INVESTIGACIÓN MÉTODO DE BESSEL Y CARSON.
Harold Peñalver Ramírez
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R E S U M E N : — En la siguiente informe se realiza la investigación sobre los diferentes métodos matemáticos Bessel y Carson.
resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero (α = n); En problemas esf éricos, éricos, se
obtienen órdenes de medio entero (α = n + 1/2).
PALABRAS CLAVES:
Por ejemplo:
Bessel, Carson, metodos,
●
1. OBJETIVOS ● Consultar la definición,
ejemplos, graficas y diferencias entre los métodos matemáticos de Bessel y Carson.
2. INTRODUCCIÓN FUNDAMENTO TEÓRICO
O
2.1 Método de Bessel Las funciones de Bessel, definidas por el matemático Daniel Bernoulli y generalizadas por Friedrich Bessel, son las soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel.
(1)
Para un número arbitrario complejo α (el orden de la función de Bessel). Los casos más importantes
son para α un entero o medio entero. Aunque α y -α producen la misma ecuación diferencial para α real, es convencional definir diferentes funciones de Bessel para estos dos valores de tal manera que las funciones de Bessel
sean en su mayoría funciones suaves de α. Las funciones de Bessel también se conocen como funciones cilíndricas o armónicas cilíndricas porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.
Aplicaciones de las funciones de Bessel. La ecuación de Bessel surge cuando se encuentran soluciones separables a la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas. Las funciones de Bessel son, por lo tanto, especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al
Ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica ● Conducción de calor en un objeto cilíndrico ● Modos de vibración de una fina membrana artificial circular (o anular) (tal como un tambor u otro membranófono) ● Problemas de difusión en un enrejado ● Soluciones a la ecuación radial de Schrödinger (en coordenadas esféricas y cilíndricas) para una partícula libre ● Resolución de patrones de radiación acústica ● Fricción dependiente de la frecuencia en tuberías circulares Las funciones de Bessel también aparecen en otros problemas, tales como procesamiento de señal (por ejemplo, véase síntesis FM, ventana Kaiser o filtro Bessel).
Definiciones Debido a que se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes. Dependiendo de las circunstancias, sin embargo, son convenientes varias formulaciones de estas soluciones. A continuación se describen diferentes variaciones.
Funciones de Bessel del primer tipo: Jα Las funciones de Bessel del primer tipo, denotadas
como Jα (x), son soluciones de la ecuación diferencial de Bessel que son finitas en el origen (x
= 0) para el α entero o positivo, y divergen cuando x se aproxima a cero para el no- entero α negativo. Es posible definir la función por su expansión de la serie de Taylor alrededor de x = 0: (2)
Donde Γ (z) es la función gamma, una generalización desplazada de la función factorial a
valores no enteros. La función de Bessel del primer
tipo es una función entera si α es un entero. Las
gráficas de las funciones de Bessel se parecen más o menos a las funciones oscilantes de seno o coseno que se descomponen proporcionalmente a 1 / √x (véanse también sus formas as intóticas a continuación), aunque sus raíces no son periódicas, excepto asintóticamente para x grande. (La serie de Taylor indica que -J1 (x) es la derivada de J0 (x), similar a -sin (x) es la derivada de cos (x), más generalmente la derivada de Jn (x) puede ser expresada en Términos de Jn ± 1 (x) por las identidades a continuación.)
comprendida dentro de un ancho de banda (alrededor de la frecuencia portadora) de: (4) donde:
●
Δf es la desviación máxima de la frecuencia instantánea f(t) (que es un efecto de modular en frecuencia, al igual que en Amplitud Modulada (AM) se define el índice de modulación respecto a la amplitud) respecto a la portadora fc (asumiendo que xm(t) está normalizada en el rango ±1), y fm es el ancho de banda de la señal moduladora (que se define "en banda base" y es el mismo para la señal modulada).
Para el no entero α, las funciones Jα (x) y J -α (x) son linealmente independientes, y por lo tanto son las dos soluciones de la ecuación diferencial. Por otra parte, para el o rden entero α, la relación siguiente es válida (observe que la función Gamma tiene polos simples en cada uno de los enteros no positivos): (3) Esto significa que las dos soluciones ya no son linealmente independientes. En este caso, la segunda solución linealmente independiente se encuentra entonces que es la función de Bessel del segundo tipo.
●
La regla de Carson se origina a partir de un artículo de 1922 del teórico y pionero de los sistemas de comunicaciones estadounidense John Renshaw Carson (1886 – 1940).
Regla de Carson en función del índice de modulación. También se puede definir mediante la siguiente igualdad: (5) donde:
●
es el ancho de banda de la señal moduladora (si esta es un tono puro será su misma frecuencia) y
●
Imagen de la función de Bessel del primer tipo, Jα (x), para órdenes enteras α = 0, 1, 2.
es
el
índice
de
modulación.
Cuando se tiene que {\displaystyle 2
[1]
Índices Para
de señales
moduladas
modulación en
fase
(PM):
2.2 Método de Carso. La regla de Carson es el nombre común que se le da a una regla general conocida en telecomunicaciones referente al ancho de banda, y que establece que aproximadamente toda la potencia (~98%) de una señal consistente en una portadora senoidal modulada en frecuencia está
(7) donde: es
la
sensibilidad
del
modulador
y
es la señal moduladora. Para señales moduladas en frecuencia (FM):
(8)
donde: es
la
sensibilidad
del
modulador
y
es el ancho de banda de la señal moduladora. [2].
5. CONCLUSIONES ●
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La regla de Carson es otra forma de determinar el ancho de banda de una señal de FM, esta regla sólo reconoce la potencia de las bandas laterales más significativas con amplitudes mayores del 2% de la portadora. La regla de Carson dará siempre un ancho de banda menor que el calculado con la fórmula BW = 2fmN. Sin embargo, se ha comprobado que si un circuito o sistema tiene el año de banda calculado por la regla de Carson, las bandas laterales en realidad pasarán para asegurar la inteligibilidad de la señal. Si se so0nmoce el índice de modulación, se puede determinar el número de bandas laterales significativas y la amplitud de los coeficientes de las bandas laterales determinados por las funciones de bessel y la ecuación básica de un señal de FM. El ancho de banda de una regla de FM puede calcularse mediante el índice de modulación y las funciones de Bessel o por la regla de Carson.
6. REFERENCIAS [1] The free dictionary. Bessel function. http://encyclopedia.thefreedictionary.com/Besse l+function
[2] Wikipedia. Regla de Carson. https://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Carson
