I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
ÁLGEBRA a) 2100 d) 250
1
I. TEORIA DE EXPONENTES 1. DEFINICIÓN: Es un conjunto de fórmulas que relacionan a los exponentes de las expresiones algebraicas de un sólo término, cuando entre éstas expresiones algebraicas se realizan operaciones de multiplicación, división, potenciación y radicación, en un número limitado de veces.
2. LEYES: LEYES DE EXPONENTES
1 1 2 − 1 −3 1 −3 1 2 − + 3 64 4
E=
[
3 3 E = 3 − 64 +
E=
x
4 8 E = (5 ) Solución: 2 2x 5
10.
2
Solución:
6).- Efectúa:
2 x +1
−5
)
2
3 x +2
− 52
−1
−1 1 + 5 + − 13 c) 40 d) –19 e) 15
7).- Efectúa: 1 − 1 2
−1
E
2 x +1 + 3x + 2
1 − 2
=
3
1 2
a) 4
m +1
+ 3.2
m −2
+ 3. 2
( (2
m +2
2 m −3
2
a) 1
m −3
− 4. 2
+
−2
)
22
+ 3 .2 − 2
)=
b) 171
c) 189
d) 49
=
2 m −2
m +1−m +2 = −2 = -23
E =9
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 01
1 1 2
1 2 1 − 3− − 1 1 4 − + 64 4
1).- Halla : E = (-2)2+(-3)3-(-5)2 a) 40 b) –48 c) 16 d) 140
a)12
R =9 a) 3 d) 243
2
−1
c) 2x
d) 0
e) 4x
+8
b) 7
3
−1
+ 625
c) 11
4
−1
+ (1/ 4)
d) 4
−1 −2
n 4x
x 81 b) 9 e) 729
271−n c) 81
b) 2 e) 5
a) 5 b) 25 13).- Simplifica:
E = 5164 c) 20 d) 125
e) 1
c) 3
17).- Simplifica:
8 −2 / 3 − ( −8) 2 / 3 23 ÷ 8 2 / 3
a) 1 d) ½ 18).- Reduce:
b) 2 e) ¼
c) 3
120
3
5
x 0,5
b) x-1 e) 2x
c) x2
19).- Calcula: 19 16 13 M = 35 30.40 5 .2718 30 .45 .14
a) 2/5 d) 7/3
-50
7
a) 1 d) 4
e) 8
12).- Efectúa:
E=250+250
1-
3 a + 2 + 3 a (3 3 ) 3 a+1 + 3 a+ 2
a) x d) 1/x
e) 1
2).- Halla : E = (-5)90+(-3)87-590+387 a) 0 b) 1 c) 591 d) 4 e) –1 3).- Halla:
b) x
11).- Halla:
− 2 m +1
x
15).- Reduce:
e) 50
10). - Halla: E = 641/6 + 2431/5 + 6251/4 + 491/2 a) 5 b) 11 c) 17 d) 46 e)19
. −3
e)5
16).- Simplifica:
9) Halla: E = 121 + 3 125 + 4 16 + 5 243 a) 12 b) 3 c) 21 d) 19 e) 41
2 m −3 . 6 x
−2
3 +
x 2 4 x3
2n-1
X + 4 X + 9 X + 16 X −2 25 X
− 5. 2
d)25
e indica el exponente final de “x” : a) 2 b) 24 c) 23/15 d) 21/24 e) 23/24
3
2 5 x +3
2 m +1 2 2 +3 −5.2 m +1
3
8).- Efectúa:
Solución:
2
PROBLEMAS RESUELTOS
2
c) 1
14).- Reduce:
e) 4
−3
(5n −1 ).5
a)126 b)125
E=
m −1
1.-Reduce: E
25 x + 3
m +3
p m n m. n. p ( x) =x
− 1 1 − 1 3 = 3
− (5
2 x + 3x + 3
2
x =n ny y 8. m.n.p
E=(-53)8+(-58)3 c) 0 d) 3
3.- Simplifica:
n
x =
5).- Efectúa: a) 1 b) 2
1 E = − 11 a) 1 b) –17
5n + 3 + 5n
M=
E=(23)2-(32)3+(52)2 c) 1 d) 4 e) 5
3x +3 3 x +2 2 2 2 x +1 2 − 5
E= 5 E=0
nx
m n p
x +1
c) 4100
4).- Efectúa: a) 80 b) –40
−2
2 E= 5
x y = ;( x, y ≠0) y x n n n 7. x • y = xy
9.
1 2
2.- Resuelve :
6. −n
]
+2
]
E = 25 E=5
E=
1. xm • xn = xm+n xm = xm − n; ( x ≠ 0) n 2. x 3. (xm)n = xm•n 4. (x•y)n = xn•yn n xn x y = n ; y ≠ 0 y 5.
[ 27 −4
4
1 2
b) 450 e) 251
b) 3/2 e) 5/3
20).- Efectúa:
15 6 . 12 4 . 5 9 . 6 3 10 11 . 313 . − 5 4 3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
c) 2/7
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) ½
29).- Resuelve: m m m
a) 1024 d) 64
22).- Efectúa: a) 16 d) 15
- 70
1/2
x3
c) 2
b) x c) x e) N.A.
15/16
a) 1/5 d) 3
E =
-70
a) 18
+ − 1 5
c) 2
a) 2
b) 50
−2
c) 48
2
P =x
e) 0
a) 1
b) 0
2
c) 256
d) 508
e) 8 a) 7/2
[(2 ) ]
5 3 4
c) 4
d) 4x
e) x
28).- Calcula: −1
−1
2 2 3 R = 9 + 36 − 1 + 125 42
a) 4
b) 9
c) 7
b) 3
3
a) 12
e) 5
d) 1
−1
R=
4
a) 2
b) 16
3 2
5
3 82 .
a) 1
e) ½
2
d) 48
a) 2
b) 16
e) 64
8
c) 32
d) 48
38)a
39)b
Son expresiones algebraicas racionales enteras de dos o más términos. Es decir , la variable está afectada de exponentes enteros y positivos.
a 2 .3 a.4 a 2 c)7/5
Ejemplo : x4 – 2x2 + 3 ; x5 – 3x4 +
b) 5
e) N:A.
37).- Reduce:
8
5 x2 + ½
x −2
1 1 3 + + + 3 2 5 −1
c) 16
−3
d) 6
0
e) 2
2 +2 n−3 2 + 2 n −2 c) 18
0,5
1.1. NOTACIÓN P(x, y) = 3abx5y6 3ab → coeficiente (constantes) x; y → variables •
n+ 2
d) 40
e) 32
CLAVES DE RESPUESTAS
36).- Reduce: M =0.5 2
e) 6
b) 4
P=
32 3
c) 32
37)d
II. POLINOMIOS
a. a 3 .3 a
n +3
x6. x6
d) 9/2
36)c
1. DEFINICIÓN
40).- Halla el valor de :
x
c) 7/3
35)e
40)e
5
b)3/2 e)3/8
1 W = 2
35).- Efectúa:
( 229 ) 2
b) 0
x.
11 24
39).- Reduce:
c) 7
b) 17/8 c) 13/4 e) 15/8
P =x2
27).- Simplifica:
a) 1
a)–5/72 d)–5/9
34).- Simplifica y calcula el exponente de “x” en:
R = ( 23 ) + 23 − ( − 23 ) + ( − 2 2 ) 2
x.
3 4
x
M = x 2 x 3 .4 x −4 b) 3 c) 7 d) 4
a) 15/6 d) 19/8
26).- Calcula: 2
x.
c)
34)a
e) N:A
Q=
e) 11
b) 25/12 e) 17
41 2 2
4
38).- Simplifica y calcula el exponente de “a” en:
33).- Simplifica y calcula el exponente de “x” en:
+ ( − 5 ) + 23 d) 12
x 4.
b)
1 d) 2 4 2
32).- Simplifica y calcula el exponente de “x” en:
25).- Calcula: −3
d) 9
3
x 2.
a) 23/2 d) 13/20
b) 5 e) 8
S = − 1 2
b) 25/12 c) 7
5
24).- Efectúa:
125
c) 2
31).- Simplifica y calcula el exponente de “x” en:
x x3
-2 9- 4
b) 1 e) 128
3 24
Q = a 3 .3 a 2 . a 3
a) 23
2/3
a) x d) x3/4
a)
30).- Simplifica y calcula el exponente de “a” en:
2
23).- Simplifica: 4
R = 2. 2 . 4
m
S = 2 34m− 78 716 2 2 m− 3
21).- Efectúa: 25½ + 360,5 + 16¼ + 810,25 a) 8 b) 1 c) 2 d) 16 e) 61
256 2 b) 8 e) 12
ÁLGEBRA
1) b
2) a
3) e
4) b
5) c
6) b
7) b
8) d
9) c
10)c
11)a
12)b
13)a
14)e
15)d
16)c
17)d
18)c
19)d
20)a
21)d
22)a
23)c
24)b
25)b
26)d
27)c
28)c
29)a
30)b
31)d
32)b
33)e
Las variables se encierran entre paréntesis, así : P(x) P(x, y) P(x, y, z)
2. GRADO Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras, relacionadas con los exponentes de sus variables. Hay de dos tipos: - Grado Relativo. -Grado Absoluto. 2.1. GRADO DE UN MONOMIO Es siempre una cantidad positiva y son de dos clases :
entera
a) Grado Absoluto: Se obtienen sumando los exponentes de sus variables. b) Grado Relativo: Es el exponente de una variable.
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 2.2. GRADO DE UN POLINOMIO: a) Grado Absoluto: Está dado por el término de mayor grado absoluto. b) Grado Relativo: Es el mayor exponente de una variable.
3. POLINOMIOS ESPECIALES Polinomio Homogéneo: Todos sus términos tienen el mismo grado absoluto, cuyo grado se llama grado de homogeneidad. Ejemplo : P(x; y) = 6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2 ∴ El polinomio P(x; y) es homogéneo de grado 8°. Polinomio Ordenado: Los exponentes de una de sus variables están aumentando o disminuyendo (variable ordenatriz) Ejemplo : P(x; y) = x4y3 + 2x2y5 – 3xy8 a) Es ordenado respecto a la variable “x” en forma descendente. b) Es ordenado respecto a la variable “y” en forma ascendente. Polinomio Completo: Si figuran todos los exponentes de una de sus variables, desde un valor máximo (mayor exponente) hasta cero (término independiente). # Términos = Grado + 1 Ejemplo : P(x; y) = x3 + 4x2y– 3xy2 + 5 * El polinomio es completo respecto a la variable “x”. Polinomio Idéntico: Los coeficientes de semejantes son iguales. Ejemplo :
sus
términos
ÁLGEBRA ax2 + bx + c ≡ mx2 + nx + p
MULTIPLICACIÓN: Se Multiplican todos los términos multiplicando por cada uno de términos del multiplicador, teniendo cuenta la ley de signos y se reducen términos semejantes.
Identidad Debe cumplirse que : a=m ; b=n
;
c=p
Polinomio idénticamente nulo Todos sus coeficientes son iguales a cero.
del los en los
PROBLEMAS RESUELTOS 1).- Determina el grado relativo a “x” en “P”, si el grado absoluto de Q es 6.
Ejemplo :
P(x) =xm-4 – mxm-3 – xm-2 + 1 Q(x) = 4xm + mxm+2 – 9xm+1 Solución : m+2=6m=4 Ahora : m-2 = 4-2 = 2
ax2 + bx + c = 0 Debe cumplirse que : a=0 ;
4).- Dado el polinomio completo y ordenado.
b=0 ;
c=0
2).-Se sabe que el polinomio : P(x) = 4x3 + 3x2 + mx+x - n+5; es tal que : P(1) = 15y P(0) = 2. Halla P(-2) Solución : P(1) = 4(1)3 + 3(1)2 + m+1-n+5 = 15 4+3 + m+1-n+5=15 m-n = 2 P(0) =4(0)3 + 3(0)2 + m(0) + 0 – n+5 = 2 n=3 m-3=2 m= 5 P(x) = 4x3 + 3x2 + 6x + 2 P(-2) = 4(-2)3 + 3(-2)2 + 6(-2) + 2 P(-2) = -32 + 12 – 12 + 2
4. VALOR NUMÉRICO: Es el resultado que se obtiene luego de reemplazar el valor asignado a las variables y realizar las operaciones indicadas. VALORES NUMERICOS NOTABLES Si P(x) es un polinomio, se cumple: P(0) = término independiente P(1) = Suma de coeficientes Polinomio constante P(x) = m (m≠0) Su grado es cero.
P(-2) = -30
5. OPERACIONES:
3).- Sabiendo que : P(x) = x2 + ax + bx + ab Halla :
ADICIÓN: Se escriben las expresiones algebraicas unas a continuación de otras con sus propios signos y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.
P(a ).P(b ).P(0 )
Solución : P(a) = 2a(a+b) P(b) = 2b(a+b) P(0) = ab
SUSTRACCIÓN: Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y luego se reducen los términos semejantes, si los hay.
4a2b2(a+b)2
4a 2 b 2 (a +b ) 2 = 2ab(a +b )
9
P( x ) = 2x
2 p p+ 1
+ ..... + x8m + 25 + x
2 m − 3n − 4m
Cuyo número de términos es (n + 1) Determina : E =
n +p . Siendo m
P∈R. Solución: 8m + 25 = 1 m = -3 (-3)2 – 3n – 4 (-3) = 0 n=7 P2 + P + 1 = n = 7 P = -3 P=2 Luego :
n+p 7 +2 = = −3 m −3 7 −3 4 E= =− −3 3
E=
5).- Que valor debe asignarse a “n” en la expresión:
(xn+2+xn+1yn+yn+1)n de modo que su grado absoluto excede en 9 al grado relativo de “y”. Solución: GA = GR(y) + 9 (2n + 1)n = (n+1) n+9 2n2 + n = n2 + n + 9 2n2 – n2 = 9 n2 = 9 n=±3
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 02 1).-Determina “m”, si el grado de la expresión: x4ym + x5ym+1 + xym + mxmy5 es igual a 8. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2).- Determina el grado relativo a “y” si el grado respecto de “x” en : xn-3 y4 + 2xn – 1yn+3 + xyn es 9 a) 4 b) 9 c) 10 d) 13 e) 14
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” 3).- Determina mn, si se sabe que el polinomio: P(x) = xm-3 + mxn-4 + nxm-5 , m es completo y ordenado. a) 16 b) 20 c) 24 d) 36 e) 25 4).- Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado : P(x)=xn+4 + . . .+ xa-1 + xa-2 + xa-3 Calcula : “a + n” a) 3 b) 9 c) –4 5).- Sea el monomio:
a2
d) 16
M( x; y ) = 2 + 14 x a −6
a+2 a+3
e) 12
.y
a+ 4 a+ 5
Donde G.A.(M)=2 . Halla el coeficiente de dicho monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) –1/3 e) 5/4 23).- Dado el monomio:
(
3 M( x; y ) = (x 3 y 2 ) x 2 y
)
2
2
xy 2
Halla su grado absoluto: a) 48 b) 98 c) 78 d) 58
e) 68
ÁLGEBRA M(x; y; z) =16xa+1.ya+2.za+3
c)1,5
d)1,6
Si: G.A. de M=600. Halla : “m+n+p” a) 100 b) 200 c) 300 d) 400 e) 500 a+4
b a−4 M( x;y) = .y a x
9).- Sea el monomio:
a+b M( x; y) = a−6 x
a+ b
.y
a− b
Si: GR(x)=6 ∧ GR(y)=2 Halla el coeficiente del monomio. a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
5) c
6) c
7) a
8) c
9) c
10)a
11)c
12)d
13)d
14)d
15)b
para qué valor de “n”; M(x) es constante. a) 4 b) 0,5 c) 10 d) 1,3 e) 14
16)c
17)b
18)a
19)b
20)d
21)a
20).- En el monomio:
22)c
23)c
a) -2
E= b) 1
e) 14
3
a m+n b n + 6 2
Es de segundo grado respecto de “a” y de séptimo grado absoluto. a) 4 b) 9 c) 5 d) 13 e) 6 e) 2
22).- Si el monomio:
x x m−2 d) -1
3
e) 2
d) -4
x m+2
es de tercer grado, entonces el valor de “m” es : a) 12 b) 15 c) 22 d) 20 e) 25
P( −2) + P( −1) P( 4) − P( 3 ) c) 4
b) 9
G.A. = 83 y G.R.(y) = 20 Halla: a + b c) 10 d) 8
M(a, b) =
16).- Si: P(x)= x2 – 3x + 1 Calcula:
x 2n−3 .3 x 2n−1 x 2n−5
a 3 b1−n
es de 4to grado. Halla “n” : a) 6 b) –4 c) 4 d) 3 15).-Calcula: P(P(0)) Si: P(x)= x2 – x + 1 a) -2 b) 1 c) 0
e)-x/2
21).-Determina ( m- n), si el monomio:
( x n −2 ) 3 x n + 4 ( x 2 )n
a+b a
Si: GR(x)=3 ∧ GA=7 Halla el coeficiente del monomio. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
4) e
a) 4
14).- Si :
8).- Sea el monomio:
3) e
Se cumple que:
19 y el grado relativo de “y” es 7, calcula “m” a) 9 b) 12 c) 10 d) 11 e) 1
23).- Halla el valor de “n” en el monomio:
e) 2
10).- Sea el monomio:
10
x n−1
Sabiendo que es de primer grado. a) 1/9 b) 2/9 c) 9/2 d) 4/9 e) 9/5
M( x, y ) = x 3( 2a+3b ) .y 4( 5a−2b )
p 2x 3m +n+p .y m +3n+2p .z 2m+2n +3es
6
2) d
m( x ) = 4
x1+m y 2 +m x1−2n y 2 +3n
x n−2 . x n−3
CLAVES DE RESPUESTAS
19).- Dado el monomio:
e)2
3
1) b
13).- Si el grado absoluto de :
M( x; y ) =
c) 11/120
18).- Si : P(x) = Determina : P(P(x)) a) x b) 2x c)–x d)x/2
P(1) + P( −1) E = P(0) b)1,4
M( x ) =
2x + 1 x−2
12).- Dado el polinomio : P(x) = 2x2(1 + x4) – 3x6 – 5 Calcula :
a)1,3
3 x3 + 1 5 3
Calcular P(-1/2) a) 17/120 b) 91/120 d) 97/12 e) 1/120
11).- Si los términos : t1(x; y) = bx3ya+1 t2(x; y) = (a + b)xb+2y4 t3(x; y) = axa yb+3 Son semejantes , calcula su suma: a) 4x3y4 b) 6x3y4 c) 8x3y4 d) 5x3y4 e) 9x3y4
7).- Sea el monomio:
M( x; y; z ) =
17).- Si P(x) = 2x2 +
Si: G.A.=18 Calcula: T =GR(x).GR(y).GR(z) a) 210 b) 211 c) 212 d) 213 e) 214
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS”
ÁLGEBRA
11
3º SECUNDARIA – I PERIODO - 2008
