DIFERENSIAL

 Nama : Baso Ahmad Ahmad Habibi  NIM

: 1409025034

RINGKASAN MATEMAT MATEMATIKA IKA DIFERENSIA! T"R"NAN

Diferensial

(&$)si  y *  * f   f + x, x,- did.(i$isi'a$: DIFERENSIAL# "$%&' (&$)si y +a, dxdx- dis.b&% di(./.$sia x di(./.$sia x-- d.$)a$ h&b&$)a$ dx * dx *  x#  x# +b, d- dis.b&% di(./.$sia y di(./.$sia  y-- d.$)a$ h&b&$)a$ dy * dy * f   f + + x,  x,dx# dx# Da/i d.(i$isi- di(./.$sia .&bah b.bas adaah sama d.$)a$ ./%ambaha$ .&bah %./s.b&%%.%ai di(./.$sia di(./.$sia .&bah .&bah a$) b./)a$%&$) b./)a$%&$) tidak   sama d.$)a$ ./%ambaha$ .&bah %./s.b&%# iha%ah Gamba/ 231 di ba6ah i$i# Contoh 1:

7i'a y 7i'a y *  *  x2- dy * dy * 2 x 8  x 8 dx s.da$) dx s.da$)  y *  y * + x   x,  x,2   x2 * 2 x 8  x 8  x  + x,  x,2 * 2 x dx  dx  +dx, dx,2# S&a%&  .$;.asa$ ).om.%/i' dib./i'a$ daam Gamba/ 232# T./iha% T./iha% bah6a  y   y  da da$ dy  dy  b./b.da d.$)a$ b&;&/ sa$)'a/ '.
 y Q ( x +  x ,  y + y ) S ( x + d x ,  y + d y ) P ( x , y )

2

 y

dx  x

dy

(dx )

2

dy = x dx

dx   x    d

  x    d

 x

dx

dx = x R  x d x

 y = x  x  x 2

(d)

  x    d   x

( c)

     =

  y    d

       1 2        1 2

 x 0 Gambar 23-1

 x

 x (a) Gambar 23-2

DIFERENSIAL dy daa% di
 ba$%&a$ '.%.$%&a$'.%.$%&a$ a$) a$)s&$) di./o.h da/i '.%.$%&a$'.%.$%&a$ &$%&'  m.$daa%'a$ %&/&$a$# B.b./aa di a$%a/a$a adaah: d +c, * 0- d +cu, * c du- d +uv, * u dv  v duv du − u dv

 u  ÷  *  v 

d 

v2

- d +si$ u, *
du u

- ds%#

Contoh 2: =a/i dy &$%&' %ia (&$)si b./i'&% :

+a, y

* x3  4 x2  5 x  >

dy * d + x3,  d +4 x2,  d +5 x,  d +>, * +3 x2  ? x  5, dx +b, y

* +2 x3  5,3!2

dy *

3 2

+2 x3  5,1!2 d +2 x3  5, *

3 2

+2 x3  5,1!2 8 > x2 dx * 9 x2+2 x3  5,1!2 dx iha% Soasoa 15

PENDEKAAN DENGAN DIFERENSIAL# 7i'a dx *  x /.a%i( '.
d.$)a$ x- dy adaah .$d.'a%a$ a$) <&'& bai' &$%&'  y# Contoh 3:

Ambiah y * x2  x  1 da$ misa'a$ x b./&bah da/i x * 2 m.$;adi x * 2-01# @./&baha$ y a$) s.b.$a/$a adaah  y * +2-01,2  2-01  1  2 2  2  1 * 0-0501# @.$d.'a%a$ ./&baha$  ya$) di./o.h d.$)a$ m.$)ambi x * 2 da$ dx * 0-01- adaah dx * 0-01- adaah dy * f + x, dx * +2 x  1,dx * 2+2,  1 0-01 * 0-05# iha% Soasoa >10 PENDEKAAN AKAR-AKAR PERSA!AAN# Misa'a$ x *  x1  adaah .$d.'a%a$ a$)

<&'& d.'a% da/i a'a/ r  ./samaa$ y *  f + x, * 0 da$ misa'a$ f + x1, *  y1 C 0# Ma'a y1 b./b.da da/i 0 d.$)a$ ;&mah a$) '.
a%a& dx1 * 



 y1  f  ( x1 )

 y1  f  ( x1 )

 * x1 

# 7adi- .$d.'a%a$ '.d&a da$ .bih bai' da/i a'a/ r  adaah x2 * x1  dx1 * x1

 f ( x1 )  f  ( x1 )

# @.$d.'a%a$ '.%i)a adaah x3 * x2  dx2 * x2 

 f ( x1 )  f  ( x1 )

- da$ s.%./&s$a#

Q ( x 1 , f  ( x 1 ) ) P ( r  , 0 )

( x 1 , 0 )

0

 x

( x 2 ,  0 ) Gambar 23-3

7i'a  x1 %ida' m./&a'a$ .$d.'a%a$ a$) <&'& d.'a% da/i s&a%& a'a/- ma'a a'a$ %./iha%  bah6a x2 b./b.da ;a&h da/i x1# aa&&$ /os.s i$i da/i 6a'%& '. 6a'%& m.m./bai'i di/i$a s.$di/i- a'a$ .bih m&dah &$%&' m.mb&a% .$d.'a%a$ ./%ama a$) ba/&# iha% Soasoa 1112

Soal-soal "an# Di$e%ah&an

1# =a/i d &$%&' %ia%ia (&$)si b./i'&%: +a, y

*

 x 3 + 2 x + 1  x 2

+3

#

( x + 3) gd ( x + 2 x + 1) − ( x + 2 x + 1) gd ( x + 3) ( x + 3) 2

dy *

2

2

*

( x + 3) ( 3x + 2) dx − ( x + 2 x + 1) ( 2 x ) dx  x +  x − 2 x + >  * dx ( x + 3) ( x + 3)

*


dy *

+<, y

3

2

2

+b, y

3

2

3

2

4

2

2

2

2

2
*

4 si$ 2 x 
*

e3 x  a/< si$ 2#

dy * +3e3 x  2! 1 − 4 x 2 , dx

Di(./.$siasi Soasoa 25- d) m.$))&$a'a$ di(./.$sia- da$ daa%'a$ dy!dx# 2# xy  x  2 y * 5# d + xy,  d + x,  d +2 y, * d +5,#  x dy  y dx  dx  2 dy * 0 a%a& + x  2, dy  + y  1, dx * 0# Ma'a

dy dx

 * 

 y + 1  x − 2

#

3# x3 y2  2 x2 y  3 xy2  ? xy * ># 2 x3 y dy  3 x2 y2 dx  2 x2 dy  4 xy dx  > xy dy  3 y2 dx  ? x dy  ? y dx * 0 dy dx 4#

2 x  y

 *

 

? y − 3 y 2 + 4 xy − 3 x 2 y 2 2 x 3 y − 2 x 2 + > xy − ? x 3 y  x

  y dx − x dy   x dy − y dx  2 ÷   3   x 2 ÷  * 0 da$ 2  y      

 * ?#

dy dx

 *

2 x 2 y + 3 y 3 3 xy 2 + 2 x 3

5# x * 3 # G&$a'a$ di(./.$sia &$%&' m.$d.'a%i : +a, 1

1!3

+a, "$%&' y * x - dy *

1, *

−1 5

3 x 2! 3

3

dy dx

 *

−
o 124 - +b, si$ >0 1#

1

3

dx# Ambi x * 125 * 5  da$ d * 1# Ma'a dy *

 * 0-0133 da$ s.
3

3 ( 125 )

2! 3

+

124  * y  dy * 5  0-0133 * 4-9?>#

+b, "$%&' x * >0o da$ dx * 1 * 0-0003 /ad- y * si$ x *

3 !2 * 0-?>> 03 da$ dy *
* +0-0003, * 0-000 15# Ma'a s.0 o1 * 0-?>> 03  0-000 15 * 0-?>> 1?# # Hi%&$)  y- dy- da$  y  dy- bia y * 12  x 2  3 x- x * 2- da$ dx * 0-5  y * J 12 +2-5,2  3+2-5,  J 12 +2,2  3+2, * 2->25  y * + x  3,dx * +2  3,+0-5, * 2-5

 y  dy * 2->25  2-5 * 0-125#

?# =a/i ./&baha$ Lo&m. '&b&s sisi x  ')# 10# "$%&' $iai  b./aa

5

 x daa% dia'ai s.ba)ai )a$%i

di./bo.h'a$ ha/&s .bih '.
5

 x + 1 - ;i'a '.saaha$ a$)

4

5

1>

4

7i'a x  O 10 8 5  8 10 - ma'a x  P

101> 31250

 da$  P

104 4

31250

 * 52-1#

11# D.'a%i a'a/a'a/ +/ii, da/i x3  2 x  5 * 0 a%a& x3 * 5  2 x# +a, @ada s&mb&s&mb& sama- )amba/ )/a(i' y * x3 da$ y * 5  2 x# Absis %i%i'%i%i' o%o$) '&/La adaah a'a/a'a/ ./samaa$ a$) di'.%ah&i# Da/i )/a(i'- %./iha% bah6a ada sa%& a'a/ a$) $iai .$d.'a%a$$a adaah  x1 * 1-3# +b, @.$d.'a%a$ '.d&a a'a/ i$i adaah 3

−0-203 ( 1- 3) + 2 ( 1-3) − 5  x2 * x1   * 1-3   * 1-3   * 1-3  0-03 * 1-33 2  f  ( x1 ) -0 3 ( 1- 3) + 2  f ( x1 )

@.mba)ia$ dia'&'a$ &$%&' m.$
( 1- 33 ) + 2 ( 1-33 ) − 5  x3 * x2   * 1-33   * 1-33  0-001 * 1-32?3 2  f  ( x2 ) 3 ( 1-33 ) + 2  f ( x2 )

 x4 * x3 

 f ( x3 )  f  ( x3 )

 * 1-32?3  0-00003114 * 1-32?2>??>

12# D.'a%i a'a/a'a/ 2
2
−2

si$1 − 2

 * 1 

2 ( 0-5403 ) −1 2 ( 0-?415 )

+2

 * 1  0-02 *

1-02# +<, x3 * 1-02 

2
−

2

0-00>4 ( 1- 02 )  * 1-02   * 1-02  0-001 * 1-021# 3-442 si$ ( 1- 02 ) − 2 ( 1- 02 ) −

7adi- samai .ma% d.sima- a'a/a'a/$a adaah 1-021 da$ 1-021#

SI!'(L DIFERENSIAL)*R*NAN

 a%a& (+, a%a&

dy dx

R"M"SR"M"S DIFERENSIA!T"R"NAN F"NGSI A7ABAR 

1#

(+, * '

 (+,

* 0- ' * 'o$s%a$%a

2#

(+, * 

 (+,

*1

3#

(+, * $

 (+,

* $# $1

4#

(+, * a#$

 (+,

* $#a#$1

5#

(+, * "#Q

 (+,

* "#Q  Q#"

>#

(+, *

U  DV   − V  DU 

U   (+, * V 

2

V  

 R"M"SR"M"S T"R"NAN F"NGSI TRIGNMETRI

1# (+, * si$ 

 (+,

*
2# (+, *
 (+,

*  si$ 

3# (+, * %) 

 (+,

* s.<2

4# (+, * si$ a  (+, * a#
=ATATAN :

1# si$2  # %)  *

si$  x
# s.<  *

1
?#
1 si$  x

1

9# <%)  *

tgx

DAI RANTAI! T"R"NAN BERANTAI

7i'a (+, * "$ ma'a (+, * $#"$1#"

=NTH SA SA T"R"NAN

T.$%&'a$ %&/&$a$ da/i (&$)si diba6ah i$i :

1#

(+,

2#

(+, * 2

3#

(+, * 32

4#

(+, *

*3

1  x

4

2

+

5 x

3

−

Fx

+1

5#

(+, * 3

>#

(+, * +2  5,+ 3 3  5,

#

(+, *

x

 x +

3

5 −  x

2

?#

(+, * 2
9#

(+, * 5 si$ 

10#

(+, *  3 si$   4
11#

(+, * 25 

12#

(+, *

1 2

si$ 

si$  x
13#

(+, * 5 si$ 

14#

(+, * +103  2,5

@ENEESAIAN

1#

(+,

2#

(+, * 2  (+, * 2

3#

(+, * 32  (+, * >

4#

(+, *

5#

>#

* 3  (+, * 0

1  x

4

2

(+, * 3

+

5 x

3

−

Fx

x  (+,

* 3

* 23  152  

 (+,

+1

1 2

(+, * +2  5,+ 3 3  5,

 (+, 

*

−1

3



2

2

 x

(+, * 24  >2  10  5 3  15  25 (+, * 24  53  >2  5  25 (+, * ?3  152  12  5

#

(+, *

 x +

3

5 −  x

 " *

2

  3 - Q * 5  2

" * 1 da$ Q * 2

(+, *

U  DV   − V  DU  V  

  (+,

2

(+, * ?#

(+, * 2
 (+,

* 2 si$ 

9#

(+, * 5 si$ 

 (+,

* 5
10#

(+, *  3 si$   4
11#

(+, * 25 

12#

(+, * (+, *

1 2

si$  x
si$ 

 "

2

2

+

2 x

25 − 10 x

2

2

−

> x

+  x

4

2

 (+,

 x

*

 x

* 3
(+, * 104 

 (+,

* (+, * 5 si$ 

2

+5 −  x ,

5 −  x

 (+,

*

13#

*

1 2


* si$  - "*
U  DV   − V  DU  V  



1+5 −  x 2 , − +−2 x,+ x + 3,

*

+

+
 x +


2

2

si$

2

 x

 x

* s.<2  x

2

4

2

−

> x

+

− 10 x −

5 25

14# (+, * +2 3  3,?  " * 2 3  3

" * 5

" * >2

Q * si$  (+, * $#"$1#"

" * 5 Q *
* ?+23  3 ,# >2

(+, * "#Q  Q#"

* ?+>2,+23  3,

* 5+si$ ,  +
* 4?2 +23  3,

* 5+si$   
RINGKASAN F"NGSI NAIK DAN F"NGSI T"R"N

1# F"NGSI NAIK DAN F"NGSI T"R"N

Sa/a% : (&$)si (+, $ai' ;i'a f’(x) > 0 (&$)si (+, %&/&$ ;i'a f”(x) < 0

=NTH SA : 1# Di'.%ah&i (&$)si (+, *  2  ?  9# T.$%&'a$ i$%./La  '.%i'a (&$)si (+, $ai' da$ (&$)si (+, %&/&$#

 Jawab: (+, * 2  ?  9 (+, * 2  ? (&$)si $ai' : (+, * 0 2  ? * 0 2 * ?

 

* 4 ;adi (&)si $ai' i$%./La$a :  P 4

F&$)si %&/&$ : (+, O 0 2 O ? ma'a (&)si %&/&$ i$%./La$a :  O 4

2# Di'.%ah&i (&$)si (+, *  3  >2  3>  30 # T.$%&'a$ i$%./La  '.%i'a (&$)si (+, $ai' da$ (&$)si (+, %&/&$#  Jawab : (+, * 3  >2  3>  30 (+, * 32  12  3>

(+, * 2  4  12 (&$)si $ai' : (+, P 0 2  4  12 * 0 +  >,+  2, * 0  * > a%a&  * 2

  ₒ

ₒ

2

>

  ₒ

ₒ

2

>

  ₒ

ₒ

2

>