Universidad Nacional de Ingeniería FIM
UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE INGENIERÍA FACULT FACULTAD AD DE INGENIERÍA INGENIER ÍA MECÁNICA MECÁNIC A
Curso: Física II Código: MB224 Laboratorio Nº 03 Título: Cuerdas Vibrates !atos "ersoales: #$% Casa&erde 'oria (osei) *bel 20#220+#( 2$%Mosal&e 2$%Mosal &e ,ca)-o Victor Victor 20#2#0.F
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PROLOGO
En el presente informe de física trataremos el tema de cuerdas vibrantes, un caso de onda estacionaria, utilizando para ello un modelo dinámico que nos permita visualizar los vientres, nodos a raíz de una fuente de corriente continua que hará vibrar a una cuerda.
En este experimento se analizará cómo están vinculados los elementos de la onda estacionaria tales como: frecuencia, densidad lineal y longitud de onda, a la vez que se hará un estudio de la relación fuerza velocidad y de la energía de una onda.
abe resaltar tambi!n que este traba"o, se fundamenta siguiendo leyes físicas y matemáticas las cuales se demostraran mediante formulas y para un me"or entendimiento, se utilizará herramientas de a"uste de curvas para así esperar un resultado ideal.
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1. OBJETIVOS •
•
omprender el movimiento oscilatorio en una cuerda. #nalizar experimentalmente la relación que existe entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y longitud de onda de una onda estacionaria en una cuerda tensa.
•
$eterminar gráficamente los puntos donde se localiza la mayor energía cin!tica y potencial respectivamente.
2. ESQUEMA GRAFICO DEL INSTRUMENTAL
Prensa con o!ea
Re"!a
Pesas
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C#er$a PROCEDIMIENTO •
%esar la cuerda, el balde y las pesas y medir la longitud de la cuerda.
•
%oner el generador de ondas sobre la mesa y adherir la polea al borde de la mesa de tal manera que se encuentren al mismo nivel.
•
&nir un extremo de la cuerda al generador de ondas y el otro extremo al balde, luego colocar la cuerda sobre la poleada tal manera que el generador de ondas se encuentre sobre la mesa y el balde suspendido en el aire.
•
olocar una determinada pesa en el balde y activar el generador luego anotar el n'mero de armónicos que se forman en la cuerda desde el extremo que esta unido al generador hasta el punto de contacto con la polea tratando que el primer nodo se encuentre en el extremo del generador, desactivar el generador de ondas y medir la cuerda en donde se formaron los armónicos.
•
(epetir el mismo proceso con diferentes pesas.
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%. &OJA DE DATOS
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'. FUNDAMENTO TEORICO Cuerdas Vibrantes
)as ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de una cuerda, una membrana, etc. *on ondas que resultan de la superposición de ondas de propagación que mantienen una interferencia constante dando un nuevo patrón de onda.
En primer lugar, vamos a encontrar los modos de vibración de una cuerda mediante una experiencia virtual. &na cuerda horizontal está su"eta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelgan pesas. &na agu"a su"eta al centro de la membrana de un altavoz atraviesa la cuerda y le comunica la vibración. *e conecta el altavoz a un generador de ondas y la membrana vibra. $isponemos de un sistema oscilante, de la cuerda, y de la fuerza oscilante proporcionada por la agu"a. uando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador, coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente: estamos en una situación de resonancia.
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Esta experiencia simulada, difiere de la experiencia de laboratorio, en que no cambiamos la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas. En la práctica es lo mismo porque están relacionadas, pero en el laboratorio real el generador de ondas tiene una frecuencia de oscilación que fi"amos al iniciar la práctica y nosotros, mientras la cuerda vibra, tiramos con distinta fuerza de ella con lo que variamos la v de propagación de la onda. )a relación entre una y otra magnitud se explica en la sección dedicada al estudio de las ondas transversales en una cuerda sometida a una tensión es:
$onde T es la tensión de la cuerda y + la densidad lineal de la cuerda. )a frecuencia que debe tener una onda para dar una onda estacionaria estable es:
*i la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son: v/2, v, 3v/2, 2v,...*iendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda. *ustituyendo la velocidad:
Ondas estacionarias
uando el medio de propagación está limitado una cuerda atada a los extremos, la columna de aire dentro de un tubo-, la onda, cuando llega a este límite, se refle"a. Esta reflexión se combina con la perturbación inicial dando lugar a lo que se llama onda estacionaria. Estas ondas están caracterizadas por la aparición de puntos en reposo nodos- y puntos con amplitud vibratoria %%
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máxima vientre-. En las cuerdas vibrantes y en los tubos sonoros, se producen fenómenos de esta clase.
omo e"emplo de ondas estacionarias tenemos las que se producen en una cuerda de guitarra, en los instrumentos de percusión. *i las partículas del medio en el que se propaga la perturbación vibran perpendiculares a la dirección de propagación, las ondas se llaman transversales. *i vibran en la misma dirección se llaman longitudinales. amos a analizar la propagación de un movimiento ondulatorio en una cuerda sometida a una tensión y a determinar la fórmula de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la misma. onsideremos una cuerda cuya tensión es T . En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. amos a ver lo que ocurre cuando se desplaza un elemento de longitud dx , situado en la posición x de la cuerda, una cantidad / respecto de la posición de equilibrio. $ibu"amos las fuerzas que act'an sobre el elemento, y calculamos la aceleración del mismo, aplicando la segunda ley de 0e1ton.
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)a fuerza que e"erce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento, es igual a la tensión T , y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo ð con la horizontal. )a fuerza que e"erce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento, es igual a la tensión T , y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo ð' con la horizontal. omo el elemento se desplaza en la dirección vertical, hallamos las componentes de las dos fuerzas en esta dirección y la resultante. Fy 2 T senð' 3senð*i la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos ð' y ð son peque4os y sus senos se pueden reemplazar por tangentes.
Fy 2T tgð' 3tgð- 2 56d tg ð)a segunda ley de 0e1ton nos dice que la fuerza Fy sobre el elemento es igual al
producto de
su masa
por
la aceleración
derivada segunda del
desplazamiento-. )a masa del elemento es igual al producto de la densidad lineal m masa por unidad de longitud-, por la longitud dx del elemento.
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*implificando la ecuación llegamos a la ecuación diferencial del 7ovimiento 8ndulatorio, y a determinar la dependencia de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda con la tensión de la cuerda T 0- y con su densidad lineal m 9gm-
&na onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: un incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de refle"arse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda. y 1=A sen (kx -w t) de izquierda a derecha y 2 =A sen (kx +w t) de derecha a izquierda )a onda estacionaria resultante es la suma de l as dos: y resultante =y 1+ y 2 =2 A sen(wt). El extremo por el que está su"eta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero durante todo el tiempo-. %ara que la función anterior sume cero la 'nica "ustificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda el punto fi"o- y que una valga ;# y la otra 3#. *umando las funciones y sabiendo que: sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 ·!s (a+b)/ 2 8btenemos: y resultante =y 1+ y 2= 2A sen (kx) !s(w t).
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omo vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el t!rmino (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y con una amplitud 2A sen (kx). )a amplitud puede alcanzar distintos valores seg'n la posición, x, del punto. #lgunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca puntos estacionarios-: son los llamados nodos. )os puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a <=#< sólo pueden hacerlo cada cierto tiempo, cuando cos 1 t- sea igual a >. *upongamos ahora una cuerda de longitud " fi"a en los extremos. )a cuerda tiene un con"unto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. )as frecuencias se pueden calcular fácilmente. En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fi"os. El primer modo de vibración será aquel en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda "2 # =. %ara el segundo modo de vibración 3un nodo en el centro3, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, "2#. %ara el tercer modo, " 2 3# =, y así sucesivamente. %odemos proceder al rev!s y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fi"a, para obtener diferentes modos de vibración. *e producirán nodos para una cuerda de longitud <)< cuando la l de la onda tenga los valores dados por la fórmula:
omo la frecuencia y la longitud de onda están relacionadas con la velocidad de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relación
% ## %
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En una cuerda de longitud <)< obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la fórmula al sustituir . 5ambi!n se pueden obtener los armónicos de las frecuencias dadas por la fórmula anterior para n 2>, =,? )a velocidad de propagación v de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda.
)a fórmula que indica que frecuencia debe tener una onda que rebota entre los extremos de una cuerda de longitud ) y masa m atada por los extremos y tensada con una fuerza 5 es:
(. CALCULOS ) RESULTADOS
> alcule $ , λ y v para cada masa peso- llenando el cuadro siguiente
F *N+
n
L *c,+
6
@,>AB @,=AA @,?A? @,CC @,FFC >,A@A
C ? ? ? ? =
CA,D CC,D A@,> AB, A,A B@,?
=
F
:89 2 L u >.F=C @.@D> ?.AD A.>>@ =.CAC =.=D?
λ
2 L =
@.==n @.=FB @.??C @.?A @.AB@ @.B@?
v
=
λ $ f
>.DBF =?.@A =.@@ ?=.BFD CD.FFF AB.?>
6 -ro)edio7+2$## 8
=. Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía cin!tica y la de mayor Energía %otencial en la cuerda.
% #2 %
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An-!ss $e !as ener"/as en !a On$a
Ma0or Ener"/a Poenca!
Ma0or Ener"/a Cnca = ?. Grafique v versus H e interprete el resultado. Iaga a"uste de la gráfica por mínimos cuadrados
*e observa que la gráfica se aproxima a una recta los cual es correcto, además se verifica que la pendiente ====.= es igual a la inversa de la densidad lineal CA@ x >@3D-3> q es igual a ====.===
% #3 %
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3. CONCLUSIONES •
)as ondas estacionarias se producen para determinadas condiciones de fuerza, características de la cuerda y frecuencia de oscilación del vibrador el!ctrico.
•
)a longitud de onda teórica solo es de referencia, ya que con todos los factores externos varia.
•
)a longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia.
•
El n'mero de vientres depende de la fuerza aplicada y la longitud de la cuerda.
•
)a grafica
v
2
vs. F se aproxima una recta, en la cual la pendiente es
igual a la densidad lineal, con lo cual podemos decir que las condiciones establecidas para la cuerda son correctas. •
)as relaciones de energías máximas tanto de cin!tica como de gravitatorias se da en las posiciones extremas, como lo indica la teoría.
4. RECOMENDACIONES •
)as pruebas deben realizarse con más de un tipo de cuerda para observar así las variaciones de los vientres para las mismas condiciones.
•
*e requiere el uso de dos vibradores para apreciar de manera real la interferencia de ondas.
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El uso de sensores de posición puestos en un fondo blanco serviría mucho, ya que se apreciaría la longitud de cada vientre con más precisión.
•
)a frecuencia de vibración debe ser alta para que se visualice me"or el n'mero de vientres.
•
*e recomienda el uso de una cuerda con dos diferentes grosores para observar la diferencia a oscilar solo una del mismo tipo.
5. OBSERVACIONES •
)a frecuencia de varios vibradores no era la adecuada y fue meno notorio el numero de vientres.
•
)a longitud de la mesa de apoyo para algunos casos fue insuficiente.
•
)a medición de las longitudes de los vientres no están precisa utilizando regla, ya que se interfiere su vibración.
•
%ara el caculo de la energía cin!tica seria de importancia medir las amplitudes de los vientres y comparar las dos formulas teóricas.
16. BIBLIOGRAFIA
•
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