ÁLGEBRA
1
El libro de ÁLGEBRA 1, para el primer año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 1 y ha sido elaborado por el Departamento Académico Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
Título de la obra:
Álgebra 1
Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:
Elvis Valerio Solari
Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo:
Victor Francisco Bautista
Fotografía:
Yuri Hernández Hernánde z Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web
Primera edición: Tiraje:
Setiembre 2015 5000 ejemplares ejemplare s
Editado por: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail:
[email protected] Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43 Impreso en Octubre 2015 Teléfono: (01) 362-0606 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de GENIOMÁTIC Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-13908 ISBN: 978-612-47047-2-7
ÁLGEBRA
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El libro de ÁLGEBRA 1, para el primer año de educación secundaria, se complementa con el CUADERNO DE TRABAJO ÁLGEBRA 1 y ha sido elaborado por el Departamento Académico Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
Título de la obra:
Álgebra 1
Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria Director Académico: Hernán Hernández Bautista Editores Responsables: Responsables: Hernán Hernández Bautista Elvis Valerio Solari Asesor Académico:
Elvis Valerio Solari
Diseño y Diagramación: Eduardo Tomas Tomas Granados Marcelo Norma Guadalupe Guerrero Noel Marco Antonio Lizárraga Podestá Corrección de Estilo:
Victor Francisco Bautista
Fotografía:
Yuri Hernández Hernánde z Oblea Hernán Hernández Bautista Páginas web
Primera edición: Tiraje:
Setiembre 2015 5000 ejemplares ejemplare s
Editado por: Editorial Ingenio & YHO S.A.C. Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima Telefax: (511) 426-4853 www.editorialingenio.pe E-mail:
[email protected] Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A. Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43 Impreso en Octubre 2015 Teléfono: (01) 362-0606 Copyright © 2015 Geniomátic E.I.R.L. Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de GENIOMÁTIC Número de Proyecto Editorial: 31501001501087 Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-13908 ISBN: 978-612-47047-2-7
PRESENTACIÓN AL MAESTRO: El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia. El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una formación científica, humanística humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar Profundizar los aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en permanente cambio. Formar Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, democrática, el ejercicio de la ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos Tenemos en cuenta las características, características, las necesidades y los derechos de los púberes y adolescentes“. La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que aligere el trabajo con sus estudiantes.
AL ESTUDIANTE: ¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil de comprender. comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en 50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario, debo bajar la velocidad. Los conocimientos matemáticos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, cuantificación, como calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc. Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar, verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquietudes y trabajar en equipo. En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán sobre el tema principal. Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, practicar, reforzar y profundizar tus conocimientos.
1
3
ESTRUCTURA DEL TEXTO Sección inicial de la unidad Número de la unidad Título de la unidad Imagen secundaria Imagen que muestra un detalle relacionado con el tema de la lectura. Aprendizajes esperados y actitudes Contiene el listado de las capacidades que desarrollarás en la unidad.
Imagen motivadora Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje.
Lectura motivadora Explica la relación entre la Matemática y una situación objetiva. Además, formula preguntas que propician el análisis y la reexión sobre el tema.
Sección central Número de capítulo Título del capítulo Recuperación de saberes previos Plantea situaciones que te servirán de base para iniciar el tema nuevo. Es algo que conoces o has tratado en los capítulos anteriores.
Formalización Continúa las deniciones y conceptos de los términos matemáticos.
Actividad Es un conjunto de preguntas sobre análisis, reexión, de valoración, demostración, cálculo, búsqueda de relaciones, para que desarrolles, individual o colectivamente, con apoyo de tu profesor o tus compañeros.
4
1
Generación del conficto cognitivo Es una pregunta que tendrás que responder con el desarrollo o al terminar el capítulo. Información complementaria Lecturas, notas, observación, historias, recursos tecnológicos, que contribuyen a reforzar y recrear el tema. Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.
Problemas Plantea una aplicación desarrollada del tema.
ÍNDICE SECCIÓN INICIAL
01
NÚMEROS ENTEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS 6
02
POLINOMIOS OPERACIONES 25
03
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS 39
04
SISTEMA DE ECUACIONES
Y FUNCIONES
SECCIÓN CENTRAL
ACTIVIDAD
Capítulo 01: Operaciones en Z I Adición y sustracción de enteros
7
Actividad 01
9
Capítulo 02: Operaciones en Z II Multiplicación y división de enteros Potenciación y radicación de enteros
10
Actividad 02
12
Capítulo 03: Operaciones en Q I Números racionales Adición y sustracción de números racionales
13
Actividad 03
15
Capítulo 04: Operaciones en Q II Multiplicación y división de números racionales Potenciación y radicación de números racionales
16
Actividad 04
18
Capítulo 05: Expresiones algebraicas Expresión algebraica Terminos semejantes
19
Actividad 05
21
Capítulo 06: Polinomios I Polinomios Grados de un polinomio
22
Actividad 06
24
Capítulo 07: Polinomios II Multiplicación de polinomios
26
Actividad 07
27
Capítulo 08: Productos notables I Cuadrado de un binomio Identidades de Legendre
28
Actividad 08
30
Capítulo 09: Productos notables II Producto de dos binomios con término común
31
Actividad 09
32
Capítulo 10: División algebraica I División de monomios
33
Actividad 10
34
Capítulo 11: División algebraica II División de polinomio entre monomio
35
Actividad 11
36
Capítulo 12: División algebraica III División clásica entre polinomios
37
Actividad 12
38
Capítulo 13: Factorización I Conteo de factores
40
Actividad 13
41
Capítulo 14: Factorización II Criterio del factor común
42
Actividad 14
44
Capítulo 15: Factorización III Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados Factorización por aspa simple
45
Actividad 15
47
Capítulo 16: Ecuaciones I Ecuaciones de primer grado
48
Actividad 16
50
Capítulo 17: Ecuaciones II Clasicación de las ecuaciones de primer grado
51
Actividad 17
52
Capítulo 18: Ecuaciones III Solución de ecuaciones de primer grado
53
Actividad 18
55
Capítulo 19: Sistema de ecuaciones I Sistema de ecuaciones lineales
57
Actividad 19
58
Capítulo 20: Sistema de ecuaciones II Métodos de solución de sistemas de ecuaciones
59
Actividad 20
62
Capítulo 21: Inecuaciones Inecuaciones lineales.
63
Actividad 21
64
Capítulo 22: Funciones I Función lineal de variable real
65
Actividad 22
67
Capítulo 23: Funciones II Gráco de funciones
68
Actividad 23
69
Capítulo 24: Funciones III Dominio y rango de una función lineal.
70
Actividad 24
72
56
1
5
Unidad
01
NÚMEROS ENTEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS CARRETERA INTEROCEÁNICA DEL SUR TRAMO 3
TRAMO 2
TRAMO 4 TRAMO 1
Luego de permanecer 30 años en la agenda bilateral Perú-Brasil, en el 2005 se inició la construcción de la Carretera Interoceánica Sur, de 2600 km de longitud que une Perú con Brasil, con un costo mayor a los 2800 millones de dólares, y concluyó en el 2010. Las operaciones comerciales requieren del transporte de mercaderías y para ello las carreteras son muy importantes. - ¿Cuál será el impacto de esta carretera en el futuro?
TRAMO 5
- ¿Cuáles son las otras carreteras interoceánicas? www.mtc.gob.pe
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
Comunica y representa
Interpreta el uso de los números enteros y los números racionales. Ordena números enteros.
•
Usa el valor numérico de una expresión algebraica. 6
•
1
•
Representa números enteros en una recta numérica. Representa situaciones en forma de expresiones algebraicas. Utiliza el grado de un polinomio.
Elabora y usa estrategias •
•
Resuelve problemas de diferentes contextos que implican el uso de los números enteros y los números racionales. Emplea diversas estrategias para hallar el valor numérico y el grado de un polinomio.
Razona y argumenta •
•
•
Explica la importancia de los números enteros y los números racionales.
Justifica el uso de las expresiones algebraicas. Propone estrategias para calcular el valor numérico.
01
O L U T Í P A C
OPERACIONES EN Z I ¿Qué es el opuesto de un número? Si el submarino se moviera 50 metros verticalmente, ¿a qué nivel llegaría?
250 200 150 100 50
Nota
0 -50 -100
1. Si el venado baja 100 metros, ¿en qué cota se encuentra?
-150
-200 -250
Respondo:
La supercie del agua de la gura marca el nivel cero.
Ubicación: + 200
Si un objeto ubicado en el nivel cero realiza un movimiento vertical de 50 metros, ¿en qué nivel queda ubicado?
Baja:
Un movimiento vertical puede ser hacia arriba o hacia abajo. Si es hacia arriba el objeto queda a 50 metros sobre el nivel del mar (m s. n. m.) y si es hacia abajo, a 50 metros bajo el nivel del mar (m b. n. m.).
+3 +2
En Matemática, el movimiento vertical hacia arriba (a partir del cero) lo representamos por +50 y hacia abajo, por –50. Los números +50 y –50 son opuestos.
Hacia arriba
∴
– 100
Se encuentra en la cota 100.
2. Para que el tiburón se ubi que en la cota –50, ¿cuántos metros de altura debe subir?
+1 0 Nivel cero
Respondo:
–1 –2
Nueva ubicación: –50
Hacia abajo
Ubicación: – 150 –50 – (–150) = –50 + 150 = 100
–3
El –20 es opuesto de +20, el +375 es opuesto de –375.
∴
Los números naturales, a excepción del cero, se llaman números enteros positivos, cuyos respectivos opuestos que llaman enteros negativos. Los números naturales y los enteros negativos forman el conjunto de los enteros, designado por Z.
Debe subir 100 m.
3. ¿Qué desnivel hay entre el venado y el tiburón? Respondo:
Venado:
200
Tiburón: – 150 Desnivel:
REPRESENTACIÓN DE ENTEROS EN LA RECTA NUMÉRICA
200 – (–150) = 350
En una recta elegimos un punto al que asignamos el cero. A este punto denominamos origen. Del origen hacia la derecha ubicamos puntos equidistantes y les asignamos los enteros positivos y, análogamente, hacia la izquierda, y les asignamos los enteros negativos.
∴
Hay 350 m de desnivel.
Una representación así se llama, recta numérica de los enteros. Enteros negativos (Z–)
–4
–3
–2
Origen
Enteros positivos (Z+)
–1 0 2 1 Números enteros (Z)
3
4
1
7
I B I M E S T R E
OPERACIONES EN Z I
CAPÍTULO 01
VALOR ABSOLUTO DE UN ENTERO El valor absoluto de un entero es: • El mismo número, si es positivo. • Su opuesto, si es negativo. E Ejemplos: R T •|–7|= 7 S E M I B ADICIÓN I
•|16|= 16
Nota –4 –3 –2 –1 0 |–4|= 4
2 3 |4|= 4
1
4
El valor absoluto de un número se inter preta, grácamente, como la distancia del cero al número.
•|–18|= 18
EL SIGNO POSITIVO Cuando el signo de un núme ro es positivo, no es necesario escribirlo.
+a = a
•|300|= 300 Ejemplos:
• +40 = 40
Y SUSTRACCIÓN DE ENTEROS
Tenía S/. 20, me pa garon S/. 150 y pagué una deuda de S/. 90. ¿Cuánto me queda?
Estaba endeudada 200 soles, cobré 80 soles y me prestaron 60 soles. ¿Cuánto es mi deuda?
Para Elio:
80 Para Liz: Liz
Elio
2
Ten Presente
20 + 150 – 90 = 80 170
–200 + 80 – 60 = –180
–120 –180
La suma de dos enteros del mismo signo es igual a la suma de sus valores absolutos, manteniendo el signo común. La suma de dos enteros de signos diferentes es igual a la diferencia de sus valores absolutos y su signo corresponde al de mayor valor absoluto.
• +120 = 120
SIGNOS COLECTORES Paréntesis: ( ) Corchete: [ ] Regla de suprimir: si el signo colector está precedido por un signo negativo todos los términos salen con signo cambiado, en caso contrario, con el mismo signo.
• –(3) = –3
• (+12) = 12
• –[–10 – (–15)] = –[–10 + 15] = –5
Problema 1
Efectúa las siguientes adiciones: a) 40 – 35 + 60 – 120 + 4 Solución:
Solución:
40+ –35 + 60 –120 104 – 155 = –51 4 –155 104 Problema 2
Efectúa la siguiente adición: 15 – (30 – 15) – (–20) + [–85 – (10 – 4)] Solución:
Suprimimos los signos colectores 15 – 30 + 15 + 20 + [–85 – 10 + 4] 15 – 30 + 15 + 20 – 85 – 10 + 4 = –71
8
b) –25 + 30 – 48 + 60
1
30 + –25 + –48 60 90 – 73 = 17 –73 90
Problema 3 Si a > b > 0 > c; y | a| = 12 ; |b| = 8 y |c| = 9 halla a + b + c. Solución:
|a| = 12 → a = 12 (a > 0) |b|= 8 → b = 8 (b > 0) |c|= 9 → c = –9 (0 > c) → a + b + c = 12 + 8 +(–9) = 11
c) –15 – 10 – 13 + 40 Solución:
–15 – 10 – 13 + 40 –38 + 40 = 2
Problema 4
Resuelve: –[– (–| – 2 + | – 4||+ 3)] – (–8 – |2|) Solución:
–[–(–| – 2 + 4| + 3)] – (– 8 – 2) –[– (– |2| + 3)] + 8 + 2 –[2 – 3] + 8 + 2 = –2 + 3 + 10 = 11
CAPÍTULO 01
OPERACIONES EN Z I
Problema 5
Problema 6
Un móvil recorre 56 m a la izquierda del punto P, luego recorre 78 m a la derecha y, nalmente, 32 m a la izquierda. Expresa la posición nal del móvil respecto al punto P.
Califca como V o F, según
a) –3 > –7
(
)
b) –7 > 3
(
)
Solución:
c) El opuesto de (–5) es 5.
(
)
De acuerdo con los datos: = (–56) + 78 + (–32) = 22 + (–32) = –10
Solución:
a) –3 > –7 b) –7 > 3 c) El opuesto de (–5) es 5.
corresponda:
(V) (F) (V) Rpta: VFV
Rpta: Se encuentra 10 m a la izquierda del punto P.
Actividad 01 1
Califca V o F, según
a) +7 < + 4 ( b) +2 > –7 ( c) –3 > –8 ( 2
3
4
) ) )
corresponda. d) –5 > +2 ( e) –2 < –7 ( f) 0 > –5 (
7
Si: A = {+3 – 6 +9} – (41 – (9 – 16)) B = [–21 + (17 – 15) – 54] – {–11} halla A – B
8
Determina el valor de verdad de las siguientes armaciones:
) ) )
Calcula la suma de los siguientes números: a) Opuesto de –14. b) Opuesto de +27. c) Opuesto de –63. d) Opuesto de +74.
a) El valor absoluto de un entero positivo es él mismo numero. b) El opuesto de un número entero negativo es igual al mismo número.
Determina los siguientes valores absolutos:
a) |–17|
d) |–7|
b) |+24| c) |–74|
e) –|–13| f) |0|
c) El valor absoluto de un entero negativo es el opuesto de dicho número. 9
Si a > 0 > b > c, y |a|= 41
|b|= 13
|c| = 90,
halla a + b + c. 5
Calcula la suma de los números de la tabla:
–6 –2 +4
+7
–1
–5
+8
+2
–3
+9
–4
+1
+5
–8
+6
–9 +3
Calcula
K = [–(–8 + 5) – (7 – 3) – (–16)]
Lunes Martes
gana S/. 48 pierde S/. 53
Miércoles Jueves
gana S/. 36
Viernes
pierde S/. 32 pierde S/. 43
¿cuánto gana o pierde?
–7 10
6
Si Carlos gana S/. 52 se representa como +52 y si pierde S/. 36 se expresa como –36. Entonces si en la tabla se indica el balance de una semana:
Un móvil recorre 84 m a la izquierda del punto A, luego recorre 99 m a la derecha y, nalmente, 27 metros a la izquierda. Expresa su posición nal respecto al punto A.
1
9
I B I M E S T R E
02
O L U T Í P A C
OPERACIONES EN Z II
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE ENTEROS
E R T S E M I B I
No tenía nada. Me prestaron cinco veces 20 soles. ¿Cuánto es mi deuda?
El producto de dos enteros de signos opuestos, ¿es positivo o negativo?
Perdí 60 soles a razón de 15 soles por día. ¿En cuántos días lo perdí?
Historia RESEÑA DEL SÍMBOLO Z
Félix
Mayra
Los números enteros se han empleado, aunque con diversas notaciones, desde la antigüedad.
Una deuda de 20 soles lo pode mos representar por –20. Como son cinco veces. (–20)+(–20)+(–20)+(–20)+(–20) cinco veces cinco veces (–20) = 5×(–20) = –100
Mayra tiene una deuda de S/. 100
Una pérdida de 60 soles lo representamos por –60. La pérdida de cada día es –15. Número de días: –60÷(–15) = 4 Félix perdió 60 soles en cuatro días. REGLA DE LOS SIGNOS
Para multiplicar y dividir nú meros enteros se aplica la regla de los signos. El producto y el cociente de números de signos diferentes es negativo y el de signos iguales, positivo.
Multiplicación
(+)(+) = + (–)(–) = + (+)(–) = – (–)(+) = –
División (+)÷(+) = + (–)÷(–) = + (+)÷(–) = – (–)÷(+) = –
El nombre de enteros se justica porque representan una cantidad de unidades no divisibles, como personas, automóviles, por ejemplo. El uso del símbolo Z para designar el conjunto de los números enteros proviene del alemán Zahlen, que signica “números”. Tuvo aceptación en el siglo XVII con los trabajos de matemáticos como Tartaglia y Cardano.
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Compara los resultados y señala el mayor:
Representa en la recta numérica el resultado de las siguientes operaciones:
Halla el resultado de:
A = (–7)(–3) B = (–5)(2) C = (–4)(–2)(3)
P = (–6) + (–7)(2) – (4)(–5) Q = |(–4)÷(2) + |–9||
Solución:
Solución:
A = (–7)(–3) = 21 B = (–5)(2) = –10 C = (–4)(–2)(3) = 24 +8 Comparando resultados: –10 < 21 < 24 ← Mayor
P = –6 – 14 + 20 = 0 Q = |–2 + 9|= |7|=7
Rpta.: C
10
1
[4(–6)+(–3)(16)] ÷|–24|+[–(–3)] Solución:
[–24 + (–48)] ÷ 24 + [3] [–24 – 48] ÷ 24 + 3 –72 ÷ 24 + 3 –3 + 3 = 0
Representando en la recta numérica. Q P –1 0 1 2 3 4 5 6 7 Rpta.: 0
OPERACIONES EN Z II
CAPÍTULO 02
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE ENTEROS La multiplicación:
La expresión 3 –64 signica, "¿qué número al cubo es –64?"
(–4)(–4)(–4) = –64 Se puede expresar como: Exponente
Índice 3
(–4)(–4)(–4) = (–4)3 = –64 Tres factores Base Potencia
2
Ten Presente
TEOREMAS DE LA POTENCIACIÓN
Raíz
–64 = –4, porque (–4)3 = –64 Radicando Se lee: "raíz cúbica de –64"
Producto de bases iguales am·an = am + n
Se lee: –4 al cubo
Ejemplo:
24×25 = 24 + 5 = 29
Ejemplos:
• (2)(2)(2)(2) = (2)4 = 16
• 4 81 = 3 porque 34 = 81
• (–3)4 = (–3)(–3)(–3)(–3) = 81
• 5 –32 = –2 porque (–2)5 = –32
Cociente de bases iguales
Ejemplo:
CASOS PARTICULARES DE POTENCIACIÓN Exponente cero
(Base)0 = 1
Exponente 1
(Base) = Base 1
(Siempre que base ≠ 0) Ejemplos
• 120 = 1 • (–348)0 = 1
Ejemplos
310 = 310 – 3 = 37 33 Exponente negativo
• (–400)1 = –400
Potencia de potencia
1
(Base)negativo = (Base)positivo
• 4–1 =
(am)n = am·n Ejemplo:
Ejemplos
• 2731 = 273
am = am – n , a ≠ 0 an
((2)3)5 = 23 5 = 215 ×
1
4
1 • 5–2 = 12 = 25 5
ORDEN DE PRIORIDAD DE LAS OPERACIONES
Problema 4
Problema 5
En caso de operaciones combi nadas es necesario saber el or den en que se debe efectuarlas.
DemuestrA que A > B, si:
¿Cuántos cubitos hay en la gura adjunta.
Una forma de indicar el orden es mediante los signos colec tores:
A = [|–2|–(–4)]2 – 3(–2)3 y B = 3 – (–2)4 – 3 3 –27 Solución:
A = [2 + 4]2 –3(–8) A = 62 + 24 = 60 B = 3 – (16) –3 (–3) B = 3 – 16 + 9 = –4 Se comprueba que: 60 > –4
Solución:
( ) : paréntesis
Si estuviera completo tendría: 43 = 64 cubitos.
[ ] : corchetes { } : llaves
En la gura faltan: 23 = 8 cubitos.
En ausencia de signos colecto res se efectúa:
Por lo tanto hay: 64 – 8 = 56 cubitos.
Primero: potenciación y radicación.
A>B
∴
Rpta: 56
Segundo: multiplicación y división. Tercero:
adición y sustracción.
1
11
I B I M E S T R E
OPERACIONES EN Z II
CAPÍTULO 02
Problema 6
Problema 7
Problema 8
Calcula: 1 –2 H = (–6)0 + (–3)1 + 4
Simplifca:
En un concurso de Matemática de 40 preguntas se calica del modo siguiente: +5 puntos (respuesta correcta) –2 puntos (respuesta incorrecta)
3 4 6 6 N = 3 ×33 ×43 – 54 (3 ) 5
Solución:
1 –2
E R T S E M I B I
H = (–6)0 + (–3)1 + 4 –3 1 (4)2
Solución:
H = 1 + (–3) + (4)2 H = 1 + (–3) + 16 H = 14
13 N = 312 – 52 3
3+4+6
N=3
33×4
– 56 – 4
–1 punto (pregunta no respondida)
Si Telassim respondió bien 24 preguntas; respondió mal 10 preguntas y el resto no resolvió, ¿cuál es su puntaje?
N =313 – 12 – 25 N = 3 – 25
Solución:
N = –22
⇒
Rpta.: 14
Puntaje = 24(+5) + 10(–2) + 6(–1) = 120 + (–20) + (–6) = 94 Rpta.: 94 puntos.
Rpta.: –22
Actividad 02 Efectúa las siguientes operaciones e indica el mayor y menor de los resultados:
1
a) (–7)(+8)
d) (–2)(+3)(–5)(+6)
b) (–9)(–6)
e) (–4)(+5)(–3)(–2)
c) (+5)(–11)
Efectúa:
(–4)2 + (72 – 1) ÷ (–8) – (–6)
6
Calcula:
−1
a) (+48) ÷ (–6)
7
Simplifca:
d) 0 ÷ (–2014)
b) (–72) ÷ (–9)
e) (–3600) ÷ (–200)
c) (–64) ÷ (+8)
f) (+68) ÷ (–17)
E
8
24 23 22 ⋅
=
Calcula:
a)
3
b)
5
−64
d)
3
32
e)
5
−32 +
64
f)
−
81 +
−27 +
16
c) 4
12
7
(2 )
−
( 3 2 )2
9
Calcula: 3(−3) + 1 + 5 −32 − ( 6)2 ( −1)
1 −1
Efectúa las siguientes potencias:
a) (–4)2
d) (–3)2 (–3)3
b) (+8)3
e) (–7)5 ÷ (–7)2
c) (–7)2
f) (42)3 ÷ (22)2
1
2 3
−
2
5 3 6
( 3)2 (3)3
⋅
( −3 ) 4 ( 50 + 2)7 + ( −3 2 )3 34
Determina el resultado en cada caso y da el producto de los mismos:
3
−2
1 1 = ( −2 )0 + + 2 3
R
f) (–8)(–3)(–2)(–1)
Calcula el resultado en cada caso y da la suma:
2
5
10
En un concurso de Matemática de 20 preguntas se calica del modo siguiente: +10 puntos (respuesta correcta) –5 puntos (respuesta incorrecta) +2 puntos (pregunta no respondida) Si Raúl respondió bien 8 preguntas, respondió mal 10 preguntas y el resto no resolvió, ¿cuál es su puntaje?
03
O L U T Í P A C
OPERACIONES EN Q I NÚMEROS RACIONALES ¿Cuál es la diferencia entre fracción y número racional?
Historia SOBRE EL PI Y LAS FRACCIONES
Aquí hay dos tortas
Aquí hay ....?
Con los números enteros cuanticamos unidades completas de algún ele mento: 2 tortas, 4 personas, 5 gatos, etc. Para cuanticar unidades incompletas como una torta dividida en cuatro partes de las cuales sólo queda tres, se hace necesario extender el conjunto de los enteros. Así aparecen los números fraccionarios. Una torta se representa por uno. Cuando se divide en cuatro partes cada parte se representa por 1 ó 1/4, y 3 de las partes, por 3 ó 3/4. 4 4 Un número racional es aquel que se puede representar como la división de dos enteros. El conjunto de los números racionales se designa por Q, tal que:
Antiguamente se pensaba que el número Pi ( ) era racional y se podía representar como fracción. En esta búsqueda Tsu Chung-Chih, astrónomo chino del siglo V, halló la fracción 355/113 que dista de Pi en menos de 0,0000003. Ya en 1673, Wilhelm von Leibniz demostró que, a pesar de ser irracional, pi se puede escribir como una suma de fracciones: p
4 x
Q = /x, y
∈
Z ∧ y ≠ 0
Son números racionales: 3 ; 2 ; 15 ; 36 ; 18 ; ... 4 3 10 12 2
= 1 – 13 + 15 – 17 + ...
En 1761 Johann Heinrich Lambert demostró que pi es irracional. Referencia: Ram Murty & Kumar Murty.
3 2 15 De estos números racionales son fraccionarios ; y , en cambio, 4 3 10 36 = 3 y 18 = 9 no son fraccionarios porque son enteros. 12 2 Un número fraccionario es un número racional que se expresa como la división de dos enteros llamados numerador y denominador, ambos distintos de cero, con la condición de que el numerador no es múltiplo del denominador: Numerador o x Fracción = y ; x, y ∈ Z – {0} ∧ x ≠ y Denominador
Problema 1
Evalúa cuántos de los números x + 3, x – 2 , x + 3 y x + 6 son fracciox–3 x x+8 x–7 narios para x = 12. Solución: x + 3 = x •
•
12 + 3 = 15 (Fracción) 12 12 x – 2 = 12 – 2 = 10 (Fracción) x + 8 12 + 8 20
•
•
x + 3 12 + 3 15 = = = 3 (Entero) 12 – 7 5 x–7
Historia RESEÑA DEL SÍMBOLO Q El uso de Q es para representar el conjunto de los números racionales proviene de la pa labra Quotient, que signica “cociente” en varios idiomas europeos.
x + 6 12 + 6 18 = = = 2 (Entero) 12 – 3 9 x–3 Rpta.: 2
1
13
I B I M E S T R E
OPERACIONES EN Q I
CAPÍTULO 03
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS
2
Ten Presente 7 13
E R T S E M I B I
10 −
13
2 +
13
20 −
13
=
7 − 10 + 2 − 20 13
=
−21
13
Para sumar o restar fracciones homogéneas se operan los numeradores y se mantiene el denominador.
SOBRE LOS SIGNOS DE UNA FRACCIÓN El signo de una fracción ne gativa se puede expresar en tres formas:
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS 60÷12 13 12
3 −
7
15
+
20
=
=
60÷15
5 ⋅ 13 − 4 ⋅ 3
Para sumar o restar fracciones heterogéneas se calcula el MCM de los denominadores, se divide entre cada uno de ellos y se multiplica por su respectivo numerador. El resultado es la suma de los productos anteriores entre el MCM.
+ 3 ⋅7
60 65 − 12 + 21 60 74
=
60÷20
60
37 =
30
– 3 = –3 = 3
4
3 4
−1
1 5
+
3
7 8
3
1
=
2 −1 + 3 +
=
30 − 8 + 35 4+ 40
=
4+
57 40
=
5
4
−
5
7 +
8
17
–4
En una fracción se pueden cambiar dos signos y la frac ción no se altera. – –3 = 3 = –3 = – 3
–4 –4
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES MIXTAS 2
4
4
4
La suma de enteros es la parte entera y la suma de las fracciones propias, la parte fraccionaria. Si la parte fraccionaria resulta impropia se la con vierte en propia.
40
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Compara los resultados de: 3 1 1 1 A = 1 – 8 + – 4 – – 6 + 8 y
Evalúa la expresión: x – 1 + 1 – 3x – 2x x + 2 x – 1 2x + 4 x + 5 para x = 7
Es correcta la siguiente relación: 2 |1 – 6| 2 – – 1 – 7 > 3 – 2(3) – 3 –|–2| 3 4 5 1 –|–5|
Solución:
1 1 3 B = 2 – – – 6 + 8 – 6
| | |
Solución:
Solución:
Reemplazando x = 7:
A = 1 – 3 + – 1 + 1 + 1 8 4 6 8 A = 1 – 3 – 1 + 1 + 1 8 4 6 8
7 – 1 + 1 – 3(7) – 2(7) 7 + 2 7 – 1 14 + 4 7 + 5
| | 40 – 15 – 84 3 – 5 >| | 60 –4 1
6 + 1 – 21 – 14 9 6 18 12
–59 > 3 – 5 60 4
2 + 1 – 7 – 7 3 6 6 6
–59 > –17 60 4 59 > 17 60 4
A = 24 – 9 – 6 + 4 – 3 = 10 = 5 24 12 24 2 3 B = 2 – 14 – 3 – 6 2 3 B = 2 – 14 + 3 + 6 B = 24 – 3 + 8 + 6 = 35 12 12 35 5 12 > 12
14
B > A
2 1 7 9 – 6 |– 5| 3 – 4 – 5 > 1 – 5 – 3– 2
4 + 1 – 7 – 7 = 9 = –1 1 6 6 2
4(59) < 60(17) 236 < 1020 La relación es correcta.
∴
Rpta.: –1
⇒
1
|
1
2
OPERACIONES EN Q I
Problema 4
CAPÍTULO 03
Problema 5
Ubica las fracciones 3 ; 1 y 7 8 5 10 en la recta numérica.
Coloca >; < o =, según corresponda: a) 5 3 b) –3 –1 12 4 7 5 4 c) 2 10 5
Solución:
3 8
0
1
b) -3 < –1 7 5 c) 2 = 4 5 10
→
5×4 ..... 12×3 20 ..... 36 20 < 36
0
→
1
7 10
0
Solución:
0
1
5
3 8
I B I M E S T R E
1
Entonces: 5 + 1 = 5×5 + 8×1 8 5 8×5 = 25 + 8 40
Entonces:
2×10 ..... 5×4 20 ..... 20 20 = 20
→
1
5
–3×5 ..... 7×(–1) –15 ..... –7 –15 < –7
Rocío gasta los 3/8 de lo que tiene y después gana un monto equiva lente a 1/5 de lo que tenía inicial mente. ¿Qué parte de lo que tenía al principio tiene ahora?
Al gastar 3/8 le queda 5/8.
Solución:
a) 5 < 3 12 4
Problema 6
7 10
= 33 40
1
Rpta.: 33/40
Actividad 03 1
Relaciona con su resultado: a) 3 – 2 1. 7 5 4 10
b) 1 + 2 2 10 c) – 2 – 1 5 4 2
2. – 13 20 3. 2 20
6
Pedro gasta los 3/4 de lo que tiene y después gana un monto equivalente a los 2/5 de lo que tenía inicialmente. ¿Qué fracción de lo que tenía inicialmente posee ahora?
7
Calcula:
9 – 5 – 3 + 2 R = –2 + 5 10 4 8 15
Coloca >, < ó =, según corresponda:
a) 3 14
2 5
c) –2
11
–5 6
b) 11 3
8 5
d) 4 10
6 15
8
4 2 – + – 1 – 1 – 1 5 12 4 5 9
3
Halla el valor de:
|– 56|+ 18 –|2 15 – 314| 4
5
2 3 7 Ubica las fracciones ; y en la recta numé5 4 10 rica. Evalúa la expresión: x + 3 x 2x + – x + 4 3x – 6 2x + 3 para x = 6.
Halla el resultado de:
Determina si la relación es verdadera (V) o falsa (F):
| | |
a) – 1 – 2 > 4 – 9 4 5 2 – 11 10
| b) |12 – 13|+ 12 <|56 – 107 |
Un turista viaja de Abancay a Andahuaylas. Los 3/5 del trayecto viaja en bicicleta, los 7/20 en bus y el resto caminando. ¿Qué fracción del trayecto caminó?
1
15
04
O L U T Í P A C
OPERACIONES EN Q II
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES ¿En qué parte del terreno se ha sem brado gras? E R T S E M I B I
¿Qué diferencia hay en tre multiplicar números racionales y fracciones?
3 4
3 5 Un lado de la parte sombreada es 3/5 de un área del terreno y el otro, es 3/4 del otro lugar, en consecuencia su área es: 3 5
2
Ten Presente
Para multiplicar o divi dir fracciones no importa si son homogéneas o heterogéneas. Se multiplican numeradores y denominadores.
3 ×
4
Por otro lado, el terreno se ha dividido en 20 partes de las cuales un 9/20 ha sido sembrado de gras. O sea: 3
3 ×
5
9
3
=
4
⇒
20
3 ×
5
INVERSA DE UNA FRACCIÓN 1
3×3
4
•
x ⋅ y = y ⋅ x = xy z z z
5×4
1 1 x
y x
y
x × z = xz y w yw
=
=
x
1 3
x
=
5
1
4 =
=
•
3
1 5
4
Ejemplos:
3 × 4 = 3×4 = 12 = 4 7 9 7×9 63 21
•
1 2 4 •
⋅
⋅
3 5 7
1 2 4 ⋅
=
3 5 7 ⋅
9
÷
7
=
9
×
5
=
=
105
⋅
DIVISIÓN DE FRACCIONES 4÷5 se puede expresar como 4 5 4 se puede expresar como 4 × 1 . Luego: 5 5 4÷5 = 4 × 1 5 Dividir un número racional entre otro equivale a multiplicarlo por el inverso de ese otro: 4 5 4 7 28
8
⋅
x y z
x
=
z
÷
y
=
w
x w ⋅
y
=
z
xw
w x y z x y
x
=
÷
z=
y =
x
x 1 ⋅
=
y z ÷
y z
=
x⋅
z y
Adición y multiplicación de fracciones con una cal-
x yz
=
culadora científca
xz y
z
45
2 Problema 1 Simplifca:
Problema 2
2
2−
2−
2
−
6
−
1
=
2
3 10 =
−
5
2 −
5
=
2
1 3
4 =
5
Rpta.:
16
1
4 5
−1 1 = (−1) = 2 2
Rpta.:
2 3 31 + = 7 5 35 7 + 3
3 = 1 2
a b c
5
a b c
5
31 35 3 4
1 − 1 1 − 1 = (1 − 2 ) 1 − 3 1 2 2 2 3
5
3
6
a b c
Solución:
6 −
=
1 − 1 1 − 1 1 Evalúa 1 − 1 1 − 2 3
Solución: 2
Matemática en la vida
125304
yz
a b c
4
3 10
2 3 = 5 10
2
OPERACIONES EN Q II
CAPÍTULO 04
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La multiplicación: 2 2 2 2 = 16 3 3 3 3 81
16
La expresión 4 signica, "¿qué 81 fracción a la cuarta da 16 ?" 81
Se puede escribir como: 4 4 2 2 2 2 2 2 ⋅ ⋅ ⋅ = = 4 3 3 3 3 3 3
16 81
4
2 porque 3
=
4
2 = 16 3 81
Ejemplos: 2
2
•
3 = 32 = 9 5 52 25
•
4 4 = 4 4 = – 5 5
•
44 = 256 54 625
•
Problema 3 2
1
1
9
1
1 −
4 =
4
64
= −
4
16 625
=
4
27
3
64
− 1
+
1 3
1
−
9
3 −
16
9
4
CASOS ESPECIALES DE POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
5
4 =
9
1 −
2
2
2
3 4 5 2 3 4
1 = −
Bases iguales:
18
Rpta.: –1/18
1 =
25
1 =
25
3
4
⋅
9
⋅
( 3 2 )4
16
=
⋅
5
3
4+6
32 4 ⋅
=
3
10
Rpta.: 1/5
{
⋅
( 3 2 ) 3
4
38
=
( 2 2 3 4 5 2 )3
1 =
6 ⋅3 =
Potencia de potencia:
4 9 16 25
=
4
25 = 25–3 = 22 = 4 23
1
⋅ ⋅
2 3 4
1 −
Ten Presente
4
2 =
625
2
4
= −
1 2 3
4
3
=
3
1 − 1 1 − 1 1 − 1 Resuelve: 22 3 2 4 2 1 + 1 1 + 1 1 + 1 2 3 4 Solución:
Solución: −
4
−
3
Problema 4
2 Reduce: 3 −
4
3
27
=
26 312 56 ⋅
⋅
7
}
= 3 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅7
Índice común: 3
E XPONENTE NEGATIVO Defnición: Sea x ≠ 0
∧
n ∈ N, entonces:
x
−n
=
x
n
3
1
2
−
=
3
n
1
= x
−3
•
3
Solución: −2
= 4 5 =
( 4 5)2 ⋅
=
27
3
64
3
3
8
=
3 2 ⋅
=
6
4
125
=
5
3
2 = 3 = 27 3 2 8
Radicales sucesivos: 4
5 3 7
=
3
5
6
3
24
7
−2
−1 + 3 −1
1 Reduce: 1 1 × 2 − 1 −1 + 3 −1 1 − 3 2 2
Solución:
−2
1
=
3
Problema 6
−2 −2 Calcula: 1 − 3 1 − 4 4 5
1
=
64 125
2
3
Problema 5
⋅
Ejemplos: •
1
27 8
4 5 ⋅
4
=
2
⋅ 52
1
1 5 + 2 − 1 –2 –2 3 6 2 3 2 = 2 − 2+3 3 5 2
20
1 1 –2 1 2 2 = (2) = 3 6 2 6 Rpta.: 20
Rpta.:
2 3 1
17
I B I M E S T R E
OPERACIONES EN Q II
CAPÍTULO 04
Problema 7
Problema 8
Problema 9
Los 3 de los 5 de 1200 equivale a 5 6 los 7 de los 5 de m. 4 14 ¿Cuánto vale m?
Un padre deja una herencia de S/. 240 000, que será distribuida la mitad para la esposa, la cuarta parte del resto para el hijo ma yor y el resto, en partes iguales, para cada una de sus hijas trilli zas. ¿Cuánto recibe cada trilliza?
Simplifca:
Solución: E R T S E M I B I
Planteamos y desarrollamos: 3 × 5 × 1200 = 7 × 5 × m 5 6 4 14 600 = 5 × m 8 600×8 = m ⇒ m = 960 5
3 + 5 × 14 k = 4 8 5 1 – 1 2 4 Solución:
Desarrollando el numerador: 7 3 14 5 N = + × = 3 + 7 = 10 4 8 5 4 4 4 4 Desarrollando el denominador: D = 1 – 1 = 2 – 1 = 1 2 4 4 4
Solución:
La madre recibe:
1 × 240 000 = 120 000 ⇒ Queda
120 000
2 El mayor recibe:
1 × 120 000 = 30 000 ⇒ Queda
4 Cada trilliza recibe:
90 000
10 4 = 10×4 ⇒ k = 1 1×4 4
1 × 90 000 = 30 000
3
Rpta.: 960
Rpta.: S/. 30 000
Rpta.: 10
Actividad 04 Relaciona con su equivalente:
1
4
1) 2)
5
6 ÷
10 6
2 ×
9
−3
Determina la verdad o falsedad de: 2
3
2 1 1. > 5 2
8 16
b)
2 3) 5
−3 2 4 2. < 5 7
15 10
c)
3
27
3.
3
8 < 5 5 3
1 1 1 1 Efectúa: 1 − 1 − 1 − ÷ 2 3 5 60
2
2
7 Efectúa: F = 2
3
4
125
a)
8
7
Los 11 20
5
2 5
de los
3 4
de 1540 equivale a los
18
5 3
−2
8
Efectúa:
9
Calcula el valor de:
18
3
de los
A=
3
2
3 1 1 1 + + + + 2 2 3 6
1 2
2 +
4−
2 ÷ 5
1 1 3
+
1−
65 87
de x. ¿Cuánto vale x?
Efectúa:
10
−2
3
Efectúa:
2
2 − 1 3 2
1
−1
1 + 6
−16 8 ⋅ ÷ 12 15 180 −14 ÷ 21 30 20 5
6
−5 3 −3 + − 2 2
−1
Un padre deja como herencia S/. 300 000, que será distribuido: la mitad para la esposa, la tercera parte del resto a la hija mayor y el resto en partes iguales para sus hijos mellizos. ¿Cuánto recibe cada mellizo?
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
05
O L U T Í P A C
EXPRESIÓN ALGEBRAICA
¿Cuál es la ventaja de utilizar letras en lugar de números?
2
Ten Presente
VARIABLE Y CONSTANTE En una expresión algebraica las variables son las letras, porque pueden tomar cual quier valor numérico.
Un cinema tiene dos salas, cada una con distintos precios de entrada. Para controlar el ingreso, el administrador ha elaborado el siguiente programa:
Las constantes son los nú meros o letras que siempre toman un valor jo. En el ejemplo del cine: Variables: x, y.
Venta de entradas
De lunes a viernes: a = 8 y b = 10
Constantes: a, b.
Sábados y domingos: a = 12 y b = 15 x, y: variables.
El administrador sólo llena los valores de a, b, x e y; el programa calcula la recaudación de cada sala y el total. Una expresión algebraica es una representación matemática mediante números y letras (variables), donde las operaciones de adición, sustrac ción, multiplicación, división, potenciación y radicación, intervienen en un número limitado de combinaciones. Problema 1 Identifca las expresiones algebraicas:
a) 2 xy
b)
200 x
2
−
y
c) ysenx
d)
x x
2
+ +
y y
2
Solución:
c) No es una expresión algebraica. Rpta.:
a), b) y d)
TÉRMINO ALGEBRAICO
Historia EVOLUCIÓN DE LAS VARIABLES Aristóteles empleaba una o dos letras mayúsculas para denotar una magnitud o un número. Diofanto de Alejan dría (210-290), el padre del Álgebra, utilizaba una letra griega con un acento para representar incógnitas. El uso de x, y o z para representar incógnitas se debe a René Descartes y su obra “La géometrie” (1637).
Es una expresión algebraica entre cuyas variables no aparecen operaciones de adición ni sustracción. Exponentes Partes: 3
Coeciente
−20 x
3
y
−1
z4
Variables 1
19
I B I M E S T R E
CAPÍTULO 05
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Identifca los términos algebrai-
Calcula la suma de los exponentes en: 1
Calcula la suma de los coecientes de la expresión:
cos:
2
2 xy
a) 2 E R T S E M I B I
c)
x
−
12 x y
b) –xyz d)
y
x x
2
+ +
2
2−3+
Solución:
Solo x − gebraico.
y
z3
2
80 x y − 100 xy
Solución:
y y
−3
1 3
−
2 xy 3
Solución:
= −1 +
1 3
2 = −
3
80
−
100
2 −
no es término alRpta.: a, b y d.
2
Rpta.:
3
2 −
20
= −
2 −
3
= −
20
Rpta.:
3
2 3
−20
2 3
TERMINOS SEMEJANTES Cuando los números están representados por letras, ciertas operaciones se restringen y aparecen nuevas reglas operativas. Progresivamente vamos a conocer estas reglas. Dos términos son semejantes si tienen las mismas variables elevadas, respectivamente, a los mismos exponentes.
–27x4 y–1z 2x4 y–1z Semejantes 24x2 y3 24x3 y2 No son semejantes
Problema 5 Identifca los términos semejantes a 2x2 y–3z:
a) 2x–2 y–3z
b) –2x2zy–3
c)
2 ( xy)2 z
d) 34zy–3x2
Solución:
a) No es, x tiene exponente –2 y no 2. c) No es, y tiene exponente 2 y no –3.
Rpta.: b) y d)
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Para sumar o restar dos cantidades, estas deben tener las mismas unidades, en caso contrario quedan indicadas:
3x + 5x = 8x 7xy2 – 2xy2 = 5xy2 3x + 5 y = 3x + 5 y
Reduce las siguientes expresiones: a) 4x – 13x + 18x – 5x
b) 13xy + 12xy – 18xy – 2 yx
Solución: 4x – 13x + 18x – 5x x + 18x – 5x –9 9x – 5x = 4x
Solución: 13xy + 12xy – 18xy – 2 yx 25xy – 18xy – 2 yx 7xy – 2xy
20
1
Matemática en la vida GEMELOS
Los gemelos nacen del mismo embarazo. Un embrión fecundado en un único óvulo y un único esper matozoide, que se divide acci dentalmente en dos durante las primeras fases de su desarrollo. Son idénticos porque coinciden en todos sus rasgos. Se estima que en el mundo alrededor del 2% de los emba razos son gemelos.
espermatozoide Espermatozoide
Problema 6
Rpta: 4x
125304
= 5xy Rpta: 5xy
óvulo Óvulo
Embrión embrión fecundado fecundado
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
CAPÍTULO 05
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA (V.N.) En una expresión algebraica las variables representan números, en consecuencia, se pueden sustituir por valores numéricos, realizar las operaciones señaladas y obtener el valor numérico (V.N.) de la expresión. Problema 7 2 2 Evalúa: x + y x – y
para x = 8 e y = 6 Solución: 8
2
+
6
8−6
2
=
64 + 36 2
=
Problema 8
Problema 9
Calcula el valor numérico de: E = 5x3 – 2x2 + x – 10 para x = 3.
Si: M = 2x2 – 7xy + y2, calcula M para x = 5 ∧ y = 2.
Solución:
M = 2(5)2 – 7(5)(2) + 22 M = 50 – 70 + 4 M = –16
E = 5(3)3 – 2(3)2 + 3 – 10 E = 135 – 18 + 3 – 10 = 110
50
Rpta.: 50
Rpta.:
Solución:
110
Rpta.:
–16
Actividad 05 1
Copia en tu cuaderno y completa la tabla:
Término Parte Algebraico Constante
5
Escribe un término algebraico de cuatro varia bles y exponentes diferentes entre sí, tal que al multiplicar los exponentes resulte 30, igual que su coeciente.
6
Determina el valor de n si ambos términos son semejantes:
Parte Variable
–4x2 y5z6 3x6 y4 7
2
T1 = 6x2n–3 ; T2 = –3x9–n
5
2x y z w
7 2
3
Representa mediante términos algebraicos: a) La edad de una persona. b) El área de un cuadrado de lado 2x. c) El volumen de un paraledepípedo de dimensiones a, b, c. Relaciona cada expresión con una de sus partes:
a) 6x3 y5 b) 2x2 y4 c) 4xy6 4
5xm–2 + nx p–1 = 9x5 8
Evalúa K = 6a2 – 8ab + 5b2 – (–8b2 + 5a2) – 13b2 para a = 5
9
1) 6 es exponente de una de las variables. 2) El menor exponente de su variable es 3. 3) Su coeciente es 2.
Halla el coeciente del término algebraico 3nx4 y2nzn si la suma de exponentes es 37.
Determina m∙n + p si en la reducción de términos semejantes se cumple que:
∧
b = 3.
Luego de reducir los términos semejantes: A = 12x + 7 y – 13x + 9 y – 15 y B = 6x – [8x – (3x – y)] se cumple: 1. A = B
10
2. A = –B
3. A = 2B
Dada la reducción de términos semejantes mxm+ p + nxn+ p + pxm+n = ax4 halla el valor de a.
1
21
I B I M E S T R E
06
O L U T Í P A C
POLINOMIOS I
POLINOMIOS
E R T S E M I B I
Los sumerios fueron los primeros en usar el sistema posicional.
2
¿Qué es un polinomio?
Ten Presente
POLINOMIO DE UNA VARIABLE P(x) = a0x + a1x –1+ ... + a –1x + ... + a con a0 ≠ 0, es la expresión general de un polinomio de grado n. n
n
n
n
Ejemplos:
En el sistema de numeración posicional, cada cifra representa una potencia de la base, según su posición en el numeral: BASE 6 2 4 3(6) = 2·62 + 4·6 + 3
Representa 60 = 1 Representa 61 Representa 62
BASE x 2715(x) = 2x3 + 7x2 + x + 5
Base
Descomposición polinomial de 2715(x)
P(x) = 2x5 – x4 + 2x2 – 1 (Polinomio de 5 to grado) Q(x) = –10x3 – 2x + 3 (Polinomio de 3 er grado) R(x) = 2x2 – 10x + 3 (Polinomio de 2 do grado)
Un polinomio es una expresión algebraica cuyas variables no están sometidas a las operaciones de división ni radicación. Problema 1 Identifca los polinomios:
a) 2 x + 3 y
b) 6xy + 5xz
Matemática en la vida
125304
2x2 y
c) z
3x3
d) 4 – 2x2 + 1
CENSOS NACIONALES
Solución:
a) contiene radicación y c) división. Son polinomios sólo b y d.
(en miles de habitantes)
Rpta.: b y d
NOTACIÓN POLINOMIAL Un polinomio de variable x se denota por P(x):
P(x) = 3x2 – 5x + 1
1940 7023
1961 10420
1972 14122
1981 17762
1993 22639
2007 28221
Un polinomio de dos variables x e y se denota por P(x, y): P(x, y) = x2 + xy
Proyección al 2020
En la expresión P(x, y) = 3ax2 + 3by2 – 5xy, las letras a y b no son variables, lo son sólo los que aparecen en P(x, y), o sea, x e y.
Población (millones de habitantes)
Problema 2
31
Señala el número de variables de cada uno de los polinomios: a) P(x) = 3xyz b) P(x, y, z) = x2 + y2 + z2 c) P(x, y) = 3(xy – a)
30
Solución:
29
29,1
29,4
28,8
28
a) Tiene 1 variable, b) Tiene 3 variables y c) Tiene 2 variables. Rpta.: a) 1, b) 3 y c) 2 22
32,8
32
1
2008 2009 2010
2020
POLINOMIOS I
CAPÍTULO 06
GRADOS DE UN POLINOMIO El grado es una característica exclusiva de los polinomios: • Para el monomio P(x, y) de dos variables: - Grado relativo respecto a x: GRx = 5 - Grado relativo respecto a y: GR y = 2 - Grado absoluto de P(x, y): GA(P) = 5 + 2 = 7
GR y
GRx
P(x y , y) = –42x5 y2 GA(P) = 7
GRx
GR y
• Para el polinomio Q(x, y): y) = 3x5 y4 – 2x3 y8 Q(x, y - Grado relativo respecto a x: GRx = 5 GA = 9 GA = 11 11 - Grado relativo respecto a y: GR y = 8 GA(Q) - Grado absoluto de Q(x, y): GA(Q) = 11
Personaje
Al - Juarismi
El grado relativo respecto a una variable es el mayor exponente con que aparece en el polinomio. El grado absoluto es, si es un monomio, la suma de los grados relativos, y si es un multinomio, el grado del término de mayor grado absoluto. Problema 3 y) Dado P(x, y
Problema 4
17x5 y
x2 y4
xy6,
= – + compara el grado absoluto de P y el grado relativo respecto a x.
Si el GA de P(x, z) = es 12, calcula el GRx.
xnz8
xn+2z3
– 2
Solución:
GRx
Solución:
GRx
GR y
P(x, z) = xnz8 – 2xn+2z3
GA(P)
GA = 6 GA = 6 GA = 7 GA(P)
GA(P) = 7, GRx = 5 GA(P) mayor que GRx en 2 unidades.
GA = n + 8 GA = n + 5
P(x y , y) = 17x5 y – x2 y4 + xy6
n + 8 = 12
⇒
n = 4
= n + 2 = 4 + 2 = 6
∴ GRx
Rpta: 6
Abu Abdallah Muhammad ibn Mūsā al-Jwārizmī conocido ge neralmente como Al-Juarismi, fue un matemático, astrónomo y geógrafo persa musulmán. El lugar y el año de nacimiento son discutidos. Vivió aproxi madamente entre 780 y 850. Estudió y trabajó en Bagdad, en la primera mitad del siglo IX, en la corte del califa alMamun. Para muchos, fue el más grande de los matemáticos de su época. Debemos a su nombre y al de su obra principal, " Hisāb al-yabr wa'l muqābala” nuestras palabras álgebra, guarismo y algoritmo. De hecho, es consi derado como el padre del Ál gebra e introductor del sistema de numeración arábigo.
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO Es el resultado o valor que adquiere un polinomio cuando sus variables to man algún valor particular. Problema 5
Problema 6
Halla el valor numérico de:
Halla el valor numérico de:
P(x) = x2 + 2x + 1, para x = 3
P(x) = 3x2 – 4x + 1, para x = –2
Solución:
Solución:
Reemplazando el valor de la variable en el polinomio: P(3) = (3)2 + 2(3) + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Reemplazando el valor de la variable en el polinomio:
Rpta: 16
Rpta: 21
P(–2) = 3(–2)2 – 4(–2) + 1 = 12 + 8 + 1 = 21
2
Ten Presente
• El polinomio de un sólo tér mino se llama monomio: P(x; y) = 3x2 y • El polinomio de dos térmi nos se llama binomio. P(x) = 3x2 – 5x • El polinomio de tres térmi nos se llama trinomio. P(x; y) = 2x2 – 5 y + 3
1
23
I B I M E S T R E
CAPÍTULO 06
E R T S E M I B I
POLINOMIOS I
Problema 7
Problema 8
En una frutería cada kg de mandarina se vende a S/.33 y cada kg de durazno a S/.5. S/. S/. 5. Además, cada día se gasta S/.20 S/. 20 en movilidad y viáticos. ¿Cuál es el polinomio que expresa el ingreso diario libre de gastos? ¿Qué ingreso se obtiene si se vende 10 kg de cada fruta?
El grado del polinomio M( x) = 3x7 + a es 10. Determine el valor de: 3 – a + 1 T = 2a + 3 – Solución:
x: kg de mandarina.
Del grado del polinomio: 7 + a = 10 ⇒ a = 3 Se pide:
y: kg de durazno.
3 – a + 1 T = 2a + 3 –
Solución:
I(x; y): ingreso diario. Entonces: I(x; y) = 3x + 5 y – 20 Para x = 10; y = 10 I(10; 10) = 3(10) + 5(10) – 20 = 60
3 – 3 + 1 T = 2(3) + 3 – T = 9 – 4 = 3 – 2
T = 1
⇒
Rpta.: 60
Rpta.: 1
Actividad Actividad 06 Determina cuántas de las siguientes expresiones algebraicas de variables x; y y z son polinomios. a) 2x2 y – 5xyz + 7x3 y
1
b) c)
6 xy − 3
x yz
xy
3
4
−
6 xy
+
4
6
Calcula: P(4) – Q(2; 1) 7
3 xy z
Relaciona cada polinomio con su respectivo nombre:
a) Trinomio
2) Q(x; y) = 7x3 + 3 y
b) Binomio
3) R(x; y; z) = –3x + 4 y + 2z
c) Monomio
8
9
Dado P(x; y) = 3x2 – 5xy + 6 y2; calcula P(3; 2).
5
Si el grado del polinomio: P(x) = axa–1 – 3x2 + 3a es 5 determina el valor del término independiente.
24
1
En el polinomio R(x; y) = axa y2 + 2bx3 yb el grado relativo respecto a x es 4 y el grado relativo respecto a y es 6. Halla la suma de coecientes de R(x; y). Si P(x) = 2x + 1, halla el valor de P(2) – P(1). Dado el polinomio: P(x; y) = –4x2 y + 2 yx4 Q(x; y) = 5xy + 3x2 – xy3
Calcula el valor numérico del polinomio P(x) = 6x2 – 3x + 5 para x = 4.
3
4
1) P(x; y) = 4x2 yz
P(x) = 2x2 – 3x + 1 y Q(x; y) = x3 – 2xy – y2
d) x2 – y3 + z 2
Si:
determina el G.A. de P(x; y) menos el G.A de Q(x; y). 10
En una librería librería cada cuaderno cuaderno se vende a S/. 6 y cada fólder, a S/. 5. Además, cada día se gasta S/. 15. en movilidad y viáticos. ¿Cuál es el polinomio que expresa el ingreso diario libre de gastos? ¿Qué ingreso se obtiene si se vende 12 cuadernos y 4 folders?
Unidad
02
POLINOMIOS - OPERACIONES RENDIMIENTO DE LOS TERRENOS El rendimiento de un terreno se s e mide en kilogramos por hectárea (kg/ha). Por Por ejemplo, si el rendimiento de un terreno terreno es de 2000 kg/ha de maíz, significa que una hectárea produce 2000 kg de maíz. El volumen de producción depende del rendimiento y el área del terreno. - ¿Qué producto producto se cultiva cultiva más más en tu provincia? provincia? - ¿Cuál es el volumen de producción producción de algodón de un terreno cuadrado de un kilómetro de lado, si su rendimiento es de 2500 kg/ha? www.inia.gob.pe
APRENDIZAJES ESPERADOS ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
Selecciona los pasos a seguir para efectuar operaciones con polinomios.
Comunica y representa •
Usa los productos notables.
•
Reconoce la división entre polinomios.
•
Describe cómo se establecen los productos notables y las identidades de Legendre. Relaciona productos notables. Expresa los pasos a seguir para dividir polinomios.
Elabora y usa estrategias •
•
•
Resuelve problemas con polinomios. Emplea diversas estrategias para operar con productos notables. Halla el cociente y el residuo al dividir polinomios.
Razona y argumenta Explica la importancia de reducir operaciones con polinomios. Justifica el uso de los productos notables y las identidades de Legendre. Argumenta la división entre polinomios.
•
•
•
1
25
07
O L U T Í P A C
POLINOMIOS II
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS ¿Cuál es el área de este terreno?
¿Qué propiedades se aplican para multipli car polinomios?
b
2
Ten Presente
y
PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
x
Conmutativa: xy = yx
a
E R T S E M I B I I
Los polinomios representan números. Así como se realizan diversas opera ciones con los números, igual se hace con los polinomios.
Asociativa: x( yz) = (xy)z = xyz
La reducción de términos semejantes que acabamos de ver es la adición y sustracción de polinomios. A continuación veremos la multiplicación.
Distributiva: x( y + z) = xy + xz
MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS (7)(–5) = –35 3 4 x ·x = x7 y2· y5 = y7
(7x3 y2)(–5x4 y5z2) = –35x7 y7z2
( y + z)x = yx + zx Se aplica la ley de exponentes para las variables. MULTIPLICACIÓN DE TÉRMINOS DE BASES IGUALES
Problema 1
Calcula el grado del producto de multiplicar –12x2 y3z2 y 3x5 y6w.
xn∙ ym = xn + m
Solución: 7 y9z2w x (–12x2 y3z2) (3x5 y6w) = –36
x
GA = 7+ 9+ 2+ 1 GA = 19
n ⋅
x
−
x
m =
x
Rpta.: 19
n
m
=
x
n−m
• y3· y5 = y3+5 = y8 • z–3·z9 = z–3+9 = z6
MULTIPLICACIÓN DE UN MONOMIO POR UN MULTINOMIO 4x(x + y – z) = 4x2 + 4xy – 4xz 3x2 y3(x2 – y2 + z3) = 3x4 y3 – 3x2 y5 + 3x2 y3z3
Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propie dad distributiva de la multiplica ción con respecto a la adición.
Problema 2
Problema 3
Reduce el polinomio P(x, y) = – 5x2[ y + 3x(2 – y)] e indica su grado.
Luego de reducir la expresión 4x(x + 3 y) – x(2 y – x) señala el número de términos.
Solución:
Solución:
P(x, y) = –5x2[y + 3x(2 – y)] P(x, y) = –5x2[ y + 6x – 3xy] P(x, y) = –5x2 y – 30x3 + 15x3 y GA = 4 ∴ GA(P) = 4
Rpta: 4 26
1
GRADO DEL PRODUCTO
Si P(x) tiene grado n y Q(x), grado m, entonces P(x)·Q(x) tiene grado n + m. Ejemplos:
• (4xy2)(2x2 yz) = 8x3 y3z
GA = 3 GA = 4
GA = 7
• x3( y2 + z5) = x3 y2 + x3z5
4x(x + 3 y) – x(2 y – x) 4x2 + 12xy – 2xy + x2 5x2 + 10xy
GA = 3
Tiene 2 términos.
∴
Rpta: 2
GA = 5
GA = 8
POLINOMIOS II
CAPÍTULO 07
MULTIPLICACIÓN DE MULTINOMIOS (x2 + y2) (x – y) = x3 – x2 y + xy2 – y3
Para multiplicar multinomios se aplica reiteradas veces la propiedad distri butiva de la multiplicación.
(x – y) (x + y – z) = x2 + xy – xz – xy – y2 + yz = x2 – xz – y2 + yz
Tecnología CÁLCULO DEL VALOR NUMÉRICO EN EXCEL
Problema 4
Problema 5
Reduce: (x + y)(x2 – xy + y2)
Multiplica: P(x) = x4 – 2x2 + 3x – 2 y Q(x) = x2 – 3x + 4 Solución:
3
Solución:
(x + y)(x2 – xy + y2)
4 x +
0x3 –
2x2 + 2 x –
= x3 – x2 y + xy2 + x2 y – xy2 + y3
6 +
x
3x – 2 3x + 4
6 –
Rpta: x3 + y3
1
x
P(x) = x3 – x2 + 2x– 1
2
2
Ubico el cursor en B2. Hago Ctrl + =, luego escribo:
0x5 – 2x4 + 3x3 – 2x2 4x4 + 0x3 – 8x2 + 12x – 8
x
B
×
–3x5 – 0x4 + 6x3 – 9x2 + 6x
= x3 + y3
A
3x5 + 2x4 + 9x3 – 19x2 + 18x – 8
Producto
potencia(A2; 3) – potencia (A2; 2) + 2 * A2 – 1
I I B I M E S T R E
Para calcular P(2) escribo 2 en A2.
Actividad 07 1
Efectúa las siguientes multiplicaciones: a) (2a3b4) (–4a7b2) 1 5 6 12 2 5 b) a b − a b 3 5 c) 3x(2x2 y – 5x2 y2)
2
Reduce el polinomio: P(x) = 3x + 2(5x2) – 5x(3 + 2x)
3
Si 5x(ax – b) = 20x2 – 15x, halla 2a – b.
4
5
Si: P(x) = x(3x + 1) – x(x + 1) Q(x) = 3x + 4 P(x)·Q(x) = ax3 + bx2 halla a + b + 2 .
b) (–10x4 y5)·(–12x3 y5)
2) 120x4 y9
c) (20x2 y8)·(6x2 y)
3) 120x6 y6
Dados los polinomios: P(x) = x(2x + 3) – x(x + 8) y Q(x) = 2(x + 1)(x – 3) halla P(x) + Q(x).
8
Reduzca los polinomios P(x; y) = 4x( y2 – 3 y) + 2xy( y – 3) y Q(x; y) = 6x(3 y – 4) y halla P(x; y) + Q(x; y).
9
Luego de reducir la expresión P(x; y) = 2x(x – y) + 2 y(x + y) + 2 y2 señala el número de términos.
Si P(x) tiene grado 3 y Q(x), grado 4, ¿qué grado tiene P2(x)·Q3(x)? Relaciona con su correspondiente resultado:
1) 120x7 y10
7
10 6
a) (24x2 y3)·(5x4 y3)
Determina el grado absoluto del polinomio:
P(x; y) = 3xy2(x5 y2 – 2xy5) + x2 y4(xy + 2)
1
27
08
O L U T Í P A C
PRODUCTOS NOTABLES I
PRODUCTOS NOTABLES
El área total del terreno es: (a + b)2 Pero también: a2 + 2ab + b2
b
¿Porqué (a + b)2 no es igual a a2 + b2?
a a2
ab
a
b
b2
a
b
ab b
Personaje
a
El producto de algunas multiplicaciones lo podemos obtener directamente sin necesidad de efectuarlas. A estas multiplicaciones se denominan productos notables. E R T S E M I B I I
CUADRADO DE UN BINOMIO
Cuadrado de una suma (a + b)2 = (a + b)(a + b) (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Paolo Ruffini (Italia 1765 - 1822)
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ejemplos:
• (x + y)2 = x2 + 2xy + y2
• (x + 1)2 = x2 + 2x + 1
• (2x + 3 y)2 = 4x2 + 12xy + 9 y2
• (x2 + y2)2 = x4 + 2x2 y2 + y4
Problema 1
Problema 2
Reduce: P(x) = (x + 1)2 + (x + 2)2
Reduce: Q(x) = 2(x + 3)2 – 3(x + 1)2
Solución:
Solución:
P(x) = x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4
Q(x) = 2(x2 + 6x + 9) – 3(x2 + 2x + 1)
P(x) = 2x2 + 6x + 5
Q(x) = 2x2 + 12x + 18 – 3x2 – 6x – 3 Q(x) = –x2 + 6x + 15
Cuadrado de una diferencia (a – b)2 = (a – b)(a – b) (a – b)2 = a2 – ab – ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Ejemplos:
• (x – y)2 = x2 – 2xy + y2
• (x – 1)2 = x2 – 2x + 1
• (3x – 2 y)2 = 9x2 – 12xy + 4 y2
• (x2 – y2)2 = x4 – 2x2 y2 + y4
28
1
Matemático, profesor y médico italiano. Es conocido como el descubridor del lla mado método de Rufni, que permite hallar los coecientes del polinomio que resulta al dividir un polinomio cual quiera entre el binomio x – a. Sin embargo, no fue esta su mayor contribución al desa rrollo de la Matemática. Hacia 1805 elaboró una demostración de la imposibi lidad de la solución general de las ecuaciones algebraicas de grado quinto o superio res, aunque cometió ciertas inexactitudes que serían corregidas por el matemático noruego Niels Henrik Abel.
PRODUCTOS NOTABLES I
CAPÍTULO 08
Problema 3
Problema 4
Reduce:
Reduce:
Q(x) = 3(x – z)2 – 2(2z – x)2
P(x) = (x – 2)2 + (3 – x)2 Solución:
Solución: P(x) = x2 – 4x + 4 + 9 – 6x + x2
Q(x) = 3(x2 – 2xz + z2) – 2(4z2 – 4xz + x2) Q(x) = 3x2 – 6xz + 3z2 – 8z2 + 8xz – 2x2
P(x) = 2x2 – 10x + 13
Q(x) = x2 + 2xz – 5z2
IDENTIDAD La identidad es la igualdad de dos expresiones que poseen las mismas variables y el mismo valor cualesquiera sean los valores que tomen sus variables.
Datos PRODUCTOS NOTABLES Y SU APLICACIÓN
Problema 5
Compara la expresión xy(x + y) con cada una de las siguientes e identifca con cuáles son idénticos. a) x2 y + xy2 b) x(xy + y2) c) y(xy + x2) d) x2 + y2 Solución:
a) xy(x + y) = x2 y + xy2
b) xy(x + y) = x(xy + y2)
c) xy(x + y) = y(x2 + xy)
d) xy(x + y) ≠ x2 + y2
Los productos notables, más que todo, se utilizan en la in geniería civil. Ayuda a medir, calcular áreas y perímetros de terrenos y, por último, calcu lar intensidades en circuitos electrónicos.
Rpta.: a) , b) y c)
IDENTIDADES DE LEGENDRE (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (–) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab
(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (+) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 + (a – b)2 = 2a2 + 2b2 Problema 6
Problema 7
Reduce: (x + 1)2 – (x – 1)2
Reduce: (2x+ y)2 + (2x – y)2
Solución:
Solución:
(x + 1)2 – (x – 1)2 = 4x(1) = 4x
(2x + y)2 + (2x – y)2 = 2[(2x)2 + y2] = 2[4x2 + y2] = 8x2 + 2 y2 Rpta: 8x2 + 2 y2
Rpta: 4x
1
29
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 08
PRODUCTOS NOTABLES I
SUMA POR SU DIFERENCIA (a + b)(a – b) = a2 – ab + ab – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2 Problema 8
Problema 9
Problema 10
Reduce la expresión: (a + 3)(a – 3) – (a – 4)(a + 4)
Reduce la expresión:
Reduce la expresión:
Solución:
Solución:
(a + 3)(a – 3) – (a – 4)(a + 4)
(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x – 1)
( a − b )( a + b )(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 ) + b 8
8
Solución:
= (a2 – 32) – (a2 – 42)
( a − b )( a + b )(a 2 + b 2 )(a 4 + b 4 ) + b 8
8
(x2 – 1)
(a2 – b2)
= a2 – 9 – a2 + 16
(x4 – 1)
(a4 – b4 )
= –9 + 16 = 7
x8 – 1
a8 – b8 =
E R T S E M I B I I
Rpta.: 7
8 8 a
−b
8
+b
8
=
8 8 a
=
Rpta.: x8 – 1
a
Rpta.: a
Actividad 08 1
Halla el resultado de: a) (2x + y)2
6
b) (x + 2 y)2 c) (3a – b)2 d) (2a – 3b)2 2
2
Reduce: (
3
Reduce la expresión:
3
+
2)
+
(1 −
6)
2
Relaciona cada operación con su resultado:
1) (
7
−
3 )(
7
+
3)
a) 5
2) (
5
+
2 )(
5
−
2)
b) 4
3) (
6
−1
)(
6
c) 3
)
+1
7
Calcula: (
8
Efectúa y reduce:
12
+
3)
2
−
E=
(
3
( a + b)2
Determina la suma de las áreas de los tres cuadrados:
a+2
a
5
30
a+1
a
La expresión (a + b)2 = a2 + b2 siempre es verdadera para: 1. a = 0 ∨ b = 0 2. ab = 0 3. a = 2 ∨ b = 0 1
( a − b )2
Simplifca: 2
A
10
a+1 a+2
9
−
2
ab
E = (x + 4)2 + (x + 3)2 – 2(x + 2)2 4
12 )
−
10001 =
−
9999
1000
2
+
566
2
− 565
2
Halla: R = (10 + 7)(10 − 7)(102 + 7 2 ) + 7 4
09
O L U T Í P A C
PRODUCTOS NOTABLES II ¿En cuánto aumenta el producto de dos facto res cuando cada factor aumenta en x ?
¿Cuánto terreno gano si aumento en x metros sus lados? x
b
ax
ab
a
bx
x
x2
El producto de 6 por 8 es 48. Si tanto 6 como 8 aumentan en 3 unidades, el producto aumenta, ¿en 3?, ¿en 9?, ¿en cuánto? 2
Si los factores 6 y 8 aumentan en 3 cada uno, resultan 9 y 11, respectivamente, y el producto es 9·11 = 99. Aumentó en: 99 – 48 = 51 (51 = 3·6 + 3·8 + 32)
Ten Presente
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
AUMENTO DEL PRODUCTO
(x + a)(x + b) = x2 + xb + ax + ab
Supóngase que las dimensiones de un terreno son 20 m y 10 m, entonces su área es 200 m2.
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Supongamos que cada lado aumenta en x metros, ¿en cuánto aumenta el área?
Ejemplos:
• (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6
• (x + 6)(x – 9) = x2 – 3x – 54
• (x + 7)(x – 5) = x2 + 2x – 35
• (x – 2)(x – 8) = x2 – 10x + 16
(20 + x)(10 + x)
(x + 20)(x + 10) = x2 + 30x + 200
Problema 1
Problema 2
Reduce a su mínima expresión: (x + 2)(x + 7) + (x – 2)(x – 7)
Efectúa la expresión: (x + 7)(x – 2) – (x + 1)(x – 1) + (x – 3)2
Solución:
Solución:
(x + 2)(x + 7) + (x – 2)(x – 7) (x2 + 9x + 14) + (x2 – 9x + 14) x2 + 9x + 14 + x2 – 9x + 14 2x2 + 28
(x + 7)(x – 2) – (x + 1)(x – 1) + (x – 3)2
Si x2 – 7x = 10, calcula el V.N. de: (x – 8)(x + 1) + (x – 3)(x – 4) Solución:
x2 + 5x – 14 – x2 + 1 + x2 – 6x + 9 x2 – x – 4
x2 – 7x – 8 + x2 – 7x + 12
– 8 + 10
Rpta: x2 – x – 4 Problema 4 Si x2 – 6x = 7, determina el V.N. de:
(x + 4)(x – 10) + (x – 3)2 – x(6 – x) Solución:
10
Aumentó en x2 + 30x.
∴
(x2 + 5x – 14) – (x2 – 1) + (x2 – 6x + 9)
Rpta: 2x2 + 28 Problema 3
Aumento
+ 12 = 24 Rpta: 24
x2 – 6x – 40 + x2 – 6x + 9 – 6x + x2
7
– 40 + 7
+ 9 + 7 = –10 Rpta: – 10
1
31
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 09
PRODUCTOS NOTABLES II
Problema 5 Siendo (x + 3)(x + 5) ≡ ax2 + bx + c calcula K = a + b + c
Problema 6
Determina el área del rectángulo.
(x + 3) m
Solución:
Efectuando el producto: x2 + 5x + 3x + 15 ≡ ax2 + bx + c x2 + 8x + 15 ≡ ax2 + bx + c b = 8 De donde: a = 1 En K = 1 + 8 + 15 = 24
Solución:
El área del rectángulo es: A = b×h = (x + 3) (x – 2) = x2 + (3 – 2)x + (3)(–2) = x2 + x – 6
c = 15
Rpta: (x2 + x – 6) m2
Rpta: 24
E R T S E M I B I I
(x – 2) m
Problema 7 Si (x + 2)( x + 7) = 20
Problema 8 Siendo (x – 4)(x – 2) ≡ ax2 – bx + c
halla el valor de K = (x + 5)(x + 4)
calcula M = a·b + c
Solución:
Solución:
De la condición: (x + 2)(x + 7) = 20 2 x + (2 + 7)x + (2)(7) = 20 x2 + 9x + 14 = 20 Efectuando K: K = (x + 5)(x + 4) K = x2 + (5 + 4)x + (5)(4) K = x2 + 9x + 20 K = 6 + 20 K = 26
Efectuando el producto: x2 – 2x + 4x + (–4)(–2) ≡ ax2 – bx + c x2 – 6x + 8 ≡ ax2 – bx + c De donde: a = 1 b = 6 c = 8 En M: M = (1)(6) + 8 = 14
x2 + 9x = 6
Rpta: 14
Rpta: 26
Actividad 09 1
Efectúa en cada caso:
5
a) (x + 2)(x + 7) b) (x + 4)(x – 6) c) (x – 3)(x – 4) 2
6
Si: (x + 2)(x + 4) = ax2 + bx + c halla
4
7
Si: (x + 1)(x + 2) + (x + 3)(x + 4) = ax2 + bx + c halla el valor de T = a + 2b – c
8
Si: (a + 7)(a – 8) = 65 halla (a + 5)(a – 6) + (a + 2)(a – 3)
9
Si: x(x – 3) = 97, calcula el V.N. de:
a + b ⋅c
Efectúa: M(x) = (x + 5)(x + 4) – (x – 10)(x – 2)
y evalúa para x =
32
Si: x2 + 6x = 14, halla: (x + 1)(x + 5) + (x + 2)(x + 4)
Reduce la expresión:
R = (x + 5)(x – 1) – (x + 2)2 3
Reduce el polinomio y halla la suma de sus co ecientes: P(x) = (x – 1)(x + 2) + (x + 2)(x – 3) – (2x – 2)(x + 3)
(x + 10)(x – 13) + (x – 7)(x + 4) – (x – 4)(x + 1)
5 21
1
10
Si x2 + x = 2012, halla la suma de cifras del resultado de (x + 4)(x + 3)(x – 3)(x – 2)
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
10
O L U T Í P A C
¿Qué regla se aplica en la división de mo nomios? z
¿Cuál es el volumen de cada colchón? y
x
Personaje
En los temas anteriores hemos visto la multiplicación de polinomios. Ense guida veremos la división de polinomios:
DIVISIÓN DE MONOMIOS x4 x
•
=
xy
•
x4
1
−
En la división de monomios se aplica la división de bases iguales:
x3
=
3
x
=
xy
1 1 −
y
3 1 −
=
y
x
2
m
x
n
x
=
Problema 1
Problema 2
Calcula el grado del cociente de: 8x3 y2z entre 2xz
Dados P = 9x5 y2z4
Solución:
Solución:
3
2
8x y z
=
2 xz
4x
3 1 −
y
Q
= 4x2 y2
P
GA = 2 + 2 = 4
Q = 3x2z3,
y
calcula: P÷Q P
2
Estudiante peruano de 15 años ganó campeonato mundial de Excel
m −n
Q
=
9 x 5 y 2 z4 2 3
=
3x z =
3x
5 2 2 4 3 −
y z
−
3 2
3 x y z
Rpta: 4
Rpta: 3x3 y2z
Problema 3
Problema 4
Dados: P = x5 y2z3 Q = x2 yz2 R = xy2z3, compara los grados de: P÷QyP÷R
El cociente de la división: xn+2 y2n Q= xy2
es de grado 8. Calcula n. Solución:
Solución: P Q
=
x y z 2
x yz 5
P R
Q
5 2 3
=
2
2
x y z 2
xy z
Grado
P Q
=
3
=
x
n+ 2
y
xy
x yz
2n
2
=
x
n + 2 −1
y
2n − 2
GA = 5
Q = xn+1 y2n–2
Eduardo Velarde, de 15 años de edad, obtuvo una distin ción que tradicionalmente consiguen sólo los estudiantes asiáticos. Velarde, un estu diante de educación secun daria del colegio Juan XXIII, obtuvo el primer lugar del concurso mundial de Excel organizado por la Compañía Certiport, socia de la poderosa Microsoft, que se realizó en Las Vegas, Nevada, Estados Unidos. "La competencia de Certiport no sólo mide la eciencia en el uso de la herramienta, sino también su aplicación en diferentes campos", informó el Colegio Juan XXIII. Eduardo participó en Las Vegas con es tudiantes de más de 50 países. El Comercio , 2 de agosto de 2012.
3
3
GA(Q) = n + 1 + 2n – 2 = 8 3n = 9 ⇒ n = 3
4
x =
GA = 4 P
mayor que de en 1 R
Rpta: n = 3
1
33
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 10
DIVISIÓN ALGEBRAICA I
Problema 5
Problema 6
Problema 7
Calcula:
Si: A = (2x4 y6)(x2 y6) B = (x3 y3)(2x2 y2) halla el grado absoluto de A6 ÷ B2
Si P(x) y Q(x) son de grados 6 y 4 respectivamente, ¿qué grado tiene P3(x) ÷ Q2(x)?
10 factores 12 factores a·a·a·....·a×a·a·a·....·a
L=
(a3·a2)4
Tenemos: A = (2x4 y6)(x2 y6) = 2x6 y12 A6 = (2x6 y12)6 = 64x36 y72 B = (x3 y3)(2x2 y2) = 2x5 y5 B2 = (2x5 y5)2 = 4x10 y10
Solución:
Tenemos: 10 factores 12 factores a·a·a·....·a×a·a·a·....·a
L=
(a3·a2)4
De donde: A6 ÷ B2 = (64x36 y72) ÷ (4x10 y10) = 16x26 y62
a10·a12 a22 = 20 = a2 5 4 a (a )
L=
Solución:
Solución:
Dato: Grado de P(x): 6. Grado de Q(x): 4. Grado de P3(x): 3×6 = 18. Grado de Q2(x): 2×4 = 8. Entonces el grado de: P3(x) ÷ Q2(x) es = 18 – 8 = 10
Su grado absoluto es: G.A = 26 + 62 = 88 E R T S E M I B I I
Rpta: a2
Rpta: 88
Rpta: 10
Actividad 10 1
Calcula:
6
( x 2 ⋅ x 3 ⋅ x 4 )5
a) 8x3y2 ÷ 4x2 y b) –80x4 y3 ÷ 40x2 y c) –36x6 y7 ÷ –12x4 y3
( x 2 ⋅ x 4 )6
Calcula:
2
E
12 veces
14 veces
64748
6 4 74 8
x x x ... x x x ... x x12 44 x 242 x 244 x32 ... 4 ⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
Si:
P( x ; y)
=
⋅
2
2
2
x x 2... x y 14 4 44 3 ⋅
⋅
⋅
Q( x ; y )
=
xy xy xy ⋅
⋅
3
⋅
y
3
⋅
... y3 ⋅
14 4 244 4 3
10 veces
y
⋅
7
Si: P(x; y) = 16x8 y4z3 y Q(x; y) = 4x6 yz2 halla el grado de P(x; y) ÷ Q(x; y)
8
Si: P(x) y Q(x) son de grado 5 y 3 respectivamente, ¿qué grado tiene P2(x) ÷ Q3(x)?
5 veces ⋅
1. 3x2 y4 2. –2x2 y2 3. 2xy
⋅
10veces
3
Luego de dividir relaciona con su resultado:
... xy ⋅
144 4 244 4 3
12 veces
halla el grado de P(x; y) ÷ Q(x; y) 4
9
A = (3x2)(2x3 y)(4x3 y6) y B = (x2 y3)2(2x3 y4)3 halla el grado absoluto de A5 ÷ B
Siendo
5
34
Efectúa: a) (40x6 y5)÷(–5x2 y3) b) (–24m7n6)÷(8m4n5)
1
10
P = x6 y4z3 Q = x7 y3z2 y R = x5 y2z4, determina la verdad o falsedad de: 1. P2 ÷ Q es de grado 10. 2. Q2 ÷ R es de grado 13. 3. R2 ÷ Q es de grado 11.
Si:
Si: P3(x) ÷ Q 2(x) es de grado 11 y P2(x) ÷ Q(x), de grado 9, halle el grado de P4(x) ÷ Q3(x).
11
O L U T Í P A C
DIVISIÓN ALGEBRAICA II ¿Es distributiva la división?
Distributiva por la izquierda a (b c) = a b a c
125304
Distributiva por la derecha (b c) a = b a c a
La operación es distributiva respecto a por la izquierda y por la derecha, en consecuencia, es distributiva con respecto a . Por ejemplo, la multiplicación ( ×) es distributiva respecto a la adición (+), porque: a×(b + c) = a×b + a×c y (b + c)×a = b×a + c×a. La división es distribu tiva respecto a la adición sólo por la derecha.
DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO 2
6 x y + 8 xy
2
2
=
2 xy 2
6 x y + 8 xy
6x y
+
2 xy
8 xy
2
2 xy
A +B − C
=
D
2
=
2 xy
A
+
D
B D
D
3x + 4y
Problema 1
Problema 2
Si P(x; y) = 9x3 y3 – 6x2 y2 – 3xy, calcula P(x; y) ÷ 3xy
Calcula la suma de coecientes
Solución: P (x ; y)
9x 3 y 3
=
−
9x 3 y 3
=
3 xy
xy
P (x ; y)
=
xy
−
3x 2 y2
−
−
3 xy
−
−
3 xy
2
3mn 4n
3 xy
=
2 xy 1
3
2m −
3
Sea P(x, y) = 3x2 y – 2xy – 3xy2. ¿Cuántos términos tiene
Si
P( x ; y)
Solución:
x
y
?
3x y
x
y
=
3x y
−
y +
y
−
x
2
P( x; y) P( x; y) x
−
2 xy
x
P (x ; y)
y
3
3
2
=
2 =
x y + xy
Solución: P (x ; y)
x
y =
3x
−
3 xy
x y
+
x
2 xy
2
3 xy
2
2
2
2
+ 7m n
2
2
x y 2
2y − 2x − 3y
2
Rpta.: 4
=
3
2
2
n
3mn
3 4
=
2 −
3
3
7 +
9 =
3
3
3
3
x y 2
3
=
x y
+
2
+
=
x y + xy 2
x y
=
2
7m +
xy 2
3
La estadía en la capital de No ruega tiene un precio prome dio de 542 dólares, mientras que pasar la noche en Zúrich cuesta US$ 487. En Estocolmo, por su parte, el precio es de US$486.
3
2
El Comercio , 12 de junio de 2013.
3
x y
Análisis realizado por Trip Advisor, muestra los destinos con precios más elevados para pasar una noche. El Ránking se hizo en base al costo de hoteles cuatro estrellas, cena, bebidas y taxis
Para confeccionar el ránking se evaluaron los precios de alojamiento para dos personas en un hotel cuatro estrellas, así como el costo de bebidas, dos cenas con una botella de vino y de dos servicios de taxi de hasta 3 kilómetros cada una.
7m
3
3 +
2
x y
x y + xy
y −
n
, evalúa
2
3
n
+
Suma coef.:
−
2
2mn −
Problema 4
P( x; y)
2
3mn
Problema 3
+
2m
3mn
4mn =
6x 2 y2
2
Solución:
3 xy
3 xy
xy
P (x ; y)
6x2 y2
4mn
de
¿Cuáles son actualmente las ciudades más caras para los turistas?
Oslo (Noruega) es la ciudad más cara para pasar una noche, seguida de Zúrich (Suiza) y Estocolmo (Suecia), según un análisis elaborado por la popular página de viajes Trip Advisor.
C −
Matemática en la vida
2
y x
13 =
6
Rpta.:
13 6
1
35
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 11
DIVISIÓN ALGEBRAICA II
Problema 5
Problema 6
Reduce la expresión:
(2x2 y3)4 (3x5 y8)2 Si se cumple: + 6 9 ≡ axb yc 4 5 x y 4x y
20x8 y7 M = 5 6 + (12x5 y4) ÷ (3x2 y3) 5x y
determina el valor de G = a + b + c
Solución:
M=
Solución:
20x8 y7 (12x5 y4) ÷ (3x2 y3) + 5x5 y6 4x3 y 3 4x y
16x8 y12 9x10 y16 + 6 9 ≡ axb yc 4 5 x y 4x y 4x4 y7 + 9x4 y7 ≡ axb yc
M = 4x3 y + 4x3 y
13x4 y7 ≡ axb yc
M = 8x3 y
a = 13
b = 4
c = 7
G = a + b + c = 13 + 4 + 7 = 24 Rpta.: 8x3 y E R T S E M I B I I
Rpta.: 24
Actividad 11 1
Reduce la expresión:
7
Reduce:
(40m7n4)÷(–10m4n2) + (60m4n3)÷(4mn) A 2
P( x ; y) 2 x 5 y6
+
5 xy 2
Calcula la suma de coecientes de: 3
2
+ 16ab
9
halla
Halla: 5
3
6x y
6
4
2
4
+
18 x y
3
3
−
12 x y
2
2x
Dado P(x; y) = 16x4 y7 + 12x3 y5 – 4x3 y2 halla P(x; y) ÷ 4x2 y
36
2
3x y
5
1
−
12 x 4 y 2 3x3 y
10
−
P( x ; y) 10 x 2 y 3
Si a2 = 3b3, 6
3
8 ab
24 x y
9( x 3 )3 ( y 2 )7
P( x , y)
3x 4 y 3
4
18( x 2 y 3 )5
Si P(x, y) = 15x2 y3 – 30x3 y4;
Q( x; y)
16 a b − 8a b
5
4x3 y3
−
halla cuántos términos tiene:
Si P(x; y) = 4x6 y7 y Q(x; y) = 12x5 y4; halla
4
(2 xy)4
Luego de dividir –36a15b12c10 entre –12a10b8c6 la suma de los exponentes de la variable es: 8
3
=
4a b 4
a b
1
4
7
5a b −
5
a b
2
5
11
7a b +
9
a b
4
7
Halla la suma de coecientes de:
(40x4 + 150x2 – 30x) ÷ (–10x)
DIVISIÓN ALGEBRAICA III Un factor de: x3 – x2 – 4x + 4 es (x + 2), ¿cómo calculo el otro factor?
¿Cómo se efectúa la división de polinomios? x3 – x2 – 4 x + 4 = ( x + 2)P( x)
¡!
Para resolver ecuaciones es conveniente que un miembro esté expresado como producto de su forma de factores. Teniendo uno de los factores del polinomio, el otro factor se calcula por división. Aquí la división de polinomios es muy importante.
DIVISIÓN CLÁSICA ENTRE POLINOMIOS Efectuemos la división: (x3 + x2 – 17x + 10) ÷ (x – 3)
Términos de la división Dividendo: D(x) = x3 + x2 – 17x + 10
Dividendo
Divisor D(x) d(x) D(x) = d(x)Q(x) + R(x) R(x) Q(x)
Divisor: d(x) = x – 3 ÷
1.
Ordenamos en forma descendente los polinomios dividendo (D( x)) y divisor (d(x)).
2.
Dividimos el primer término de D(x) entre el primer término de d(x), o sea, x3 ÷ x = x2, que es el primer término del cociente.
3.
12
O L U T Í P A C
Se multiplica x2 por cada uno de los términos de d(x); y los resultados se ubican debajo de D(x), pero con signo cambiado. Luego se suma.
x3 + x2 – 17x + 10 x – 3 x2
x3 + x2 – 17x + 10 x – 3 –x3 + 3x2 x2 4x2 – 17x
×
x3 + x2 – 17x + 10 x – 3 –x3 + 3x2 x2 + 4x – 5
Interesante
El guepardo es el animal terrestre más rápido del mundo Si bien es el animal más veloz de la Tierra, no es su veloci dad, sino su aceleración lo que lo convierte en un terrible cazador. Es capaz de alcanzar los 92 km/h en solo 2 minutos y ve locidades de 29 metros por se gundo, muy por encima de los caballos (19 m/s), los galgos (18 m/s) y, por supuesto, los seres humanos (el atleta Usain Bolt, récord mundial de los 100 y 200 metros planos, llega a un máximo de 12,35 m/s). Una investigación del Royal Veterinary College de Londres publicada en la revista Nature, ha demostrado que la estra tegia del guepardo no es su rapidez, generalmente, pues ni siquiera llega a su máxima velocidad mientras persigue una presa, pero sí exhibe una impresionante capacidad de aceleración. No importa que la víctima huya desesperada, el guepardo, también conocido como chita, reacciona con una potencia descomunal. www.proyectoazul.com
4.
Mientras que el grado del residuo provisional sea mayor o igual que el del divisor se repite el paso an terior.
4x2 – 17x Q(x) –4x2 + 12x –5x + 10 5x – 15 –5 ← R(x)
La división termina cuando el grado del resto se hace menor que el del divisor. x3 + x2 – 17x + 10 = (x – 3)(x2 + 4x – 5) – 5 1
37
I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 12
DIVISIÓN ALGEBRAICA III
Problema 1
Problema 2
Problema 3
Calcula el cociente de dividir: x3 – 11x + 16 entre x – 3
Calcula el resto de: (x4 – 3x3 + 6x2 – 13x + 2) ÷ (x2 + 5)
Solución:
Solución:
Expresa x3 – x2 – 4x + 4 como el producto de dos factores, uno de los cuales es (x + 2)
x3 + 0x2 – 11x + 16 x – 3 –x3 + 3x2 x2 + 3x – 2 3x2 – 11x –3x2 + 9x –2x + 16 2x – 6
Solución:
x4 – 3x3 + 6x2 – 13x + 2 x2 + 5 2 –x4 + 0x3 – 5x2 x x
Para calcular el otro factor divi dimos entre x + 2.
– 3 + 1
–3x3 + x2 3x3 + 0x2 + 15x
x3 – x2 – 4x + 4 x + 2 2 –x3 – 2x2 x – 3x + 2 –3x2 – 4x 3x2 + 6x 2x + 4 –2x – 4
x2 + 2x + 2 –x2 + 0x – 5 2x – 3
10 R(x) = 2x – 3
Q(x) = x2 + 3x – 2
∴
–– 3 – x2 – 4x + 4 = (x + 2)(x2 – 3x + 2)
∴x
E R T S E M I B I I
Actividad 12
1
Dada la división: x5
6
+
3x
x2
2
−
+
2x + 1
2x
2x + 3
2
a) 3
4
2x
+ 3
ax
+
2
b) divisor
+b
b)
3x − 1
c) cociente
3x
7
− cx
4x
4
+
3
+ dx + c
2x
2
−6
7
+
2x
x2
2
−
+
x+3
x +1
En la división: a
x
b
+
2x − 1
+
x+3
Si el máximo grado del residuo es 6 y el grado del cociente, 4 halla a.b 8
Luego de dividir: (2a3 – 3a2 + 4a – 5) ÷ (a – 3) indica la suma de coecientes del cociente.
−
3x
2
+
2x − 1
9
x2 + 1
38
+
Calcula el polinomio cociente: x4
5
3
x
Dada la división: ( x4 – 4x2 + 12) ÷ (x2 + 6) Indica verdadero (V) o falso(F): 1. El cociente es x2 + 10 2. El residuo es 72 3. La división es exacta
4
x5
−
indica verdadero o falso según corresponda: 1. El grado del dividendo es 6. 2. El grado del divisor es 3. 3. El grado del cociente es 2. 4. El máximo grado del residuo es 2.
En cada caso halla el máximo grado del residuo: x
6
3x
halla el grado del:
a) dividendo
Dada la siguiente división:
Indica el residuo de la división: (x2 + 2x + 14) ÷ (x – 7)
1
Luego de efectuar la división: (x2 – 6x + 5) ÷ (x –1), halla el cociente.
10
Si P(x)·Q(x) = 6x4 + 9x3 + 5x2 + 3x + 1 y Q(x) = 3x2 + 1, halla P(x).
Unidad
03
Yungay - Huaraz
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Y ECUACIONES ALGEBRAICAS EQUILIBRIO ECOLÓGICO Un ecosistema está en equilibrio ecológico cuando la relación entre los seres que lo habitan y el medio físico se mantiene estable en el tiempo. El aumento de la población y el desarrollo tecnológico e industrial generan mucha basura, humo y contaminantes del suelo quienes alteran el agua, el aire, la fauna y la flora, rompiendo el equilibrio ecológico. Es como en una ecuación; si se altera un miembro ya no hay igualdad. - ¿Qué crees que produce mayor contaminación en tu distrito? www.minam.gob.pe
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
Relaciona la multiplicación con la factorización.
Comunica y representa •
•
Clasifica ecuaciones de primer grado. Determina el conjunto solución de una ecuación.
•
Utiliza esquemas para factorizar polinomios. Describe los diversos métodos para factorizar expresiones algebraicas. Elabora un resumen de cómo se resuelven ecuaciones de primer grado.
Elabora y usa estrategias •
•
•
Emplea diversas estrategias para factorizar polinomios. Comprueba el conjunto solución de una ecuación. Resuelve problemas con ecuaciones.
Razona y argumenta •
•
•
Explica la importancia de la factorización. Justifica el uso de las ecuaciones para resolver diversos tipos de problemas. Propone ejemplos de ecuaciones. 1
39
13
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN I
CONTEO DE FACTORES La cantidad de divisores de 300 es 18.
300 = 22·3·52 D300 = (2 + 1)(1 + 1)(2 + 1)
¿Tienen factores primos los polinomios?
FACTOR DE UN POLINOMIO Un polinomio de grado no nulo f (x) es factor de otro P(x), si existe un polinomio q(x) tal que: P(x) f (x)q(x) • x + 3 es factor de P(x) = 5x(x + 3) • Dado P(x) = 3x(x + 1)(x – 2) sus factores o divisores algebraicos son: x, (x + 1), (x – 2), x(x + 1), x(x – 2), (x + 1)(x – 2) y x(x + 1)(x – 2) Problema 1
Enumera los factores o divisores algebraicos de P(x, y) = 7x2( y + 1) Solución:
2
Ten Presente
En P(x, y) = 3zx2( y + 1) las variables son sólo x e y, porque aparecen en P( x, y); z no es variable, por lo que no es factor de P(x, y). En P(x) = 4xwyz, el único factor de P(x) es x, las demás letras no son factores de P( x).
Los factores son: x; x2, y + 1, x( y + 1), x2( y + 1). E R T S E M I B I I I
POLINOMIO IRREDUCTIBLE Un polinomio es irreductible cuando no puede ser expresado como la multiplicación de dos o más factores. Son polinomios irreductibles: P(x) = 2x + 3
Q( y) = y – 1
No son variables
R(z) = xyz
Nota
Única variable
Problema 2
Señala los polinomios irreductibles: 1. P(x) = 3x – 3 2. Q( y) = x + y + 1 3. S(x) = x2 + x + 1
4. R(x) = 3x2
Todo polinomio de primer grado siempre es irreductible.
Solución:
x + 2, x + y + 2z, 3 y + 9 son
Son irreductibles: P(x), Q( y) y S(x).
irreductibles.
FACTOR PRIMO El factor primo de un polinomio es un factor irreductible. Dado el polinomio P( x) = 5x2(x + 1)3(x – 1), sus factores primos son: x, (x + 1) y (x – 1). 40
1
FACTORIZACIÓN I
CAPÍTULO 13
Problema 3
Calcula la suma de los factores primos de P( x, y) = 2x2 y2(x + y) Solución:
Suma de factores primos: x + y + (x + y) = 2x + 2 y.
2
Ten Presente
CANTIDAD DE FACTORES DE UN POLINOMIO
FACTORES CUADRÁTICOS
La cantidad de factores o divisores algebraicos de un polinomio, se cal cula multiplicando los exponentes de los factores primos aumentados en una unidad y disminuyendo en 1 el producto. • Para P(x) = 3x2(x + 2)3(x + 1), la cantidad de factores es: 3·4·2 – 1 = 23 Factores primos
• Q(x, y) = 7x5 y4(x + y)2(x – y)(x – 1) tiene 6·5·3·2·2 – 1= 359 factores.
De los factores de: P(x, y) = 5x4 y3 los factores cuadráticos son: x2, x4, y2, x2 y2 y x4 y2 Para calcular el número de factores cuadráticos podemos proceder así: P(x, y) = 5(x2)2( y2)1 y
Problema 4
Dado el polinomio P(x, y) = –2x2 y3(2x + 1)( y – 1)2, determina el número de factores primos y el total de factores.
Número de factores cuadráti cos es: (2 + 1)(1 + 1) – 1 = 5
Solución:
Factores primos: x, y, (2x + 1), ( y – 1) ⇒ son 4. Número total de factores: 3·4·2·3 – 1 = 71. Rpta.: 4 y 71
Actividad 13 1
¿Cuántos factores primos tiene el polinomio P(x; y; z) = 2xy2z3?
2
Indica el número de factores primos del polinomio: P(x; y) = 4x2 y5(x + y)6z3
3
4
Halla la suma de los factores primos del polinomio: A(x; y; z) = 10x(x – y)2( y – z)3(z – x)4
8
Determina la suma de los factores primos en el polinomio: P(x; y) = 9x3 y2z(3x – 1)(x – y)2
9
Escribe e indica el número de factores de las siguientes expresiones:
Identifca los siguientes
• P(x) = x + 2 • R(x) = x2 + 3
polinomios primos: • Q(x; y) = xy + 2x • T(x; y) = 3x – xy2
7
Determina el número de factores primos en: P(x; y) = 3x2 y(x + 3)( y2 – 5)2
5
Escribe todos los factores del polinomio: P(x; y; z) = 3x2 yz
6
Señala la expresión que no es un polinomio primo:
a) 1 – x d) 3xy
b) x2 + 1
a) xyz 10
b) x2 y2
c) (x + 1)( y – 2)3
Determina el número de factores que tiene el polinomio: P(x; y; z) = 2x( y + 2)2(z + 3)3
c) 5x + y e) 3x2 + 2 y
1
41
I I I B I M E S T R E
14
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN II
Los hermanos José Soto y Jorge Soto, han puesto una academia de fútbol.
La factorización es inverso de la multi plicación. ¿Cuándo se multiplica y cuan do se factoriza?
Es suciente decir "los hermanos José y Jorge Soto".
FACTORIZACIÓN Recuerda
La factorización consiste en transformar un polinomio en una multi plicación indicada de sus factores primos o sus potencias. La factorización es un proceso inverso a la multiplicación: Multiplicación Factorización
a) A la adición: x( y + z) = x y + xz
x y + xz = x( y + z)
x( y + z) = x y + xz
Estas transformaciones se estudian con la nalidad de aplicarlas en la reso lución de ecuaciones. Observa los ejemplos: • x( y + x) = 25 + xy xy + x2 = 25 + xy x = 5 E R T S E M I B I I I
• xy + xz = 6( y + z) x( y + z) = 6( y + z) x = 6
Aquí fue conveniente multiplicar. Problema 1 Identifca las siguientes factorizadas:
1. 2x(2x – 1)(x + 2)
3. xy2(x + y)4
4. x2 y – y2x
Solución:
Están factorizadas las expresiones 1 y 3.
b) A la sustracción: x( y – z) = x y – xz
Podemos generalizar para más sumandos:
Aquí fue conveniente factorizar.
2. x3 + 2x2 – x
Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a:
Rpta.: 1 y 3
x(m + n – p + r)
= xm + xn – x p + xr La extracción del factor común es lo contrario a esta propiedad: • x y + xz = x( y + z) • x y – xz = x( y – z)
CRITERIO DEL FACTOR COMÚN
• x4 + x3 + x2 = x2(x2 + x + 1)
FACTOR COMÚN MONOMIO • xy + xz + xw = x( y + z + w) • x2a + x2b + x2c = x2(a + b + c) • x5 + x4 – x3 = x3(x2 + x – 1) • 24x4 yz + 18x3 yw = 6x3 y(4xz + 3w) Término común
MCD Con el menor exponente 42
1
• x y + xz – xw = x( y + z – w)
Cada término tiene el factor x, el cual se factoriza. El factor común a los tres términos es x2 y se factoriza. Se extrae x con el menor exponente. Se verica multiplicando. Los términos entre paréntesis son tales que al ser multiplicados por el factor extraído producen los términos originales.
FACTORIZACIÓN II
CAPÍTULO 14
Problema 2
Luego de factorizar 35x5 y7 – 42x6 y3 indica el número de factores primos. Solución:
35x5 y7 – 42x6 y3 = 7x5 y3( y4 + x) ⇒ tiene 3 factores primos.
Rpta.: 3
FACTOR COMÚN POLINOMIO • 3x( y + z) + 4w( y + z) = ( y + z)(3x + 4w)
El factor común es y + z
• 4(x + 3)4 – 5(x + 3)3 = (x + 3)3[4(x + 3) – 5] = (x + 3)3(4x + 7)
El factor común es (x + 3)3
• 6(x + 1) y2 + 9(x + 1) y3 = 3(x + 1) y2(2 + 3 y)
3 = MCD(6; 9)
2
Ten Presente
Para vericar que la factori zación es correcta, se multi plica el factor extraído por los términos del otro factor.
Problema 3
Calcula el número de factores primos que resultan de factorizar la expresión: 10(x + 3) y2 + 15(x + 3) y + 20(x + 3) Solución:
• x3 y2 + x2 y3 = x2 y2(x + y) Vericamos: x2 y2(x + y) = x3 y2 + x2 y3
De los coecientes 10; 15 y 20 factorizamos 5 (MCD de 10; 15 y 20) El factor común polinomio (x + 3) lo factorizamos con su menor exponente:
10(x + 3) y2 + 15(x + 3) y + 20(x + 3) = 5(x + 3)(2 y2 + 3 y + 4) Tiene 2 factores primos.
Está correctamente factorizado. • x3 y2 – x2 y = x3 y(x – 1)
Rpta.: 2
Vericamos: x3 y( y – 1) = x3 y2 – x3 y
No está bien realizada la factorización. Lo correcto es: x3 y2 + x2 y = x2 y(xy + 1)
FACTOR COMÚN POLINOMIO POR AGRUPACIÓN a2x + b2 y + a2 y + b2x = a2x + a2 y + b2 y + b2x
Agrupamos apropiadamente. = a2(x + y) + b2( y + x) Factorizamos los términos comunes. 2 2 = (x + y)(a + b ) Extraemos el factor común polinomio.
Problema 4
Factoriza: x5 y5 + x3 y3 + x8 + y8 Solución:
Agrupamos apropiadamente:
x5 y5 + x8 + x3 y3 + y8
Extraemos los factores comunes:
x5( y5 + x3) + y3(x3 + y5)
Extraemos el factor común polinomio:
( y5 + x3)(x5 + y3) Rpta.: (x5 + y3)(x3 + y5)
1
43
I I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 14
FACTORIZACIÓN II
Problema 5
Problema 6
Problema 7
Luego de factorizar: 2x(x + y) – x – y halla la suma de sus factores primos.
Luego de factorizar: 5(x + 1)2 + 2(x + 1) se obtuvo (x + c){ax + b}; entonces el valor de L = a + b + c es:
¿Cuántos factores primos tiene la expresión factorizada de (x + 3)2 + x + 3?
Solución:
Solución:
Extrayendo el factor común x + 3:
Agrupando en forma conveniente. 2x(x + y) – (x + y) = (x + y) (2x – 1) La suma de los factores primos es: (x + y) + (2x – 1) = x + y + 2x – 1 = 3x + y – 1
Extrayendo el factor común x + 1:
(x + 3)2 + x + 3 = (x + 3){(x + 3) + 1}
Rpta.: 3x + y – 1
Solución:
= (x + 3)(x + 4)
(x + 1){5(x + 1) + 2} = (x + 1)(5x + 7)
Comparando se tiene: a = 5 ; b = 7 ; c = 1
Tiene 2 factores primos (x + 3) y (x + 4).
Se pide: L = a + b + c L=5+7+1 L = 13 Rpta: 13
Rpta: 2
Actividad 14 1
E R T S E M I B I I I
Relaciona cada polinomio con su factor común: a) P(x; y) = xy – 2x 1. (x + 1) y
Relaciona cada polinomio con su respectivo fac tor común:
b) Q(x; y) = x4 y3 + 2x2 y4
2. x
a) 4x4 – 3x3 + 6x2
1. 3xy
c) R(x; y) = (x + 1) y – y2(x + 1)
3. x2 y3
b) 3x2 y + 15xy
2. xy2
c) 6xy3 – x2 y2
3. 4x
d) 20xy – 16x2
4. x2
2
Factoriza: ab + ac – ad
3
Luego de factorizar 2x + y – x(2x + y); halla la suma de los factores primos.
4
La expresión factorizada de xa – 3xb + x2 es x2(x3 – 3x2 + 1). halla el valor de a + b.
5
Expresa como producto de factores:
8
Luego de factorizar: 25x7 y4 – 15x5 y6 indica el número de factores primos.
9
¿Cuántos factores primos tiene: (x – 3)( y + 4) + 4 ( y + 4) + 2(x + 1)?
10
Factoriza el polinomio:
1. xy + xz + y + z
P(x; y; z) = x3 y3 + x2 y2z + x2 y2 + xyz
2. ab + bc – ad – cd
e indica verdadero (V) o falso (F), según corres-
3. pq + pb + qa + ab 6
7
Factoriza: a2x2 + b2 y2 + a2 y2 + b2x2
ponda. 1. El número de factores primos es 4. 2. Un factor primo es xy. 3. La suma de factores primos es 3xy + z + 1
44
1
15
O L U T Í P A C
FACTORIZACIÓN III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
¿Cuál de estas identidades es correcta?
¿Es posible extraer la raíz cuadrada
(a + b)2 = a2 + b2 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
a2
ab
ab
b2
a
b
9x2 + 6x + 1? b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Recordemos las identidades: Cuadrado de una suma
Cuadrado de una diferencia
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Trinomio cuadrado perfecto (TCP)
Un criterio de factorización es identicar el trinomio cuadrado y transformar en el cuadrado de donde proviene. Veamos si
x2 + 6x + 9
Recuerda
es un trinomio cuadrado perfecto.
x2 2x·3 32
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Se observa que el término central es el doble del producto de las raíces cua dradas de los extremos. Luego: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
I I I B I M E S T R E
Aquí otros ejemplos: • x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
• y4 + 2 y2 + 1 = ( y2 + 1)2
• x2 – 2x + 1 = (x – 1)2
• 9x2 – 12xy + 4 y2 = (3x – 2 y)2
Problema 1
Problema 2
¿Cuántos factores tiene 3xy2(x2 + 2x + 1)( y2 – 8 y + 16)?
Reduce la expresión
Solución:
• x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 • y2 – 8 y + 16 = ( y – 4)2 Reemplazando: 3xy2(x2 + 2x + 1)( y2 – 8x + 16) = 3xy2(x + 1)2( y – 4)2 ⇒
tiene 2·3·3·3 – 1 = 53 factores.
9x2 – 6x + 1 +
4x2 + 4x + 1 (x > 1)
Solución:
9x2 – 6x + 1 = (3x – 1)2 (3x)2 2(3x)1 12 Reemplazando: 9x2 – 6x + 1 +
4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 (2x)2 2(2x)1 12
4x2 + 4x + 1 = (3x – 1)2 + (2x + 1)2 = 3x – 1 + 2x + 1 = 5x Rpta.: 5x
1
45
CAPÍTULO 15
FACTORIZACIÓN III
DIFERENCIA DE CUADRADOS Recordemos la identidad: Suma por su diferencia a2 – b2 = (a + b)(a – b)
(a + b)(a – b) = a2 – b2
¡!
Interesante
Diferencia de cuadrados
Aquí algunos ejemplos: • x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)
• 9a2 – b2 = (3a + b)(3a – b)
• 4 y2 – 25 = (2 y + 5)(2 y – 5)
x + 3
• 16m2 – 25n2 = (4m + 5n)(4m – 5n) x
Problema 3
Problema 4
Factoriza: 5x2 – 20 Solución:
¿Cuántos factores primos tiene?: m2(x4 – 1)– n2(x4 – 1)
5x2 – 20 = 5(x2 – 4)
Solución:
= 5(x + 2)(x – 2)
Una forma de multiplicar bino mios es la siguiente: (x + 3)(x + 4)
3x
4x
12
x2 + 7x + 12
P = m2(x4 – 1) – n2(x4 – 1)
+ 4
x2
P = (x4 – 1)(m2 – n2)
P = (x2 + 1)(x2 – 1)(m + n)(m – n)
P= Rpta.: 5(x + 2)(x – 2)
(x2 + 1)(x + 1)(x – 1)(m + n)(m – n) Rpta.: 5
FACTORIZACIÓN POR ASPA SIMPLE E R T S E M I B I I I
Recordemos el producto de dos binomios con término común:
• ( x + 2)( x + 3) = x2 + 5 x + 6
¿Qué condición debe cumplir n para que x2 + nx + 5 sea factorizable?
• ( x – 5)( x + 2) = x2 – 3 x – 10 • ( x + a)( x + b) = x + (a + b) x + ab
Observación x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
Dado un producto, mediante el aspa simple podemos encontrar sus factores: • x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) 3x + x 2 2x x 3 Los productos en aspa su- 5x man el término central .
46
1
• x2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2) –5x + x –5 2x x 2 –3x
FACTORIZACIÓN III
CAPÍTULO 15
Problema 5
Problema 6
Problema 7
Factoriza: P = x2 y + 8xy + 15 y
Factoriza: Q = 6x2 + 7x – 3
Factoriza: R = x2 + 2xy + y2 – 3x – 3 y + 2
Solución: P = y(x2 + 8x + 15)
Solución: Q = 6x2 + 7x – 3
Solución:
x x
3 5
3x + 5x 8x
P = y(x + 3)(x + 5)
2x 3x
3 –1
–2x + 9x 7x
Q = (2x + 3)(3x – 1)
R = (x2 + 2xy + y2) – 3(x + y) + 2 R = (x + y)2 – 3(x + y) + 2 Sea x + y = z, entonces:
R = z2 – 3z + 2 = (z – 1)(z – 2) –1 –2
z z
Reponiendo:
–2z + –1z –3z
R = (x + y – 1)(x + y – 2)
Actividad 15 1
Factoriza los siguientes polinomios: a. x2 – 10x + 25 b. x2 + 4x + 4 c. 9x2 + 6xy + y2 d. 4x2 – 4xy + y2
6
Factoriza los siguientes polinomios: a. x2 + 4x + 3 b. y2 – 13 y + 30 c. a2 – 3a – 4 d. b2 + 6b – 40
2
Factoriza los siguientes polinomios: a. x4 – y2 b. x2 – 64 c. 36x2 – 4 d. (x + y)2 – 25
7
Si se puede factorizar por aspa simple: a. x2 + nx + 5 b. x2 + mx – 3
3
4
5
Relaciona las columnas: a. x2 – 6x + 9 1. (2x + 9)(2x – 9) b. 4x2 – 81 2. (x + 5)2 c. x2 + 10x + 25 3. (x – 3)2 Indica verdadero (V) o falso (F), según corres ponda. 1. x2 + 9 = (x + 3)2 2. x2 – 8x + 16 = (x – 8)2 3. 16x2 – 4 = 4(2x + 1)(2x – 1) Factoriza: P(x) = x2(x4 – 1) + 2x(x4 – 1) + (x4 – 1) e indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 1. P(x) tiene 5 factores primos. 2. La suma de los factores primos es (x + 1)2 3. Tiene 2 factores primos cuadráticos.
halla los valores de m y n.
I I I B I M E S T R E
8
Relaciona las columnas: a. x2 – 7x + 12 1. (x – 1)(x – 4) b. x2 + 9x + 8 2. (x + 1)(x + 8) c. x2 – 5x + 4 3. (x – 3)(x – 4)
9
Indica verdadero (V) o falso (F), según corres ponda. 1. x2 + 5 + 6 = (x + 2)(x + 3) 2. x2 – 8x + 7 = (x + 1)(x + 7) 3. x2 – 4x – 3 = (x – 3)(x + 1)
10
Luego de factorizar:
P(x) = x2 + 3x – 10 Q(x) = x2 + 8x + 15
señala el factor común.
1
47
16
O L U T Í P A C
ECUACIONES I
ECUACIONES DE PRIMER GRADO ¿Cuántos cubitos hay que poner en el platillo vacío para que la balanza alcance el equilibrio como la primera?
¿Cuál es la diferen cia entre ecuación e identidad?
El objetivo fundamental del Álgebra es la resolución de ecuaciones. Todo cuanto se estudia en Álgebra tiene que ver con la resolución de ecuaciones.
(Falso)
(Verdad) (Verdad)
(Falso)
(Verdad)
(Verdad)
Observa que la identidad siempre resulta una igualdad verdadera, para cualquier valor de x (variable) mientras que la ecuación es verdadera sólo para algunos valores de x. E R T S E M I B I I I
Problema 1
Entre las igualdades, identifca cuál es identidad y cuál, ecuación: 1. 3x + 6 = 3(x + 1) + 3
2. 2x – 5 = x + 10
3. (x + 1)(x – 1) = x2 – 1
4. 3x = 8
Solución:
1. Es identidad.
2. Es ecuación.
3. Es identidad.
4. Es ecuación. 2
Ten Presente
SOLUCIÓN 3x = 12 x = 4
El único valor de x que hace verdadera la ecuación es x = 4. Entonces 4 es solución de la ecuación 3x = 12.
MIEMBROS DE UNA ECUACIÓN
x(x + 1) = 2 x1 = 1, x2 = –2
Esta ecuación tiene dos soluciones: x = 1 y x = –2. El conjunto de valores que verican una ecuación se llama conjunto solución (C.S.). Para x(x + 1) = 2, C.S. = {1; –2}.
Las expresiones que guran a ambos lados del signo igual se llaman miembros de una ecuación.
Problema 2
Si el C.S. de la ecuación ax – 2x = 6 es {3}, determina el valor de a. Solución:
Si C.S. = {3} ⇒ para x = 3 la igualdad es verdadera. a(3) – 2(3) = 6 3a – 6 = 6 ⇒ a = 4 48
1
Rpta.: 4
3x – 2 = 2(x + 1) – 10
Primer miembro
Segundo miembro
ECUACIONES I
CAPÍTULO 16
RESOLVER UNA ECUACIÓN Busquemos qué valor de x verica la ecuación: • Para x = 0 3(0) – 6 = 0 –6 = 0
• Para x = 1 3(1) – 6 = 1 –3=1
No verifca
No verifca
3x – 6 = x
• Para x = 2 3(2) – 6 = 2 0=2
• Para x = 3 3(3) – 6 = 3 3=3
No verifca
¡La verifca!
Personaje
En este caso hemos encontrado la solución probando para diferentes valores de x. Resolver una ecuación es encontrar su solución o probar que no tiene. Existen muchas técnicas y métodos para resolver una ecuación, los cuales estudiaremos en adelante. Problema 3
2 Resuelve la ecuación x – 8 = 7, e indica el conjunto solución. 4
Solución:
2 En x – 8 = 7, ¿qué número dividido entre 4 da 7? ... ⇒ x2 – 8 = 28 4 2 En x – 8 = 28, ¿qué número queda 28 al restarle 8? ... ⇒ x2 = 36 En x2 = 36, ¿qué número elevado al cuadrado da 36? Se sabe que 62 = 36 y (–6)2 = 36, entonces x puede ser 6 o – 6 ⇒ C.S. = {6; –6} Rpta.: {6; – 6}
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Una ecuación de primer grado o lineal, con una incógnita, es aquella que se puede reducir a la forma.
ax + b = 0 x: incógnita a y b: parámetros
Problema 4
Determina el conjunto solución de la ecuación lineal: (m – 3)x2 + xn – 2 = m + n Solución:
Para que la ecuación sea lineal el coeciente de x2 debe ser cero ⇒ m = 3 Para que la ecuación sea lineal el exponente de xn – 2 debe ser uno ⇒ n = 3 Reemplazando: 0x2 + x1 = 3 + 3 ⇒ x = 6 Rpta.: {6}
Gerolamo o Girolamo Cardano (Italia 1501 - 1576)
Médico notable, célebre ma temático, astrólogo de valía, estudioso del azar, lósofo y destacado enciclopedista. En primer lugar, destaca por sus trabajos de Álgebra. En 1539 publicó su libro de aritmética Práctica “arithmetica et mensurandi singulares”. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su “Ars magna” fechado en 1545. En Bolonia, Cardano fue acusado de here jía en 1570 debido al tono po lémico y agudo de sus escritos y haber escrito el horóscopo de Jesús en 1554. Fue procesado, tras varios me ses en prisión, abjuró y logró la libertad pero con la prohi bición de publicar. Murió en Roma (una leyenda dice que en el día que él había predi cho) y su cuerpo fue trasladado a Milán y enterrado en la iglesia de San Marcos.
1
49
I I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 16
ECUACIONES I
Problema 5
Problema 6
Indica los enunciados que no se pueden expresar como una ecuación lineal: a) La edad de Telassim aumentada en 9 años es igual a 20 años. b) El triple de mi dinero. c) Al aumentar un número en 8 resulta igual a 24.
En la siguiente ecuación lineal: (2a - 6)x2 + ax + 3a + 1 = 16; halla el valor de a.
Solución:
a) x: Edad de Telassim. x + 9 = 20 es una ecuación lineal. b) x: Dinero 3x no es una ecuación lineal. c) x: número x + 8 = 24 es una ecuación lineal.
Solución:
Como la ecuación es lineal o de primer grado, entonces del coeciente del término cuadrático debe ser cero. 2a – 6 = 0 2a = 6 a = 6/2 a = 3 El valor de "a" es 3. Rpta.: 3
Rpta.: b
Actividad 16 1
Sabiendo que x e y pertenecen a: M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} halla la solución de las ecuaciones: a. 4x + 6 = 34 b. 12 y – 3 = 57
2
E R T S E M I B I I I
3
4
5
50
Relaciona cada ecuación con su conjunto solución: 1. 3x + 2 = 20 a) { } 2. x + 4 = x + 5 b) {9} 3. x – 7 = 2 c) {6}
6
b) 4x – 11 = 33 c) 8x + 3 = 19 d) 3x + 7 = 16 7
Determina las ecuaciones que tienen solución en Z a) 2x + 3 = 25 b) 3x + 1 = 30 c) 4x – 1 = 15 d) 5x + 2 = 23
Si el conjunto solución de la ecuación: ax – 7 = 35 es {6}, halla el valor de a. Indica los enunciados que no se pueden expresar como una ecuación lineal. a. La edad de Karla aumentada en 5 años. b. El triple de mi dinero menos S/. 10 me da S/. 50 c. Al disminuir un número en 21 resulta igual a su mitad. d. El doble de lo que tengo disminuido en S/.20
1
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son equivalentes? a) 7x – 5 = 9
Escribe la interpretación de las siguientes ecuaciones: a) x – 10 = 15
b) 3(x + 2) = 18 c) 4x = 28 8
Determina el valor de x en la ecuación lineal: ax2 – 2x2 + 4x = 5(a + 2)
9
Halla el valor de x si la ecuación: (a – 3)x2 + axb–2 + 3 = a + b es de primer grado.
10
¿Qué valor positivo debe tomar n para que la ecuación n2x2 + 4x = 2nx2 – 8, sea de primer grado?
17
O L U T Í P A C
ECUACIONES II CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE PRIMER GRADO No hay ningún en tero que verique esta ecuación.
¿Toda ecuación tiene solución?
3 x = 10
Recuerda
CONJUNTOS NUMÉRICOS Números naturales ( N): N = {0; 1; 2; 3; ...}
ECUACIÓN EN UN CONJUNTO NUMÉRICO (N, Z, Q, R, C) 3x = 18 3x = 10 x3 = 2 x2 = –4
Esta ecuación tiene por solución x = 6 (solución entera). 10 Esta ecuación no tiene solución entera, sino, racional 3 Esta ecuación no tiene solución en Q. Su solución es irracio nal: 3 2 (solución en R). Esta ecuación no tiene solución real, sino imaginaria (2i) (solución en C).
Una ecuación puede que no tenga solución en un conjunto numérico pero sí en otro o no tener solución en ninguno.
Números enteros ( Z): Z = {... ; –2; –1; 0; 1; 2; ...}
Z–
Z+
Números fraccionarios: 3 4
;
2 5
;
1 −
3
Números irracionales: 2;
3;
π
;
5
−
Números imaginarios: −2 ;
−1
3i ; 2
Por esta razón es necesario conocer los diversos tipos de ecuaciones. Complejos
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO AL NÚMERO DE INCÓGNITAS Las ecuaciones de primer gra do pueden ser de una, dos, tres o más incógnitas.
Reales
2x + 3 = 1 – x
Ec. de 1 incógnita
2x – y = 3
Ec. de 2 incógnitas
x + y + z = 10
Ec. de 3 incógnitas
Racionales
C ← R
←
Q
←
Imaginarios I (Irracionales)
Z Fraccionarios Enteros ← N Naturales ←
Enteros negativos
Problema 1
Resuelve la ecuación ax = 12, sabiendo que la ecuación (a – 2)x + 2 y + 3z = 18 es de dos incógnitas.
Nota
Solución:
La única forma de conseguir que tenga dos incógnitas es eliminando una de ellas. Se puede eliminar x haciendo que su coeciente sea cero: a – 2 = 0 ⇒ a = 2 Reemplazando en la ecuación a resolver: 2x = 12 ⇒ x = 6. Rpta.: C.S. = {6}
CLASIFICACIÓN DE ACUERDO A LA EXISTENCIA O NO DE SOLUCIONES a) Compatible o posible (Sí tiene solución)
Determinada (Tiene número limitado de soluciones) Indeterminada (Tiene innitas soluciones)
b) Incompatible, imposible o absurda.
2x + 1 = 15 2x + y = 17
3x + 1 = 3(x + 1)
De acuerdo al grado de sus miembros, una ecuación puede ser: Ecuación de primer grado: 8x – 3 = 5( x + 1) Ecuación de segundo grado: x2 – 5x = 2(x – 1) Ecuación de tercer grado: 2x3 – 1 = 2x2 + x Ecuación de grado superior: 3x4 – 5x2 = 1 – x3
(No tiene solución) 1
51
I I I B I M E S T R E
CAPÍTULO 17
ECUACIONES II
Problema 2 Clasifca las ecuaciones de acuerdo a sus soluciones:
• 3x + 5 = 2x – 1
• 3x + 1 = 3(x – 1)
• 3x + 5 = 2x + (5 + x)
• 3x + 1 = 3(x – 1)
• 3x + 5 = 2x + (5 + x)
Solución:
• 3x + 5 = 2x – 1
3x + 1 = 3x – 3 Iguales Diferentes
Esta ecuación se verica para: x = – 6 Compatible determinada
No hay valor de x que verique la igualdad. Incompatible, imposible o absurda
Problema 3
Iguales Cualquiera sea el va lor de x la igualdad siempre se cumple. Compatible e indeterminada
• Es compatible y determinada:
Si a ≠ 0 • Es compatible e indeterminada:
Si a = 0
b = 0
• Es imcompatible, imposible o absurda:
Solución: ax + 15 = 3(x + 6)
ax + 1 = 3(x – 5)
a = 3
ax + 15 = 3x + 3b
ax + 1 = 3x – 15
15 = 3b ⇒ b = 5
Iguales
Diferentes
Dada la ecuación lineal: ax + b = 0
compatible e indeterminada.
Solución:
Iguales a = 3
Ten Presente
3x + 5 = 3x + 5
Problema 4 Calcula a + b si ax + 15 = 3(x + b) es
Calcula el valor de a para que ax + 1 = 3(x – 5 ) sea absurda.
2
Rpta.: 3
a + b = 3 + 5 = 8
Si a = 0
b ≠ 0
Rpta.: 8
Actividad 17 E R T S E M I B I I I
1
2
3
4
Indica el número de incógnitas de las siguientes ecuaciones: a) 3x + 7 = x + 5 b) x + 2 y + z = 2(x + y + z) + 4 c) 2(x + y) – y = 6
¿Cuántas de las siguientes ecuaciones son compatibles? • x + 7 = 30 • x – 3 = 13 • x – 11 = x + 2 • 2x + 1 = 2x – 3 Indica las ecuaciones incompatibles: a) 2x – 3 = 11 b) 4x + 1 = 4(x + 2) c) 2(x – 1) + x = 3x – 1
Halla el valor de a para que la ecuación sea incompatible: 4x + 5 = ax + 2
6
Determina n para que la ecuación sea: 4(x – 1) = n(x + 2) + n(x – 4)
compatible indeterminada. 7
Calcula el valor de a si la ecuación: ax – 2x = 3(x + 4) es absurda.
8
¿Para qué valor de m la ecuación: mx – x = m + 5 es imposible?
9
Si la ecuación 2ax + 20 = 4(x + b) tiene innitas soluciones, calcula a·b
Determina si la ecuación compatible es determinada o indeterminada. x =
52
5
1
x
2
+
x
2
10
Si la ecuación mx + 9 = 4x – n tiene innitas 3 2 soluciones, calcula el valor de m·n.
18
O L U T Í P A C
ECUACIONES III SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación lineal con dos incógnitas puede te ner una sola solución.
¿Puede una ecuación li neal con una incógnita tener dos soluciones?
ax + b = 0
El método de resolución de ecuaciones de primer grado depende de las ca racterísticas de las ecuaciones. Aquí veremos los principales criterios.
TRANSPOSICIÓN
DE TÉRMINOS
Téngase la ecuación:
5x – 2 = 3x + 6
Sumamos a ambos miembros: 2 – 3x: 5x – 2 + 2 – 3x = 3x + 6 + 2 – 3x Luego de reducir da la impresión de que –2 pasó al 2º miembro como +2, y 3x al primer miembro como –3 x.
Multiplicando ambos miembros por
1
da la im-
2 presión de que el 2 de 2 x (que está multiplicando), hubiera pasado al 2º miembro, dividiendo.
5x – 3x = 6 + 2 2x = 8
1 1 2x · = 8 · 2 2 x = 82 x = 4
La transposición de términos consiste en que un término de cualquier miembro puede pasar al otro con signo cambiado. Además, un factor diferente de cero de cualquier miembro puede pasar a dividir si está multiplicando y a multiplicar, si está dividiendo.
Ten Presente
Dada una ecuación, despejar una incógnita es tenerla sola en uno de los miembros y tener en el otro una expresión que no contiene a la incógnita. De la ecuación: x+y 3
2x − y + 1
=
I I I B I M E S T R E
4
Despejando x:
Problema 1
Resuelve la ecuación: 3(5x – 4) = 18
x
Solución: 5x – 4 =
18 3 5x = 6 + 4 10 ⇒ x = 2 x = 5
2
=
7 y
−
3
2
Despejando y: y
Rpta.: 2
=
2x + 3 7
ECUACIÓN CON UN MIEMBRO FRACCIONARIO Para resolver este tipo de ecuaciones nos preguntamos: ¿Qué número entre 5 da 3? Rpta.: 15. Luego, ¿qué número sumado con 8 da 15? Rpta.: 7. Entonces x es 7.
x + 8
=3 5 x = 7
Problema 2
Resuelve la ecuación: 3x – 7 = 8 4 Solución:
¿Qué número entre 4 da 8? ⇒ 3x – 7 = 32 ¿Qué número menos 7 da 32? ⇒ 3x = 39 ¿Qué número por 3 da 39? ⇒ x = 13
Rpta.: 13
1
53
CAPÍTULO 18
ECUACIONES III
ECUACIÓN CON VARIOS TÉRMINOS FRACCIONARIOS 2x + 6
Resolvamos la ecuación:
5
Multiplicamos por el MCM de los denominadores (20):
−
x+5
+
4
3x − 1 10
=
3
20(2 x + 6) 20( x + 5) 20(3 x − 1) − + 5 4 10
Simplicamos:
=
20·3
4(2x + 6) – 5(x + 5) + 2(3x – 1) = 60
Efectuamos:
8x + 24 – 5x – 25 + 6x – 2 = 60
Transponemos –3:
9x – 3 = 60
Transponemos 9:
Recuerda
9x = 63
Operamos:
x=
63 9
x = 7 Problema 3
Resuelve la ecuación:
3x − 7 8
+
2x + 8 6
−
5x − 1 12
=
x +1 3
1. Cuando a ambos miembros de una ecuación se multi plica por un mismo factor, este multiplica a todos los términos de cada miembro.
• x + y + z = m + n Multiplicando por a:
Solución: 24(3 x − 7 ) 24(2 x + 8) 24(5 x − 1) + − 8 6 12
MCM(8; 6; 12; 3) = 24:
=
24(x + 1) 3
ax + a y + az = am + an
3(3x – 7) + 4(2x + 8) – 2(5x – 1) = 8(x + 1) 9x – 21 + 8x + 32 – 10x + 2 = 8x + 8 7x + 13 = 8x + 8 x = 5
•a+b=c+d Multiplicando por x: xa + xb = xc + xd
Rpta.: 5
ECUACIÓN CON RADICALES E R T S E M I B I I I
Cuando una ecuación presenta radicales se elevan ambos miembros a exponentes convenientes para eliminar los radicales.
2. Cuando se eleva al cua drado ambos miembros de una ecuación, el exponente afecta a cada miembro, mas no a cada término.
•a+b=c
Problema 4
Resuelve:
(a + b)2 = c2
x2
+
3x
+
x2
−
5x
+ 10 =
x +1
Solución:
Al cuadrado:
(
x 2 + 3 x + x 2 − 5 x + 10 x2
+
3x +
(
x2
−5
)
•a+b=c
2
x + 10
x 2 − 5 x + 10 )
=
( x + 1)2
=
x2
=
(1 − x)2
2
+
2x
a2 + b2 = c2 +1
x2 – 5x + 10 = 1 – 2x + x2
9 = 3x
⇒
x = 3
Vericamos la solución en la ecuación original, reemplazando x = 3: 32
+
3(3) + 3 2
−
5(3) + 10 18 +
=
3 +1
4
=
4
20
=
4 (Falso)
Vemos que la solución no verica la ecuación, entonces es incompatible.
54
1
(Correcto)
(Incorrecto)
ECUACIONES III
CAPÍTULO 18
Problema 5
Problema 6
Resuelve la ecuación: 2x – 1 – 3 = 6
Entre Ana y Aldo tienen 256 soles. Si Aldo tiene 56 soles más que Ana, ¿cuánto tiene Ana?
Solución:
Solución:
Despejando y reduciendo: 2x – 1 = 6 + 3
Lo que tiene Ana: x Lo que tiene Aldo: x + 56 Por condición del problema: x + (x + 56) = 256 2x + 56 = 256 x = 100
2x – 1 = 9 ( 2x – 1)2 = 92 2x – 1 = 81 x = 41
Rpta.: Ana tiene S/. 100
Rpta.: C.S. = {41}
Problema 7
Problema 8
La edad de Sofía es igual al triple de la misma disminuida en 22 años. ¿Cuál es la edad de Sofía? Solución:
Si 3a + 5 = 2(a + 4) y b + 2 – 1 = 2 3 halla el valor de x en: ax + bx = 3a + 1 Solución:
Edad de Sofía: x Por condición del problema: x = 3x – 22 22 = 3x – x 22 = 2x x = 11 Rpta.: Sofía tiene 11 años.
• 3a + 5 = 2a + 8 a = 3 • b + 2 = 3 b = 7 3 Reemplazando en la ecuación: 3x + 7x = 3(3) + 1 10x = 9 + 1 10x = 10 x = 1 Rpta.: 1
Actividad 18 1
Halla el valor de x en la ecuación:
6
x−3
Resuelve:
5
x + 2x + 3x + 4x – 50 = 5x + 40 2
Resuelve la siguiente ecuación: 2 9
3
x + 300 =
7
x
x −1 x +1
x−2 3
+
x −1 4
=
5
x−3
•
9
+
6
9 =
8
5
1
Resuelve:
2
−
2
y + 1 y − 2 2
−
3
=
3
7
La edad de David es igual al triple de su edad disminuido en 34 años. Esta edad es: Entre Ana y Luisa tienen 1240 soles, teniendo Ana 120 soles más que Luisa. ¿Cuánto le queda a Luisa si gasta 500 soles?
9
=
1
1+
2+
4
6
=
evalúa en R = 2x + 3 y
Halla el valor de x. 5
x +1
Luego de resolver las ecuaciones: •
3
+
10
1
x
Halla x, si:
(3x + 5)(x + 2) = (x + 2)(x + 4) + (2x + 1)(x + 3) 10
Resuelve: x2 − x − x2
−3
x + x2
+
x +7
=
x −1
1
55
I I I B I M E S T R E
Unidad
04
SISTEMA DE ECUACIONES Y FUNCIONES ALTITUD Y TEMPERATURA A medida que un alpinista asciende una montaña la temperatura del aire se torna más fría. Se deduce, entonces, que la temperatura depende de la altitud respecto al nivel del mar. En matemáticas se dice que el clima es una función de la altura sobre el nivel del mar. - ¿Cuál es la mayor altura a la que has llegado? - ¿Crees que la altitud respecto al nivel del mar favorece a la agricultura? www.bpa.peru-v.com/agricultura_andina.htm
a - Ancash Cordillera Blanc
APRENDIZAJES ESPERADOS Matematiza situaciones •
•
•
Comunica y representa
Reconoce el conjunto solución de un sistema de ecuaciones. Interpreta el conjunto solución de una inecuación. Determina si una relación es una función.
56
1
•
•
•
Relaciona sistemas de ecuaciones con su conjunto solución. Representa en forma gráfica el conjunto solución de una inecuación. Grafica funciones.
Elabora y usa estrategias •
•
Comprueba el conjunto solución de un sistema de ecuaciones. Emplea diversas estrategias para resolver problemas con sistemas de ecuaciones, inecuaciones y funciones.
Razona y argumenta •
•
•
Justifica el uso de los sistemas de ecuaciones para resolver diversos tipos de problemas. Propone ejemplos de inecuaciones. Argumenta el uso de una función.
19
O L U T Í P A C
SISTEMA DE ECUACIONES I SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ¿Cuándo dos ecuaciones forman un sistema?
¿Todos los sistemas tienen solución?
3 x + 2y = 22 x–y=–1
2
Ten Presente
Hemos visto que una ecuación puede ser de dos o más incógnitas. Una ecuación de dos incógnitas tiene, generalmente, innitas soluciones, entonces para que tenga solución única requiere de otra ecuación con las mismas incógnitas.
Un sistema de ecuaciones puede ser de dos, tres o más incógnitas. Sin embargo, debe haber tan tas ecuaciones como incógni tas para que el sistema tenga solución.
Dos ecuaciones, ambas con las mismas dos incógnitas, forman un sistema de ecuaciones, cuando el conjunto solución satisface a ambas. Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos ecuaciones lineales que tienen la misma solución.
ax + by = e
(1)
cx + dy = f
(2)
x, y ; incógnitas.
SOLUCIÓN DE SISTEMA
2
Ten Presente
La solución de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas x e y, es un par ordenado (x0; y0), que al reemplazar x0 por x e y0 por y, convierten a las ecuaciones en igualdades verdaderas.
Las ecuaciones de un sistema se pueden sumar miembro a miembro. Por ejemplo:
Problema 1
Dado el sistema:
2x + y = 12 (1) x – 2 y = 1 (2) verifca si los pares (x, y), (6; 0) o (5; 2) son solución del sistema. Solución:
La solución del sistema debe vericar las dos ecuaciones: • Para x = 6 e y = 0: En(1): 2(6) + 0 = 12 En(2): 6 – 2(0) = 1
(1) + (2):
2x + y = 23 (1) x – 3 y = 1 (2) 3x – 2 y = 24 (3)
La ecuación (3) puede formar un sistema con una de las ecuaciones originales (1) o (2)
• Para x = 5 e y = 2 ⇒
⇒
12 = 12
6=1
No verica las dos ecuaciones. (6; 0) no es solución.
En(1): 2(5) + 2 = 12 En(2): 5 – 2(2) = 1
12 = 12
⇒
1 = 1
⇒
Verica ambas ecuaciones. (5; 2) es solución del sistema.
1
57
I V B I M E S T R E
CAPÍTULO 19
SISTEMA DE ECUACIONES I
Problema 2
Dos camisas y tres pantalones cuestan S/. 130 y 3 camisas y 2 pantalones cuestan S/. 170. ¿Cuánto cuesta una camisa y un pantalón? Solución:
Costo de la camisa: x. Dato: 2x + 3 y = 130
Costo del pantalón: y. 3x + 2 y = 170
Sumando m.a.m: 5x + 5 y = 300
⇒
x + y = 60
Rpta.: Cuestan S/. 60
Problema 3 Plantea como sistema de ecuaciones el enunciado. Mi edad más el triple de la edad de mi hermana es 170 años. Pero siempre nuestras edades se diferen cian en 10 años. Solución:
Mi edad: x. (x > y) Edad de mi hermana: y. x + 3 y = 170 x – y = 10
Actividad 19 1
Cuál de los siguientes conjuntos:
6
Plantea como ecuación el enunciado: "Mi edad más el triple de la edad de mi hermana es 44, pero siempre nuestras edades se diferencian en 20 años".
7
Si el conjunto solución del sistema:
{(2, 1)} ; {( 4, 3)} ; {( 5, −1)} 7 x + 5 y = 43
es la solución del sistema 4x − 3 y = 7
2
Relaciona cada sistema con su solución: 4 x + y = 26
a) 2 x + 3 y = 28
1. x = 3; y = 2
3 x − y = 10 b)
2. x = 3; y = –1
4x + 5 y = 7
4 x + y = 14
c) x − 5 y = − 7 3
ax − y = 3 bx + 2 y = 4 es {(2; –1)}, halla ab 8
Tres camisas y un pantalón cuestan S/. 230 y una camisa y tres pantalones, S/. 290. ¿Cuánto cuesta una camisa y un pantalón?
9
En una tienda de mascotas se tiene las siguientes ofertas: Un canario más un hámster cuestan S/. 100 • Un hámster más un conejo cuestan S/. 120 • Un canario más un conejo cuestan S/. 90 ¿Cuánto pagará un comprador si lleva un canario, un conejo y un hámster?
3. x = 5; y = 6
Asocia cada sistema con su conjunto solución:
•
4x − 5 y = 1 a)
1. {(5; 2)}
2 x + y = 11
3 x + y = 23
b) x + 5 y = 45
2. {(4; 3)}
7 x − 2 y = 31 c)
5 x + 4 y
E R T S E M I B V I
4
3. {(5; 8)}
= 33
10
Halla el lado del cuadrado: (x + 1) y + 3
3x + y = a
Si la solución del sistema 2x + 4y = b
5 – y
) 3
es x = 7 y y = 2, halla a + 2b
+ x
(
5
Si {(a; 2)} es el C.S. del sistema: 3 x − ( y + 2) = 2 y + 1 5 x − ( y + 3) = 3 x + 1
halla a + x 58
1
x( y + 1) + 5
20
O L U T Í P A C
SISTEMA DE ECUACIONES II MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES Resolviendo por sepa rado las dos ecuacio nes de un sistema, ¿se resuelve el sistema?
3 x + 2y = 17 x – y = 9
¿Cuáles son los métodos de solución de un siste ma de ecuaciones?
Se debe tener una forma de resolver un sistema de ecuaciones. Existen diversos métodos de resolución que estudiaremos a continuación.
¡!
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
ECUACIONES FAMOSAS
Consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones y sustituirla en la otra ecuación. Se resuelve esta ecuación hallando el valor de una de las incógnitas. Para hallar el valor de la otra incógnita, se sustituye el valor hallado en la ecuación despejada.
5x + 3 y = 32 (1) x – 2 y = 9 (2) x = 9 + 2 y (3) De (2): (3) en (1): 5(9 + 2 y) + 3 y = 32 45 + 10 y + 3 y = 32 ⇒ y = –1 x = 9 + 2(–1) En (3): x = 7 C.S. = {(7; –1)}
Problema 1
Resuelve el sistema: Solución:
De (2):
1
x
=
−
3 y
2
3x – 5 y = 30 (1) 2x + 3 y = 1 (2) (3)
Por 2:
1 − 3 y − 5 y = 30 2 3 – 9 y – 10 y = 60 ⇒ y = –3
En (3)
x=
En (1):
3
1 − 3(−3) ⇒ x = 5 2
C.S. = {(5; –3)}
Interesante
Hay ecuaciones que han transformado concepciones cientícas y originado saltos en el avance de la ciencia. Ecuaciones como el teorema de Pitágoras c2 = a2 + b2, la segunda ley de Newton f = ma (fuerza igual a la masa por la aceleración), la ecuación de Einstein sobre la equiva lencia masa – energía, E = mc2 (Energía igual a la masa por la velocidad de la luz al cuadrado), las ecuaciones de Maxwell que relacionan el campo eléctrico con el campo magnético, la identidad de Eu ler ei + 1 = 0 que relaciona los cinco números más importan tes de la Matemática: e (base del logaritmo neperia no) (pi), –1 = i, 1 y 0.
Problema 2
Ernesto partió de Ica en su automóvil y llegó a Lima en 5 horas. De Ica a Chincha recorrió a 45 km/h y de Chincha a Lima a 70 km/h. ¿Qué tiempo tardó de Chincha a Lima, si Ica está en el km 300 de la Panamericana Sur?
I V B I M E S T R E
(1) 45x + 70 y = 300 (2) 45 km/h 70 km/h x = 5 – y De(1): (3) Ica x Horas Chincha y Horas Lima (3) en (2): 45(5 – y) + 70 y = 300 300 km 225 – 45 y + 70 y = 300 y = 3 Rpta.: 3 h Solución:
x + y = 5
1
59
CAPÍTULO 20
SISTEMA DE ECUACIONES II
MÉTODO DE IGUALACIÓN x + 2 y = 9
De ambas ecuaciones se despeja la misma incógnita y se igualan los respectivos segundos miembros. Una vez hallado el valor de una de las incógnitas, se lo sustituye en una de las ecuaciones despejadas y así hallar el valor de la otra.
De (1):
(1) 3x – 5 y = –61 (2) x = 9 – 2 y (3)
De (2): (4) = (3): En (3):
x 5 y
−
=
61
3
=
5 y
−
61
3 9
−
(4)
2 y
5 y – 61 = 27 – 6 y ⇒ y = 8 x = 9 – 2(8) ⇒ x = –7 C.S. = {(–7; 8)}
Problema 3
Resuelve el sistema por el método de igualación: 2x – 5 y = 33 3x + 2 y = 2
(1) (2)
Solución:
De (1):
=
x
33 + 5 y 2 2
De (2):
x
−
=
2 y
(4)
3
33 + 5 y
(3) = (4):
(3)
=
2
3
En (3):
x=
⇒
y = –5
33 + 5(−5) ⇒ x = 4 2
C.S. = {(4; –5)}
Problema 4
María gastó 46 soles en comprar 5 litros de aceite y 3 kg de arroz, mientras que Teresa gastó 32 soles en comprar 3 litros de aceite y 4 kg de arroz. Calcula el precio de 1 litro de aceite y 1 kg de arroz. Solución:
Si x es el precio de 1 litro de aceite e y el precio de 1 kg de arroz, entonces: 5x + 3 y = 46 (1) 3x + 4 y = 32 (2)
E R T S E M I B V I
46
De (1):
x
=
De (2):
x
=
(3) = (4):
3 y
(3)
5 32
46
−
−
4 y
−
5
3 y
32 =
−
4y
En (3):
x=
⇒
y = 2
46 − 3( 2) ⇒ x = 8 5
Un litro de aceite cuesta S/. 8 y 1 kg de arroz, S/. 2.
60
1
Por ejemplo, en el sistema: x – 2 y = 3
(1)
x + 3y = 13
(2)
x = 3 + 2 y 3 + 2 y = 13 – 3 y x = 13 – 3 y y = 2
En el sistema: x + y = 2 5x + 3 y = 16
(1) (2)
es recomendable usar el método de sustitución pero acomodando apropiadamente la ecuación (2): De (2): 2x + 3x + 3 y = 16 2x + 3(x + y) = 16 2 6 2x + 6 = 16 x = 5
Solución: (5; –3)
3
138 – 9 y = 160 – 20 y
Para resolver un sistema de ecuaciones se debe aprove char al máximo sus caracte rísticas:
En (1): 5 + y = 2 y = –3
(4)
3
Ten Presente
es recomendable usar el méto do de igualación despejando x de ambas ecuaciones.
2 − 2y
99 + 15 y = 4 – 4 y
2
SISTEMA DE ECUACIONES II
CAPÍTULO 20
MÉTODO DE REDUCCIÓN Consiste en eliminar una incógnita, sumando miembro a miembro las dos ecuaciones previamente multiplicadas por factores apropiados, de modo que los coecientes de la incógnita a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.
5x + 3 y = 46
(1)
2x – y = 3
(2)
(2) 3: 6x – 3 y = 9
(3)
(1) + (3): 11x = 55
Problema 5 Resuelve el sistema por el método de reducción:
4x + 3 y = –15
(1)
5x + 2 y = –24
(2)
Solución:
(1) 2: (2) (–3)
8x + 6 y = –30 – 15x – 6 y = 72
(3) + (4): En (1):
–7x = 42
4(–6) + 3 y = –15
Problema 6
Susana tiene una colección de artrópodos, entre arácnidos e insectos. Cuando se le pregunta por el número de animalitos de cada clase ella responde que en total hay 20 cabezas y 134 patas. ¿Cuántos arácnidos hay en la colección? (8 patas) e y insectos (6 patas).
Entonces:
x = –6
⇒
x = 5 ∧ y = 7
Solución: Sean x arácnidos
(3) (4)
⇒
⇒
x + y = 20 8x + 6 y = 134
(1) (2) (1) (–6): – 6x – 6 y = –120 (3) (2) + (3): 2x = 14 ⇒ x = 7
y = 3
C.S. = {(–6; 3)}
Rpta.: 7
POR CAMBIO DE VARIABLE 2
Cuando una expresión se repite se puede sustituir por otra variable. Se calcula el valor de esta variable y se restituye en la expresión original.
(2x – 1) + 3( y + 1) = 9 (1) 5(2x – 1) – 4( y + 1) = 7 (2) Sea 2x – 1 = m y y + 1 = n m + 3n = 9 En (1): (3) En (2): 5m – 4m = 7 (4) (3) (–5): –5m – 15n = –45 (5) (4) + (5): –19n = –38 ⇒ n = 2 En (3): 5m – 4(2) = 7 ⇒ m = 3 Reponiendo las variables: • 2x – 1 = 3 ⇒ x = 2 C.S. {(2; 1)} • y + 1 = 2 ⇒ y = 1
Ten Presente
3x = 4 y 2x + 5 y = 92 De (1):
x y
=
4 3
(1) (2)
x = 4 k ⇒ y = 3 k
En (2): 2(4k ) + 5(3k ) = 92 23k = 92 k = 4 Reponiendo la variable: x = 4(4) = 16 e y = 3(4) = 12
Problema 8
Problema 7 Si: x + y = 9 y + z = 5 x + z = 6
Dos números suman 22 y el doble del menor sumado con la mitad del mayor es 23. Halla los números. Solución:
calcula: x + y + z. Solución:
Sumando m.a.m las ecuaciones: 2x + 2 y + 2z = 20 Dividiendo entre cada uno de los términos: 2x + 2 y + 2z = 20 ⇒ x + y + z = 10 2 2 2 2 Rpta.: 10
Sean los números: x: número mayor. y: número menor. Por condición del problema: x + y = 22 x = 14 x y = 8 + 2 y = 23 2 Rpta.: Los números son 8 y 14.
1
61
I V B I M E S T R E
CAPÍTULO 20
SISTEMA DE ECUACIONES II
Problema 9
Problema 10
Resuelve el sistema: 5(2x – 1) + 3 y = 54 3(2x – 1) + 2(3 y + 2) = 49
Resuelve el sistema:
3 + 1 =2 x + 1 y – 3 6 – 5 = –3 x + 1 y – 3
(1) (2)
Solución:
De (1): 5(2x – 1) + (3 y + 2) = 56 Para: 2x – 1 = a y 3 y + 2 = b En (2): 3a + 2b = 49 En (3): 5a + b = 56 (5) (–2): –10a – 2b = –112 (4) + (6): –7a = –63 ⇒ a = 9 En (5): 5(9) + b = 56 ⇒ b = 11 Restituyendo: 2x – 1 = 9 ⇒ x = 5 3 y + 2 = 11 ⇒ y = 3
(3) (4) (5) (6)
Solución: Sea: x +1 1 = a
1
y
y – 3
1
1 =
x +1 1
C.S. = {(5; 3)}
=
y − 3
⇒
3
(2)
= b
Reemplazando: 3a + b = 2 6a – 5b = –3 (3) 5: 15a + 5b = 10 1 (5) + (4): 21a = 7 ⇒ a = 3 1 En (3): 3 + b = 2 ⇒ b = 1 3 Restituyendo:
(1)
(3) (4) (5)
x=2
1 ⇒ y
=
4
Actividad 20 1
3 x + 2 y = 12 Resuelve el sistema
6
Halla x + 2 y en el sistema:
2 x − y = 8
(2 x + 4) − 3( y − 2) = −7 2(2 x + 4) − ( y − 2) = 11
y halla x + y. 2
3
El cuádruple de lo que tengo menos tres veces lo que él tiene es S/. 13. Pero tres veces lo que tengo más cinco veces lo que él tiene es S/. 46. ¿Cuánto tenemos entre los dos?
7
1 1 x − 1 + y − 2 = 17 Resuelve: 1 − 1 = 13 x − 1 y − 2
e indica el valor de x( y + 5).
En el siguiente cuadrado, halla x + y. x–y
5
4
E R T S E M I B V I
8
Un moderno crucero tiene camarotes dobles (2 camas) y simples (1 cama). Si oferta 65 camarotes que hacen un total de 105 camas, averígua el número de camarotes de cada tipo.
9
Resuelve: 7 x − ( y + 4) = 4 x − 1
2 y – 1
Dado el sistema: y x + 3 = 30 x + y = 11 4 5
62
Un obrero recibe 20 soles por cada día que tra baja, pero si no asiste a sus labores se le descuenta 8 soles. Si al cabo de 25 días recibe 192 soles, ¿cuántos días faltó? 1
e indica el valor de 99x + 100 y.
halla el valor de a, que satisface: ax + y = xy. 5
3 x − ( y + 2) = 3 y + 1
10
1 2 29 x + y = Resuelve 3 − 1 = 38 x y
y halla x/y.
21
O L U T Í P A C
INECUACIONES INECUACIONES LINEALES Si en esta ecuación el signo igual se reemplaza por el signo mayor que (>), ¿qué sucede con el número de soluciones?
¿En qué diere el método de solución de ecuaciones con el de inecuaciones?
3 x – 5 = 2 x + 3 3 x – 5 > 2 x + 3
¿Para qué valores enteros se cumple la desigualdad x > 7? x=8 x = 9
x > 7
8; 9; 10; 11; ...
es una solución particular de x > 7. también es una solución particular de x > 7. etc.
La desigualdad x > 7, que se satisface para cierto conjunto de valores de x se llama inecuación. El conjunto de soluciones particulares forma el conjunto solución de la inecuación y generalmente es un intervalo.
INTERVALO Un intervalo es un conjunto de números comprendidos entre dos extremos.
Extremo
Los extremos pueden estar incluidos en el intervalo (intervalo cerrado), no estar incluidos (intervalo abierto), o estar incluido sólo uno de ellos (intervalo semiabierto).
2
Extremo
x
7 2 x < 7 Intervalo x [2; 7 Abierto
Cerrado
Problema 1
3) x –2; 4]
1. Si a > b: a + c > b + c 2. Si a > b: a – c > b – c 3. Si a > b: ac > bc
si c
>0
ac < bc
si c
<0
⇒
5. Si a y b son del mismo signo:
Solución:
2) x [–3; 0]
Ten Presente
4. Si a > b > 0 a2 > b2 > 0 Si a < b < 0 a2 > b2 > 0
Expresa en forma de intervalo las siguientes desigualdades: 1) 1 < x < 7 2) –3 x 0 3) –2 < x 4 4) x –2
1) x 1; 7
2
y a < b
4) x –; –2]
1 a
>
1 b
(a, b, 0)
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES La resolución de una inecuación es similar a la de una ecuación, con la única diferencia de que si se multiplicara ambos miembros por un número negativo el sentido de la desigualdad se invierte. Lo anterior implica que cuando se transpone un número negativo ya sea dividendo o multipli cando, el sentido de la desigualdad se invierte.
Sea:
2 + 3x 5
−
Solución: 2 + 3x − 5x 5
I V B I M E S T R E
x<6
<
6
2 – 2x < 30 –2x < 28 x>
28 −2
x > –14 C.S. = –14; + 1
63
CAPÍTULO 21
INECUACIONES
Problema 2
Problema 3
Problema 4
Halla el C.S. de la inecuación:
Resuelve la inecuación:
Calcula el C.S. de:
3x − 2 2
−
2x − 1 3
7 <
1
2x + 3
1
≥1
4
≤
2
x−5
<
1 2
Solución:
Solución:
Solución:
MCM (2; 3) = 6 3x − 2 − 6 2x − 1 < 1 ⋅ 6 6 2 3
Se observa que 2x + 3 es positivo, entonces se lo puede trasponer multiplicando sin cambiar el sentido de la desigualdad. 2 x + 3 > 0 ⇒ x > − 3 2
Si a > b y a y b son del mismo
7 2x + 3
Por 2: 8 x – 5 > 4
4 2x
+ 5: 13 x > 9 C.S. 9; 13]
3(3x – 2) – 2(2x – 1) < 6 9x – 6 – 4x + 2 < 6 5x < 10 x < 2 C.S. = –; 2
x 2
C.S. = –3/2; 2]
signo 1 4
≤
⇒
1
<
a 2
x−5
<
1 b
1
⇒4≥
2
x−5
>2
2
Actividad 21 1
Resuelve: 3(x – 2) + 1 2(x + 5).
2
Simboliza cada una de las siguientes proposiciones: a) "n" es un número natural mayor que 7. b) "x" es un número natural menor que 11. c) Un número natural sumado con 3 es mayor o igual que 12. d) "x" es un número entero menor o igual a 10.
5
Halla el intervalo al que pertenece x: 2(x – 1) – (x + 3)
6
Halla el intervalo al que pertenece x: 5(x – 1) + x < 5(x + 1) – 10
7
Si
1 1 ∈ ; y además x ∈ [m; n] 2 x + 8 12 7 1
halla el valor de mn. 3
Si x ∈ Z+, resuelve las siguientes inecuaciones:
a) 2x + 5 < 4x – 9 c) –7 + 3x < – 2x + 4 4
E R T S E M I B V I
b) x + 8 5x – 7 d) –13x + 9 > 5x – 18
1
Resuelve: x − 1 ≤ x + 1 − x + 2 3
5
10
9
Si al doble de la edad de una persona se le resta 17 años, resulta menor que 35; pero si a la mitad de la edad se le suma 3, el resultado es mayor que 15. ¿Cuál es dicha edad?
10
En dos ocinas trabajan 40 empleados. Si el doble de los que trabajan en la primera es mayor que las que trabajan en la segunda, ¿cuántas personas, a lo más, trabajan en la segunda ocina?
Simboliza y encuentra el conjunto solución de los siguientes enunciados:
a) La suma de un número natural y 15 es mayor o igual que 23. b) La diferencia entre un número natural y 13 es menor o igual que 48. c) El doble de un número entero más 9 es menor que 33. d) El triple de un número natural disminuido en 15 es mayor que 47.
64
8
22
O L U T Í P A C
FUNCIONES I FUNCIÓN LINEAL DE VARIABLE REAL ¿Por qué el apellido Vega Salas no es igual al apelli do Salas Vega?
Si f ( x) = 2 x + 1 calcula: f (5) – f (–4) P= f (1)
Si y es triple de x, ¿cuál es la fórmula que los relaciona?
PAR ORDENADO Dos elementos dotados de un criterio de orden que dene cuál es el primero y cuál el segundo, es un par ordenado.
Par ordenado (x; y) Primer Segundo componente componente
En el par ordenado (7; 3), 7 va adelante y 3, atrás. Si escribimos como (3; 7) ya no es el mismo par, sino otro. Problema 1
Si los pares ordenados (x + 1; 5) y (7; 2 y – 1) son iguales, calcula x + y. Solución:
Dos pares ordenados son iguales si sus respectivas componentes son iguales: (x + 1; 5) = (7; 2 y – 1) x + 1 = 7 5 = 2 y – 1 x = 6 y = 3 x + y = 6 + 3 = 9 Rpta.: 9
PRODUCTO CARTESIANO 2
Ten Presente
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, el producto cartesiano A por B, denotado por AB, se dene así:
AB = {(a, b) / a A b B}
Sean los conjuntos A = {2; 3} y B = {1; 5; 7}. Obtengamos AB. AB = {(2; 1), (2; 5), (2; 7), (3; 1), (3; 5), (3; 7)}
f = {(3; 5), (4; 8); (5; 8)}
Problema 2
Dados los conjuntos A = {x Z / 1 < x < 4} halla AB y representa grácamente.
B = {x Z / 5 x 7}
no es función porque (2; 3) y (2; 7) tienen la misma primera componente.
A = {2; 3} B = {5; 6; 7} AB = {(2; 5), (2; 6), (2; 7), (3; 5), (3; 6), (3; 7)} Representación gráca: •2 •3
Diagrama sagital
es una función: g = {(2; 3), (4; 6), (2; 7)}
Solución:
•5 •6 •7
Dos pares ordenados distintos de una función no pueden tener la misma primera com ponente.
7 6 5 2 3 Diagrama cartesiano
1
65
I V B I M E S T R E
CAPÍTULO 22
FUNCIONES I
FUNCIÓN Sea y = 2x, con x Z. Para cada valor de x obtenemos un valor de y. Obsérvese el cuadro de la de-
... –2 –1 0 ... –4 –2 0
x y
recha.
1
2
2 4
3 ... 6 ...
Función: y = 2x ó f (x) = 2x x: variable independiente. y: variable dependiente.
Una función es un conjunto de pares ordenados (x, y), relacionados por alguna fórmula o criterio. Problema 3
Dada la función f = {(1; 5), (2; 7), (3; 9), (4; 11)}, encuentra la fórmula que relaciona sus elementos.
2
Ten Presente
El perímetro P de un cuadra do depende o es función de la longitud de su lado. x
Solución:
x y
1 2 3 ... 5 7 9 ... 2 2
x
y = 2x + 3 ó f (x) = 2x + 3
x
Rpta.: y = 2x + 3
x Problema 4 En f (x) = 3x – 2, calcula P
f (5) f ( 4) f (1) −
=
Perímetro: P(x) = x + x + x + x P(x) = 4x
−
Solución:
f (x) = 3x – 2
Reemplazando en P: f (–4) = 3(–4) – 2 = –14 13 ( 14) P 27 f (5) = 3(5) – 2 = 13
−
=
f (1) = 3(1) – 2 = 1
−
1
=
Problema 5
Problema 6
Pedro, Omar y Teodoro tienen tantos soles como el número de letras tienen sus nombres. Escribe los pares ordenados que indican la persona y la cantidad de soles que tiene. Solución:
El costo de fabricar 10 bolsas de cartón al día es de 2 soles, mientras que fabricar 20 bolsas del mismo tipo cuesta 4 soles. Si el modelo de costo es lineal, determina la fórmula correspondiente a producir x bolsas de papel al día.
Pedro: 5 letras = S/. 5.
Solución:
Omar: 4 letras = S/. 4.
Sea la función f (x) = ax + b. Del dato, para x = 10 f (10) = 2. 2 = 10a + b ....(I) • Para x = 4 f (20) = 4. 4 = 20a + b ... (II) • De (I) y (II) se obtiene: a = 1/5 y b = 0. • La función es: f (x) = x/5.
Teodoro: 7 letras = S/. 7. E R T S E M I B V I
Rpta.: 27
Entonces: A = {(Pedro, 5); (Omar; 4); (Teodoro; 7)}
66
1
FUNCIONES I
CAPÍTULO 22
Problema 7
Problema 8
Dados los conjuntos: A = {x N / 3 ≤ x ≤ 6} B = { y N / 2 ≤ y < 5}
El costo variable de fabricar llantas para bicicletas es de 30 soles por unidad y los costos jos por día son de 90 soles. Escribe la función lineal del costo total. ¿Cuánto cuesta fabricar 25 llantas para bicicletas por día?
siendo R incluido en A×B, halla: R = {(a, b) A×B / a + b es impar}
Solución:
Solución:
A = {3; 4; 5; 6} B = {2; 3; 4} Entonces: R = {(3; 2), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (5; 4), (6; 3)}
Sea f (x) que representa el costo total, se tiene: f (x) = 30x + 90
Fabricar 25 llantas cuesta: f (25) = 30(25) + 90 = 750 + 90 = 840
Actividad 22 1
Ana, Luisa y Magdalena tienen tantos soles como el número de letras tienen sus nombres. Escribe los pares ordenados que indican la per sona y la cantidad de soles que tiene.
7
En una playa de estacionamiento la primera hora cuesta S/. 5 mientras que por las siguientes se paga S/. 3 la hora. Escribe la función correspondiente.
2
Sean los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {3; 7} Halla el diagrama sagital y cartesiano de AB.
8
Determina, en cada caso, la expresión que relaciona las variables.
3
Dados los conjuntos P = {x ∈N/ 4 < x y Q = { y ∈N/ 6 y halla: R1 = {(a, b) ∈ PQ / a > b}
a) <
10} 9} b)
x
1
2
3
4
5
y
4
7
10
13
16
x
1,5
2,5
3,5
4,5
6,5
y
2
4
6
8
12
R2 = {(a, b) ∈ PQ / a + b es par}
si R1 y R2 están incluidos en PQ. 4
9
Representa en cada caso la función que corres ponde:
a)
a. El ingreso diario por el cobro de entradas al zoológico, si cada una cuesta S/.12. b. La cantidad que le queda a Miguel si tiene S/. 600 soles y cada día gasta S/. 3. 5
b)
¿Cuáles son las variables dependientes de las funciones: m = f (n); p = f (q)? 10
6
En cada caso identifca la variable dependiente y la variable independiente: a. El perímetro (P) de un triángulo equilátero de lado L. b. El área de un circulo (A) de radio r.
De acuerdo a la tabla, determina la expresión que relaciona las variables. Nº millares
1
2
3
4
Precio (S/.)
19
38
57
76
Radio
2
3
4
4,5
Perímetro. del 4 círculo
6
8
9
Descubre la regla de correspondencia de cada función y escríbela. a) f = {(2; 6); (3; 9) ; (4; 12); (5; 15)} b) g = {(0; 1); (1; 3) ; (2; 5); (3; 7)} c) h = {(1; 2); (2; 6) ; (3; 10); (4; 14); (5; 18)}
1
67
I V B I M E S T R E
23
O L U T Í P A C
FUNCIONES II
GRÁFICO DE FUNCIONES
Este es un gráco de la población de una ciudad en función de la edad (de 0 a 50 años) ¿Cómo se puede interpretar?
¿Cuándo la gráca de una función son puntos y cuán do, una línea continua?
x 1000
30 20 10 10 20 30 40 50
Sea f (x) = x + 1, x Z / 1 x < 6.
X
Tabulemos los valores de f : x
1
y = x + 1
2
2 3
3 4
4 5
5 6
Estos pares ordenados se pueden gracar mediante el diagrama de echas o usando el sistema cartesiano. Véase a la derecha.
En esta función resulta: f (1) = 2; f (2) = 3; f (3) = 4; f (4) = 5 y f (5) = 6
1• 2• 3• 4• 5•
Diagrama de echas
y = f (x)
Sistema cartesiano
1 1
Los diagramas sagital y cartesiano representan la misma función. Calcula f (a) + f (b).
Justifca por
X
2 3 4 5
qué el gráco no corresponde a una función. 2 1
d c
–2 –1 0
b a
–1
1
2
3
4
–2
1 2
3 4
Del gráco: a = 2; b = 4; c = 6; d = 8
Obsérvese que los puntos (1; –1) y (1; 1) tienen la misma primera componente, por lo que no corresponden a una función.
f (a) = f (2) f (a) = 4 f (b) = f (4) f (b) = 8 f (a) + f (b) = 4 + 8 = 12
Rpta.: 12
1
Solución:
La relación cuya gráca se muestra es: f = {(–2, –2), (–1; –1), (0; 0), (1; –1), (1; 1), (2; 0), (3; 1), (4; 2)}
Solución:
68
David Hilbert
6 5 4 3 2
Problema 2
•2 •4 •6 •8
Y
•2 •3 •4 •5 •6
Problema 1
1• 2• 3• 4• E R T S E M I B V I
f
Y
En el sistema cartesiano el gráco de f son 5 puntos alineados.
f
Personaje
La forma práctica de reconocer la grá ca de una función es trazando una recta vertical y vericando que no la corte en más de 1 punto.
(Alemania 1862 - 1943)
Matemático alemán, recono cido como uno de los más inuyentes del siglo XIX y principios del XX. Ganó su re putación como gran matemático y cientíco inventando y desarrollando un gran abanico de ideas, como la teoría de invariantes, la axiomatización de la geometría y la noción de espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. En la pugna por demostrar correctamente algunos de los errores cometidos por Einstein, en la teoría general de la relatividad, Hilbert se adelantó a las correcciones de Einstein, aunque nunca quiso otorgarse el mérito. El espacio de Hilbert es por sí misma la idea más importante del análisis funcional, que creció a su alrededor durante el siglo XX.
FUNCIONES II
CAPÍTULO 23
Problema 3
Problema 4
Completa la tabulación de la función f (x) = x + 2 y elabora su representación cartesiana.
Tabula y grafca el perímetro de un círculo en función de la longitud del radio, para algunas medidas enteras.
–2 –1
x
0
Solución:
y = x + 2
f (–2) = –2 + 2 = 0 f (–1) = –1 + 2 = 1
1
1,5
...
7,5
P(r) = 2r
5
–2 –1 0
f (0) = 0 + 2 = 2
0,5
10
Tabulando algunos valores.
1
0
P(r)=2r 0 =3,147 2=6,28 3=9,42 ...
P(r) = 2r ( 3; 14)
3 2 f (x) = x + 2
Solución:
r
El perímetro del círculo es:
1
1
2,5
f (1) = 1 + 2 = 3
–2 –1 y = x + 2 0 1
0 2
x
1
0,5 1 1,5 2
3
Actividad 23 1
a)
A
g
b)
B
c)
4 5 6
•1 •2 •3
•4
B
3 2 1
A
0
d)
h
•2
6
4 3 2
1
2
x
A
4
1
2
A •2 •4 •5 •7
3
B
7
Sea la función f : N → N definida por f (x) = 2x + 3. Calcula: f (2) + f (6) – f (4)
8
Dada la función: f (x) = 5x – 4, denida en NN, completa la representación tabular y realice la gráfica en un diagrama cartesiano.
Muestra la tabulación de las siguientes funciones para x ∈ {1; 2; 3; 4; 5; 6}
b) g(x) = 2x
x f (x)
c) h(x) = 3x + 2
En la gura se muestra un cuadrado:
x
21
Sea la función: F = {(1; 2); (2; 3); (3; 5); (5; 8)} Calcula: f (1) + f (3) + f [ f (3)]
•a •b •c •d
9
8
Í U Q A R I B I R C S E O N
6
4
f
4
1
f (x)
Sean los conjuntos A y B, y la función: f : A→B, denida por la regla de correspondencia f (x) = 10 + x halla los elementos de B.
a) f (x) = x – 3
Dada la función f : N → N definida por f (x) = 4x – 3, completa la representación tabular.
B
0
3
5
3
1
2
Determina su área para las siguientes medidas de x. x 10 cm 12 cm 15 cm 20 cm A(x) NO ESCRIBIR AQUÍ
Determina cuál de los siguientes grácos corresponde(n) a funciones.
9
0
4 11
6 21
Í U Q A R I B I R C S E O N
Sea la función: f = {(3; k + 1); (4; m – 1); (2k ; 5); (3; 3)} Calcula el valor de k·m.
x 10
Si f (x) = 2x + a y además f (3) = 10, halla f (a).
1
69
I V B I M E S T R E
24
O L U T Í P A C
FUNCIONES III
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN LINEAL Para denir una función, ¿es suciente denir los valores de la variable independiente? f(x) = 2 x – 1 x N
¿Puede una función tomar el mismo valor para va rios valores del dominio?
3
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN Sea la función: f (x) = 2x – 1 ; x N x 3 se observa que x = 0; 1; 2; 3 Tabulando: 0 y = 2x – 1 –1 x
1 1
2 3
5 4 3
3 5
2 1
Se aprecia que una función queda perfectamente denida con los valores de x y la regla de correspondencia, en este caso, 2x – 1.
0 –1
1
3
2
2
Los valores de y se pueden calcular, a partir de los valores de x, usando la regla de correspondencia. En una función f (x) el dominio es el conjunto de valores que puede tomar x. El dominio de la función del ejemplo es D f = {0, 1; 2; 3}. Problema 1
Quiere decir: " f es una función de A en B".
f
1
determina el dominio de f .
–2 –1 0
Solución: E R T S E M I B V I
X 1 2
–1
3
Los elementos de la función son (–2; 3), (–1; 1), (0; 0), (1; 1); (2; 3). Su dominio es: D f = {–2; –1; 0; 1; 2}.
RANGO DE UNA FUNCIÓN Sea la función: f (x) = x – 2 ; x Z, – 1 x 3 Se observa que D f = {–1; 0; 1; 2; 3}. Tabulación: x y = x – 2 70
–1 0 –3 –2
2 0
1
–1 1
3 1
Cuando el dominio de f está en un conjunto A y el rango en un conjunto B, entonces se denota así: f : A B (No vacíos)
Y 3 2
Dado el gráco de f .
Ten Presente
Y
–2 –1
0
1
2
3
4
X
FUNCIONES III
CAPÍTULO 24
En una función y = f (x), el rango es el conjunto de valores que toma y.
2
Ten Presente
El rango de la función del ejemplo es R f = {–3; –2; –1; 0; 1}. GRÁFICO DE FUNCIONES
Problema 2
Cualquier recta vertical corta en un sólo punto al gráco de una función.
Determina el rango de f (x) = 3x – 2, x Z, –1 < x 4. Solución: –1 < x 4 x = 0; 1; 2; 3; 4
• f (0) = 3(0) –2 = –2 • f (1) = 3(1) –2 = 1 • f (3) = 3(3) – 2 = 7 • f (4) = 3(4) – 2 = 10 Función: f = {(0; –2), (1; 1), (2; 4), (3; 7); (4; 10)}. R f = {–2; 1; 4; 7; 10}
• f (2) = 3(2) –2 = 4
Son funciones: Y
X
Problema 3
2
En el gráco, determina el dominio y rango de f .
Y
1
–2 –1
0
1
–1 –2
2
3 X
Solución:
La función es: f = {(–2; –2); (–1; 2), (0; –1); (1; 1), (2; 0), (3; 1)}. D f = {–2; –1; 0; 1; 2; 3} R f = {–2; 2; –1; 1; 0}
No son funciones: Y
Problema 4
Sea la función: f (x) = 5 – x, x Z Determina el dominio y el rango.
X
x [2; 6. Y
Solución: D f = {2; 3; 4; 5}
R f = {f(2), f(3), f(4), f(5)}
X
R f = {3; 2; 1; 0}
Problema 5 Si f es una función:
Problema 6
Dada la función: f (x) = ax + b y f (0) = 3, f (1) = 5
f (x) = {(4; 3 – b); (5; 2a + 1); (4; b – 1); (5; a + 4)}
halla la suma de los elementos del rango de f . Solución:
A 4 le corresponde el mismo elemento de llegada, es decir: 3 – b = b – 1 ⇒ b = 2. A 5 le corresponde el mismo elemento de llegada, entonces: 2a + 1 = a + 4 ⇒ a = 3.
La función es: f = {(4, 3 – 2); (5, 2(3) + 1)} = {(4, 1); (5,7)} el rango es: R f = {1, 7}, entonces: 1 + 7 = 8.
halla H= a + b. Solución:
Cuando x = 0 en la función: f (0) = a(0) + b 3 = 0 + b ⇒ b = 3 Cuando x = 1: f (1) = a(1) + b 5 = a + 3 ⇒ a = 2 Finalmente: H = a + b = 3 + 2 = 5
I V B I M E S T R E
Rpta.: 5
Rpta.: 8
1
71
