Integrantes: • •
Atoche Chunga Katty Morales Rodriguez Diego
Cuerdas Vibrantes 2017-2
•
Profesor: Sandro Miguel Rodriguez Laura
Número de laboratorio: • Tercer Laboratorio Fecha de entrega de laboratorio: •
1 de Noviembre
pág. 1
1.-- Índic e: 1. INTRODUCCIÓN……………………………………………. ..............................
3
ANTECEDENTES………………………… ANTECEDENTES……………………………………………… ………………………………………. ………………….
4
JUSTIFICACIÓN…………………………………………………………………… JUSTIFICACIÓN……………………………………………………………………
5
OBJETIVOS……………………………………………………………………….... OBJETIVOS………………………………………………………………………....
6
FUNDAMENTO TEORICO………………………………………………………… TEORICO…………………………………………………………
7
EQUIPO UTILIZADO……………………………………………………………….
11
DIAGRAMA DE FLUJO…………………………………………………………….
12
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL…………………………………………….
13
TOMA DE DATOS-RESULTADOS-GRAFICS…………………………….……. DATOS-RESULTADOS-GRAFICS…………………………….…….
15
CUESTIONARIO……………………………………………………………………. CUESTIONARIO…………………………………………………………………….
16
OBSERVACIONES………………………………………………………………….
17
SUGERENCIAS……………………………………………………………………… SUGERENCIAS………………………………………………………………………
22
CONCLUCIONES……………………………………………………………………. CONCLUCIONES…………………………………………………………………….
23
BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………. BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………………….
23
ANEXO………………………………………………………………………………... ANEXO………………………………………………………………………………...
24
pág. 2
2.- Resumen : En este laboratorio se experimentó y estudió la creación y comportamiento de ondas estacionarias en un modelo real de laboratorio donde se nota la relación que hay entre la frecuencia , la tensión la velocidad de onda ,longitud de la cuerda y la frecuencia además de otros aspectos en el estudio del movimiento de una onda que nos ayudan a comprender fenómenos cotidianos asociados con este tema todo ello se hizo posible utilizando un vibrador con frecuencias definidas como pulsador, también distintas masas para generar la fuerza de tensión sobre la cuerda la cual se tomó como medio de propagación.
3.- Introducción: Las ondas estacionarias son ondas producidas en un medio limitado, como, por ejemplo, una cuerda elástica no muy larga y fija en al menos uno de sus dos extremos. Para generar en dicha cuerda una onda estacionaria, se puede atar por un extremo a una pared y hacer vibrar al otro con una pequeña amplitud. Se obtienen pulsos transversales que viajan hasta la pared, donde se reflejan y vuelven. La cuerda es recorrida por dos ondas de sentido opuesto y se producen interferencias que, en principio, dan lugar a unas oscilaciones bastante desordenadas. Aumentando la frecuencia con la que se agita el extremo de la cuerda se puede conseguir que las oscilaciones adquieran el perfil mostrado por la figura adjunta. Corresponde a una onda en la que aumenta sensiblemente la amplitud y tiene un vientre fijo en el centro y dos nodos Si se fijan los dos extremos de la cuerda y se estira transversalmente de uno, dos, tres puntos se puede generar en la cuerda una secuencia de ondas estacionarias con un número creciente de nodos y vientres, como las indicadas en la figura adjunta. Una propiedad destacada de estas ondas estacionarias es que su longitud de onda (y, consecuentemente, su frecuencia) no puede adoptar cualquier valor arbitrario, sino sólo unos determinados valores que se relacionan con la longitud de la cuerda, mediante las siguientes expresiones: l1 = 2L, l2 = 2L/2, l3 = 2L/3, l4 = 2L/4,... ln = 2nL/4 (siendo n = 1, 2, 3,..)
Teniendo en cuenta que c = l/T = ln, las frecuencias correspondientes son: n1 = c/2L
n2 = 2c/2L
n3 = 3c/2L
n4 = 4c/2L,..
nn = nc/2L (siendo n = 1, 2, 3,..) pág. 3
Estas frecuencias se llaman frecuencias de resonancia o frecuencias naturales del medio en el que se produce la onda (en este caso la cuerda). A la menor se la denomina frecuencia fundamental o "primer armónico" y las siguientes se designan sucesivamente como segundo armónico, tercer armónico, etc. En términos musicales (podemos pensar, por ejemplo, que se trata de la cuerda de una guitarra) al segundo armónico se le denomina "primer sobretono", al tercero "segundo sobretono" y así sucesivamente.
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4.- Agradecimientos :
Agradecemos principalmente a los profesores Sandro Miguel Rodríguez Laura y Renato Tovar quienes han contribuido en la elaboración de este trabajo a través de su influencia en el establecimiento de las técnicas , principios de enseñanza, por la dedicación al momento de dirigirnos durante el desarrollo del experimento dentro del laboratorio haciendo posible luego la ejecución de este trabajo y que con sus sugerencias y revisiones a nuestros conceptos que necesitaban una mayor aclaración, respectivamente finalmente gracias a nuestras familias por su incondicional apoyo y sobre todo gracias a Dios.
Atoche Chunga Katty Morales Rodriguez Diego
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5.- Justificación: La física como disciplina del conocimiento fuertemente estructurada incluye dentro de su metodología la experimentación como forma de validar teorías y hallar vacíos de conocimiento. El laboratorio de cuerdas vibrantes busca comprender cómo es el movimiento de la cuerda a ciertas frecuencias bajo circunstancias determinadas y controladas en un laboratorio nos ayuda a tener un mejor concepto de cómo podemos utilizar mejor los resultados y darles una mejor aplicación en múltiples campos de nuestra vida. En esta práctica se experimentó y estudió la creación de ondas estacionarias utilizando un generador de ondas sinusoidales definidas como pulsador, unas masas para crear tensión y una cuerda como medio de propagación. Por medio de los valores hallados, se encontraron las frecuencias experimentales y se pudo comparar estas con las teóricas, hallando los errores porcentuales.
6.- Importancia del experimento: Las ondas estacionarias tienen una gran importancia. El viento, por ejemplo, puede producir ondas estacionarias en un puente colgante haciendo que la amplitud de oscilación aumente y provoque su rotura. En general los edificios muy altos han de proyectarse teniendo en cuenta las ondas estacionarias que podrían tener que soportar y lo mismo ocurre con los aviones. Los instrumentos de música dependen de las ondas estacionarias para producir sonidos musicales, desde los de cuerda (guitarra, violín,..) a los de viento (saxofón, trompeta,..) o de percusión.
7.- Objetivos de la experiencia :
Generales: • •
Estudiar la propagación de ondas armónicas transversales en una cuerda tensa y la forma en que se superponen para dar lugar a ondas estacionarias Mostrar la relación entre la frecuencia, tensión,densidad lineal y “longitud de onda” de una onda estacionaria tensa.
Específicos: •
Determinar la densidad lineal de la cuerda experimentalmente.
•
Graficar un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor energía potencial y cinética en la cuerda.
•
Encontrar la velocidad de propagación de una onda en la cuerda, para diferentes tensiones pág. 6
8.- Fundamento teórico:
Superposición de Ondas: Cuando dos o más ondas mecánicas de igual frecuencia son transmitidas en un medio, el resultado es una onda que es la suma de ellas. Esto significa que en cada punto del medio, el desplazamiento es la suma de los desplazamientos individuales que produciría cada una de las ondas; a este resultado se le conoce como Principio de Superposición. 1.
Onda resultante con la misma frecuencia pero mayor amplitud
Figura 1.- Superposición de Ondas.
Ondas Estacionarias: Cuando en un medio como una cuerda o un resorte, se genera una oscilación en uno de sus extremos, comienza a propagarse una onda. Al llegar al otro extremo del medio, la onda sufre una reflexión y viaja en sentido contrario por el mismo medio. De esta forma en el medio se tienen dos ondas de iguales características que se propagan en sentido contrario, lo cual da origen a una onda estacionaria. La onda estacionaria recibe su nombre del hecho que parece como si no se moviera en el espacio. De hecho cada punto del medio tiene su propio valor de amplitud. Algunos puntos tienen amplitud máxima, son llamados antinodos, y otros puntos tienen amplitud igual a cero y son llamados nodos. Los nodos se distinguen muy bien porque son puntos que no oscilan. La distancia entre dos nodos vecinos es igual a media longitud de onda, por lo cual la medición de la distancia entre nodos permite determinar la longitud de la onda. La figura 2 muestra el comportamiento de una onda estacionaria en el tiempo. También se señalan sus diferentes partes.
pág. 7
Figura 2.- Onda Estacionaria.
Velocidad de una Onda: Del análisis del movimiento ondulatorio y de la definición de velocidad v: v
d
t
(1)
donde d es la distancia que se recorre en un tiempo t, se puede determinar una expresión para la velocidad de la onda. Por definición, el período T de una onda es el tiempo en el que se transmite una oscilación completa. Si la longitud de la onda es en un tiempo igual al período la onda se habrá de splazado una distancia igual a λ. Por lo tanto, la velocidad de la onda será: v
T
(2)
El período T está relacionado con la frecuencia de la onda de acuerdo con la siguiente ecuación:
T
1
f
(3)
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (2), obtenemos otra expresión para la velocidad de la onda: v = λf
(4)
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Ondas Estacionarias en una Cuerda:
Una forma de producir ondas estacionarias es propagando ondas desde un extremo de una cuerda hasta el otro que se mantiene fijo. Al llegar al extremo fijo la onda se reflejará y se superpondrá con la onda incidente, produciéndose entonces la onda estacionaria. En este caso, las oscilaciones de la cuerda pueden ser de diferentes formas o modos, según sea la frecuencia con la que oscile la cuerda. A estas formas de oscilar se les llama modos normales de oscilación. El primer modo normal de oscilación, llamado modo fundamental de oscilación, es el que tiene mayor amplitud y cuya longitud de onda es tal que la longitud L, de la cuerda es igual media longitud de onda; es decir, la longitud de la onda del primer modo es: f 1 = 2L
(5)
Sustituyendo esta relación en (4), tenernos que: v = 2f 1L
(6)
En el segundo modo de oscilación la frecuencia es igual al doble de la frecuencia del primer modo de oscilación y se establecen dos medias ondas es decir una onda completa en la cuerda. En la figura 3 se muestran las ondas estacionarias de los primeros cinco modos de oscilación; el número de modo puede identificarse por el número de antinodos presentes.
pág. 9
Modo Fundamental
= 2L
f = f 1
Segundo modo
=L
f = 2f 1
Tercer modo
= 2L/3
f = 3f 1
Cuarto modo
= L/2
f = 4f 1
Quinto modo
= 2L/5
f = 5f 1
Figura 3.- Modos de Oscilación. Para los modos normales de oscilación las longitudes de onda son más cortas: n
2 L n
n = 1, 2, 3, ...
(7)
y las frecuencias son n veces la frecuencia del modo fundamental de oscilación: Por otro lado:
f n = nf 1
n = 1, 2, 3, ...
(8)
La solución de la ecuación de ondas bien conocida de todos es: . Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. La onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx −ωt . Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derec ha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto de la onda incidente. La superposición de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a una onda estacionaria. pág. 10
En estas ecuaciones, k representa el número de ondas k = 2 π / λ y ω es la frecuencia angular, ω = 2π / T , siendo λ y T, respectivamente, la longitud de onda y el periodo. La superposición de ambas ondas, incidente y reflejada, conduce a:
El término sen (ωt) representa la dependencia temporal, mientras que 2Asenkx es la amplitud, la cual, obviamente, depende de la posición x. Es decir, los distintos puntos de la cuerda vibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes, que no dependen del tiempo. Significado físico de la superposición expresada por la ecuación:
Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremos x = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes
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9.- Equipo utilizado:
masas
Una cuerda
Un vasito plástico
Una fuente de corriente continua
Un vibrador
Una polea incorporada en una prensa
Una regla graduada de 1 metro
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sin embargo •
Se empleo un vibrador que producía un tren de ondas senoidales a una cuerda de cierta longitud
•
•
ciertamente
en donde estas se reflejaban en el extremo opuesto produciendo ondas estacionarias
siempre y cuando la tensión, la frecuencia y la longitud de la cuerda tuvieran valores apropiados con la finalidad de obtener datos como la longitud de onda , la rapidez de propagación ,etc.
Con la finalidad de compar resultados teóricos con los experimentales.
La figura anterior representa mi diagrama de flujo simplificado del experimento
Imagen que representa un bosquejo de la disposición de nuestro experimento
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10.- Procedimiento experimental seguido y toma de datos.
Disponga el equipo sobre la mesa como indica la figura
Ponga una masa en el vasito, haga funcionar el vibrador, varié lentamente la distancia del vibrador hasta que se forme un nodo muy cerca al vibrador. Mida la distancia L desde la polea hasta el nodo inmediato al vibrador. Anote el número n de armónicos de onda contenidos.
Repita el paso anterior con diferentes masas dentro del baldecito ,cuyo peso debe ser añadido al del peso contenido en el para referirnos a la fuerza F.Como resultado de los pasos llenar el cuadro de datos.
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•
Toma de datos :
m (Kg)
F (N)
n
L (m)
0.0163
0.1599
5
1.069
0.0373
0.3659
4
1.207
0.0582
0.5709
4
1.477
0.0706
0.6926
3
1.102
0.0804
0.7886
3
1.169
0.0906
0.8887
3
1.269
0.0917
0.8995
3
1.273
0.0528
0.5180
3
1.084
Densidad lineal de la cuerda: µ = 3.00 x 10 -4 kg/m
11.- Cálculos, resultados, gráficas y cuestionario: 1) Calcule f, λ y V para cada masa(peso) llenando el cuadro:
Con los datos tomados calculamos los datos restantes con las fórmulas correspondientes para cada uno de ellos.
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= √ (−) Hz = (m)
(m/S)
m (Kg)
F (N)
n
L (m)
0.0163 0.0373 0.0582 0.0706 0.0804 0.0906 0.0917 0.0528
0.1599 0.3659 0.5709 0.6926 0.7886
5 4 4 3 3
1.069 1.207 1.477 1.102 1.169
53.992 57.870 59.072 65.401 65.789
0.428 0.604 0.739 0.735 0.779
23.087 34.924 43.625 48.048 51.271
0.8887 0.8995 0.5180
3 3 3
1.269 1.273 1.084
64.334 64.520 57.498
0.846 0.849 0.723
54.427 54.756 41.552
v=
2)Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía Cinética y la de mayor Energía Potencial en la cuerda.
•
Instante de mayor energía cinética(a la altura de los nodos). Instante de mayor energía potencial (máximo desplazamiento vertical).
•
Justificación:
•
Se concluye entonces que en los antinodos la energía potencial es mayor cuando su amplitud es máxima ya que en ese instante existe un momento donde la velocidad de la cuerda se vuelve nula, en consecuencia toda la energía mecánica se vuelve todo una energía potencial es decir máxima. Cuando la amplitud es cero la energía potencial es cero y la energía mecánica es totalmente cinética es decir es máxima.
pág. 16
3)Grafique f 2 vs F e
2 vs F y ajustar a mínimos cuadrados.
Grafica f 2 vs F 5000 4500 4000 ) Z H3500 ( o d a r 3000 d a u c l 2500 a a i c 2000 n e u c 1500 e r f
1000 500 0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Fuerza(N)
pág. 17
1
•
Ajuste de la gráfica por mínimos cuadrados:
Para ello primero hallamos los valores de x e y.
x
y
xy
x2
0.160
2915.144
466.140
0.026
0.366
3348.899
1225.406
0.134
0.571
3489.553
1992.332
0.326
0.693
4277.320
2962.412
0.480
0.789
4328.160
3413.299
0.622
0.889
4138.922
3678.210
0.790
0.899 0.518
4162.895 3306.021
3744.436 1712.413
0.809 0.268
4.884
29966.914
19194.648
3.454
x
y
0 1
1349.64 4998.24 8646.85
2 3 4 5 6 7 8 9
12295.46 15944.07 19592.68 23241.29 26889.89 30538.50 34187.11
pág. 18
Grafica f2 vs F 40000.00 34187.11
35000.00 30538.50 2 30000.00 ) Z H ( O D25000.00 A R D A U C 20000.00 L A A I C N15000.00 E U C E R F 10000.00
26889.89 23241.29 19592.68 15944.07 12295.46 8646.85 4998.24
5000.00 1349.64 0.00 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
FUERZA(N)
De la ecuación de la recta y=mx+b Se obtiene:
m = 3648.608195 b = 1349.63657 pág. 19
10
Gráfica 2:
Grafica
2
0.4
0.5
vs F
0.8
0.7 ) 2 0.6 m ( o d a r d 0.5 a u c l a a 0.4 d n o e d 0.3 d u t i g n o 0.2 l
0.1
0 0
0.1
0.2
0.3
0.6
0.7
0.8
0.9
fuerza (N)
pág. 20
1
•
Ajuste de la gráfica por mínimos cuadrados.
Para ello primero hallamos los valores de x e y.
x
y
xy
x2
0.160
0.183
0.029
0.026
0.366
0.364
0.133
0.134
0.570
0.545
0.311
0.325
0.692
0.540
0.373
0.479
0.788
0.607
0.478
0.621
0.888
0.716
0.635
0.788
0.899
0.720
0.647
0.807
0.517
0.522
0.270
0.268
4.879
4.198
2.878
3.447
x
y
0
0.0592
1
0.8103
2
1.5615
3
2.3126
4
3.0638
5
3.8149
6
4.5661
7
5.3172
8
6.0684
9
6.8195
pág. 21
De la ecuación de la recta y=mx+b Se obtiene: • •
m = 0.75114 b = 0.0591974
Grafica
2 vs F
8.0000
7.5707 6.8195
7.0000 6.0684 O6.0000 D A R D A U5.0000 C L A
5.3172 4.5661 3.8149
A D4.0000 N O E D
3.0638
D3.0000 U T I G N O2.0000 L
2.3126 1.5615 0.8103
1.0000 0.0592 0.0000 0
2
4
6
8
10
12
FUERZA(N)
pág. 22
12.- Observaciones: •
•
•
•
Eligiendo distintas pesas, se puede variar la tensión y longitud de la cuerda de forma que, se modifican los valores de las frecuencias para las que la cuerda soporta ondas estacionarias. Así, midiendo los valores de estas frecuencias para distintas masas, así como la masa y longitud de la cuerda, se pueden comparar las tensiones obtenidas experimentalmente con aquellas deducidas de las expresiones teóricas. Se trabajó con un vibrador que tiene una frecuencia de oscilación definida sin embargo muy baja. Se observa que, para lograr un mayor número de antinodos, se debe disminuir las masas dentro del balde. Para lograr un mismo número de antinodos, si se aumenta la masa en el balde (Fuerza) entonces la longitud (L) se hace menor.
13.- Sugerencias: •
•
•
Recomendablemente es usar un vibrador que regule la frecuencia de las oscilaciones. Se sugiere trabajar con una cuerda larga y liviana para poder apreciar los mayores números de armónicos. Debemos procurar que en la medición de la longitud de la cuerda no interfiera la vibración en ese instante.
14.- Conclusiones: •
•
•
•
•
Se logró entender el comportamiento de una onda estacionaria sobre en un medio,como una cuerda con ciertas características, se pudo determinar la longitud de la onda, la densidad lineal y la velocidad de probación de la onda, por medio del amplificador de potencia se registraron los datos necesarios que permitieron desde la teoría afirmarlos. Las ondas estacionarias se producen al tener bien definidas la tensión que es el factor causante de las de reflexión Los nodos son puntos de la cuerda donde no se trasmite energía en estos, en cambio en los antinodos o vientres son los puntos donde la amplitud es máxima. Al aumentar la frecuencia la longitud de onda (lambda) disminuye porque ante el aumento de la frecuencia empiezan a parecer una mayor cantidad de nodos y antinodos (armónicos), haciendo que lambda disminuya. Se concluye que las ondas estacionarias en una cuerda se producen cuando existe una tensión en dicha cuerda, generando una velocidad que depende de la densidad lineal de la cuerda y de la tensión de ella
pág. 23
•
Podemos concluir que la longitud de onda disminuye si la frecuencia aumenta, ya que como vimos anteriormente en la gráfica estas tienen un comportamiento decreciente, por tanto son inversamente proporcionales.
•
La velocidad de propagación de una onda depende de la tensión que hay en la cuerda por tanto a un aumento de tensión en una misma cuerda, su velocidad será mayor.
15.- Bibliografía: • •
• • • •
Serway. Física. Editorial McGraw-Hill (1992). Alonso, Marcelo Y Finn, Edward J. (1990). Física: Mecánica. EE.UU.: Edit. FEIS Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005.; Ed. Reverté; Vol. 2, Apéndice Handbook of Physics and Chemistry, 1989-1990 70th Edition Guión de prácticas del Laboratorio de Mecánica y Ondas, 2º de Física, UVEG Grupo de laboratorio, Física II, Universidad del Magdalena -España.
16.- Anexo (hoja de toma de datos):
pág. 24
pág. 25
