Investigacion Operativa

ESCUELA POLITECNICA NACIONAL

INVESTIGACION OPERATIVA

Grupo 5

EJERCICIO 6 Klein Chemicals, Inc. produce un material especial con una base de petroleo que actualmente esta escaso. Cuatro de los clientes de Klein ya hancolocado pedidos que en conjunto exceden la capacidad combinada de las dos plantas de Klein. La gerencia de la empresa enfrenta el problema de decidir cuantas unidades debe proveer a cada cliente. Debido a que los cuatro clientes pertenecen a diferentes sectores de la industria y existen varias estructuras de fijacion de precios segun la industria, se pueden bajar distintos precios. Sin embargo, los costos de produccion ligeramente son diferentes en las dos plantas y los costos de transporte entre las plantas y los clientes varian, por lo que una estrategia de vender al mejor postor es inaceptable. Despues de considerar el precio, los costos de produccion, y de transporte, se establecieron las siguientes utilidades por unidad para cada alternativa de planta-cliente:

La capacidad de la planta y los pedidos de los clientes son los siguientes:

PROCEDIMIENTO

Dibujar nodos de origen y destino

3000

Asignar capacidades y demandas En este caso la demanda es mayor que la oferta Oferta = 8000 Demanda = 12000 Equilibrar modelos (nodos ficticios)

∑ = 12000

∑=12000

Dar sentido práctico a ficticios Añadiendo el nodo ficticio el modelo está equilibrado, el nodo ficticio X es igual a 4000, que en este caso vendría hacer el producto que no se produce, el costo de envió es cero. Definir fórmula para los costos Max U=Utilidad total Max U=∑∑ Cij Xij Max U= Utilidad*Ruta 11+ Utilidad*Ruta 12+ Utilidad*Ruta 13+ Utilidad*Ruta 14+ Utilidad*Ruta 21+ Utilidad*Ruta22+ Utilidad*Ruta 23+ Utilidad*Ruta 24 Max U= 32X11+34X12+32X13+40X14+34X21+30X22+28X23+38X24 Sujeto a: X11+X12+X13+X14≤5000 X21+X22+X23+X24≤5000 DEEFINIR VARIABLES DE DECISIÓN X11 X12 X13 X14 X21 X22 X23 X24

#unidades Clifton Springs -Destino 1 #unidades Clifton Springs -Destino 2 #unidades Clifton Springs -Destino 3 #unidades Clifton Springs -Destino 4 #unidades Davalle-Destino 1 #unidades Davalle-Destino 2 #unidades Davalle-Destino 3 #unidades Davalle-Destino 4

UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES

Estructurar cuadro de transporte Clifton Springs

Destino 1 32

Destino 2 34

Destino 3 32

Destino 4 40

X11

X12

X13

X14

Davalle

34 X21

Ficticio

X22 0

X31 Demanda

30

2000

28 X23

0 X32 5000

Oferta 5000

38

5000

0

4000

X24 0

X33 3000

X34 2000

Cuáles unidades debe producir cada planta para cada cliente con el fin de maximizar las unidades?

Clientes Planta 1 2 Clifton Springs 0 4000 Davalle 2000 0 Incumplimiento 0 1000

3 0 0 3000

4 1000 1000 0

Max Utilidad $ 282.000,00

La planta Clifton Springs debe producir las siguientes unidades para el cliente: D2=4000 ; D4=1000 La planta Davalle debe producir las siguientes unidades para el cliente: D1=2000 ; D4=1000 ¿Cuáles demandas de los clientes no se cumplirían? Al cliente D3 no se le surtiría unidades y al Cliente D2 tendría un déficit de 1000 unidades Muestre su modelo de red y su formulación de programación lineal elo de red y su formulación de programación lineal Clifton Springs

Destino 1 2000

5000 Destino 2 Destino 1

Davalle

3000

5000

Destino 3 Destino 1

3000 Ficticio

4000

Destino 4 Destino 1

2000

Modelo resuelto mediante el uso del solver MODELO KLEIN CHEMICALS Clientes Envios clifton springs davalle incumplimiento

1 2 3 4 0 4000 0 1000 2000 0 0 1000 0 1000 3000 0

Costos clifton springs davalle incumplimiento

1 32 34 0

2 34 30 0

3 32 28 0

4 40 38 0

Oferta clifton springs davalle incumplimiento

1 1 1 0

2 1 1 0

3 1 1 0

4 1 1 0

Demanda clifton springs davalle incumplimiento

Max Utilidad $ 282.000,00

suministrado 5000 3000 0

<= <= <= =

disponible 5000 5000 4000

1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2000 5000 3000 2000 recibido = = = = = 2000 5000 3000 2000 solicitado

EJERCICIO 7 Forbelt Corporation tiene un contrato de un año para proveer motores para todos los refrigeradores producidos por Ice Age Corporation, la cual fabrica los refrigeradores en cuatro lugares en todo el país: Boston, Dallas, Los Ángeles y St. Paul. Los planes exigen que se fabrique la siguiente cantidad de refrigeradores (en miles) en cada lugar:

FABRICAS CANTIDAD 50 Boston 70 Dallas Los 60 Ángeles 80 St. Paul Las tres plantas de Forbelt son capaces de fabricar los motores. Las plantas y capacidades del producto (en miles) son:

PLANTAS CAPACIDADES 100 Denver 100 Atlanta 150 Chicago Debido a que los costos de producción y transporte varían, las utilidades que Forbelt obtiene sobre cada lote de 1000 unidades dependen de cuál planta fabricó el lote y a cuál destino se envió. La tabla siguiente muestra las estimaciones de las utilidades por unidad que hizo el departamento de contabilidad (los envíos se harán en lotes de 1000 unidades):

FABRICA Boston 7 Denver 20 Atlanta 8 Chicago

ENVIADO A Dallas Los Ángeles 11 8 17 12 18 13

St. Paul 13 10 16

Con la maximización de utilidades como un criterio, la gerencia de Forbelt quiere determinar cuántos motores debe fabricar cada planta y cuántos motores deben enviarse desde cada planta a cada destino. a) Elabore una representación de red para este problema. b) Encuentre la solución óptima.

1)

2)

GRAFICAR LA SITUACIÓN DEL PROBLEMA

DEEFINIR FUNCIÓN OBJETIVA

MAX Gu= GANANCIAS DE UTILIDADES Gu=Número de unidades*Utilidades Gu=#unidadesDenver-Boston*CostoDenver-Boston+#unidadesDenverDallas*CostoDenver-Dallas+#unidadesDenver-LosÁngeles*CostoDenverLosÁngeles+#unidadesDenver-St.Paul*CostoDenverSt.Paul+#unidadesAtlanta-Boston*CostoAtlanta-Boston+#unidadesAtlantaDallas*CostoAtlanta-Dallas+#unidadesAtlanta-LosÁngeles*CostoAtlantaLosÁngeles+#unidadesAtlanta-St.Paul*CostoAtlanta-St.Paul+ #unidadesChicago-Boston*CostoChicago-Boston+#unidadesChicagoDallas*CostoChicago-Dallas+#unidadesChicago-

LosÁngeles*CostoChicago-LosÁngeles+#unidadesChicagoSt.Paul*CostoChicago-St.Paul Gu=#unidadesDenver-Boston*7+#unidadesDenverDallas*11+#unidadesDenver-LosÁngeles*8+#unidadesDenverSt.Paul*13+#unidadesAtlanta-Boston*20+#unidadesAtlantaDallas*17+#unidadesAtlanta-LosÁngeles*12+#unidadesAtlanta-St.Paul*10+ #unidadesChicago-Boston*8+#unidadesChicagoDallas*18+#unidadesChicago-LosÁngeles*13+#unidadesChicagoSt.Paul*16 3)

DEEFINIR VARIABLES DE DECISIÓN X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12

#unidadesDenver-Boston #unidadesDenver-Dallas #unidadesDenver-LosÁngeles #unidadesDenver-St.Paul #unidadesAtlanta-Boston #unidadesAtlanta-Dallas #unidadesAtlanta-LosÁngeles #unidadesAtlanta-St.Paul #unidadesChicago-Boston #unidadesChicago-Dallas #unidadesChicago-LosÁngeles #unidadesChicago-St.Paul

UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES

4) DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIBO EN FUNCION DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN Gu=7*X1+11*X2+8*X3+13*X4+20*X5+17*X6+12*X7+10*X8+8*X9+18*X10+13*X1 1+16*X12 5)

RESTRICCIONES

Número de unidades a producir por planta Denver X1+X2+X3+X4<=100000 Número de unidades a producir por planta Atlanta X5+X6+X7+X8<=100000 Número de unidades a producir por planta Chicago X9+X10+X11+X12<=150000 Equilibrio número de unidades Boston X1+X5+X9=50000 Equilibrio número de unidades Dallas

X2+X6+X10<=70000 Equilibrio número de unidades Los Ángeles X3+X7+X11<=60000 Equilibrio número de unidades St. Paul X4+X8+X12<=80000

6)

MODELADO Boston

Envíos

13

0

20

17

12

10

0

8

18

13

16

0

70000

Dallas

Los Ángeles

60000

St. Paul

Ficticio

Denver Atlanta Chicago

0 0 0 50000 50000 0 0 20000 60000

10000 0 70000

90000 0 0

Costos

Boston

Dallas

Los Ángeles

St. Paul

Ficticio

El Paso San Bernardino Dallas

7

11

8

13

0

20 8

17 18

12 13

10 16

0 0

Oferta

Boston

Dallas

Los Ángeles

St. Paul

Ficticio

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

El Paso San Bernardino

Dallas

Ficticio

8

50000

Boston

St. Paul

11

Chicago Demanda

Los Ángeles

7

Denver Atlanta

Dallas

80000

Total [unidades]

Ganancia total

100000

$ 4.240.000 ,00

100000 150000

Lo enviado 100000 100000

150000

Lo Recibido < = < =

< =

100000 100000

150000

90000

Oferta

1000 00 1000 00 1500 00

Demanda El Paso San Bernardino Dallas

Boston

Dallas

Los Ángeles

St. Paul

Ficticio

1

1

1

1

1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

80000

90000

=

=

80000

90000

50000 70000 60000 =

=

=

50000 70000 60000

lo enviado lo recibido

Por lo tanto, se tiene una ganancia máxima de $4.240.000 para lo cual debe mantenerse la distribución descrita en el literal 6. Ejercicio 8 8. Ace Manufacturing Company tiene pedidos para tres productos parecidos:

Tres máquinas están disponibles para las operaciones de manufactura y pueden fabricar todos los productos a la misma tasa de producción. Sin embargo, debido a los porcentajes de defectos variables de cada producto en cada máquina, los costos unitarios de los productos varían dependiendo de la maquina empleada. Las capacidades de la máquina para la semana siguiente y los costos unitarios se alistan a continuación:

Utilice un modelo de transporte para elaborar el programa de producción de costo mínimo para los productos y maquinas. Muestre la formulación de programación lineal.

1. Dibujar los nodos de origen y destino.

M1

A

1500

2000

M2

B

1500

500

M3

C

1000

1200

2. Asignar capacidades y demandas En este caso la oferta es mayor que la demanda: Oferta = 4000 Demanda = 3700 3. Equilibrar el modelo. Para equilibrar el modelo se debe utilizar un nodo ficticio.

M1

A

1

1500

2000

1,2

M2

1,3

1500

1000

B 300

1,2 1,1

M3

0,9

1,4

1

C 1,2

1200 0

0

0 X 300

4. Dar sentido al nodo ficticio Añadiendo el nodo ficticio el modelo está equilibrado, el nodo ficticio X es igual a 300, que en este caso vendría hacer el inventario que se tiene, el costo de envió es cero. 5. Definir fórmula para los costos unitarios.

Para los costos de transporte se define las siguientes ecuaciones: Función objetivo para minimizar los costos de producción: 𝑚 = 𝑥11 + 1,2𝑥12 + 0,9𝑥13 + 1,3𝑥21 + 1,4𝑥22 + 1,2𝑥23 + 1,1𝑥31 + 𝑥32 + 1,2𝑥33

Restricciones: 𝑥11 + 𝑥12 + 𝑥13 + 𝑥14 ≤ 1500 𝑥21 + 𝑥22 + 𝑥23 + 𝑥24 ≤ 1500 𝑥31 + 𝑥32 + 𝑥33 + 𝑥34 ≤ 1000 𝑥11 + 𝑥21 + 𝑥31 = 2000 𝑥12 + 𝑥22 + 𝑥32 = 500 𝑥13 + 𝑥23 + 𝑥33 = 1200 𝑥14 + 𝑥24 + 𝑥34 = 300

6. Estructurar cuadro de transporte

MAQUINA 1 MAQUINA 2 MAQUINA 3 DEMANDA

PRODUCTO A 1 1,3 1,1 2000

PRODUCTO B 1,2 1,4 1 500

PRODUCTO C 0,9 1,2 1,2 1200

INVENTARIO

OFERTA

0 0 0 300

1500 1500 1000

7. Resolver en solver si los datos están completos. MAQUINAS M1 M2 M3

A 300 1200 500

B 0 0 500

PRODUCTO C 1200 0 0

X 0 300 0

COSTOS MAQUINAS M1 M2 M3

A 1 1,3 1,1

B 1,2 1,4 1

PRODUCTO C 0,9 1,2 1,2

X 0 0 0

OFERTA M1 M2 M3

A 1 1 1

B 1 1 1

C 1 1 1

X 1 1 1

DEMANDA M1 M2 M3

A 1 1 1 2000 = 2000

B 1 1 1 500 = 500

C 1 1 1 1200 = 1200

X 1 1 1 300 = 300

MINIMIZAR COSTOS DE PRODUCCION $ 3.990,00

LO ENVIADO 1500 1500 1000

<= <= <= <=

LO PRODUCIDO RESIDUO? 1500 0 1500 0 1000 0

LO RECIBIDO = LO SOLICITADO

Como se muestra en la figura anterior el costo mínimo de producción es de $ 3990, teniendo 300 unidades producidos por la maquina 2 que irían a inventario, porque con la producción de las demás maquinas se satisface el pedido de unidades. Ejercicio 12 U.S. Cable utiliza un sistema con cinco centros de distribución y ocho zonas de clientes, cada una de las cuales se asigna a un proveedor de origen y recibe todos sus productos de cable del mismo centro de distribución. En un esfuerzo por equilibrar la demanda y la carga de trabajo en los centros de distribución, el vicepresidente de logística de la empresa dio instrucciones de que dichos centros no se asignen a más de tres zonas de clientes. La tabla siguiente muestra los cinco centros de distribución y el costo de proveer a cada zona de clientes (en miles de dólares).

1 1 1 1

≤3

1 1

1 1 Zona de Clientes Costo de distribución Plano Nashville Flagstaff Springfield Boulder Demanda

Los Ángeles Chicago Columbus 70 47 22 75 38 19 15 78 37 60 23 8 45 40 29 1 1 1

Atlanta 53 58 82 39 75 1

Kewark Kansas City 98 21 90 34 111 40 82 36 86 25 1 1

Denver 27 40 29 32 11 1

Dallas 13 26 32 45 37 1

Oferta ≤3 ≤3 ≤3 ≤3 ≤3

Debido a que en la oferta los datos están incompletos se procede a realizar el modelo.

Función Objetivo Minimizar Costos = Costo x número de distribuciones Min C = 70X11 + 47 X12 + 22 X13 + 53 X14 + 98 X15 +……………...25 X56 +11 X57 + 37 X58

Variables de decisión Xi = número de distribuciones de centros de distribución a zona de clientes i = 1 2,3,4,5 Restricciones Z1 Los Ángeles Z2 Chicago Z3 Columbus Z4 Atlanta Z5 Kewark Z6 Kansas City Z7 Denver Z8 Dallas

X11 +X21 +X31 + X41 + X51 = 1 X12 +X22 +X32 + X42 + X52 = 1 X13 +X23 +X33 + X43 + X53 = 1 X14 +X24 +X34 + X44 + X54 = 1 X15 +X25 +X35 + X45 + X55 = 1 X16 +X26 +X36 + X46 + X56 = 1 X17 +X27 +X37 + X47 + X57 = 1 X18 +X28 +X38 + X48 + X58 = 1

C1 Plano C2 Nashville C3 Flagstaff C4 Springfield C2 Boulder

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 ≤ 3 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 ≤ 3 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 + X37 + X38 ≤ 3 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 + X47 + X48 ≤ 3 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 + X57 + X58 ≤ 3

Modelo Matemático Función Objetivo Min C = 70X11 + 47 X12 + 22 X13 + 53 X14 + 98 X15 +……………...25 X56 +11 X57 + 37 X58 s.a. Demanda Z1 Los Ángeles Z2 Chicago Z3 Columbus Z4 Atlanta Z5 Kewark

X11 +X21 +X31 + X41 + X51 = 1 X12 +X22 +X32 + X42 + X52 = 1 X13 +X23 +X33 + X43 + X53 = 1 X14 +X24 +X34 + X44 + X54 = 1 X15 +X25 +X35 + X45 + X55 = 1

Z6 Kansas City Z7 Denver Z8 Dallas

X16 +X26 +X36 + X46 + X56 = 1 X17 +X27 +X37 + X47 + X57 = 1 X18 +X28 +X38 + X48 + X58 = 1

Oferta C1 Plano C2 Nashville C3 Flagstaff C4 Springfield C5 Boulder

X11 + X12 + X13 + X14 + X15 + X16 + X17 + X18 ≤ 3 X21 + X22 + X23 + X24 + X25 + X26 + X27 + X28 ≤ 3 X31 + X32 + X33 + X34 + X35 + X36 + X37 + X38 ≤ 3 X41 + X42 + X43 + X44 + X45 + X46 + X47 + X48 ≤ 3 X51 + X52 + X53 + X54 + X55 + X56 + X57 + X58 ≤ 3

Contextuales X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

Resolución mediante el Solver Zona de Clientes Costo de distribución Plano Nashville Flagstaff Springfield Boulder

Plano Nashville Flagstaff Springfield Boulder

Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta 70 47 22 75 38 19 15 78 37 60 23 8 45 40 29

53 58 82 39 75

Kewark Kansas City Denver 98 21 90 34 111 40 82 36 86 25

27 40 29 32 11

Dallas 13 26 32 45 37 Función Objetivo Costo Total $ 216

Zona de Clientes Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta Kewark Kansas City Denver 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Dallas 1 0 0 0 0

Restricciones Demanda Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta Kewark Kansas City Denver Dallas

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Oferta Plano Nashville Flagstaff Springfield Boulder

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 0 0 1

= = = = = = = =

1 1 1 1 1 1 1 1

2 0 1 3 2

<= <= <= <= <=

3 3 3 3 3

a. Determine la asignación de las zonas de clientes a los centros de distribución que minimicen el costo. Asignaciones Centro de distribución Plano Nashville Flagstaff Springfield Boulder

Kansas City

Dallas

Los Ángeles Chicago Kewark

Columbus Atlanta Denver

b. ¿Cuáles centros de distribución, si los hay, no se utilizarán? No se utiliza el centro de distribución de Nashville c. Suponga que cada centro de distribución está limitado a un máximo de dos zonas de clientes. ¿Cómo cambia esta restricción la asignación y el costo de abastecer a las zonas de clientes? Se utilizan todos los centros de distribución y la zona de clientes de Columbus seria distribuida por Nashville. Al reducir una ruta de distribución de Springfield el costo aumenta en 11 mil dólares y al aumentar la zona de clientes al centro de distribución de Nashville no existe variación por lo que el costo total seria 227 mil dólares. Celda $J$24 $J$25 $J$26 $J$27 $J$28 $J$29 $J$30 $J$31 $J$33 $J$34 $J$35 $J$36 $J$37

Nombre Los Ángeles Chicago Columbus Atlanta Kewark Kansas City Denver Dallas Plano Nashville Flagstaff Springfield Boulder

Final Sombra Restricción Permisible Permisible Valor Precio Lado derecho Aumentar Reducir 1 15 1 2 1 1 34 1 1 0 1 19 1 3 0 1 50 1 1 0 1 86 1 1 1 1 21 1 1 1 1 11 1 1 1 1 13 1 1 1 2 0 3 1E+30 1 0 0 3 1E+30 3 1 0 3 1E+30 2 3 -11 3 0 1 2 0 3 1E+30 1

Ejercicio 13

United Express Service (UES) utiliza grandes cantidades de materiales de empaque en sus cuatro centros de distribución. Después de examinar a los proveedores potenciales, la empresa identificó seis vendedores que pueden suministrar materiales que satisfagan sus estándares de calidad. UES pidió a cada uno de los seis vendedores que presentaran propuestas para satisfacer la demanda anual en cada uno de sus centros de distribución durante el año siguiente. Las propuestas recibidas (en miles de dólares) se listan en la tabla siguiente. UES quiere asegurar que un vendedor diferente atienda sólo uno de los centros de distribución.

1

1 ≤1

1

1

Costos Empresa 1 Martin Products Schmidl Materials Miller Containers D&J Burns Larbes Furnishings Lawler Depot

190 150 210 170 220 270

Centros de distribución 2 3 175 125 235 155 225 135 185 190 190 140 200 130

4 230 220 260 280 240 260

No enviar No enviar 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000 10000000

Debido a que en la oferta los datos están incompletos se procede a realizar el modelo. Función Objetivo Minimizar Costos = Costo x número de vendedores Min C = 190X11 + 175 X12 + 125 X13 + 230 X14 +……………...270 X61 + 200 X62 + 130 X63 + 260 X64 Variables de decisión Xi = número de distribuciones de vendedores a centros de distribución i = 1 2,3,4,5,6 Restricciones C1 X11 +X21 +X31 +X31 + X41 + X51 + X61 = 1 C2 X12 +X22 +X32 +X32 + X42 + X52 + X62 = 1 C3 X13 +X23 +X33 +X33 + X43 + X53 + X63 = 1 C4 X14 +X24 +X34 +X34 + X44 + X54 + X64 = 1 V1 Martin Products V2 Schmidl Materials V3 Miller Containers V4 D&J Burns V5 Larbes Furnishings V6 Lawler Depot

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1 X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1 X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1 X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1 X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1 X61 + X62 + X63 + X64 ≤ 1

Modelo Matemático Función Objetivo Min C = 70X11 + 47 X12 + 22 X13 + 53 X14 + 98 X15 +……………...25 X56 +11 X57 + 37 X58 s.a. Demanda C1 X11 +X21 +X31 +X31 + X41 + X51 + X61 = 1

C2 C3 C4

X12 +X22 +X32 +X32 + X42 + X52 + X62 = 1 X13 +X23 +X33 +X33 + X43 + X53 + X63 = 1 X14 +X24 +X34 +X34 + X44 + X54 + X64 = 1

Oferta V1 Martin Products V2 Schmidl Materials V3 Miller Containers V4 D&J Burns V5 Larbes Furnishings V6 Lawler Depot

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 1 X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 1 X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 1 X41 + X42 + X43 + X44 ≤ 1 X51 + X52 + X53 + X54 ≤ 1 X61 + X62 + X63 + X64 ≤ 1

Contextuales X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0 Resolución mediante solver Empresa 1 Martin Products Schmidl Materials Miller Containers D&J Burns Larbes Furnishings Lawler Depot

Costos Empresa 1 Martin Products Schmidl Materials Miller Containers D&J Burns Larbes Furnishings Lawler Depot

Oferta Empresa 1 Martin Products Schmidl Materials Miller Containers D&J Burns Larbes Furnishings Lawler Depot

Demanda Empresa 1 Martin Products Schmidl Materials Miller Containers D&J Burns Larbes Furnishings Lawler Depot

0 1 0 0 0 0


190 150 210 170 220 270


1 1 1 1 1 1


1 1 1 1 1 1 1

= 1

Centros de distribución 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = 1 1

4 1 0 0 0 0 0


230 220 260 280 240 260


1 1 1 1 1 1


4

4

4

No enviar No enviar 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Min Costos $ 20.000.695 $ 695

1 1 1 1 1 1

= = = = = =

1 1 1 1 1 1

¿Cuáles propuestas debe aceptar UES y cuáles vendedores debe seleccionar para abastecer cada centro de distribución? Empresa Martin Products Schmidl Materials Miller Containers D&J Burns Larbes Furnishings Lawler Depot

1

Centros de distribución 2 3 0 0 0

4

No enviar No enviar 1 0 0

1

0

0

0

0

0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 0

0 0

0 1

0 0

0 0

1 0

Schmidl Materials abastece el centro de distribución 4 Martin Products abastece el centro de distribución 1 D%J Burns abastece el centro de distribución 2 Lawler Depot abastece el centro de distribución 3 Mientras que los ficticios que son distribuidos por Miller containers y Larbes Furnishing son descartados

EJERCICIO 17 El sistema de distribución de Herman Company se compone de tres plantas, dos almacenes y cuatro clientes. Las capacidades de las plantas y los costos de envió por unidad (en $) desde cada planta a cada almacén son los siguientes:

La demanda de los clientes y los costos de envió por unidad (en $) desde cada almacén a cada cliente son:

1. Elabore una representación de red para este problema.

6 6 P1

300

C1

4

3

450 4

7

8

P2 600

7

4

300

C2

A1

6 8 8

5

300

5 5

C3 7

A2

P3 380

4 6

9 0

7

400

C4

0 Y

130

Ficticio

En este caso la oferta es mayor a la demanda y eso indica que va existir un inventario, se lo representa mediante el nodo ficticio Y.

Para lo cual se tiene preparado una tabla con los costos de transporte.

COSTOS PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5)

P1 (1) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000

PLANTAS P2 (2) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000

ALMACENES CLIENTES P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10) -100000000 4 7 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 8 5 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 5 6 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 6 4 8 4 0 -100000000 -100000000 -100000000 3 6 7 7 0

Los valores de -100000000 son colocados debido a que esos elementos de la matriz no son utilizados.

2. Formule un modelo de programación lineal del problema. La función objetivo para minimizar es: 𝑚 = 4𝑥14 + 7𝑥15 + 8𝑥24 + 5𝑥25 + 5𝑥34 + 6𝑥35 + 6𝑥46 + 4𝑥47 + 8𝑥48 + 4𝑥49 + 3𝑥56 + 6𝑥57 + 7𝑥58 + 7𝑥59 Restricciones: 𝑥14 + 𝑥15 ≤ 450 𝑥24 + 𝑥25 ≤ 600 𝑥34 + 𝑥35 ≤ 380 −𝑥14 − 𝑥24 − 𝑥34 + 𝑥46 + 𝑥47 + 𝑥48 + 𝑥49 + 𝑥4𝑦 = 0 −𝑥15 − 𝑥25 − 𝑥35 + 𝑥56 + 𝑥57 + 𝑥58 + 𝑥59 + 𝑥5𝑦 = 0 𝑥46 + 𝑥56 = 300 𝑥47 + 𝑥57 = 300 𝑥48 + 𝑥58 = 300 𝑥49 + 𝑥59 = 400 𝑥4𝑦 + 𝑥5𝑦 = 130 3. Resuelva el programa lineal para determinar el plan de envió óptimo

PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5)

COSTOS PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) OFERTA PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5) DEMANDA PLANTAS P1 (1) P2 (2) P3 (3) A1 (4) A2 (5)

PLANTAS P2 (2)

P1 (1)

P3 (3)

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

P1 (1) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000

PLANTAS P2 (2) -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000

P1 (1)

PLANTAS P2 (2) 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

ALMACENES A1 (4) A2 (5) 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

ALMACENES A1 (4) A2 (5) 1 1 1 1 1

P3 (3) 1 1 1 1 1

C1 (6)

CLIENTES C3 (8)

C2 (7)

0 0 0 0 300

0 0 0 300 0

C4 (9)

0 0 0 0 300

X (10)

0 0 0 400 0

MINIMIZAR COSTOS DE PRODUCCIO $ 12.500,00

0 0 0 130 0

ALMACENES CLIENTES P3 (3) A1 (4) A2 (5) C1 (6) C2 (7) C3 (8) C4 (9) X (10) -100000000 4 7 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 8 5 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 5 6 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 -100000000 6 4 8 4 0 -100000000 -100000000 -100000000 3 6 7 7 0

P3 (3)

PLANTAS P2 (2)

P1 (1)

0 0 0 0 0

ALMACENES A1 (4) A2 (5) 450 0 0 600 380 0 0 0 0 0

C1 (6) 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

C1 (6) 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 300 = 300

C4 (9) 1 1 1 1 1

CLIENTES C3 (8)

C2 (7) 1 1 1 1 1

300 = 300

CLIENTES C3 (8)

C2 (7)

C4 (9) 1 1 1 1 1

300 = 300

X (10) 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

LO ENVIADO 450 600 380

<= <= <= <=

LO PRODUCIDO 450 600 380

X (10) 1 1 1 1 1

400 = 400

RESTRICCIONES ADICIONALES

1 1 1 1 1 130 = 130

LO RECIBIDO = LO SOLICITADO 0 0

= =

0 0

Como se puede ver en la respuesta que nos proporciona el Solver, el valor de $ 12500 es el valor mínimo para el transporte con el transbordo incluido. Existe un valor de 130 que se le considera como inventario debido a que al inicio la oferta era mayor que la demanda, y para igualar el modelo se debe aumentar los 130.

Ejercicio 19 Adirondack Paper Mills, Inc. opera fábricas de papel en Augusta, Maine y Tupper Lake, Nueva York. Las instalaciones de almacenes se localizan en Albany, Nueva York y Portsmouth, New Hampshire. Los distribuidores se localizan en Boston, Nueva York y Filadelfia. Las capacidades de la planta y las demandas de los distribuidores para el mes próximo son las siguientes:

Los costos unitarios de transporte (en $) para los envíos desde las dos plantas a los dos almacenes, y desde éstos a los tres distribuidores son los siguientes:

a. Trace la representación de red del problema de Adirondack Paper Mills.

b. Formule el problema de Adirondack Paper Mills como un problema de programación lineal. 1. Grafico

2. Organizar en tablas

Origenes Augusta Tupper Lake Albany Portsmout h

Destinos (costos unitarios de transporte (en $)) Albany Portsmouth Boston Nueva York Filadelfia 7 5 x x x 3 x x Demanda

4 x

x 8

x 5

x 7

x

5 150

6 100

10 150

Oferta 300 100

3. Función objetivo Minimizar costos de transporte = Costos unitarios de transporte * números de rutas de disttribución Min C = 7X13 + 5X14 + 3X23 + 4X24 + 8X35 + 5X36 + 7X37 + 5X45 + 6X46 + 1X47 4. Definir las variables de decisión X13 = # de rutas de distribución de Augusta – Albany X14 = # de rutas de distribución de Augusta - Portmouth X23 = # de rutas de distribución de Tupper Laker - Albany X24 = # de rutas de distribución de Tupper Laker – Portmouth X35 = # de rutas de distribución de Albany – Boston X36 = # de rutas de distribución de Albany – Nueva York X37 = # de rutas de distribución de Albany – Filadelfia X45 = # de rutas de distribución de Portmounth – Boston X46 = # de rutas de distribución de Portmounth – Nueva York X47 = # de rutas de distribución de Portmounth – Filadelfia 5. Función objetivo en base de las variables de decisión Min C = 7X13 + 5X14 + 3X23 + 4X24 + 8X35 + 5X36 + 7X37 + 5X45 + 6X46 + 1X47 6. Restricciones Restricciones del nodo de origen X13 + X14 ≤ 300 X23 + X24 ≤ 100 Restricciones del nodo de transbordo - X13 - X23 + X35 + X36 + X37 = 0 - X14 - X24 + X45 + X46 + X47 = 0 Restricciones del nodo de destino X35 + X45 = 150 X36 + X46 = 100 X37 + X47 = 150

7. Modelo Matemático Función objetivo Min C = 7X13 + 5X14 + 3X23 + 4X24 + 8X35 + 5X36 + 7X37 + 5X45 + 6X46 + 1X47 s.a. X13 + X14 ≤ 300

nodo de origen

X23 + X24 ≤ 100

nodo de origen

- X13 - X23 + X35 + X36 + X37 = 0

nodo de transbordo

- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 = 0

nodo de transbordo

X35 + X45 = 150

nodo de destino

X36 + X46 = 100

nodo de destino

X37 + X47 = 150

nodo de destino

8. Solución Solver Minimizar costo de transporte

$ 3.200,00

Rutas de distrib. costos unitarios

X13 7

X14 5

X23 3

X24 4

X35 8

X36 5

X37 7

X45 5

X46 6

X47 1

Rutas de distrib. # de rutas de distrib.

X13 0

X14 300

X23 100

X24 0

X35 0

X36 100

X37 0

X45 150

X46 0

X47 150

Nodo de Origen Augusta Tupper Lake

1

1 1

1

Nodo de transbordo Albany Portmounth

-1

Resctricciones

-1 -1

Nodo de destino Boston Nueva York Filadelfia

1

1

300 100

= =

300 100

1

0 0

= =

0 0

1

150 100 150

= = =

150 100 150

1

-1

1

1

1

1 1

1 1

c. Resuelva el programa lineal para determinar el programa de envío de costo mínimo para el problema. Minimizar costo de transporte

$ 3.200,00

CASO 2

Dibujar nodos de origen y destino

Asignar capacidades y demandas En este caso la oferta es mayor que la demanda Oferta = 50000 Demanda = 41260

Equilibrar modelos (nodos ficticios)

Definir fórmula para los costos

MIN

Cu= COSTOS DE TRANSPORTE

Cu=Costos de producción + Costos de transporte planta-centro distribución+Costos de transporte centro de distribución-clientes

Cu= #medidoresElPasto-FortWorth*CostoElPasto-FortWorth+#medidoresElPastoSantaFe*CostoElPasto-SantaFe+#medidoresElPasto-LasVegas*CostoElPasto-LasVegas+ #medidoresSanBernardino-SantaFe*CostoSanBernardino- SantaFe+#medidoresSanBernardino -LasVegas*CostoSanBernardino-LasVegas+#medidoresFortWorth-Dallas*CostoFortWorthDallas+#medidoresFortWorth-SanAntonio*CostoFortWorth-SanAntonio+#medidoresFortWorthWichita*CostoFortWorth-Wichita+#medidoresFortWorth-KansasCity*CostoFortWorthKansasCity+#medidoresSantaFe-Denver*CostoSantaFe-Denver+#medidoresSantaFeSaltLakeCity*CostoSantaFe-SalLakeCity+#medidoresSantaFe-Phoenix*CostoSantaFePhoenix+#medidoresLasVegas-LosÁngeles*CostoLasVegas-LosÁngeles +#medidoresLasVegas -SanDiego*CostoLasVegas-SanDiego

Cu= #medidoresElPasto-FortWorth*3,2+#medidoresElPastoSantaFe*2,2+#medidoresElPasto-LasVegas*4,2+#medidoresSanBernardinoSantaFe*3,9+#medidoresSanBernardino-LasVegas*1,2+#medidoresFortWorth-Dallas*0,3+ # medidoresFortWorthSanAntonio*2,1+#medidores FortWorth-Wichita*3,1+#medidoresFortWorthKansasCity*4,4+#medidoresSantaFeDenver*2,7+#medidoresSantaFe-SaltLakeCity*4,7 +#medidoresSantaFe-Phoenix*3,4+#medidoresLasVegas-LosÁngeles*2,1+#medidores LasVegas -SanDiego*2,5

DEFINIR VARIABLES DE DECISIÓN X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 X12 X13 X14

#medidoresElPasto-FortWorth #medidoresElPasto-SantaFe #medidoresElPasto-LasVegas #medidoresSanBernardino-SantaFe #medidoresSanBernardino-LasVegas #medidoresFortWorth-Dallas #medidoresFortWorth-SanAntonio #medidoresFortWorth-Wichita #medidoresFortWorth-KansasCity #medidoresSantaFe-Denver #medidoresSantaFe-SaltLakeCity #medidoresSantaFe-Phoenix #medidoresLasVegas-LosÁngeles #medidoresLasVegas-SanDiego

UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES UNIDADES

DEFINIR LA FUNCIÓN OBJETIBO EN FUNCION DE LAS VARIABLES DE DECISIÓN

Cu=3,2*X1+2,2*X2+4,2*X3+3,9*X4+1,2*X5+0,3*X6+2,1*X7+3,1*X8+4,4*X9+2, 7*X10+4,7*X11+3,4*X12+2,1*X13+2,5*X14 RESTRICCIONES Número de medidores a producir por planta El Pasto X1+X2+X3<=30000 Número de medidores a producir por planta San Bernardino X4+X5<=20000 Equilibrio número de medidores distribuidos por Fort Worth X1-X6-X7-X8-X9=0 Equilibrio número de medidores distribuidos por Santa Fe X2+X4-X10-X11-X12=0 Equilibrio número de medidores distribuidos por Las Vegas X3+X5-X13-X14=0

Restricciones por demanda de clientes X6

=

6300

X7

=

4880

X8

=

2130

X9

=

1210

X10

=

6120

X11

=

4830

X12

=

2750

X13

=

8580

X14

=

4460

ESTRUCTURA CUADRO DE TRANSPORTE

RESOLVER MEDIANTE SOLVER 1. Si la empresa no cambia su estrategia de distribución actual ¿Cuáles serán los costos de distribución para el trimestre siguiente?

Los costos de distribución son $ 620,770

2. Supongamos que la empresa está dispuesta a considerar excluir las limitaciones de los centros de distribución: es decir los clientes podrían ser atendidos por cualquier de los centros de distribución para los cuales se dispone de los costos. ¿Los costos se pueden reducir? ¿Por cuánto?

Si se puede reducir los costos en 600,942 dólares

3. La empresa quiere explorar la posibilidad de satisfacer parte de la demanda de los clientes directamente desde las plantas de producción. En particular el costo de envió es $ 0,30 por unidad desde San Bernardino a Los Ángeles y de $0,70 desde San Bernardino a San Diego. EL costo de los envíos directos desde El paso a San Antonio es $ 3,50 por unidad. ¿Se pueden reducir aún más los costos de distribución al considerar estos envíos directos desde la planta a los clientes?

Si se pueden reducir más los costos de envió a 553,534 dólares

4. Durante los próximos cinco años. Darby anticipa un crecimiento moderado (5000 medidores) hacia el norte y el oeste. ¿Recomendaría usted que considere la expansión de la planta en este momento?

Considerando que la cantidad de medidores suministrados por la empresa es de 50000, para el caso de menor costo de transporte se tiene un total de 41260 unidades lo cual implica que:

Caso de crecimiento Total de unidades disponibles Total de unidades producidas Unidades faltantes Crecimiento estimado Total de unidades sobrantes

50000 41260 8740 5000 3740

Por lo tanto, no es necesario la expansión de la compañía ya que la capacidad de producción actual permite el incremento estimado y mantiene un sobrante de crecimiento de 3740 para un futuro, para lo cual hay que considerar los centros de distribución para mantener los costos de transporte y envió reducido.

Investigacion Operativa

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