Ecuacion de Bessel y Sus Aplicaciones

APLICACIONES EN LA INGENIERÍA PRIMER PROBLEMA

Un cilindro macizo está limitado por las superficies r = a, z = O Y z Y z = b .Se desea determinar la distribución de temperaturas temperaturas estacionarias en el cilindro, si u = las dos primeras primeras superficies y u = f(1') en z = b. En este caso, el problema de contorno a resolver es el siguiente

Suponiendo

se tiene

!ue

"uego

#l igual !ue el e$emplo anterior an terior

%onde

son ra&ces positivas de la ecuación .Se obtiene las soluciones particulares

De esta manera la función:

es la solución del problema de contorno, supuesto !ue las ', sean tales !ue se satisfaga la condición u( r, b) = f (r), esto es.

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De donde se deduce

#s& finalmente

(  a ) = O. %onde la suma es tomada sobre todas las ra&ces positivas de J O A

SEGUNDO PROBLEMA

'onsiderar un p(ndulo simple, con la siguiente caracter&stica su longitud ) a*ora crece co n velocidad constante. Encontrar la ecuación de movimiento y la solución para osciladores  pe!ue+as.

Entonces "a ecuación "agrangiana de movimiento para la variable

es

or consiguiente

Sea l la longitud de la cuerda, en el tiempo t  l = l-  vt, donde v es la constante de crecimiento, entonces l = v ara el caso de oscilaciones pe!ue+as sen puede sustituirse por , por tanto

Sea

Entonces

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Entonces

Esta /ltima ecuación tiene la forma de la ecuación diferencial general con soluciones 0unciones de 1essel. or tanto

or ende

ara simplificar la notación ponga Entonces por lo visto anteriormente se tiene

Usando la propiedad diferencial !ue se demostró se encuentra

"as constantes # y 1 se encuentran a partir de las condiciones iniciales2 por e$emplo, cuando se estudió el p(ndulo simple clásico con oscilaciones pe!ue+as se puso

Y se vio !ue la solución general es

En el problema ba$o discusión se puede tomar estas mismas condiciones iniciales

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Entonces para t=-

or la propiedad recursiva

Se puede probar !ue

#*ora use las relaciones de la recursión

ara obtener

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or consiguiente

Entonces la solución general es

Esta ecuación puede simplificarse si se a$ustan

En muc*os problemas de la 0&sica !ue dan lugar a ecuaciones diferenciales en derivadas  parciales, de "aplace o de ondas en coordenadas cil&ndricas, aparece una ecuación diferencial ordinaria en la coordenada radial, de la forma

 %onde la variable 3 es proporcional a la coordenada radial y n es un entero. "a ecuación 4)5 se conoce como ecuación de 1essel de orden n. 'omo es una ecuación diferencial de segundo orden en las derivadas, su solución general está formada por dos funciones linealmente independientes, !ue podemos escribir como

%onde 6 n se llama función de 1essel de primera especie y de orden n, y la función se llama función de 1essel de segunda especie y de orden n 4o función de 7eumann o función de 8eber5.

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