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2011 Universidad
Nacional de Ingeniería Facultad de Ingeniería Mecánica
Informe N°3
Cuerdas vibrantes CURSO
:
FISICA II – MB224 - F
PROFESOR Teodoro
:
INTEGRANTES
:
Ing. Pachas Salhuana José
Corzo Matamoros Jimmy Dangelo Quichua Palomino Julio César Augusto
20090188I 20090246I
Prólogo En esta experiencia se estudia la aparición de ondas estacionarias en una cuerda tensa sujeta por su extremo en función de la tensión aplicada a la misma. Se analizan los diversos parámetros que intervienen en la aparición de ondas estacionarias en la cuerda como son la frecuencia de excitación f , la densidad lineal de masa μ de la cuerda, la tensión aplicada T y la longitud L de la cuerda. Todos estos parámetros tendrán un valor fijo en la experiencia, dejando como único parámetro variable la tensión o fuerza aplicada T .
Para la realización de la experiencia se dispone de una cuerda de longitud L, uno de cuyos extremos está sujeto a un motor que produce un movimiento de vibración de pequeña amplitud. Esta vibración se propaga a lo largo de la cuerda hasta el otro extremo donde resulta reflejada. La onda reflejada se propaga ahora en sentido opuesto, con lo cual en cada punto de la cuerda se produce la superposición o interferencia de la onda incidente y de la onda reflejada. Bajo ciertas condiciones esta superposición genera un estado de vibración especial de la cuerda, que recibe el nombre de onda estacionaria.
A pesar de lo que su nombre pudiera indicar, las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino modos de vibración de la cuerda. En el estado de onda estacionaria tenemos que cada punto de la cuerda se encuentra vibrando a la misma frecuencia f pero con distinta amplitud, encontrándose una serie de puntos, los nodos, cuya amplitud de vibración es nula, y otra serie de puntos, los vientres, cuya amplitud de oscilación es máxima Cabe mencionar que las ondas estacionarias están muy presentes en nuestra vida diaria. Así por ejemplo al tocar música se generan ondas estacionarias en el instrumento musical: en las cuerdas de un instrumento de cuerda, en el aire de la cavidad de un instrumento de viento, o en la membrana de un instrumento de percusión. Por último queremos agradecer a la facultad de ciencia por el préstamo de su laboratorio, además al ing. José Pachas por el tiempo brindado hacia nosotros y por su conocimiento que nos transmite en cada experimento
Objetivos ➢ ➢
➢ ➢ ➢
➢ ➢
Comprender el movimiento oscilatorio en una cuerda. Analizar experimentalmente la relación que existe entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y longitud de onda de una onda estacionaria en una cuerda tensa. Determinar gráficamente los puntos donde se localiza la mayor energía cinética y potencial respectivamente. Comprobar las fórmulas de las frecuencias y ecuación de las ondas propias de una cuerda. Determinar la presencia de los elementos de una onda estacionaria en una cuerda con determinada densidad lineal, tales como la longitud de onda, el número de nodos, la frecuencia, entre otros. Obtener la gráfica de velocidad al cuadrado versus la tensión. Comparar el experimento de ondas estacionarias en una cuerda con el modelo ideal de ésta.
Representación esquemática del fenómeno Materiales ➢
Un vibrador y una fuente de corriente continua.
➢
Un vasito de plástico y una cuerda de 1.37metros.
➢
Una polea incorporada a una prensa.
➢
Cuatro masas de diferentes pesos.
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Una regla graduada de un metro.
Procedimiento ➢ ➢ ➢
Atar la cuerda por un extremo al oscilador y por el otro al balde. Pasar la cuerda por la polea. Hacer oscilar la cuerda con las diferentes masas.
Fundamento teórico
ONDAS ESTACIONARIAS Una onda estacionaria se forma por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza con igual amplitud, longitud de onda (o frecuencia) que avanzan en sentido opuesto a través de un medio. Las ondas estacionarias permanecen confinadas en un espacio (cuerda, tubo con aire, membrana, etc.). La amplitud de la oscilación para cada punto depende de su posición, la frecuencia es la misma para todos y coincide con la de las ondas que interfieren. Hay puntos que no vibran (nodos), que permanecen inmóviles, estacionarios, mientras que otros (vientres o antinodos) lo hacen con una amplitud de vibración máxima, igual al doble de la de las ondas que interfieren, y con una energía máxima. El nombre de onda estacionaria proviene de la aparente inmovilidad de los nodos. La distancia que separa dos nodos o dos antinodos consecutivos es media longitud de onda. Se puede considerar que las ondas estacionarias no son ondas de propagación sino los distintos modos de vibración de la cuerda, el tubo con aire, la membrana, etc. Para una cuerda, tubo, membrana entre otros, sólo hay ciertas frecuencias a las que se producen ondas estacionarias que se llaman frecuencias de resonancia. La más baja se denomina frecuencia fundamental, y las demás son múltiplos enteros de ella (doble, triple, etc.). Una onda estacionaria se puede formar por la suma de una onda y su onda reflejada sobre un mismo eje (x o y).
ONDA COMPLETA Se considera que una onda es completa cuando ha finalizado su recorrido, lo que podemos considerar como dos movimientos: ➢ ➢
Cuando llega a una cresta consecutiva, habiendo recorrido un valle. Viceversa.
Se pueden obtener por la suma de dos ondas atendiendo a la fórmula: y1=Asen(kx+wt) y2=Asen(kx-wt) y=y1+y2=Asenkx+wt+Asen(kx-wt) Estas formula nos da como resultado: y(x,t)=2Asenkx.cos(wt) Siendo:
ω=2πf y k=2πλ
VALLES Y NODOS ➢
Se produce un valle cuando: senkx=±1, siendo kx=π2,3π2,…,…,(2n+1)2
➢
Si k=2πλ →x=n+12.λ2 Se produce un nodo cuando senkx=0, siendo kx=0,π,2π,….nπ Si k=2πλ →x=n .λ2
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación de los nodos, que representa la distancia máxima posible entre dos nodos de una longitud dada. Ésta se denomina frecuencia fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuación, el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio Si x=L y λ=λn → L=n .λn 2 Siendo L la longitud de la cuerda, despejamos λ: λn =2Ln
Frecuencias fundamentales
Cálculos y resultados 1) Calcule f, λ y V para cada masa(peso) llenando el cuadro: F(mg.m/s2 )
n
L(m)
f (Hz)
λ=2L/n
V = λ.f
1
264870
2
0.666
57.957
0.444
25.733
2
264870
3
0.912
42.324
0.608
25.733
3
372780
2
0.807
37.829
0.807
30.528
4
372780
3
1.150
39.819
0.767
30.528
5
657270
2
1.085
37.360
1.085
40.536
6
657270
1
0.600
33.780
1.200
40.536
7
274680
2
0.672
38.995
0.672
26.205
8
274680
3
1.010
38.918
0.673
26.205
Densidad lineal de la cuerda µ=400 mg/m
2) Grafique un perfil de la cuerda indicando la posición de mayor Energía Cinética y la de mayor Energía Potencial en la cuerda. Para valores medios
E k
=
1 4
2 µ ω A 2 λ
E p
=
1 4
µ ω 2 A 2 λ
Mayor energía potencial
Mayor energía cinética
3) Grafique V 2 vs F e interprete el resultado. Haga ajuste de la gráfica por mínimos cuadrados. v2
F
662.175
264870
662.175
264870
931.950
372780
931.950
372780
1643.175
657270
1643.175
657270
686.700
274680
GRAFICA DE V2 vs F
La ecuación obtenida es: V2 =5 (10-23) + 0.0025F + 1(10 -11)
De la gráfica se obtiene que V2 =5 (10-23) + 0.0025F + 1(10-11) pero como 5(10-23) y 1(10-11) es muy pequeño se omite y se obtiene la relación:
V2 = 0.0025F
Pero según la teoría: V2 = (1/ µ).F
Entonces:
1/ µ = 0.0025 m/mg
µ= 400 mg/m
Pero teóricamente
µ=400 mg/m Por lo tanto %Error = 400-400 400*100 =0%
Observaciones ➢ ➢
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➢ ➢ ➢ ➢
➢ ➢ ➢ ➢
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Se observa en primer lugar que obtenemos un error del 0%. Se observa que la frecuencia y la velocidad aumentan conforme aumenta la Fuerza. Se observa que la gráfica de V2 versus F, es una función lineal. Se observa que para una misma n diferente de 2 la longitud de onda va aumentar si aumenta la longitud de la cuerda. Se observa que para un n=2 la longitud de onda es la misma que la longitud de la cuerda. Se observa que si el vibrador no se fija bien en la mesa, las ondas en vez de ser transversales se forman en ondas longitudinales. Se observa que la onda estacionaria solo se forma desde el extremo de la cuerda sujeta al vibrador hasta el punto de contacto de la cuerda con la polea. Se observa que para una misma fuerza el n aumenta conforme se aumenta la longitud L. La longitud de la mesa de apoyo para algunos casos fue insuficiente. La medición de las longitudes de los vientres no están precisa utilizando regla, ya que se interfiere su vibración. Para el caculo de la energía cinética seria de importancia medir las amplitudes de los vientres y comparar las dos fórmulas teóricas, aunque eso implique otros cálculos más. Para hallar el peso total que ejerce tensión en la cuerda debemos considerar también el peso del balde. Al trabajar en las mediciones de las diferentes longitudes “L”, tenemos que tener mucho cuidado ya que si queremos tener unos resultados más precisos tenemos que variar lentamente pequeñas longitudes para encontrar la verdadera (la más cercana) forma de oscilación de la cuerda tensa.
Conclusiones ➢
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Aunque obtuvimos como resultado un porcentaje de error del 0%, notamos que si hacemos referencia a la parte de la ecuación obtenida de la gráfica, hemos de considerar aquellos factores con múltiplos a las milésimas o más aun para concluir que nuestro error fue muy pequeño y que nuestro experimento realizado tiende a la ecuación ideal de una onda estacionaria. Las ondas estacionarias se producen para determinadas condiciones de fuerza, características de la cuerda y frecuencia de oscilación del vibrador eléctrico. La longitud de onda teórica solo es de referencia, ya que con todos los factores externos varia. La longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia. El número de vientres depende de la fuerza aplicada y la longitud de la cuerda. Las relaciones de energías máximas tanto de cinética como de gravitatorias se da en las posiciones extremas, como lo indica la teoría. En esta práctica, tenemos la capacidad de encontrar la relación entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y longitud de onda de una onda estacionaria en una cuerda tensa. Se puede concluir que los puntos de mayor energía es aquel que tiene mayor amplitud ya que en él tiene mayor posición y mayor velocidad. La longitud de onda no depende de la amplitud, y que solo depende de la velocidad de onda o de una fuerza que se le aplique a la cuerda. También demostramos que para un n=2 la longitud de onda es la misma que la longitud de la cuerda. Para una misma fuerza el “n” aumenta conforme se aumenta la longitud. Comprobamos que en realidad si aumenta la frecuencia y la velocidad conforme aumenta la tensión o la fuerza aplicada.
Recomendaciones ➢
