BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang
Integral adalah salah satu topik dalam matematika yang dipelajari ketika duduk di bangku SMA. Integral mempunyai banyak aplikasi di dalam operasi hitungnya diantaranya adalah menentukan persamaan garis atau kurva yang diketahui gradien garis singgungnya, menentukan persamaan persamaan gerak benda yang diketahui persamaan laju benda, menghitung luas luas suatu kurva yang diketahui persamaan kurva dan batas- batasnya, menghitung volume benda putar, dan menghitung menghitung luas benda. Salah satu aplik ap likasi asi dari pembelajaran pembe lajaran integral adalah dalam pembuatan botol. Ketika membuat botol, diperlukan keahlian untu k menghitung menghitung volume benda putar dan d an menghitung menghitung luas benda untuk membuat hiasan botol dengan menggunakan intgeral. intgeral. Dari perhitungan yang digunakan, terciptalah suatu bentuk botol unik yang dapat digunakan sesuai dengan kemauan dan dapat diperjualbelikan. Untuk mengembangkan suatu merk dan menambah penjualan, diperlukan diferensiasi kemasan untuk menarik pembeli. Untuk membuat diferensiasi kemasan salah satunya adalah diperlukannya pembeda antara satu produk dengan produk yang lain sebagai identitas suatu merk. Selain itu, untuk meningkatkan nilai estetika desain suatu botol atau disebut juga “eye catching”, botol dapat dibuat unik agar menarik dan nyaman untuk dipegang dan diminum sebagai fungsi utamanya. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk menguraikan aplikasi dari integral untuk menghitung volume benda putar dan menghitung luas benda dalam pembuatan botol. 1.2.Tujuan Adapun tujuan dari praktikum ini adalah: 1. Untuk mengetahui aplikasi integral dalam kehidupan sehari-hari. 2. Untuk mengetahui cara menghitung luas dan volume. 1.3.Manfaat Manfaat yang didapatkan dari praktikum ini adalah penulis dapat mengoperasikan fungsi integral (menghitung luas dan volume) pada botol dan memanfaatkannya untuk kehidupan sehari-hari.
1
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Integral Setiap operasi perhitungan matematika mempunyai invers. Atas dasar itulah para ahli mencari invers dari operasi peritungan diferensial atau sering disebut turunan. Kemudian, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz menemukan hubungan antara diferensial dan integral sebagai operasi saling invers. Menurut Wilson Simangunson (1998: 425) mendefinisikan integral sebagai “kebalikan turunan. Jika turunan suatu fungsi diintegralkan, maka hasilnya adalah fungsi semula. Integral dinotasikan dengan ∫…dx”.
Hubungan ini kemudian dikembangkan oleh Georg Feiedrick Bernhard Riemann, sehingga ditemukannya definisi integral tentu. Oleh karena inilah integral tentu sering disebut integral Riemann. Wilson Simangunson (1998: 5), integral didefinisikan dengan “misal F(x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x) atau F(x) dapat didiferensialkan sehingga F’ (x) = f(x). Dalam hal demikian, maka F(x) dinamakan sebagai himpunan anti pendiferensialan (anti-turunan) atau himpunan pengintegralan dari fungsi F’(x)= f(x)” Integral dapat dianggap sebagai pencarian luas daerah di bawah kurva f(x), antara dua titik a dan b seperti pada Gambar 2.1.1.
Gambar 2.1.1 Rumus dasar integral adalah kaidah perkalian
∫ a dx = ax + c dan ∫ axn dx = (a/(n+1))xn+1 + c, n ≠ -1. Dengan
∫ = ∫ ∫ ∫
dan kaidah penjumlahan
.
2.1.1. Integral Tentu
Integral tentu memiliki batas-batas integral, yaitu
∫
a ke b). A disebut batas bawah dan b batas atas. Jika F’(x)
] =
.
∫ ± =
(dibaca: integral f(x) dari
= f(x), maka
∫ =
Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menghitung volume benda putar. Dimana, menurut Wilson Simangunson (1998;85) “benda putar adalah suatu benda ruang yang diperoleh dari hasil pemutaran suatu daerah di bidang datar terhadap garis
tertentu (sumbu rotasi)”. 2.1.2. Integral substitusi trigonometri Selain dengan cara subtitusi dan parsial, perhitungan integral juga bisa dilakukan dengan metode substitusi trigonometri yakni, mengubah/memisalkan variabel pada fungsi yang ingin diintegralkan dengan trigonometri. 2.1.3. Integral substitusi Integral substitusi merupakan salah satu teknik pengintegralan dengan cara mensubstitusikan/memasukkan variabel baru yang tepat sehingga diperoleh bentuk fungsi baru yang lebih mudah diselesaikan. Misalkan = dengan adalah fungsi yang memiliki turunan, maka berlaku = ′ sehingga = ′ sehingga :
′
′
dapat diubah menjadi . ( ) = ( ) = ( )+ = ( ( ) + . Pembahasan diatas merupakan dasar dari teknik substitusi untuk penyelesaian integral. Dari teorema tersebut, kita dapat melihat serta menyimpulkan bahwa fungsi yang penyelesaiannya dengan substitusi terdiri dari perkalian sebuah fungsi dengan turunannya.
2
2.1.4. Integral trigonometri Integral trigonometri atau yang lebih dikenal dengan integral fungsi trigonometri adalah integral yang memuat fungsi trigonometri. Nilai integral dengan rumus trigonometri atau substitusi trigonometri. Untuk mengintegralkan trigonometri, berikut adalah rumus-rumus trigonometri antara lain: ∫ sin x dx = -cos x + c 1. ∫ cos x dx = sin x + c 2.
3. 4. 2.2.
∫sin = cos ∫cos = sin
Trigonometri Trigonometri (trigonon = tiga sudut) dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang membahas mengenai relasi antara sudut dan sisi pada segitiga, terutama segitiga siku-siku. Trigonometri ini identik dengan beberapa istilahistilah seperti sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cosecan (cosec), secan (sec), dan cotangen (cot). Fungsi trigonometri adalah suatu relasi atau hubungan yang menghubungkan setiap anggota domain dengan tepat satu pada setiap anggota kodomain yang dinyatakan dalam bentuk sinus, cosinus dan tangen.
3
BAB 3 PEMBAHASAN 3.1 Volume Botol 3.1.1 Desain Bentuk Botol
3.1.2
Desain Asli
3.1.3
Desain Geogebra
3.1.4
Tabel Fungsi FUNGSI
f(x) = (sin(2 (x + 4.2) - 20) + 3) f(x) = sin(2 (x + 4.2) - 20) + 3 i: y = 4
BATAS BAWAH
BATAS ATAS
1.9
3.4
3.4 6.6
6.6 12.9
4
f(x) = sin(2 (x + 4.2) - 20) + 3 g(x) = (x - 17)³ + 5
12.9 16
3.1.5 Perhitungan 1. Volume 1
.sin2 4.2 20 3 ∫ . . ∫.. 3 sin211.6 ∫. sin2 3 ∫.. sin− 3
L= = = =
= 1058 5 = 12
∫.sin 3 .. = ∫. sin 6 9 6cos = 3cos− − = −.+−.− = . [ −. ]. +[−.]. .−[].. = =
32,0117,90 = 44,3 ∫..sin2 4.2 20 3 ∫.. 3 sin2 11.6 3 ∫.. sin2 ∫.. sin− 3
= 2. Volume 2 L= = = =
= 1058 5 = 12
∫.sin 3 . . = ∫. sin 6 9 6cos = 3cos− − = −.+−.− = [−. ]. . +[−. ]. .−[].. = =
5
16 18
=
62,7932,01 = 96,6 ∫.. .4 [16]. π 1612.9 166.6 100.8 π = 316,5 ml ∫.sin2 4.2 20 3 ∫. 3sin2 11.6 ∫. sin2 3 ∫. sin− 3
3. Volume 3
L=
= = = 4. Volume 4 L= = = =
= 1058 5 = 12
∫ sin 3 . = ∫. sin 6 9 6cos = 3cos− − = −.+−.− = . +[−. ]. −[]. [ −. ] . . = =
=
151,94122,76 = 91,6 = ∫ 17 5
5. Volume 5
= 17 = 1
25 ∫ 10 π a a 25a π x17 x17 25x17 π 18 17 16 17 18 17 1617 2518 17 251617 50.28 π = 157,9 = = =
=
= Volume total = 44,3+96,6+91,6+157,9+316,5 = 706,9 ml
6
3.2 Hiasan Botol 3.2.1 Perhitungan Luas botol
L=
2 = 2× ×4 25,1 =
Ukuran persegi panjangnya yang akan dihias: 25,1 cm x 4 cm 3.2.2 Desain Akhir
3.2.3
Desain Asli
3.2.4
Desain Geogebra
3.2.5
Tabel Fungsi FUNGSI
= − . ² 1.7 = − . ² 1.7 = 7.7² 2 = 7.7² 2
BATAS BAWAH
BATAS ATAS
5.9
6.8
8.6
9.6
6.8
7.7
7.7
8.6
7
= 12 3 2
f: y = 2.8 j: y = 2 m: y = 1.5
5.9
9.5
5.9 5.9 5.9
9.5 9.5 9.5
3.2.6 Perhitungan 1. Luas 1
= = =
∫.. 2 sin 3 2 ∫.. . − ∫. sin 3 = 3 = 1
∫...sin u = 12 . 1cossin u =
= cos 1 = sin
= = = = = =
∫... v 1 dv . ∫. v dv ∫. 1 dv × v × cosu − − −. −. ]. . 0,4880, 1 55 0, 0 485 0, 1 52 0,7 0,7 10 10 = 70 , ∫.. −. 1.7 ∫.. 2 ∫.. − ∫.. 2 + . ∫. . ∫..2 . 2500∫. − ∫. 1 ∫.. 2 )
)
= = = 2. Luas 2 = = = =
= 50383 = 50
∫. ∫. 1 ∫. 2 . . . 2 = − 2].. = − =
8
2,1 1,8 = 0,3 0,3 1010 = 30, ∫.. 7.7 2 ∫.. 2 2 ∫. 2 ∫.. . . 2 2 ∫ ∫..− . . ∫. 10 77
= = 3. Luas 3 = = = =
= 1077 = 10
∫. . =( − = = ( −+) ].. =[ = 0,243 cm ≈ 0,2 cm = 0,2 cm1010 = 20 , =
4. Luas 4
= = = =
∫.. 7.7 2 ∫.. 2 2 ∫. 2 ∫.. . . 2 2 ∫ ∫..− . . 10 77 ∫ . = 1077 = 10
∫. . =( − = = ( −+) ].. =[ = 0,243 cm ≈ 0,2 cm = 0,2 cm1010 = 20, =
5. Luas 5
= = = =
∫.. −. 1.7 ∫.. 2 ∫.. − ∫.. 2 + . ∫. . ∫.. 2 . 2500∫. − ∫. 1 ∫.. 2 = 50383 = 50
9
∫. ∫. 1 ∫. 2 . . . 2 = − 2].. = − = 2,1 1,8 = 0,3 = 0,3 1010 = 30, =
Total harga untuk hiasan = Rp70+Rp30+Rp20+Rp20+Rp30 = Rp 170,-
10
BAB 4 REFLEKSI
Hal yang paling berkesan ketika mengerjakan proyek ini adalah penulis dapat mengembangkan imajinasi bentuk botol dan hiasan sebagus mungkin dan penulis juga dapat mengetahui bahwa bentuk botol juga hiasannya dapat dibentuk dan dihitung dengan menggunakan integral. Kendala yang dialami ketika mengerjakan proyek ini adalah pembuatan laporan dan perhitungan integral yang memakan waktu cukup banyak. Kesalahan sedikit dalam perhitungan mengakibatkan kesalahan yang fatal. Oleh karena itu penulis harus lebih teliti dalam berhitung dan lebih mengembangkan imajinasi dalam pembuatan botol dan hiasan ini. Yang ingin penulis perbaiki di dalam proyek ini adalah lebih banyak mendalami dan mempelajari integral agar tidak kebingungan dalam mencari batas-batas integral dan menghitungnya. Yang ingin penulis pelajari setelah mengerjakan proyek ini adalah penyusunan laporan dan perhitungan matematika integral dalam bentuk volume dan luas karena ternyata integral dapat digunakan di dalam kehidupan sehari-hari. DAFTAR PUSTAKA
1. https://www.scribd.com/doc/186669741/Aplikasi-Integral-Untuk-Menghitung-VolumeBotol 2. https://istanamengajar.wordpress.com/2013/09/14/soal-dan-pembahasan-integral-metodesubstitusi-trigonometri-1-3/ 3. https://www.slideshare.net/torojr/integral-substitusi 4. https://www.wardayacollege.com/matematika/trigonometri/ 5. https://www.zenius.net/cg/139/integral
11
