondasi penemuan integral pertama kali diletakkan oleh Cavalieri sekitar 1635. Ia adalah seorang matematikawan dari Italia. Karya Cavalieri berpusat di sekitar pengamatan bahwa kurva dapat dianggap sketsa oleh sebuah titik bergerak dan daerah tersebut seharusnya membuat sketsa oleh garis bergerak. Dalam bidang ekonomi penerapan integral diantaranya ada 4, yaitu untuk menentukan persamaan-persamaan dalam perilaku ekonomi, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya dan mencari fungsi penerimaan total dari fungsi marginalnya. Dalam bidang matematika penerapan integral juga digunakan untuk menentukan luas suatu bidang, menentukan panjang busur dan menentukan volum benda putar, sedangkan dalam fisika integral digunakan untuk analisis rangkaian listrik arus AC, analisis medan magnet pada kumparan, dan analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

1.2 Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah yang akan dibahas pada praktikum kali ini adalah: 1. Bagaimana membuat fungsi turunan dan diferensial dalam MATLAB 2. Bagaimana cara mengoperasikan fungsi turunan dan integral pada MATLAB 3. Bagaimana mengoperasikan fungsi turunan dan integral dengan operasi matematik dalam MATLAB

1.3 Tujuan Praktikum Adapun tujuan praktikum pada praktikum kali ini adalah: 1. Membuat fungsi turunan dan diferensial dalam MATLAB 2. Dapat mengoprasikan fungsi turunan dan integral pada MATLAB 3. Dapat mengoprasikan fungsi turunan dan integral dengan operasi matematik dalam MATLAB

1.4 Manfaat Manfaat yang didapatkan dari praktikum kali ini yaitu praktikan dapat mengoperasikan fungsi turunan dan integral pada aplikasi MATLAB dan memanfaatkannya untuk kehidupan sehari-hari.

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Turunan (Diferensial) Persamaan diferensial adalah suatu bentuk persamaan yang memuat derivatif (turunan) satu. Persamaan diferensial dapat pula dinotasikan sebagai :

(Lestari, 2013).

2.1.1 Persamaan Diferensial Biasa dan Ordernya Persamaan diferensial biasa merupakan sebuah bentuk persamaan yang memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas suatu fungsi. Penentuan order suatu persamaan diferensial tergantung pada kandungan fungsi turunan di dalam persamaan diferensial tersebut. Order atau tingkat suatu persamaan diferensial merupakan pangkat tertinggi turunan dalam persamaan diferensial. Contohnya yaitu: a.

: persamaan diferensial biasa order pertama

b.

: persamaan diferensial biasa order kedua

c.

: persamaan diferensial biasa order ketiga (Lestari, 2013).

2.1.2 Persamaan Diferensial Parsial Persamaan diferensial parsial merupakan sebuah bentuk persamaan yang memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas suatu fungsi. Contohnya yaitu:

a. b.

(Lestari, 2013).

2.1.3 Aturan Pada Operasi Turunan Jika u dan v adalah sebuah fungsi, dan c adalah konstanta, maka : 1. 2. 3. 4. (

5. Jika

, maka :

(Hertanto, 2009).

2.2 Integral Kalkulus integral adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua konsep yang saling berhubungan, integral tak tentu dan integral tertentu. Proses pencarian nilai dari sebuah integral dinamakan pengintegralan (integration). Simbol dari integral adalah

, berupa S yang dipanjangkan

(singkatan dari "sum"). Dengan kata lain, kalkulus integral mempelajari dua operator linear yang saling berhubungan. Integral tak tentu adalah antiturunan, yakni kebalikan dari turunan. F adalah integral taktentu dari f ketika f adalah turunan dari F, sedangkan integral tertentu memasukkan sebuah fungsi dengan outputnya adalah sebuah angka, yang mana memberikan luas antar grafik yang dimasukkan dengan sumbu x. Contohnya adalah jarak yang ditempuh dengan lama waktu tertentu. Apabila kecepatannya adalah konstan, perhitungan bisa dilakukan dengan perkalian, namun jika kecepatan berubah, maka diperlukan

sebuah metode yang lebih canggih. Salah satu metode tersebut adalah memperkirakan jarak tempuh dengan memecahkan lama waktu menjadi banyak interval waktu yang singkat, kemudian dikalikan dengan lama waktu tiap interval dengan salah satu kecepatan di interval tersebut, dan kemudian menambahkan total keseluruhan jarak yang didapat. Konsep dasarnya adalah, jika interval waktu sangat singkat, maka kecepatan dalam interval tersebut tidak berubah banyak. Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan b seperti pada Gambar 2.2.1.

Gambar 2.2.1 Jika f(x) pada diagram di atas mewakili kecepatan yang berubah-ubah, jarak yang ditempuh antara dua waktu a dan b adalah luas daerah S yang diarsir. Untuk memperkirakan luas, metode intuitif adalah dengan membagi jarak antar a dan b menjadi beberapa segmen yang sama besar, panjang setiap segmen disimbolkan Δx. Untuk setiap segmel, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f(x). Nilai tersebut misalkan adalah h. Maka luas daerah persegi panjangan dengan lebar Δx dan tinggi h memberikan nilai jarak yang ditempuh di segmen tersebut. Dengan menjumlahkan luas setiap segmen tersebut, maka didapatkan perkiraan jarak tempuh antara a dan b. Nilai Δx yang lebih kecil akan memberikan perkiraan yang lebih baik, dan mendapatkan nilai yang tepat ketika kita menngambil limit Δx mendekati nol. Integral tertentu ditulis sebagai:

∫

dan dibaca "Integral dari a ke b dari f(x) terhadap x." Integral tak tentu, atau anti derivatif, yang ditulis sebagai: . Oleh karena turunan dari fungsi y = x2 + C adalah y ' = 2x (di mana C adalah konstanta),

(Sutedjo, 2013).

2.2.1 Integral Tertentu Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan). Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b] jika

∑

Selanjutnya

ada. disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a ke

b, dan didefinisikan:

∫

∑

Gambar 2.2.2

menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva dan sumbu x dalam selang

, jika

bertanda negatif

maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x (Purnomo, 2010). a. Teorema Dasar Kalkulus Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut : Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka –

= Selanjutnya ditulis

–

(Purnomo, 2010).

2.2.2 Integral Fungsi Trigonometri Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah: 1.

=

2.

=

3.

= =

4.

5.

=

sec x  C cos x  C csc x  C

=

sin x  C

=

sec x  tan x  C

6.

=

csc x  cot x  C

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah: A.  sinm xdx, dan  cosm xdx dengan m bilangan ganjil atau genap positip. Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas . Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan (Purnomo, 2010).

2.2.3 Integral Parsial Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana dan

Karena

fungsi

diperoleh :

)

, maka menurut definisi differensial dan turunan

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh : ∫

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u

dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan

tersebut (Purnomo, 2010).

BAB 3. METODOLOGI

3. 1 Alat dan Bahan Adapun alat dan bahan yang digunakan pada praktikum pengenalan matlab kali ini adalah: 3.1.1

Alat

a. Laptop. Intel(R) Core(TM) i3-3110M CPU @ 2,40 GHz 2,40 GHz 3.1.2

Bahan

a. MATLAB 7.8.0 (R2009a). 3.2 Prosedur Adapun prosedur pengaktifan pada praktikum pengenalan MATLAB kali ini adalah: 1. Hidupkan computer atau laptop. 2. Install program MATLAB. 3. Buka Program MATLAB dengan double klik icon MATLAB pada desktop atau klik kanan pada icon MATLAB kemudian open. 4. Aplikasi MATLAB R2009a siap untuk digunakan.

BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Hasil 4.1.1

Menghitung Turunan

Gambar 4.1

Gambar 4.2

Gambar 4.3

Gambar 4.4

Gambar 4.5

4.1.2

Menghitung integral

Gambar 4.6

Gambar 4.7

Gambar 4.8

4.2 Pembahasan 4.2.1 Perhitungan Turunan Proses dari menurunkan disebut dengan differensiasi. Turunan mempunyai operasi-operasi yang dapat diselesaikan menggunakan program MATLAB. Pengoperasian turunan dimulai denganmendefinisikan variabelvariabe yang akan digunakan. Pada awalnya, variabel dapat didefinisikan dengan menggunakan syntax : sym(‘ ‘), namun syntax tersebut hanya bisa digunakan untuk mendefinisikan satu variabel saja. Agar pendefinisian dapat dilakukan untuk berberapa variabel, syntax yang digunakan yaitu:

Contohnya dapat dilihat pada Gambar 4.1, yaitu dengan mengetikkannya seperti: >> kemudian tekan tombol Enter.

Langkah selanjutnya yaitu dengan memasukkan suatu fungsi pada MATLAB seperti: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi turunan pada MATLAB seperti pada Gambar 4.1: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Pengoperasian turunan di atas artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x. Secara umum, syntax turunan yaitu:

Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan langsung memasukkan fungsinya seperti pada Gambar 4.2. Contoh pengoperasian perhitungan turunan pada Gambar 4.2 dapat dilakukan dengan mengetikkan: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Pencarian turunan sebanyak n kali, dapat menggunakan syntax sebagai berikut:

Artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x sebanyak n kali. Contohnya dapat dilihat pada Gambar 4.3, yaitu dengan mengetikkannya seperti: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Atau dengan mengetikkannya seperti: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Pengoperasian turunan diatas memiliki arti bahwa fungsi

diturunkan

terhadap x sebanyak 3 kali. Pengoperasian

turunan

pada

MATLAB

dapat

dilakukan

dengan

memasukkan fungsi yang terdiri dari 2 variabel seperti pada Gambar 4.4. Contoh pengoperasian perhitungan turunan pada Gambar 4.4 dapat dilakukan dengan memasukkan suatu fungsi pada MATLAB seperti: >>

kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Langkah selanjutnya yaitu dengan mengetikkan operasi turunan pada MATLAB seperti pada Gambar 4.5:


Pengoperasian turunan diatas memiliki arti bahwa fungsi terhadap y. Pengoperasian turunan fungsi

diturunkan

terhadap x dapat dilakukan

dengan mengetikkannya seperti:


–

4.2.2 Perhitungan Integral Berdasarkan percobaan pada praktikum kali ini didapatkan hasil bahwa dasar-dasar pengoperasian integral pada MATLAB antara lain :

Jenis Integral

Simbol

Syntax dalam Matlab

∫ ∫ Tabel 4.1 Operasi perhitungan integral dapat dilakukan dengan mendefinisikan variabel terlebih dahulu. Variabel telah terdefinisi pada langkah sebelumnya, oleh karena itu, pengoperasian integral dapat langsung dilakukan dengan mengetikkan syntax turunan pada MATLAB seperti pada Gambar 4.6: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Pencarian integral sebanyak n kali, dapat menggunakan syntax sebagai berikut: (

(

)

)

Artinya, fungsi f(x) diintegralkan terhadap x sebanyak n kali. Contohnya dapat dilihat pada Gambar 4.3, yaitu dengan mengetikkannya seperti: >> kemudian tekan tombol Enter dan hasil akan muncul seperti:

Pengoperasian integral diatas memiliki arti bahwa fungsi terhadap x sebanyak 3 kali.

diintegralkan

Pengoperasian integral terhadap x sebanyak

kali tidak dapat dilakukan

langsung seperti pada syntax diferensial

. Hal tersebut terjadi

karena apabila syntax yang dimasukkan ke dalam MATLAB seperti pada Gambar 4.7: >> kemudian apabila menekan tombol Enter, hasil yang akan muncul yaitu:

–

–

–

Hasil yang didapatkan diatas merupakan pengoperasian integral tentu dengan batas atas sebanyak

dan batas bawah

bukan pengoperasian integral terhadap x

kali seperti yang dimaksud. Pengoperasian

dengan pengoperasian

sama

.

Pengoperasian turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan memasukkan fungsi yang terdiri dari 2 variabel seperti pada Gambar 4.4, yaitu . Fungsi

sudah didefinisikan pada langkah sebelumnya, oleh

karena itu, pengoperasian integral terhadap

dapat langsung dilakukan dengan

mengetikkan syntax pada MATLAB seperti pada Gambar 4.8:


Pengoperasian integral terhadap

dengan batas atas 1 dan batas bawah 0 dapat

dilakukan dengan mengetikkannya ada MATLAB seperti pada Gambar 4.8, yaitu: >>


BAB 5. PENUTUP

5.1 Kesimpulan Adapun kesimpulan dari praktikum turunan dan integral kali ini adalah: 1. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas. 2. Integral merupakan lawan dari proses diferensial. 3. Operasi turunan pada MATLAB dapat dilakukan dengan mendefinisikan variabel-variabel yang digunakan, kemudian memasukkan syntax . 4.

Integral dalam matematika yang telah terdefinisi pada MATLAB yaitu meliputi integral tak tentu dan integral tentu.

5.2 Saran

1. Gambar 5.1 Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.1 saat praktikum dilaksanakan. Kesalahan terdapat pada kekurangan tanda kurung pada akhir syntax. Seharusnya penulisan ‘

’diapit oleh dua tanda kurung, sehingga

penulisan menjadi '

'.

2. Gambar 5.2 Terdapat kesalahan seperti Gambar 5.2 saat praktikum dilaksanakan. Kesalahan terdapat pada penulisan syntax trigonometri pada MATLAB seharusnya yaitu ‘

Penulisan ’.

DAFTAR PUSTAKA

Sutedjo, Haryanto. 2013. Kalkulus Diferensial Integral. Jakarta: Gunadarma Lestari, Dwi. 2013. Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Hertanto, D.B. 2009. Turunan, Integral, Persamaan Diferensial dan Transformasi Laplace Dalam Penerapannya di Bidang Teknik Elektro. Yogyakarta: Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Purnomo, Dwi. 2010. Kalkulus Integral . Malang: Fakultas Pendidikan Ilmu Eksakta Dan Keolahragaan Ikip Budi Utomo Malang

LAMPIRAN

1. Carilah nilai turunan ke – 4 dari fungsi-fungsi berikut: Mendefinisikan f(x) dan g(x):

a. f(x) = √

b. g(x) =

√

|

|terhadap x

2. Carilah nilai integral dari fungsi berikut terhadap x: Mendefinisikan f(x), g(x), dan h(x):

a. f(x) =

;dengan batas 0 sampai

;

b. g(x) =


; dan

c. h(x) =


3. Sebuah benda bergerak mengikuti lintasan tertentu dengan posisi terhadap waktu memenuhi persamaan s(t) =

. Tentukan kecepatan dan

percepatan benda tersebut masing-masing saat 15 dan 4 detik. Kecepatan

Percepatan

4. Tentukan luas daerah diantara kurva

dan

–

.

Laporan Diferensial Dan Integral Matlab

Recommend Documents