Ejercicios Ejercicios resueltos 1. Una refinería produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a establecido un precio de venta de !""", !#"" y !1"" por gal$n respectiva%ente. Para la producci$n de estos co%bustibles, la co%pa&ía cuenta con una disponibilidad de #""" galones de petr$leo crudo y '""" galones de petr$leo refinado. Ade%(s se a establecido )ue el costo de gal$n de petr$leo crudo es *""" y el refinado a *#"". Por re)ueri%ientos de calidad, se sabe )ue la gasolina corriente debe contener !"+ de petr$leo crudo y "+ de petr$leo refinado- la gasolina extra debe contener *"+ de petr$leo crudo y '"+ de petr$leo refinado- %ientras )ue el ACPM debe contener #"+ de a%bos petr$leos. Plantee el %odelo de progra%aci$n lineal con el fin de obtener el beneficio de la e%presa.
C//3E48E E98/A ACPM 03:P43;3730 A0 P/EC356A7 4
P. C/U0 P. /E234A0 !"+ "+ *"+ '"+ #"+ #"+ #""" '""" galones galones *""" *#""
P/EC356A7 4 !""" !#"" !1""
<7o pri%ero )ue =ace%os es definir las variables a usar en el %odelo de progra%aci$n lineal> 91? 6al$n de gasolina corriente- 9 @? 6al$n de gasolina extra- 9 *? 6al$n de ACPM- 9 !? 6al$n de petr$leo crudo- 9#? 6al$n de petr$leo refinado.
%ax? !"""91B!#""9@B!1""9**"""9!B*#""9#D < las restricciones a las )ue esta so%etido nuestro proble%a son> /E:8/3CC34 0E P/CE48AFE 0E P. C/U0> /1? ".!91B".*9@B".#9* G #""" /E:8/3CC34 /E:8/3CC 34 0E P/CE48A P/CE4 8AFE FE 0E P. /E234A0> /E234A0 > /@? ".91B".'9@B".#9* G '""" /E:8/3CC34E: 0E P:383H30A0> 91,9@,9*,9!,9# G "
*. Una co%pa&ía produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un precio de venta por unidad de I""" y 1"""" respectiva%ente. Para la producci$n de dic=os artículos, la co%pa&ía cuenta con una disponibilidad %ensual de '"" %etros de %adera, J"" %etros de tubo y I"" pliegos de papel de lija. KLu cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar %ensual%ente, si se sabe )ue una biblioteca consu%e ' %etros de %adera, 1" %etros de tubo y pliegos de papel de lija- %ientras )ue el escritorio consu%e 1" %etros de %adera, J %etros de tubo y 1# pliegos de papel de lijaN 0eter%ina%os pri%ero )ue todo, nuestras variables )ue son> 91? 4O%ero de bibliotecas- 9 @? 4O%ero de escritorios. A=ora, la funci$n objetivo es> Zmax=9000X1+10000X2
/estricciones>
/estricci$n de cantidad de %adera a e%plear> '91B1"9@ G '"" %
/estricci$n de cantidad de tubo a e%plear> 1"91BJ9@ G J"" % /estricci$n de cantidad de papel de lija a e%plear> 91B1#9@ G I"" pliegos /estricci$n de positividad> 91, 9@ Q "
7. Transporte de tropas Un destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de las fuerzas especiales, y 120 soldados de infantería como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estratégica importante !n el par"ue de la #ase se dispone de $ tipos de %ehículos &, ', (, y ), acondicionados para transporte de tropas !l n*mero de personas "ue cada %ehículo puede transportar es 10, +, 6, y , de la forma en "ue se detalla en la siguiente ta#laIngenieros
Zapateros
Fuerzas Inanter!a especiales * @ 1 ! " 1 1 @ * # @ 1 @ 1 $ * @ * 1 % !l com#usti#le necesario para "ue cada %ehículo llegue hasta el punto de destino se estima en 160, .0, $0, y 120 litros respecti%amente /i "ueremos ahorrar com#usti#le, cuntos %ehículos de cada tipo ha#r "ue utilizar para "ue el consumo sea el mínimo posi#le
:e deter%inan las variables de decisi$n y se representan algebraica%ente. En este caso> •
9i> nO%ero de ve=ículos de cada tipo )ue se usen
•
91> nO%ero de ve=ículos de tipo A
•
9@> nO%ero de ve=ículos de tipo ;
•
9*> nO%ero de ve=ículos de tipo C
•
9!> nO%ero de ve=ículos de tipo 0 :e deter%ina la funci$n objetivo>
•
Mini%iRar ? 1"91 B J"9@ B !"9* B 1@"9! :e deter%inan las restricciones y se expresan co%o ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisi$n. 0ic=as restricciones se deducen de los soldados )ue deben ser transportados>
•
3ngenieros> *91 B 9@ B @9* B *9! Q #"
•
apadores> @91 B 9@ B 9* B @9! Q *
•
2uerRas especiales> 91 B @9@ B @9* B *9! Q @@
•
3nfantería> !91 B *9@ B 9* B 9! Q 1@" :e expresan todas las condiciones i%plícita%ente establecidas por la naturaleRa de las variables> )ue no puedan ser negativas, )ue sean enteras, )ue solo puedan to%ar deter%inados valores, ... En este caso las restricciones son )ue la cantidad de ve=ículos no puede ser negativa y debe ser ade%(s un nO%ero entero>
•
9i Q "
•
9i son enteros
Ejercicios resueltos de programación lineal 1 Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, !iere destinar a esa opción, como m"nimo, tanta cantidad de dinero como a la B.#$!% ca ntidades de&e invertir en cada !na de las dos opciones' lantear el pro&lema y representar rá*icamente el con+!nto de sol!ciones. a&iendo !e el rendimiento de la inversión será del - en la opción A y del 12 en la B, '$!% cantidad de&e invertir en cada !na para optimi/ar el rendimiento lo&al' 'A c!ánto ascenderá a) ean. x cantidad invertida en acciones tipo A y cantidad invertida en acciones tipo B as restricciones son
!ede invertir en cada !na de las dos opciones las cantidades correspondientes a cada !no de los p!ntos de la /ona som&reada de la
si!iente rá*ica &) a *!nción de &ene*icios es
3 los v%rtices de la /ona som&reada son A intersección de r,t
B intersección de t,!
C intersección de s,!, o sea C(7, 4) 5(7, 0) E(2, 0) os valores de * en esos p!ntos son
6a de invertir, p!es millones en A y en B para o&tener !n &ene*icio máximo de 1,0 millones, o sea 100000 ptas. 88888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888888 8888
2 9na re*iner"a de petróleo tiene dos *!entes de petróleo cr!do cr!do liero, !e c!esta 4 dólares por &arril y cr!do pesado a 40 dólares el &arril. Con cada &arril de cr!do liero, la re*iner"a prod!ce 0,4 &arriles de asolina (:), 0,2 &arriles de com&!sti&le para cale*acción (C) y 0,4 &arriles de com&!sti&le para t!r&inas (;), mientras !e con cada &arril de cr!do pesado prod!ce 0,4 &arriles de :, 0,< &arriles de C y 0,2 &arriles de ;. a re*iner"a =a contratado el s!ministro de -00000 &arriles de :, >00000 &arriles de C y 00000 &arriles de ;. 6allar las cantidades de cr!do liero y pesado !e de&e comprar para poder c!&rir s!s necesidades al costo m"nimo. ean ? n de &arriles comprados de cr!do liero. 3 n de &arriles comprados de cr!do pesado. a ta&la de prod!cción de cada prod!cto con arrelo al tipo de cr!do es
a *!nción o&+etivo !e =ay !e minimi/ar es *(x, y)4x@40y as restricciones
3 la /ona de sol!ciones *acti&les
os v%rtices son A(0, 4000000)
:
C
;
iero
0,4
0,2
0,4
esado
0,4
0,<
0,2
B intersección de r,s
C(<000000, 0) 3, en ellos la *!nción o&+etivo presenta los valores
iendo la sol!ción de m"nimo coste la compra de 4000000 de &arriles de cr!do liero y nin!no de cr!do pesado para !n coste de -0000000
