INVESTIGACIÓN OPERATIVA MODELIZACIÓN
1.Una persona desea invertir 5000 $ durante el
2.Una compañía que funciona 10 horas al día fabrica dos
próximo año en dos tipos de inversión. La inversión A produce un rendimiento del 5% y la inversión B 8%. La investigación de mercado recomienda una asignación de al menos 25% en A y como máximo 50% en B. Además, la inversión A debe ser por lo menos de la mitad de la inversión B. ¿Cómo deben asignarse los fondos a las dos inversiones?
productos en tres procesos secuenciales. La siguiente tabla resume los datos del problema:
Determine la combinación óptima de los dos productos.
3.Alumco fabrica láminas y varillas de aluminio. La
4.Una caja con base cuadrada y parte
capacidad de producción máxima se estima en 800 láminas o 600 varillas por día. La demanda diaria es de 550 láminas y 580 varillas. El beneficio por tonelada es de $40 por lámina y de $35 por varilla. Determine la combinación de producción diaria óptima.
superior abierta debe tener un volumen de 50 cm3. Encuentre las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material que va a ser usado. X1=longitud del x
𝑥 2 · 𝑥2 = 50 𝑠. 𝑎. { 1 𝑥𝑖 ≥ 0
X2=longitud del y Mín=( X21 + 4X1 X2) El área de la caja sin tapa es la cantidad de material que deseamos que sea mínima: Despejamos y de la restricción dada, esto es, de la fórmula del volumen:
Derivando:
Calculamos puntos críticos:
Es un mínimo absoluto pues A’’(X)> 0 para cualquier x > 0. El valor correspondiente de la otra variable es
5.El departamento de educación Permanente del Colegio
6.Una compañía fabrica dos productos, A y B. El volumen de
Comunitario Ozark ofrece un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos ofrecidos suelen ser de dos tipos: prácticos y de humanidades. Para satisfacer las demandas de la comunidad, deben ofrecer al menos 10 cursos de cada tipo cada semestre. El departamento estima que los ingresos por el ofrecimiento de cursos prácticos y humanistas son aproximadamente de $1500 y $1000 por curso, respectivamente. Diseña una oferta de cursos óptima para el colegio.
ventas de A es al menos 80% de las ventas totales de A y B juntos. Sin embargo, la compañía no puede vender más de 100 unidades de A por día. Ambos productos utilizan una materia prima, de la cual la disponibilidad diaria máxima es de 240 libras. Las tasas de consumo de la materia prima son de 2 lb por unidad de A y de 4 lb por unidad de B. Las unidades de beneficio de A y B son de $20 y $50, respectivamente. Determine la combinación óptima de productos para la compañía.
7.Se requiere construir un oleoducto desde una plataforma marina que está localizada al norte 20 km mar adentro, hasta unos tanques de almacenamiento que están en la playa y 15 km al este. Si el costo de construcción de cada kilómetro de oleoducto en el mar es de 3 000 000 y en tierra es de 2 000 000, ¿qué tan alejado debe salir el oleoducto submarino a la playa para que el costo de la construcción sea mínimo? El costo de construir z km de oleoducto submarino, a razón de 3 000 000 de dólares por km, es de 3z millones de dólares y el costo de construir 15-x km de oleoducto terrestre, a razón de 2000 000 de dólares por km, es 2(15-x) millones de dólares. Entonces, el costo total de la construcción del oleoducto es (en millones de dólares)
que es la función a minimizar. Derivando y obteniendo puntos críticos:
Por ser x > 0, podemos descartar x = - √320 Pero cuidado, x = √320 ≈ 17,889 no cumple con la restricción 0 < x <15. Esto nos indica que la función costo C(x) no tiene puntos críticos en el intervalo cerrado [0,15], por lo cual no hay mínimo local estricto (ni máximo) para el costo C(x) en [0,15]. Esto es, la función C(x) es estrictamente creciente o decreciente en el intervalo [0,15]. Por lo tanto, el costo mínimo aparece en uno de los extremos del intervalo y, por ende, el costo máximo aparece en el otro extremo. Valuamos pues C(x) en x = 0 y en x = 15.
Por lo tanto, el costo mínimo de la construcción del oleoducto es de 75 000 000 de dólares y se obtiene cuando todo el oleoducto es submarino y sale a la playa precisamente donde están los tanques de almacenamiento. Notamos además que en [0,15] la función C(x) es decreciente, ya que C’(x) < 0 si 0 < x < √320 ≈ 17,889
8.OilCo está construyendo una refinería para producir cuatro
9.ChemLabs utiliza las materias primas I y II para producir
productos: diesel, gasolina, lubricantes y combustible para avión. La demanda mínima (en barriles por día) de cada uno de esos productos es de 14,000, 30,000, 10,000 y 8000, respectivamente. Irán y Dubai firmaron un contrato para enviar crudo a OilCo. Debido a las cuotas de producción especificadas por la OPEP (Organización de Países Exportadores de Petróleo), la nueva refinería puede recibir al menos el 40% de su crudo de Irán y el resto de Dubai. OilCo pronostica que la demanda y las cuotas de petróleo crudo no cambiarán durante los próximos 10 años. Las especificaciones de los dos crudos conducen a mezclas de productos diferentes: Un barril de crudo de Irán rinde 0.2 barriles de diesel, 0.25 barriles de gasolina, 1 barril de lubricante y 0.15 barriles de combustible para avión. Los rendimientos correspondientes del crudo de Dubai son: 0.1, 0.6, 0.15 y 0.1, respectivamente. OilCo necesita determinar la capacidad mínima de la refinería (barriles por día).
dos soluciones de limpieza doméstica, A y B. Las disponibilidades diarias de las materias primas I y II son de 150 y 145 unidades, respectivamente. Una unidad de solución A consume .5 unidades de la materia prima I, y 0.6 unidades de la materia prima II, en tanto que una unidad de la solución B consume 0.5 unidades de la materia prima I, y .4 unidades de la materia prima II. Las utilidades por unidad de las soluciones A y B son de $8 y $10, respectivamente. La demanda diaria de la solución A es de entre 30 y 150 unidades, y la de la solución B va de 40 a 200 unidades. Determine las cantidades de producción óptimas de A y B.
Diesel Gasolina 0.2 0.25 Irán 0.1 0.6 Dubai 14000 30000 demanda X1= miles de barriles/día de Irán X2= miles de barriles/día de Dubai
Minimizar
Sujeto a
Lubricante 0.1 0.15 10000
Combustible 0.15 0.1 8000
z=X1+X2
X1 >=0.4(X1+X2) -0.6X1+0.4X2 <=0 0.2X1+0.1X2 >=14 0.25X1+0.6X2 >=30 0.1X1+0.15X2 >=10 0.15X1+0.1X2 >=8 Xi >=0
El óptimo pasa por el cruce de las ecuaciones 2 y 4. Al resolver el sistema tenemos X2=30 y X1=55 y z=85 El optimo es 55000 barriles/día de Irán y 30000 barriles/día de Dubai y la capacidad minima de barriles de crudo por dia es 85000.
Z=2800
X2=200
X1=100
10.Una compañía planea gastar 10000 euros en publicidad. Se sabe que un minuto de publicidad en televisión cuesta 3000 euros y 1000 euros en la radio. Si la empresa compra x minutos de publicidad en televisión e y minutos en la radio, su ingreso, en euros, está dado por −2x2 − y2 + xy + 8x + 3y. ¿Cómo puede la empresa maximizar sus ingresos? x : minutos que compra la empresa en televisión y : minutos que compra la empresa en radio Max Z(x; y) = −2X2 − y2 + xy + 8x + 3y s:a: 3000x + 1000y = 10000
Este problema es un problema no lineal con restricciones de igualdad (lineal).
11.Granjas Ozark consume diariamente un mínimo de 800 lb de un
12.Un ranchero tiene 300 m de malla para cercar dos
alimento especial, el cual es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones:
corrales rectangulares iguales y contiguos, es decir, que comparten un lado de la cerca. Determinar las dimensiones de los corrales para que el área cercada sea máxima.
Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un máximo de 5% de fibra. El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mínimo. x1 = libras de maíz en la mezcla diaria x2 = libras de soya en la mezcla diaria Minimizar z = 0.3x1 + 0.9x2
sujeto a
13.La tienda de comestibles Ma-and-Pa tiene un espacio de almacenaje es limitado y debe utilizarlo con eficacia para incrementar las utilidades. Dos marcas de cereal, Grano y Wheatie, compiten por un total de espacio de 60 pies cuadrados de almacenaje. Una caja de Grano ocupa 0.2 pies cuadrados, y una caja de Wheatie requiere 0.4 pies cuadrados. Las demandas diarias máximas de Grano y Wheatie son de 200 y 120 cajas, respectivamente. Una caja de Grano aporta un beneficio neto de $1.00 y la de una de Wheatie es de $1.35. Ma-and-Pa considera que como el beneficio de la utilidad de Wheatie es 35% mayor que el de la de Grano, a Wheatie se le debe asignar 35% más espacio que a Grano, lo que equivale a asignar aproximadamente 57% a Wheatie y 43% a Grano. ¿Usted qué piensa?
14.Una empresa fabrica dos productos A y b que
15.Un centro de reciclaje industrial utiliza dos
beben procesarse en 3 fases consecutivas. El tiempo requerido por cada Tm de A en dichas fases son 2,5; 3 y 14 h, respectivamente, mientras que para el producto b estos tiempos son 3; 6 y 10 h. La disponibilidad de horas de cada fase consecutiva de procesamiento es 3200; 3600 y 17000 h. Los beneficios por Tm de A y B son, respectivamente, 22000 € y 20000 €. La demanda total en la empresa no supera las 1500 Tm y la demanda del producto B es de al menos 100 Tm.
chatarras de aluminio, A y B, para producir una aleación especial. La chatarra A contiene 6% de aluminio, 3% de silicio, y 4% de carbono. La chatarra B contiene 3% de aluminio, 6% de silicio, y 3% de carbono. Los costes por tonelada de las chatarras A y B son de $100 y $80, respectivamente. Las especificaciones de la aleación especial requieren que (1) el contenido de aluminio debe ser mínimo de 3% y máximo de 6%; (2) el contenido de silicio debe ser de entre 3 y 5%, y (3) el contenido de carbono debe ser de entre 3 y 7%. Determine la mezcla óptima de las chatarras que deben usarse para producir 1000 toneladas de la aleación.
X=toneladas de A Y=toneladas de B Max=22000x+20000y
x=1000
y=100
2.5x+3y<=3200 3x+6y<=3600 S.a. 14x+10y<=17000 X1= proporción de chatarra en aleación A x+y<=1500 X2= proporción de chatarra en aleación B y>=100 z=24000000 x,y>=0
16.Si la función de utilidad de un consumidor es U(x1; x2) = x1x2, siendo x1 y x2 las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, minimizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes. máx = U(x1;
x2) = x1x2
s.a. 2 x1+3 x2<=90 45x2-3x22/2
x1=45-3x2/2
f’(x)=45-3x2
f’’(x)=-3<0 máximo
f’(x)=045-3x2=0 x2 = 15 2 x1+3 x2=90 2 x1+3·15=90 x1 = 22,5 Z=337,5
17.Una compañía fabricante de TV produce dos modelos de aparatos televisores, el Astro y el Cosmo. Hay dos líneas de producción, una para cada modelo, e intervienen dos departamentos en la producción de cada modelo. La capacidad de la línea de producción del Astro es de 70 aparatos de TV por día. La capacidad de la línea Cosmo es de 50 televisores diarios. En el departamento A se fabrican los cinescopios. En este departamento, se requiere una hora de trabajo para cada modelo Astro y dos horas de trabajo para cada aparato Cosmo. En la actualidad, puede asignarse un máximo de 120 horas de trabajo diarias para la producción de ambos tipos de aparato en el departamento A. En el departamento B se construye el chasis. Aquí se requiere una hora de trabajo para cada televisor Astro y también una hora para cada modelo Cosmo. Actualmente se pueden asignar 90 horas de trabajo al departamento B para la producción de ambos modelos. La contribución a las ganancias es de 20 y 10 dólares, respectivamente, por cada televisor Astro y Cosmo. Esta información se presenta resumida en la tabla 3.7. Si la compañía sabe que podrá vender todos los aparatos Astro y Cosmo que sea capaz de fabricar, ¿cuál deberá ser el plan de producción por día (es decir, la producción diaria) para cada modelo?
TABLA 3.7 Información sobre Astro y Cosmo MANO DE OBRA POR TELEVISOR (HRS.) CAPACIDAD DIARIA Depto. A
GANANCIAS POR TELEVISOR ($)
Depto. B
Astro
70
1
1
20
Cosmo
50
2
1
10
120
90
Disponibilidad total
X1= producción diaria de aparatos Astro (televisores/día) X2= producción diaria de aparatos Cosmo (televisores/día)
18.Protrac, Inc. produce dos tipos de aceites industriales. Uno de estos tipos se destina esencialmente a aplicaciones de construcción (E-9). El otro tipo está destinado a la industria maderera (F-9). Se producen en los mismos departamentos y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de Protrac juzga que durante ese periodo será posible vender todas las toneladas E 9 y F 9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una cédula de producción para el próximo mes. Es decir, ¿cuántas toneladas de E9 y F-9 deben producirse? En la toma de esta decisión, los principales factores a considerar son los siguientes: ►Protrac tendrá una utilidad de 5000€/tm de E-9 que se venda y 4000€/tm de F-9. ►Cada producto es procesado en los departamentos A y B. ►Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada tonelada de E-9 consume 10 horas en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada tonelada de F-9 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en el departamento B. ►Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo que se dedicarán a la comprobación del acabado de los aceites del próximo mes no puede ser menor en un 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta comprobación se realiza en un tercer departamento que no tiene relación con las actividades de los departamentos A y B. Cada tonelada de E-9 requiere 30 horas de comprobación y cada tonelada de F-9, 10 horas. ►Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado, la alta gerencia ha decretado que para la política de operación es necesario construir al menos una tonelada de F-9 por cada 3 toneladas de E-9. ►Un consumidor principal ha ordenado un total de por lo menos cinco toneladas (en cualquier combinación de E-9 y F-9) para el próximo mes, así es que por lo menos debe producirse esa cantidad. Dadas esas consideraciones, el problema del administrador es decidir cuántas toneladas de E 9 y F 9 debe producir el próximo mes. En términos técnicos, busca determinar el producto mixto óptimo, también llamado plan óptimo de producción. Modelización matemática del problema
Max(5x1+4x2)·103
S.a:
z=50500
10x1 + 15x2 ≤ 150 20x1 + 10x2 ≤ 160 30x1 + 10x2 ≥ 135 – x1 + 3x2 ≥ 0 x1+ x2 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0 x1=4,5
x2=7
19.Una pequeña fábrica de pasta de madera produce pulpa mecánica y pulpa química en un pueblo cerca de un río. Las técnicas de producción usadas en la fábrica son tales que: ►a) cada tipo de pasta requiere 1 hombre-día por tonelada producida y ►b) la capacidad máxima de producción es 300 tm/día para la pasta mecánica y 200 tm/día para la pasta química. La producción de pulpa contamina el agua del río. La contaminación se mide en términos de materiales biodegradables tal como la Demanda Biológica de Oxígeno (BOD). La pulpa mecánica genera 1 BOD por tonelada producida mientras que la producción de pulpa química produce 1,5 BOD por tonelada. El precio de mercado de la pasta mecánica es de 100 $/tm y de la pasta química es de 200 $/tm. El directorio de la empresa ha formulado las siguientes políticas operativas: ►1. La fábrica debe generar, por lo menos, un ingreso bruto promedio de 40.000 $/día. Nótese que no hay deseo de maximizar ingresos, pero sí, generar el suficiente como para obtener un aceptable retorno sobre el capital. ►2. La fábrica desea retener por lo menos 300 trabajadores empleados. Es una fábrica local pequeña, de modo que el gerente es muy consciente de su imagen en la comunidad. ►3. La contaminación con BOD debe minimizarse. Determina la combinación de producción optima
X1 = cantidad producida de pasta mecánica (tm/día) X2 = cantidad producida de pasta química (tm/día) Z mín = X1 + 1,5 X2
s.a.
Z=350
X1 + X2 >= 300 100 X1 + 200 X2 >= 40000 X1 <= 300 X2 <= 200 Xi >= 0 X1=200
X2=100
20.Pinturas Pinto S.L. dispone de una pequeña fábrica de pinturas que produce pinturas al agua y acrílicas para su venta al por mayor. Se utilizan en la producción dos materias primas, A y B, para producir las pinturas. La disponibilidad máxima de la materia prima A es de 6 toneladas diarias y la de B es de 8 toneladas por día. Los requisitos de materias primas por tonelada de pintura al agua y acrílica se resumen en la tabla que sigue (en Tm): Materia prima Al agua Acrílica A 1 2 B 2 1 Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura al agua no puede ser mayor que la de pintura acrílica en más de una tonelada. El estudio señala, asimismo, que la demanda máxima de pintura al agua está limitada a 2 toneladas diarias. El precio al por mayor por tonelada es de 3000 € para la pintura acrílica y 2000 € para la pintura al agua. ¿Cuánta pintura al agua y acrílica debe producir la compañía todos los días para maximizar el ingreso bruto? Modelización matemática del problema X= Tm al agua Y= Tm acrílica Máx =(2000x+3000y)
x+2y≤6 2x+y≤8 x-2y≤0 x≤2 x,y≥0 X=2
s.a.
Y=2
Z=10000
21.Un joven ingeniero de una compañía ha sintetizado un nuevo fertilizante hecho a partir de dos materias primas. Al combinar cantidades de las materias primas básicas 1 y 2, la cantidad de fertilizante que se obtiene viene dada por Q(x1 ; x2) = 4x1 +2x2 – 0,5x12− 0,25x22 Siendo x1 la cantidad utilizada de materia prima 1 y x2 la cantidad utilizada de materia prima 2. Se requieren 480 euros por unidad de materia prima 1 y 300 euros por cada unidad de materia prima 2 que se empleen en la fabricación del fertilizante (en estas cantidades se incluyen los costos de las materias primas y los costos de producción). Si la compañía dispone de 24000 euros para la compra de materias primas, plantea y resuelve el problema para determinar la cantidad de materia prima que ha de usarse de forma que se maximice la cantidad de fertilizante. x1 : cantidad de materia prima 1 x2 : cantidad de materia prima 2
s.a
máx = Q(x1 ; x2) = 4x1 +2x2 – 0,5x12− 0,25x22
480x1 + 300x2 ≤ 24000 xi ≥ 0
x1=4
x2=4
z=12
22.Un consultor forestal visitó a un pequeño propietario de tierras y regresó con la información que describe su situación con respecto al manejo que realiza de la misma. Se trata de un granjero estadounidense de tiempo parcial que posee 24 hectáreas disponibles y quiere usarla para incrementar sus ingresos. Las alternativas de destino de la tierra que se le presentan son dos: ►1) trasplantar árboles de Navidad híbridos de rápido crecimiento que maduran en un año, o ►2) bien engordar novillos poniendo la superficie a pasturas. Los árboles de Navidad se plantan y se venden en lotes de 1.000 unidades. Para desarrollar un lote de 1.000 árboles se necesitan 1,5 has y engordar 1 novillo requiere 4 has. Además el granjero dispone sólo de 200 horas al año para dedicarle a esta actividad. La experiencia muestra que se necesitan 20 horas para cultivar, podar, cosechar y empaquetar un lote de árboles. Por otro lado se requieren 20 horas para atender cada novillo. Este productor tiene $ 1.200 de presupuesto disponible; sus gastos anuales son de $ 30 por cada lote de árboles y $ 240 por novillo. Además ya tiene realizado un contrato con sus vecinos por 2 novillos. En precios corrientes, los árboles de Navidad le darán un retorno líquido de $ 0,50 cada uno, en tanto que cada novillos le redituarán $ 1.000. Efectuado el levantamiento de datos, el consultor decide que un planteo matemático del problema, en términos de objetivos y restricciones, podrá ayudar al productor a tomar la decisión.
X1 = número de novillos engordados por año X2 = número de lotes de 1.000 árboles por año Z máx = 1000 X1 + 500 X2
s.a.
X1=3,6
4 X1 + 1,5 X2 <= 24 240 X1 + 30 X2 <= 1200 20 X1 + 20 X2 <= 200 X1 >= 2 Xi >= 0 X2=6,4
Z=6800
23.PROTRAC, Inc. produce dos líneas de equipo pesado. Una de estas líneas de producción (llamada equipo de remoción de escombros) se destina esencialmente a aplicaciones de construcción. La otra línea (llamada equipos forestales) está destinada a la industria maderera. El miembro más grande de la línea de equipos para remover escombros (el E-9) y el miembro mayor de la línea de equipos forestales (el F-9) se producen en el mismo departamento y con el mismo equipo. Haciendo uso de las predicciones económicas para el próximo mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC juzga que durante ese período será posible vender todos los E-9 y F-9 que la empresa pueda producir. La administración debe ahora recomendar una meta de producción para el próximo mes. Es decir, ¿cuántos E-9s y F-9s deben producirse? En la toma de esta decisión, los principales factores a considerar son los siguientes: ►1. Protac tendrá una utilidad de $5000 por cada E-9 que se venda y $4000 por cada F-9. ►2. Cada producto pasa por operaciones mecánicas tanto en el departamento A como en el departamento B. ►3. Para la producción del próximo mes, estos dos departamentos tienen disponibles 150 y 160 horas, respectivamente. Cada E-9 consume 10 horas de operación mecánica en el departamento A y 20 horas en el departamento B, mientras que cada F-9 consume 15 horas en el departamento A y 10 horas en el departamento B. ►4. Con el objeto de cumplir un compromiso con el sindicato, el total de horas de trabajo que se dedicaran a la comprobación del acabado de los productos terminados del próximo mes no puede ser menor en 10% a una meta establecida de 150 horas. Esta comprobación se realiza en un tercer departamento que no tiene relación de las actividades del departamento A y B. Cada E-9 requiere 30 horas de comprobación y cada F-9 10. Puesto que el 10% de 150 es 15, el total de horas de trabajo destinadas a la comprobación no puede ser de menos de 135. ►5. Con el objeto de mantener su posición actual en el mercado la alta gerencia ha decretado que para la política de operaciones es necesario construir al menos un F-9 por cada 3 E-9s. ►6. Un consumidor principal ha ordenado un total de por lo menos cinco aparatos (en cualquier combinación de E-9s y F-9s) para el próximo mes, así que por lo menos debe producirse esa cantidad. ►7. La alta gerencia ha decretado que no se puede quedar ningún equipo a mitad de producción. Dadas esas consideraciones, el problema del administrador es decidir cuántos E 9 y cuantos F 9 debe producir el próximo mes. En términos técnicos, busca determinar el producto mixto óptimo, también llamado plan óptimo de producción. Datos de torneado de PROTRAC DEPARTAMENTO HORAS E-9 F-9 Total disponible X1=máquinas E-9 A 10 15 150 X2=máquinas F-9 B 20 10 160 Datos de prueba de PROTRAC E-9 F-9 Horas totales requeridas Horas de prueba 30 10 135 Max(5x1+4x2)·103
S.a:
10x1 + 15x2 ≤ 150 20x1 + 10x2 ≤ 160 30x1 + 10x2 ≥ 135 – x1 + 3x2 ≥ 0 x1+ x2 ≥ 5 x1, x2 ≥ 0
(Capacidad del Departamento A) (Acuerdo Contractual del Departamento B) (Acuerdo Contractual de Trabajo) (Balance de Posición en el mercado) (Requerimiento mínimo de Producción) (Condiciones de no negatividad)
24.Una compañía petrolífera debe determinar cuántos barriles de petróleo hay que extraer en los próximos dos años. Si la compañía extrae x1 millones de barriles durante un año, se pondrá vender cada barril a 30-x1 euros. Si extrae x2 millones de barril durante el segundo año, se podrá vender cada barril a 35-x2 euros. El costo para extraer x1 millones de barriles en el primer año es de x12 millones de euros y el costo para extraer x2 millones de barriles durante el segundo año es de 2x22 millones de euros. Se puede obtener como máximo un total de 20 millones de barriles de petróleo, y se puede gastar como máximo 250 millones de euros en la extracción. Formular el problema para ayudar a la empresa a maximizar sus ganancias para los próximos dos años. Las variables de decisión del problema son: x1 : millones de barriles extraídos durante el primer año x2 : millones de barriles extraídos durante el segundo año
Max Z(x, y) = x1(30 − x1) + x2(35 − x2) – x12 – 2x22 x12 + x22 ≤ 250 x1 + x2 ≤ 20 x1, x2 ≥ 0
Z=2575/12
S.a
X1=15/2
X2=35/6
25.Se desea construir un tanque de acero con la forma de un cilindro circular recto y semiesferas en los extremos para almacenar gas propano. El costo por pie cuadrado de los extremos es el doble de la parte cilíndrica. ¿Qué dimensiones minimizan el costo si la capacidad deseada es de 10 𝜋 pies3?
DATOS
X1=longitud en pies de h X2=longitud en pies del r
min(2 · 𝜋 · 𝑥1 · 𝑥2 + 4 · 𝜋 · 𝑥22 ) V. circ.
V. cilin. AL. cilin.
A. circ.
4 · 𝜋 · 𝑥23 + 𝜋 · 𝑥22 · 𝑥1 = 10𝜋 𝑠. 𝑎. { 3 ∀𝑖 𝑥𝑖 ≥ 0
