Diktat Perkuliahan Matematika Terapan
TURUNAN, INTEGRAL, PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TRANSFORMASI LAPLACE DALAM PENERAPANNYA DI BIDANG TEKNIK ELEKTRO
oleh : Deny Budi Hertanto, M.Kom.
FAKULTAS TEKNIK UNIE!SITAS NE"E!I #$"#AKA!TA SEMESTE! "AN%IL TAHUN &''()&'*'
MATEMATIKA TERAPAN Materi I. Review
Definisi Dasar Fungsi Variabel Turunan/Derivatif Beberapa aturan pada operasi turunan Latihan Soal Integral Beberapa sifat pada operasi integral Beberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikan Latihan Soal II
Pers Persam amaa aa Di!e Di!ere res sia ia"" Bias Biasa a
Pengertian persamaan diferensial Pembentukan persamaan diferensial rde persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Solusi persamaan Diferensial Solusi umum Solusi khusus !asalah nilai a"al dan nilai batas Latihan Soal III. Persamaa Di!eresia" Or#e $
Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertama Pemisahan Variabel #ontoh Soal #erita
I%. Persamaa Di!eresia" Liear Or#e $
#iri$%iri sifat linearitas pada Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial &ksak !etode Faktor Pengintegralan Solusi Persamaan Diferensial 'on &ksak Dengan Faktor Pegintegaralan %. Persam Persamaa aa Di!e Di!ere resi sia" a" Or#e Or#e &
Persamaan Diferensial linear rde ( Persamaan Diferensial Linear )omogen rde ( dengan *oefisien *onstan + Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients' Coefficients '
,kar$akarnya ,kar$akarnya adalah bilangan riil dan sama ,kar$akarnya ,kar$akarnya adalah bilangan riil dan berbeda ,kar$akarnya ,kar$akarnya adalah bilangan kompleks Persamaan Diferensial Linear 'on$)omogen rde ( dengan *oefisien *onstan + Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients %I. A("i)asi Persamaa Di!eresia" Da"am Bi#a* Te)i) Te)i) E"e)tr+
(
MATEMATIKA TERAPAN Materi I. Review
Definisi Dasar Fungsi Variabel Turunan/Derivatif Beberapa aturan pada operasi turunan Latihan Soal Integral Beberapa sifat pada operasi integral Beberapa sifat trigonometri yang perlu diperhatikan Latihan Soal II
Pers Persam amaa aa Di!e Di!ere res sia ia"" Bias Biasa a
Pengertian persamaan diferensial Pembentukan persamaan diferensial rde persamaan diferensial Persamaan diferensial biasa Solusi persamaan Diferensial Solusi umum Solusi khusus !asalah nilai a"al dan nilai batas Latihan Soal III. Persamaa Di!eresia" Or#e $
Bentuk Sederhana persamaan diferensial orde pertama Pemisahan Variabel #ontoh Soal #erita
I%. Persamaa Di!eresia" Liear Or#e $
#iri$%iri sifat linearitas pada Persamaan Diferensial Persamaan Diferensial &ksak !etode Faktor Pengintegralan Solusi Persamaan Diferensial 'on &ksak Dengan Faktor Pegintegaralan %. Persam Persamaa aa Di!e Di!ere resi sia" a" Or#e Or#e &
Persamaan Diferensial linear rde ( Persamaan Diferensial Linear )omogen rde ( dengan *oefisien *onstan + Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients' Coefficients '
,kar$akarnya ,kar$akarnya adalah bilangan riil dan sama ,kar$akarnya ,kar$akarnya adalah bilangan riil dan berbeda ,kar$akarnya ,kar$akarnya adalah bilangan kompleks Persamaan Diferensial Linear 'on$)omogen rde ( dengan *oefisien *onstan + Second Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients %I. A("i)asi Persamaa Di!eresia" Da"am Bi#a* Te)i) Te)i) E"e)tr+
(
I. REVIEW I. REVIEW De!iisi Dasar F*si
Se%ara mudah. fungsi dapat dipandang sebagai aturan0 yang menghubungkan input dan output1 Input yang diberikan akan dile"atkan ke sebuah blok fungsi. dan menghasilkan output sesuai dengan karakteristik blok fungsi1 )al ini dapat diilustrasikan sebagai berikut 2 aturan input
output
3ambar 41 )ubungan antara input. output. dan blok fungsi Sebuah fungsi pengali input dua kali0 akan menghasilkan nilai output dua kali dari nilai input1 fungsi tersebut apabila dituliskan se%ara matematis adalah sebagai berikut 2 f 2 x → ( x . atau ditulis se%ara lebih kompak f + x - = ( x
dan digambarkan sebagai berikut 2 Fungsi input
input kalikan (
f output
2x
x
3ambar (1 Sebuah fungsi dengan blok fungsi input kalikan (0 Input suatu suatu fungsi fungsi disebut disebut sebagai argume argumen1 n1 Pada fungsi fungsi f + x - = ( x . yang men5adi argumen adalah 61 7ika 6 diganti dengan nilai 8. maka 2 f +8- = (18 = 9 . dengan nilai argumen adalah 81 Sebuah fungsi dapat digambarkan se%ara grafik dengan memakai kordinat kartesius1 x- untuk beberapa nilai 6 sebagai Fungsi f + x - = ( x dapat digambarkan dengan mengu5i nilai f + x berikut1 6 : (. 6 : 4.
;
f + x- : ;
f + x- : (
f + x- : < 6 : $4. f + x- : $(
6 : <.
6 : $(.
f + x- : $;
dst1
( $( $4
<4(
$( $;
3ambar 81 koordinat kartesius fungsi
f + x - = ( x
%aria-e"
Pada fungsi y = f + x - = ( x . 6 dan y dapat memiliki kemungkinan se5umlah nilai tertentu. sehingga 6 dan y dinamakan sebagai variabel1 6 adalah variabel independent +variabel +variabel
8
bebas- dan y adalah variabel dependent +variabel +variabel tak$bebas-. mengingat nilai y ditentukan oleh nilai variabel 61 C+t+ I.$
a1 y = x ; b1
+ = x( . variabel dependent : y1 variabel independent : 6
dq ( dt + 9q = 8t . variabel dependent : >1 variabel independent : t
d y %1 (( − ? x = et . variabel dependent : y. variabel independent : 6. t dt pada %ontoh b dan % terlihat terlihat bah"a pada persamaan differensial. differensial. variabel dependent $nya $nya adalah variabel dalam bentuk turunannya1 TURUNAN/DERI%ATIF
Berikut ini adalah turunan dari beberapa fungsi1 Tabel Tabel I141 Beberapa fungsi yang sering digunakan beserta turunannya F*si, y(x F*si, y(x
*onstanta
Tra, y Tra, y00
<
F*si, y(x −4
Tra, y Tra, y00
sin +ax + b-
a
4− + ax + b -( xn
nxn−4
%os−4 +ax + b-
−a 4− + ax + b -(
x
e
e− x eax
ln x
tan−4 +ax + b-
x
e
−e− x ae 4
ax
a
sinh+ ax + b%osh+ ax + btanh+ ax + b-
4+ + ax + b-( a %osh+ ax + ba sinh+ ax + ba se% h ( +ax + b-
x
sin x
%os x
%os ech+ ech+ ax + b-
%os ech++ ax + b%oth+ ax + b−a %os ech b- %oth+ ax b-
%os x sin+ ax + b%os+ ax + b-
−sin x
se% h+ ax + b%oth+ ax + bsinh−4 +ax + b-
−a s ech+ ax + b- tanh+ ax + b− a %os ech (+ax + b-
tan+ ax + b-
a %os+ ax + b-
− a sin+ ax + ba se%( +ax + b-
%osh−4 +ax + b-
a
+ax + b -( +4 a
+ax + b -( −4 %os ec + ec + ax + b-
−4 %os ec + ax + b%ot+ ax + b−a %os ec b- %ot+ ax b- tanh +ax + b-
a
4− + ax + b -( se%+ ax + b-
a se%+ ax + b- tan+ ax + b-
;
Be-era(a Atra Pa#a O(erasi Tra 7ika u dan adalah sebuah fungsi. dan c adalah konstanta. maka 2
+u + - @ = u @+ @ +u - @ = u @ + u @ +cu - @ = cu @
41 (1 81
+u - @ = u @ −( u @
;1
7ika y = y + ! - . dan ! = ! + x- . maka 2
=1
C+t+ I.&
#arilah turunan dari fungsi y berikut ini 2 41 y = + x ( + sin x 5a"ab 2 y @ = d + x ( - + d +sin x-
dx
y @ = ( x + %os x y = x sin x
d x
(1 misal"an 2 u = x. = sin x 1
u @ =4. dan @ = %os x maka y men5adi y = u 1 y @ = +u- @ y @ = u @ + u @ y
= sin x + x %os x
81 y =4< %os x 7a"ab 2 y @ =4
=
t( 1 (t +4
7a"ab 2 !isalkan u = t ( dan = (t +4 1 u @ = (t . dan @ = ( u @ − u @ y = + u - . maka y @ = + u - @ = y @ =
(
( (t +(t + 4- − t 1(
+(t +4-( y @ = ;t ( + (t − (t (
+(t + 4- (
=
(t ( + (t
+(t + 4- (
=1 y = ! 9 . ! = x( +41 #arilah d
y d
= (t +t +4+(t +4-(
dy dy d! dx = d! A dx
=
7a"ab 2 y = + x( +4-9 .
dy dy d! A = dx d! dx
9 ! =1( x 4( x1 ! = 4( x + x( +4-= Latia S+a" I.$
Temukan turunan dari 41 y = e−C x (1 y = tan+8 x − (81 y = x= ;1 y = sin+ω x +θ -
4
=1
y = t =
91 C1
y = %os+; −t y = π
1
− y = %os 4 +;t −8-
?1
y = sin
−4
+−(t −84
4<1 y = sin+= x + 8441 y = 8sin+=t - + (e;t 4(1 y = (e8t + 4C − ;sin+(t 481 y = 4 + %os=t 4;1 y =
( t 8 (#8 + e;# 8
(
4=1 y = x + ln+ x 491 y = 8sin−4 +(t - −=%os−4+8t 4C1 y = 4 tan−4 +t + (- + ;%os−4 +(t −4( 4D1 Sebuah fungsi 2 y +t - = t 8 − =t ( + ;t +4
8
(
dy +a- tentukan dt +b- 5ika turunan pertama fungsi tersebut adalah nol. berapa nilai t E
9
Latia S+a" I. &
#arilah turunan dari fungsi berikut ini 2 41 y = sin x %os x (1 y = xe x 81 y = et sin t %os t ;1 y = et sin t %os t +nomor 4$;. gunakan aturan perkalian=1 y
= %os x sin x
91 y C1 y
= =
e(t
t 8 +4 ( 8 x + ( x − ? 8
x +4 1 y = ln+ x( +4-
?1 y = sin8 +8t + (4<1 y = t +
4 4
INTEGRAL
Proses mengintegralkan suatu fungsi merupakan kebalikan turunan/derivatif1 Suatu d + fxfungsi f+6- dapat kita turunkan men5adi 2 1 ,pabila kita ingin men%ari suatu fungsi f+6- dx dari turunan/derivatif$nya. maka dinamakan 2 integral Tabel I1(1 Beberapa fungsi yangs sering digunakan beserta integral fungsi tersebut F*si, ! (x
*. *onstanta x
n
∫ f + x -dx "x + c
F*si, ! (x
tan ax
tan+ ax + b-
xn+4
∫ f + x -dx
ln se% ax + c
a ln F se%+ax + b- F
+
a
c
n +4 + c . n ≠ −4
e x
e
− x
+ c
%os ec + ax + b- 4 { a
}
ln F co se%+ax + b- − %ot+ax + b- F
+ c
e− x
−e − x + c
s ec + ax + b-
eax
eax
%ot+ ax + b-
a
+ c
4 ln se%+ax + b- + tan+ax + b- a{ } 4 } a
{
ln F sin+ax + b - F + c
x−4
4
ln x +c a
(
− x(
sin −4 x + c a
+c
C
sin x
4
− %os x + c a
sin ax
(
+ x(
4 tan −4 x + c a
a
−%os ax + c
sin+ ax + b%os x %os ax %os+ ax + btan x
a − %os+ax + b- + c a sin x + c sin + c ax a sin+ax + b- + c a ln se% x +c
C+t+ I.1
Temukan fungsi y 5ika 2 +a- y @ = 9 x +b- y @ = ; x8 +%- y @ = %os x + x 5a"ab 2 41
∫
y = 9 xdx
y = 8 x ( + c . dengan % adalah suatu konstanta sembarang1
Perlu diingat. bah"a turunan dari suatu konstanta adalah nol1 (1
y = ; x 8dx
y =
∫ ;
+8 +481
y =
x +8 +4- . ⇒ y = x
;
+ c
∫ +%os x + x -dx
y = sin x +
4 ( ( x + c
Be-era(a si!at (a#a +(erasi ite*ra" 2si!at "iearitas'3
∫ ∫ ∫ (1 ∫ $fdx = $∫ fdx 81 ∫ + $f + %g -dx = $∫ f dx + % ∫ gdx +sifat 4$8 dinamakan sifat linearitas4. + f + g -dx = fdx + gdx
∫
∫
;1 u @ dx = u − u @ dx
Be-era(a si!at tri*++metri 4a* (er" #ii*at 3
41 sin ( t + %os ( t =4 4 %os (t ( (1 %os( t = +
4 %os (t
81 sin( t = −
;1 tan t =
(
sin t %os t
=1 sin (t = (sin t %os t 91 %os (t = 4 − (sin ( t = ( %os ( t − 4 = %os ( t −sin( t C1 tan ( t + 4 = se%( t 1 4 + %ot (t = co se%( t ?1 sin+ $ ± %- = sin $ %os % ±sin % %os $ 4<1 %os+ $ ± %- = %os $ %os % sin $ sin %
441 tan+ $ %4(1 481 4;1
= tan+ $ ± %-
4 tan $ tan % (sin $ %os % = sin+ $ + %- + sin+ $ − %(sin $ sin % = %os+ $ − %- − %os+ $ + %( %os $ %os % = %os+ $ + %- + %os+ $ − %-
Latia S+a" I.1
Temukan fungsi y 5ika 2 41 y = sin+8 x + ((1 y = =1? 81
− y = e 8t
4
;1 y = x = nomor = dst. gunakan sifat linear integral =1 y = 8t ( − t
?1
441 4(1 481
y = sin x + %os x
4;1 4=1
C1
π y = C %os ec+ ( -
1 y = ; %os+? x (- nomor ? dst1 #arilah 2
(
4<1 ∫ sin( tdt
91
(
∫ %os tdt ∫ xe ( dx ∫ e sin tdt ∫ +8 x +4-= dx ∫ 4( sin t %os( tdt x
t
∫ += x;− C-dx
+
?
II. Persamaa Di!eresia" Biasa 2Ordinary Differential Equations'
II. $ Pe*ertia Persamaa Di!eresia" Persamaa Di!eresia"/PD adalah persamaan yang di dalamnya berisi turunan +deriatie atau differential - satu atau lebih variabel1 Persamaan diferensial orde 4 dengan y sebagai variabel independent dan x sebagai variabel dependent ditulis se%ara matematis sebagai
berikut 2 d
= f + x. y- 1 Sedangkan persamaan diferensial dalam orde ( ditulis se%ara matematis
y dx sebagai 2 d ( y = f + x. y. dy dx
(
- dengan %atatan. tidak semua variabel dari fungsi f harus mun%ul
dx
dalam persamaan1 #ontoh dari persamaan diferensial antara lain2 +4-
dy x dx = e + sin x
+6 adalah ariabel independent . y adalah ariabel dependent yang nilainya tergantung 6+(- y!−( y" + y = cos x +8- ∂ (u
+ ∂ (u = ∂ u
∂ x
(
∂
(
∂ t
y
+;- 8 x( dx + ( ydy = < II Pem-et)a (ersamaa #i!eresia"
Persamaan diferensial mun%ul ketika ter5adi perubahan pada suatu besaran. yang biasanya dinyatakan dalam suatu fungsi matematis1 #ontoh +4-. +(-. +8- dan +; - merupakan persamaan diferensial yang se%ara matematis diekspresikan tanpa mengetahui latar belakang pembentukan/ter5adinya persamaan diferensial tersebut1 #ontoh pembentukan persamaan diferensial dalam dunia riil adalah persamaan differensial yang terbentuk dari suatu ob5ek yang sedang bergerak1 Dimisalkan ob5ek tersebut bergerak dengan karakteristik persamaan 2 d ( x + 9 d + ( x = 8t dengan 2 x menyatakan 5arak
d ( x dt (
dt
(
x dt
+yaitu turunan kedua fungsi 5arak- menyatakan per%epatan. dan
dx dt +turunan pertama- menyatakan ke%epatan1 #ontoh yang lain adalah muatan listrik yang bergerak. dimisalkan memiliki persamaan 2
dq dq dt + q = sin t dengan q merupakan muatan listrik. dt merupakan la5u aliran muatan +yang diistilahkan sebagai aliran arus listrik-1 #ontoh lain pembentukan persamaan diferensial adalah pada rangkaian listrik yang terdiri dari komponen G# sebagaimana diperlihatkan dalam gambar berikut 2
4<
G Vs
H
VG
i #
$
V%
3ambar II14 Suatu Gangkaian listrik dengan saklar Berdasarkan hukum kir%hof. 5umlah tegangan pada loop tertutup dari suatu rangkaian listrik adalah nol1 7ika dituliskan 2 & S = & ' +& C . atau & ' = & S −& C 1 Vs : tegangan sumber V% : tegangan pada kapasitor VG : tegangan pada resistor Berdasarkan hukum hm. arus yang mengalir pada resistor +pada rangkaian tertutupdapat di%ari dengan rumus 2 i =
&s −&c 1 '
d&c ,rus yang mengalir pada kapasitor adalah 2 i = C dt 1 leh karena arus yang mengalir pada kapasitor : arus yang mengalir pada resistor. maka 2 &s −&c = C d&c 1
'
dt
d&c Sehingga didapatkan 2 'C dt + &c = &s 1Persamaan ini merupakan persamaan diferensial dengan V% adalah ariabel dependent . dan t merupakan ariabel independent 1 Lebih lan5ut tentang aplikasi persamaan diferensial dalam bidang elektro. dapat dipela5ari di bagian akhir bab ini1 Or#e Persamaa Di!eresia"
rde persamaan diferensial adalah orde tertinggi dari turunan yang ada di dalam persamaan diferensial tersebut1 '
dq
q
dt + C = 8 . adalah persamaan diferensial orde pertama dalam >
d θ dt = sin+θ - . adalah persamaan diferensial orde pertama dalam x
@@+ ;t ( = < . adalah persamaan diferensial orde kedua dalam 6 d 8u 8
−
du
dt dt
+ u = ;t ( . adalah persamaan diferensial orde ketiga dalam u
Persamaa Di!eresia" Biasa
Persamaan diferensial yang hanya melibatkan satu variabel independent disebut sebagai persamaan diferensial biasa1 Sehingga %ontoh +4-. +(-. dan +;- di muka merupakan %ontoh persamaan diferensial biasa. sedangkan %ontoh +8- bukan merupakan persamaan diferensial biasa1 Selan5utnya. +8- merupakan persamaan diferensial parsial + partial differential equation( PD&-1
44
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan dua atau lebih variabel independent 1 #ontoh 2 persamaan diferensial parsial orde 4 dengan ( variabel independent 2 64 dan 6( ditulis dalam bentuk 2 δ y = f + x4. x (. y- . dan bukan δ x4
dy dx 4 = f + x4. x (. y- 1 S+"si Persamaa Di!eresia"
Solusi persamaan differensial adalah suatu fungsi yang memenuhi persamaan diferensial yang dimaksudkan1 Pada kedua kasus di atas adalah dimaksudkan untuk men%ari nilai x)t* dan q)t*1 Solusi persamaan differensial dapat berupa solusi analitis. dimana 5a"aban dari persamaan differensial tersebut dapat dinyatakan dalam fungsi$fungsi dasar seperti et . sin t . cos t . dst1 Tidak semua persamaan diferensial dapat di%ari solusinya se%ara analitis1 Solusi persamaan differensial dapat 5uga di%ari dengan menggunakan metode numerik yang menghasilkan solusi dengan nilai pendekatan1 dx 8 ( C+t+ II.$2 Tun5ukkan bah"a 6 : t adalah solusi dari persamaan diferensial 2 dt = 8t 7a"ab 2 d = 8t ( . maka Jntuk membuktikan bah"a 6 : t 8 adalah solusi dari persamaan diferensial x dt
substitusikan x : t 8 kedalam persamaan d x dt
d +t 8 -
= 8t ( 1
= 8t ( . ⇒ 8t ( = 8t ( . berlaku untuk semua nilai t . sehingga x : t 8 adalah solusi dari
dt d = 8t ( 1 x dt
2 Tun5ukkan bah"a y = t ( − 8t + 81= adalah solusi dari persamaan diferensial y @@+ 8 y @+ ( y = (t ( 1 7a"ab 2 y = t ( − 8t = 81= . y @ = (t −8 . y @@ = ( 1 Substistusikan ke dalam persamaan diferensial y @@+ 8 y @+ ( y = (t ( . sehingga 2 C+t+ II.&
( + 8+(t − 8- + (+t ( − 8t + 81=- = (t ( ⇒ (t + 9t − ? + (t ( − 9t + C = (t (
⇒ (t ( = (t (
Solusi ini berlaku untuk semua nilai t1 Sehingga y = t ( − 8t + 81= merupakan solusi dari persamaan diferensial y @@+ 8 y @+ ( y = (t ( S+"si Umm #a Kss
Persamaan diferensial boleh 5adi memiliki banyak solusi1 Sebagai %ontoh. persamaan diferensial
dx ( 8 8 8 dt = 8t dapat memiliki solusi 6 : t . 6 : t H?. 6 : t $9. dst1 Solusi solusi ini disebut
sebagai solusi khusus. sedangkan 6 : t 8 H # merupakan solusi umum dari
dx ( dt = 8t 1
4(
Persamaan differensial dalam bidang teknik umumnya digunakan untuk memodelkan sistem dinamis. yaitu sistem yang berubah terhadap "aktu1 #ontoh dari beberapa sistem dinamis antara lain2 41 Gangkaian listrik dengan arus/tegangan yang merupakan fungsi "aktu1 (1 Dalam produksi kimia. dimana tekanan. la5u aliran. dst selalu berubah terhadap "aktu1 81 Peralatan semikonduktor. dimana kerapatan hole dan elektron selalu berubah1 Masa"a Ni"ai Awa" #a Ni"ai Batas
7ika dalam suatu persamaan diferensial diberikan suatu kondisi tambahan dengan sebuah nilai yang sama pada variabel independent $nya +baik fungsi maupun turunannya-. maka dikatakan bah"a persamaan diferensial tersebut sebagai masalah nilai$a"al + initial+alue problem -1 7ika kondisi tambahan yang diberikan merupakan nilai yang berbeda pada variabel independent $nya. maka dikatakan sebagai masalah nilai$batas + boundary+alue problem -1 C+t+ II.1 3
Sebuah persamaan diferensial 2 y′′ + ( y′ = e x # y( π =4 $ y′( π = ( merupakan bentuk initial+alue problem . karena terdapat dua kondisi tambahan yaitu pada x = π . dengan y ),* : 4 dan y- ),* : (1 Sedangkan pada persamaan diferensial 2 y′′ + ( y′ = e x # y( < = 4 $ y( 4 = 4 merupakan bentuk boundary+alue problem . karena dua kondisi tambahan diberikan pada nilai 6 yang berbeda. yaitu pada x = < and x = 41 Latia S+a" II.$3
41
Tun5ukkan bah"a 2 y = 8sin ( x adalah solusi dari persamaan diferensial 2
d ( y
< dx(
(1 81
+ ; y =
dy 7ika y = $e( x adalah solusi umum dari dx = ( y . %arilah solusi khusus yang memenuhi y+<- : 81 Identifikasi variabel dependent dan independent dari persamaan diferensial berikut ini1 Dan sebutkan orde persamaan diferensial tersebut d y dy +a- 8 8 + = = %os x dx dx
+b-
dy dx + ? y = <
+%- +
dy
-+
d ( y
- + ?
= < dx dx ( dx
;1 Solusi umum dari 2
dy
+ d ( y - − ( dy + y = < adalah 2 y = $xe x + %e x 1 #arilah solusi dx
(
d x
khusus yang memenuhi 2 y+<- : <.
dy dx +<- =4
48
III. Persamaa Di!eresia" Or#e $
Sebelum membahas persamaan diferensial orde tinggi. akan dibahas terlebih dahulu persamaan diferensial orde 41 Bet) Se#eraa
Bentuk sederhana persamaan diferensial orde 4 adalah 2
dy
dx
= f + x- 1 Fungsi y dapat
∫
di%ari dengan %ara mengintegralkan f)x*. yaitu 2 y = f + x -dx 1 'amun d. kebanyakan pada demikian. persamaan diferensial yang di5umpai dalm soal umumnya tidak sesederhana itu bentuknya11 C+t+ III.$
dy dx = =sin ( x 1 Jntuk men%ari fungsi y )x*. persamaan tersebut diintegralkan 2
∫
!aka y = =sin ( xdx . ⇒ y = −
= ( %os ( x + C
Pemisaa %aria-e"
dy 7ika persamaan diferensial memiliki bentuk 2 dx = f + x - g + y- . maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut dapat di%ari dengan metode pemisahan variabel. yaitu 2
4
∫ g + y -dy = ∫ f + x -dx 1
Berikut ini adalah %ontoh penyelesaian persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel1 Perhatikan bah"a variabel dikelompokkan sesuai dengan variabel se5enisnya. yaitu variabel 6 dengan dx. variabel y dengan dy1 C+t+ III.&
Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel 2 +a+b-
d y d xdy d x
=
x (
y
=
x ( y 4 + x
8
)
(
+%-
− x dy = dx y . y).* : 4
+d-
dm dt
= (
m
sin t . m+<- = ;
7a"ab 2 +a- Persamaan diferensial d y d x
= x ( men5adi ydy = x ( d x sehingga y
1 4
⇒
=
+ C ⇒
y =
( x
8
+ (C . %ukup ditulis2
⇒
∫ yd y = ∫ x d x ( x8
y
(
(
y =
=
+ C ⇒
x
y =
( x
8
+ (C . %ukup ditulis2
8
(
8
8
+ C
8 +b- Persamaan diferensial d
=
y dx
y 4 + x y ( 4
∫
yd y =
+%-
∫
⇒
dx
men5adi ydy = x ( d x sehingga
(
(
x ( 4 + x 8
x
4 + x 8
8)
( = 8 ln 4 + x 8 + C ⇒ y =
)
(
(
(
8 ln 4 + x 8
)+ C @
Pisahkan variabel yang sama sehingga persamaan diferensialnya men5adi 2
ydy =
ydy =
∫ − xdx . integralkan kedua ruas 2 4 4 − xdx → ( y ( = − ( x ( + c .
∫
*alikan kedua ruas dengan ( sehingga men5adi 2 y ( = − x ( + c+ seharusnya adalah (%. namun karena masih bersifat konstanta. %ukup ditulis % sa5a-1 Jntuk men%ari nilai %. substitusikan nilai y).* : 41
4( = <( + c .
c =4
Sehingga solusi persamaan diferensial dy dx
=
− x
adalah 2 x ( + y( =4
y
sin t . m+<- = ; 1 Pisahkan variabel yang sama sehingga 2 d = ( m m dt dm = (sin tdt . dm = ( sin t dt . ∫ m m
+d-
∫
4
4
∫ m −
(
dm = (
∫ sin t dt .
(m
(
(
= −(%os t + c .
oleh karena c : 8. maka m = 8 − %os t Latia S+a"
41
dx dt =4<
(1
dy ( x dx = e
81
dy = e dx
;1
dx
=
dt
−( x
y( ?%os ;t
x(
)
(
m
= − %os t + c
15
=1
91
C1
d = 8%os (t + Dsin ;t x ( dt x + x
8sin t . y+<- : ( = dt y dy = 9 x( . y+<- : 4
dy
1
dx y ( dy x = ( y ( + yx
?1
d x y d = sin x y dx
4<1 temukan solusi umum dari persamaan diferensial 2
d = + x( −4- 1 Tentukan solusi x dt t
khusus yang memenuhi 2 6+<- : = C+t+ S+a" Cerita C+t+ III.1
La5u pertumbuhan penduduk suatu negara adalah 4.8 kali 5umlah penduduk saat ini1 7ika 5umlah penduduk saat ini adalah <. berapakah 5umlah penduduk setelah 4<< minutes E 7a"ab 2 Langkah 4
Pemodelan men5adi persamaan diferensial
d/ dt =418 /
Langkah ( Integralkan d/ / = 418dt . ln / = 418t + c
∫
∫
Langkah 8 7adikan ' sebagai sub5ek 2
/ = e418t +c
Langkah ; Susun kembali persamaan ' dengan konstanta yang bersangkutan2 / = e418t ec . / = $e418t dengan , : ec Langkah = #ari nilai konstanta 2 < = $e < ⇒ $ = < +didapat dari /).* :
7a"ab 2 Blok es deng berat 4
Susun persamaan diferensialnya 2
d0 9< * : dt = " +(< − 0 - . 0) < * 1 4< ( 0) 9< ?1= Langkah (
Integralkan 2
49
d0 dt = − " +(< − 0 - .
∫
d0
(<
dt − 0 = −" ∫ dt
− ln (< − 0 = − "t + c Langkah 8
Langkah ; Langkah =
7adikan ! sebagai sub5ek 2 ln (< − 0 = "t + c . (< − 0 = e"t +c . 0 = (< − e"t +c
Susun kembali persamaan ! dengan konstanta yang bersangkutan2 0 = (< − e "t e+c . 0 = (< − $e"t . dengan , : ec
#ari nilai konstanta
3unakan nilai kondisi a"al 2 0) < * 1 4< ( 0) 9< 9< * : ?1= < 4< = (< − $e ⇒ $ =4< . ?1= = (< − $e9<" . 4
Langkah 9
Temukan solusinya 2 0 = (< −4
C+t+ III.6
7a"ab 2 La5u La5u pertum pertumbuh buhan an suatu suatu kultur kultur bakter bakterii adalah adalah seband sebanding ing +propo +proporsi rsiona onall- dengan dengan fungsi fungsi eksponensial pangkat t. dengan t adalah "aktu +dalam 5am-1 Disebabkan karena pertumbuhan bakteri yang sangat %epat. maka ter5adi oercro#ding . sehingga la5u pertumbuhan bakteri 5uga berbanding terbalik dengan pangkat empat dari 5umlah bakteri saat itu1 Le"at eksperimen diketa diketahui hui bah"a bah"a konsta konstanta nta propor proporsio sional nalny nyaa adalah adalah 41 7ika 7ika pada pada a"alny a"alnyaa hanya hanya terdap terdapat at 4 bakteria. berapa banyak banyak bakteria dalam "aktu = 5am E Solusi 2 pemodelan matematis 2 dn = et . n+<- =4 . ditanyakan 2 n+=- : EEE n; ; = − %os < + c ⇒ ( = −4 + c dt
;
∫
;
∫
n dn = e d . n n dn = e dt . t
t
n= = e t + c . n=
= =et + c
=
= < evaluasi nilai % 24 = =e + c ⇒ 4 = = + c ⇒ c = −; n= = =et − ; . n = = =et − ; . n +=- = = =e= − ; ≈ ;
I%. Persamaa Liear Or#e Pertama
,dakalany ,dakalanyaa persamaan persamaan diferens diferensial ial memiliki memiliki bentuk bentuk 2 d + 2 + x x - y = 3 + x x- . maka dikatakan y d x
bah"a persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial linear orde pertama1 P+6dan K+6- merupakan fungsi 61 #ontoh persamaan diferensial linear orde pertama adalah
4C
sisi kiri persamaan diferensial
. disederhanakan men5adi 2
d y d x
+ = xy = C x( .
d y d x
− ( y = ;e− x .
P+6- : =6
K+6- : C6(
P+6- : −
x
( x
K+6- : ;e
− x
Met+#e Fa)t+r Pe*ite*ra"a
Persamaan linear orde pertama dapat di%ari solusinya dengan metode 2 faktor pengintegralan. yaitu yaitu dengan %ara mengalikan persamaan persamaan diferensial linear tersebut tersebut dengan dy sehingga 2 µ dx + µ y y = µ 3 . dengan P dan K merupakan fungsi dengan variabel 61 Faktor pengintegralan/ dapat di%ari dengan rumus 2
∫
µ = e dx 1 Ide dari penggunaan
faktor pengintegaralan ini adalah men5adikan persamaan diferensial tersebut bersifat eksak. yakni dy d µ d µ d µ µ + y y = y dx = µ y dx = dx µ y y Ingat bah"a 2 dx + µ . µ
µ
rumus
dy d µ d dx + y dx + dari dapat ditulis sebagai 2 dx + µ y - = µ 3 + x- 1
+u - @ = u @ + u @ -1 Sehingga 2
d µ
dy
µ dx + y dx
dy dx = µ 3
+ µ y d µ dx = µ
∫
maka akan didapatkan 2 µ = e dx kembali ke persamaan diferensial mula$mula 2 d + µ y - = µ 3 + x- . ⇒ µ y = µ 3dx ∫ dx
y =
4
∫
µ µ 3dx
C+t+ I%.$
Tentukan penyelesaian dari 2 dy + y = = dengan faktor pengintegralan dx
7a"ab 2 dari persamaan diferensial d y dx
x
+ y = = . terlihat bah"a =
x
x
!aka 2 y = 4 ∫ . dengan µ 3 dx = µ e µ
∫
4
y = x
4 dan 3 = = 1
4 dx x
= e
ln x
= x
∫ = xdx 4
4 = ( = x C y + ⇒ = . ( ( x + C
y = x
Latia S+a" 3
∫ d µ 41 Buktikan bah"a solusi dari persamaan diferensial dx = µ adalah 2 µ = e dx 1 (1
dy dx + ; y = . y+<- =4
81
dx dt = 8 x −
;1
dy dx + y = ( x +
=1 x
dy 8 dx + y = x
Persamaa Di!eresia" E)sa)
Sebuah persamaan diferensial dengan bentuk 2 0 + x. y-dx + / + x. y-dy = <
dinamakan persamaan diferensial eksak + exact differential equation - 5ika terdapat sebuah fungsi f
∂ f ∂ f / = and ∂ x ∂ y pada daerah tertentu1 leh karenanya. ∂ f ∂ f persamaan di atas dapat ditulis kembali men5adi 2 ∂ x dx + ∂ y dy = < 1 Solusi dari persamaan sedemikian rupa sehingga 0 =
ini adalah f + x. y- = " . " adalah nilai konstanta tertentu1 ,pabila 0 + x. y- = ∂ f dan / + x. y- = ∂ f maka persamaan diferensial dalam bentuk
∂ x
∂ y
0 + x. y-dx + / + x. y-dy = < dikatakan eksak 5ika dan hanya 5ika
∂ 0 = ∂ / 1 ∂ y ∂ x
C+t+ I%.&
Buktikan bah"a persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi persamaan diferensial tersebut 2
( + y −4)dx − (; y − x)dy = < +b- (e sin y − ( y sin x)dx + (e %os y + ( %os x)dy = < +a- ? x ( x
5a"ab 2 +a- Jntuk persamaan diferensial
x
1 9
0 + x. y- = ? x (
+ y − 4 ⇒ ∂ 0 = 4 ∂ y / + x. y- = −; y + x ⇒ ∂ / = 4 ∂ x oleh karenanya. persamaan diferensial tersebut eksak1 Fungsi diferensialnya adalah 2
∂ f ∂ x
∂ f
= ? x ( + y − 4 ⇒
f + x. y- =
∫ (
)
? x (
4
+ y − 4 dx = 8 x 8 + x y − x + C + y-
= −; y + x ⇒ f + x. y- = − ( y ( + x y + C + x(
∂ y
dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan 2 f + x. y- = 8 x8
+ x y − x − ( y(
leh karenanya. solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah 2
8 x8 + x y − x − ( y( = " +b- Jntuk persamaan diferensial ini 2 0 + x. y- = e x sin y − ( y sin x / + x. y- = e
x
⇒ ∂ 0 = e x %os y − ( sin x
∂ y %os y + ( %os x ⇒ ∂ / = e x %os y − ( sin x ∂ x
adalah merupakan persamaan diferensial bersifat eksak1 Fungsi diferensialnya adalah 2
∂ f = e x sin y − ( y sin x ⇒ f + x. y- = e x sin y + ( y %os x + C + y4 ∂ x ∂ f = e x %os y + ( %os x ⇒ f + x. y- = e x sin y + ( y %os x + C + x(
∂ y dengan membandingkan kedua persamaan di atas maka didapatkan 2 f + x. y- = e
x
sin y + ( y %os x
leh karenanya. solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah 2 e
x
sin y + ( y %os x = "
S+"si Persamaa Di!eresia" N+ E)sa) De*a Fa)t+r Pe*ite*ara"a
,pabila persamaan diferensial dalam bentuk 2 0 + x. y-dx + / + x. y-dy = <
5ika tidak eksak. faktor integralnya di%ari terlebih dahulu1 Pedoman men%ari faktor pengintegralannya adalah sebagai berikut 2
20
4 ∂ 0
a1 5ika
/ ∂ y
−
∂ / = f + x- . dengan f)x* ∂ x
adalah fungsi dalam 6. maka faktor
∫
integralnya adalah 2 e f + x -dx b1 5ika 4 ∂ 0 − ∂ / = − g + y- . dengan g)y* adalah fungsi dalam y. faktor integralnya
/ ∂ y g
adalah e∫
∂ x
+ y -dy
C+t+ I%.1
Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan ) solusinya 2 ( = < + ( x y + y 8 dx +
)
(
8 x ( y
x
(
+ y (
dy
solusi%
0 + x . y - = 8 x ( y + ( x y + y8
⇒
∂ 0 = 8 x ( + ( x + 8 y ( dan ∂ 0 = 9 x y + ( y ∂ y
∂ x
/ + x. y - = x
(
+ y
⇒
(
dan ∂ / = ( y
∂ / = ( x ∂ x
∂ y
4 ∂ 0 ∂ / terlihat bah"a
(∫ ) =
e6p
8d x (
e8 x
−
/ ∂ y
∂ x ∂ f
sehingga persamaan diferensial$nya men5adi
e
)
(
)
8 x( y + ( x y + y 8 dx + e8 x x (
(
= e
8 x
( x
(
+ y
(
+ y
)
) ⇒
∂
f + x. y- = e8 x ( y + x
y
∂ = e8 x (( x y) + 8e8 x
f ∂ x
∂
dy = <
(
f + x. y-
= e8 x 8 x ( y + ( x y + y 8
⇒
faktor pengintegralannya adalah 2
8 x
fungsi diferensialnya adalah
∂ f
karenanya.
∂ x = 81 leh
x ( y +
y 8 +
8
C + x-
y 8 + C @+ x-
8
f 8 x ∂ x = e ( x y + 8 x ( y + y 8 + C @+ x-
(
)
dengan membandingkan kedua persamaan di atas. didapatkan 2 C @+ x- = <.
sehingga
C + x- = %onstant
solusi umum persamaan diferensial tersebut adalah 2
21
8 x
f ( x $ y = e
x
(
y +
y 8
= "
8
((
C+t+ I%.1
Selesaikan 2 +( xy ; e y + ( xy 8 + y -dx + + x ( y ; e y − x ( y ( − 8 x -dy = < 7a"ab 2 *ita periksa terlebih dahulu apakah persamaan diferensial tersebut bersifat eksak ataukah tidak1
∂ 0 = xy 8 e y ( xy ; e y + 9 xy( +4
∂ y ∂ = ( xy ; e y − ( xy( − 8 / ∂ x
∂
= ∂ 0 1 Selan5utnya di%ari faktor integralnya 2
persamaannya tidak eksak karena /
∂ 0
∂ y
∂ x
∂ y ∂ 0 − ∂ / ∂ y ∂ x = ; = − g + y-
− ∂ / = D xy 8 e y + D xy( + ; . dan ∂ x
/
y
4
−;∫ d
maka faktor integralnya adalah 2 e kalikan persamaan diferensial dengan faktor integralnya. yaitu 2
+( xe
y
+ ( x + 4 y
4
y; - dx + + x (e y
y 8
y y
∫
=
y ; +( xy ; e y + ( xy 8 + y -dx + + x ( y ; e y − x ( y ( − 8 x -dy = < ; ln y
. sehingga persamaan diferensialnya berbentuk 2
− x ( − 8 x - = < dan persamaan diferensial ini eksak1 y (
Selan5utnya 2 ambil µ :
= e−
0dx =
∫
y8 +( xe y + ( x
+
4 -dx 8
y
y
= x (e y + x ( + x +θ + y y8 sehingga 2 ∂ µ = x (e y + x ( − 8 x +θ @+ y- : ' y
x ( e y + x (
∂ y y ( y; − 8 x + θ @+ y - = x (e y + x − 8 x (
;
( y y; y y sehingga θ @+ y- = < . maka θ + y- = konstanta
(
oleh karenanya. solusi persamaan diferensial
+( xy ; e y + ( xy 8 + y -dx + + x ( y ; e y − x ( y ( − 8 x -dy = < ( y
adalah 2 x e
+ x ( + x = C y
8
y
S+a" "atia
periksalah apakah persamaan diferensial di ba"ah ini eksak atau tidak. kemudian %arilah solusinya1 41 + x ( + y ( + x- dx + + xy - dy = < (1 +( x 8 y ( + ; x ( y + ( xy ( + xy ; + ( y -dx + (+ y 8 + x ( y + x -dy = <
(8
%. Persamaa Di!eresia" Or#e & Persamaa Di!eresia" "iear Or#e &
Persamaan diferensial linear orde ( memiliki bentuk umum sebagai berikut 2 2 p + x - d ( y + q + x - d + r + x - y = f + x y ( d dx x -. r + x- dan f + x- adalah fungsi dengan variabel 61 ,pabila f + x- : <. maka dengan p + x -. q + x persamaan diferensial ini dikatakan +m+*e1 Sebaliknya. 5ika f + x- ≠ < . maka dikatakan
sebagai persamaan diferensial linear ti#a) +m+*e orde (1 p + x - d ( y + q + x - d . r x y + < + = +m+*e y d dx ( ( p + x - d y + q + x - x d + r + x - y = sin x , ti#a) +m+*e y ( d dx x
%ontoh persamaan diferensial linear orde ( antara lain 2 d ( y dy 4 • x ( ( + x + y = sin x dx dx x
Persamaa Di!eresia" Liear 7+m+*e Or#e & #e*a K+e!isie K+sta 2 &econd Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients' Or#e & 2 pangkat tertinggi dari turunan +derivatif- yang terdapat pada persamaan diferensial 2 (
d x
#ontoh 2 7+m+*e
dt ( 2 tiap elemen mengandung unsur 2
#ontoh 2 x d ( x + 8 d − x dt (
d ( x + 8 d x ( dt dt
x dt t
− t = 8
= <
d ( x dx
.(
dt dt
. x
homogen
tidak homogen
Liear 2 tiap elemen persamaan mengandung setidaknya satu unsur 2 terdapat unsur 2
dx ( atau x dt
d ( x (
d ( x dx
.
tidak
. x dan
dt ( dt
1
d t
Persamaan diferensial dikatakan linear 5ika 2 41 Variabel dependent dan turunannya berpangkat satu1 7adi bentuk
adalah non
dx
(
linear +mengapa EE-
dt (
d x
(1 Tidak ada perkalian antara varibel dependent dan turunannya1 Sehingga bentuk x dt ( adalah non$linear +mengapaEE81 Variabel dependent tidak berbentuk fungsi non$linear. seperti fungsi sinus. %osinus. 24
eksponensial. dst1
= ;t x dt ( d x = ;t
#ontoh 2 d
(
dt t d ( x
+ 8 d − x
= <
x dt
Linear. karena syarat +4-.+(-.+8- terpenuhi
( t dt ( ( t d x + 8 dx − x = < . Tidak linear karena menyalahi syarat +( d dt t t (
d ( y y( dx
(
+
< = . Tidak linear karena menyalahi syarat +4-
dy dx + %os y = < . Tidak linear karena menyalahi syarat +8K+e!isie K+sta
2 koefisien
d ( x dx
S+"si Umm
.
dt ( dt
. x adalah konstanta
#ontoh dari persamaan diferensial linear homogen orde ( dengan koefisien konstan antara lain 2 2 d ( x + d − 9 x = < . d ( x + ; x = < . dst dt
(
x dt
dt (
Berikut ini %ontoh dalam men%ari solusi umum persamaan diferensial linear homogen orde ( dengan koefisien konstan C+t+ %.$
#arilah solusi dari persamaan diferensial 2 d ( x + ; d + 8 x = < 1 x ( dt dt
7a"ab 2
!isalkan x = Ceλ t . maka d
x dt
= C λ eλ t . dan
d x = C λ (eλ t (
dt (
Substitusikan sehingga men5adi 2 C λ e
λ t
(
+ ;C λ eλ t + 8Ceλ t = < . λ ( + ;λ + 8 = <
Bentuk λ ( + ;λ + 8 = < merupakan persamaan karakteristik1 Selan5utnya substitusikan ( ( λ x = Ce t ke persaman d x + ; d + 8 x = < menghasilkan persamaan λ + ;λ + 8 = < . dengan dt
(
x dt
−
λ : $8. $41 oleh karenanya terdapat ( solusi. yaitu x = Ce 8t dan x = Ce t 1 leh karenanya. solusi umum persamaan diferensial d ( x + ; d + 8 x = < adalah 2 x = C e −8t + C e−t x −
dt
(
dt
4
(
C+t+ %.&
Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial berikut 2
(=
d ( x
(− (
dx
< dt dt
− 4= x =
d = C λ eλ t . dan d ( x = C λ (eλ t x λ λ λ dt dt ( C λ ( e t − (C λ e t − 4= $e t = < .
5a"ab 2 misalkan x = Ceλ t . maka
λ ( − (λ − 4= = < Didapatkan λ : =. $81 Solusi umum 2 x = C 4e= t + C ( e−8t Catata 3
( d x + ; d + 8 x = < memiliki persamaan karakteristik λ ( + ;λ + 8 = < x dt dt ( ( d x − ( d − 4= x = < memiliki persamaan karakteristik λ ( − (λ − 4= = < x ( dt dt ( 5adi 2 d x → λ ( . d → λ . x →4 x ( dt dt ( maka 2 d x + = d + 9 x = < → λ ( + =λ + 9 = < x ( dt dt
,kar$akar persamana karakteristik dapat memiliki 8 kemungkinan 2 41 ,kar$akarnya adalah bilangan riil dan berbeda (1 ,kar$aknya adalah bilangan kompleks dan sama 81 ,kar$akarnya adalah bilangan kompleks ;1 ,kar$aknya adalah bilangan riil dan sama Latia S+a" 3
Tuliskan persamaan karakteristik dari 2 d x dx +a- ( ( + 8 − x = < dt dt
( +b- d x ( − dx
dt dt
=<
d ( x + 8 x = +%< dt ( A)ar8a)ar4a a#a"a -i"a*a rii" #a -er-e#a
7ika akar persamaan karakteristik adalah α dan β . maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah 2 y independent 1
= C 4eα x + C ( eβ x . 5ika y adalah variabel dependent dan 6 adalah variabel
C+t+ %.1
Temukan solusi dari persamaan diferensial 2 d ( x + ; d + 8 x = < x ( dt dt
8 langkah penyelesaian 2
x+<- = 4.
6′+<- = <
(9
41 Tuliskan persamaan karakteristik dan %ari nilai λ (1 Tuliskan solusi umum 81 #ari nilai konstanta dari solusi umum 7a"ab 2 +4- λ ( + ;λ + 8 = < ⇒ +λ + 8-+λ + 4- = < ⇒ λ = −8. −4 +(- x = C 4e −8t + C ( e−t +8- +i- x +<- = 4 ⇒ 4= C 4 + C ( +ii- x′ =− 8C e −8t −C e −t . 4
(
x′+<- = < ⇒ < = −8C −C 4
maka di%ari nilai C 4 dan C ( dari persamaan 2 4 : C 4 H C ( C 4 = 4 −C ( . ⇒ < = −8+4− C ( - −C ( ⇒ C = 8 . ⇒ # = −4 (
(
(
dan < : $8C 4 $C (
(
4
sehingga solusi dari d ( x + ; d dt
(
x dt
8 + 8 x = <. x+<- = 4. 6′+<- = < adalah x = 4 − e −8t + e−t
(
(
apabila digambar dalam grafik akan terlihat seperti gambar berikut 2 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
1
3ambar1 3rafik dari x =
2
4
− e −8t + 8 ( (
3
4
e−t
C+t+ %.5
Temukan solusi dari persamaan diferensial 2 d ( x
− C dx + 4( x = < ⇒ x+<- = 4 x′) < * = <
dt (
dt
7a"ab 2 +4- λ ( − Cλ + 4( = < ⇒ +λ − 8-+λ − ;- = < ⇒ λ = 8. ; +(- x = C 4e8t + C ( e;t . x′+<- = < ⇒ < = 8C 4 + ;C ( +8- 4 : C 4 H C ( dan < : 8 C 4 H ; C ( ⇒ C ( = −8 . ⇒ #4 = ; 7adi solusi selengkapnya dari persamaan diferensial
x+<-
= 4 x′) < * = < adalah 2 x = ;e8t −8e;t
( d x − C d + 4( x = < x ( dt dt
8t ;t 1 3rafik x = ;e −8e
dengan
ditun5ukkan pada gambar
(C
50 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400
3ambar V14 grafik fungsi x = ;e8t −8e;t 9i)a a)ar8a)ar (ersamaa )ara)teristi) mer(a)a -i"a*a )+m("e)s #a sama.
7ika akar persamaan karakteristik adalah ±α . maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah 2 y = C 4 %osα x + C ( sinα x Perhatikan %ontoh soal berikut 2 C+t+ %.6
d ( y
+ ; y = < dx(
Tentukan solusi dari 2 7a"ab 2
; y < + = adalah 2 ( dx λ ( + ; = < . λ ( = −; . maka λ = ±(
Persamaan karakteristik dari
d ( y
oleh karenanya. solusi umum yang didapatkan adalah 2 y = C 4e ( 4x + C ( e−( 4x berdasarkan sifat trigonometri 2 ( 4x = %os ( x + 4 sin ( x e e
−( 4x
= %os ( x − 4 sin ( x
maka didapatkan 2 y = C 4 +%os ( x + 4 sin ( x - + C ( +%os ( x − 4 sin
( x- 5ika C 4 + C ( = $ C 4 4 − C ( 4 = %
maka 2 y = $ %os ( x + % sin ( x 9i)a a)ar8a)ar (ersamaa )ara)teristi) mer(a)a -i"a*a )+m("e)s
7ika akar persamaan krakteristik adalah λ = a ± b4 . maka solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah 2 y = e
−ax
+C 4 %os bx + C ( sin bx-
C+t+ %.:
Tentukan solusi dari persamaan diferensial 2 y @@+ ( y @+ ; y = <
(
5a"ab 2
λ ( − ? = < (
λ = ±8
Persamaan karakteristik 2 λ + (λ + ; = < ,kar persamaan di%ari dengan menggunakan rumus ab% 2 ( λ = −b ± b − ;ac (a ( λ = −( ± ( − ;141; (14 −( ± ; −49 λ = . λ = −4 ± 8
4 ( maka solusi umumnya adalah 2
y = e
− x
+ $ %os 8 x + % sin 8 x-
9i)a a)ar (ersamaa )ara)teristi) -er(a -i"a*a rii" #a sama
maka solusi umumnya berbentuk 2 y = x1eλ x C+t+ %.:
y @@− ? = <
Persamaan karakteristik 2 Solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah 2 y = x1e8 x Latia S+a"
+
di
dt ( '
dt
41 tentukan persamaan karakteristik dari 2 L di (
+ 4i=< C
(1 tentukan solusi dari persamaan diferensial homogen orde ( berikut 2 a1 d ( + d + y = <
y
y
dx ( b1 d ( y
d + xd − ( y = < y ( d dx x x = < % 1 d ( x − 49 (
dt d1 d ( x dt
e1
(
+ =dx + 9 x = < d t
d ( y dy + + y = < dx ( dx
Persamaa Di!eresia" Liear N+87+m+*e Or#e & #e*a K+e!isie K+sta 2 &econd Order Homogeneous Linear Differential Equations With Constant Coefficients'
Dari bentuk umum persamaan diferensial linear orde ( d y dy + r + x - y = f p + x - ( +( q + x + x- dx dx
(?
5ika f + x- ≠ < . maka solusi khusus persamaan diferensial tersebut di%ari dengan men%obanya dengan menggunakan ketentuan sebagai berikut 2 2 !2;'
S+"si <+-a8<+-a
*onstanta Polinomial 6 dengan dera5at n
*onstanta Polinomial 6 dengan dera5at n
%os "x sin "x
a %os "x +b sin "x a %os "x +b sin "x ae"x
ae"x
Solusi total merupakn pen5umlahan dari solusi khusus dan solusi umum1 SolusiMtotal : SolusiMJmum H SolusiM*husus C+t+ %.=
#arilah solusi dari persamaan diferensial 2 d ( y dy 9 − + y = 8%os ( x dx dx
+4-1 !en%ari solusi umum Persamaan karakteristik dari
+λ − ;-+λ − (- = < λ 4 = (. λ ( = ;
d ( y
(− 9
dx dx
dy
N y = < adalah 2 λ ( − 9λ + = <
Sehingga solusi umumnya adalah 2 C 4e ( x N C ( e; x +(- !en%ari solusi khusus Beberapa langkah yang harus dilakukan dalam menger5akan solusi khusus 2 41 #ari fungsi yang merupakan solusi khusus berdasarkan tabel Berdasarkan tabel. maka solusi khusus dimisalkan adal>h fungsi 2 y p + x - = a %os x + b sin x
(1 #ari turunan pertama dan kedua. kemudian substitusikan ke dalam persamaan diferensial Turunan pertamanya 2 y @ p + x - = − a sin x + b %os x Turunan keduanya 2 y @@ p + x - = −a %os x −b sin x
Selan5utnya substitusikan ke persamaan diferensial d ( y − 9 dy dx
(
+ D y = 8%os x
dx
+ y @@ p + x - = − a %os x −b sin x -O9+ y @ p + x- = − a sin x +b %os x -H
+
y p + x - = a %os x + b sin x -
8%os 6 (1 *elompokkan koefisien$ koefisien yangs se5enis. dan %ari nilai konstantanya Jntuk koefisien %os 6 2
=
+ −a − 9b + a - %os x + + −b + 9a + b- sin x = 8%os x + −a − 9b + a- %os x = 8%os x +C a − 9b- = 8 8<
Jntuk koefisien sin 6 2 + −b + 9a + b- sin x = < + −b + 9a + b- = <
+9a + Cb- = <
(4
!aka dapat di%ari nilai a dan b. yaitu 2 a = =
− 4
. b = =
81 Substitusikan nilai konstanta yang didapat ke dalam solusi khusus persamaan diferensial Solusi khusus 2 y p + x - = a %os x + b sin x adalah 2 y + x - = (4 %os x − 4D sin x p
=
solusiMtotal
=
: SolusiMJmum H SolusiM*husus
(4
: C 4e ( x + C ( e; x H =
%os x −
4 = sin x
Latia S+a" 3
Temukan solusi khusus dari 2 41 d ( y − 9 dy + y = x dx
(
dx
α y + β
LATI7AN SOAL TERPADU
41 Tentukan solusi dari persamaan diferensial
d y d x
=
. dengan α . β . γ . δ adalah
γ y +δ
konstanta1 (1 Temukan solusi persamaan diferensial berikut dengan metode pemisahan variabel 2
dy ( +adx + y sin x = < 81 Pergerakan suatu benda yang 5atuh ke bumi memiliki persamaan 2 d d t
= g − b
Tentukan ke%epatan benda tersebut pada "aktu t. 5ika +<- = < 1 ;1 Inti bahan radioaktif mengalami peluruhan dengan fungsi peluruhan 2
d/ dt = −λ / / adalah konsentrasi+massa- inti bahan radioaktif tersebut and
peluruhan1 Temukan / +t - dengan kondisi a"al / +<- = / o 1 =1 Dari persamaan diferensial berikut. tentukan 2 +a- apakah bersifat linear +b- sebutkan orde persamaan diferensial tersebut
λ adalah konstanta
84
+%- buktikan bah"a fungsi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial tersebut 2 dy i1 t dt = y . ⇒ y = ct ; ii1 y
dy ( ( dt = t . ⇒ y = t + c . y >= <
iii1 t
d ( y dy +( t + y = ;. ⇒ y = 8t 1e−t + ; dt dt
iv1 8 y (
d ( y (
+( 9 y +
dt dt
dy
-( = (. ⇒ y 8 = t
91 Temukan solusi dari persamaan diferensial dengan kondisi a"al berikut ini 2 dy a1 dt − 9t = <. ⇒ y+4- = 9 b1
dy dt + = y = sin+4(t -. ⇒ y+<- = <
%1
dy dt − 8 y = <. ⇒ y+<- =4
d1 ;
dy dt − y = ;. ⇒ y+<- = −(
4 dy
+ 9 y − 8sin+=t - = (%os+=t -. ⇒ y+<- = < ( dt dy f1 8 dt + ( y = e −t . ⇒ y+<- = 8 C1 Temukan faktor pengintegralan dari persamaan diferensial biasa berikut dan tentukan solusinya 2 e1
+a-
y ( dx + xydy = <
+b+ x( + y ( + x-dx + xy dy = < 1 Buktikan bah"a persamaan diferensial berikut bersifat eksak dan tentukan solusi dari persamaan diferensial tersebut 2 +a-
(ax + by)dx + (bx + cy)dy = <
+b-
(( x y + ( x)dy + (( x y (
(
)dx = <
+ ( y
A("i)asi Persamaa Di!eresia" Da"am Bi#a* Te)i) E"e)tr+
Gangkaian LG# pada gambar dapat dimodelkan ke dalam persamaan diferensial dengan aturan$aturan sebagai berikut 2 41 )ukum II *ir%hoffs tentang tegangan 2 5umlah/sigma keseluruhan tegangan dalam loop tertutup adalah nol + the sum of all the oltage drops around any closed loop is !ero -5 (1 Tegangan pada pada resistor. & G. adalah sebanding dengan arus yang mele"atinya. yang dirumuskan dengan 2 & G : i' +)ukum hms -. dengan G adalah resistansi dari resistor1
8(
81 Tegangan pada kapasitor adalah sebanding dengan muatan elektrik pada kapasitor. yaitu q.
4
yang dirumuskan dengan 2 &c = C 1q . dengan # adalah kapasitansi kapasitor +dalam satuan farad- dan muatan > dalam satuan %oulombs1 ;1 Tegangan pada induktor sebanding dengan la5u perubahan arus listrik yang mengalir
di dalam satu satuan "aktu1 Dirumuskan sebagai 2 V L = L dt . dengan L adalah induktansi induktor yang diukur dalam satuan 2 henri1
3ambar VI1 Gangkaian GL# dalam loop tertutup1 Berdasarkan hukum II *ir%hof +*VL II- 2
di
L dt
4 + i' + C q = +t - 1
d + d - = d (q 1 Sehingga persamaan q ( dt dt dt di 4 L dt + i' + C q = +t - men5adi 2 L d (q + ' d + q = +t q dt c dt ( leh karena i +t - =
dq
=
di dt . maka2 dt
C+t+ %I.$
Sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari komponen G. #. dan sumber tegangan sebagai berikut 2
G Vs
H $
VG
i # V%
7ika pada saat t:< s"it%h tertutup. tegangan pada kapasitor adalah Vo. yaitu V% +<- : Vo maka 2 41 Buktikan bah"a persamaan diferensial yang terbentuk merupakan persamaan diferensial linear orde pertama (1 #arilah solusi dari persamaan diferensial tersebut menggunakan metode faktor pengintegaraln 81 #arilah solusi khusus dari persamaan diferensial tersebut 5ika tegangan pada kpasitor mula$mula adalah Vo : <1 Solusi pada kondisi ini dinamakan 2 respon keadaan nol + !ero state+ response;1 #arilah solusi persamaan diferensial yang terbentuk. 5ika tegangan sumber : < +Vs : <-1 Solusi pada kondisi ini dinamakan 2 respon input nol + !ero input+ response =1 buktikan bah"a solusi +(- merupakan pen5umlahan antara !ero state+ responsedan !ero input+ response
88
9awa- 3
41 berdasark hukum II *ir%hof tentang tegangan 2 &s +t - = & ' +&c 1 ,rus yang mengalir pada resistor : arus yang mengalir pada kapasitor &s −& ' = C d&c . sehingga persamaan diferensial yang terbentuk adalah 2 ' dt 'C d&c + &c = &s . yang dapat disederhanakan men5adi bentuk 2 dt
d&c &c &s dt + 'C = 'C +persamaan diferensial orde pertama linear(1
dari pembentukan persamaan diferensial di atas terlihat bah"a 2 P : 4 . K : &s . sehingga faktor pengintegralan + µ - diberikan sebagai 2 'C 'C µ = e dt . µ = e dt . ⇒ µ = ∫ ∫ e
∫ 'C 4 dt
Q t
µ = e 'C
4 µ 3dt . dengan &s =& %osω t 1 !aka 2 solusi dapat di%ari dengan rumus 2&c = µ ∫
4
⇔ &c =
t
∫ e +
t
4
& %osω t 'C
'C -
e+ 'C -
&
⇔ &c =
∫
t
t + 'C -
%osω t 1
e
'C 1e+ 'C -
t
t
%os ω t =
Sedangkan ∫ e + 'C -
ω sin ω t +
+4
'C
%os ω t
+ 'C -
(
ω +4-
'Ce + ' C &' C
%os ω t
ω sin ω t +
( (
'C
( (
+ ' C ω +4-
'C
−
H
ω sin ω t +
t
(
( (
& 1 ' ( C (e + 'C -
&c =
&c =
t
(
' C ω
%os ω t
' ( C (e + 'C -
−
t
+ 'C -
H *1 e
Dengan kondisi pada saat t:<. V% : Vo. maka 2 − t &' C %os ω t + 'C H *1 e &c = ( ( ( ω sin ω t + + ' C ω +4- 'C dengan menerapkan t:<. V% : Vo
⇔ &o =
4 + 6 . sehingga 2 C ω +4- 'C
&' C (
+ '
( (
+
*1 e
)
'C
t
H *1 !aka 2
8;
6 = &o −
&c =
1 Substitusikan nilai * ke persamaan seh ingga 2
&
+ ' ( C (ω ( +4&' C ( (
(
+ C ω
+ '
%os ω t + +&o − 'C
ω sin ω t +
4-
−
& (
( (
+ ' C ω
+4-
-e
t + 'C -
81
Dengan mengganti Vo : <. maka didapatkan 2fungsi !ero state+ response nya adalah 2 − t &' C & %os ω t + 'C − ( ( ( e &c = ( ( ( ω sin ω t + + ' C ω + 4- 'C + ' C ω +4;1 Dengan mengganti Vs : V : <.maka dari persamaan diferensial − t &' C & %os ω t + 'C &c =
(
+ +&o −
ω sin ω t +
( (
+ ' C ω + 4-
'C
(
( (
+ ' C ω
fungsi !ero input+ response nya adalah 2 −
&c = &o1e
75
+4-
-e
didapatkan
t
+ 'C -
Terlihat bah"a solusi persamaan diferensial dari point +(- merupakan 5umlah antara !ero state+ response dan !ero input+ response − t & &' C %os ω t + 'C &total = &o1e − H+&c = ( ( ( ( ( ω sin ω t + + ' C ω + 4- 'C + ' C ω +4yang merupakan solusi yang didapatkan dari +(-. yaitu 2 &' C & %os ω t t − e + 'C t = + +&o + − ( ( ( - &c ( ( ( ω sin ω (
+ ' C ω
+ 4-
'C
+ ' C ω
+4-
Latia s+a" 3 t
41 Buktikan bah"a 2 ∫ e
+ 'C -
t %os ω t =
+4
' ( C (e + 'C (
( (
' C ω
%osω t
ω sin ω t +
'C
C+t+ %I.&
Sebuah rangkaian listrik yang terdiri dari G. L. n # tersusun paralel seperti pada gambar 2
Is+t-
G
L
#
Sumber arus adalah Is+t-. arus yang mengalir adalah I. dengan persamaan 2 LC d (i
dt (
+ L di + i = i +t - . untuk t ≥ < ' dt
s
dengan i merupakan arus yang mengalir pada induktor1 7ika L : 4< ). G : 4<Ω . dan # : <14 F. dengan sumber arus i s +t - = e−(t 1 Dengan nilai
di kondisi a"al i:4 dan dt = ( pada saat t:<1
8=
41
Persamaan diferensial bentuk apakah LC d (i + L di + i = i +t - E
dt ( ' dt (1 #arilah solusi untuk persamaan diferensial LC d (i + L di
s
+ i = i +t -
(
' dt 81 #arilah !ero input+ response . yaitu kondisi pada saat i s +t - = < dt
s
di ;1 #arilah !ero state+ response . yaitu saat i:< dan dt = ( untuk t:< =1 Tun5ukkan bah"a solusi +4- merupakan pen5umlahan antara !ero input+ response dan !ero state+ response
5a"ab 2 41 LC d (i + L di + i = i +t - . d (i + di + i = e−(t dt (
dt (
s
' dt
(
persamaan karkteristik adalah 2 λ
dt
+ λ + 4 = < 1
,kar persamaan karkteristik adalah 2 λ = ( λ = −4 ± 4(14− ;1414 . λ = −4 ± 8 . λ = −4 ±
(
(
−b ±
b ( − ;ac
(a
4
8
solusi umumnya oleh karenanya adalah 2 i = e
−t / (
+ $ %os
8 t + % sin
(
8 t (
solusi khusus di%ari dengan men%oba$%oba. oleh karena f+6- : e−(t . maka diandaikan − − − i = α e (t . i @ = −(α e (t . i @@ = ;α e (t . subtitusikan ke persamaan diferensial 2 − i R+ i @+ 4 = e (t
;α e−(t −(α e−(t H α e−(t : e−(t 4 sehingga 8α =4. α = 8
4
sehinggs solusi khususnya adalah 2 i = 8 e−(t solusi keseluruhan :solusi umum H solusi khusus i = e
−t / (
+ $ %os
8 t + % sin
(
8 t - H 4 8 e−(t (
untuk men%ari nilai konstanta , dan B. maka digunakan bantuan kondisi a"al1 Saat t:<. i:4. sehingga 2 i = $ + 4 . $ = ( di 2
8
8
dt
89
d = e −t / ( +− i d t
8 $ sin
8 t + 8 % %os 8 t - − 4 e − t / ( + $ %os 8 t + % sin 8 t - − ( e−t / (
(
(
(
(
(
(
(
8
di saat t:<. dt = ( . sehingga
( = 8 % − 4 $ − ( ( ( 8 ( = 8 % − 4 + ( - − ( ( 8 ( 8 ( = 8 % −4 ( 8 = (8 % % = (
8
sehingga solusi lengkapnya adalah 2 i = e
−t / (
(
8
8
4
+ 8 %os ( t + ( 8 sin ( t - H 8 e−(t
(1 !ero input+ response. yaitu kondisi pada saat i s +t - = < dari +4- telah didapatkan solusi umumnya. yaitu 2 i +t - = e
−t / ( + $ %os
8 t + % sin
(
s
8 t (
81 ker5akan ;1 ker5akan MATLAB S+"si (ersamaa #i!eresia" -iasa "iear
!atLab merupakan perangkat lunak yang dapat digunakan untuk men%ari solusi persamaan diferensial se%ara mudah1 Sintaks perintah yang digunakan untuk men%ari persamaan diferensial adalah perintah dsolve1 Sebagai %ontoh. persamaan diferensial orde ( sebagai berikut 2 y@@ H y : %os+(6dengan kondisi y@+<- : < dan y+<- : 4. dengan y@@ : d (y/d6 ( dan y@ : dy/d61 y=dsolve('D2y + y = cos(2*x)', 'Dy(0)=0', 'y(0)=1') y = -2/3*cos(x)^2+1/3+4/3*cos(x) pretty(y) 2
- 2/3 cos(x)
+ 1/3 + 4/3 cos(x)
8C
solusi tersebut dapat disederhanakan 2 y = simple(y) y = -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x) pretty(y) - 1/3 cos(2 x) + 4/3 cos(x)
%ontoh ( 2 %ari solusi persamaan diferensial homogen linear orde ( dengan koefisien konstan berikut 2 y@@ H (y@ H =y : <1 7a"ab 2 dsolve('D2y+2*Dy+5*y') ans = C1*exp(-x)*sin(2*x)+C2*exp(-x)*cos(2*x)
,pabila persamaan diferensial di atas berbentuk y@@ H (y@ H =y : $sin+6-.dengan
y'(0) = 0 and y(0) = 1. y = dsolve('D2y+2*Dy+5*y = -sin(x)', 'Dy(0)=0','y(0)=1') y = 3/40*sin(2*x)*cos(3*x)-1/40*sin(2*x)*sin(3*x)-1/8*sin(2*x)*cos(x) +1/8*sin(2*x)*sin(x)+1/8*cos(2*x)*cos(x)+1/8*c os(2*x)*sin(x)1/40*cos(2*x)*cos(3*x)-3/40*cos(2*x)*sin(3*x)+11/20*exp(x)*sin(2*x)+9/10*exp(-x)*cos(2*x) y = simple(y) y = -1/5*sin(x)+1/10*cos(x)+11/20*exp(-x)*sin(2*x) +9/10*exp(-x)*cos(2*x)
apabila digambarkan/diplot 2 fplot(y,[0 20) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 5
10
15
20
-0.4 0
persamaan diferensial untuk orde ketiga 2 y@@@ $ (y@@ $ y@ H(y :(6 ( $ 96 H ; dengan y@@+<- : 4. y@+<- : $=. dan y+<- : = y=dsolve('D!y-2*D2yDy+2*y=2*x"2-#*x+$','D2y(0)=1','Dy(0)=-5','y(0)=5') y = -2*x+3+x^2+exp(x)-exp(2*x) +2*exp(-x) 38
fplot(y,[0 2) 5
0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -35 -40 -45 0
0.5
1
1.5
2
BAB &. TRANSFORMASI LAPLACE &.$ Pe*ertia Tras!+rmasi &.$.$ Latar Be"a)a* Pe**aa Tras!+rmasi &.$.& C+t+ Se#eraa Pe**aa Tras!+rmasi &.& Pe*ertia Tras!+rmasi La("aate C+e!!i
8?
BAB &. TRANSFORMASI LAPLACE
&.$
Pe*ertia Tras!+rmasi
Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah representasi persamaan matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang lain1 ,danya transformasi mengharuskan 5uga adanya inverse transformasi. yang melakukan hal yang sebaliknya1 &.$.$
Latar Be"a)a* Pe**aa Tras!+rmasi
Transformasi diperlukan sebagai alat bantu untuk meme%ahkan persoalan matematika yang rumit1 Penggunaan transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada gambar di ba"ah ini1
Permasalahan dalam bentuk asal
Transformasi
Solusi
inverse
Transformasi
Transformasi
Gam-ar. Penggunaan Transformasi
Solusi permasalahan dalam bentuk asal
dan Inversenya
Terdapat beberapa tipe/5enis transformasi yang digunakan. tergantung pada persamaan matematika yang ingin di%ari penyelesaiannya1 Beberapa %ontoh transformasi yang digunakan dalam bidang teknik antara lain 2 41 Transformasi Lapla%e (1 Transformasi 81 Trasnformasi Fourier ;1 Trasnformasi avelet =1 DLL Dalam hal ini. Transformasi Lapla%e digunakan untuk meme%ahkan Persamaan Differensial Biasa +D&. Ordinary Differential Equation -1 &.$.&
C+t+ Se#eraa Pe**aa Tras!+rmasi
#ontoh sederhana pemakaian transformasi dalam matematika adalah penggunaan logaritma dan inverse$nya. yaitu fungsi perpangkatan1 ,pabila diinginkan untuk menghitung hasil dari 2 4(8; 6 =9C tanpa menggunakan kalkulator. namun dengan menggunakan tabel logaritma. maka solusi hasil perhitungan 4(8; 6 =9C dapat di%ari dengan mudah1 ;<
Langkah pertama adalah mengubah/lakukan transformasi perhitungan 4(8; 6 =9C men5adi logaritma basis 4<1 Langkah ke dua adalah menyelesaikan kalkulasi algoritmanya1 Langkah terakhir adalah men%ari inverse logaritma + 4< 6 -. sehingga hasil akhir dari inverse logaritma ini adalah solusi dari 4(8; 6 =9C1 ,pabila diker5akan men5adi 2 Lang"ah "e+81 Jbah/transformasi ke logaritma basis 4<
4(8; 6 =9C :U Log +4(8; 6 =9C Lang"ah "e+21 Selesaikan kalkulasi algoritma1
Log +4(8;- H Log +=9C-: 8.48 H 8.C=;( : 9.;== Lang"ah "e+9 1
3unakan inverse transformasi untuk men%ari solusi dari 4(8; 6 =9C1
Dalam hal ini. inverse transformasinya adalah 2 4< 6. sehingga 2 9.;== :U 4< 9.;== : C1<<91;( Dengan menggunakan kalkulator. didapatkan 5a"aban eksak dari 4(8; 6 =9C : C1<<919=(1 Tampak bah"a 5a"aban yang didapat dengan menggunakan transformasi logaritma +dan inverse logaritma- mendekati 5a"aban eksaknya1 Perhitungan menggunakan transformasi Lapla%e dapat dilakukan se%ara langsung melalui penggunaan formula/rumus transformasi. dan dengan menggunakan bantuan tabel Tranformasi Lapla%e1 Pada tabel telah di%antumkan Transformasi Lapla%e dari bentuk$bentuk umum Persamaan Differensial Biasa yang sering digunakan1 Penggunaan tabel Transformasi Lapla%e ini memudahkan pen%arian solusi. karena tidak diperlukan kalkulasi Transformasi Lapla%e dengan menggunakan rumus transformasi1 &.&
Pe*ertia Tras!+rmasi La("a
Transformasi Lapla%e : + s- dari fungsi y)t*. untuk t U < adalah 2 : + s- = L y+t -W =
∫ e
∞ <
− st
y+t -dt
Transformasi Lapla%e digunakan untuk mengubah fungsi y+t - yang berada dalam ka"asan "aktu ke ka"asan s1 Solusi dari persamaan diferensial didapat dengan mengubah persamaan diferensial +yang merupakan fungsi "aktu- dari ka"asan "aktu ke ka"asan s dengan menggunakan transformasi lapla%e. sebagaimana ditun5ukkan pada gambar di ba"ah1 ;4
Permasalahan dalam ka"asan
"aktu
Transformasi Lapla%e
Solusi
Inverse
Transformasi Lapla%e
Transformasi Lapla%e
Solusi permasalahan
dalam ka"asan "aktu
3ambar1 Penggunaan Transformasi Lapla%e dan Inversenya
Gumus Tranformasi Lapla%e di atas. apabila digunakan se%ara langsung pada permasalahan1 maka akan seringkali di5umpai kesulitan dalam kalkulasinya. sehingga dian5urkan untuk menggunakan bantuan tabel transformasi lapla%e1 Penggunaan tabel transformasi lapla%e menghindarkan dari rumitnya perhitungan transformasi1 &.&.$ Latar Be"a)a* Pe**aa Tras!+rmasi La("a
,dapun Latar belakang penggunaan Transformasi Lapla%e adalah 2 41 Solusi Persamaan Diferensial Biasa Linear )omogen melibatkan bentuk eksponensial yang relatif %ukup sulit untuk diker5akan (1 Transformasi Lapla%e dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial men5adi bentuk persamaan al5abar.sehingga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial men5adi bentuk ekspresi persamaan al5abar 81 Solusi persamaan dalam bentuk al5abar dapat ditulis sebagai pen5umlahan tiap$ tiap komponennya dengan tiap komponen merupakan Transformasi Lapla%e dari bentuk eksponensial1 &.&.& Me*-a Persamaa Di!eresia" )e )awasa S
Jntuk melakukan transformasi lapla%e terhadap persamaan diferensial. maka harus diingat terlebih dahulu bah"a 2
[ ] = u d
d u ⋅
dt
∫
u
dt
+ d
u
dt
d du dt dt = u ⋅ − dt dt
∫
Bila Transformasi Lapla%e adalah 2 : + s - = L { y +t -} = ∞ e − st
∫
y +t -dt .
<
L dy =
Lapla%e dari turunan +deriatie- pertama adalah 2
dt
maka Transformasi
dy
∫ dt
∞
e − st
dt <
;(
5ika u adalah e Ost dan adalah y. maka 2 ∞
dy L
∫
=
− st
dy
e
∞
− st = e
dt
d t ∞ y
y
<
−
∞ de− st
∫
< dt < ∞ dy − ∫ − se− st ydt ⇒ L = e − < dt ∞ ∞ dy y + s − st ⇒ L = e − ∫ < e ydt dt
ydt
dt
st
<
st
<
7ika diasumsikan bah"a pada saat t → ∞ grafik y)t* mengalami kenaikan %ukup lambat Ost − dibanding dengan grafik e . maka e st y+t - → < untuk t → ∞
Sehingga 2 ⇒ e − st y ∞ = < − e < y +<- = − y+<-
<
dy = e − st y∞ + Bentuk di atas dapat disederhanakan men5adi 2 L
<
s
∞
∫ e− ydt st
< dt ⇒ L dy = − y +<- + s: + s dt
Dari uraian di atas. maka Transformasi Lapla%e dari turunan pertama sebuah fungsi adalah 2 L dy = s: + s- − y+<- atau L dy =
dt
sL
− y+<-
{ y+t }
dt
Transformasi Lapla%e dari turunan kedua suatu fungsi 5uga dapat di%ari dengan %ara yang sama1
d ( y = s (: + s - − d y
( dt
L
dt
− sy+<+<-
Sedangkan transformasi Lapla%e dari turunan ke$n suatu fungsi adalah 2 n
=
d n y n dt
d
n−4
y s : + s - −
dt n−4
n−(
+<- − − s
dy
n−4
dt +<- − s y+<-
<+t+ $.
Jbah persamaan diferensial berikut dari ka"asan t ke ka"asan s dengan menggunakan metode Transformasi Lapla%e1 L d ( y + y = < . dengan y+<- = 4. d +<- = < y
dt (
dt
;8
'aa)%
Lang"ah "e+81 Lakukan Transformasi Lapla%e
{ } = <∞∫ e− y+t -dt
: + s- = L y+t -
d ( y + y = L{<} L dt
∞
⇒
∫ e
<
d ( y
− st
(
dt
dt +
∞
d ( y
⇒ ∫ e − st
(
∞
st
<
(
∞
+ y dt = ∫ e − st [<]dt
dt
<
∫ e− ydt = < st
<
3unakan se%ara langsung Transformasi Lapla%e untuk turunan kedua. maka didapatkan2
(
d y
s : + s- −
dt
+ [: + s-] = < +<- − sy+<-
susun kembali men5adi 2 s ( + 4: + s- =
dy
+<- + sy+<-
dt
Lang"ah "e+21 #ari Persamaan polinomial X+s- dengan bantuan nilai y+<- = 4. s ( s
dy dt +<- = <
+ 4: + s - = < +
⇒ : + s- =
s
s(
+4
Xang perlu diingat adalah bentuk L
{ f +t - = ; + s}
dari fungsi f +t -1 (1(18
a"al
merupakan Transformasi Lapla%e
Tras!+rmasi La("a
berikut adalah transformasi Lapla%e dari beberapa fungsi
41 *onstanta Transformasi Lapla%e dari sebuah konstanta C + y+t - : C -. adalah 2 ∞ e − st
{ } = ∫
L C
<
Cdt = −
4 e
s
− st
∞ < C
= < − −
(1 Transformasi Lapla%e fungsi y)t* : t
C =
C
s s
. sehingga
{ } = C
L C
s
;;
− st
∞ L {t } = ∫ e
tdt =
<
4 − st ∞
−
e
t
<
s
4 ∞ − st +
∫ e
s
⇒ L {t } = < − < +
dt
<
4
∞
4
− e s s < s
− st
=
4
(
4
sehingga L {t } = s
(
81 Transformasi Lapla%e fungsi y)t* : t n Lt
− st
∞
n ∫
t
W= e
<
4 − st
n dt = −
e
n t
s
⇒ Lt n W = −< + < +
n∞
nt
n−4
∫ dte−s
∞ 4 − st
∞ <
+
∫
<
e
nt
n−4 dt
s
st
<
n
⇒ Lt n W = s Lt n−4W dengan %ara yang sama 2 Lt
n
−4
n −4 W = s Lt n−( W
−(
W = n − ( LVt s 4 Lt W =4 Lt
n
n−8
W
s sehingga LVt n W = n
sn+4
;1 Transformasi Lapla%e fungsi eksponensial. y)t* : eat Leat W =
∫ e
∞
<
=< ∫ e− +
− st eat dt
∞
⇒ Le at
− + s − a - t
W = ∫ e
⇒ Le
s −a -t
= − 4
<
W = < − −
−<
4 s − a
dt
e − + s −a -t
s − a
at
∞
e
4
∞
<
=
s − a
4
at , sehingga Le W = s − a
=1 Fungsi %osinus dan sinus
;=
4
L
{%osω t } = L
(
iω t
+
e
4 $iω t ⇒ L {%osω t } = 4 4 e ( ( s −
4 4 + ( s + iω
iω ⇒ L %osω t = 4 s + iω
{
}
(
(
+
(
ω
s
s −iω
+ s (
+ ω
(
s
= s ( ( +ω
sehingga L%osω tW = s s( +ω ( sama. Transformasi
dengan %ara yang
Lapla%e dari fungsi sinus adalah 2
Lsin ω t W = ω s( +ω (
Gingkasan Transformasi Lapla%e beberapa fungsi tersebut dapat ditulis dalam tabel berikut1 Tabel1 Transformasi Lapla%e beberapa fungsi sederhana F*si y(t
Tras!+rmasi La("a
C s 4 s( n
y)t* : C y)t* : t y)t* : t
n
y)t* : e
at
sn+4
4 s − a s
y)t* : cos
s(
ω
y)t* : sin Yt
&.1
+ ω (
(
s
+ ω (
Be-era(a )ara)teristi) Tras!+rmasi La("a
Beberapa karakteristik Transformasi Lapla%e antara lain 2 $. Liearitas
7ika f +t - dan g +t - adalah sebuah fungsi. dengan 2
{
} = ∞∫ e − f +t -dt
; + s - = L f +t -
st
<
{
= + s - = L g +t -
}< = ∞∫ e − g +t -dt st
dan
46
maka
{
}
{
dan
} = a; + s - + b= + s-
L cf +t - = c; + s L af +t - + bg +t &. Per*esera #a"am S
{
7ika ; + s - = L f +t -
{ !aka
{
}
at
L e f +t -
} = ∞∫ e − f +t -dt st
<
∞
∞ ∫
=
e
− st
e f +t -dt =
<
} = ; + s − a-
∫
at
e
−
+ s −a -t
f +t -dt = ; + s − a- ,
sehingga
<
L e at f +t -
1. Per*esera #a"am S #a iverse4a
{
}
7ika L e at f +t - = ; + s − a- . maka L−4 { ; + s − a -} = e at L−4 { ; + s -} = e at f +t <+t+ &1 3unakan sifat pergeseran dalam
dari 2
4
+ s − a-( 4 'aa) % ; + s − a- =
. ; + s- = 4
+ s − a-( −4
s untuk me%ari Inverse Transformasi Lapla%e
}
{
s(
at
−4
{
}
4 (
−4
(
at
−4
sehingga L ; + s − a - = L ; + s- . ⇒ L + s − a - = e L e
4
=
s −4
4
⇒ L
+ s − a-
(
at
t
e
at
= e
t
5. Te+rema K+v+"si
7ika Transformasi Lapla%e dari fungsi f +t - dan g +t - adalah ; + s- dan =+ s-. dengan
} = ∞∫ e − f +t -dt . = + s - = L { g +t -} = ∞∫ e − g +t -dt
{
; + s - = L f +t -
st
st
<
<
!aka 2 t
<
= ; + s-=+ s-
L∫ f +t −τ - g +τ -d τ
yang disebut sebagai ite*ra" )+v+"si1 7ika inverse Transformasi Lapla%e dari ; + sdan =+ s- adalah f +t - dan g +t -. dengan 2 L
−4
{
} = f +t -. dan L−4 {
; + s -
} = g +t -
= + s -
maka
{ L−4
}
t ∫
; + s -= + s - = f +t −τ - g +τ - d τ . atau L−4 <
{
}
t ∫
; + s -= + s - = f +τ - g +t −τ - d τ <
;C
contoh *2 3unakan teorema konvolusi untuk men%ari
dari2
s
+ s( +4-( s . = + s- =
'aa) 2 ; + s- =
+ s( +4gunakan teorema konvolusi 2 −4
}
{
∫
; + s -= + s -
4 . maka f +t - = %os t . dan g +t - = sin t + s( +4-
−4
t
L
=
f +t −τ - g +τ - d τ . maka L
s
s + ( ( = s +4-
∫
(
+ s +4-
<
t
= %os+t −τ -sin+τ - d τ
(
ekspansikan men5adi 2 L−4
inverse Transformasi Lapla%e
<
t
∫ %os+t −τ -sin+τ - d τ <
= %os t ∫ t %osτ sinτ d τ + sin t ∫ t <
sinτ sinτ d τ
<
−4 ,pabila diselesaikan men5adi 2 L
s (
+ s
(
4 t sin t
=
+ 4-
(
6. Ite*rasi ∞ − st ∫
7ika ; + s - = L { f +t -} = e
<
−4 f +t -dt
. maka L
4
t
; + s -= ∫ + -
f τ d τ
<
s contoh +2 3unakan teorema integrasi untuk men%ari inverse dari 2
,aa) 2 ; + s - =
s + s +4-
4 ⇒ f +t - = e−t +dari tabel-. maka 2 + s +4-
4
−4
4 4
L
-
−τ
t
=
∫
e
d τ = − e
−τ
s s +4 < = − e − t − + −4- = 4 − e−t
t
<
&.5 Me4e"esai)a Partia" Fra
Di dalam penggunaannya. transformasi lapla%e seringkali melibatkan bentuk 3 + s + s-
dengan banyak fraksi. dimana + s- dan 3+ s- merupakan suku polinomial1 leh
karenanya. terlebih dahulu dipela5ari bagaimana fraksi$fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah ke fraksi pe%ahan + partial fraction- agar didapatkan solusi dari Persamaan ;
Differensial Biasa. 7adi. terlebih dahulu dipela5ari bagaimana menggunakan partial fra%tion sebelum meme%ahkan Persamaan Differensial Biasa1 Me*-a Fra
7ika 2 3 + s 2 + s -
a
=
a
+
4
+ s − α -
a
++
(
n
+ s −α -
+ s − α -
4
(
n
dengan 2 + s - = + s − α 4 -+ s − α ( - + s −α n -
!aka terdapat 8 kemungkinan penyelesaian dari )s* a1 )s* akar$akarnya riil dan berbeda1 Tuliskan masing$masing faktor )s*. dan tambahkan koefisien yang sesuai +,. B. dst- pada bagian pembilang #ontoh 2 s +4
41
=
+
$
%
− ; s + 8 + s − 4- + s − 84 = $ + %
s( (1
+ s − (-+ s + 4- + s − (- + s +4 b1 )s* akar$akarnya riil dan sama. yaitu α 4 = α ( = = α n 1 7ika
3+ s- = + s-
4
!aka uraikan men5adi 2 a a 3+ s + s-
a
(
4
"
= + s − α - + + s − α -( +
4
=
n
+ s −α n -
+ s − α " +4 -
#ontoh 2 4 = 4
a
++
" +4
-
"
−α
4
a
+
+ s
+
$
%
+ s + 8- + s + 8-(
s( + 9 s + ? + s + 8-(
%1 7ika akar$akarnya merupakan bilangan pasangan bilangan kompleks α 4 = a + bi.α ( 3+ s-
⇒ + s- =
= a − bi.
$ + %s + s + a-( + b(
8
#ontoh 2 4 = s
8
=
+ s ( − (
a
a
8
+ + s − α
n
-+
+ + s −α
n
-
4 + s − 4-+ s ( + ( s + (4 = $
+ s − 4-+ s − 4 − i -+ s − 4 + i - s − 4
+
% + Cs
+ s − 4- ( +4
a 4
+ s −α -n
;?
Dari peme%ahan fraksi di atas. perlu di%ari nilai dari koefisien ,.B.# dan seterusnya1 Terdapat 8 %ara untuk menyelesaikan parsial fraksi di atas. yaitu 2 85 Coer up 'ule
(1 Substitusi 95 Equate coefficient
-. Met+#e Co/er 01
a1
Langkah penyelesaian parsial fraksi dengan Coer >p adalah 2 *alikan dengan s$Zi
b1
Subtitusikan s : Zi
$. 9i)a 2(s a)ar8a)ar4a rii" #a -er-e#a. <+t+ 6.
#ari Parsial fraksi dari 2
s +4 + s − 4-+ s − 8-
'aa) 3
s +4
=
+
$
%
+ s − 4-+ s − 8- + s − 4- + s − 8+ s − 4- ⇒ + s +4- = $ + + s −4- % + s − 8-
+ s − 8-
kalikan dengan +s$4-. substitusikan s : 4. s = 4 ⇒ −
( ( = $ ⇒ $ = −4
Selan5utnya kalikan dengan +s O 8 s +4
=
+
$
%
+ − 8 s + s +4- = + s − 8- $
+ s − 4-+ s − 8- + s − 4-
× s − 8 ⇒
+ s − 4-
+ s −4-
substitusikan s : 8. s = 8 ⇒ ;
+ %
= % ⇒ % = (
( !aka diperoleh 2 C+t+ :. #ari ,aa)2
s +4 + s − 4-+ s − 8-
=− 4 + ( + s − 4-
Parsial fraksi dari 2
4
+ s −8-
s+ s +4-
4
= $ +
%
s+ s + 4-
s
+ s +4-
=<
Jntuk men%ari nilai ,. kalikan persamaan di atas dengan s. dan subtitusikan nilai s : < sehingga men5adi 2
4 = $ + %
× s 2 ⇒
+ s +4-
+ s + 4-
s = < 2
+ s +4-
s + s + 4- s 4 = $ + s %
⇒ 4 = $ + < ⇒ $ =4 4
Jntuk men%ari nilai B. kalikan dengan + s H 4- dan subtitusikan nilai s : $4
×+ s + 4- 2 ⇒ s = −42
⇒
4 = + s + 4- $ + % s 4 = < + % ⇒ % = −4
−4 Sehingga bentuk parsial fraksinya adalah 2 4 = 4− 4 + s +4 s+ s +4 s &. 9i)a 2(s a)ar8a)ar4a rii" #a sama
s ( + 8 s + ;
<+t+ =1 #ari Parsial fraksi dari 2
'aa) 3 s ( + 8 s + ;
+ s +4-8
+4-8
+ s
: $ + % + C + s + 4- + s + 4-( + s +4-8
untuk men%ari nilai #. kalikan dengan + s H 4-8 s(
+ 8 s + ; = $+ s + 4-( + %+ s + 4- + C . substitusikan s : $4
4 − 8 + ; = C . ⇒ C = (
Jntuk men%ari nilai $ dan %. digunakan metode substitusi1 ,mbil s : < dan subtitusikan ke persamaan1
⇒ < + < + ; = $ + % + C ⇒ ; = $ + % + C 1 Subtitusikan # :( sehingga 4
4 ( : $ H %.
4
4
4 + 8 + ; ambil s : 42
⇒
8
$ =
% +
(
C +
$ 8
⇒ 4 =
( ( ( ( = ; $ + ( % + C . substitusikan # :(
(
C
% +
;
+
. kalikan dengan men5adi 2
9 = ; $ + ( %.
apabila diselesaikan akan didapatkan 2 , : 4. B : 4. # : (1
=4
+ 8 s + ; : + s +4-8
4 +
s (
4 +
(
+ s + 4-
+ s + 4-( + s +4-8 1. 9i)a 2(s a)ar8a)ar4a )+m("e)s <+t+ 1 #ari parsial fraksi dari 2
4 + s − (-( + + s( +4-
'aa) 3 karena + s- mengandung +s
(
H 4-. maka berikan koefisien Cs H D pada bagian
pembilang1
4
=
s = ( ⇒
+ s( +4= + s − (- $ + % + + s − (-( Cs + D + s( +4-
+ 4= % ⇒ % = 4
+; +4-
=
4
⇒
+ Cs + D
%
+ s − (- + s − (-(
+ s − (-( + s ( + 44 + s − (-( ⇒ + s ( 4
+
$
=
4
+
$
+ Cs + D + s( +4-
+ s − (-( + s ( + 4- + s − (- =+ s − (-(
Jntuk men%ari nilai koefisien yang lain +,.# dan D-. maka digunakan metode substitusi 4
=
+ s − (-
+ s − (-( + s ( + 4 s = < ⇒
⇒
4
;
+
$
4
=
4 =+ s − (-( $ +
+ Cs + D + s( +4+
4
+< − (-( +<( + 4- +< − (- =+< − (-( = − 4 $ + 4 + D ⇒ − = $ + 4< D = (
D
+<( +4-
(<
(
Jntuk s = 4 ⇒
=
4
=
(
4
(
C+
+ C + D
=+4− (-( +4( +44 D ⇒ −4< $ + =C + = D = 8
+4 − (-( +4( + 4-
⇒ 4 = − $ + 4 +
4
+
$
+4− (-
(
Jntuk s = 8 ⇒
⇒4
4<
4
=
$
+
+ 8C + D
4
+8 − (-( +8( + 4- +8 − (- =+8− (-( +8( +4= $ + 4 + 8 C + 4 D ⇒ 4< $ + 8C + D = −4 =
4<
Sehingga 2 ⇒
4<
4 + s
;
=−
− (-( + s ( + 4-
+
(=+ s − (- =+ s − (- (
&. Met+#e S-titsi
7ika Parsial fraksi adalah 2 3+bi - = 2 +bi -
a4
+bi
− α 4 -
+
; s + 8
+
4
(=+ s( +4-
a( +bi
− α ( -
++
an +bi
− α n -
!aka lakukan 2 =(
Subtitusikan s : b i. dengan i : 4. (. 111. n pe%ahkan nilai a4. a(. 111. an
41 (1
C+t+ 1
#ari nilai koefisien , dan B pada 2
4 = $ + % s+ s + 4-
s
+ s +4-
'aa) 3
Jntuk s : 4. ⇒ 4 = $ + % ⇒ 4 = $ + 4 % 4
(
(
(
(
4 $ % 4 ( Jntuk s : (. => 9 = ( + 8 ⇒ 8 = $ + 8 % % 4 +kurangkan persamaan 4 dan ( -. !aka didapatkan 2 9 = − 9 ⇒ % = −4 ⇒ $ =4
maka 4
=4−
4
s
+ s +4-
s+ s +4-
C+t+ $1 Tentukan nilai koefisin ,. B
4
dan # pada 2
= $ + % +
s + s + 4(
s
,aa) 2
s(
C
+ s +4-
3unakan aturan #over Jp 4
= $ + % +
s( + s + 4-
s
s(
4 = $s + % +
C . kalikan dengan s (. dan subtitusikan nilai s : < sehingga
+ s +4⇒ Cs(
= % ⇒ % =4
+< +4-
+ s +4-
+ s + 4-
4
untuk mendapatkan nilai #. kalikan dengan + s H 44
= $ + % +
C
substitusikan s : $41
s( + s + 4- s s( + s +44 = $+ s + 4- + %+ s +4- + C s
s(
⇒
4 = C ⇒ C =4 +−4-(
s(
leh karenanya telah kita dapatkan 2
4 = $ + 4 + s( + s + 4-
s
s(
4 + s +4-
Jntuk men%ari nilai ,. maka kita substutusikan nilai s yang mudah dikalkulasi1 ,mbil s : 4. maka 2
4
= $ + 4 +
4 ⇒ 4 = $ + 4 + 4 ⇒ $ = −4 ( ( +4+4-
4( +4+ 4- 4 4( Persamaan Parsial fraksi yang kita dapatkan oleh karenanya adalah 4 s( + s + 4-
=−4 + 4+ s s(
4 + s + 4-
=8
1. Met+#e Equate Coefficient
Langkah menger5akan parsial fraksi dengan metode ini adalah 2 41 *alikan dengan P+s- dengan sehingga men5adi bentuk 2 (1 Samakan koefisien s di ruas kanan persamaan dengan di ruas kiri1 <+t+ $$.
pada 2
3unakan metode equate coefficient untuk men%ari nilai koefisien , dan B
4 = $ + % s+ s + 4-
s
+ s +4-
'aa) 2
41 *alikan dengan s+ s H 4-. ⇒ 4 = $+ s + 4- + %s 4 : $s H %s H $.
:U 4 : + $?%- s H $
(1 Jntuk koefisien s4 2 ,HB : < 81 Jntuk koefisien s< 2 , : 4. sehingga B : $4 <+t+ $&1 3unakan metode e>uate
# pada 2
4
=
+ s + 4-+ s( + 4-
%oeffi%ient untuk men%ari nilai koefisien ,. B dan
+ %s +
$ + s + 4-
C + s( +4-
'aa) 3
41 kalikan dengan + s H 4-+ s( H 4-. sehingga men5adi 2 4 = $+ s( + 4- + + %s + C -+ s +4 4 = + $ + %- s( + + % + C - s + + $ + C -
(1 penyamaan koefisien s untuk s( :U < : , H B. untuk s4 :U < : B H #. untuk s< :U 4 : , H # 4
4
4
maka didapatkan 2 ⇒ $ = ( . % = − ( . C = ( #ontoh dapat 5uga diker5akan dengan menggunakan metode Equate Coefficient sebagai berikut 2
4
+ Cs + D . kalikan dengan +s $ (-(+s( H 4( + s − (-( + s ( + 4- + s − (- + s − (-( + s +4⇒ 4 = + s − (-+ s ( + 4- $ + % + s ( + 4- + + s − (-( +Cs + D=
$
+
%
sehingga ⇒ 4 = $s8 − ( $s( + $s − ( $ + %s( + % + + s( − ; s + ;-+Cs + D-
=;
− ( $s ( + $s − ( $ + %s ( + % + Cs 8 − ;Cs ( + ;Cs + Ds ( − ; Ds + ; D 4 = + $ + C - s 8 + + −( $ + % − ;C + D - s ( + + $ + ;C − ; D - s + + −( $ + % + ; D 4 = $s
8
s 8 2 $ + C = <
maka didapatkan 2 s ( 2 −( $ + % − ;C + D = < s 2 $ + ;C − ; D = < 42 −( $ + % + ; D =4 apabila diselesaikan. didapat 2 $ = − (=; . % = 4= . C = (=; . D = (=8 &.6
S+"si Persamaa Di!!eresia" Biasa Me**a)a Tras!+rmasi La("a
Persamaan Diffrensial Linear dengan bentuk 2
+ + a d ( y + a d + a y = g +t -
a d " y "
(
dt "
y 4 dt
dt (
<
dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi lapla%e1 Sebagai %ontoh. kita dapat menyelesaikan persamaan diferensial 2 41 d ( y − ; dy + 8 y = <. y +<- = 4. y′+<- = < dt ( d ( y
dt
− ; dy + ; y = sin+t -. y +<- = 4. y′+<- = −4
dt (
(1 Pada
dt
%ontoh kasus 4 +Persamaan Differensial Linear )omogen-. ubah persamaan diferensial dengan transformasi lapla%e 2
d " y = s " : + s - − d " −4 y " dt
L
d t
+<- −
− s " − ( d y
" −4
dt
− s " −4 y+<+<-
Xang 5uga dapat ditulis dalam bentuk 2
" " −4 " −( d +<+<- − 111 − " − − s : + s s y +< s d y L = − " 4 d y y " dt dt dt " −4
untuk memudahkan dalam mengingatnya1 Perlu di%ermati bah"a pangkat dari s menurun. sedangkan turunan y mengalami kenaikan1 Selan5utnya. transformasikan ke ka"asan s dengan transformasi lapla%e 2 d ( − ; dy + 8 y = < y dt dt ( ( L + d y - − L +; dy - + L +8 y- = < dt (
dt
(
⇒ s : + s - − y ′+<- − sy +<-W − ; s: + s - + ; y +<-W + 8: + s- = < y +<- = 4. y ′+<- = < ⇒ s (: + s - − s − ; s: + s - + ; +
8: + s- = < ⇒ + s ( − ; s + 8-: + s - = s − ;
==
didapatkan 2 s − ;
+ s ( − ; s + 8-: + s - = s − ; ⇒ : + s- =
+ s ( − ; s + 8-
⇒ : + s- =
s − ; + s − 4-+ s − 8-
Dari bentuk ini. kita ubah bagian fraksinya 2 : + s- = *alikan dengan + s $ 4- ⇒ + s − ;- = $ + % + s −4-
s − ;
:
+
%
+ s − 4- + s −8. substitusi s : 4. ⇒ +4− ;- = $ + < + s − 4-+ s − 8-
+ s − 8-
+ s − 8-
$
+4− 8-
8 ⇒ $ = ( kalikan dengan +s O 8-. substitusi s : 8. untuk mendapatkan koefisien B1
⇒ + s − ;- = $+ s − 8- + % . s : 8. ⇒ + s − 4+ s −4-
+8 − ;- = < + % . maka % = − 4 +8 −4-
(
sehingga parsial fraksinya men5adi2 : + s- =
8
4 4 4 × − × ( + s − 4- ( + s − 8-
untuk men%ari solusi Persamaan Deferensial asal. ubah : + s- dari ka"asan s ke ka"asan t menggunakan inverse transformasi dengan bantuan tabel1 4 − 4× 4 ( + s − 4- ( + s − 8⇒ L−4 {: + s -} = L−4 8 × 4 − 4 ×
: + s- = 8 ×
8 =
(
−4
× L
4
(
+ s − 4- ( + s − 8- 4 4 −4 4 − × L
+ s − 4- ⇒ y +t - = 8 e t − 4 e8t
(
+ s − 8-
(
(
Pada %ontoh kasus ke$( +Persamaan Diferensial Linear Tak )omogen- 2 d ( y
dy
− ; ( + ; y =
sin+t - dt dt d y
dy
L + ( - − L +;( Lsin+t -W dt dt
- + L +; y - =
Langsung kita ubah ke ka"asan s dengan transformasi lapla%e 2 ⇒ s (: + s - − y ′+<- − sy +<-W − ; s: + s - + ; y +<-W + ;: + s - = Lsin+t -W
Dengan kondisi
56
y +<- = 4. y′+<- = −4 ⇒ s (: + s - + 4 − s − ; s: + s - + ; + ;: + s- =
4 s( +4
⇒ + s − (-( : + s - = 4
+ s − =
s( +4 Sehingga bentuk X+s- nya adalah 2 + s − (- ( : + s - = 4
+ s − =
s( +4
+ s − = ⇒ : + s- = 4 + s − (- ( + s ( + 4- + s − (-( 3unakan partial fra%tion untuk mengubah : + s+ s − = ⇒ $ + % : + s- = 4
⇒ : + s- =
4
;
= + s − (- (
+ s − (-
(=
4
4
×
+
×
+ ;
+ s − (- + s − (-( + s( + 4- + s − (- + s − (-( + ; s + 8 + s − =
+ s − (-( + s( + 4- + s − (-( ⇒ : + s- = ; × 4 + 4× 4
+ Cs + D + E
s
; +
+ 4-
(
(=+ s
×
+
+ s − (-
8
(
4 ×
4
(= s − ( = ( s − () (= s + 4 (= + ; × s + 8 ×4 ⇒ : + s- = ( × 4 − 4; ×4 (
(
4
+ − 8 ( ( s + 4 s − ( s −
(
)
(
?
( 4= ( s − ()( (= s + 4 (= s ( +4 (= s − 3unakan inverse transform untuk mendapatkan solusi akhir (
: + s- = (? × 4
− −4
{: + s -} = L
4
(?
{
−4
(? : + s-
⇒ L
}
(= S+a"8s+a"
41 s +4
−4
( 4=
L
−
×
L − ( 4=
( s − ()
(
dt dt
(
+
− 4; te + ; %os+t - + 8 sin+t ( t
= $
(=
(=
+ %
4
+
+4
(= s
×(
+4
;
−4
(t
4=
×4
×(
4
+ s + (- + s + 8- s + ( s + 8 d y + 9 dy + y = ( y+<- = y @+<- = < (
+
( s − () (= s (
4; −4
(= s
8
(= s ( + 4 (= s( +4 4 ; s 4; 8
−
4
+
⇒ y = (
? e
=
×
(= s −
+ ; × s
(= s − ( 4= ( s − ()(
−4
⇒ L
4; × 4
L
(= s
s (
+ + 4
8
−4 L
(= s
4
(
+4
=C