TURUNAN DAN INTEGRAL LAPORAN PRAKTIKUM KALKULUS DASAR
Oleh : Rizal Bahroni 171810301073
LABORATORIUM MATEMATIKA DASAR JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS JEMBER 2017
BAB 1. PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Matematika adalah cabang ilmu yang sangat penting untuk dipelajari karena dalam kehidupan sehari-hari kita tidak lepas dari angka dan menghitung. Salah satu yang dapat dipelajari adalah turunan dan integral. Turunan dan integral merupakan hal yang mendasar di matematika. Perkembangan kalkulus diferensial pada abad ke – 17 sebagian besar dipengaruhi oleh masalah menemukan gradient garis singgung disebuah titik pada suatu kurva yang diketahui dan menentukan kecepatan sesaat sebuah partikel yang bergeraksepanjang garis lurus dengan laju yang berubah. Kalkulus juga dapat digunakan
untuk
mencari
tingkat
perubahan.
Misalnya
pembalab
F1
inginmengetahui kecepatannya pada suatu waktu tertentu, berapa tinggi maksimum dari bola yang dilempar, dan sebagainya. Penyelesaian masalahmasalah tadi akan menjurus kekonsep turunan (derifatif). Menentukan turunan (derifatif) adalah pengertian dasar dalam kalkulus diferensial. Setelah mempelajari turunan, kita sering mendengar istilah integral. Integral erat kaitannya dengan kalkulus diferensial atau turunan suatu fungsi. Hitung integral ditemukan terlebih dahulu baru kemudian ditemukan turunan. Namun demikian, hitung integral akan dapat dimengerti dan dipahami dengan mudah melalui turunan suatu fungsi. Selain itu, pada materi integral juga menyangkut masalah limit terutama limit fungsi dititik tak berhingga. Dalam kehidupan seharihari, konsep integral berguna dalam perhitungan bangun-bangun ruang sisi lengkung yang simetris dapat ditemukan dengan mudah. Dalam praktikum kali ini akan dipelajari cara mengoperasikan turunan dan integral pada program matlab. Permasalahan tentang turunan dan integral dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan program matlab dengan hasil yang akurat. Dengan program matlab dapat memudahkan kita dalam menyelesaikan rumitnya persoalan turunan dan integral. Kita tidak perlu lagi menghitung manual, cukup dengan menuliskan fungsi-fungsi turunan dan integral dalam program matlab dengan tepat dan benar.
1.2 Rumusan Masalah
1.
Bagaimana menghitung turunan menggunakan MATLAB ?
2.
Bagaimana menghitung integral menggunakan MATLAB ?
1.3 Tujuan
1.
Mampu menghitung turunan menggunakan MATLAB.
2.
Mampu menghitung integral menggunakan MATLAB.
1.4 Manfaat
1.
Mahasiswa dapat cepat menyelesaikan perhitungan turunan dan integral dalam matlab.
2.
Membantu pemhaman mahasiswa dalam hal pengoperasian turunan dan integral pada matlab.
BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Turunan
Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau dengan kata lain fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tak beraturan (Prayudi, 2006 : 103). Perhatiakn fungsi y = f(x)
∆ ∆ (+∆)−() ( ) lim = = = = lim ∆ ∆→ ∆ ∆ ∆→ ∆ ∆ disebut perbedaan ialah pertambahan. ∆ ∆ sebagai suatu (tanda) disebut derivative (turunan), disebut diferensial. ′
′
symbol
Selain notasi f'(x) diatas, turunan fungsi f(x) dapat ditulis dengan notasi df(x)/dx atau dy/dx. Notasi ini disebut notasi Leibniz, karena dikemukakan pertama kali oleh seorang matematikawan Jerman bernama Gottfried Wilhem Leibniz(Panggabean,2008). Diferensial membahas fungsi dalam satu selang yang sangat sempit. Dengan sedikit modifikasi deretan data dapat diferensial dengan fungsi yang dimiliki Matlab yaitu polyval dan polyder (Manik, 2010 : 20). Turunan mempunyai operasi-operasi yang dapat diselesaikan menggunakan program MATLAB. Namun sebelumnya, perlu diingat untuk mendefinisikan suatu variabel yang akan digunakan dalam fungsi. Pada awalnya, variabel dapat didefinisikan dengan menggunakan sintaks : sym(‘ ‘). Sintaks tersebut hanya bisa digunakan
untuk
mendefinisikan
satu
variabel
saja.
Sedangkan
untuk
mendefinisikan variabel yang lebih dari satu yaitu dengan menggunakan sintaks sebagai berikut : syms(spasi)(variabel 1)(spasi)(variabel 2).....(variabel n) Keterangan : tanda kurung tidak termasuk dalam sintaks. Contoh syms x y z Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, bahwa turunan suatu fungsi dapat dicari dengan menggunakan MATLAB. Sintaks yang digunakan pada MATLAB untuk mencari turunan tersebut adalah sebagai berikut :
diff(f(x)) atau diff(f(x),x) Artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x. Sedangkan untuk mencari turunan sebanyak n kali, dapat menggunakan sintaks sebagai berikut : diff(diff(…(f(x),x))…) atau diff(f(x),x,n) atau diff(f(x),n) Artinya, fungsi f(x) diturunkan terhadap x sebanyak n kali.
2.2. Integral
Integral terbatas bisa diselesaikan secara numerik dengan MATLAB, yaitu:
= ∫ () terdapat sejumlah metode perhitungan integral secara numerik, misalkan: trapezoid, kuadratur, dll.
(Widiarsono,2005 : 124) Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah
(Lipschutz, 1981 : 207).
Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Bedanya adalah integral tentu memiliki batas atas dan batas bawah sedangkan integral tak
tentu tidak. Integral tentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas. Sama halnya dengan turunan, integral suatu fungsi juga dapat dicari dengan menggunakan MATLAB. Berikut adalah sintaks yang digunakan dalam MATLAB untuk mencari integral. Sintaks dalam
Jenis Integral
Simbol
Integral tak tentu
∫()
Integral tentu
b
f (x ) a
MATLAB Int(f(x),x) int(f(x),x,a,b)
BAB 3. METODOLOGI
3.1. Alat dan Bahan 3.1.1.Alat
1. Notebok (Compaq CQ42) 3.1.2.Bahan
1. Program MATLAB 2. Buku Catatan
3.2. Prosedur Kerja
Program MATLAB dapat dioperasikan sesuai dengan prosedur kerja berikut : 1. Hidupkan Notebook. 2. Instal program MATLAB dengan doubel klik icon MATLAB pada desktop atau kanan pada icon MATLAB kemudian open. 3. Program MATLAB siap digunakan.
BAB 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Berdasarkaan praktikum yang telah dilaksanakan dapat dijelaskan untuk menggunakan turunan fungsi dapat menggunakan syntak diff. Penulisan yang benar pada jendela kerja matlab atau command windows yaitu dengan mengetikkan diff (expresi). Sedangkan, untuk fungsi integral dapat menggunakan syntak int. Penulisan pada jendela kerja matlab yaitu dengan mengetikkan int(expresi). Fungsi turunan dan integral pada matlab ini dapat digunakan untuk mencari turunan dan integral fungsi pertama, kedua maupun ketiga dan seterusnya dari suatu fungsi matematika. Berikut merupakan contoh soal pada saat praktikum : 1. Carilah turunan pertama dan ketiga dari fungsi
= 6 7
Langkah pertama yang dapat dilakukan yaitu dengan mengetik expresi fungsi pada command windows f=@(x)(x^4+6*x^2+7) kemudian enter dan selanjuntya menggunakan ekspresi dari differensiasi. Untuk menyingkat fungsi turunan ke n kita dapat menulisak ekspresi diff(fungsi,n). Maka hasil yag diperoleh seperti yang ditunjukkan gambar berikut ini:
Dari proses tersebut jika ingin menurunkan fungsi tersebut pada turunan yang ke 3,4,5,6, atau 7 maka cukup menambahkan koma kemudian angka penurunan yang keberapa tersebut. 2.
+ ( ) Tentukan turunan dari fungsi , = 5−1 Untuk langkah pertama kita menuliskan fungsi g(x) terlebih dahulu pada pada
command windows. Setelah itu baru menggunakan ekspresi turunan. Perlu diingat bahwasanya untuk penulisan ekspresi turunan untuk 2 variabel, penulisan fungsi tersebut juga menggunakan fungsi 2 variabel tersebut. Contohnya adalah sebagai berikut :
Maksud dari penulisan fungsi diff(g(x),x) adalah turunan fungsi g(x,y) terhadap x.
3. Tentukan
∫0
Untuk langkah pertama dalm menghitung integral tentu tersebut pada command windows adalah dengan menulis fungsi tersebut terlebih dahulu. Setelah itu baru menuliskan fungsi expresi integralnya jika berbentuk integral tak tentu maka fungsi yang digunakan adalah int(f(x),x) maksudanya adalah integral fungsi f(x) terhadap x. Untuk menghitung integral tentu adalh dengan int(f(x),x,batas bawah,batas atas).
4. Tentukan integral ketiga dari
∫ 3
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah dengan menuliskan rumus fungsinya terlebih dahulu pada command windows. Setelah baru kita menggunakan fungsi expresi integral. Untuk mencari nilai integral ketiga dari suatu fungsi kita tidap menyamkan fungsi tersebut dengan integral contohnya dengan menngunakan syntak diff(f(x),x,3). Hal itu dikarenakan pada integral terdapat dua jenis yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Jika suatu fungsi tersebut dicari nilai integral ketiga pada integral tentu maka akan menghasilkan nilai yang tidak sama karena proses untuk menghitung integral tentu adalah ketika fungsi tersebut diintegralkan maka harus dimasukkan batas-batas dari fungsi tersebut.
BAB 5. PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan praktikum yang telah dilaksanaan dapat disimpulkan bahwa pada dasarnya untuk penggunaan dan penulisan fungsi pada MATLAB adalah sama akan tetapi caranya berbeda. Cara yang membedakannya adalah penulisan dalam Matlab berupa peintah
atau
. Turunan dan integral fungsi pada
matlab mampu menjawab semua persoalan dari berbagai soal yang rumit dan sulit untuk dikerjakan, akan tetapi yang perlu diperhatikan yaitu cara penggunaan dan penulisan dari
fungsi tersebut.
Sehingga,
dengan menggunakan Matlab
mempelajari dan menyelesaikan masalah integral dan diferensial menjadi lebih mudah.
5.2 Saran
Dalam pengerjaan Matlab dengan materi integral dan diferensial diharapkan praktikan mempelajari teori terlebih dahulu. Praktikan juga diharapkan ketika sedang menuliskan perintah pada command windows, maka seluruh perintah yang telah ada harus diperhatikan secara teliti, cermat, dan harus mengetahui
symbol
perintah-perintah
yang
akan
digunakan
agar
dapat
menimalisir dalam kesalahan perhitungan dan terjadinya eror. Jika jam praktikum telah selesai diharapkan para praktikan mematikan komputer dengan prosedur yang benar.
DAFTAR PUSTAKA
Lipschutz, S. 1981. Set Theory and Related Topics, Schaum’s Outline. Singapura: MC-Graw Hill Book Company. Manik, Henry. 2010. Tutorial Program Matlab. Bogor: Institut Pertanian Bogor. Panggabean, A B. 2008. Kalkulus. Yogyakarta : Graha Ilmu. Prayudi. 2006. Kalkulus Fungsi Satu Variabel. Yogyakarta: Graha Ilmu. Widiarsono, Teguh. 2005. Limit Fungsi Matematika. Jakarta : Balai Pustaka.
LAMPIRAN
1. Carilah nilai turunan ke-3 dari fungsi berikut : a. F(x) =
b. G(x) =
+1 |√ −1 |
(2 7)
terhadap x
2. Carilah nilai integral dari fungsi berikut terhadap x
a.
() = 3
;
b.
() = 2 2
; dengan batas 0 sampai 2
c.
ℎ() = ( −1)()
; dengan batas 0 sampai 2
dengan
batas
0
sampai
2
3. Sebuah benda bergerak mengikuti lintasan tertentu dengan posisi terhadap waktu memenuhi persamaan . Tentukan kecepatan dan percepatan benda tersebut masing – masing saat 15 dan 4 detik.
() = 3 4 2
4. Tentukan luas daerrah diantara kurva
= 3 dan = 4
