Nama : Rika Juliani Kelas : 3A Nim : 2011.121.037 Dosen : Dra. Lusiana, M.Pd Mata kuliah : Kalkulus Lanjut
KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT berkat limpahan rahmat karunia dan hidayah Nyalah kita dapat di beri kesehatan dan kekuatan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini. Shalawat serta salam semoga tercurahkan kepada baginda dan junjungan kita nabi Muhammad SAW keluarga sahabat,dan pengikut nya semoga kita semua mendapat safaat kelak yaumul akhir. Penyusun mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang membantu dalam pembuatan makalah ini. Terutama kepada Dosen Pengasuh Mata Kuliah Kalkulus Lanjut yaitu Ibu Dra.Lusiana.Mpd.Kami meminta masukannya demi perbaikan pembuatan makalah kami dimasa depan. Penyusun berharap Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas bagi para pembaca mengenai diferensial total dan diferEnsial dari fungsi ke fungsi. Saran Dan Kritik dari para pembaca pun kami harapkan. Sekian yang dapat kami sampaikan,kurang lebihnya kami mohon maaf dan Pada Allah SWT kami mohon ampun.
Palembang, Oktober 2012
Penyusun
ii 2
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR………………………………………………….......……….. ii DAFTAR ISI ………………………………………………............……………….. iii BAB I DIFERENSIAL TOTAL Diferensial Total ………………………………………………………...........……... 4 Soal-Soal Latihan 1……………………………………………………............…….. 6
BAB II DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI Diferensial Fungsi Dari Fungsi …………………………........................................... 7 Soal-Soal Latihan 2………………………………................................................…. 12 DAFTAR PUSTAKA………………………………..…….…………..................... 13
iii 3
BAB I DIFERENSIAL TOTAL/LENGKAP Persamaan Diferensial adalah persamaan yang mengandung beberapa turunan fungsi. Diferensial Total/Lengkap :
Definisi : f (x,y)
df =
df df dy dx + dx dy
df disebut diferensial total f(x,y) ke x dan ke y. Dalam bentuk turunan parsial
∂z ∂z dan , perubahan ∆x dan ∆y ditinjau berasingan. ∂x ∂y
Sekarang kita tinjau pengaruh perubahan x dan y bersama-sama. Persamaan linier dari ∆x dan ∆y berbentuk a ∆x + b∆y disebut diferensial total dari z di titik (x, y) dan dinyatakan oleh dz : dz = a ∆ x + b ∆y Jika x = f(x,y) mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D, maka z mempunyai diferensial total : dz =
∂z ∂z dx + dy → di setiap titik (x,y) dari D ∂x ∂y Untuk fungsi dari 3 variabel atau lebih, misalnya w = f (x, y, u, v ) maka:
dw =
∂w ∂w ∂w ∂w dx + dy + du + dv ∂x ∂y ∂u ∂v
Contoh 1.1.1: Tentukan dw jika w =
Jawab :
Jadi dw= dx + dy+
²
dz
Contoh 1.1.2 : Tentukan df jika f = x2 + y3 Jawab :
df df = 3y 2 = 2x , dx dy
Jadi df = 2x dx + 3 y2dy
4
Contoh 1.1.3 : Tentukan dz = x3─ x2 y3 + y4 ─ 5x + 3y
Jawab :
dz dz = -3x2y2 + 4y3+3 = 3x2 – 2xy3 - 5, dx dy
Jadi dz = (3x2 – 2xy3 – 5) dx + (-3x2y2 + 4y3+3)dy Contoh 1.1.4 Radius dan tinggi sebuah silinder lingkaran yang tegak diukur sebagai 4 dan 10 cm, dengan kemungkinan kesalahan pengukuran ± 0,05 cm. Gunakan diferensial total untuk menaksir kesalahan maksimum dalam volume yang diukur Penyelesaian : v = π r2h
Diketahui :
r = 4cm h = 10 cm dr = dh = ± 0,05 cm Ditanya : dv = ? Jawab : dv =
∂v ∂v dr + dh ∂r ∂h
= 2 π r h dr + πr2 dh Subtitusikan r = 4, h = 10 cm dan dr = dh = ± 0,05 cm sehingga menghasilkan dv = 2π (40) (± 0,5) + 16 π (± 0,05) = ± 4,8 π cm3
5
Soal-soal latihan 1. 1. Jika z = 3x2 - 2xy + 5y², maka tentukan dz! 2. Diberikan r = x4-x3 y + x2y2 - x2y2 +y4, tentukanlah dr! 3. Tentukan df jika f = x2 ey
4. Diberikan z = arc cos , ( x ≠ 0 ) maka tentukanlah d!
xy
5. Jika g = e , tentukanlah dg! 6. Diketahui w = 3x³ - xy² dan w = f(, ) berubah dari (1,2) menjadi (1,02 , 1,98). Berapakah perubahan total dw! 7. Sebuah balok kayu memiliki ukuran 6, 12 dan 20 cm, dengan kemungkinan kesalahan 0,5 cm dalam pengukuran. Taksirlah kesalahan terbesar dalam luas permukaan balok dan peresentasikan kesalahan dalam luas permukaan disebabkan karena tiap-tiap pengukuran. 8. Gunakan deferensial total dz untuk menghampiri pengukuran V jika ( x,y) bergerak dari S ke T : a. V = 2x2y³ ; S (1,-1) ; T (0,99 , -1,02) b. V = x² - 5xy + y³ ; S (2,3) ; T (-1,98 , 2,97) c. V = ln (x²y) ; S (-2, 4) ; T (-1,97 , 3,96) 9. Tentukanlah dz dari z = log sin (x² y² -1) ! 10. Berapakah perubahan total dw dari ( 2,1 ) menjadi (2,01 , 0,98) untuk w = f(x,y) dengan w = x² - 2xy + 3y²
6
BAB II DIFERENSIAL FUNGSI DARI FUNGSI Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komponen satu peubah sekarang sudah mulai dikenal semua pembaca,jika y = f (x (t)),dengan f dan kedua fungsi yang terdiferensialkan maka,
=
.
`untuk memperoleh perluasan fungsi-fungsi beberapa peubah dapat dilihat pada versi berikut : Versi pertama :
Jika z = f (x,y) dengan x dan y adalah fungsi t,maka ditanyakan Teorema A ( Aturan Rantai )
Andaikan X = x (t) dan Y = y (t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f (x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan :
=
+
Bukti : Untuk penyederhanaan cara penulisan andaikan P = (x,y), ∆ P = (∆ x, ∆ y) dan ∆ z = f ( P +
(x+
∆ P ) – f(P) maka ∆ z = f (P + ∆ P) – f (P) = ∇ f (P). ∆ P + |∆| (∆ P).........................(1) Dengan (∆ P ) → 0 jika ∆ P → 0
Jika kedua ruas dibagi dengan ∆ t maka,
(1) ∆ = f , ( P ) ∆ + ( P ) ∆
∆
∆ ∆
+
|∆| ∆
P(x,y)
( ∆ )
Sekarang: |∆|
∆ =
(∆) (∆) ∆
∆ !
= ∆
∆ !
+ ∆
X
Data yang belakangan mendekati
!
!
+
7
X+
Jika ∆# → 0 ∶ ∆ dan ∆ keduanya mendekati 0 ( untuk x (t) dan y (t) kontinu
terdiferensialkan ), hal ini dapat di simpulkan jika ∆% → 0. Sebagai akibatnya pada saat kita
biarkan jika ∆# → & pada (1), maka akan kita dapat:
= ( )
()
Contoh 2. 1. 1 Diketahui: z = x3 y x = 2t y = t2
\
Ditanya: Tentukan
Jawab: =
+
= ( 3 x2 y2 ) ( 2 ) + ( 2x2y ) ( 2t ) = 6 ( 2t )2 ( t2 )2 + 2 ( 2t )3 t2 2t = 24 t2 + 32 t6 = 56 t6 Contoh 2. 1. 2 Sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi, radiusnya bertambahpada laju 0,1 '(*)( dan fungsinya bertambah pada laju 0,4 '(*)+(. Tentukan waktu pada saat radius sama dengn 10 cm dan tinngi sama dengan 200cm ? Jawab: Rumus total permukaan tabung S = 2π r h + 2π r2 ,
, -
= -
, .
+ .
= ( 2π h + 4π r ) ( 0,1 ) + ( 2π r ) ( 0,4 ) Pada r = 10 dan h = 200 ,
= ( 2π . 200 + 4π . 10 ) ( 0,1 ) + ( 2π . 10 ) ( 0,4 ) = 44π + 8π = 52π '(2*)(
8
Cara kedua: Jika z = f ( x, y ) dengan X = x ( s , t ) dan Y = y ( s, t ) maka yang di nyatakan
,
dan
Teorema B (Aturan Rantai ) Misalkan X = x ( s, t ) dan Y= y ( s, t ) mempunyai turunan pertama di (s, t ) dan misalkan z = f ( x, y ) terdiferensialkan di ( ( 0, #), ( 0, # )) maka z = f ( x ( s, t ), y ( s ,t )) mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh: (i)
,
( ii )
=
,
=
+
,
+
Bukti : Jika s di pertahankan tetap, maka x ( s, t ) dan y ( s, t ) menjadi fungsi – fungsi t saja, yang bearti bahwa teorema A berlaku. Pada waktu kita menggunakan dho menggantikan lambang d untuk menunjukkan bahwa s tetap, kita peroleh rumus ( ii ) untuk )
untuk , diperoleh dengan cara serupa mempertahankan t tetap. Contoh 2.1.3 Diketahui
Ditanya Jawab
2
2
: w = ex +y x = s sin t y = t sin s ∂z : ∂t :
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t 2 2 2 2 ∂z = 2x e x + y . S cos t + 2y e x + y . Sin s ∂t 2 2 ∂z = ( 2 s 2 sin t cos t + 2t sin s sin s ) e x + y ∂t
2 2 2 2 ∂z = ( s 2 sin 2t + 2t sin 2 s ) e ( s sin t +t sin s ) ∂t
9
. Rumus
Contoh 2.1.4 : z = 3 x2 − y2
Diketahui
x = 2s + 7t y = 5 st Ditanya
:
Jawab
:
∂z ∂t
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z = (6x) (7) + (-2y) (5s) ∂t ∂z = 42 ( 2s + 7t ) – 10 st (5s) ∂t ∂z = 84 s + 294 t – 50 s 2 t ∂t
Berikut ini jika kita bertemu dengan keadaan lain seperti skema berikut: ∂x ∂s ∂z ∂x
s
x ∂x ∂t
Z
t ∂z ∂y
dy ds
y
s
Maka diperoleh rumusan sebagai berikut : ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
10
Contoh 2.1.5 Diketahui
: z = x2 x = 3u + 2v y = 5v
Ditanya
:
Jawab
:
∂z ∂v
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y = + ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v
∂z ∂ ( x 3 y ) ∂ (3u + 2v) ∂ ( x 3 y ) dy = + ∂v ∂x ∂v ∂y dv ∂z = 3 x 2 y(2) + x 3 (5) = 6 x 2 y + 5 x 3 ∂v
11
Soal – soal latihan 2 1. Tentukanlah
1
dengan menggunakan aturan rantai, tuliskan jawaban akhir anda
dalam bentuk t ! a. w = x2 y3 ; x = t2 , y = t3 b. w = ex cos y + ey sin x ; x = 4t, 2t c. w = cos (xy2z) ; x = t3 ; y = t² ; z = t d. w = x2 y – y2 x ; x = sin t dan y = cos t 2. Tentukan
2
dengan menggunakan jawaban aturan rantai. Tuliskan jawaban dengan
akhir anda dalam bentuk s dan t a. g = x2 y ; x = s-t , y = st b. g = ! + ! + ² ; x = s – t ; y = s+t ; z = t² + 2s c. g = ex+yz ; x = s+t ; y = s+t ; z = t2 – 2s
3. Jika z = x2 y ; x = 2t-s , y = 1-s2t , tentukan , s = -1 , t = 2 !
4
4. Jika w = u2 tan v ; u = x dan v = 3 x , tentukanlah x = 5 !
5. Jika w = xy2 – z2 , x = p cos 6 sin 7 , , y = p sin 6 sin , z = p cos 7 tentukanlah
1 8
9
p = 3, 6 = 3, 7 = :
12
DAFTAR PUSTAKA Frank Ayres , 1972. Diferensial and Integral Calculus. Newyork, McGraw Hill. Gazali, Wikaria. 2005. Kalkulus Lanjut. Graha Ilmu. Riogialng, RH. 1979. Persamaan diferensial. Bina Cipta. Soemartojo, Noenik. 1990. Kalkulus Lanjutan. Jakarta :Erlangga.
13
