INTEGRAL DAN TURUNAN
LAPORAN PRAKTIKUM
Oleh : Mochammad Syehfu Aref Ghozali !"#$##%$
LA&ORATORIUM MATEMATIKA 'URUSAN MATEMATIKA MATEMATIKA (AKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETA)UAN ALAM UNI*ERSITAS 'EM&ER TA)UN +#!
&A& , PENDA)ULUAN
, La-ar &ela.a/0
Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan input nilai input, secara umum , turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Sedangkan integral merupakan kebalikan dari turunan atau bisa disebut antiturunan. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melakukan atau melihat benda bergerak. Contohnya mobil yang sedang berjalan ,air yang mengalir, kincir angin yang berputar , dan pesawat yang sedang terbang. Pernahkah kita sadari bahwa dalam tubuh kita juga terdapat benda yang bergerak, seperti jantung yang berdenyut dan darah yang mengalir. Dalam mendeskripsikan permasalahan aliran darah diperlukan suatu perhitungan dengan mempertimbangkan sifat sifat aliran darah. Dalam hal ini peranan integral dan turunan sangatlah penting, karena menyangkut laju perubahan dan kecepatan suatu partikel. ntuk mengetahui kecepatan dan laju aliran darah digunakan prinsip fisika yang menjelaskan perilaku darah dalam pembuluh darah. Pada praktikum kali ini akan mamabahas tentang cara penulisan sintak turunan dan integral dalam pemrograman matlab serta aturan aturan membuat fungsi integral dan turunan yang benar agar mudah diolah oleh matlab sehingga didapatkan manfaat dapat menyelesaiakan perhitungan integral dan turunan dengan mudah dan cepat !efisien" melalui program matlab. ,+ Rumu1a/ Ma1alah #dapun rumusan masalah pada praktikum kali ini yaitu a. #pa yang dimaksud dengan fungsi turunan $ b. #pa yang dimaksud dengan fungsi integral $ c. %agaimana penulisan sintak fungsi integral dan turunan dalam matlab $
,$ Tu2ua/ #dapun tujuan praktikum kali ini yaitu a. ntuk mengetahui pengertian dari fungsi turunan. b. ntuk mengetahui pengertian dari fungsi integral.
c. ntuk mengetahui cara penulisan sintak fungsi integral dan turunan dalam matlab. ,% Ma/faaa. &ahasiswa mampu mengetahui pengertian dari fungsi turunan. b. &ahasiswa mampu mengetahui pengertian dari fungsi integral. c. &ahasiswa mampu mengetahui cara penulisan sintak fungsi integral dan turunan dalam matlab.
&A&,+ TIN'AUAN PUSTAKA +, Pe/0er-ia/ Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah
seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Sedangkan integral merupakan kebalikan dari turunan atau biasa disebut anti turunan. !'irmansyah.())*,(+" (.. ntegral umerik. ntegral fungsi f!/" pada inter0al a1/1b dapat diartiakan sebagai luas daerah bawah kur0a f!/" dari /2a hingga /2b.
y(
X= integral, /2a disebut batas X= bawah, dan /2b Dalam hal ini f!/" disebut
disebut batas atas sedangkan / adalah 0ariabel dari integral itu sendiri !&atanari.()))34". (..( &etode Trapesium &etode trapesium merupakan metode integrasi numerik yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. #pabila sebuah integral didekati dengan metode trapesium dengan satu segmen saja , maka dapat dituliskan sebagai b
−
∫ f ( x ) dx = b 2 a [ f ( a ) + f ( b ) ] + E a
Suku pertama pada ruas kanan adalah turunan trapesium yang kita maksudkan, sedangkan suku kedua dinyatakan sebagai 5 adalah kesalahan dalam metode ini. Sehingga pendekatan yang diperoleh adalah
%eberapa fungsi integrasi yang disediakan matlab adalah sebagai berikut 3
. Trap6!/,y" 3 untuk menghitung integral fungsi y terhadap / dengan pendekatan aturan trape6ium, dimana larik y berisi nilai fungsi yang bersesuain dengan titik /. (. 7uad!8myfuntion9,a,b,tol"
3
menghitung
integral
fungsi
bernama
8myfuntion9 berdasarkan aturan simpson dengan batas bawah integrasi a dan batas atas b serta serta tol adalah harga toleransi yang diberikan. 4. 7uadl!8myfunction9,a,b,tol" 3 untuk menghitung integral fungsi berdasarkan pada integrasi kuadratur labato. Sedangkan a,b, dan tol sama dengan :uad. ;. Dbl:uad!8fun9,/min,/ma/,ymin,yma/,tol 3 untuk menghitung integral ganda dari fungsi 8fun9 dengan /min dan /ma/ masing masing adalah batas bawah dan batas atas pada sumbu y. Sedangkan tol adalah toleransi yang bisa di set. <. Triple:uad!8fun9,/min,/ma/,ymin,yma/,tol" 3 untuk menghitung integrasi numeric ganda tiga dari fungsi 8fun9 dengan /min , ymin, dan 6min masing masing adalah batas bawah sumbu /,y,6 dan serta /ma/,yma6,dan 6ma/, masingmasing adalah batas atas integrasi untuk sumbu /,y,dan 6. !&atanari.()))34(-4<" (..4 &etode Simpson =4 &etode Simpson =4 dapat diterapkan untuk memperoleh harga yang eksak. &etode Simpson digambar dengan ungkapan f ( x 21 ) + f ( b ) n 2
f ( a ) + 4
=1
¿ ∑ = i
1
b
∫ f ( x ) dx = h3 ¿ a
!&atanari,()))34+"
+,$ Pe/uli1a/ (u/01i Turu/a/ da/ I/-e0ral dalam Ma-la3 %erikut merupakan contoh contoh penulisan fungsi turunan dan integral
dalam matlab 3 (.4. &etode Trapesium 1
hasil pendekatan integral dari
∫ ( x − cos ( x )) dx 0
penyelesaian >> /2linspace!),,))"?
>>y2/-cos!/"? >>plot!/,y" Trap6!/,y" #ns2 -).4;< (.4.( &etode Simpson =4 6
∫ x −3 x − 4 dx 2
ilai integral
4
dengan trap6 dan :uad
Penyelesaian a. Dengan fungsi trap6 >>/2linspace!;,+,()"? >>y2/@(-4A/-; >>trap6!/,y" #ns 2 (.+*); b. Dengan fungsi :uad >>y2inline!8/@(-4A/-;"? >>:uad!y,;,+" #ns2 (.+++* c. Dengan Perhitungan &anual 6
∫ x −3 x − 4 x dx = 13 x 2
4
3
3
3
− x −4 x =−6 + 18.6667=12.6667 2
Badi jelas bahwa dengan menggunakan metode simpson yang diwakili dengan fungsi :uad dapat menemukan harga eksaknya jika integrand merupakan fungsi kuadratik. (.4.4 Turunan
n
Bika y = cx
dengan c dan n konstanta real, maka
dy −1 =cn x dx
Contoh3 Dengan program &atlab dapat dikerjakan sebagai berikut 3
!usniawati.())3(*4"
&A& $ METODELOGI $, Ala-
4.. omputer = Eaptop $,+ &aha/
4..( Software &#TE#%
&A& %, )ASIL DAN PEM&A)ASAN %, )a1il
%,+ Pem3aha1a/ Pada praktikum kali ini, membahas tetang fungsi integral dan turunan.
Pada penulisan fungsi turunan dan integral sebuah fungsi yang pertama dilakukan adalah menddfinisikan sebuah 0ariabel. jika dalam satu fungsi terdapat dua 0ariabel maka kedua 0ariabel tersebut wajib didefinisikan terlebih dahulu. %erikut merupakan sintak penulisan pendefinisian 0ariabel 3 Syms(spasi)(variabel1)(spasi)(variabel2) . . . . (variabel n) emudian setelah mendefinisikan 0ariabel, didefinisikan fungsinya dengan sintak penulisan berikut 3 Fungsi = @(variabel)(fungsi) Pada penulisan turunan menggunakan sintak diff. Sedangkan pada penulisan integral sintak yang digunakan adalah int. %erikut merupakan sintak penulisan fungsi turunan dan integral dalam matlab 3 diff(f(x)) int(f(x)) Pada gambar juga dijelaskan penurunan fungsi sebanyak tiga kali. Pada penulisan sintak dalam matlab diffnya ditulis sebanyak tiga kali 3 (diff(diff(diff(f(x)))) #tau bisa juga ditulis sebagai 3 diff(f(x),n) Dimana n adalah banyaknya penurunan berulang yang dilakukan.
Pada gambar juga dijelaskan pengulangan integral. Penulisan sintak integralnya adalah sebagai berikut 3 (int(int(int(f(x))))
&A& !, PENUTUP !, Ke1im4ula/ %erdasarkan hasil praktikum yang telah dilakukan pada praktiku
matlab kali ini maka diperoleh kesimpulan 3 . Turunan merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Sedangkan integral merupakan kebalikan dari turunan atau biasa disebut anti turunan. (. Penulisan sintak fungsi turunan dengan menggunakan fungsi diff ,sedangkan integral dengan menggunakan fungsi int . !,+ Sara/ . Pada penulisan integral jika terdapat dua kali peng-integral-an, harus ditulis
(int(int(f(x))) tidak bisa menggunakan cara turunan.
(. Pada penulisan sintak turunan setelah penulisan diff, fungsi harus diberi tanda kurung.
DA(TAR PUSTAKA 'irmansyah.())*.
Dasar
dasar
!atlab.%andung3ni0ersitas padjajaran. usumawati Firian.()). "l#abar $inear dan &alang. &atanari.())). Differential
(turunan)
!atlab.Bakarta3ni0ersitasegri Bakarta.
Pemrgraman !atri%s.&alang3
dengan
!engguna%an
