DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN I.
DIFERENSIAL Kita mengenal notasi
dy dx sebagai notasi turunan yang setara dengan
( x ) , merua!an suatu lambang yang tunggal, dalam arti bu!an "asil f ( bagi dari
dy
dengan
arti terisa". Misal!an
dx . Namun
dy dengan
dx belum diberi
P ( x 0 , y 0 ) adala" suatu titi! teta ada !ur#a
y = f ( ( x x ) . dengan P sebagai titi! asal, buat sumbu !oordinat baru dan
dy
dx yang se$a$ar sumbu % dan sumbu y.
Dalam sistem !oordinat baru ini, ersamaan garis singgung ada !ur#a f
di titi! P adala"
dy = m dx
, dengan gradien m sama dengan
'
f ( x 0 ) . A!ibatnya, A!ibatnya, ersamaan garis singgung ada !ur#a & di titi! P dy = f ( x x 0 ) dx . '
daat ditamil!an dalam bentu!
Definisi Di&&erensial, Andai!an y ' f(x) adala" &ungsi yang terdi&erensiasi
dari euba" bebas x.
Δx adala" !enai!an sebarang dalam euba" x dx disebut diferensial peubah bebas x, sama dengan (%. Δy adala" eruba"an a!tual dalam euba" y se)a!tu x beruba" dari x !e x + (%*
yaitu (y ' &+% (%- &+%dy disebut diferensial peubah tak bebas y, yang dide&inisi!an ole" dy ' &/+%-d%
M isal!an &ungsi y ' & +%- terdi&erensial!an di % ϵ D& , dengan D& suatu selang terbu!a. Di&erensial dari euba" bebas %, ditulis d%, dide&inisi!an sebagai suatu ertamba"an sebarang dari %, yaitu d% ' (% di&erensial euba" ta! bebas y, ditulis dy, dide&inisi!an sebagai beri!ut dy ' &0+%- d% dy dy ' = f ( x ) dari bentu! di&erensial dy dierole" dx , ini berarti ba")a dx memunyai dua ma!na, ertama sebagai "asil turunan &ungsi dari y ter"ada %, dan !edua sebagai "asil bagi dari dy ter"ada d%. Aturan untu! menentu!an turunan daat ditamil!an dalam bentu! aturan untu! menentu!an di&erensial dengan 1ara meng!ali!an setia ruanya dengan d%. 2eri!ut ini adala" beberaa aturan untu! menentu!an di&erensial suatu &ungsi, yang dibanding!an dengan aturan yang sama untu! turunan.
3onto" 4 5 2
Diberi!an &ungsi
y = x + 3 x + 4 . 6entu!an
∆ y dan dy, untu! %'7 dan
∆ x =0,2 Penyelesaian ∆ y = f ( x + ∆ x )− f ( x )
¿( x + ∆ x )2+3 ( x + ∆ x ) + 4 −( x 2+ 3 x +4 ) ¿ x 2+ 2 x ∆ x + ∆ x2 + 3 x + 3 x ∆ x + 4 − x 2−3 x − 4 ¿ 2 x ∆ x + ∆ x 2+ 3 ∆ x ¿ ( 2 x + 3 ) ∆ x + ∆ x
2
dy = f ( x ) dx =( 2 x + 3 ) ∆ x '
Se"ingga untu! % '7 dan
∆ x =0,2
∆ y = ( 2.2 ) ( 0,2 ) +( 0,2) = 1,404 dandy = ( 2.2 + 3 ) ( 0,2 )=1,4 2
II.
HAMPIRAN
Di&erensial a!an memain!an beberaa eranan enting, tetai untu! se!arang enggunaan utamanya adala" dalam memberi!an "amiran8 "amiran. f(x + Δx) ≈ f(x) + dy misal!an &ungsi & terde&inisi ada selang terbu!a I yang memuat xo . $i!a
x 0+ ∆ x ∈ I
ma!a nilai "amiran
f ( x 0 + ∆ x )
dengan !onse
di&erensial adala" ' f ( x 0 + ∆ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ( x0 ) ∆ x Atau ' f ( x 0 + ∆ x ) ≈ f ( x 0 ) + dy;dy = f ( x0 ) dx,dx = ∆ x
Per"ati!an ba")a dise!itar titi! P de!at dengan !ur#a
( x , y ) garis singgungnya sangat 0
0
y = f ( x ) . 9adi $i!a ada x diberi!an ertamba"an sebesar ,
ma!a ertamba"an y ada !ur#a f adala" sebesar y ada !ur#a & adala" sebesar
∆ x = dx ma!a ertamba"an
∆ y = f ( x 0 + ∆ x )− f ( x 0 )
sedang!an ada garis
dy = f ( x 0 ) dx ternyata ba")a dy merua!an suatu '
singgungnya sebesar
"amiran yang bai! untu!
∆ y dan bentu!nya merua!an !eliatan dari
, yang terli"at $elas berdasar!an de&inisi turunan &ungsi & di
x 0
.
∆x
Per"ati!an !embali de&inisi turunan &ungsi & di
'
f ( x 0 )= lim
x 0
, yaitu
f ( x 0 + ∆ x ) −f ( x0 ) ∆x
∆ x →0
2entu! ini daat ditulis!an sebagai lim ∆ x→ 0
(
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x 0) ∆x
)
− f ' ( x0 ) =0,
Atau f ( x 0 + ∆ x )− f ( x 0 )− f ( x0 ) ∆ x '
lim
∆x
∆ x→0
=0
Se!arang misal!an f ( x 0 + ∆ x ) −f ( x 0 ) −f ( x 0 ) ∆ x '
E =
∆x
Ma!a f ( x 0 + ∆ x ) =f ( x 0 ) + f ( x 0 ) ∆ x + E ∆ x , dengan lim E = 0 '
∆ x →0
Atau ∆ y = f ( x 0 + ∆ x )− f ( x 0 )= f ( x 0 ) ∆ x + E ∆ x ,dengan lim E = 0 '
∆ x →0
f ( x 0 ) ∆ x merua!an suatu "amiran yang 1u!u bai! untu! '
Ini berarti ba")a
∆y . 3onto" Soal, :una!an di&erensial untu! membuat "amiran ertamba"an luas sebua" gelembung sabun ada saat $ari8$arinya bertamba" dari ; 1m men$adi ;,<7= 1m Penyelesaian, Luas gelembung bola sabun diberi!an ole" A ' >?r7. Kita bole" membuat "amiran nilai sebenarnya, (A, dengan di&erensial dA, dengan dA ' @?r dr
ada r ' ; dan dr ' (r ' <,<7=, dA ' @?+;-+<,<7=- 4,@@= 1m ersegi Hamiran linier , L+%- ' &+a- &0+a- +%8aDisebut "amiran linier ter"ada &ungsi & di a, dan !adang !adang merua!an "amirn untu! & !eti!a % de!at !e a.
