INTERES COMPUESTO
Al terminar un periodo de tiempo en una inversión a plazo fijo, no se retira el capit capital al ni los los inte interes reses es,, ento entonc nces, es, a part partir ir del del segu segund ndo o peri period odo, o, los los intereses ganados se integran al capital inicial, formándose un nuevo capital para para el sigu siguie ient nte e peri period odo, o, el cual cual gene genera rará rá nuev nuevos os inte intere rese ses s y así así sucesivamente sucesivamente.. Se dice, por lo tanto, tanto, que los intereses se capitalizan, capitalizan, por lo que el capital inicial inicial no permanece permanece constante a través del tiempo, tiempo, ya que aumentará aumentará al final de cada periodo por la adición de los intereses ganados, ganados, de acuerdo con una tasa convenida. Cuando esto sucede, decimos que las operaciones financieras son a interés compuesto. l interés simple produce un crecimiento lineal del capital! por el contrario, un capital a interés compuesto crece de manera e"ponencial. Monto, capital, tasa de interés y tiempo
l monto futuro de una operación a interés compuesto es la cantidad que se acumula al final del proceso o lapso de tiempo tiempo considerado, considerado, a partir de un capital capital inicial inicial sujeto sujeto a determ determina inados dos periodos periodos de capital capitaliza izació ción n de intereses. l alor presente o actual de una operación a interés compuesto es el capital inicial calculado a partir de un monto futuro, considerando cierto n#mero de periodos de capitalización de intereses. l periodo convenido para convertir el interés en capital se llama periodo de capitali!aci"n o periodo de conersi"n . Así, si una operación se capitaliza semestralmente, quiere decir que cada seis meses los intereses generados se agregan al capital para generar nuevos nue vos intereses en los siguientes periodos. $e igual forma, al decir que un periodo de capitalización es mensual mensual,, se está está indicando indicando que al final de cada mes se capitali capitaliza za el interés generado en el transcurso del mes. l inter nterés és pued puede e capi capittaliz alizar arse se en peri period odos os anu anuales ales,, seme semest stra rale les, s, cuatrimestrales, trimestrales, %imestrales, mensuales, semanales, quincenales etc. etc. y el n#mero n#mero de veces que el interés interés se capita capitaliz liza a en un a&o se llama llama frecuencia de conersi"n o frecuencia de capitali!aci"n.
'n gran n#mero de operaciones en el medio financiero se tra%ajan a interés compuesto cuando son a plazos medianos o largos.
Nomenclatura
C
(epresenta
M
resente . (epresenta
el capital inicial, llamado tam%ién principal. Suele representarse tam%ién por las letras A o ) *valor el capital final, llamado tam%ién monto dinero incrementado. s el valor futuro de C.
o
#
s la tasa nominal de interés calculada para un periodo de un a&o. Se e"presa en tanto por uno o tanto por ciento.
i
s la tasa de interés por periodo de tiempo y representa el costo o rendimiento periodo de capitalización de un capital, ya sea producto de un préstamo o de una cantidad que se invierte. s el cociente de dividir la tasa nominal entre la frecuencia de conversión m.
m
s la frecuencia de conversión o de capitalización y representa el n#mero de veces que se capitaliza un capital en un a&o. na
n
s el n#mero de a&os que permanece prestado o invertido un capital. s el n#mero de periodos de que consta una operación financiera a interés compuesto.
)ara calcular el monto de un capital a interés compuesto, se determina el interés simple so%re un capital sucesivamente mayor, como resultado de que en cada periodo los intereses se van sumando al capital inicial. Como se puede ver, el monto a interés compuesto es mayor por la capitalización de los intereses en cada uno de los plazos esta%lecidos de antemano. Si se sigue este procedimiento, podemos encontrar el monto a interés compuesto! sin em%argo, cuando el tiempo de operación es demasiado largo, esta misma solución puede tener errores.
$"rmulas para calcular el monto futuro de una inersi"n a interés compuesto Se conoce el capital, la tasa nominal, la frecuencia de
conversión y el plazo de tiempo
NOT% para estudiar el interés compuesto, se utilizan las mismas literales
del interés simple, importantes
pero ca%e -acer algunas
o%servaciones
n este caso, el tiempo se mide por periodos de capitalización *n#mero de veces que los intereses se convierten o suman al capital en todo el plazo que dura la operación+. Se de%e tomar en cuenta, nuevamente, que tanto la varia%le tiempo que de aquí en adelante se le puede llamar periodo de capitalización *n+ como la de tasa de interés *i+ se manejen en la misma unidad de tiempo. n la tasa de interés pueden aparecer las pala%ras conerti&le, compuesto, nominal o capitali!a&le , que se toman como sinónimos e indican el n#mero de veces que se capitalizarán los intereses en un a&o *frecuencia de conversión+. $"rmulas para calcular el alor presente de una inersi"n a interés compuesto
Se conoce el monto futuro de capital, la tasa nominal, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o n#mero de periodos de capitalización
C'lculo del capital en funci"n del interés
E(ercicios
/0ué capital producirá un interés compuesto de 1234,456.78 a los 5 a&os y a la tasa del 9: %imestral;
E(ercicio ). /Cuál es el capital de un valor acumulado de 1495,23<.25
invertido durante 29 a&os al 99: anual;
E(ercicio *. /0ué capital produce un monto de 13<6,666.66 a los 8 a&os, si la
tasa es del 3.7: trimestral;
E(ercicio +. Calcular el valor actual de un capital futuro de 1=,766.66 con
vencimiento en 5 a&os si la tasa de interés es del 25.6: a+ Con capitalización mensual. %+ Con capitalización %imestral c+ Con capitalización trimestral d+ Comparar resultados
$"rmulas para calcular el monto de intereses de una inersi"n a interés compuesto
E(ercicio -. Apliquemos la fórmula anterior /cuál es el monto de intereses de un
capital de 1<7,666.66, impuesto a un interés compuesto a la tasa del 99: durante 29 a&os;
$"rmulas para calcular la tasa de interés de una inersi"n a interés compuesto
Se conoce el capital inicial, el monto futuro de capital, la frecuencia de conversión y el plazo de tiempo o n#mero de periodos de capitalización
E(ercicio . 'n capital de 12<,666.66 -a estado invertido durante 3 a&os, luego de
los cuales dio un monto de 198,666.66, /a qué tasa se cele%ró la operación;
E(ercicio /. Con un capital de 14,766.66 se formó un monto de 123,946.66 a los 9
a&os, /a qué tasa se -izo la inversión;
E(ercicio 0. Si de una inversión de 176,666.66 se llegan a o%tener 1<6,666.66 al
ca%o de 7 a&os a una tasa de interés capitaliza%le trimestralmente a+ /Cuál es la tasa de interés nominal; %+ Con capitalización semestral c+ >nterpretación
$"rmulas para calcular el tiempo o pla!o en una inersi"n a interés compuesto
Se conoce el capital inicial, el monto futuro de capital, la tasa nominal o la tasa efectiva por periodo y la frecuencia de conversión
Se pueden utilizar en estos planteamientos tanto los logaritmos naturales como los logaritmos decimales.
E(ercicio 1 . /$entro de cuánto tiempo un capital de 197,866.66 a la tasa del 9.7:
trimestral valdrá 132,4=6.<4;
jercicio 26. /$entro de cuánto tiempo una persona que invirtió 1227,666.66 o%tendrá 1234,2=4.<=, como monto a la tasa del 2.=7: %imestral;
Si de una inversión de 176,666.66 se llega a o%tener 17<,937.66 a una tasa del <.7: con capitalización mensual E(ercicio
22.
a+ ?%tener el plazo de esta operación en a&os, meses, y días. %+ ?%tener el plazo si la capitalización se modifica a %imestral. c+ >nterpretar resultados.
