Investigacion Operativa II

UNIVERSIDAD PRIVADA TELESUP

1


Prefacio:

E

sta asignatura de desarrollo teórico practico y de carácter obligatorio, tiene

el

propósito

poner

a

disposición de los estudiantes una

explicación conceptual del papel que desempeña la investigación de operaciones en la toma de decisiones. Describe

el

diseño

y

análisis

de

modelos

matemáticos, para analizar situaciones en las que se requiere optimizar el uso de recursos aplicando técnicas matemáticas de optimización en el análisis económico, así como mostrar cómo puede un ingeniero utilizar la optimización, a través de tópicos de programación matemática y optimización dinámica.

Comprende cuatro Unidades de Aprendizaje: Unidad I: Líneas de espera. Unidad II: Modelo de Inventario. Unidad III: Programación de proyectos. Unidad IV: Simulación dinámica.

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Estructura de los Contenidos

Líneas de Espera

Líneas de espera de un solo canal.

Modelo de Inventario

Modelo de cantidad económica a pedir.

Programación de Proyectos

Simulación Dinámica

Programación de proyectos con tiempos de actividad conocido.

Simulación.

Método Montecarlo. Líneas de espera con múltiples canales.

Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios.

Otros modelos de líneas de espera.

Modelo de tamaño de lote económico de producción.

Programación de proyectos con tiempos inciertos.

Modelo de inventario con escasez planeada.

Consideración de los intercambios de tiempo y costo.

Descuento por cantidad para el modelo EOQ.

Simulación de sistema de colas.

Teoría de inventario con WINQSB

Uso del software WIN QSB para programación de proyectos.

La competencia que el estudiante debe lograr al final de la asignatura es: “Aplicar con destreza y seguridad los conocimientos matemáticos explicados en el texto para lograr eficiencia y la automatización de los resultados”.

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Índice del Contenido

I. PREFACIO II. DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS UNIDAD DE APRENDIZAJE 1: LINEAS DE ESPERA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Líneas de espera de un solo canal. b. Tema 02: Líneas de espera con múltiples canales. c. Tema 03: Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios. d. Tema 04: Otros modelos de líneas de espera. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 2: MODELO DE INVENTARIO 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Modelo de la cantidad económico a pedir. b. Tema 02: Modelo de tamaño de lote económico de producción. c. Tema 03: Modelo de inventario con escasez planeada. d. Tema 04: Descuento por cantidad para el modelo EOQ. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 3: PROGRAMACION DE PROYECTOS 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Programación de proyectos con tiempos de actividad conocido. b. Tema 02: Programación de proyectos con tiempos inciertos. c. Tema 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo. d. Tema 04: Uso del software WIN QSB para programación de proyectos. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE 4: SIMULACION DINAMICA 1. Introducción a. Presentación y contextualización b. Competencia c. Capacidades d. Actitudes e. Ideas básicas y contenido 2. Desarrollo de los temas a. Tema 01: Simulación. b. Tema 02: Método Montecarlo. c. Tema 03: Simulación de sistema de colas. d. Tema 04: Teoría de inventario con WINQSB. 3. Lecturas recomendadas 4. Actividades 5. Autoevaluación 6. Resumen III. GLOSARIO IV. FUENTES DE INFORMACIÓN V. SOLUCIONARIO

02 03 - 136 05-31 06 06 06 06 06 06 07-27 07 13 19 23 28 28 29 31 32-58 33 33 33 33 33 33 34-54 34 40 45 49 55 55 56 58 59-100 60 60 60 60 60 60 61-91 61 74 82 86 92 92 95 100 101-131 102 102 102 102 102 102 103-127 103 110 116 121 128 128 129 131 132 133 134

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Introducción

a) Presentación y contextualización La teoría de líneas de espera

es el estudio de la espera en las distintas

modalidades. Estudiaremos los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las formulas para cada modelo indican cual debe ser el desempeño del sistema del sistema correspondiente

y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá en

diversas circunstancias.

b) Competencia Conoce los diferentes tipos de línea de espera y su correcta aplicación para lograr un eficiente desarrollo.

c) Capacidades 1. Identifica y comprende el modelo de línea de espera de un solo canal. 2. Analiza las características del modelo de múltiples canales. 3. Reconoce las características de líneas de espera con tiempos de servicio arbitrarios. 4. Relaciona y compara los resultados obtenidos con otro tipo de modelos.

d) Actitudes  Valora la utilidad del modelo de línea de espera para dar solución a problemas de casos reales.  Tiene una actitud positiva sobre las líneas de espera para realizar el análisis económico e interpretar los resultados.  Toma una actitud positiva al momento de investigar más temas sobre los modelos de líneas de espera.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 01: Líneas de espera, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Líneas de espera de un solo canal. TEMA 02: Líneas de espera con múltiples canales. TEMA 03: Líneas de espera con tiempo de servicios arbitrarios TEMA 04: Otros modelos de líneas de espera.

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Líneas de Espera de un Solo Canal

TEMA 1

Competencia: Identificar y comprender el modelo de línea de espera de un solo canal.

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Desarrollo de los Temas

Tema 01: Líneas de Espera de un solo Canal MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIAL Para determinar las características de operación de estado estable para una línea de espera de un solo canal. Las formulas deberán utilizarse sólo si las hipótesis siguientes son razonables. 1) La línea de espera tiene un solo canal. 2) Las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson. 3) Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. 4) La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio.

Características de operación Se pueden usar las siguientes formulas para desarrollar las características de operación en estado estable de una línea de espera de un solo canal, con llegadas tipo Poisson y tiempos de servicio exponencial, donde:

  Promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas).   Promedio de servicios en el periodo (tasa media de servicio).

1. probabilidad de que no exista unidades en el sistema:

P0  1 

 

(1.4)

2. Número promedio de unidades en la línea de espera:

Lq 

2  (   )

(1.5)

3. Número promedio de unidades en el sistema:

L  Lq 

 

(1.6)

8


4. Tiempo promedio que utiliza la unidad en la línea de espera:

Wq 

Lq

(1.7)



5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:

W  Wq 

1 

(1.8)

6. probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar servicio:

Pw 

 

(1.9)

7. probabilidad de n unidades en el sistema: n

 Pn    P0 

(1.10)

Los valores de la tasa media de llegada



y la tasa media de servicios

 claramente son componentes de importancia en la determinación de las características de operación. La ecuación (1.9) muestra la que la relación de la tasa media de llegadas a la tasa media de servicios,

 /  , nos da la probabilidad de que una unidad tenga que esperar al llegar, debido a que la instalación de servicio esté ocupada, por lo que  /  a menudo se conoce como el factor de utilización de la instalación de servicio.

Las características de operación que se presentan en las ecuaciones (1.4) a (1.10) son sólo aplicables cuando la tasa media de servicio



es superior a la tasa media de llegada

,

en otras palabras, cuando  /   1 . De no ser así, la línea de espera continuara creciendo sin límite, porque la instalación de servicio no tiene capacidad suficiente para atender las unidades que llegan, por lo que para utilizar las ecuaciones (1.4) a (1.10) debemos tener   

Ejemplo: Para ilustrar las características básicas de un modelo de línea de espera, veamos la línea de espera en un restaurante Burger Dome. Burger Dome vende hamburguesas, papas fritas, refrescos y malteadas, así como un limitado número de productos especiales y postres.

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Aunque Burger Dome desearía poder servir a cada uno de los clientes de manera inmediata, hay veces que llegan más clientes de los que puede manejar el personal de servicio de alimentos de Burger Dome, por lo que los clientes esperan en fila, para colocar y recibir su pedido. Burger Dome está preocupado pues los métodos que utiliza para atender a los clientes están dando como resultado tiempos de espera excesivos. La administración ha pedido que se haga un estudio de líneas de espera para ayudar a determinar cuál es el mejor procedimiento para reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.

 Suponga que Burger Dome ha analizado los datos referentes a la llegada de clientes y ha concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes por hora. Para

un

lapso

  45/ 60  0.75

de

un

minuto,

el

número

medio

de

llegadas

sería

llegadas por minuto, por lo que podemos utilizar la siguiente

función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad de x llegadas durante un periodo de un minuto.  Suponga que Burger Dome ha estudiado el proceso de toma y surtido de pedidos y que ha llegado a la conclusión de que el único empleado de alimentos puede procesar un promedio de 60 pedidos de clientes por hora. Con base en un minuto, la tasa promedio de servicio, es decir la media, seria   60 / 60  1 cliente por minuto. Por ejemplo , con   1 , podemos utilizar la ecuación (1.3) para calcular probabilidades , como la probabilidad de que procese un pedido en medio minuto o menos, en minuto o menos o en dos minutos o menos.

Solución. Recuerde que para el problema de Burger Dome tenemos una tasa media de llegada

  0.75 clientes por minuto y una

tasa de servicio de   1 cliente por minuto, por lo cual, ya que    , se pueden utilizar las ecuaciones (1.4) a (1.10) para obtener las características de operación de la línea de espera de un solo canal de Burger Dome:

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P0  1 

 0.75  1  0.25  1

2 0.752 Lq    2.25 clientes  (    ) 1(1  0.75)  0.75 L  Lq   2.25   3 clientes  1 Lq

2.25  3 min utos  0.75 1 1 W  Wq   3   4 min utos  1  0.75 Pw    0.75  1

Wq 



La ecuación (1.10) se puede usar para determinar la probabilidad de cualquier número de clientes dentro del sistema. Su aplicación nos la

información de probabilidades que se resume en la tabla

siguiente:

Probabilidad de n clientes en el sistema para el problema de la línea de espera de Burger Dome Número de clientes

Probabilidad

0

0.25

1

0.1875

2

0.1406

3

0.1055

4

0.0791

5

0.0593

6

0.0445

7 o más

0.1335

Los resultados de la línea de espera de un solo canal para Burger Dome muestran varios elementos importantes sobre su operación.

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En particular, los clientes esperan un promedio de tres minutos antes de empezar a colocar su pedido, lo que parecería algo largo para un negocio basado en servicio rápido. Además, el hecho de que el número promedio de clientes esperando en la cola sea de 2.25 y que 75% de los clientes que llegan tengan que esperar para que les dé servicio, son indicadores de que algo debería hacerse para mejorar la operación de la línea de espera. la tabla anterior muestra una probabilidad de 0.1335 de que siete o más clientes estén en el sistema de Burger Dome a la vez. Esta situación indica una probabilidad razonable elevada de que si continua utilizando la operación de un solo canal, Burger Dome experimentara algunas líneas de esperas largas.

MEJORA EN LA OPERACIÓN DE LA LINEA DE ESPERA Después de revisar las características de operación obtenidas con el modelo de la línea de espera, la administración de Burger Dome concluyo que era deseable hacer mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente: 1) Incrementar la tasa media de servicio



mediante algún cambio creativo en el

diseño o utilizando nueva tecnología 2) Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades de manera simultánea.

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Líneas de Espera con Múltiples Canales

TEMA 2

Competencia: Analizar las características del modelo de múltiples canales.

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Tema 02: Líneas de espera con Múltiples Canales MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES. Una línea de espera de canal múltiple está formada de dos o más canales o localizaciones de servicio, que se suponen idénticos en función de su capacidad de servicio. En el sistema de canales múltiples, las unidades de llegada esperan en una sola línea de espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas.

Las formulas que se pueden utilizar para determinar las características de operación en estado estable para una línea de espera de canal múltiple. Estas formulas serán aplicables siempre que: 1. la línea de espera tenga dos o más canales, 2. las llegadas sigan la distribución de probabilidad de Poisson, 3. el tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de probabilidad exponencial, 4. la tasa media de servicio



es la misma para cada uno

de los canales, 5. las llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio, y 6. la disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios.

Las características de operación Para calcular las características de operación en estado estable de las líneas de espera de canal múltiple, se pueden utilizar las siguientes formulas, donde

  Tasa media de llegadas del sistema   Tasa media de servicio de cada canal

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k  Número de canales 1. probabilidad de ninguna unidad en el sistema:

P0 

1 k 1



 /  

n



n!

n 0

 /  

k

k!

 k   k     

(1.11)


  /    P Lq  2 0  k  1! k     k

(1.12)


L  Lq 

 

(1.13)

4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera:

Wq 

Lq

(1.14)



5. tiempo promedio que una unidad ocupa en todo el sistema:

W  Wq 

1 

(1.15)

6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por servicio: k

Pw 

1     k      P0 k !    k   

(1.16)

7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema:

Pn

 /   

Pn

 /   

n

n!

P0 , para n  k

(1.17)

P0 , para n  k

(1.18)

n

k !k ( n  k )

Dado que la



es la tasa media de servicio de cada canal, k  es

tasa media de servicio para el sistema de canales múltiples. Como en el caso de un modelo de línea de espera de un solo canal, las formulas para las características de operación de las líneas de espera de canal múltiple sólo pueden aplicarse en

situaciones en las que la tasa media de servicio para el sistema sea superior a la tasa

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media de llegadas del sistema; en otras palabras, las formulas sólo son aplicables si

k  es mayor que

.

Ejemplo. Para ilustrar el modelo de líneas de espera de canal múltiple, regresamos al problema de la línea de espera del restaurante de comidas rápida Burger Dome. Suponga que la administración desea evaluar la conveniencia de abrir una segunda estación de procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender simultáneamente a dos clientes. Suponga que solo habrá una línea de espera y el siguiente cliente en la cola pasando al primer servidor disponible, con lo que tenemos una línea de espera de dos canales para Burger Dome. Evaluemos las características de operación de este sistema de dos canales.

Utilizando las ecuaciones (1.12) a (1.18) para el sistema de k= 2 canales. Para una tasa media de llegadas

  0.75 clientes por minuto y una tasa media de servicio

  1 cliente por minuto para cada uno de los canales, obtenemos las características de operación: P0  0.4545, con  /   0.75

Lq 

(0.75 /1)2 (0.75)(1) (2  1)! 2(1)  0.75

2

L  Lq  Wq 

Lq



(0.4545)  0.1227 cliente

 0.75  0.1227   0.8727 cliente  1 

W  Wq 

0.1227  0.16 min uto 0.75 1 1  0.16   1.16 min utos  1

 1  0.75   2(1) (04545)  0.2045    2!  1   2(1)  0.75  2

Pw 

Utilizando las ecuaciones (1.17) y (1.18) , podemos calcular las probabilidades de n clientes en el sistema.

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Los resultados de estos cálculos se resumen en la siguiente tabla:

Probabilidad de n clientes en el sistema para el problema de la línea de espera de dos canales de Burger Dome Número de clientes

Probabilidad

0

0.4545

1

0.3409

2

0.1278

3

0.0479

4

0.0180

5 o más

0.0109

Ahora podemos comparar las características de operación

en estado estable del

sistema de dos canales con las características de operación del sistema original de un solo canal, que se analizo anteriormente. 1. El tiempo promedio que utiliza un cliente en el sistema (tiempo de servicio + tiempo de espera) se reduce de W = 4 minutos a W = 1.16 minutos. 2. El número promedio de clientes en la línea de espera se reduce de

Lq  2.25 a Lq  0.1227

clientes.

3. El tiempo promedio que utiliza un cliente en la línea de espera se reduce de

Wq  3 a Wq  0.16

minutos.

4. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar su servicio se reduce de Pw  0.75 a Pw  0.2045

ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA. En las secciones anteriores presentamos formulas para calcular las características de operación de líneas de espera de un solo canal y de canal múltiple, con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Las características operativas de interés incluían

Lq  Número promedio de unidades en la línea de espera

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L  Número promedio de unidades en el sistema Wq =tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera W = tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema John D. C. Little demostró que entre estas cuatro características existen varias relaciones y que pueden aplicarse a toda la diversidad de los sistemas de líneas de espera. Dos de estas relaciones, conocidas como las ecuaciones de flujo de Little, son

L  W

(1.19)

Lq  Wq

(1.20)

ANALISIS ECONOMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, empezaremos por definir las notaciones que se emplearan: cw  Costo de espera por periodo de cada unidad

L  Número promedio de unidades en el sistema cs  Costo de servicio por periodo de cada canal

k  Número de canales TC  Costo total por periodo El costo total es la suma del costo tanto de espera como de servicio; esto es, CT  cw L  cs k

(1.21)

Ejemplo: Para demostrar el uso de la ecuación (1.21), suponemos que Burger Dome está dispuesto a asignar un costo de 10 dólares por hora al tiempo de espera del cliente. Para obtener el costo total por hora para el sistema de un solo canal y de dos canales utilizaremos el número promedio de unidades en el sistema L, según se calculo en las secciones anteriores: Sistema de un solo canal (L = 3 clientes)

CT  cw L  cs k TC  $10(3)  $7(1)  $37.00 por hora El sistema de dos canales (L = 0.8727)

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CT  cw L  cs k TC  $10(0.8727)  $7(2)  $22.73 por hora Por lo que, con base en los datos de costo proporcionados por Burger Dome, el sistema de dos canales ofrece la solución más económica.

Líneas de Espera con Tiempo de Servicios Arbitrarios

TEMA 3

Competencia: Reconocer las características de líneas de espera con tiempos de servicio arbitrarios.

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Tema 03: Líneas de Espera con Tiempo de Servicios Arbitrarios EL MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL, CON LLEGADAS TIPO POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Volvamos al modelo de línea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se describen mediante una distribución de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora supondremos que la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio no es exponencial, por lo que, utilizando la notación de Kendall, el modelo de línea de espera apropiado es M/G/1, donde G indica una distribución de probabilidad general o no especificada.

Características de operación para el modelo m/g/1 La notación utilizada para describir las características de operación del modelo M/G/1 es:

  Tasa media de llegada   Tasa media de servicios 1  Tiempo promedio o medio de servicio 

  Desviación estándar del tiempo de servicio A continuación aparecen algunas de las características de operación en estado estable del modelo de línea de espera M/G/1

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1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

P0  1 

 

(1.22)


 2 2  ( /  )2 Lq  2(1   /  )

(1.23)


L  Lq 

 

(1.24)

4. Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera:

Wq 

Lq

(1.25)



5. Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema:

W  Wq 

1 

(1.26)

6. Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar servicio:

Pw 

 

(1.27)

Note que las relaciones para L,

Wq

y W son las mismas que las que se utilizaron para

los modelos de líneas de espera de las secciones anteriores. También están basadas en las ecuaciones de flujo de Little.

Ejemplo Un empleado maneja las ventas al menudeo en Hartlage. Las llegadas de los clientes son aleatorias y la tasa promedio de llegadas es de

21

clientes

por

hora,

es

decir

21


  21/ 60  0.35

clientes por minuto. Un estudio del proceso de servicio muestra que

el tiempo promedio o medio del servicio es de dos minutos por cliente, con una desviación estándar

  1.2 minutos.

El tiempo medio de dos minutos por cliente muestra que el empleado tiene una tasa de servicio media de   1/ 2  0.5 clientes por minuto. Las características de operación de este sistema de línea de espera M/G/1, son:

P0  1 

 0.35  1  0.30  0.50

 2 2  ( /  ) 2 (0.35) 2 (1.2) 2  (0.35 / 0.50) 2   1.11 clientes 2(1   /  ) 2(1  0.35 / 0.50)  0.35 L  Lq   1.11   1.81 clientes  0.50

Lq 

Lq

1.11  3.17 min utos  0.35 1 1 W  Wq   3.17   5.17 min utos  0.50  0.35 Pw    0.70  0.50

Wq 



El administrador de Hantlage puede estudiar estas características de operación para determinar si merece la pena programar un segundo empleado.

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Otros Modelos de Líneas de Espera

TEMA 4

Competencia: Relacionar y comparar los resultados obtenidos con otro tipo de modelos.

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Tema 04: Otros Modelos de Líneas de Espera LÍNEAS DE ESPERA CON TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES Deseamos comentar brevemente a un modelo de línea de espera de un solo canal que supone llegadas aleatorias, pero con tiempos de servicio constante. Esta línea de espera puede ocurrir en entornos de producción y manufactura, en los que los tiempos de servicio controlados por las maquinas son constantes. Esta línea de espera se describe como un modelo M/D/1, refiriéndose la D a tiempos de servicio deterministicos.

En el caso del modelo M/D/1, puede determinarse el número promedio de unidades en la línea de espera,

Lq ,

utilizando la ecuación (1.23) , con la condición de que la

desviación estándar del tiempo constante de servicio sea

 0,

por lo que la

expresión para el numero promedio de unidades de la línea de espera M/D/1 se convierta en:

Lq 

( /  )2 2(1   /  )

(1.28)

MODELO DE CANAL MULTIPLE CON LLEGADA POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LINEAS DE ESPERA.

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El sistema específico considerado en esta sección se basa en las siguientes hipótesis. 1. El sistema tiene k canales. 2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson , con una tasa media de llegada



3. Los tiempos de servicio de cada canal pueden tener

cualquier

distribución de probabilidad. 4. La tasa media de servicio

 es la misma para cada

canal. 5. Las llegadas entran al sistema únicamente si por lo menos uno de los k canales está disponible, Las llegadas que ocurran cuanto todos los canales estén ocupados quedaran bloqueadas, esto es, se les negara el servicio y no se les permitirá la entrada al sistema.

Cuando G indica una distribución de probabilidad general o no especificada parea los tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situación se conoce como modelo M/G/k con “clientes bloqueados y eliminados”, la pregunta que se hace en este tipo de situación es ¿Cuántos canales o servidores debe utilizarse?

Características de operación para un modelo m/g/k, con clientes bloqueados y eliminados. Nos enfrentaremos al problema de seleccionar el número más apropiado de canales para calcular las probabilidades de estado estable de que j de los canales estén ocupadas. Estas probabilidades son:

Pj 

 /   k

j

/ j!

  /   / i! i

i 0

(1.29) Donde:

 : Tasa media de llegada

25


 : Tasa media de servicio de cada canal k : Número de canales

Pj : Probabilidad de que j de los k canales estén ocupados para j = 0,1,2,3,…k El valor más importante de la probabilidad es Pk , que es la probabilidad de que todos los k canales estén ocupados. En una base porcentual, Pk es el porcentaje de llegadas que se bloquearan y a las que se les negara acceso al sistema. Otras características de operación de interés es el número promedio de unidades en el sistema; note que esto equivale al número promedio de canales en uso. Haciendo que L represente el número promedio de unidades en el sistema, tenemos:

L

 (1  Pk ) 

(1.30)

MODELO DE LINEA DE ESPERA CON POBLACIONES DE SOLICITANTES FINITAS. El modelo de población de solicitantes finito que se analizara en esta sección se basa en las siguientes hipótesis. 1. La línea de espera tiene un solo canal 2. La población de unidades que pudieran solicitar servicio es finita. 3. Las llegadas de cada unidad siguen una distribución de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegada



4. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio

.

5. La disciplina de la línea es primeras llegadas, primeros servicios. El modelo de línea de espera apropiado en estos casos se conoce como modelo M/M/1, con una población de solicitantes finita.

Las características de operación para el modelo m/m/1, con una población de solitantes finita

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Las formulas siguientes se utilizan para determinar las características de operación en estado estable para el modelo M/M/1 con una población de solicitantes finita, donde:

 : Tasa media de llegada de cada unidad  : Tasa media de servicio N : Tamaño de la población.

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema:

P0 

1 N!       n 1  N  n  !    N

n

(1.31) 2. Número promedio de unidades en la línea de espera:

Lq  N 

 1  P0  

(1.32)


L  Lq  1  P0 

(1.33)

4. Tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera:

Wq 

Lq

(1.34)

 N  L 

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema:

W  Wq 

1 

(1.35)

6. Probabilidad de n unidades en el sistema: n

N!    Pn  P ; n  0,1,....N  N  n !    0

(1.36)

27


Lecturas Recomendadas 

TEORÍA DE COLAS http://www.angelfire.com/planet/recursamiento_invo2/clase22.pdf



TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lem/garduno_a_f/capitulo2.pdf



LÍNEAS DE ESPERA: TEORÍA DE COLAS: http://oromeroio.blogcindario.com/ficheros/Lineasdeespera.pdf

Actividades y Ejercicios 1)

Ingresa al link “Línea de Espera” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. En un supermercado local, con sólo una caja de salida. Suponga que los compradores llegan al carril de salida de acuerdo con una distribución de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegadas de 15 clientes por hora. Los tiempos de servicios de caja siguen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 30 clientes por hora. a) Calcule las características de operación de esta línea de espera. b) Si la meta de servicio del administrador es limitar el tiempo de espera antes de iniciarse el proceso de cobrar a no más de 5 minutos, ¿qué recomendaciones haría usted en relación con el sistema de caja actual?

2)

Ingresa al link “Línea de Espera 2” lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. La compañía Toyota ha decidido contratar un nuevo mecánico para manejar todos los cambios de llantas de clientes que ordenan juegos nuevos de llantas. Dos mecánicos han solicitado trabajo. Uno de ellos tiene poca experiencia, puede contratarse por 14 dólares la hora y darle servicio a un promedio de 3 clientes en ese lapso. El otro tiene varios años de experiencia, puede dar servicio a un promedio de 4 clientes por hora, pero se le tendría que pagar 20 dólares la hora. Suponga que los clientes llegan 28 al taller de Toyota a la tasa de 2 clientes por hora. a) Calcule las características de la línea de espera de cada mecánico, suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicios exponenciales.


Autoevaluaciones 1) En el modelo de líneas de espera con tiempos de servicio constante se considera la desviación estándar: a.   1 b.

 1

c.

 0

d.

 0

e.

 0

2) Los tiempos de servicio en una línea de espera de un solo canal tiene distribución: a. Exponencial. b. Poison. c. Normal. d. Uniforme. e. Binomial. 3) Los modelos de líneas de espera estudian: a. Las unidades en almacén. b. Los clientes en cola. c. Los proyectos en una empresa. d. Las características de un proyecto para tomar decisiones. e. Los costos en inventario.

4) Para hallar el costo total de un análisis de sistema de líneas de espera se usa una de las características lo cual es: a. El tiempo promedio en cola. b. El tiempo promedio en el sistema. c. El número promedio de clientes en cola . d. El número promedio de clientes en el sistema. e. La probabilidad de que un cliente este en el sistema.

29


5) Investigó las características de las líneas de espera: a. Platón. b. Erlang. c. Arquímedes. d. Poisson. e. Newton. 6) Las características de operación de un modelo de línea de espera de un solo canal se puede usar si:

    1 e.   1 a. b. c. d.

7) Debido a un reciente incremento en el negocio una secretaria de una cierta empresa tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (asuma una distribución de Poisson). A ella le toma aproximadamente 20 minutos mecanografiar cada carta (asuma una distribución exponencial).Suponiendo que la secretaria trabaja ocho horas diarias. Calcular el número promedio de cartas que están esperando en cola. a. 1. b. 4.17. c. 2. d. 3.4. e. 5.2. 8) Sam el veterinario maneja una clínica de vacunación antirrábica para perros, en la preparatoria local. Sam puede vacunar un perro cada tres minutos. Se estima que los perros llegarán en forma independiente y aleatoriamente en el transcurso del día, en un rango de un perro cada seis minutos, de acuerdo con la distribución de Poisson. También suponga que los tiempos de vacunación de Sam están distribuidos exponencialmente. Determinar la probabilidad de que Sam este ocioso. a. 0.99. b. 0.25. c. 0.33. d. 0.5. e. 0.35. 9) Las llamadas llegan al conmutador de una oficina a una tasa de dos por minuto, él tiempo promedio para manejar cada una de estas es de 20 segundos. Actualmente solo hay un operador del conmutador. Las distribuciones de Poisson y exponencial parecen ser relevantes en esta situación. Calcular el tiempo promedio que debe de esperar una llamada antes de ser tomada por él operador a. 0.67 seg. b. 1.25 seg. c. 3.5 seg. d. 2.3 seg.

30


e. 1.5 seg. 10) Las llegadas en una línea de espera de un solo canal tienen una distribución: a. Exponencial. b. Poisson. c. Normal. d. Uniforme. e. Binomial.

Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE I: Para determinar las características de operación de estado estable para una línea de espera de un solo canal. Las formulas deberán utilizarse sólo si las hipótesis siguientes son razonables. La línea de espera tiene un solo canal. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad Poisson. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial. La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio. Después de revisar las características de operación obtenidas con el modelo de la línea de espera, la administración de Burger Dome concluyo que era deseable hacer mejoras diseñadas para reducir los tiempos de espera. Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de espera se enfocan a maneras de mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen mediante lo siguiente: Incrementar la tasa media de servicio  mediante algún cambio creativo en el diseño o utilizando nueva tecnología. Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades de manera simultánea.

Una línea de espera de canal múltiple está formada de dos o más canales o localizaciones de servicio, que se suponen idénticos en función de su capacidad de servicio. En el sistema de canales múltiples, las unidades de llegada esperan en una sola línea de espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas. Las formulas que se pueden utilizar para determinar las características de operación en estado estable para una línea de espera de canal múltiple. Estas formulas serán aplicables siempre que la línea de espera tenga dos o mas canales, las llegadas sigan la distribución de probabilidad de Poisson, el tiempo de servicio de cada canal siga una distribución de probabilidad exponencial, la tasa media de servicio  es la misma para cada uno de los canales, las llegadas esperan en una sola línea de espera y entonces pasan al primer canal abierto para su servicio, y la disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios.

Volvamos al modelo de línea de espera de un solo canal, en el que las llegadas se describen mediante una distribución de probabilidad Poisson. Sin embargo, ahora supondremos que la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio no es exponencial, por lo que, utilizando la notación de Kendall, el modelo de línea de espera apropiado es M/G/1, donde G indica una distribución de probabilidad general o no especificada.

Deseamos comentar brevemente a un modelo de línea de espera de un solo canal que supone llegadas aleatorias, pero con tiempos de servicio constante. Esta línea de espera puede ocurrir en entornos de producción y manufactura, en los que los tiempos de servicio

31


controlados por las maquinas son constantes. Esta línea de espera se describe como un modelo M/D/1, refiriéndose la D a tiempos de servicio deterministicos. En el caso del modelo M/D/1, puede determinarse el número promedio de unidades en la línea de espera, Lq , utilizando la ecuación (1.23) , con la condición de que la desviación estándar del tiempo constante de servicio sea   0 , por lo que la expresión para el numero promedio de unidades de la línea de espera M/D/1 se convierta en L  ( /  )2 q

2(1   /  )

32


Introducción a) Presentación y contextualización En esta sección veremos modelos de inventarios de elementos que tienen una demanda independiente. Esto es, la demanda del elemento no depende de la demanda de otros productos o elementos. Muy frecuentemente, la demanda independiente se genera por los clientes al colocar pedidos de productos terminados. La demanda dependiente está caracterizada por ser una demanda de elementos, como componentes y subensambles, directamente relacionada con la demanda de otros elementos producidos por la firma.

b) Competencia Aprende la correcta toma de decisiones teniendo en cuenta los modelos de inventarios.

c) Capacidades 1. Identifica el modelo de la cantidad económica a pedir. 2. Reconoce las características del modelo de tamaño de lote de producción para la toma de decisiones. 3. Comprende el modelo de inventario con escasez planeada y analiza sus características. 4. Determina la correcta planeación de los descuentos por cantidad para el modelo EOQ.

d) Actitudes  Valora los modelos de inventario para la toma de decisiones.  Toma una actitud positiva con respecto a la economía de producción.  Tiene iniciativa para poder investigar temas relacionados al modelo EOQ.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad:

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La Unidad de Aprendizaje 02: Modelo de Inventario, comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Modelo de cantidad económica a pedir. TEMA 02: Modelo de tamaño de lote económico de producción. TEMA 03: Modelo de inventario con escasez planeada. TEMA 04: Descuento por cantidad para el modelo EOQ.

Modelo de Cantidad Económico a Pedir

TEMA 1

Competencia: Identificar el modelo económica a pedir.

de

la

cantidad

34


Desarrollo de los Temas Tema 01: Modelo de Cantidad Económico a Pedir Un problema de inventario existe cuando es necesario guardar bienes físicos o mercancías con el propósito de satisfacer la demanda sobre un horizonte de tiempo especificado (finito o infinito). Casi cada empresa debe almacenar bienes para asegurar un trabajo uniforme y eficiente en sus operaciones. Las decisiones considerando cuándo hacer pedidos y en qué cantidad, son típicas de cada problema de inventario. La

demanda

requerida

puede

satisfacerse

almacenando una vez según todo el horizonte de tiempo o almacenando separadamente cada unidad de tiempo durante el horizonte. Los dos casos que pueden considerarse son sobre-almacenamiento (con respecto a una unidad de tiempo) o sub-almacenamiento (con respecto al horizonte completo).

Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un subalmacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin mercancía. Los dos extremos son costosos. Las decisiones considerando la cantidad ordenada y el tiempo en el cual se ordena pueden, por consiguiente, estar basadas sobre la minimización de una función de costo apropiada la cual balancea los costos totales resultantes de sobre-almacenamiento y sub-almacenamiento.

Antes de comentar acerca de los sistemas de inventarios se presentan primero características básicas de un sistema de inventarios:

35


Parámetros económicos: estos parámetros incluyen los tipos siguientes: a. Costo fijo. Esto implica el costo fijo asociado a la colocación de un pedido o con la preparación inicial de una instalación de producción. El costo fijo usualmente se supone independiente de la cantidad ordenada o producida. b. Precios de compra o costo de producción. Este parámetro de especial interés cuando pueden obtenerse descuentos por mayoreo o rebajas en precio o cuando grandes corridas de producción pueden dar como resultado una disminución en el costo de la misma. En estas condiciones la cantidad ordenada debe ajustarse para aprovechar de estos cambios en el precio. c. Precio de venta. En algunas situaciones de inventarío la demanda puede ser afectada por la cantidad almacenada. En tales casos el modelo de decisión está basado en un criterio de maximización de beneficios el cual comprende el ingreso de venta de la mercancía. El precio de venta unitario puede ser constante o variable dependiendo, por ejemplo, de si se permite un descuento o no en la cantidad. d. Costo de mantenimiento del inventario. Esto representa el costo de tener el inventario en el almacén. Incluye el interés sobre capital invertido, costos de almacenamiento, costos de manejo, costos de depreciación, etc. Los costos de llevar el inventario usualmente se supone que varían directamente con el nivel de inventario, así como con el tiempo que el artículo se tiene en almacén.

LA DEMANDA El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. Esto puede expresarse según períodos iguales en términos de demandas constantes conocidas, o en función de demandas variables conocidas. Los dos casos se denominan demandas estática y dinámica, respectivamente:

La demanda probabilísticas ocurre cuando los requisitos durante un cierto período no se conocen con certeza si no que su modelo puede describirse por una distribución

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conocida de probabilidad. En este caso, se dice que la distribución de probabilidad es estacionaria o no estacionaria en el tiempo. (Estos términos son equivalentes a demandas estática y dinámica en el caso determinista).

La demanda para un período dado puede satisfacerse instantáneamente al inicio del período o uniformemente durante dicho lapso. El efecto de demandas instantáneas y uniformes deberá reflejarse directamente en el costo total de llevar el inventario.

Ciclo para ordenar. Consiste en la medida de tiempo de la situación de inventario. Un ciclo de órdenes o pedidos puede identificarse por el período entre dos órdenes sucesivas. Lo último puede iniciarse en una de dos formas: a. Revisión continua donde un registro del nivel de inventario se actual9iza continuamente hasta que se alcanza un cierto límite inferior, en cuyo punto se coloca un nuevo pedido. Esto se conoce algunas veces como el sistema de "dos depósitos". b. Revisión periódica donde los pedidos se hacen usualmente a intervalos igualmente espaciados.

 Demoras en la entrega: Cuando se coloca un pedido, puede entregarse inmediatamente o puede requerir algún tiempo antes de que la entrega se efectúe. El tiempo entre la colocación de un pedido y su surtido se conoce como demora en la entrega. En general, las holguras de entrega pueden ser deterministas o probabilista.

 Reabasto del almacén: aunque un sistema de inventario puede operar con demora en las entregas, el abastecimiento real del almacén puede ser instantáneo o uniforme. El instantáneo ocurre cuando el almacén compra de fuentes externas. El uniforme puede ocurrir cuando el producto

se

fabrica

localmente

dentro

de

la

37


organización. En general, un sistema puede operar con demora positiva en la entrega y también con reaprovisionamiento de almacén.

 Horizonte de Tiempo: el horizonte define el período sobre el cual el nivel de inventarios estará controlado. Este horizonte puede ser finito o infinito, dependiendo de la naturaleza o la demanda.

 Abastecimiento múltiple: Un sistema de inventario puede tener puede tener varios puntos de almacenamiento (en lugar de uno). En algunos casos estos puntos de almacenamiento están organizados de tal manera que un punto actúa como una fuente de abastecimiento para algunos otros puntos. Este tipo de operación puede repetirse a diferentes niveles de tal manera que un punto de demanda pueda llegar a ser un nuevo punto de abastecimiento. La situación usualmente se denomina sistema de abastecimiento múltiple.

 Número de artículos: Un sistema de inventarios puede comprender más de un artículo (mercancías). Este caso es de interés, principalmente si existe una clase de interacción entre los diferentes artículos. Por ejemplo, estos pueden competir en espacio o capital total limitados.

MODELO DE LA CANTIDAD ECONOMICA A PEDIR (EOQ) El modelo de la cantidad económica a pedir (EOQ, por sus siglas en ingles) es aplicable cuando la demanda de un elemento tiene una tasa constante o prácticamente constante, o cuando la totalidad de la cantidad pedida llega al inventario en un momento en el tiempo. La hipótesis de la tasa de demanda constante significa que en cada periodo de tiempo se extrae del inventario un mismo número de unidades, por ejemplo, 5 unidades todos los días, 25 unidades todas las semanas, 100 unidades en cada periodo de 4 semanas, y así sucesivamente. Supongamos que: I = tasa del costo de posesión anual. C = Costo unitario de un elemento del inventario.

Ch = costo anual de posesión de una unidad en inventario. El costo anual de posesión de una unidad en el inventario es Ch  IC

38


La ecuación general para el costo anual de posesión para el inventario promedio de 1/2Q unidades es como sigue:

 Nivel  Costo anual       promedio del  de posesión   inventario  1  QCh 2

 Costo anual   de posesión  por unidad 

    

Para completar el modelo de costo total debemos incluir el costo anual de pedir. D es la demanda anual para el producto. Sabemos que pidiendo Q unidades cada vez que ordenamos, tendremos que colocar D/Q pedidos al año. Si C0 es el costo de colocar un pedido, la ecuación general para el costo anual de pedir es como sigue:

 Costo anual   Número de  Costo por       de pedir   pedidos por año  pedido  D    C0 Q

Por lo que el costo anual total, representado por CT, se puede expresar como sigue:

 Costo   Costo   Costo         anual    anual de    anual de   total   posesión   pedir        1 D CT  QCh  C0 2 Q La cantidad a pedir con mínimo costo total queda identificada con un tamaño de pedido Q * . Utilizando calculo diferencial, puede demostrarse que el valor Q * queda minimiza

Q* 

el

costo

anual

de

pedir

está

dado

por

la

formula:

2 DC0 Ch

La decisión de cuándo pedir se expresa en función de un punto de reorden: la posición del inventario en la que debe colocarse un nuevo pedido.

39


La expresión general del punto de reorden es como sigue:

r  dm Donde: r = punto de reorden d = demanda por día m = tiempo de entrega para un pedido nuevo en días. Tiempo del ciclo: T 

250Q * D

Modelo de TEMA 2 Tamaño de Lote Económico de Producción Competencia: Reconocer las características del modelo de tamaño de lote de producción para la toma de decisiones.

40


Tema 02: Modelo de Tamaño de Lote Económico de Producción Lote Económico de Producción (conocido en inglés como Economic Production Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemático para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de producción. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la producción y venta de productos finales ocurrirán de forma simultánea, lo que lo diferencia del modelo de cantidad económica de pedido. Su finalidad es encontrar el lote de producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de producción y los costos por mantenerlo en inventario se igualan. El modelo fue formulado inicialmente por E. W. Taft en 1918.

VENTAJAS E INCONVENIENTES A diferencia del modelo de cantidad económica de pedido, este modelo es menos estático que el anterior, adaptándose más a la realidad. Al considerar que el reabastecimiento de inventario no se produce instantáneamente y que el inventario se construye progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra recoger situaciones del mundo real. Así mismo, la consideración de tasas de producción y demandas diarias permite ajustar más eficazmente el modelo a la realidad, obteniendo cantidades por pedido óptimas que lograrán minimizar costes totales teniendo en cuenta costes de mantenimiento de inventario más realistas.

41


Por otro lado, el modelo, aunque más dinámico que el de cantidad económica de pedido, sigue presentando diversas limitaciones derivadas de sus supuestos. Así, la demanda será nuevamente constante, fenómeno que no ocurrirá en el mundo real donde encontraremos demandas variables que podrán presentar estacionalidad o irregularidad derivada de pocos y periódicos compradores de grandes volúmenes, etc. Suponiendo que la demanda permanecerá constante a lo largo del año y tomando decisiones sobre la cantidad por pedido basándonos en ello estamos expuestos al riesgo de cambios en la demanda que anulen la validez de nuestras predicciones. No sólo a nivel anual, la demanda también podrá estar expuesta a variaciones durante el leadtime que podrán conducir a stockouts, lo que supondrá el fracaso de nuestra política de gestión de inventarios. En este último caso, tendremos que recurrir al uso de modelos probabilísticos para la estimación de niveles de demanda, costes de stockout, etc.

Por último, poniendo en comparación el modelo de lote económico de producción con el modelo de cantidad económica de pedido, observamos que el

primero

presenta una reducción en costes totales de mantener inventario respecto al segundo. Así, el hecho de que en el modelo que hemos analizado en este artículo el nivel medio anual de inventario sea menor que en el modelo de cantidad económica de pedido debido a la producción y simultánea venta, hace que los costes totales de mantener inventario sean menores. Para este modelo Supongamos que: d = tasa diaria de demanda del producto p = tasa diaria de producción del producto t = número de días de una corrida de producción Entonces: Nivel máximo de inventarios =  p-d  t

Si sabemos que estamos produciendo un tamaño del lote de producción de Q unidades a una tasa diaria de producción de p unidades, entonces Q  pt , y la duración de la corrida de producción t deberá ser:

42


t

Q días p

Por lo que:

 d Nivel máximo de inventarios = 1-  Q  p

El nivel promedio del inventario, que es la mitad del nivel máximo de inventarios, está dado por:

1 d  Nivel máximo del inventario =  1   Q 2 p Con un costo de posesión anual por unidad de Ch , la ecuación general para el costo de posesión anual es:

 Nivel  Costo  Costo anual        promedio del  anual por  de posesión   inventario  unidad   1 d   1   QCh 2 p

    

Si D es la demanda anual del producto y C0 es el costo de preparación de una corrida de producción, entonces el costo anual de preparación, que sustituye el costo anual de pedir del modelo EOQ, es como sigue:

 Costo anual   Número de corridas  Costo de       de preparación   de producción por año  preparación por corrida  D  C0 Q

Por lo que el costo anual del modelo (CT) es:

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1 d  D CT  1   QCh  C0 2 p Q Como se cumple la relación:

P  250 p

y D  250d 

d D  p P

Por lo tanto, podemos escribir el modelo de costo anual total como sigue:

1 D D CT  1   QCh  C0 2 P Q Además se obtiene que el tamaño del lote de producción está dado por:

Q* 

2 DC0  D 1   Ch  P

Ejemplo 1) Suponga que una línea de producción opera de tal manera que fuera aplicable el modelo del tamaño del lote de producción. Dado D = 5800 unidades por año, C0  15 , Ch  2 dolares por unidad por año, usando una tasa de producción de 6000 unidades : a) Usando el modelo EOQ calcule la cantidad a pedir y el costo total. b) Usando el modelo de producción calcule el tamaño del lote de producción de costo mínimo y su costo respectivo.

Solución: a) Usando el modelo EOQ Datos: Costo de posesión: C h= 2 dólares. Costo de pedir: Co = 15 dólares. Demanda anual: D = 6000 unidades.

44


Entonces la cantidad recomendada a pedir es:

unidades,

por lo tanto el costo total: CT 

Q* 

2 DC0  208.57 Ch

1 D Q * Ch  C0  834.26 dólares 2 Q*

b) Usando el modelo de producción :

Q* 

2 DC0  1615.55 Unidades  D 1   Ch  P

Y el costo total es: CT 

1 D D C0  107.70 dólares  1   Q * Ch  2 P Q*

Modelo de Inventario con Escasez Planeada

TEMA 3

Competencia: Comprender el modelo de inventario con escasez planeada y analizar sus características.

45


Tema 03: Modelo de Inventario con Escasez Planeada Escasez de existencia es una demanda que no puede cubrirse. En muchas situaciones la escasez de inventario es indeseable y debería evitarse. Sin embargo, en otros casos pudiera resultar deseable desde el punto de vista económico- planear y permitir estos faltantes. El modelo de pedidos pendientes de surtir que desarrollamos es una extensión del modelo EOQ .Utilizamos el modelo EOQ, en el cual todos los bienes llegan al inventario de una vez y hay una tasa constante de demanda.

Si hacemos que S represente el número de pedidos pendientes de surtir acumulados cuando se recibe un nuevo embarque de tamaño Q, entonces el sistema de inventarios para el caso de pedidos pendientes de surtir tiene las siguientes características:

 Si existen pedidos pendientes de surtir S cuando llega un nuevo embarque del tamaño Q, los primeros se embarcan a los clientes apropiados y las unidades restantes Q – S permanecen en inventario, por lo que el nivel máximo de inventarios es Q – S.

46


 El ciclo de inventarios de T días se divide en dos etapas distintas: t1 días, cuando hay existencias a la mano y los pedidos se van llenando conforme ocurren, y t 2 días, cuando hay escasez de inventario y todos los nuevos pedidos se quedan en la lista de pedidos pendientes por surtir.

Q _ S  Nivel promedio deinventario 

2

2Q

Número anual de pedidos 

D Q

Nivel promedio de pedidos pendientes de surtir 

S2 2Q

Supongamos que:

Ch  Costo de mantener una unidad en inventario durante un año C0  Costo de pedir Cb  Costo de mantener una unidad en la lista de pedidos pendientes de surtir durante un año.

El costo anual total (CT) del modelo de inventarios con pedidos pendientes de surtir se convierte en

Q  S  CT  2Q

Dadas

las

2

D S2 Ch  C0  Cb Q 2Q

estimaciones

de

costo

Ch , C0 y Cb y la

demanda anual D, los valores de costo mínimo de las cantidades de pedido Q* y los pedidos pendientes por surtir S* planeados son como sigue:

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2 DC0  Ch  Cb    Ch  Cb 

Q* 

 Ch  S*  Q *    Ch  Cb  Ejemplo 2) Electra es una nueva tienda de especialización que vende televisores, grabadoras de cinta, juegos de videos y otros productos relacionados con la televisión. Una nueva grabadora de video fabricada en Japón cuesta

a

Electra 500 dólares por unidad. La tasa del costo anual de posesión de Electra es de 17%. Los costos de pedir se estiman en 50 dólares por pedido. Si la demanda de la nueva grabadora de videocinta se espera constante a una Tasa de 25 unidades por mes,

Asume dos políticas: a) El modelo EOQ ¿Cuál es la cantidad recomendada de Pedido para la grabadora de cinta? y el costo total? Solución Datos:

Costo unitario: C = 500 dólares Costo de pedir: Co = 50 dólares Demanda anual: D = 300 unidades La tasa del costo anual de posesión: I = 17%,

Entonces la cantidad recomendada a pedir es : lo tanto el costo total: CT 

Q* 

2 DC0  18.79 , Ch

por

1 D Q * Ch  C0  1596.87 dólares. 2 Q*

b) Si Electra propone pedidos pendientes por surtir, asumiendo un costo de 85 dólares, ¿Cuál es la cantidad recomendada de Pedido para la grabadora de cinta? y el costo total?

48


Solución: Asumiendo costos por pedidos pendientes por surtir: Cb = 85 dólares La cantidad a pedir: Q* 

2 DC0  Ch  Cb     26.57 unidades Ch  Cb 

Cantidad de pedidos pendientes por surtir:

 Ch  S*  Q *    13.28 C  C b   h

unidades El costo total respectivo es:

Q  S  CT  2Q

2

D S2 Ch  C0  Cb  1129.16 Q 2Q

dólares

Descuento por Cantidad para el Modelo EOQ

TEMA 4

Competencia: Determinar la correcta planeación de los descuentos por cantidad para el modelo EOQ.

49


Tema 04: Descuento por Cantidad para el Modelo EOQ Los descuentos por cantidad se dan en numerosas situaciones en las que los proveedores dan un incentivo por pedidos grandes al ofrecer un costo menor de adquisición cuando los productos se ordenan en lotes o cantidades mayores. En esta sección mostraremos cómo se puede utilizar el modelo EOQ cuando hay descuentos por cantidad. Paso 1. Para cada plan de descuento, calcule un Q* utilizando la formula EOQ basada en el costo unitario asociado con el plan de descuento. Paso 2. Para aquel Q* que sea demasiado pequeño para calificar por lo que se refiere al plan de descuento supuesto. Ajuste la cantidad a pedir hacia la cantidad a pedir más próxima superior que permita que dicho producto se pueda adquirir al precio supuesto.

50


Si un Q* calculado para un precio con descuento dado es suficiente grande para calificar para un descuento aun superior. El valor de Q* no puede llevar a una solución óptima. Aunque la razón pudiera no ser obvia, es una propiedad del modelo de descuento En

por cantidad EOQ.

los

modelos de inventarios que hemos considerado antes no se

incluyó

el costo anual de compra del elemento porque era constante

y nunca

afectaba la decisión de política de pedido y de inventarios.

Sin

embargo, en el modelo de descuentos por cantidad, el

costo

anual de las compras depende de la cantidad pedida y del costo unitario asociado, por lo que el costo anual de la compra (la demanda anual D por el costo unitario C) se incluye en la ecuación del costo total, según se muestra aquí:

CT 

Q D Ch  C0  DC 2 Q

Paso 3. Para cada cantidad a pedir, resultado de los pasos 1 y 2, calcule el costo total anual utilizando el precio unitario del plan de descuento apropiado, y la ecuación:

CT 

Q D Ch  C0  DC 2 Q

La cantidad a pedir que dé el mínimo costo total anual será la cantidad óptima a pedir.

Ejemplo:

1) Suponga que es apropiado el programa siguiente de descuentos por cantidad. Si la demanda anual es de 180 unidades, los costos de pedir son 50 dólares por pedido y la tasa de costo de posesión anual es de 25%,

Tamaño del Costo pedido Unitario ($)

Q*

Q* recomendado

Costo total($)

0 a 99

80

30

30

6000

100 a 199

70

32

100

13565

200 a mas

60

34

200

12345

51


a) ¿Qué cantidad a pedir recomendaría usted? Datos: D = 180 unidades I = 25 % Co = 50 dólares

Q* 

2DC0  30 Ch

Unidades,

b) Cual es el costo total respectivo?

1 D CT  Q * Ch  C0  DC  6000 Dólares 2 Q*

MODELO DE INVENTARIOS DE UN SOLO PERIODO CON DEMANDA CONSTANTE. Los modelos de inventario que hemos analizado se basan en la hipótesis de que la tasa de demanda es constante y deterministica a lo largo del año.

Con base en esta hipótesis desarrollamos políticas de costo de pedido y de cantidades de pedido de costo mínimo. En situaciones en las que la tasa de demanda no es deterministica, se han desarrollado modelos que tratan la demanda de manera probabilística y que se describen mejor mediante una distribución de probabilidad. En esta sección veremos un modelo de inventarios de un solo periodo con demanda probabilística.

El modelo de inventarios de un solo periodo se refiere a situaciones de inventarios en los que se coloca un solo pedido para el producto; al final del periodo, el producto, se ha vendido todo, o un saldo excedente sin vender se venderá a un

valor

de salvamento. El modelo de inventarios de un solo periodo se aplica

en

situaciones que involucran productos estacionales o perecederos que no se pueden mantener en inventario para venderse en periodos futuros. La ropa estacional (como trajes de baño) y los abrigos de invierno, típicamente se manejan en forma de un solo periodo. En estas situaciones, un comprador coloca un pedido de pretemporada para cada uno de los productos

52


y a continuación sufre de escasez o faltante de inventario o al final de la temporada tiene que llevar a cabo las ventas excedentes de existencias; no se trasladan elementos en inventario para su venta al año siguiente.

El análisis incremental es un método que puede utilizarse para determinar la cantidad óptima de pedir para un modelo de inventario de un solo periodo. El análisis incremental resuelve la pregunta de cuánto pedir, al comparar el costo o pérdida de pedir una unidad adicional, con el costo o pérdida de no pedir una unidad adicional. Los costos involucrados se definen como sigue:

C0  Costo por unidad por sobreestimar la demanda. Este costo representa la pérdida de pedir una unidad adicional y encontrar que ésta no puede venderse.

Cu  Costo por unidad por subestimar la demanda. Este costo representa la pérdida de oportunidad de no pedir una unidad adicional y encontrar que ésta pudiera haberse vendido. Es decir se puede definir:

C0  Costo de adquisición unitario – precio de venta unitario

Cu  Precio normal de venta por unidad – costo de adquisición por unidad La expresión nos da la condición general

para la

cantidad óptima de pedido Q* en un modelo de inventarios de un solo periodo.

P  demanda  Q * 

cu cu  c0

MODELO DE CANTIDAD A PEDIR Y DE PUNTO DE PEDIDO CON DEMANDA PROBABILISTICA. Si se utiliza una distribución normal para la demanda durante el plazo de entrega, la ecuación general para r es:

r    z 53


Ejemplo 1) Un estanquillo popular está intentando determinar cuántos ejemplares del periódico local debe adquirir todos los días. La demanda del periódico se puede aproximar

mediante

una

distribución

de

probabilidad

normal

como

  450 ,   100 . El periódico le cuesta al estanquillo 35 centavos de dólar por ejemplar y se vende por 50 centavos. El estanquillo no recibe ningún valor por periódicos excedentes y por lo tanto, absorbe una pérdida de 100% en todos los periódicos no vendidos. a. ¿Cuántos ejemplares el periódico deberá adquirir todos los días? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el estanquillo se quede sin existencia?

Solución Datos Costo: C = 35 centavos Venta: V = 50 centavos Reventa: R = 0

a) Calculando los valores de los costos Cu = V – C = 15 Co = C – R = 35

P  demanda  Q * 

cu 15   0.3 cu  c0 50

, Luego

54


De donde:

z

Q * 



 Q*    z  450  100(0.52)  398

b) Probabilidad de quedar sin existencia el estanquillo

P  demanda Q *  0.7


TEORÍA DE INVENTARIO O STOCK: http://davinci.ing.unlp.edu.ar/produccion/catingp/Capitulo%209%20Teoria%20de %20Inventarios%20o%20Stock2.pdf



MODELOS DE INVENTARIO: http://www.material_logistica.ucv.cl/en%20PDF/Introd_MODELOS%20DE%20INVE NTARIO_2004.pdf



MODELO DE CONTROL DE INVENTARIO: http://guias.blogspot.es/1185208560/



EJEMPLO MODELO DE DESCUENTO POR CANTIDAD http://www.slideshare.net/alconguerrero/ejercicio-modelo-descuento-porcantidad

Actividades y Ejercicios 55


1) Ingresa al link "Distribución" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Un producto lácteo perecedero se pide diariamente en un supermercado particular. El producto que cuesta $ 2.00 la unidad, se vende a $ 2.65. Si las unidades que quedan se quedan sin vender al final del día, el proveedor las recibe de regreso con un descuento de un dólar por unidad. Suponga que la demanda diaria aproximadamente

tiene

una

distribución

normal

con

  150 ,   30 . ¿Cuál es su cantidad a pedir diaria recomendada para el

Autoevaluaciones supermercado?

1) En el modelo de cantidad económica a pedir (EOQ) a. b. c. d. e.

Cada embarque llega en una partida. La demanda es conocida y se presenta a un ritmo constante. Es preciso satisfacer toda la demanda. El número de pedidos es solo una vez. El pedido es igual a la demanda.

2) Wilson Publishing Company produce libros para el mercado al menudeo. Se espera que la demanda para un libro actual ocurra a una tasa anual constante de 7200 ejemplares. El costo de un ejemplar es $14.50. El costo de mantener se basa en una anual de 18% y los costos de montaje de la producción son $150 por montaje. El equipo con el que se produce el libro tiene un volumen de producción anual de 25000 ejemplares. Wilson tiene 250 días hábiles anuales y el tiempo de entrega de una corrida de producción es 15 días. Utilice el modelo de tamaño del lote de producción para el Tamaño del lote de producción de costo mínimo a. 1250 libros. b. 1578 libros. c. 2105 libros. d. 1078 libros. e. 1800 libros. 3) Tele-Reco es una nueva tienda especializada en la televisión, videograbadora, juegos de videos y otros productos relacionados con la televisión. Una videograbadora nueva fabricada en Japón le cuesta a TeleReco $600 por unidad, la tasa del costo de mantener de Tele-Reco es 22%, los costos de ordenar se estiman en $70 por pedido. Si se espera que la demanda para la nueva videograbadora sea constante con una tasa de 20

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unidades por mes, ¿Cuáles son los costos de mantener inventario y de ordenar anuales estimados asociados con este producto? a. 3250.5 dólares. b. 2578.5 dólares. c. 2105.4 dólares. d. 3125.4 dólares. e. 2800.2 dólares. 4) Suponga que la compañía R & B tiene una bebida refrescante que muestra una tasa de demanda anual constante de 3600 cajas. Una caja de la bebida le cuesta a R & B $3. Los costos de ordenar son $20 por pedido y los costos de mantener son 25% del valor del inventario. R & B tiene 250 días hábiles anuales, y el tiempo de entregar es de cinco días. Determine el lote económico a ordenar. a. 380 cajas. b. 438 cajas. c. 500 cajas. d. 600 cajas. e. 280 cajas. 5) Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año. Encuentre el tamaño del lote económico. a. 150 unidades/ año. b. 180 unidades/ año. c. 100 unidades/ año. d. 60 unidades/ año. e. 9000 unidades/ año. 6) Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año. Calcular el número de órdenes por año. a. 50 ordenes/año. b. 80 ordenes/año. c. 10 ordenes/año. d. 60 ordenes/año. e. 90 ordenes/año. 7) Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año. Calcular el costo del inventario anual. a. 500 dólares/año. b. 800 dólares/año. c. 300 dólares/año. d. 600 dólares/año. e. 900 dólares/año. 8) Si la demanda de un artículo es constante de 9000 unidades / año el costo a ordenar es de 2.5 dólares /orden y el costo de conservación es de 2 dólares por unidad al año. Cuál es el punto de reorden si el tiempo de entrega es de 3 días. a. 50 unidades. b. 80 unidades. c. 30 unidades.

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d. 60 unidades. e. 74 unidades. 9) Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil que compra, el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del automóvil, el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes será de 20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10 000 dólares determine la cantidad que debe ordenar en cada pedido Q. a. 50 autos. b. 80 autos. c. 30 autos. d. 60 autos. e. 74 autos. 10) Un agente de mercedes benz debe pagar 20 000 dólares por cada automóvil que compra, el costo anual de almacenamiento es de 25% del valor del automóvil, el agente vende 500 autos al año su costo por faltantes será de 20000 dólares. Cada vez que el agente coloca un pedido su costo es de 10 000 dólares determine el costo mínimo anual. a. 200000 dólares/año. b. 800000 dólares/año. c. 300000 dólares/año. d. 600000 dólares/año. e. 100000 dólares/año.

Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE II: Un sobre-almacenamiento requeriría un capital invertido superior por unidad de tiempo pero menos ocurrencias frecuentes de escasez y de colocación de pedidos. Un subalmacenamiento por otra parte disminuiría el capital invertido por unidad de tiempo pero aumentaría la frecuencia de los pedidos así como el tiempo de estar sin mercancía. Los dos extremos son costosos. El modelo de demanda de una mercancía puede ser determinista o probabilista. En el caso del determinista se supone que se conocen con certeza las cantidades necesarias sobre períodos subsecuentes. El modelo de la cantidad económica a pedir (EOQ, por sus siglas en ingles) es aplicable cuando la demanda de un elemento tiene una tasa constante o prácticamente constante, o cuando la totalidad de la cantidad pedida llega al inventario en un momento en el tiempo. Lote Económico de Producción (conocido en inglés como Economic Production Quantity o por sus siglas EPQ) es un modelo matemático para control de inventarios que extiende el modelo de Cantidad Económica de Pedido a una tasa finita de producción. Así, en este modelo la recepción de pedidos de inventario y la producción y venta de productos finales ocurrirán de forma simultánea, lo que lo diferencia del modelo de cantidad económica de pedido. Su finalidad es encontrar el lote de producción de un único producto para el cual los costos por emitir la orden de producción y los costos por mantenerlo en inventario se igualan. A diferencia del modelo de cantidad económica de pedido, este modelo es menos estático que el anterior, adaptándose más a la realidad. Al considerar que el reabastecimiento de inventario no se produce instantáneamente y que el inventario se construye

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progresivamente a medida que se produce y se vende, el modelo logra recoger situaciones del mundo real. Escasez de existencia es una demanda que no puede cubrirse. En muchas situaciones la escasez de inventario es indeseable y debería evitarse. Sin embargo, en otros casos pudiera resultar deseable desde el punto de vista económico- planear y permitir estos faltantes. Si hacemos que S represente el número de pedidos pendientes de surtir acumulados cuando se recibe un nuevo embarque de tamaño Q, entonces el sistema de inventarios para el caso de pedidos pendientes de surtir tiene las siguientes características: Si existen pedidos pendientes de surtir S cuando llega un nuevo embarque del tamaño Q, El ciclo de inventarios de T días se divide en dos etapas distintas: t1 días, cuando hay existencias a la mano y los pedidos se van llenando conforme ocurren. Los descuentos por cantidad se dan en numerosas situaciones en las que los proveedores dan un incentivo por pedidos grandes al ofrecer un costo menor de adquisición cuando los productos se ordenan en lotes o cantidades mayores Paso 1. Para cada plan de descuento, calcule un Q* utilizando la formula EOQ basada en el costo unitario asociado con el plan de descuento. Paso 2. Para aquel Q* que sea demasiado pequeño para calificar por lo que se refiere al plan de descuento supuesto. En los modelos de inventarios que hemos considerado antes no se incluyó el costo anual de compra del elemento porque era constante y nunca afectaba la decisión de política de pedido y de inventarios.

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Introducción a) Presentación y contextualización Los temas que se tratan en la presente unidad temática, tienen por finalidad que el estudiante analice, conozca y practique los programas aplicativos para proyectos. Sólo desde hace poco se han analizado por parte de los investigadores operacionales los problemas gerenciales asociados con dichos proyectos. Se estudia la programación de proyectos para lograr programar y controlar el proyecto que se desarrolla aplicando de esta manera el PERT (evaluación de programa y técnica de revisión) fue desarrollado por científicos de la oficina Naval de Proyectos Especiales. Booz, Allen y Hamilton y la División de Sistemas de Armamentos de la Corporación Lockheed Aircraft. La técnica demostró tanta utilidad que ha ganado amplia aceptación tanto en el gobierno como en el sector privado.

b) Competencia Reconoce la importancia que tiene la programación de los proyectos para alcanzar automatizar los procesos.

c) Capacidades 1. Conoce la utilidad y las características del modelo CPM.

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2. Reconoce, las características de la programación de proyectos con tiempos inciertos para lograr un control a tiempo real. 3. Identifica las técnicas empleadas para intercambiar los tiempos y costos. 4. Aplicar el uso del software WIN QSB en la solución de problemas que involucre pert cpm.

d) Actitudes  Toma iniciativa de investigación sobre temas relacionados.  Comprende la importancia de conocer y aplicar la programación de proyectos.  Sentido de planificación, organización y orden.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 03: Programación de Proyectos comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Programación de proyectos con tiempos de actividad conocidos. TEMA 02: Programación de proyectos con tiempos inciertos. TEMA 03: Consideración de los intercambios de tiempo y costo. TEMA 04: Uso del Software WIN QSB para programación de proyectos.

Programación de

TEMA 1

Proyectos Con tiempos de Actividad conocidos Competencia:

Conocer la utilidad y las características del modelo CPM. 61


Desarrollo de los Temas Tema 01: Programación de Proyectos con

Tiempos de Actividad Conocidos ANTECEDENTES Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método

PERT

(Program

Evaluation

and

Review

Technique) desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.

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El método CPM (Crítical Path Method), el segundo origen del método actual, fue desarrollado también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación adecuada de las actividades componentes del proyecto. Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

DEFINICIÓN El método del camino crítico es un proceso administrativo

de

planeación,

programación,

ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

USOS El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener los mejores resultados

debe

aplicarse

a

los

proyectos

que

posean

las

siguientes

características: a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su totalidad. b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo, sin variaciones, es decir, en tiempo crítico. c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo disponible. Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas, apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios económicos regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias, distribución de

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tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica, planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población, etc., etc.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan los estimados de tiempo. En PERT supone que el tiempo para realizar cada una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad. En CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados. La distribución de tiempo que supone en PERT para una actividad es una distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados: (1) el estimado de tiempo más probable, m; (2) el estimado de tiempo más optimista, a; y (3) el estimado de tiempo más pesimista, b.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

DEFINICIÓN Y USOS El método de ruta crítica es un proceso administrativo

(planeación,

organización,

dirección y control) de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse durante un tiempo crítico y al costo óptimo. La aplicación potencial del método de la ruta crítica, debido a su gran flexibilidad y adaptación, abarca desde los estudios iníciales para un proyecto determinado, hasta la planeación y operación de sus

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instalaciones. A esto se puede añadir una lista indeterminable de posibles aplicaciones de tipo específico. Así, podemos afirmar que el método de la ruta crítica es aplicable y útil en cualquier situación en la que se tenga que llevar a cabo una serie de actividades relacionadas entre sí para alcanzar un objetivo determinado. El método es aplicable en tareas tales como: construcción, estudios económicos, planeación de carreras universitarias, censos de población, estudios técnicos, etc. Los beneficios derivados de la aplicación del método de la ruta crítica se presentarán en relación directa a la habilidad con que se haya aplicado. Debe advertirse, sin embargo, que el camino crítico no es una panacea que resuelva problemas administrativos de un proyecto. Cualquier aplicación incorrecta producirá resultados adversos. No obstante, si el método es utilizado correctamente, determinará un proyecto más ordenado y mejor balanceado que podrá ser ejecutado de manera más eficiente y normalmente, en menor tiempo.

Un beneficio primordial que nos brinda el método de la ruta crítica es que resume en un sólo documento la imagen general de todo el proyecto, lo que

nos

ayuda

contradicciones

a en

evitar la

omisiones,

planeación

de

identificar actividades,

rápidamente facilitando

abastecimientos ordenados y oportunos; en general, logrando que el proyecto sea llevado a cabo con un mínimo de tropiezos. En la práctica el error que se comete más a menudo es que la técnica se utiliza únicamente al principio del proyecto, es decir, al desarrollar un plan y su programación y después se cuelga en la pared el diagrama resultante, olvidándose durante el resto de la vida del proyecto. El verdadero valor de la técnica resulta más cuando se aplica en forma dinámica. A medida que se presentan hechos o circunstancias imprevistas, el método de la ruta crítica proporciona el medio ideal para identificar y analizar la necesidad de replantear o reprogramar el proyecto, reduciendo al mínimo el resultado adverso de dichas contingencias. Del mismo modo, cuando se presenta una oportunidad para mejorar la programación del proyecto, la técnica permite determinar fácilmente que actividades deben ser aceleradas para que se logre dicha mejoría.

METODOLOGÍA El método de la ruta crítica consta básicamente de dos ciclos: 1. Planeación y programación 2. Ejecución y Control

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El primer ciclo termina hasta que todas las personas directoras o responsables de los diversos procesos que intervienen en el proyecto están plenamente de acuerdo con el desarrollo,

tiempos,

costos,

elementos

utilizados, coordinación, etc., tomando como base la red de camino crítico diseñada al efecto. Al terminar la primera red, generalmente hay cambios en las actividades componentes, en las secuencias, en los tiempos y algunas veces en los costos, por lo que hay necesidad de diseñar nuevas redes hasta que exista un completo acuerdo de las personas que integran el grupo de ejecución.

El segundo ciclo termina al tiempo de hacer la última actividad del proyecto y entre tanto existen ajustes constantes debido a las diferencias que se presentan entre el trabajo programado y el realizado. Será necesario graficar en los esquemas de control todas las decisiones tomadas para ajustar a la realidad el plan original. Con objeto de entender este proceso, se presenta la figura 1. Considerando que el principal objetivo de este trabajo consiste en establecer la metodología de la construcción de la red del camino crítico se abarcará únicamente el primer ciclo, con objeto de presentar la elaboración de la red del camino crítico y entienda sus ventajas y limitaciones. El primer ciclo se compone de las siguientes etapas: definición del proyecto, lista de actividades, matriz de secuencias, matriz de tiempos, red de actividades, costos y pendientes, compresión de la red, limitaciones de tiempo, de recursos económicos, matriz de elasticidad.

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DEFINICIÓN DEL PROYECTO Esta etapa aunque es esencial para la ejecución del proyecto no forma parte del método. Es una etapa previa que debe desarrollarse separadamente y para la cual también puede utilizarse el método de la ruta crítica. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos viables y disponibles, lo que nos aclara si el proyecto va a satisfacer una necesidad o si es costeable su realización.

LISTA DE ACTIVIDADES Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos interrelacionados en un proyecto total. No es necesario que las actividades se listen en orden de ejecución, aunque si es conveniente porque evita que se olvide alguna de ellas. Sin embargo, las omisiones de las actividades se descubrirán más tarde al hacer la red correspondiente. Es conveniente numerar progresivamente las actividades para su identificación y en algunos casos puede denominarse en clave, no es necesario indicar la cantidad de trabajo ni las personas que la ejecutarán.

En términos

generales, se considerará actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos determinables de iniciación y terminación.

MATRIZ DE SECUENCIAS Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades: a) Por antecedentes b) Por secuencias En el primer caso se preguntará a los responsables de los

procesos

cuales

actividades

deben

quedar

terminadas para ejecutar cada una de las que aparecen en la lista. Debe cuidarse que todas y cada una de las

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actividades tenga cuando menos un antecedente. En el caso de ser iníciales, la actividad antecedente será cero. En el segundo procedimiento se preguntará a los responsables de la ejecución, cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que aparecen en la lista de actividades. Para este efecto se debe presentar la matriz de secuencias iniciando con la actividad cero que servirá para indicar solamente el punto de partida de las demás.

MATRIZ DE TIEMPOS Mediante esta matriz conocemos el tiempo de duración de cada actividad del proyecto. El método de la ruta crítica utiliza únicamente un tipo de estimación de duración, basada en la experiencia

obtenida

con

mediante una actividad X.

anterioridad

Para asignar el

tiempo de duración de una actividad debemos basarnos en la manera más eficiente para terminarla de acuerdo con los recursos disponibles. Tanto la Matriz de Secuencias como la Matriz de Tiempos se reúnen en una sola llamada Matriz de información, que sirve para construir la Red Medida.

RED DE ACTIVIDADES La representación visual del método de la ruta crítica es el diagrama de flechas o red de actividades, que consiste en la ilustración gráfica del conjunto de operaciones de un proyecto y de sus interrelaciones. La red esta formada por flechas que representan actividades y nudos o uniones que simbolizan eventos. Cuando se encuentran varias flechas conectadas una tras otra es que existe una secuencia entre ellas; esa es la manera de ilustrar dicha dependencia. Los nudos o uniones de flechas, denominados eventos, se representan en la gráfica en forma de círculos y significan la terminación de las actividades que culminan en un evento determinado y la iniciación de las subsecuentes.

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Para preparar un diagrama de flechas se deben contestar tres preguntas básicas sobre cada flecha o actividad específica: 1. ¿Qué actividades deben ser realizadas inmediatamente antes de la ejecución de ésta?

2. ¿Qué actividades deben llevarse a cabo inmediatamente después de realizar la presente?

1.

¿Qué actividades se pueden realizar simultáneamente a la ejecución de ésta?

Otros dos aspectos que deben considerarse son los siguientes: 1. La numeración de los eventos 2. La existencia de actividades ficticias

La numeración de los eventos permite identificar las diferentes actividades mediante los eventos de iniciación (i) y de terminación (j). Para cada actividad puede ser identificada por una combinación única de hechos de iniciación y de terminación, es necesario incluir en la elaboración de una red a las llamadas actividades ficticias, que

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son aquellas que no representan la realización de una tarea finita, tiempo de duración o costo (o sea que el evento de iniciación, corresponde al evento de terminación con respecto al tiempo).

Indistintamente se podrían numerar los eventos al azar y realmente no hay razón por la cual no se pueda o no se deba hacer. La experiencia ha demostrado, sin embargo, que el numerar los eventos de una manera especial hace más simple el procedimiento aritmético. Es buena práctica numerar los eventos de tal manera que el número del inicio de cualquier flecha sea simple menor que el número indicado en su punta; en otras palabras “i” debe ser menor que “j”. Para establecer la red se dibuja o dibujan las actividades que parten del evento cero. A continuación no debe tomarse la ordenación progresiva de la matriz de secuencias para dibujar la red, sino las terminales de las actividades de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, este proceso se repite considerando las recomendaciones para la construcción de la red. Una vez realizada la red de actividades, se debe asignar la duración correspondiente a cada una de ellas, para calcular la duración total del proyecto y a la determinación de las fechas próximas de realización de cada actividad. Para llevar a cabo estos cálculos se hacen las siguientes suposiciones: a) el proyecto se inicia en cero de tiempo relativo b) no se debe iniciar ninguna actividad sin antes, haber completado las tareas cuya ejecución depende ésta c) la realización de cada actividad debe iniciarse tan pronto como sea posible

70


d)una vez iniciada, cada actividad se ejecuta sin interrupción, hasta ser terminada.

Cómo es posible calcular las fechas próximas de iniciación y terminación de cada actividad, podemos realizar el mismo procedimiento de cálculo para obtener los tiempos remotos de iniciación y de terminación de cada actividad, de acuerdo, con la duración total del proyecto. El cálculo de estos tiempos denominados también como fechas, es muy sencillo; lo más pronto que una actividad se puede iniciar es la fecha más próxima en que todas sus actividades precedentes se pueden terminar. Lo más pronto que se puede terminar es simplemente la fecha de iniciación más próxima más el tiempo requerido para la terminación.

El primer cálculo que se hace es de los tiempos próximos de iniciación de cada actividad y el procedimiento es el siguiente: 1. Primeramente se asigna al evento de iniciación de la primera actividad de la red, un día hábil igual a cero, el que se anota dl lado izquierdo del evento y es su tiempo próximo de inicio. 2. después se procederá a sumarle la duración de cada una de las actividades que principian en ese evento y se anotan del lado izquierdo del evento de terminación respectivamente. Siendo también su próximo del inicio. 3. En el caso de actividades cuyo evento de terminación sea el mismo, deberá considerarse el valor máximo que arrojen los cálculos del paso 2, siendo éste el tiempo próximo de inicio de la siguiente actividad. 4.

Se repiten los pasos 2 y 3 hasta que se calcule el tiempo próximo de realización de todas las actividades.

5. La cifra final de tiempos próximos de inicio constituye el tiempo en el que se puede llevar a cabo el proyecto.

El segundo cálculo que se hace es el de los tiempos remotos de terminación. Esta determinación se efectúa en forma inversa a la anterior, el procedimiento es el siguiente: 1. Se supone que el tiempo remoto de terminación del último evento es igual a

71


su tiempo más próximo de iniciación. Es decir, se toma como dato inicial la duración total del proyecto y se anota en el extremo derecho del evento final. 2. Posteriormente se irán restando de dicho valor las duraciones de cada una de las actividades que terminan en ese evento de iniciación, respectivamente. Siendo estos valores su tiempo remoto de terminación. 3. Cuando dos o más actividades tengan el mismo evento de iniciación, debe considerarse el valor mínimo que arrojen los cálculos del paso 2. siendo este el tiempo remoto de terminación de las actividades anteriores. La etapa final consiste en calcular el tiempo remoto de iniciación y el tiempo próximo de terminación de acuerdo a las siguientes relaciones:

EJEMPLO Un proyecto de un ajuste general de un motor. Código de

Descripción de la actividad

actividad

Predecesores inmediatos

A

Sacar y desarmar motor

------

B

Limpiar y pintar la base

A

C

Rebobinar la armadura

A

D

Reemplazar anillos

A

E

Ensamblar e instalar el motor en la base

B, C, D.

Para el ejemplo se requieren de 5 actividades; es evidente que el número de actividades variará según el tipo de proyecto.

72


En cualquier caso, el punto clave es tener, en esta etapa de planeación, una lista precisa y exhaustiva de actividades (y las relaciones correctas de precedencia entre ellas). Además cabe destacar en el ejemplo anterior se tiene una columna de “Predecesores inmediatos”. Para cada actividad determinada, deben terminarse todas las precedentes inmediatas antes que poder comenzar esa actividad. En el ejemplo, las actividades B, C y D no pueden comenzar sino hasta que la actividad A se haya terminado.

ESTRUCTURA DE RED Una vez que se ha elaborado una lista completa y precisa de actividades y de sus predecesoras, es posible ilustrar en forma grafica sus relaciones. Antes del desarrollo de PERT se utilizaban diagramas de barras que fueron diseñados por H.L. Gantt, y a los que con frecuencia se denominaba grafica o carta Gantt.

A B C D

ACTIVIDADES E F G H 1

2

3

4

5

6

7

8

9

TIEMPO (SEMANAS)

Características

Conceptualmente correcta

73


Poco clara la relación de precedencia (ejemplo ¿las actividades E y F dependen de B o D? ¿la actividad D depende de que se termine A y C, sólo A, solo C o ninguna de ellas? Diagrama de red

3

LIMPIAR

FICTICIA Y PINTAR

1

B

BASE

A

C

2

SACAR D Y

E

REBOBINAR LA

ENSAMBLAR

ARMADURA

E INSTALAR FICTICIA

4

DESARMAR

5

6

EL MOTOR

EL MOTOR

EN LA BASE Reemplazar los anillos

Programación de

TEMA 2

Proyectos con Tiempos Inciertos

Competencia: Reconocer, las características de la programación de proyectos con tiempos inciertos para lograr un control a tiempo 74 real.


Tema 02: Programación de Proyectos con Tiempos Inciertos LIMITACIÓN DE RECURSOS Y ECONÓMICAS Otra de las ventajas mayores que se ofrecen a quien utilice e el método de camino crítico para administrar un proyecto consiste en que permite nivelar las necesidades de recursos humanos

y materiales

a

lo largo

del

proyecto.

Llevar a cabo un proyecto que

requiera 50 hombres un día, 28 al día siguiente, 64 el tercero y así sucesivamente, es a todas luces costoso e ineficaz. El método del camino crítico, al permitir planear varias alternativas de operación, ofrece una solución práctica al problema de programar de manera uniforme los recursos humanos y materiales requeridos para ejecutar un proyecto.

75


Para lograr una nivelación de recursos se prepara un diagrama preliminar de flechas. En seguida se estima el número de hombres requerido para realizar cada actividad y el tiempo que emplearían en ejecutarla. El siguiente paso incluye el cálculo normal de fechas de realización y tiempos flotantes. Una vez hecho esto para cada actividad, el proyecto se plasma en una gráfica de tiempo, que se elabora de manera tal que cada actividad empieza en su fecha próxima de iniciación y su tiempo flotante se indica con línea punteada. Las actividades ficticias se representan con líneas verticales conservando la lógica de la red; es decir, cada actividad debe empezar y terminar en el evento correspondiente.

Los días deberán estar marcados en la parte superior de la gráfica y en la inferior se encuentran

anotados

los

requerimientos

totales de mano de obra. Es obvio, que si se mantiene constante el tiempo de duración del proyecto la realización de las actividades no críticas puede ser reprogramadas aprovechando sus tiempos flotantes. Cuando se quieren nivelar los requerimientos de mano de obra, se debe escoger qué es mejor, si disminuir los requerimientos máximos de mano de obra o las fluctuaciones diarias de personal, puesto que es muy difícil lograr ambos objetivos en una misma programación. La nivelación de recursos materiales se hace en la misma forma utilizada para nivelar la mano de obra. Se estiman los recursos necesarios para realizar cada actividad y se aprovechan los tiempos flotantes de las actividades no críticas, para reducir al máximo de recursos requeridos y las variaciones durante el proyecto.

COSTOS, PENDIENTE Y COMPRESIÓN Una vez elaborado un plan de acción lógico se plasma en un diagrama de flechas, estimándose el tiempo y recursos necesarios para llevar a cabo las diferentes actividades, es posible calcular los costos de mano de obra de varias alternativas y entre ellas, seleccionar la más económica. Existe una relación entre el tiempo

76


de realización de cualquier proyecto y su costo. Además todo proyecto su punto óptimo de realización, cuando existe una desviación el costo del proyecto se eleva. Si se acelera la realización del proyecto para ejecutarlo en un tiempo menor al óptimo de realización, se requerirá equipo o mano de obra adicional, lo que produce costos unitarios mayores y reduce la eficiencia de operación. Si el proyecto se ejecuta en un tiempo mayo que el óptimo de realización, su costo aumenta debido al incremento en los gastos fijos: supervisión, renta de equipo, etc.

Generalmente, en el caso de un proyecto compuesto por numerosas actividades, se determinan los puntos normal y acelerado de ejecución (solicitando los costos de cada actividad realizada en tiempo estándar acelerado), y se extrae una relación lineal. Esta relación se denomina pendiente y relaciona el incremento de costo a la compresión del tiempo, lo que significa el incremento en costo debido a la compresión en tiempo. Una vez que tenemos a nuestra disposición est a información, podemos utilizar el método del camino crítico para obtener conclusiones sobre diferentes alternativas de programación, cada una con su costo correspondiente ( a tiempo estándar y acelerado). El problema que debe resolverse al comprimir la duración de un proyecto es encontrar el punto en el cual se debe suspender la compresión y aceptar la duración del proyecto. En la mayoría de los proyectos comerciales el criterio que se toma en cuenta es el de rendimiento sobre la inversión. La duración óptima del proyecto se puede determinar en forma de una curva de costos totales del proyecto. Esta curva representa una suma de los costos directos e indirectos del proyecto.

Los dos últimos apartados se presentaron de una manera breve puesto que se pretende dar una idea de su aplicación, el objetivo principal es saber elaborar la ruta crítica de un proyecto a pesar de que esta pueda modificarse considerando la metodología de estos dos apartados.

77


CLAVE A

B C

D E F G-1 G-2 H-1 H-2 I-1 I-2 J-1 J-2 K-1 K-2 L-1 L-2 M-1 M-2 N-1 N-2 O-1 O-2 P Q R

DESCRIPCION Elaboración de un guión para la formulación del proyecto de producción de hierba buena y menta y otro para el estudio de mercado de aceite esenciales. Estudio de mercado de los aceites esenciales de hierbabuena y menta en México. Formulación de dos proyectos agrícolas para la producción de hierbabuena y menta respectivamente Investigación bibliográfica sobre la industrialización de hierbabuena y menta Revisión y montaje de métodos analíticos para la caracterización de las materias primas Revisión y montaje de métodos analíticos para la caracterización de productos Adquisición de hierbabuena Adquisición de menta Caracterización de la hierbabuena Caracterización de la menta Preparación de la hierbabuena Preparación de la menta Pruebas de extracción en planta piloto de aceite de hierbabuena Pruebas de extracción en planta piloto de aceite de menta Análisis del extracto de hierbabuena Análisis de extracto de menta Purificación del extracto de hierbabuena Purificación del extracto de menta Estudio de aprovechamiento de residuos de la extracción de aceites de hierbabuena Estudio de aprovechamiento de residuos de la extracción de aceites de menta Pruebas de estabilidad del aceite purificado de hierbabuena Pruebas de estabilidad del aceite purificado de menta Evaluación de la calidad del aceite purificado de hierbabuena Evaluación de la calidad del aceite purificado de menta Pruebas organolépticas de los aceites Análisis económico del proyecto Informe final.

A continuación se presenta un ejemplo de ruta crítica:

78


El ejemplo consiste en un proyecto para la obtención de aceites esenciales de hierbabuena y menta. La metodología seguida se estableció en la parte anterior lo que da como resultado lo siguiente:

ACTIVIDAD A B C D E F G1 G2 H1 H2 I1 I2 J1 J2 K1 K2 L1 L2 M1 M2 N1 N2 O1 O2 P Q R

MATRIZ DE SECUENCIAS SECUENCIAS A B, C D, E, F, G2 D, E, F, G2 G1 G1 G1 H1, I1 H2, I2 L1 L2 J1 J2 K1, M1 K2, M2 L1 L2 N1, O1 N2, O2 P P R R P P Q R

RED DE ACTIVIDADES Para determinar la red de actividades se construye un arreglo lógico, se asignan duraciones y se estiman los tiempos próximos de iniciación, y se calculan los tiempos remotos de terminación. La etapa final consiste en establecer la matriz de elasticidad para lo cual se calculan los tiempos remotos de iniciación, tiempos próximos de terminación.

79


MATRIZ DE ELASTICIDAD Con la información obtenida se calculan las holguras y se procede a formar la matríz de elasticidad la cual es presentada en la página siguiente. Finalmente se traza la ruta crítica uniendo las actividades críticas. El esquema final es presentado en la Fig. 11.

80


TIEMPOS DE UNA ACTIVIDAD El sistema PERT para estimar el tiempo de una actividad requiere de alguien que conozca muy bien la actividad a calcularle el tiempo estimado de ejecución, para poder indicar tres tiempos estimados de la actividad.

1.- Tiempo optimista: (se denota por la letra a), el tiempo mínimo. Todo tiene que marchar a la perfección para lograr este tiempo. 2.- Tiempo más probable: (se denota por la letra m), el tiempo normal. El que se necesita en circunstancias ordinarias. 3.- Tiempo pesimista: (denotado por la letra b), el tiempo máximo. Una versión de la ley de Murphy diría que si algo puede salir mal, así ocurrirá. El tiempo pesimista es el que se necesita cuando se cumple la ley de Murphy. La estimación del tiempo de actividad esperado se basa en el supuesto de que ese tiempo es una variable aleatoria cuya probabilidad tiene una distribución beta unimodal. No es necesario entrar en detalles con respecto a esta distribución; en vez de ello, nos concentraremos en el procedimiento de distribución.

Cuando el tiempo esperado de actividad tiene distribución beta de probabilidad, el tiempo esperado se puede calcular de la siguiente forma.

81


EJEMPLO

Consideración de los

TEMA 3

Intercambios de Tiempo y Costo Competencia: Identificar las técnicas empleadas para intercambiar los tiempos y costos.

82


Tema 03: Consideración de los intercambios de Tiempo y Costo Para determinar simplemente donde y cuando apresurar los tiempos de actividad, necesitamos información sobre cuánto se apresurar cada una de las actividades y cuánto cuesta este proceso de apresuramiento, por lo que debemos solicitar la siguiente información:

1.

Costo de la actividad bajo el tiempo de actividad normal o esperado

2.

Tiempo para finalizar la actividad bajo apresuramiento máximo ( es decir , el tiempo de actividad más corto posible)

3.

Costo de la actividad bajo apresuramiento máximo Supongamos que

ti  Tiempo esperado de la actividad i

t 'i  Tiempo de la actividad i bajo apresuramiento máximo M i = tiempo máximo de reducción para la actividad i debido al apresuramiento Donde M i  ti  ti '

83


Luego consideremos que Ci represente el costo de la actividad i bajo el tiempo de actividad normal o esperada y que Ci ' es el costo de la actividad i bajo apresuramiento máximo, porque por unidad de tiempo (por ejemplo por día), el costo de apresuramiento K i para cada actividad queda dado por:

Ki 

Ci ' Ci Mi

EJEMPLO Problema 1

Dada la siguiente red de actividades, el costo y tiempo (en horas) de compresión y normal de cada actividad.

D

E

F

H

B INICIO

A

FIN

C

J G

I

Actividad

Tiempo Normal

Tiempo acelerado

Costo Normal

Costo acelerado

A

3

1

40

60

B

3

1

12

20

C

4

2

48

60

D

2

2

24

24

84


E

2

1

10

20

F

1

1

25

25

G

1

1

18

18

H

3

1

46

72

I

4

2

30

44

J

5

1

25

37

Elabore una tabla en la que se indique el máximo tiempo de aceleración de las actividades y el costo por hora de aceleración. Solución: La tabla solicitada es la siguiente:

Actividad

Tiempo normal

Tiempo acelerado

Tiempo de aceleración

Costo normal

Costo acelerado

Diferencia de costos

Costo unitario

(1)

(2)

(3)=(1)-(2)

(4)

(5)

(6)=(5)-(4)

(7)=(6)(3)

A

3

1

2

40

60

20

10

B

3

1

2

12

20

8

4

C

4

2

2

48

60

12

6

D

2

2

0

24

24

0

-

E

2

1

1

10

20

10

10

F

1

1

0

25

25

0

-

G

1

1

0

18

18

0

-

H

3

1

2

46

72

26

13

I

4

2

2

30

44

14

7

J

5

1

4

25

37

12

3

85


Uso del Software

TEMA 4

WINQSB para Programación de Proyectos

Competencia: Aplicar el uso del software WIN QSB en la solución de problemas que involucre pert cpm.

86


Tema 04: Uso del Software WINQSB para Programación de Proyectos WinQSB es una aplicación versátil que permite la solución de una gran cantidad de problemas: administrativos, de producción, de recurso humano, dirección de proyectos, etc. Debido a su facilidad y potencia de manejo, este libro se convierte en una herramienta indispensable para el estudiante que participa en materias como la investigación de operaciones, los métodos de trabajo, planeación de la producción, evaluación de proyectos, control de calidad, simulación, estadística, entre otras.

El método de la ruta crítica, CPM, es una herramienta de tipo determinístico para el análisis de redes de proyectos. La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en el cual se introducirá las características de nuestro problema.

87


A continuación se describirán cada una de las casillas de esta ventana: 

Título del problema (Problem Title): Se escribe el título con que identificamos el problema.



Número de actividades (Number of Activities): Se escribe la cantidad de actividades (nodos) presentes en la red del proyecto.



Unidad de tiempo (Time Unit): En este campo se especifica la unidad de tiempo trabajada en la red (Ejemplo: hora, día, mes, año…).

Tipo de problema (Problem Type): Los problemas representados por redes de proyectos pueden ser analizados mediante dos métodos: CPM Determinístico (Deterministic CPM) y PERT Probabilístico (Probabilistic PERT). 

Formato de entrada de datos (Data Entry Format): Permite elegir entre dos plantillas distintas para introducir los datos del modelo al programa. La primera alternativa se asemeja a una hoja de cálculo, mientras que la segunda, permite diseñar las redes en modo gráfico.



Campos de datos seleccionados para el CPM (Select CPM Data Field):

Esta área que aparece cuando pulsamos en la opción CPM Determinístico (Deterministic CPM) permitiendo seleccionar las variables de análisis que desarrollará WINQSB para el estudio de este tipo de redes: Tiempo normal (Normal Time): En este campo se especifica el tiempo normal de cada actividad.

88


Tiempo de quiebre (Crash Time): Tiempo mínimo en el cual se podría reducir una actividad. Costo normal (Normal Cost): Costo de realizar una actividad ejecutada en un tiempo normal. (Este costo es presupuestado) Costo de quiebre (Crash Cost): Costo incurrido al realizar una actividad en su tiempo de quiebre o crítico. Costo actual (Actual Cost): Costo de una actividad real. Porcentaje completo (Percent Complete): Permite realizar un análisis de costos y tiempos de forma parcial (o la totalidad) a un proyecto que ha sido ejecutado.

Distribución del tiempo de cada actividad (Activity Time Distribution): Esta opción se activa cuando se pulsa sobre la opción PERT Probabilístico (Probabilistic PERT). El método PERT trabaja bajo incertidumbre, donde los tiempos de la actividad tienen posibilidad de variar de acuerdo a una distribución probabilística. Al pulsar sobre el botón Escoger distribución del tiempo de cada actividad (Choose Activity Time Distribution), se desplegará una nueva ventana con diferentes distribuciones probabilísticas:

89


Para escoger una distribución, simplemente seleccionamos la más adecuada y oprimiremos el botón OK.

UN PROBLEMA EJEMPLO PARA CPM Mediante un ejemplo demostraremos como se introducen los datos para la creación de un nuevo problema tipo CPM.

ENUNCIADO

Una vez analizado el enunciado se sigue con la creación del modelo de redes. Procedemos a llenar la ventana Especificaciones del problema (Problem Specification) con los datos del ejercicio.

90


Marcamos todas las opciones disponibles para CPM (excepto los dos últimos) con el fin de realizar un análisis integral. La ventana siguiente permite ingresar la información disponible de cada actividad:

Los puntos que aparecen en esta zona son:

_ Número de la actividad (Activity Number): Número consecutivo de actividades. _ Nombre de la actividad (Activity Name): WINQSB predefine los nombres de las actividades con letras (se cambiaron a los nombres dados por el ejercicio).

91


_ Predecesores (Inmediate Predecessor): Se especifica el predecesor de cada actividad. Puede ser por el nombre de la actividad o por el número de la misma.

En el caso de que no exista predecesor se debe dejar el espacio en blanco. _ Tiempos normales y de quiebre (Normal Time – Crash Time): Tiempos normales y mínimos estimados por actividad. _ Costos normales y de quiebre (Normal Cost – Crash Cost): Costos normales y de quiebre para cada actividad.


TÉCNICAS PERT CPM: http://alfredocarneiro.files.wordpress.com/2011/09/tecnicas-gantt-pert-y-cpm.pdf



METODO DEL CAMINO CRÍTICO PERT CPM: http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/revista-metodo-camino-critico/revistametodo-camino-critico.pdf

Actividades y Ejercicios

1. Ingresa al link "Diagrama PERT" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Asuma que tiene 13 actividades etiquetadas de la A-M Proceda a encontrar el tiempo de realización más temprano (TE), el tiempo final (T ) y tiempo de inactividad para cada uno de las

92



Actividad

Tiempo Esperado TE (semanas)

A) Compra de las materias primas

2

A precede a B

B) Producción del stock inicial

4

B, H preceden a C

C) Envasado del stock inicial

1

C, L preceden a M

D) Estudio de mercado

6

D precede a G, I, K

E) Estudio de la campaña de publicidad

3

E precede a F

F) Realización de la campaña de publicidad

5

G precede a E, H

G) Estudio y diseño de los envases

2

I precede a J

H) Preparación de los envases

2

J, K preceden a L

I) Selección del equipo de vendedores

3

L precede a M

J) Entrenamiento del equipo de vendedores

4

K) Selección de los posibles distribuidores

3

L) Venta a los distribuidores

5

M) Envío de los primeros pedidos

2

93 2. Ingresa al link "Cálculos" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo



Tiempo (semanas) Tarea Descripción

Precedentes

to

tm

tp

A

Elegir local de oficina

-

2

3

4

B

Crear el plan financiero y de organización

-

4

4.5

8

C

Determinar requerimientos de personal

B

1

3

5

D

Diseñar local

A,C

3

4

5

E

Construir el interior

D

6

7

14

F

Elegir personal a mudar

C

2

2

2

G

Contratar nuevos empleados

F

2

4

6

H

Mudar registros, personal clave, etc.

F

1

2

3

I

Hacer arreglos financieros con las instituciones

B

4

5

6

J

Entrenar personal nuevo

H,E,G

3

3

3

a. Trace la red correspondiente y Señale duración esperada y la ruta crítica. b. Calcule la desviación estándar para la ruta crítica. c. ¿Cuál es la probabilidad de abrir la nueva sucursal en 28 semanas?

94


Autoevaluaciones 1) El tiempo de finalización del proyecto esta dado por: a. La suma de los tiempos de todas las actividades b. La suma de los tiempos del camino critico c. La suma de los tiempos que tienen holgura diferente de cero d. La suma de los tiempos de las actividades que tiene holgura cero e. La suma de las actividades que están en la ruta más larga de nodo de inicio hasta el nodo final. 2) El costo del proyecto está dado por: a. La suma de los costos de las actividades del camino crítico b. La suma de los costos de todas las actividades c. La suma de los costos de las actividades que tienen holgura cero d. La suma de los costos de las actividades que tienen holgura diferente de cero e. La suma de los costos de las actividades que están en la ruta más larga de nodo de inicio hasta el nodo final. 3) Una empresa está preparando un presupuesto para el lanzamiento de un producto nuevo. La tabla siguiente muestra las actividades asociadas y sus duraciones. Formule la red del proyecto. Actividad Descripción

Predecesor Duración(días)

A

pronosticar volumen de ventas

------

10

B

Estudiar el mercado de las competencias

------

7

C

Diseñar el articulo y las instalaciones

A

5

95


D

Preparar el programa de producción

C

3

E

Estimar el costo de producción

D

2

F

Establecer el precio de venta

B,E

1

G

Preparar el presupuesto.

E,F

14

Calcule el tiempo de ejecución del proyecto a. 23 b. 30 c. 35 d. 45 e. 38 4) Las actividades para suministrar un servicio de coro se ven en la lista de la siguiente tabla. Actividad Descripción Predecesor Duración(días) A

Seleccionar la música

--------

2

B

Aprender la música

A

14

C

Hacer copias y comprar libros

A

14

D

Pruebas

B,C

3

E

Ensayos

D

70

F

Rentar el local

D

14

G

Decorar el local

F

1

H

Preparar los escenarios

D

1

I

Pedir las togas para el coro

D

7

J

Revisar el sistema de sonido

D

7

K

Seleccionar las pistas musicales

J

14

L

Preparar el sistema de sonido

K

1

M

Ensayo general

E,G,L

1

N

Fiesta del coro

H,L,M

1

O

Programa final

I,N

1

96


Calcule la ruta crítica del proyecto a. b. c. d. e.

A-B-C-D-E-F-M-O A-C-M-N-O A-B-D-E-M-N-O A-C-D-I-J-K-M-O A-B-C-D-L-M-N-O

5) Asuma que tiene 13 actividades etiquetadas de la A-M Proceda a encontrar el tiempo de realización más temprano (TE), el tiempo final (TL) y tiempo de inactividad para cada uno de las tareas siguientes. Indique el camino crítico.

Actividad A) Compra de las materias primas

2

B) Producción del stock inicial

4

C) Envasado del stock inicial

1

D) Estudio de mercado

6

E) Estudio de la campaña de publicidad

3

E precede a F

F) Realización de la campaña de publicidad

5

G precede a E, H

G) Estudio y diseño de los envases

2

I precede a J

H) Preparación de los envases

2

J, K preceden a L

I) Selección del equipo de vendedores

3

L precede a M

J) Entrenamiento del equipo de vendedores

4

K) Selección de los posibles distribuidores

3

L) Venta a los distribuidores

5

M) Envío de los primeros pedidos

2

A precede a B B, H preceden a C C, L preceden a M D precede a G, I, K

a. b. c. d. e.

Tiempo Esperado TE (semanas)

A-B-C-D-M A-B-C-D-E-F-J-K-M D-I-J-L-M A-C-F-G-K-M A-D-I-J-K-L-M

97


6) La Compañía constructora PREFAB ha identificado nueve actividades que tiene lugar durante la construcción de una casa. Las cuales se enumeran a continuación

Determine el tiempo de finalización del proyecto a. b. c. d. e.

55 días 44 35 60 50

7) Teniendo en cuenta las siguientes actividades o situaciones en el proceso de instalación de un equipo de control de contaminación en una central térmica, se pide: Realizar la representación gráfica del modelo PERT-CPM y calcular el tiempo de conclusión del proyecto.

a. b. c. d. e.

20 días 28 30 25 32

8) Teniendo en cuenta las siguientes actividades o situaciones en el proceso de instalación de un equipo de control de contaminación en una central térmica,

98


se pide: Realizar la representación gráfica del modelo PERT-CPM e indique el camino critico.

a. b. c. d. e.

B-D-F-G A-B-D-F-G A-C-E-G A-B-D-G A-B-C-D-E-F-G

9) Como supervisor de producción de la Maderera Iquitos SAC., usted ha usado técnicas de PERT-CPM para programar los procesos de producción siguientes, Elabore el diagrama PERT y calcule el tiempo de la ruta crítica.

a. 28 horas b. 26 c. 30 d. 15 e. 24

10)

Como supervisor de producción de la Maderera Iquitos SAC., usted ha usado técnicas de PERT-CPM para programar los procesos de producción siguientes, Si el costo fijo por hora es de $10, ¿cuál es el costo normal?

a. 470 dólares

99


b. 580 c. 290 d. 348 e. 469

Resumen UNIDAD DE APRENDIZAJE III:

Se muestra la manera de utilizar PERT/CPM para planear, programar y controlar una amplia variedad de proyectos. La clave de este procedimiento para la programación de proyectos es el desarrollo de una red de proyectos que ilustra las actividades y sus relaciones de precedencia. El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación, programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y al costo óptimo.

Generalmente, en el caso de un proyecto compuesto por numerosas actividades, se determinan los puntos normal y acelerado de ejecución (solicitando los costos de cada actividad realizada en tiempo estándar acelerado), y se extrae una relación lineal. Esta relación se denomina pendiente y relaciona el incremento de costo a la compresión del tiempo, lo que significa el incremento en costo debido a la compresión en tiempo. Para determinar la red de actividades se construye un arreglo lógico, se asignan duraciones y se estiman los tiempos próximos de iniciación, y se calculan los tiempos remotos de terminación.

100


Para determinar simplemente donde y cuando apresurar los tiempos de actividad, necesitamos información sobre cuánto se puede apresurar cada una de las actividades y cuánto cuesta este proceso de apresuramiento, por lo que debemos solicitar la siguiente información: Costo de la actividad bajo el tiempo de actividad normal o esperado, Tiempo para finalizar la actividad bajo apresuramiento máximo ( es decir , el tiempo de actividad más corto posible) y Costo de la actividad bajo apresuramiento máximo.

WinQSB es una aplicación versátil que permite la solución de una gran cantidad de problemas: administrativos, de producción, de recurso humano, dirección de proyectos, etc. Debido a su facilidad y potencia de manejo, este libro se convierte en una herramienta indispensable para el estudiante que participa en materias como la investigación de operaciones, los métodos de trabajo, planeación de la producción, evaluación de proyectos, control de calidad, simulación, estadística, entre otras.

101


Introducción a) Presentación y contextualización En esta unidad se dan a conocer algunos aspectos de la oratoria que le serán útiles al momento de hablar frente a un auditorio. Es evidente que quien se dirige ante un auditorio exponiendo un tema no debe hablar coloquialmente, pero tampoco puede hablar como si estuviese leyendo un libro, pues de esta manera será muy difícil captar la atención, persuadir o convencer al auditorio.

b) Competencia Conoce la utilidad e importancia de la simulación, incluyendo los métodos Montecarlo y el sistema de colas.

c) Capacidades 1. 2. 3. 4.

Identifica los conceptos de la simulación. Conoce la manera correcta de utilizar el método Montecarlo. Reconoce la manera correcta la simulación de las colas. Comprende la manera correcta de utilizar el inventario WINQSB.

d) Actitudes Valora la simulación para resolver problemas diarios.

102


Asume una actitud positiva para usar el método montecarlo. Respeta los puntos de vista distintos a los suyos. Sentido de Organización para realizar sus actividades con respecto el WINQSB.

e) Presentación de Ideas básicas y contenido esenciales de la Unidad: La Unidad de Aprendizaje 04: Simulación Dinámica comprende el desarrollo de los siguientes temas: TEMA 01: Simulación TEMA 02: Método de Montecarlo. TEMA 03: Simulación de sistema de colas TEMA 04: Teoría de inventario con WINQSB.

Simulación

TEMA 1

Competencia: Identificar los conceptos de la simulación.

103


Desarrollo de los Temas Tema 01: Simulación La Simulación es una técnica para el análisis y estudio de sistemas complejos. Esta técnica se emplea cuando, o bien no

se

conocen

planteado, o

soluciones

conociendo

analíticas

algún

del

modelo

problema

analítico

su

aplicación al estudio de dicho problema impone demasiadas simplificaciones a la realidad, por lo que la solución obtenida se va a apartar sustancialmente de la verdadera.

La simulación pretende imitar el comportamiento del sistema real, evolucionando como éste. Lo más frecuente es estudiar la evolución del sistema en el tiempo. Para ello se formula un modelo de simulación que tiene en cuenta los elementos que vamos a considerar del modelo real y las relaciones entre estos. Una vez determinados los objetos y las relaciones que vamos a tomar en consideración, se formula la evolución del sistema por medio de un algoritmo. Este algoritmo, establecido el estado inicial del sistema, ha de permitir generar muestras simuladas de su comportamiento. Son estas muestras las

104


que se usan para estudiar el problema tratado y dar una solución aproximada de éste. Por lo general estos algoritmos se implementan en un lenguaje de programación. Ejecutando el programa obtenido las veces deseadas se puede obtener tantas muestras del comportamiento del sistema como queramos. Estas muestras nos permiten obtener estimaciones cada vez más próximas a la realidad, siempre que el modelo la refleje adecuadamente.

Entre los muchos problemas a los que se han aplicado técnicas de Simulación citamos los siguientes.

1)

Simulación del tráfico de vehículos en cruces de vías con mucho tráfico con el objeto de estudiar si la colocación de nuevas señales de tráfico o de determinadas modificaciones en el flujo de vehículos mejorarían o empeorarían la circulación.

2) Simulación de la conducta de un modelo de inventarios. Es decir se pretende determinar la ganancia que se obtendría si los pedidos de las diferentes mercancías de un comercio se realizaran en determinada cantidad y se usaran ciertos criterios para determinar los momentos más convenientes para efectuar estos pedidos. El objetivo es realizar esta operación de la forma más conveniente para el comerciante. 3) Simulación de los movimientos sísmicos con el objeto de actuar de la mejor forma posible para paliar los efectos de estos fenómenos. 4) Simulación de las condiciones de vuelo de los aviones con el objetivo de entrenar a los futuros pilotos. 5) Simulación de las urgencias clínicas que suelen producirse en una ciudad con el objetivo de gestionar los recursos de los servicios de urgencia de manera óptima.

Ventajas y desventajas de la simulación: Ventajas: f.

Modelos más fáciles de aplicar, por lo que se pueden acometer problema más complejos sin imponer demasiadas simplificaciones, acercándonos más al problema real.

105


g.

Una vez que el modelo se ha construido sirve para estudiar distintas estrategias y para determinar todos los parámetros del sistema. En un modelo analítico la teoría y el desarrollo puede ser distinta para cada parámetro a determinar.

h.

Facilidad de experimentación, con el consiguiente ahorro económico. Además las pruebas están libres de las posibles situaciones de peligro que son inherentes a algunas situaciones reales.

Desventajas: a)

Son generalmente más lentos que los cálculos analíticos

b)

Suelen ser métodos que dan soluciones aproximadas. De

todas

formas

no

se

debe

establecer

una

competencia entre modelos analíticos y simulados. Por lo general han de complementarse mutuamente. Desarrollamos a continuación un sencillo ejemplo que nos va servir para mostrar de una forma simple en qué consiste esta técnica de Simulación. Ejemplo

Consideramos el caso de una cadena de tiendas que se dedica a vender pescado por cajas. Por experiencia se sabe que la demanda es de 3 a 8 cajas diarias. Cada una de estas cajas se compra por 25 euros y se vende en 40 euros, pero las cajas que no se vendan al final del día, hay que venderlas en unas drásticas rebajas, a 10 euros cada una. Si la demanda supera a la oferta suponemos que hay una pérdida de 15 euros por cada unidad que no se puede ofrecer al cliente (en concepto de perdida de prestigio, fuga de clientes a otras tiendas, etc..). Se sabe que la demanda se puede clasificar en alta media y baja, con probabilidades 0.3, 0.45 y 0.25 respectivamente.

La distribución de la demanda por categorías aparece en la tabla:

106


Por ser un producto perecedero, el comerciante ha decidido adquirir diariamente 5 cajas. Se desea simular el comportamiento de la demanda durante 10 días calculando la ganancia media por día y determinar el número óptimo de cajas que se deben adquirir diariamente para maximizar los beneficios. ¿Cómo se puede resolver este problema por simulación? Con el objeto de ilustrar el procedimiento vamos a hacer una simulación manual, es decir sin emplear ordenador. Para ello generamos números aleatorios. Los ordenadores tienen una función para generar estos números, pero como de momento no vamos a emplear ordenador puede emplearse una tabla de números aleatorios o una lista de premios de la lotería. También podemos recurrir a realizar un sorteo con un juego de Bingo. Necesitamos una secuencia de 20 números, diez para generar el tipo de demanda de cada uno de los diez días y otros diez para generar la cantidad demandada. Vamos a utilizar los siguientes, que se han obtenido con una tabla de números aleatorios comprendidos entre 00 y 99. 69 56 30 32 66 79 55 24 80 35 10 98 92 92 88 82 13 04 86 31 Para respetar los valores de la probabilidad indicada en la tabla anterior realizamos la siguiente asignación, haciendo corresponder a cada probabilidad una cantidad de números proporcional a ésta.

107


Generamos la demanda para el primer día: usando el primer número aleatorio (69) que está entre 30 y 74, con lo que obtenemos para el día 1 una demanda media. Ahora tendremos que determinar la cantidad demandada. Para generar el número de cajas demandada en este día empleamos el segundo número (56). Mirando la columna que corresponde a la demanda media vemos que está entre 30 y 59, así que seleccionamos una demanda de 5 cajas para el primer día. La ganancia obtenida en este caso será 40×5−25×5 = 75 euros, ya que en este día la demanda es igual que la oferta. De forma similar se obtiene la ganancia de los días siguientes, según está indicado en la siguiente tabla.

Sumando la ganancia obtenida en estos diez días y dividiendo por el número de estos se obtiene la ganancia diaria media: Media = 490/10 = 49 euros por día De momento hemos realizado la simulación con un pedido de 5 cajas durante 10 días. Si queremos responder a la pregunta de cuál es la cantidad de cajas por pedido que produce a la larga una ganancia máxima, podemos actuar de forma similar a como hemos hecho para el pedido de 5 cajas con todas las cantidades razonables de pedido (de 3 a 8 cajas son las demandas posibles). Es

108


conveniente no obstante hacer simulaciones más largas, para que el valor medio de la ganancia sea más estable. Por ejemplo, podíamos hacer la simulación durante un año (365 días). En este caso la simulación manual, que hemos realizado anteriormente sería demasiado laboriosa. Por eso las simulaciones se realizan frecuentemente en ordenador. El algoritmo que hay que implementar puede resumirse de la siguiente forma: Para cada pedido (3 a 8)

Para cada día (1 a 365) se realizan los siguientes pasos: Paso 1 Determinar el tipo de demanda (alta media, baja) Se genera un número aleatorio entre 0 y 1. Si este número es menor que 0.30 la demanda es alta, si está entre 0.30 y 0.75 la demanda es media. Demanda baja en otro caso. Paso 2 Se genera otro número aleatorio. Generar la demanda del día seleccionando el valor correspondiente según los valores indicados en la tabla, en la columna que corresponde al tipo de demanda obtenida en el Paso 1. Paso 3 Se calcula el beneficio que corresponde a este día. Se calcula la media de los beneficios obtenidos en los 365 días. Como este valor medio se realiza para todos los pedidos (de 3 a 8 cajas) se puede estimar cuál es la mejor elección. Con un programa realizado en FORTRAN, y con una simulación de 365 días, hemos estimado la ganancia media diaria en función del número de cajas pedidas, llegando a los resultados siguientes:

109


Estos resultados nos permiten decidir que un pedido de 6 cajas diarias es el que reportaría mayor beneficio diario medio.

Método

de

TEMA 2

MONTECARLO

110


Competencia: Conocer la manera correcta de utilizar el método Montecarlo.

Tema 02: Método de MONTECARLO Aunque las técnicas de Simulación pueden ser deterministas, es decir

111


que se pueden simular fenómenos que no sea n aleatorios, lo más frecuente, como ocurre en el ejemplo anterior, es que el fenómeno que se pretende simular tenga algún componente aleatorio. En este caso decimos que se usa el método Montecarlo. La esencia del método Montecarlo es la experimentación con números aleatorios. El procedimiento usado consiste en diseñar juegos de azar con estos números, esperando obtener de su observación conclusiones útiles para la resolución del problema que se esté estudiando.

Aunque se han publicado algunos trabajos relacionados con el método de Montecarlo que no han precisado el uso de ordenadores, lo cierto es que la utilidad del método de Montecarlo se ha visto enormemente incrementada con el uso de las modernas computadoras. Resulta difícil creer que basándose en el puro azar puedan obtenerse conclusiones que merezcan la pena y, de hecho, algunos investigadores desconfían todavía de las estimaciones que se consiguen con este método, a pesar de sus múltiples éxitos en el campo de la Investigación Operativa, de la Física y de otras ramas de las Ciencias, como la Biología, la Química, e incluso la Medicina.

Los métodos de Montecarlo suelen clasificarse en dos tipos: probabilistas y deterministas. En el Montecarlo probabilista se simulan con números

aleatorios

fenómenos

que

son

aleatorios en la realidad. Los números se eligen de tal forma que reproduzcan la distribución de probabilidad de la población estudiada y, de su observación, se deducen características de ésta. Por ejemplo, la Física Nuclear suministra las funciones que rigen

el

movimiento de los neutrones. Reproduciendo estas leyes con números aleatorios se puede simular un reactor nuclear y “experimentar” con él, evitando los problemas de dinero, tiempo y seguridad que implicaría la experimentación con un reactor nuclear verdadero. En el Montecarlo determinista se resuelven problemas que no son aleatorios en la realidad, asociándolos con algún experimento aleatorio

112


diseñado expresamente con este propósito. Un ejemplo de este tipo es el cálculo numérico de integrales definidas. Notas históricas sobre el Método Montecarlo El nombre y el comienzo del desarrollo sistemático del método Montecarlo datan aproximadamente de 1944, época en la que se realizaron las investigaciones relacionadas con las primeras bombas atómicas. En tales investigaciones, llevadas a cabo principalmente en el laboratorio americano de Los Álamos, los procesos de absorción de neutrones se simularon mediante un conjunto de ruletas adecuadamente graduadas, que originaron el nombre de “Montecarlo” con el que Von Neuman y sus colaboradores designaron a esta técnica. Sin embargo, ya desde el siglo XVIII es posible encontrar algunos vestigios de las ideas que subyacen en el método Montecarlo. En 1777 el conde de Buffon hizo un estudio del juego siguiente, de moda por aquella época: una aguja de longitud L se arroja sobre un plano en el que hay dibujadas varias rectas paralelas con una distancia d (d > L) entre ellas. Se gana si la aguja cae sobre alguna de las rectas paralelas. El conde de Buffon determinó la probabilidad (P) de ganar experimentalmente.

(a base de tirar la aguja una gran cantidad de veces),

y

analíticamente,

calculando

para

P

la

expresión: P = 2L/πd Años más tarde, en 1886, Laplace sugirió que este procedimiento podría ser útil para calcular experimentalmente el valor del número π. Este momento es considerado en ocasiones como el punto de partida de las aplicaciones “serias” del método Montecarlo. Otros trabajos pioneros sobre Montecarlo fueron los de Thompson (Lord Kelvin) en 1901, sobre la evaluación de algunas integrales de uso en la teoría de los gases. Gosset -con el seudónimo de Studentaplicó

el

método

Montecarlo

para

obtener

la

distribución del coeficiente de correlación (1908). En 1930 Fermi empleó el método Montecarlo para sus trabajos sobre difusión y

113


transporte de los neutrones, que resultaron esenciales para el desarrollo de las bombas y centrales nucleares. Como ya se ha apuntado, durante la segunda guerra mundial se trabajó en estos temas. Aparte de Von Neuman, ya citado, cabe resaltar las aportaciones de Fermi, Ulam y Metrópolis. Durante esa época, la aparición de las primeras computadoras digitales

dio

un

fuerte

impulso

al

desarrollo

del

métodoMontecarlo.

Paradójicamente estos trabajos propiciaron a la vez un cierto descrédito del método, pues se aplicó a casi cualquier cosa, sin tener en cuenta para nada los problemas de eficiencia que le son inherentes.

En los últimos años, debido al avance experimentado en el campo de los ordenadores, a la aparición de diversas técnicas para reducir la varianza de las estimaciones obtenidas, y al muestreo de Metrópolis, el método de Montecarlo parece haber entrado en un nuevo periodo de florecimiento.

GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Ya que casi siempre la simulación es aleatoria normalmente necesitamos un generador de estos números. Los ordenadores suelen tener un comando para generarlos. Con el nombre de números aleatorios designamos, en esta ocasión, a las muestras procedentes de una distribución uniforme en el intervalo [0,1].

Los métodos de generación de números aleatorios pueden clasificarse en las categorías siguientes: a) Métodos manuales: Loterías, Ruletas. Suelen ser lentos y no reproducibles. Durante bastante tiempo se creyó que era el único procedimiento para producir verdaderos números aleatorios.

114


b) Métodos analógicos. En este caso los números se obtienen de algún experimento físico que pueda recibirse en el ordenador. Se pueden generar rápidamente, pero no son reproducibles. c) Tablas de números aleatorios.

EJEMPLO

Es un procedimiento lento y presenta el inconvenient e de que la tabla puede ser insuficiente para una simulación larga. La primera tabla de números aleatorios fue preparada por Tippett (1927). Un método que se ha usado es preparar la tabla y almacenarla en la memoria del ordenador. En 1955 se publicó la Tabla de la Rand Corporation con un millón de dígitos. Para realizar estas tablas se usaron métodos analógicos: los datos se extrajeron del “ruido“de un generador de pulsos electrónicos.

d) Algoritmos para ordenador. Estos métodos están basados en generar números usando un programa de ordenador. El algoritmo usado es determinístico, así que estrictamente hablando los números generados no serían aleatorios, pero se comportan como si lo fueran ya que cumplen los test de independencia y de aleatoriedad, así que se pueden usar en lugar de éstos. Se conocen con el nombre de números pseudoaleatorios.

Propiedades de un buen generador de números aleatorios Un generador de números aleatorios debe tener las propiedades siguientes: a)

Debe

generar

números

aleatorios

(uniformemente

distribuidos

e

independientes).

b) Debe generarlos rápidamente. c) No debe requerir mucho lugar de almacenamiento en el ordenador. d) No debe formar en ciclos, o al menos que los ciclos sean de periodo suficientemente largo.

115


e) La secuencia de números ha de ser reproducible. Es decir que se pueda repetir, si se considera conveniente, una secuencia de números que se haya producido anteriormente. De esta forma se podría repetir exactamente cualquier prueba ya realizada. En los programas de ordenador esto se consigue usando la misma semilla (Número que inicializa el algoritmo).

Simulación de

TEMA 3 116


Sistema

Colas

Competencia: Reconocer la manera correcta la simulación de las colas.

Tema 03: Simulación de Sistema de Colas Objetivo: Estas sesiones tienen como propósito modelar, simular y evaluar diferentes sistemas de eventos discretos

117


desde el punto de vista de teoría sistemas de colas. El objetivo principal de estas sesiones se desdobla en las siguientes áreas de interés:

a) familiarizar al diseñador en el estudio cuantitativo de las medidas de comportamiento de los modelos de sistemas de colas. b) mostrar la simulación como una herramienta válida y alternativa a los métodos analíticos clásicos de teoría de colas. Índice: 1.- Introducción 2.- Teoría de Colas y Arena

1.- INTRODUCCIÓN Los modelos de los sistemas de colas representan y caracterizan aquellos sistemas que utilizan una serie de recursos finitos para realizar un determinado tipo de servicio que demandan los clientes. En un simple modelo de colas, los clientes llegan con cierta cadencia y se juntan en una cola o línea de espera para ser atendidos o servidos, y una vez servidos abandonan el sistema.

A la hora de tratar de mejorar un sistema de colas, el di señador se encuentra con el compromiso entre la utilización del servidor y la satisfacción del cliente medida en términos de longitud de cola y tiempo de retraso.

118


Se utiliza teoría de colas y/o simulación para predecir dichos parámetros en función de los parámetros de entrada entre los que se encuentran el ratio de llegadas de clientes, peticiones de servicio de los clientes, ratio al que el servidor trabaja, número y organización de servidores, entre otros. Algunos de estos parámetros de entrada son en cierto grado controlables por el gestor del sistema y en consecuencia existe cierta relación indirecta entre el comportamiento del sistema y los parámetros de entrada.

Las medidas típicas del comportamiento del sistema (utilización del servidor, longitud de la línea de espera y el tiempo de retraso) pueden ser calculadas matemáticamente para sistemas relativamente sencillos. Existe una relación de fórmulas

matemáticas

que

expresan

el

valor

de

dichas

medidas

de

comportamiento para una serie de sistemas de colas (M/G/1, M/M/1, M/EK/1, M/D/1, M/M/c, etc.) ¿Por qué el interés de obtener la solución de esta serie de sistemas de colas utilizando simulación, si existe la solución matemática de los mismos? El interés se basa en presentar la simulación como una herramienta válida para la solución de sistemas de eventos discretos y de esta manera utilizar este método de solución para otros sistemas cuyos modelos matemáticos son muy complejos, o no admiten las suposiciones necesarias para obtener una solución matemática cerrada.

TEORÍA DE COLAS Y ARENA Antes de implementar el modelo de sistema de col as y simularlo mediante el software Arena, conviene matizar algunos aspectos

particulares

del

mismo

en

relación con los parámetros característicos de la teoría de colas. Siguiendo la notación de colas propuesta por Kendall, A/B/c/N/K , existen dos parámetros que caracterizan de forma unívoca la llegada de los clientes y el tiempo de servicio: Llegada: λ ratio de número de llegadas de clientes por unidad de tiempo (hora, minuto) Servicio: μ ratio de número de salidas (clientes atendidos) por unidad de tiempo.

119


Las medidas de comportamiento de sistemas de colas en simulaciones de larga duración son las siguientes: L.- media temporal del número de clientes en el sistema LQ .- media temporal del número de clientes en la cola W.- tiempo medio por cliente en el sistema WQ .- tiempo medio por cliente en la cola

Existen otras medidas de comportamiento que se pueden analizar en un sistema de colas, como son:

-

el número de clientes que tengan un retraso mayor que to unidades de tiempo.

-

número de clientes que han regresado a la Población por limitaciones de la capacidad del sistema.

-

tiempo en el que ha habido más de ko clientes esperando en la cola.

Todos estos aspectos propios de la teoría de colas se pueden identificar y materializar en el software Arena realizando las siguientes observaciones: a) En primer lugar hay que señalar que los bloques Create y Process del diagrama de flujo de un sistema modelado mediante Arena son los bloques que incluyen las expresiones necesarias para construir los modelos de sistemas de colas. Las expresiones correspondientes a las funciones de distribución utilizadas para representar los tiempos entre llegadas y tiempos de servicio requieren uno o dos parámetros relacionados directamente con los valores de λ y μ respectivamente. La figura muestra el caso particular de un sistema M/M/1 .

120


En ambos módulos, la función distribución exponencial, el parámetro Mean (EXPO(Mean)) hace referencia a la media expresada en tiempo entre llegadas y tiempo por cliente, es decir el inverso del ratio λ y μ respectivamente.

a. Las medidas de comportamiento del sistema de colas simulado en Arena se encuentran en diferentes partes de los distintos informes (reports) que genera Arena. En la siguiente tabla se resumen algunas secciones de los informes que recogen las medidas de comportamiento.

Los valores que se obtienen de la simulación son estimaciones y por consiguiente deben ser analizadas desde un punto de vista estadístico (no se debe esperar una solución exactamente igual a la obtenida por las fórmulas de la solución matemática que ofrece la teoría de colas). En realidad la notación que se debe utilizar para las medidas de comportamiento del sistema obtenidas a través de la simulación es la siguiente: ^L, ^LQ, ^W, ^WQ, ^ρ (el símbolo ^ representa 'estimador'). Nota: también se pueden ver los valores del comportamiento del sistema modelado junto con otros valores internos del sistema en un fichero de extensión

Teoría

*.out y nombre del modelo que genera ARENA al finalizar la simulación.

de

TEMA 4 121


Inventario con

WINQSB Competencia: Comprender la manera correcta de utilizar el inventario WINQSB.

Tema 04: Teoría de inventario con WINQSB

122


La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en la cual se introducirán las características de nuestro problema:

A continuación se describirán los diferentes tipos de problemas de inventario disponibles en la ventana Especificaciones del problema de inventario (Inventory Problem Specification): Problema de cantidad económica de la orden para demanda

determinística

(Deterministic

Demand

Economic Order Quantity Problem) Análisis del problema de cantidad discontinua para demanda determinística (Deterministic Demand Quantity Discount Analysis Problem)

Problemas con demanda estocástica para un solo periodo (SinglePeriod Stochastic Demand Problem) Problemas con demanda dinámica con existencias de reserva

123


(Multiple-Period Dynamic Demand Lot-Sizing Problem) Sistema o modelo de cantidad fija de orden continuo (Continuous Review Fixed-Order-Quantity System) Sistema o modelo revisión continua (Continuous Review Order- Up-To System) Sistema o modelo de intervalo fijo de revisión periódica (Periodic Review Fixed-Order-Interval System) Sistema o modelo de revisión periódica con reaprovisionamiento opcional (Periodic Review Optional Replenishment System)

A continuación explicaremos algunos de ellos

Ejemplo de un problema de cantidad económica de la orden para demanda determinantica Mediante un ejemplo demostraremos cómo se introducen los datos para la creación de un modelo sencillo de inventarios.

Ejemplo: La materia prima principal para la creación de un producto cuesta $20 por unidad. Cada unidad del producto final requiere una unidad de esa materia prima. Si la demanda para el próximo año es de 1000 unidades ¿Qué cantidad se debe pedir? Cada orden por más unidades cuesta $5 y el costo de almacenaje por unidad por año es de $4.

SOLUCION En la ventana Especificaciones del problema de inventario (Inventory Problem Specification) procedemos a digitar los datos básicos para la solución del problema:

124


La ventana siguiente muestra la información completa para la solución del problema:

Demanda por año (Demand per Año): La demanda para el próximo año es de 1000 unidades. Costo de la orden (Order or Setup Cost per Order): Costo de cada nueva orden ($5). Costo de almacenar una unidad por año (Unit Holding Cost per Año): El costo de mantener una unidad es de $4.

125


Costo por la falta de una unidad por año (Unit Shortage Cost per Año): El valor predeterminado es M, equivalente a una costo muy grande. Costo por la falta de una unidad independiente del tiempo (Unit Shortage Cost Independent of Time): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco. Rata de reaprovisionamiento o producción por año (Replenishment or Production Rate per Año): El valor predeterminado es M, equivalente a una tasa muy grande. Tiempo de salida para una nueva orden por año (Lead Time for a New Order in Año): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco. Costo de adquisición de una unidad sin descuento (Unit acquisition Cost Without Discount): Costo de compra de una unidad ($20). Número de puntos de descuento (Number of Discount Breaks): Valor no suministrado en el ejemplo, por tanto lo dejamos en blanco. Cantidad de orden si es conocida (Order Quantity If You Known): Cantidad de unidades por pedido, si es conocido.

Una vez introducida la información procedemos a su solución mediante la opción Resolver el problema (Solve the Problem):

La solución óptima del problema se muestra a continuación:

126


La primera parte muestra un resumen de la información disponible por el ejemplo (columna Input Data).

La columna Economic Order Analysis presenta el análisis resultante del problema.

127


El número de unidades a pedir por Orden es de 50 unidades, generando un máximo de 50 unidades de inventario:

La fila Order Interval in Año nos muestra cada cuanto realizaremos el pedido de las 50 unidades (en este caso 0,05 equivale a una proporción del año). El costo total de ordenar unidades y el costo total de mantener unidades en inventario son de $100 y $100 respectivamente.

El costo total de compra equivale a $20.000 (Resulta de la multiplicación de los $20 que vale cada unidad por las 1.000 unidades que se van a pedir el próximo año). El costo total de este sistema por tanto será de $20.200.

128


Lecturas Recomendadas



SIMULACIÓN DE SISTEMAS DE INVENTARIOS http://www.aladefe.org/simulacion/index_files/documentos/capitulo7.pdf



SIMULACIÓN http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lii/montiel_l_s/capitulo6.pdf


1) Ingresa al link "Inventario" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. Se cambian luces de neón en el campus de la Universidad Telesup a una tasa de 100 unidades diarias. Estas luces de neón se piden en forma periódica. Cuesta $ 100 iniciar una orden de compra. Se estima que una luz de neón en el almacén cuesta unos $ 0.02 diarios ( Ch ). El tiempo de entrega, entre la colocación y la recepción de un pedido es de 12 días. Determine el costo total diario de inventario correspondiente a la cantidad económica a pedir. 2) Ingresa al link "Costos Anuales" lee atentamente las indicaciones, desarróllalo y envíalo por el mismo medio. A&M Hobby Shop tiene una línea de modelos de automóviles de carrera controlados por radio. La demanda de los automóviles se supone constante a una tasa de 40 autos mensuales. Los coches cuestan 60 dólares cada uno y los costos de pedir son de aproximada mente 15 dólares por pedido, independiente mente del tamaño del mismo. La tasa del costo de posesión anual es de 20%. a) Determine la cantidad económica a pedir y el costo total anual bajo la hipótesis de que no se permitan pedidos pendientes de surtir. b) Usando el costo anual de 45 dólares por unidad para los pedidos pendientes de surtir, determine la política de inventarios de costo mínimo y un costo total y anual para los automóviles de modelo de carrera.

129


Autoevaluaciones

1) La Simulación es una técnica para el análisis y estudio de: a. b. c. d. e.

Sistemas complejos. Sistemas fáciles de resolver. Sistemas que no tienen solución. Sistemas que involucren formulas estadísticas. Sistemas que se platean eventualmente.

2) La simulación pretende imitar el comportamiento del: a. Sistema virtual. b. Sistema real. c. Sistema que involucren formulas estadísticas. d. Sistemas que no tiene solución. e. Sistemas fáciles de resolver. 3) La esencia del método Montecarlo es la experimentación con : a. Números fijos. b. Números enteros. c. Números complejos. d. Números aleatorios. e. Números racionales. 4) El nombre y el comienzo del desarrollo sistemático del método Montecarlo datan aproximadamente de: a. 1940 b. 1967 c. 1944 d. 1938 e. 1980 5) ¿Por qué el interés de obtener la solución de esta serie de sistemas de colas utilizando simulación, si existe la solución matemática de los mismos? a. b. c. d. e.

El interés se basa en presentar la simulación como una herramienta válida para la solución de sistemas de eventos continuos. El interés se basa en presentar la simulación como una herramienta válida para la solución de sistemas de eventos discretos. El interés se basa en presentar la simulación como una herramienta válida para la solución de sistemas de eventos independientes. El interés se basa en presentar la simulación como una herramienta válida para la solución de sistemas de eventos nulos. El interés se basa en presentar la simulación como una herramienta válida para la solución de sistemas de eventos dependientes.

130


6) Se utiliza teoría de colas y/o simulación para predecir dichos parámetros en función de los parámetros de: a. b. c. d. e.

Entrada. Salida. Diseño. Producción. Almacenamiento.

7) Sugirió que este procedimiento podría experimentalmente el valor del número π a. Pitágoras. b. Platón. c. Laplace. d. Stewart. e. Newton.

ser

útil

para

calcular

8) Las muestras mediante simulación nos permiten obtener estimaciones. a. Cada vez más próximas a la realidad. b. Cada vez menos probabilísticas. c. Cada vez más lejanos a la realidad. d. Nulas. e. Exactas. 9) Fermi empleó el método Montecarlo para sus trabajos sobre difusión y transporte de los neutrones, que resultaron esenciales para el desarrollo de las bombas y centrales nucleares en el año. a. 1950 b. 1934 c. 1930 d. 1920 e. 1935

10) En el Montecarlo determinista se resuelven problemas que no son ……………………….en la realidad, asociándolos con algún experimento aleatorio diseñado expresamente con este propósito. a. b. c. d. e.

Aleatorios. Deterministicos. Constantes. Probabilísticos. Exactos.

131


Resumen

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV:

La simulación pretende imitar el comportamiento del sistema real, evolucionando como éste. Lo más frecuente es estudiar la evolución del sistema en el tiempo. Para ello se formula un modelo de simulación que tiene en cuenta los elementos que vamos a considerar del modelo real y las relaciones entre estos. Lo más frecuente es estudiar la evolución del sistema en el tiempo. Para ello se formula un modelo de simulación que tiene en cuenta los elementos que vamos a considerar del modelo real y las relaciones entre estos. Una vez determinados los objetos y las relaciones que vamos a tomar en consideración, se formula la evolución del sistema por medio de un algoritmo. Ejecutando el programa obtenido las veces deseadas se puede obtener tantas muestras del comportamiento del sistema como queramos. Estas muestras nos permiten obtener estimaciones cada vez más próximas a la realidad, siempre que el modelo la refleje adecuadamente. Aunque las técnicas de Simulación pueden ser deterministas, es decir que se pueden simular fenómenos que no sean aleatorios, lo más frecuente, como ocurre en el ejemplo anterior, es que el fenómeno que se pretende simular tenga algún componente aleatorio. Resulta difícil creer que basándose en el puro azar puedan obtenerse conclusiones que merezcan la pena y, de hecho, algunos investigadores desconfían todavía de las estimaciones que se consiguen con este método, a pesar de sus múltiples éxitos en el campo de la Investigación Operativa, de la Física y de otras ramas de las Ciencias, como la Biología, la Química, e incluso la Medicina. Estas sesiones tienen como propósito modelar, simular y evaluar diferentes sistemas de eventos discretos desde el punto de vista de teoría sistemas de colas. El objetivo principal de estas sesiones se desdobla en las siguientes áreas de interés: familiarizar al diseñador en el estudio cuantitativo de las medidas de comportamiento de los modelos de sistemas de colas. Mostrar la simulación como una herramienta válida y alternativa a los métodos analíticos clásicos de teoría de colas. Los modelos de los sistemas de colas representan y caracterizan aquellos sistemas que utilizan una serie de recursos finitos para realizar un determinado tipo de servicio que demandan los clientes. En un simple modelo de colas, los clientes llegan con cierta cadencia y se juntan en una cola o línea de espera para ser atendidos o servidos, y una vez servidos abandonan el sistema.

La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en la cual se introducirán las características de nuestro problema. A continuación se describirán los diferentes tipos de problemas de inventario disponibles en la ventana. Inventory Problem Specification, Deterministic Demand Economic Order Quantity Problem, Deterministic Demand Quantity Discount Analysis Problem, Single- Period Stochastic Demand Problem, Multiple-Period Dynamic Demand Lot-Sizing Problem, Continuous Review Fixed-Order-Quantity System.

132


Glosario  

COLA DE ESPERA: una línea de espera COSTO DE CAPITAL: El costo en que incurre una empresa para obtener capital para la inversión. Se puede definir como una tasa porcentual anual, y es una parte del costo de posesión asociada con el mantenimiento de niveles de inventario.



COSTO DE PEDIR: Costo fijo (salarios, papelería, transporte, etc.) asociado con la colocación de un pedido para un elemento.



COSTO DE PUESTA EN MARCHA: El costo fijo (mano de obra, materiales, producción perdida) asociado con la preparación de una nueva corrida de producción.



DEMANDA DEPENDIENTE: Demanda de un componente que depende de la demanda del producto en el cual se utiliza.



DESCUENTO POR VOLUMEN: Descuento o costos unitario inferiores ofrecidos por el fabricante cuando un cliente adquiere mayor cantidad del producto.



PERIODO TRANSITORIO: El periodo inicial para una línea de espera, que ocurre antes de que la línea de espera llegue a una operación normal o de régimen uniforme.



PUNTO DE PEDIDO: Posición de inventario al cual debería colocarse un nuevo pedido.



SIMULACION: método para aprender sobre un sistema real experimentado con un modelo que lo representa.



TASA DE DEMANDA CONSTANTE: Una hipótesis de muchos modelos de inventarios que establece que un mismo número de unidades se toma de cada periodo de tiempo del inventario.



TEORIA DE COLAS: El conjunto de conocimientos que trata de las líneas de espera.



TIEMPO DE ENTREGA: el tiempo entre la colocación de un pedido y su recepción en el sistema de inventario.



VALIDACION: el proceso de determinar que un modelo de simulación proporciona una representación precisa de un sistema real.

133


Fuentes de Información BIBLIOGRÁFICAS:

HILLIER & LIEBERMAN, Introducción a la Investigación de Operaciones, Edit. Mc Graw Hill. 2010. EPPEN, GOULD & SCHMID, Investigación de Operaciones, Edit. Prentice Hall. 2011. PRAWDA, JUAN, Métodos y modelos de Investigación de Operaciones, Edit Limusa. 2002. ANDERSON SWEENEY, Métodos cuantitativos para los negocios, Tomson editores, 2010. MATHUR SOLLOW, KAMIESH, Investigación de Operaciones, Edit Mc. Graw Hill – 2010. VILLAGRASA DEL NIÑO JESUS, La Dinámica de Sistemas: Herramienta Metodológica, Edit. Kronos, 2010

ELECTRONICAS:



Teorías de Colas http://personales.upv.es/jpgarcia/LinkedDocuments/Teoriadecolasdoc.pdf



Método PERT-CPM y gráficas GANTT http://www.profes.net/rep_documentos/Propuestas_Bachillerato/pert_cpm_1.pdf



Teoría de Inventarios o STOCK http://davinci.ing.unlp.edu.ar/produccion/catingp/Capitulo%209%20Teoria%20de%2 0Inventarios%20o%20Stock2.pdf



Modelos De Control De Inventarios. http://guias.blogspot.es/1185208560/

134


Solucionario

UNIDAD DE APRENDIZAJE 1

UNIDAD DE APRENDIZAJE 2:

1. C

1. B

2. A

2. D

3. B

3. C

4. D

4. B

5. B

5. A

6. B

6. D

7. B

7. C

8. D

8. C

9. A

9. A

10. B

10. A



1. B

1. A

2. B

2. B

3. C

3. D

4. C

4. C

5. C

5. B

6. B

6. A

7. B

7. C

8. A

8. A

9. B

9. C

10. A

10. A

135

Investigacion Operativa II

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