Capítulo 3 Interés compuesto. compuesto. 1. Conc Concep epto toss bási básico coss 1.1.
Interés compuesto . Llamas Llamasee inter interés és compu compuest esto o cuando cuando al capi capita tall inic inicia iall se le agre agrega ga el inte interé réss del del prim primer er peri period odo, o, conviréndose en otro capital al cual se le calculan los inter i ntereses eses a la misma tasa o variable, acumulándose un nuevo importe y así así suce sucesi sivvamen amentte has hasta el térmi érmino no de la oper operac ació ión n La operación se denomina capitaliar y al hecho de agregar los intereses se denomina capitaliación capitaliación..
1.2.
Monto, es la suma suma del del cap capital ital inic inicia iall más más los los int interes ereses es generados generados en el plao de la l a operación
1.3.
Fórmula general S = P 1!i" n ! " monto o valor #uturo i " $asa del periodo n " n%mero de periodos de la operación P = S # 1!i"n, se le cono conoce ce como como valo valorr actu actual al compuesto
a inter interés és
3.2. Problemas resueltos Monto con principal $ tasa e%ec&'a constantes. &. '(ué monto monto compuest compuesto o habrá habrá acumulado acumulado una perso persona na en una cuenta cuenta de ahorros del )* al &+ de octubre de mismo ao percibe una $- de 3/ y su depósito inicial #ue de 01)) um.2 Solución " 01)) um. n " del )* a &+ de octubre, &0 días, n " &043) " ).* $- " ).)3 "' 2 &
" 01))56&7 ).)38 ).* M = 2(2).*3 0. '(ué mont monto o debe de9ar de9arse se en letra letrass de cambio cambio con con vencimie vencimient nto o dentro dentro de 3: días ,si después de desconta descontarlas rlas en un banco se re;uiere re;uiere disponer disponer de un importe neto de 0)))) um. a sabiendas ;ue el banco cobra una $- de 3.1/2
Solución " 0)))) um. n " 3: días días " 3:43) "&.0+++++ "&.0+++++ $- " ).)31 " '2 " 0))))56&7 ).)318 &.0+++++ M = 2+)+.** 3. !i la población población de de un país es 0* millone milloness de habitan habitantes tes y su tasa tasa promed promedio io de crecimiento anual es de 0.)&/ 'cuántos habitantes habrá dentro de ao y medio2 Solución ) " 0*)))))) n " &.1 aos i " ).)0)& " '2 < " 0*))))))56&7 ).)0)&8 &.1 PF = 2-*2*+++ *. -l & de abri abrill el prec precio io de una una mat materia eria prim primaa #ue #ue de 0)))) 0)))) um. um. por por tonelada, *1 días después se incrementó a 00))) um. 'Cuál es el precio por pagar por el nuevo stoc= ;ue se renovará dentro de &:) días contados contados a parr del )& de abril, si el proveedor mani>esta ;ue los precios se incre incremen menta tan n periód periódica icamen mente te 6cada 6cada *1 días8, días8, en el mismo mismo porcen porcenta ta9e 9e original2 Solución " 0)))) um. i *1 días "6 00))) ? 0))))8 4 0)))) " ).&) n " &:) &:) días días " &:)4*1 " * 0
" 01))56&7 ).)38 ).* M = 2(2).*3 0. '(ué mont monto o debe de9ar de9arse se en letra letrass de cambio cambio con con vencimie vencimient nto o dentro dentro de 3: días ,si después de desconta descontarlas rlas en un banco se re;uiere re;uiere disponer disponer de un importe neto de 0)))) um. a sabiendas ;ue el banco cobra una $- de 3.1/2
Solución " 0)))) um. n " 3: días días " 3:43) "&.0+++++ "&.0+++++ $- " ).)31 " '2 " 0))))56&7 ).)318 &.0+++++ M = 2+)+.** 3. !i la población población de de un país es 0* millone milloness de habitan habitantes tes y su tasa tasa promed promedio io de crecimiento anual es de 0.)&/ 'cuántos habitantes habrá dentro de ao y medio2 Solución ) " 0*)))))) n " &.1 aos i " ).)0)& " '2 < " 0*))))))56&7 ).)0)&8 &.1 PF = 2-*2*+++ *. -l & de abri abrill el prec precio io de una una mat materia eria prim primaa #ue #ue de 0)))) 0)))) um. um. por por tonelada, *1 días después se incrementó a 00))) um. 'Cuál es el precio por pagar por el nuevo stoc= ;ue se renovará dentro de &:) días contados contados a parr del )& de abril, si el proveedor mani>esta ;ue los precios se incre incremen menta tan n periód periódica icamen mente te 6cada 6cada *1 días8, días8, en el mismo mismo porcen porcenta ta9e 9e original2 Solución " 0)))) um. i *1 días "6 00))) ? 0))))8 4 0)))) " ).&) n " &:) &:) días días " &:)4*1 " * 0
0 " 0))))56&7 ).&)8* P = 2)22 1. -n el %lmo semes semestr tree el preci precio o de la gasol gasolina ina se increme increment ntó ó 0 / cada &: días en promedio promedio .@e mantene mantenerse rse esta tendencia tendencia 'Cuánto 'Cuánto costar costaráá un galón de gasolina dentro dentro de un ao, si el precio de hoy es 3.1) um.2 Solución " 3.1) um. n " 3+) días días " 3+)4 &: " 0). períodos de &: días días $-&:@ " ).)0, $asa e#ecva cada &: días "'2 " 3.156&7 ).)08 0) M = (.2+ um. +. Aace cuatro cuatro meses meses se colocó colocó en un banco banco un capita capitall a una $- de 3 /, lo ;ue permió acumular un monto de 0)))um. 'Cuál #ue el importe de ese capital2 Solución " 0))) um. $- ").)3 n " )* meses " '2 " 56&7i8 n " 46&7i8n " 0)))4 6&7 ).)38 * " 0))) 4 &.&&011): P = 1**.)* /l 'alor actual. /s el 'alor 0el capital al inicio 0el pero0o 0e ca0a operación nanciera
&li4a &li 4an0 n0o o el /5ce /5cell Fina Financ ncie iero ro66 Fórm Fórmul ulas as 7 Fina Financ ncie iera ras8 s8 9:, aparece la 'entana 0e 0iálogo como la mostra0a en la ;captura 0e 3
pantalla< 0e /5cel, 0igite los 0atos asa, >per, 9% $ aparece el resulta0o 7 1**.)* $a ?ue es la sali0a In'ersión" ?ue se re?uiere para ?ue luego 0e capitali4ar - pero0os con la /M 0e 3@, se obtenga el 'alor %uturo o Monto 0e 2+++.
B. -ncon -ncontr trar ar el capita capitall ;ue, ;ue, colocad colocado o a una $- $- de 3/ durant durantee :Bdías :Bdías ha producido un monto de 1)) u. Solución " 1)) um. $- ").)3 n " :B días días " :B43) :B43) " 0. meses " '2 " 56&7i8n " 46&7i8n " 1)) 4 6&7 ).)380. P = -(.)3
:. @espués @espués de de 3 meses meses de de haber haber apertur aperturado ado una cuen cuenta ta con con un princip principal al de 3))) um, se obtuvo un monto de 31)) um. 'Cuál #ue la $-2 Solución *
" 3))) um. " 31)) n " 3 meses $- " '2 " 56&7i8n " 3)))56&7 i83 31)) " 3)))56&7i8 3 31))43)) " 6&7i83 &.&+++++++B " 6&7i8 3 i " 3 4 &.&++++++B D i " &.)10B0++ D & i " ).)10B0++ i = (.2*2 @
&
. !e compró compró una una má;uina má;uina cuyo cuyo precio precio de contad contado o es +))) um. um. , se pagó pagó una cuota inicial de 0))) um. y el saldo #ue >nanciado con una letra a *1 días por el monto de *&1).*. 'Cuál #ue $- cargada a esta operación2 Solución6 " +))) InicialE 0))) !aldo " +))) D0))) " *))) n " *1 días, n" *143) " &.1 meses Intereses " *&1).* D *))) " &1).* " 56&7i8n *&1). * " *))) 56&7 i8 &.1 *&1).* 4*))) " 6&7 i8 &.1 &.)3BB31 " 6&7 i8 &.1 i " &.14 &.)3BB31 D & i " ).)01)) i = 2.(@
&). Calcule la $- ;ue rindió rindió un bono comprado comprado en 0))) um. y vendido vendido al cabo de ) días en 03&1.01 um. Solución6 " 0))) " 03&1.01 n " ) días, n" )43) " 3 meses " 56&7i8 n 03&1.01 " 0))) 56&7 i8 3 1
03&1.01 40))) " 6&7 i8 3 &.&1B+01 " 6&7 i8 3 i " 34 &.)3BB31 D & i " ).)1 i = (@ &&. 'F ;ué $- una inversión de &)))) um se conviró en un monto de &)&1.** um. , si se colocó durante +B días2
Solución6 " &))) " &)&1.** n " :B días " :B43) " 0.0333333meses " 56&7i8n &)&1.** " &)))) 56&7 i8 0.033333 &)&1.** 4&)))) " 6&7 i8 0.033333 &.)&1** " 6&7 i8 0.03333333 i " 0.03333334 &.)&1** D & i " ).)*))) i = -.+@ &0. La población de una ciudad se triplica cada *) aos. @ado el crecimiento eGponencial, '(ué tasa de crecimiento promedio anual ene2 Solución6 " n " *) aos " 3 i " '2 " 56&7i8n 3 " 56&7i8n 3 " 6&7i8 *) i " *) 4 3 D & i " ).)0B:*1+ i = 2.*- @
&3. Hna persona deposita 0))) um en el banco orsur y una $- de * /. -n la misma #echa deposita 1))) um. en el Janco !urnor y percibe una $F de *: / con capitaliación trimestral .Calcule la $- promedio ;ue devengó por ambos depósitos durante ): meses2 +
Solución & " 0))) um $- " ).)* n " : meses, n " :43 " 0.++ 0 " 1))) um $F " ).*:/, $$ " ).*:4* " ).&0 Calculamos los montos ;ue generan cada depósito & " 0)))56&7 ).)*8: " 0B3B.&*, 0 " 1)))56&7).&080. " +B+*.00, $ " 0B3B.&* 7 +B+*.00 " 1)&.3+ Luego calculamos la tasa para los dos montos generados " B))), " 1)&.3+, n " : 1)&.3+ " B)))56&7i8: 1)&.3+4B))) " 6&7i8: &.31B33B&* " 6&7i8: i " :4&.31B33B&* D& i " ).)3:003 i = 3.) @
&*. '-n ;ué empo podrá triplicarse un capital colocado a una $-F de 0).&/2 Solución " 3 " $-F " ).0)& n " '2 " 56&7 i8n @espe9ando n, tenemosE 4 " 6&7 i8 n 3 4 " 6&7 i8 n Log3 " n5 log 6&7 ).0)&8 n " Log3 4 6log&.0)&8 n " ).*BB&0&01 4).)B1*3)& n = aAos &1. @espués de colocar un capital de &))) um. a una $- de 3 / se obtuvo un monto de &*01.B+ um. 'F ;ué empo se coloca el capital2 Solución6 " &))) um. B
" &*01.B+ $- " ).)3 n " '2 Fplicando la #órmulaE n " 6log ? log 8 4log 6&7 i8 n " 6log 6&*01.B+4&)))88 4 log 6&7 ).)38 n " log6&.*01B+8 4 log6&.)38 n " ).&1*)*+*34).)&0:3B00 n = 11.)), n = 12 meses. &+. '-n cuántos aos se triplicará y cuadriplicará un capital con una $-F de &: /2 Solución Caso triplicará " " 3 $-F " ).&: 3 " 6&7).&:8n 3 " 6&7).&:8n log3 " n log 6&.&:8 n " log34 log 6&.&:8 n " ).*BB&0&014 ).)B&::0))B n = .3*( aAos Caso cua0riplicará " " * $-F " ).&: * " 6&7).&:8n * " 6&7).&:8n Log* " n log 6&.&:8 n " log*4 log 6&.&:8 n ").+)0)14 ).)B&::0))B n = .3*(* aAos 17. '-n cuántos meses se acumularán 13*&.&+ um. si se coloca un capital de
1))) um. en una banco ;ue paga una $-$ de 0 /2 Solución Calculamos primero la $, a parr de a $-$ " ).)0 ).)0 " 6&7$83 D & $ " 34&.)0 D & :
LuegoE Como " 13*&.&+, " 1))), despe9amos, n de #órmula general n " 6log 613*&.&+4 1)))8 4log 6& 7 ).))++0B&8 n " 6log &.)+:03084 log 6&.))++0B&8 n ").)0:++11:* 4).))0:+++ n = ).))2 meses= 1+ meses 18. Aace * meses una persona depositó &&)&.&0 um en una cuenta de ahorros
;ue percibe una $- de 0/, hoy se e#ectuó un segundo depósito de &1))) um. '(ué empo adicional debe transcurrir para ;ue la cuenta acumule un monto de *))) um2 Solución
Brácamente6
&&)&.&00
&1))
Capitaliamos &&)&.&00 a * mesesE " &&)&.&0056&7 ).)08 * " &&&.: 0 " &&&.: 7 &1)) " 0+&.: or condición del problemaE *))) " 0+&.:56&7 ).)08 n *)))40+&.: " 6&7 ).)08 n &.*:1**:0 "6&.)08n n " log&.*:1**:04log&.)0 n " ).&B&:1B1&:4).)):+))&B n " &.: meses. n = 2+ meses
19. '(ué empo debe transcurrir para ;ue los intereses generados por un
capital sean iguales al mismo capital colocado en un banco a una $- de 0/2 Solución " I"
$- " ).)0 " 56&7i8 n " 7 I I "? I " 56 6&7i8n D & 8 " 566&7i8 n D &8 & " 66&7i8 n D &8 0 " 6&7).)08 n n " log 6084log &.)0 n " ).3)&)3)4).)):+))&B n = 3( meses 20. '(ué empo debe transcurrir para ;ue la relación entre un capital de
:))) um colocado a una $- de */ y su monto, sea *4&)2 Solución " :))) :)))4 " *4&) " 0)))) " 56&7i8n 4" 6&7i8n 0))))4 :))) " 6&7).)*8n Log 0.1 " n Log &.)* n " Log 0.14 log &.)* n " ).3B*))&4).)&B*1)B3 n = 23.32-1 meses.
Monto con principal constante $ tasa e%ec&'a 'ariable 21. !e re;uiere calcular el monto compuesto ;ue produ9o una cuenta abierta
con un principal de B))) um, la cual se mantuvo vigente del && de 9ulio al 0* de seembre del mismo ao. La $-F ;ue originalmente #ue 0*/, se redu9o a 00/ el 0: de agosto y se mantuvo en este valor hasta el término del horionte temporal. Solución /laboramos la siguiente tabla6
capital
$asa
Fos
onto
&&4)B
B)))
$-F
" DDDDDDDDDDD
B)))
&)
).0* 0B 4):
B0)3.+BB11 $-F ).0*
" *: días "*:43+) " ).&333333 aos
" B)))56&7).0*8).&3333333
0:4):
$-F ).00
"
0*4)
$-F ).00
" 0: días "0:43+) " ).)BBBBBBBBB "B0)3.+BB1156&7).008).)BBBBBBBB aos
M = *31(.)()3
22. -l && de 9ulio se suscribió un contrato de crédito por :)))) um ;ue
devenga una $- de &.1/ y ;ue puede variar durante el pao de crédito cuyo horionte temporal es &0) días. La $- varió a &.*/ el 0+ de agosto y a &.3/ el 1 de seembre. 'Cuál es el monto por cancelar al vencimiento del crédito2 Solución -laboramos la siguiente tabla E
capital
$asa
&&4)BD 014):
:))))
$- " *1días "*143) ":))))56&7).)&18&.1 ).)&1 " &.1 " :&:)+.B*
0+4):D )*4)
)14)D ):4&&
eses
$- " &) días ).)&* &)43) ).3333333
onto
" " ":&:)+.B*56&7).)&18).33333 " :0&*.31
$- " +1 días " ).)&3 +143) " ":0&*.3156&7).)&380.&+++++ 0.&++++++++ " -(2-.*
&&
23. -l 0) de seembre debe cancelarse una deuda de &))) um. Fl
vencimiento de plao la deuda en mora devengará una $- de 1/, la misma ;ue se incrementara a +/ el & de octubre y a B/ el & de noviembre. '(ué monto debe pagarse el & de noviembre #echa en ;ue el cliente canceló la deuda?
Solución -laboramos la siguiente tabla
Feca
capital
Meses
0)4)
&)))
DDDDDDD
3) 4)
asa
&&43) " $- " "&)))56&7).)18).3++++++++ ).3++++++++ ).)1 " &)&:.)1)B&
)&4&)
3&4&)
$- " ).)+ 3&43) " &.)333333333 33
)&4&&
&4&&
Monto
&)&:.)1)B&56&7).)+8&.)3333333
"
" &&)).0+: $- " ).)B
&43) " $- " "&&)).0+:56&7).)B8).+3333333 ).+333333333 ).)B M = 11-. -)*)
0*. Calcule el monto ;ue será necesario inverr para #abricar 1))) arKculos dentro de + meses cuyo costo unitario de #abricación hoy es 0) um, y se prevé ;ue en ese plao los costos se incrementan 0/ mensual durante el primer trimestre y 3/ mensual durante el segundo trimestre. Solución " 1)))50) " &))))), Inversión AM " &)))))56&7).)083 " &)))))56&.)08 3 " &)+&0).: &0
onto
01. -l día && de 9ulio se re;uiere calcular el valor presente de un Ktulo valor ;ue vence el 3) de diciembre cuyo valor nominal es 1))) um, con una $-F de &:/ a parr del && de 9ulio y una $-F de 0)/ a parr del 3) de seembre hasta el vencimiento del plao. Solución $-F " &:/ , && de 9ulio 3) set, $-F " 0)/ &43+) :&43+) NF " 61)))46&7).0)8 46&7).&:8 9: = -++.2( 0+. -l 0* de seembre se e#ectuó un depósito en un banco ;ue percibió una $- de 0/, la cual varió a 0,0/ el &+ de octubre y a 0,1/ el && de noviembre. -l día 01 de noviembre el saldo de la cuenta es +1)) um. '(ué importe se depositó originalmente2 'Cuál #ue la tasa de interés acumulada2 Solución -laboramos la siguiente tabla
pera ción
$asa
0*4)
6@8
$- ").)0 )
&14&) &+4&)
onto
!aldo
"6&7).)08).+++++++B
&.)&30:0:
$- ").)0 0
&)4&&
"&.)&30:0:6&7).)008).:+++++B " &.)301:&00
&&4&&
$- ").)0
&3
1 " &.)301:&006&7).)018 ).1
014&&
or condición del problemaE " &.)301:&00 6&7).)018).1
+1))
" +1))
" &.)*1*)::& " +1)) " +1)) 4 &.)*1*)::& " +0&B.++ 6Cálculo seg%n lo decimales del empo8 I " +1)) ? +0&B.++ I " 0:0.3* i " 0:0.3*4+0&B.++ i = -.(-@
0B. Calcule el valor presente de un monto de &1))) um ;ue se recibirá dentro de 3) días, si la vigencia de la $- es : días a 0/ y 00 días a &,1/. Solución M = 1(+++ N " 6&1)))46&7).)&180043)8 46& 7 ).)08:43) N " &*:3B.&&+ 4&7 ).)08 :43) 9P = 1-*(.)*
Monto con principal $ tasa e%ec&'a 'ariables 28. -l && de 9ulio se colocó en el banco del OGito un importe de 1))) um y a
parr de esa #echa se depositaron &))) um y 1)) um el 0 de octubre y &1 de noviembre respecvamenteP el &: de noviembre se reraron :))um. -l 0* de noviembre del mismo ao se cancela la cuenta Calcule el monto si al inicio de la operación la $- #ue 3/, y a parr del & de noviembre cambio a 3,0/ Solución -laboramos la siguiente tabla
capita peració l n
$asa
onto
&*
!aldo
&&4) B
1)))
)04& )
"1)))6&7).)380.B3333
$- ").) 3
" 1*0).B3:)0
&)))6@8
+*0).B3:) 0
3&4& )
"+0*).B3:)06&.)38" +*0&.+0:1
)&4& &
$- " ).)3 0 "+*0&.+0:16&.)308).*++
&*4& &
+1&+.B0)
+++
&14& &
1)) 6@8
+)&+.B0)
&B4& &
+)&+.B0)6&.)308).&"
"
+)31.B)0B* &:4& &
:)) 6Q 8
1031.B)0B *
0*4& &
"1031.B)0B*6&.)308).033333 "
(2*-.32(2
(2*-.32(2
0. Los Ru9os de ca9a y las inRaciones mensuales proyectadas por la empresa FgroeGport !.F se muestran en la siguiente tabla.
Flujo de caja % de inflacioó n
0
Mes 1
Mes 2
Mes 3
Mes 4
2000
2000
2200
2400
2500
2%
1.8%
1.6%
1.65%
&1
Calcule el valor presente de dichos Ru9o y ulice como tasa de descuento la tasa de inRación. Solución -L valor presente total esE N$ " 0)))) 7 0)))46&7).)08 & 7 00))46&7).)&:8 06&7).)08 7 0*))46&7).)&+83 &7).)&:806&7).)08 7 01))46&7).)&+18*&7).)&+836&7).)&:806&7).)08 N$ "
0))) 7 &+).B: 7 0&00.::
7 00::. 3 7 03*&.1:
9P = 1+*13.3 3). '-n cuánto empo 6contado desde el momento )8 un monto de +))) um sustuirá deudas cuyos importe sonE 0))) um, &))) um y 0B.:3 um. , las cuales vencen dentro de 3),+) y ) días, respecvamente 'Hlice como costo de oportunidad del dinero una $- de 3/2 Solución6 " +))) ago& " & " 0))), n " 3) días ago0 " & " &))), n " +) días ago3 " & " 0B.:3, n " ) días Fplicando la ecuación de valor de e;uivalencia >nanciera en el momento ) +))) "6 0)))46&7).)38 7 &)))46&7 ).)380 7 0B.:346&7 ).)38 386&.)38n +))) " 6&*&.B*B1B 7 *0.11) 7 0B*3.&085 6&7).)38 n +))) " 61+0:.011*:856&7).)38n 6&.)++)*+8 " 6&.)38 n Log &.)++)*+ " nlog&.)3 n " log&.)++)*+4log&.)3 n " ).)0BBBB*14).)&0:3B00 n " 0.&+ meses n = 2.1D3+ = -.)1-1( = ( 0as
Monto en %unción 0e tasa nominal 3&. Calcule el monto por pagar dentro de 1 meses por un préstamo bancario de 1) ))) um, ;ue devenga una $F de 0*/ con capitaliación mensual. Solución " 1)))um $F " ).0*, $ " ).)0 n '" 1 meses &+
" '2 " 56&7).)08 1 " 1))))56&7).)08 1 M = ((2+-. +-
30. Calcule el importe capitaliado de un depósito a plao de 0)))) um, colocado en un banco durante + meses, a una $F de 3+/ capitaliable a diario. !olución " 0))))um $F " ).3+, $@" ).))&, capitali4ación 0iaria n" + meses, &:) días " '2 " 56&7).)38 + " 0))))56&7).))&8&:) M = 23)-2.1)
33.
-l + de 9unio la empresa FgroeGport !.F compró en el Janco lano un cer>cado de depósito a plao 6C@8 a ) días, por un importe de 0)))) um, el cual devenga una $F de &&.&+/ con capitaliación diaria. !i el & de 9ulio del mismo ao la $F ba9o a &).:/ 6con la misma capitaliación8, 'Cuál #ue monto ;ue recibió FgroeGport al vencimiento del plao del C@2 Solución -laboramos la siguiente tabla
onto acumulado a " 0))))6&7).)))3&8 0* " 0)&*.33
" 0)&*.336&7).)))38 ++ M= 2+((2.2+
3*. !e re;uiere conocer el valor presente de un Ktulo ;ue ene un valor nominal de 0 ))) um, y vence dentro tres meses, si se o#rece al mercado con descuento y se aplica una $F de 0*/ capitaliable mensualmente. &B
Solución "0))) um. n " 3 meses $F " ).0*, $J " ).)0 " '2 " 4 6&7 i8 n " 0))) 46& 7 ).)08 3 P = 1-.-
31. 'Cuánto debe inverr hoy para acumular 0)))) um dentro &0) días en una instución de crédito ;ue paga una $F de &0/ con capitaliación trimestral2 Solución "0)))) um. n " &0) días, n " &.33333333 trimestres $F " ).&0, $$ " ).&04* " ).)3 " '2 " 4 6&7 i8 n " 0)))) 46& 7 ).)38 &.333333 P = 1))2*.1+ Interés compuesto con principal $ tasa e%ec&'a constantes 3+. 'Cuánto interés se pagará por un préstamo de +))) um ;ue devenga una $-$ de 0/2 . -l crédito se ha uliado durante &B días. Solución " +))) $-$ " ).)0 " &B días " n " &B4) " ).&::::::: I " D C I " C56&7i8 n D C I =! 1"i# n $ 1## I = 60001" 0.02#0.18888889
$1#
I " +)))5).))3B*B1 I = 22.-)
3B. Calcule el interés producido por un capital de B))) um, colocado en un banco a una $- de &/, por el período comprendido entre el 3 de abril y + de 9unio del mismo ao. &:
Solución " B))) $- " ).)& n " del )3 de abril al )+ de 9unio, +* días , +*43) " 0.&3333333 meses I " D C I " C56&7i8 n D C I =! 1"i# n $ 1## I = 70001" 0.01#2.13333333
$1#
I " B)))5).)0&*1*0: I = 1(+.1
3:. Calcule el interés bimestral ;ue habrá ganado un depósito de ahorros de 1))) um, colocado a una $F de 0*/, capitaliable trimestralmente. Solución " +))) $-$ " ).)0 " &B días " n " &B4) " ).&::::::: I " D C I " C56&7i8 n D C I =! 1"i# n $ 1# # I = 60001" 0.02#0.18888889
$1#
I " +)))5).))3B*B1 I = 22.-) 3. !i deseo devengar un interés de &))) um en el plao de 0 meses, '(ué capital debo colocar en un banco ;ue paga una $- de &.1/2 Solución I " &))) um. $- " ).)&1 n " 0 meses 7 I " 56&7i8 n I = &1"i# n $ & I = & 1"i# n $ 1 #
LuegoE & = I ' 1"i# n $ 1# & = 1000 ' 1 " 0.015#2
$ 1#
" &)))4 ).)3)001 P = 33+(.1) &
*). Hna inversión e#ectuada en la bolsa de valores produ9o un interés de &3)) um. durante BB díasP en ese lapso de empo la tasa de interés e#ecva acumulada #ue 1.*/ 'Cuál #ue el importe de la inversión original2 Solución I " &3)) um. $-BBdias " ).)1*, ).)1*43) " ).))&: n " BB días, BB43) " 0.1++++++B 7 I " 56&7i8 n I = &1"i# n $ & I = & 1"i# n $ 1#
LuegoE & = I ' 1"i# n $ 1# & = 1300 ' 1 " 0.0018#2.56666667
$1
" &3))4 ).))*+:13+3 P = 2+).)(
*&. La rentabilidad en 03 días ;ue produ9o un pa;uete accionario ad;uirido en la bolsa #ue de 1)) umP dicho pa;uete accionario acumuló en 3) días una tasa e#ecva de interés de 3./. 'Cuál #ue su precio de ad;uisición hace 03 días2 Solución I " 1)) um. $- " ).)3 n " 03 días, n " 0343) " ).B+++++++ P = E :plican0o la %órmula6 & = I ' 1"i# n $ 1# & = 500 ' 1 " 0.039# 0.7666666
$1
" 1))4 ).)0B++) P = 1*)*.*0. 'Cuánto capital debe colocarse en un banco ;ue o#rece una $F de &0/ capitaliable mensualmente para ganar un interés compuesto de 1)) um, en un plao de *1 días. Solución I " 1)) um. $F " ).&0 0)
n " *1 días, n " &.1 meses 7 I " 56&7i8 n I = &1"i# n $ & I = & 1"i# n $ 1#
LuegoE & = I ' 1"i# n $ 1# & = 500 '1 " 0.12'30#1.5
$ 1#
" 1))4 ).))+))+ P = 332(+.3( *3 '(ué $- debe aplicarse a un capital de 1)))um colocado en un banco para ;ue produca una ganancia de :)) um. durante * meses2 Solución6 " 1))) um. I " :)) um. n " * meses Fplicando la #órmulaE I = P *((1+i) n - 1) I/P = (1+i) n - 1
I4 7 & " 6&7i8 n :))41))) 7 & " 6&7 i 8* &.&+ " 6& 7 i8 * i " *4&.&+ D & i " ).)3B:)& i = 3.*@
**. 'F ;ué $-F debe colocarse un capital para ;ue se dupli;ue en *0 meses2 Solución " n " *0 meses " *04&0 " 3.1 I" Fplicando la #órmula I4 7 & " 6&7i8 n 4 7& " 6&7i8 3.1 i " 3.14 0 D& i " ).0&)&3 i = 21.)+@ 0&
*1. Calcule la $-F a la ;ue se colocó un capital de 1))) um, ;ue en el lapso de :: días se produ9o un interés compuesto de 0+.1um. Solución " 1))) um. n " :: días, n "::43+) " ).0***** aos I " 0+.1 Fplicando la #órmula I4 7 & " 6&7i8 n 269.95/5000 + 1 = (1+i) 0.2444444 1.05399 = (1+i) 0.2444444 i = 0.244444/ 1.05399 - 1
i " ).0*)))) i = 2-@ *+. -l &: de enero la compaía ariSs compró en la bolsa un pa;uete accionario en )))) um, ;ue vendió el 0+ de #ebrero del mismo ao y obtuvo una rentabilidad neta de +1)) um. Calcule la $- ;ue obtuvo ariSs en esa operación. Solución
" )))) um. n " del &: de enero al 0+ de #ebrero, hay 3: días n " 3:43) " &.0+++++++B meses. I " +1)) Fplicando la #órmula I#P ! 1 = 1!i" n 6500/90000 + 1 = (1+i) 1.26666667 0.07222222 " 1 = (1+i) 1.266666667 i = 1.266666667 / 1.07222222 - 1
i " ).)1+1+03 i = (.()23@ *B. Hn depósito de ahorro de 1))) um produ9o un interés compuesto de &*,*3 um durante B: días. !e re;uiere conocer la $F capitaliable trimestralmente ;ue se aplicó en esta operación. Solución " 1))) um.
00
n " B: días, n "B:4) " ).:++++++B trimestres I " &*.*3 Fplicando la #órmula I/P + 1 = (1+i) n 194.43/5000 + 1 = (1+i) 0.86666667 1.038886 = (1+i) 0.86666667 i = 0.86666667/ 1.038886 - 1
i " ).)*1 >: = +.+-(D- = +.1 >: = 1@ *:. 'Cuántos días serán necesarios para ;ue un capital de &)))) um produca un interés de &))) um a una $F de 0*.)B/ capitaliable mensualmente2 Solución " &)))) um " &&))) $F " ).0*B, $ " ").0*B4&0 " ).)0 n " meses, n en días n" I"? I = & 1"i# n $ & I = & 1"i# n $1 # 1000 = 10000 1" 0.02#n $ n 1000' 10000 = (1.02# $ 1 )
1#
&.& " 6&.)08n n " log &.&)4 log &.)0 n ").)*&30+4).)):+))&B n= -. meses = 1-- 0as. *. '-n cuántos trimestres un capital de 1))) um habrá ganado un interés de +3).:& um colocado en un banco a una $F de 0*/ con una capitaliación mensual2 Solución " 1))) um I " +3).:& $F " ).0*, $ " ).0*4&0 " ).)0 I " ? 03
I = & 1"i# n $ & I = & 1"i# n $1# 630.81 = 50001" 0.02#n
$
1#
+3).:34 1))) " 6&.)08n &.&0+&++ " 6&.)08n n " log &.&0+&++4 log &.)0 n ").)1&+)0*14).)):+))&B n= meses = 2 trimestres
Interés en %unción 0el 'alor %uturo 1). Calcule el interés de un capital ;ue generó una $-F de &0/ y se conviró en un monto de &)))) um en el plao de medio ao. Solución " &)))) $-F " ).&0 n " ).1 aos " 6&7i8 Aallando " 4 6&7i8 n " &))))4 6&7).&08).1 " ***.&& I"? I = ((+.) Interés 0e'enga0o en el pero0o G 1&. Hn depósito de 0)))) um estuvo colocado en un banco durante ) días y ganó una $F de 3+/ con capitaliación diaria. '(ué interés se ganó el día *+ y el día :B2 Solución6 " 0)))) um. n" ) días $F " ).3+P $@ " ).3+43+) " ).))& Interés el día *+ Calculamos el interés hasta el día *+ y le restamos el interés hasta el día *1 !abiendo ;ue I "? C I " 6&7i8n D C I " T6&7i8n D &U I*+ " 0))))T6& 7 ).))&8 *+ D &U I*+ " *&.))+ 0*
I*1 " 0))))T6& 7 ).))&8 *1 D &U I*+ " 0).): I 0el 0a - = )-1.++ 8 )2+.+ = 2+.)2 Interés el día :B Calculamos el interés hasta el día :B y le restamos el interés hasta el día :+ I:B " 0))))T6& 7 ).))&8 :B D &U I:B " &:&+.:1 I:+ " 0))))T6& 7 ).))&8 :+ D & U I:+ " &B1.&:: I 0el 0ia * = 11.)( 8 1*)(.1)) = 21.+
10. La compaía nanciamiento bancario de &)))) um para cancelarlo 9unto con los intereses acumulados dentro de + meses, los mismos ;ue generan una $F de 0*/ capitaliable mensualmente. -n la #echa del desembolso, el préstamo #ue contabiliado por
,-ono
!aja
10 00000 e*ce*os 11 26162
Ine*eós /o* deen+a*
1 26162
/*eó sao de
Calcule los importes 0e intereses ?ue se 0e'engaran mensualmente. Solución " &)))) $F " ).0* " $ " ).0*4&0 " ).)0 n " + meses M1 = 10000(1+0.02) 1 = 10200 , M2 = 10200(1.02)1 = 10404, M3 = 10404(1.02) = 10612.08 M4 = 10612.08 (1.02) = 10824.32, M5 = 10824.32 (1.02) =11040.8064 M6 = 11040.8061 (1.02) = 11261.62
I1 = 200 I2 = 204 I3 = 208.08 I4 = 212.24 I5 =216.49 I6 = 220.82
13. !i a parr del tercer mes la $F del problema anterior disminuye a &:/ capitaliable mensualmente, calcule de nuevo los intereses generados por el préstamo en cada uno de los + meses ;ue dura el >nanciamiento. 01
Solución " &)))) $F " ).0* " $ " ).0*4&0 " ).)0 n " + meses M1 = 10000(1+0.02) 1 = 10200 , M2 = 10200(1.02)1 = 10404, M3 = 10404(1.02)1 = 10612.08 TNA = 0.18, TNM = 0.18/12 = 0.015 M4 = 10612.08 (1.015) = 10771.26 M5 = 10771.26 (1.015) =10932. 83 M6 = 10932.83 (1.015) = 11096.82
I1 = 200 I2 = 204 I3 = 208.08 I4 = 159.18 I5 =161.57 I6 = 163.99
1*. Calcule los intereses durante un ao, ;ue se devengarán mensualmente hasta el mes : por un depósito a plao de &)))) um y una $F de &0/ con capitaliación mensual. Solución6 M1 = 100001"0.01#1 100 M2 = 101001.01#1 101 M3 = 102011.01#1 102.01 M4 = 10303.011.01#1
I = 10100 – 10000
=
= 10201
I = 10201$ 10100
=
10303.01
I =10303.01 10201
=
= 10100
=
= 10406.04
I = 10406.04 – 10303.01 =
= 10510.1004
I = 10510.04 – 10406.04 =
M6 = 10510.041.01#1 = 10615.2014
I = 10615.20 – 10510.04 =
103.03 M5 =10406.041.01#1
104.06
105.10 M7= 10615.201.01#1 = 10721.352
I = 10721.352 – 10615.20 =
106.15
0+
M8 =10721.3521.01#1 = 10828.5655
I = 10100 – 10721.352
=
107.21
Interés con principal constante $ tasa e%ec&'a 'ariable 11. -l 0* de seembre se e#ectuó un depósito de &:)) um en un banco ;ue remunera los ahorros con una tasa variable ;ue en la #echa es una $-F de &1/. !i el & de octubre la $-F disminuye a &*/, 'Cuál es el interés ;ue se acumuló hasta el 03 de diciembre del mismo ao, #echa en ;ue se canceló la cuenta2 Solución -laboramos la siguiente tablaE
Capital &:))
peración Hepósito
3)4)
Capitali4ación
)&4&)
Capitali4ación
034&0
Cancelación
$asa onto $-F " ).&1 DDDDDDD $@ " ).)))3::3 "&:))6&7).)))3::38 + " &:)*.&BB& $-F " ).&* $@ " "&:)*.&BB&6&7).)))3+*)38:* M =1+.2+
Solución Fsumimos capitaliación diaria 6el problema no indica8 Calculemos la $@, 6&7$@8 3+) D & " ).&1 para &1/ &.&1 " 6&7$@8 3+) $@ " 3+)4 &.&1 D & $@ " ).)))3::3 Calculemos la $@, 6&7$@8 3+) D & " ).&*, para &*/ &.&* " 6&7$@8 3+) $@ " 3+)4 &.&* D & $@ " ).)))3+*)3 -l monto acumulado es &:+).0) /l interés %ue +.2+
0B
!aldo &:))
(. -l && de 9ulio una deuda de *))) um contraída con el banco Los Fndes se conviró en deuda vencida y #ue cancelada el de octubre del mismo aoP en ese plao la $- de mora, ;ue #ue de 0/, se incrementó a 0,3/ el & de agosto y a 0,1/ el &+ de seembre. !e re;uiere conocer el importe del interés de mora ;ue deberá pagarse el de octubre. Solución " *))), i variable, n variable @l && de 9ulio al 3& de Vulio, 0& días, 0&43) ").B mes " *)))6&7).)08 ).B " *)11.:3 I moratorio " 11.:3 @el )& de agosto al &1 de seembre, *+ días, *+43) " &.13 $asa es ).)03 " *)11.::36&7).)038 &.1333 "*&.*0, I " &.*0 @el &+ de seembre al de octubre, 0* días, 0*43) " ).: $asa es ).)01 M = -1)).-2 1!+.+2(" +. = -23.2+, I = 23.(3
Interés con principal 'ariable $ tasa e%ec&'a constante (*. Hna persona inicia una cuenta de ahorros el &* de abril con &)))) um y percibe una $-@ de ).)1/. -l 0 de mayo rera *)) um., el &1 de mayo rera 0)) um, el 3 de 9unio deposita &)) um y el 0* de 9unio del mismo ao cancela la cuenta. !e re;uiere calcularE -l interés compuesto ;ue se generó durante todo el plao de operación. -l saldo acreedor en la #echa de la cancelación de la cuenta de ahorros. -l saldo del principal y el saldo del interés ;ue compone el saldo acreedor. Solución6 -laboramos la siguiente tablaE !c"#$ 14'04 $2Mao 02'05$ 15'05
15'05 03'06
%#&i'#l /&!#ción 10000 ' e/oó sio 400 'ei*o
#$# 0.005
=
Mon'o
S#lo
M =100001"0.005#18 =10939.2894
10939.289 10539.2894
M =10539.28941.005#14 = 11301.5027 200'ei*o 100 'e/oó sio
=11201.50271.005#
0:
19
11201.5027 12414.92
24'06
= 12314.91621.005# 21
!ancelacioó n
13674.73
/l interés compuesto ?ue se generó 0urante to0o el pla4o 0e operación. 3*-.*3 /l sal0o acree0or en la %eca 0e la cancelación 0e la cuenta 0e aorros. 13*-.*3 /l sal0o 0el principal $ el sal0o 0el interés ?ue compone el sal0o acree0or. P = )(++ I = -1*-.*3 (. -l movimiento ;ue se generó en una cuenta de ahorros es el ;ue se presenta a connuaciónE Feca
:/e*acioó n
I/o*e
16'03
e/oó sio
15000 u
08'04
e/oó sio
800 u
20'07
ei*o
2 000 u
16'08
!ancelacioó n
!e re;uiere calcular el saldo de la cuenta en la #echa de la cancelación, desagregado por saldo del principal y saldo de interés. La $- es &/. Solución6 !c"#
%#&i'#l/&!#ción
#$#
Mon'o
S#lo
16'03
15000'e/oó sio
M =0.01
$$$$$$$$$$
15000
08'04
!a/iali;acioó n
M = 0.01
M =150001"0.01#23'30
800 ' e/oó sio 20'07
!a/iali;acioó n 2000 ' ei*o
= 15109.8539 M =15909.85391"0.01#100'30
15909.8539
14446.3971
= 16446.3979 16'08
!a/iali;acioó n !ancelacioón
M =14446.39711"0.01#23'30
!a/ial 13800
= 14557.0241
I = 757.92 M
0
<
=
14557.02
1. -l !r. Carlos !alinas recibió de un banco un préstamo 1))) um ;ue devenga una $ de 0,1/ con capitaliación diaria, para devolverlo dentro del plao de &:) días. !i durante dicho periodo amora 0))) um el día 31 y &))) um el día :, 'Cuánto deberá pagar el día &:) para cancelar su deuda2 !olución " 1)))um. n " &:) días $ " ).)01, $@ " ).)0143) " ).))):3333 Llevando el préstamo y todos los pagos a al día &:) réstamo al día &:)E 1)))6&7).))):33338 &:) " 1:):.:)*B 20001"0.00083333#145 " 10001"0.00083333#82 2256.759 " 1070.6914 = 3327.4504
!aldo a pagar el día &:)E 1:):.:)*:B ? 330B.*1)* Sal0o a pagar el 0a 1+ será6 2-1.3(
Interés con principal $ tasa e%ec&'a 'ariables +). Hna persona aperturó una cuenta de ahorros en el Janco del
Feca
&*inci/al :/e*acioó n
asa I/o*e
24'09
e/oósio
2500
29'09
e/oósio
1500
:/e*acioó n asa inicial
!a-io de asa ei*o
16'11
!ancelacioó n
, = 12% , = 12%
16'10 28'10
%
2000
, = 11% , = 11%
!e re;uiere calcularE -l interés compuesto ;ue se generó durante todo el plao de la operación. 3)
*.10+ -l saldo acreedor en la #echa de cancelación de la cuenta de ahorros. 0)*.10+ -l saldo del principal y el saldo de interés ;ue compone el saldo acreedor. 0))) 7 *.10+ Solución6 <-CAF!
Fos.
$
C FI$FL
I$-Q-!-!
!FL@!
0* set D0 set 0 set D&+ oct &+ octD0: octubre
).)&3:::: 01)3.3:&0 01)) 3.3:&003)3 *))3.3:&0 ).)*B00000 *)01.*03&B *))3.3:&0 0&.*:1)*31: *)01.*03&B ).)3333333 *)3.*1)++ *)01.*03&B &*.)0B*&: 0)3.*1)++ ).)*B00000 0)*.10+&& 0)3.*1)++ &).)B1**B)0 0)*.10+&& -).(21+-*
-l saldo acreedor en la #echa de cancelación de la cuenta de ahorros. -l saldo del principal y el saldo de interés ;ue compone el saldo acreedor. Interés compuesto en to0o el pa4o 0e la operación6 (+.*1 Sal0o acree0or el momento 0e la li?ui0ación6 2+(+.*1 Sal0o 0el principal $ sal0o 0e intereses6 2+3).-(, 11.2 +&. Hna empresa abrió una cuenta corriente bancaria por la cual gana una $- de 3/ sobre sus saldo acreedores y paga una $ de 3/ con capitaliación diaria sobre sus saldos deudores 6sobregiros bancarios8. Calcule el monto de la cuenta al 3& de agosto, cuyo movimiento #ue el siguienteE Feca
4'8
6'8
9'8
e/oó sios 10000
5000
3000
ei*os
2000
12'8
13'8
15'8
31'8
30000
9000
15000
37000
Solución -laboramos la siguiente tablaE !c" #
%#&i'#l/&!#ció n
#$#
Mon'o
3&
S#lo
04'0 8
10000'e/oó sio
M 0.03
=
$$$$$$$$$$
06'0 8
5000'e/oó sio
M 0.03
=
=100001"0.03#2'30 10019.7253
09'0 8
3000'e/oó sio
M 0.03
=
=13019.72531"0.03#3' 30 = 13058.267
16058.267
12'0 8
37000'ei*o
M 0.03
=
=16058.2671"0.03#3'30 = 16105.7965
20894.2035 #
13'0 8
30000'e/oó sio
= 0.03'30 = 0.001/a* a so-*e+i*o s
=20894.20351"0.01# =
9084.90
15'0 8
9000'e/oó sio
M 0.03
=9084.901"0.03#2'30 =
2000 'ei*o
=
2500
=
13019.7253
20.8942035
9102.82024
18102.8202 4
/cuaciones 0e 9alor e?ui'alente +0. La empresa !ol y !ol desea ad;uirir una má;uina industrial, cuyo proceso #ueron preseleccionadas las siguientes propuestas de las empresas F y JE
-mpresa FE plao de 0 mesesP la cuota inicial y cuota mensual es 0))) um. -mpresa JE plao de 3 mesesP la cuota inicial y cuota mensual es &10) um.
'Cuál es la me9or o#erta si se considera como costo de oportunidad una $- de 3/2 Solución Se e'alan las 0os alterna&'as baJo el méto0o 0el 'alor actual, en el momento cero6 Kpción :6 NF6F8 " 0))) 7 0)))46&7 ).)38 7 0)))46&7).)380 9::" = (2.)3)3) 30
Kpción L6 NF 6J8 " &10) 7 &10)46&7 ).)38 7 &10)46&7).)38 0 7 &10)4 6&7).)38 3 NF 6J8" &10) 7 &*B1.B0:&+ 7 &*30.B*1B: 7 &3&.)&130 9: L" = (1).-) a meJor o%erta es L ?ue &ene el menor 'alor actual +3. La empresa
pción FE :))) um al contado pción JE a crédito en medio con una cuota inicial de 0))) um y >nanciación en medio ao con cuotas mensuales de &0)) um.
@ado ;ue Indutrust ene como tasa de rentabilidad una $- de +/ '(ué opción le conviene2 Solución Se e'alan las 0os alterna&'as baJo el méto0o 0el 'alor actual, en el momento cero6 Kpción :6 NF6F8 " :))) NF6F8" :))) Kpción L6 NF 6J8 " 0))) 7 &0))46&7 ).)+8 7 &0))46&7).)+8 0 7&0)) 46&7).)+83 7 &0))46&7 ).)+8* 7 &0))46&7).)+81 7&0)) 46&7).)+8+ NF 6J8" 0))) 7 &&30.)B 7 &)+B. 7 &))B.1* 7 &)++.&: 7 1).1& 7 :+.B& 7 :*1.1 9: L" = *)++.*) e con'iene la opción L, ?ue resulta 0e menor 'alor actual ?ue la opción : 0e +++ um.
+*. '(ué empo debe transcurrir para ;ue un capital de 1))) um, colocado en un banco a una $- de +/, iguale al monto producido por otro capital de :))) um, colocado a una $- del */2 33
!olución & " 1))) um $- " ).)+ "1))) 6&7 ).)+8 n 0 " :))) um. $- " ).)* " :)))6 &7))*8n or condición del problemaE 1))) 6&7 ).)+8n " :)))6 &7).)*8n 1)))4:))) " 6&.)*4&.)+8 n log ).+01 " n log ).:&&30): n = 2-.*-- meses
+1. Hna persona deposita &))) um en una instución >nanciera ;ue paga una $- de 1/ con el ob9eto de rerar &&)0,:& um dentro de 0 meses. F los 0* días después de e#ectuado el depósito, la $- ba9a a */. '(ué empo adicional tendrá ;ue esperar para rerar el monto re;uerido2 Solución /l 0epósito inicial capitali4a 2- 0as a una /M 0e (@ $ este monto capitali4a n meses más asta con'er&rse en 11+2.16 &)))6&7).)180*43) T&7).)*Un " &&)0.:& &)3.:)3: 6&.)*8n " &&)0.:& 6&.)*8n " &&)0.:&4&)3.:)3: 6&.)*8n " &.)+)1*00 n " log &.)+)1*004 log &.)* n " ).)011*0+ 4).)&B)333* n " &.*11:& n " &.1 meses53) días "*1 días en total Pero como eran + 0as, $ $a aban pasa0o 2- le %altaban 3 0as $ como sale en total -(, entonces le %altarán ) 0as más
++. La empresa eGportadora $e9idos de Flpaca !.F. ene una serie de deudas vencidas y por vencer ;ue se representan en el siguiente diagrama. 0)) D3
:)) D0
*)) D&
0)) 01) ) &
0
3*
0)) 3
)
)
-n las condiciones de re>nación e#ectuadas con su acreedor se estableció ;ue la empresa cancele hoy 6momento )8 el valor e;uivalente al total de sus deudas, para lo cual a las vencidas se les aplicara una $- de 1/ y a las deudas por vencer y a las deudas por vencer se les aplicara una $- de 0/. Con estas condiciones e re;uiere calcular el importe de cancelación para hoy. SKCIN> O momento cero6 2++1! +.+("3 ! ++1!+.+(" 2 ! -++1!+.+(" ! 2++#1!+.+2" ! 2(+#1.+2" 2 ! 2++#1.+2" 3 O = 231.(2( ! 2 ! -2+ ! 1).+*- ! 2-+.2)21 ! 1.--
O = 21(.3
+B. Las deudas de 0)))) um y 3)))) um ;ue vencen dentro de 0 y * meses, respecvamente, serán sustuidas por un %nico pago ;ue vencerá centro de 3 meses. !e necesita calcular el importe ;ue sustuirá ambas deudas, con una $F de &:/ capitaliable mensualmente. Solución6 +1 230))))
W
3))))
Por e?ui'alencia nanciera6 W " 0)))6&7).&:4&08& 7 3))))46&7).&:4&08 & W " 0)))6&7).)&18& 7 3))))46&7).)&18 & W " 0)3)) 7 011+.+1 O = -)(.(
+:. -l &: de abril, el gerente >nanciero de la -mpresa !ur !.F. estaba revisando los compromisos de pago para el mes de mayo, y encontró la siguiente in#ormación de vencimientos pendientes con el Janco InduXnE día 0), 0 1)) umP día 0&, & :)) umP día 0*, +3)) um. y día 0:, 3 1)) um. !eg%n reporte del Ru9o de ca9a proyectado durante el mes de mayo, el saldo será negavo, por lo ;ue solicita al banco di#erir los pagos ;ue vencerán en el mes de mayo para el &+ de 9unio, si el banco InduXn acepta los solicitado y
31
capitalia las deudas con una $- de 1/, 'cuál es el importe ;ue deberá cancelar la -mpresa !ur !.F. en esa #echa2 Solución6 o0as las 0eu0as 'enci0as se lle'arán a la %eca %ocal 1 0e Junio con /M 0e (@. S por pagar =2(++1.+(" 2*#3+ ! 1++1.+("2#3+ ! 3++1.+("23#3+ ! 3(++ 1.+("1)#3+ S = 212.223** !1**.*--* ! (-+.11)-2 !3+).3)S = 1-3).)3
+. -n la #echa se depositan &)))) um con el ob9eto de acumular 0)))) um dentro de : meses. -l banco paga una $F de 3+/ con capitaliación mensual. '(ué importe deberá depositarse al >nal del segundo mes para cumplir con el ob9evo propuesto2 Solución " 0)))) 0
1
10000
2
3
4
5
6
7
8
>
Solución,
" 56&7i8n or condición de problemaE 0)))) " 6&))))6&7).)38 0 7 W86&7).)38+ 0)))) " 6&)+) 7 W86&.&*)1038 0)))) "&0++B.B)): 7 &.&*)103W *332.2))1) = 1.1)-+(23O O = 1-+.)
B). -l 0+ de mayo el Janco
Créditos por vencerE el 0 de mayo, B y && de 9unio por los importes de &B)) um, 1)) um y *1)) um, respecvamente. @ado ;ue el Janco cobra una $- de 3/ para los créditos vencidos y aplica una $- de 0/ para descontar los créditos por vencer, ';ué importe >nanciará
B&. Hn préstamo de &)))) um concedido a una $- de 0/ debe cancelarse en el plao de * meses con cuotas uni#ormes ;ue vencen cada 3) días. Calcule el importe de las cuotas. Solución " &)))) um. $- " ).)0 n " * meses O = E , es la cuota igual a encontrar Brácamente6 3B
1++++123W
W
W
W
or e;uivalencia >nancieraE " W4 6&7).)08 7 W4 6&.)080 7 W4 6&7).)083 7 W4 6&7).08* " W 6&4&.)0 7 &46&.)080 7 &46&.)083 7 &46&.)08* &))))" W 6).:)30&+ 7 ).+&&+:B: 7 ).*030033 7 ).03:*1*38 &)))) " 3.:)BB0:BW O= 22.2-
B0. La empresa -;uipos !.F. vende sus má;uinas al contado en &)))) um pero debido a un préstamo ;ue obtuvo del eGtran9ero, está planeando e#ectuar ventas a crédito con una cuota inicial de *))) um y >nanciar el saldo en dos meses con cuotas uni#ormes ;ue vencen cada 3) días. La $-F por cargar al >nanciamiento es 01/. Calcule el importe de las cuotas del programa de ventas a plao. Solución Cuota inicialE *))) !aldo por >nanciarE &)))) ? *))) " +))) " +))) n " 0meses $-F " ).01 Calculamos la $, ).01 " 6&7$8 &0 D & $ " ).)&:B+0B or e;uivalencia >nancieraE +))) " W4 6&.)&:B+0B8 7 W 4 6&.)&:B+0B80 +))) " ).:&1B+13W 7 ).+3*0*BW +))) " &.*1)+W W" +))) 4 &.*1)+ O= 3+-.*2
B3. -l banco
n " )1 meses Hliamos la e;uivalencia >nancieraE 1))) " &)))46&.)08 & 7&)))46&.)08 0 7&)))46&.)08 3 7&)))46&.)08 * 7 W4 6&.)081 1))) " :).30&1B 7 +&.&+:B:& 7 03.:*1*0+ 7 )1.B3):&0 7 ).)1B3):&W 1))) D 6:).30&1B 7 +&.&+:B:& 7 03.:*1*0+ 7 )1.B3):&08 " ).)1B3):&W 1))) D 3BB&.&3B&: " ).)1B3):&W O = 122.22 # +.)+(*3Q1 O = 13(.*3( B*. Hna empresa ;ue e#ect%a ventas sólo al contado está evaluando opciones para realiar ventas a crédito. Fctualmente la ma;uina W se vende en &)))) um, y se estudia la posibilidad de o#recerla a una cuota inicial de 01)) um y el saldo >nanciarlo en el plao de medio ao con cuotas mensuales uni#ormes. @ado ;ue la $- del >nanciamiento es 3/ sobre el saldo deudor 'cuál debería ser el importe de la cuota constante2 Solución6 " &)))) Cuota inicial " 01)), !aldo " &)))) ? 01)) " B1)) $- " ).)3 Por e?ui'alencia nanciera6 as cuotas ten0rán un importe 0e O um. B1)) " W4 6&.)38 & 7 W4 6&.)380 7 W46&.)383 7 W4 6&.)38* 7 W46&.)381 7 W46&.)38+ B1)) " 1.*&BW W " B1)) 4 1.*&B O = 13-.-
B1. La compaía -lectrodoméscos !.F. está vendiendo re#rigeradoras al contado a )) um. F crédito las o#rece en el plao de 1 meses con una cuota inicial de 0)B.0: um y cuotas mensuales de &+) um. -l cliente Y desea ad;uirir el arte#acto al crédito y acepta las condiciones generales del >nanciamiento, pero propone pagar en la cuarta cuota solo &)) um y la di#erencia cancelarla al vencimiento del plao. 'Cuál sería el importe de dicho pago si se considera ;ue el saldo del crédito genera una $- de 1/2 Solución 6 !aldo por >nanciarE 3
)) ? 0)B.0: " +0.B0 n ")1 meses $- " ).)1 R = 1+ Calculamos el sal0o por pagar por no pagar 1+ completo" como O, por e?ui'alencia nanciera6 O = )2.*2 7 1+#1.+(" 1 ! 1+#1.+(" 2 ! 1+#1.+(" 3 ! 1++#1.+(" - !1+# 1.+("(T +0.B0 ? 6&10.3:)10 7 &*1.&0*B&B 7 &3:.0&*)&+ 7 :0.0B)0*B+ 7&01.3+*&:B8 +0.B0 ? +*3.31*&&: W " *.3+1::0* Fl vencimiento será W1 " *.3+1::0* 6&.)18 1 O( = 3, es lo ?ue le %altaba pagar por no pagar 1+ completo en la cuarta cuota
Pagará en la cuota nal6 1+ ! 3 = 223 um
-l día de hoy una empresa se dispone a pagar una deuda de 1))) um vencida hace tres meses y otra deuda de 0))) um ;ue vencerá dentro de dos meses. Las deudas vencidas generan una $-F de 3+/ y las deudas por vencer pueden descontarse con una $F de 0*/ con capitaliación trimestral. '(ué importe deberá cancelar la empresa ?
76.
Solución Hliando la e;uivalencia >nancieraE @euda vencida D3 " 1))) n " 3 meses $-F " ).3+, $, 6&7$8 &0 ? & " ).3+ $ " &04 &.3+ D & " ).)011*:3 @euda por vencerE " 0))) n " 0meses $F " ).0*, $$ " ).0*4* " ).)+ Nalor actual a pagar hoy WE O = (+++1!+.+2()(-3"3 ! 2+++ # 1!+.+"+.* W " 13. 1&*B* 7 &03.BBB* *)
O = *323.31
Hna empresa ene deudas con un banco ;ue vencen el 0+ de mayo, &: de 9unio, && de 9ulio, 3) de agosto, cuyos importes son *))) um, 1))) um, 0))) um y 3))) um. respecvamente. -l 0+ de mayo la empresa paga al banco *))) um y le prepone sustuir las 3 deudas restantes por un nuevo crédito de &))B).0B um en reemplao de todas las deudas por vencer. @ado una $- de 1/ y en vista de ;ue el banco acepta la propuesta el mismo 0+ de mayo, 'en ;ué #echa deberá vencer el nuevo crédito2
77.
Solución Fctualiamos todas las deudas al 0+ de ayoE @el 0+ de mayo al &: de Vunio, hay 03 días, 0343) " ).B++++++ @el 0+ de mayo al && de Vulio, hay *+ días, *+43) " &.1333333 @el 0+ de mayo al 3) de agosto, hay + días, +43) " 3.0 Pal 2 0e ma$o" = -+++ ! (+++#1!+.+(" +.* ! 2+++#1!+.+("1.(333333 ! 3+++#1!+.+("3.2 = -+++ ! -1.-2() ! 1((.3 ! 2(.3-**1 = 1323. +) >ue'o Sal0o al 2 0e ma$o = 1323.+) 7 -+++ = )23.+) uevo crédito &))B).0B, entonces debe ser e;uivalente al saldo al 0+ de mayoE &))B).0B46&.)18n " 03:.+)+ &))B).0B403:.+)+ " 6&.)18n &.)))0)): " 6&.)18n n " log&.)))0)):4 log &.)1 n " ).)3B*3*1 4 ).)0&&:3 n " &.B++++B meses n = 1.*))* D 3+ = (3 0as 9encerá el 1 0e Julio. B:. Calcule el importe del capital ;ue colocado a una $- de */, durante un trimestre produce un monto ;ue eGcede en 1)) um al capital ;ue se hubiera colocado durante ese mismo período a una tasa de interés nominal de *:/ anual. Solución " '2 *&
& " 56&7).)*83 2, 0 "056& 7).*:4* 538 " 056&7).)*538 7 1)) or condición del roblema &6&.)*83 D 1)) " 56&.&08 &.&0*:+*& " 1)) 7&.&0& ).))*:+*& " 1)) P1 = 1+2*).+( B. Hn capital colocado a una $-F durante 0 aos ha producido el mismo interés ;ue si se hubiera colocado durante )) días a una tasa de interés simple anual. Calcule la tasa adelantada de interés anual 6de 3+) días8. Solución " '2 n "0 aos I"? I = &1"i# n $ & I = & (1" i# n $ 1) I = & (1" i# 2 $ 1)
Interés simple I " 5i5 ))43+) I " 0.15i or condición del problemaE & (1" i# 2 $ 1) 1"i# 2 $1 = 2.5 1"i# 2 = 3.5 i = 2/3.5 -1
= 2.5&
i ").:B):0:+ ia " ).:B):0:+ 4 &,:B):0:+ ia = +.-
:). !e ene un capital de 1))) um. Hna parte de este se coloca a una $- de 1/ durante : meses y el resto a una $-F de 3)/ durante 1 meses. !i ambas partes del capital producen el mismo monto al >nal de su respecvo plao, halle el importe de cada una de las partes del capital inicial. !olución " 1))) um. & " &56& 7).)18 : & " &.*BB*1& Calculemos la $, ;ue produce una $-F de 3)/ *0
).3) " 6&7$8 &0 D & &.3) " 6&7 $8 &0 $ " &04 &.3) D & 0 " 61))) ?&856& 7 ).)00&)**181 0 " &.&&11&B10 61))) ?&8 or condición del problemaE &.*BBB*1& " &.&&11&B1051))) D&.&&11&B10& 0.130+B & " 11BB.1:B+ & " 11BB.1:B+ 4 0.130+B & " 0&1).B1B3 P1 = 21(1 P2 = (+++ 7 21(1 P2 = 2-) :&. Hn matrimonio posee un capital de :))) um. -l esposo colocó una parte del capital en un banco a una $- de */ durante : meses y su esposa colocó en otra instución el resto del capital a una tasa de interés simple anual de *:/ durante el mismo empo. Aalle el importe inverdo por cada uno de los esposos si ambos capitales produ9eron el mismo monto. Solución6 " :))) um. -sposo & " &56& 7).)*8 : & " &.3+:1+)1& -sposa 0 " :))) ?& $F " ).*:, $ " ).*:4&0 " ).)* a interés simple ! " 6&7i5n8 ! " 6:))) ?&86&7 ).)*5:8 ! " 6:))) ? &86&.308 ! " &)1+) ? &.30& or condición del problemaE & " ! &.3+:1+)1& " &)1+) ? &.30& 0.+::1+)1 & " &)1+) 4 0.+::1+)1 P1 = 3)2*.*- , /sposo S = +++ 7 3)2*.*3 S = -+*2.2 , /sposa
*3
3.3. Problemas 0i'ersos 1. La seora Vuana Qo9as ene una deuda, ;ue deberá cancelar dentro de 0 aos y medio por el importe de Z 13)),))) a una tasa de interés de 0.1/ mensual. !i la seora decide pagar la deuda hoy, 'cuánto debe pagar2 Solución ! " 13))))) $ " ).)01 " 0 aos y medio " 3) meses " '2 Fplicando la #órmula " !46&7i8n " 13))))) 4 6 &.)0183) P = 2(2*3.23 2. ateo Jayona dispone hoy de Z1))))) y desea inverrlo en una Janco. ara ello ha tomado la in#ormación de * endades >nancieras a. Janco de [ Los Fndes\ ,$ de 0/ b. Janco \ La revisora\ , $$ de 1/ c. Janco [-l Qegalón\, $J de *.1 / d. Janco [@e los pobres\, $! de +/. 'Cuál debe ser la decisión de Vuan2 Solución !e calculará las $-F para realiar la comparación. Janco Fndes [
[Los $ " ).)0 Capitaliación mensual Capitaliación trimestral
$-F " 6& 7).)18* D & " ).0&11 " 0&.11 /
" Capitaliación bimestral
$-F " 6& 7 ).)*18 + D & " ).3)00 " 3).00 /
Capitaliación semestral
$-F " 6& 7 ).)+80 D & " ).0+:0 " 0+,:0 /
[Los $ " ).)0 Capitaliación mensual
$-F " 6& 7).)08&0 D & " ).&03+ " &0.3+ /
Janco revisora [
[La $$ " ).)1
Janco Qegalón [
[-l $J ).)*1
Janco [@e los $! " ).)+ obres\ Janco Fndes [
$-F " 6& 7).)08 &0 D& " ).0+:0 " 0+. :0 /
/scogerá el Lanco el ;Regalón< con /: 0e 3+.22@
**
3. La empresa [Cupido\ !FC, adeuda la suma de Z 3*1,B:+.:) de un préstamo ;ue recibió hace )+ meses con una $F de 0&.31/ capitaliable mensualmente '(ué monto debe li;uidar al vencimiento2 Solución " 3*1B:+.:) n " + meses $F " ).0&31 , $ " ).0&314&0 " ).)&BB&+B Fplicando la #órmula ! " 56 & 7i 8n ! " 3*1B:+.:)56 & 7 ).)&BB&+B8+ S = 3-3+.* -. Calcular el Capital inicial ?ue coloca0o a interés compuesto 0io un monto 0e6 a. Z&).))),D al B/ anual en &) aos con capitaliación anual. Solución6 S = 10000 n = 10 años TNA = 0.07 Aplicado la fórmula: S = P*(1+i)n P = S (1+i) n P = 10000(1+ 0.07)10 P = 5083.49
b. Z&.1)),D al */ semestral en : aos y medio con capitaliación Solución ! " &1)) n " :.1 aos " &B semestres $! " ).)* Fplicado la #órmulaE ! " 56&7i8n " ! 4 6&7i8n *1
" &1))46&7 ).)*8 &B P = **+.+()
Utilizando Excel Financiero:
Ingrese a Excel
En barra principal F!r"#las $ Financieras
%elecciona &' ( &alor act#al)
'parece la *entana de di+logo co"o la ,#e sig#e
-igite los datos ,#e solicita :
'ceptar aparece tal co"o se "#estra el res#ltado
&' = //0.059 ( El signo negati*o se reiere a la salida del dinero
*+
c. Z3.1)).11 al 3 043 / anual en &1 aos y * meses con capitaliación cuatrimestral. Solución ! " 31)). 11 n " &1 aos y * meses " *+ cuatrimestres $F " 3 043 / anual es &&43 / " ).)3++++++B Fplicado la #órmulaE ! " 56&7i8n " ! 4 6&7i8n " 31)).1146&7 ).)3++++++B8 *+ P = *.)-
! "alcular #l mon$o %u# dio al colocar a in$#r&s compu#s$o: a. '.000 al , anual al ca-o d# años al capi$ali/ar anualm#n$#. %ol#ci!n:
" 0))) $F " ).)* n " )+ aos Fplicando la #órmula ! " 56&7i8n S = 2+++D 1 ! +.+-" S = 2+++D1.2(31)+2" S = 2(3+.&li4an0o /5cel Financiero6
Ingrese a /5cel *B
/n la barra principal 8 Fórmulas 7 Financieras
Seleccione 9%. 9alor %uturo "
:parece la 'entana 0e 0iálogo como la ?ue sigue 6
Higite los 0atos ?ue solicita 6
:ceptar $ aparece tal como se muestra el resulta0o
9% = 8 2(3+.- /l signo nega&'o se reere a la sali0a 0el 0inero
a sinta5is es 6 9% +.+-, ,2+++"
b. Z&).))),D al 3/ anual al cabo de &) aos con capitaliación semestral. Solución6 " &)))) $F " ).)3, $! " ).)340 " ).)&1 n " &) aos " 0) semestres *:
Fplicando la <órmula S = PD1!i"n S = 1++++D 1 ! +.+1("2+ S = 1++++D1.2(31)+2" S = 13-.(( &li4an0o /5cel Financiero:
Ingrese a Excel
En la barra principal F!r"#las $ Financieras
%eleccione &F ( &alor #t#ro )
'parece la *entana de di+logo co"o la ,#e sig#e :
-igite los datos ,#e solicita :
'ceptar aparece tal co"o se "#estra el res#ltado
& = 13428.55 ( El signo negati*o se reiere a la salida del dinero )
*
c. Z1.))),D al +/ anual al cabo de 0) aos y : meses con capitaliación cuatrimestral. Solución6 " 1))) $F " ).)+, $C " ).)+43 " ).)0 n " 0) aos y : meses " +0 cuatrimestres Fplicando la <órmula S = PD1!i"n ! " 1)))56& 7 ).)&18+0 1)
! " 1)))563.*&31:**38 S = 1*+*.)2 +. Calcular el n%mero de períodos al ;ue #ue colocado un Capital deE a. Z&.))),D ;ue al &0/ anual se trans#ormó en Z0.3)),D al capitaliar semestralmente. Solución " &))) $F ").&0, $! " ).&040 " ).)+ ! " 03)) n " '2 @e la #ormula ! " 56&7i8 n btenemosE !4 " 6&7i8 n $omando logaritmosE Log6!48 " n log 6&7 i8 n = ogS#P" # og 1! i" n " Log 603)) 4&)))8 4 Log 6&7).)+8 n " Log 60.38 4 Log 6&.)+8 n " ).3+&B0B:* 4 ).)013)1:B n " &*.0 semestres n = * aAos, 1 mes $ 23 0as. b.
Z0.))),D ;ue al :/ anual se trans#ormó en Z*.*)),D al capitaliar trimestralmente Solución " 0))) $F ").):, $$ " ).):4* " ).)0 ! " **)) n " '2 @e la #órmula ! " 56&7i8n 1&
