Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ONDAS ESTACIONARIAS
Integrantes
La!aro O"regon# E$el% &ilagros &all$a Fa"ian# 'arina
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil INDICE
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil OBJETIVOS
1. Ondas Ondas Estacio Estacionari narias: as: En una una onda onda via( via(er era a dete deterr$ina $inado do valo valorr del del ca$) ca$)o o se )ro) )ro)ag aga a inde*inida$ente en una direcci+n, -or e(e$)lo# una ola de un $etro ./ 0
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil 1 $2 de altura 3ue recorra el $ar# dentro de nuestra ideali!aci+n de las ondas ondas## )as+ )as+ o )asar )asar4 4 )or cual3ui cual3uier er )unto )unto en la su)er5 su)er5cie cie del del $ar $ar, Cuando 6a% una *rontera en un $edio la situaci+n no es así# )ues 6a% )untos donde en todo instante / 0 7
1.1. Ondas Ondas Estacio Estacionaria narias s en en una una Cuerda Semiinfnit Semiinfnita: a: Las ondas estacionarias se )roducen )or la inter*erencia de dos ondas via(e ia(erras de igua iguall *recu ecuencia ncia## )er )ero con con sentid ntido o o)u o)uesto sto de )ro)agaci+n, En la 5gura una onda en una cuerda se$iin5nita incide en un e8tre$o 5(o en una )ared# donde se re9e(a e inter5ere con la onda onda incide incidente nte,, Figura igura 1,:1 1,:1 Ondas Ondas inci incide dent nte e % re9 e9e( e(ad ada, a, E8tr E8tre$ e$o o 5(o 5(o en el origen 3uiere decir /.7# t2 0 7# lo 3ue es una ideali ideali!ac !aci+n# i+n# )uest )uesto o 3ue en la reali realidad dad el $ate $ateri rial al dond donde e ter$ ter$in ina a la cuer cuerda da no es inde*or$a"le# )or rígido 3ue sea e8)eri$enta una )e3ue;a de*or$aci+n "a(o la acci+n de la *uer!a 3ue le e(erce la cuerda< la cuerda 6ace tra"a(o so"re la )ared# le cede )arte de su energía, Estricta$ente# Estricta$ente# no e8iste una cuerda con e8tre$o 5(o, -or la le% de acci+n=reacci+n# la )ared le e(erce una *uer!a a la cuerda 6aciendo 3ue en la inter*a! la onda re9e(ada tenga un ca$)o de sign signo o o)ue o)uest sto o a la onda onda inci incide dent nte# e# esto esto es# es# 3ue 3ue est> est>n n en contra*ase, La e8)resi+n )ara la onda incidente es ξ i=ξ 0 i sin ( wt + kx ) <
.1,12 )ara la onda re9e(ada es ξ r= ξ0 r sin ( wt −kx ) La relaci+n entre estas dos a$)litudes seria
ξ 0 i=−ξ 0 r
ξ r=−ξ 0 i sin ( wt − kx ) ξ i= ξ0 i sin ( wt − kx±π )
.1,?2 Co$o cada una de las ondas en la cuerda cu$)le la ecuaci+n de onda# la su$a .o su)er)osici+n o inter*erencia2 de ellas ta$"i>n la cu$) cu$)le le## % el des) des)la la!a !a$i $ien ento to de los los )unt )untos os de la cuer cuerda da est4 est4 e8)resado )or ξ =ξ i + ξ r= ξ 0i sin ( ωt + kx )+ ξ 0 r sin ( ωt −kx )=ξ 0 i [ sin ( ωt + kx )−sin ( ωt −kx )] .
.1,@2
α − β 2
A)li3 li3ue$os
la
identida idad
β =wt −kx # )ara o"tener
¿ + ( ¿ ¿ ) cos ( α β ) co con 2 β =2sin ¿ α − sin ¿ sin ¿
α =wt + kx
%
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil ξ =2 ξ 0 i sin kx cos wt .1,2 De5na$os la unción de ampitud co$o ampitud co$o f ( ( x ) =2 ξ 0 i sin kx
.1,:2
Reescri"i$os la ecuaci+n .1,@2 co$o ξ = f ( x ) cos wt
.1,B2 Aun3 Aun3ue ue esta esta onda onda sea sea la su)e su)er) r)os osic ici+ i+n n de dos dos onda ondas s via( via(er eras as ξ i ( x + vt ) % ξ r ( x − vt ) en senti sentidos dos o)uestos o)uestos## ella ella no es via(er via(era a )uesto 3ue no es una *unci+n de
( x ± vt ) < las varia"les 8 % t est4n
se)aradas# no aco)ladas a trav>s de una su$a o una resta co$o en una una onda onda via(e ia(era ra,, Los di*e di*errente entes s )untos de la cuerda son osciladores ar$+nicos si$)les 3ue vi"ran con una ( x ) de)endiente de 8< en a$)litud f ( una onda ar$+nica via(era la a$)litud es constante, a% )untos de la cuerda# lla$ados nodos de des)la!a$iento .)untos N en la Figura2# donde las ondas incidente % re9e(ada re9e(ada inter5er inter5eren en destructiv destructiva$e a$ente nte dando co$o resulta resultado do una a$)litud cero, Esto e8)lica el no$"re de onda estacionaria )ara la *unci+n /.8# t2 de la Ec, 1,B# )ues es o"vio 3ue no 6a% cierto valor del ca$)o 3ue se est> )ro)agando a trav>s del $edio# co$o en una onda via(era, En la inter*erencia destructiva los ca$)os son o)uestos entre sí# est4n en contra*ase % la su$a da cero< )ara 3ue est>n en contra*ase el des*ase es un i$)ar )or , La *ase de la onda incidente .Ec, .Ec, 1,12 1,12 es ϕ i= wt + kx < la *ase *ase de la onda onda re9 e9e( e(ad ada a .Ec, .Ec, 1,?2 1,?2 es ϕ r =wt + kx±π # el des*ase entre ellas es ϕ i− ϕr =( wt + kx )−( wt + k x ± π )=2 k x ± π
.1,2 Cuan Cuando do el des* des*as ase e no de)e de)end nde e del del tie$ tie$)o )o## co$o co$o en la ante anteri rior or ecuaci ecuaci+n# +n# se dice dice 3ue las ondas ondas son son co6er co6erent entes, es, En los nodos nodos la inte inter* r*er eren enci cia a entr ntre las las onda ondas s es dest destru ruct ctiv iva# a# de"e de"en n esta estarr en contra*ase# Δϕ =impa imparr π =( 2 m + 1 ) π = 2 kx±π < m=0,1,2, … El cont contad ador or $ no )ued )uede e ser ser nega negati tivo vo )or )or3ue 3ue 8 ta$) ta$)oc oco o lo es, es, Esco Esco(a (a$o $os s )ara )ara )ode )oderr canc cancel elar arlo lo## canc cancel ela$ a$os os lueg luego o el ? % o"tene$os 3ue en los nodos kx = m π < m=0,1,2, … .1,2 Ree$)lace$os en la Ec, 1,:#
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil f ( ( x )=2 ξ 0 i sin mx =2 ξ 0i x 0=0 Da cero# co$o era de es)erarse en un nodo, De la Ec, 1, des)e(e$os la )osici+n de los nodos N# mπ mπ λ λ λ = =m =0, , λ , 3 , … x N = k 2 π ∕ λ 2 2 2 .1,H2 El )ri$er nodo se o"tiene con $ 0 7 en 8 0 7 donde la cuerda est4 5(a a la )ared, -ara dos nodos consecutivos# Δm=1 < la se)araci+n entre ellos es J? a)li3ue$os el o)erador K a la Ec, 1,H Δ x N = Δ ( mλ / 2 )=( λ / 2 ) Δm= λ / 2 a% )untos de la cuerda 3ue tienen la $48i$a a$)litud# lla$ados antinodos de des)la!a$iento .)untos A en la Figura2# donde las ondas inter5eren constructiva$ente< el des*ase .Ec, 1,2 es un n$ero )ar )or # 4 π Δϕ = par π =2 m π =2 kx±π = x ± π < m=0,1,2, … λ
Des)e(e$os la )osici+n de los antinodos A# λ λ λ 1 λ λ λ λ = , + , λ+ , 3 + , … X A = m+
( )
2 2
4 2
2
4
2
4
Esta ecuaci+n la )ode$os o"tener de la Ec, 1,: sin necesidad de 6acer 6acer consid considera eracio ciones nes so"re so"re inter inter*er *erenc encia ia constr construct uctiva iva a$)li a$)litud tud $48i$a i$)lica 3ue sen M8 0 1# de donde M8 0 .?J28 0 i$)ar.J?2 0 .?$ .?$ 12. 12.J? J?2, 2, Al des) des)e( e(ar ar 8 o"te o"tene ne$o $os s la )osi )osici ci+n +n de los los antinodos, Figura Figura A si$)le vista no ve$os las di*erentes di*erentes )osiciones de una cuerda, En la la línea continua es la cuerda con todos sus )untos en la $48i$ $48i$a a elonga elongaci+ ci+n< n< la energ energía ía es nica$ nica$ent ente e )otenc )otencial ial,, La 9ec6a vertical en la )ri$era se$ilongitud de onda indica 3ue durante el )r+8 )r+8i$o i$o cuarto cuarto de )eríod )eríodo o todos todos sus )untos )untos estar estar4n 4n $ovien $oviendo do 6acia a"a(o dirigi>ndose a las res)ectivas )osiciones de e3uili"rio, Todos Todos los )untos de la cuerda alcan!an si$ult4nea$ente la )osici+n de e3uili e3uili"ri "rio# o# % la cuerd cuerda a est4 est4 $o$en $o$ent4 t4nea nea$en $ente te 6ori!o 6ori!onta ntal< l< la energía es s+lo cin>tica, Un cuarto de )eríodo $4s tarde la cuerda esta estar4 r4 en la )osi )osici ci+n +n indic indicad ada a con con la línea línea a tra! tra!os os,, Dura Durant nte e el )r+ )r+8i$o i$o $edio edio )erío eríodo do se reve eversa rsa lo ocur currido ido en el )ri$ )ri$e er se$i)e i)eríodo íodo % la cuer uerda estar star4 4 en la )osi )osici ci+n +n inic inicia ial< l< se 6a co$)letado un ciclo, La *recuencia con 3ue esto ocurre )uede ser tal 3ue 3ue vea$ ea$os algo lgo co$o o$o la Fig < ilu$ lu$ina inando ndo la cuer uerda con un estro"osco)io )ode$os verla )er$anente$ente en la )osici+n de la línea continua# a tra!os# u 6ori!ontal de la Fig,Cual3uier )unto en un seg$ento de cuerda co$)rendido entre dos nodos consecutivos vi"ra en contra*ase con cual3uier otro )unto en una se$ilongitud de cuerda vecina, Durante el )roceso los )untos N )er$anecen en re)oso# % es
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil la ra!+n )or la 3ue la onda se lla$a estacionaria, Cual3uier longitud de onda es )osi"le en la cuerda se$iin5nita# λ =f ∕ v < "asta con ca$"ia ca$"iarr co$o co$o 3uera 3uera$os $os la *recu *recuenc encia# ia# % ca$"ia ca$"ia inver inversa sa$en $ente< te< v =√ T ∕ u es consta constante nte,, La situac situaci+n i+n es $u% distinta distinta cuando cuando la cuerd cuerda a es 5nita 5nita,, El des*a des*ase se entr entre las ondas 3ue se )ro)a )ro)aga gan n en sentidos o)uestos % 3ue originan la onda estacionaria# Ec, 1,# s+lo de)e de)end nde e de la )osi )osici ci+n +n 8, -or cons consig igui uien ente te## )ara )ara o"se o"serv rvar ar la transici+n de inter*erencia constructiva a destructiva nos de"e$os des)la!ar a lo largo de la cuerda, -or esto a las ondas estacionarias se les cita co$o un e(e$)lo de inter*erencia es)acial# a di*erencia de los )ulsos# 3ue se le cita co$o un caso de inter*erencia inter*erencia te$)oral,
1.!. 1.!. Onda Ondas s Estac Estacio iona nari rias as en en una una Cuerda Semiinfnita: Frecuencia li"re de vi"raci+n de un siste$a es la *recuencia con 3ue vi"ra vi"ra des)u> des)u>s s de 3ue un agente agente e8ter terno lo 6a e8cita citado do o le 6a cedido energía, -ero si el agente e8terno $antiene la interacci+n con el siste$a# este vi"ra con la *recuencia de a3uel# % la vi"raci+n %a no es li"re sino *or!ada, -or e(e$)lo# des)u>s de 3ue se le cede energía# un )>ndulo si$)le oscila con *recuencia 1 g ν= 2 π l
√
Co$o esta *recuencia de)ende solo de características características del siste$a .g es una característica característica *ísica# l es una característica geo$>trica2 la lla$a$os *recuencia *recuencia )ro)ia o nor$al o li"re de oscilaci+n, -ero# co$o caso e8tre$o# alguien )uede *or!ar las oscilaciones# e i$)onerle# con sus $anos# un )eriodo de un ciclo )or segundo# o )or cada 17 $inutos, Cuando a$"os e8tre$os de la cuerda son nodos .o antinodos2 no es )osi"le cual3uier longitud de onda# % en consecuencia ta$)oco es )osi"le cual3uier *recuencia, Las *recuencias li"res de vi"raci+n de un siste$a 5nito est4n deter$inadas deter$inadas )or su geo$etría % )ro)iedades )ro)iedades *ísicas, Sea L la longitud l ongitud de la cuerda, Co$o en 8 0 L 6a% un nodo .1,2 k= ( 2 π ∕ λ ) = m π < $0 1#?#@# Des)e(e$os la longitud de onda 2 2 =2 , , , , … λ = 3 2 ! .1,172 No tene$os en cuenta a $ 0 7 )or3ue da 0 # lo 3ue inter inter)r )reta eta$os $os co$o co$o ausen ausencia cia de ondas ondas,, En la Fig, $ostra $ostra$os $os la cuerda )ara las tres longitudes de onda $4s largas, La línea continua es la cuerda con todos sus )untos en la $48i$a elongaci+n# la línea
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil discontinua es la cuerda $edio )eríodo $4s tarde, Utili!ando la Ec, 1,17 o"tene$os las *recuencias )ro)ias# T / " = v =m v =m √ T f = < $01#?#@# λ 2 2 .1,112 A la *recuencia $4s "a(a de vi"raci+n li"re de un siste$a se le lla$a la *recuencia *unda$ental f f < segn la anterior ecuaci+n# f f =
v T T // " = √ 2 2
.1,1?2 La Ec, 1,11 la )ode$os reescri"ir co$o =m f f = f f , 2 f f , 3 f f , .. f = .1,1@2 Cuando e8cita$os una cuerda % la de(a$os vi"rar# ella lo 6ace s+lo con una *recuencia o varias de las anteriores *recuencias# no con otras< no )ode$os 6acer 3ue vi"re li"re$ente con una *recuencia ar"it ar"itrar raria ia 3ue 3uera 3uera$os $os,, Deno$i Deno$ina$ na$os os $odo $odo de vi"ra vi"raci+ ci+n n de un siste$a *ísico a la vi"raci+n del siste$a con una de sus *recuencia li"res# (unto con la *unci+n de onda / 3ue la descri"a, A los $odos de vi"raci+n vi"raci+n con *recuencia *recuencia * P f f se les lla$a so"retonos, Cuando *J f f es un entero $# se dice 3ue el $odo es el ar$+nico de orden $,
Ve$os# e$os# entonc entonces# es# 3ue el *unda *unda$en $enta tall sie$)r sie$)re e es el ar$+n ar$+nico ico de orden 1# el )ri$er so"retono de la cuerda con e8tre$os 5(os es el ar$+nico de orden ?# el segundo so"retono es el ar$+nico de orden @# % así sucesiva$ente, La Ec, 1,11 $uestra algunas características generales de cual3uier siste$a *ísico a $a%or di$ensi+n .a $a%or L2# $eno $enorres las las *rec *recue uenc ncia ias s )ro) )ro)ia ias s o $a%o $a%orr el )eri )eriod odo, o, Las Las onda ondas s estacionarias 3ue 6e$os estudiado son el resultado de dos ondas via( via(er eras as con con sent sentid ido o o)ue o)uest sto o de )ro) )ro)ag agac aci+ i+n# n# )er )ero de igua iguall *recuencia,
La )ote )otenc ncia ia 3ue 3ue una una onda onda )ro) )ro)ag aga a en un sent sentid ido o es igua iguall a la )otenc )otencia ia 3ue la otra otra )ro)a )ro)aga ga en el sentid sentido o o)uest o)uesto# o# dando dando co$o co$o resultado un 9u(o neto de energía cero, -ero no 6e$os tenido en cuenta las di*erentes )>rdidas de energía de la onda )or *ricci+n o )or3ue la cuerda )ertur"a el aire % e$ite sonido# o tras$ite ondas a la estructura 3ue so)orta la cuerda, En el la"oratorio se o"tienen varios nodos co$o en la Fig# conectando una *uente de ondas en un e8tre$o de la cuerda< sin e$"argo# en la realidad# la cuerda )ierde energía# la $is$a 3ue se de"e su)lir si 3uere$os $antener vi"rando la cuerda durante largo tie$)o# )ara lo 3ue es necesario 3ue 6a%a un 9u(o neto de energía desde la *uente 6acia el resto de la cuerda, Esto es i$)osi"le si 6a% )untos de la cuerda 3ue no se des)lacen# %a 3ue no 6a"ría allí un tra"a(o Q de la )arte derec6a de la cuerda so"re la )arte i!3uierda< recuerde 3ue Q 0 F d# donde d es des)la!a$iento, Entonces# estricta$ente# no 6a% nodos, Cuando deci$os 3ue 6a% un nodo# en el $undo *ísico nos re*eri$os re*eri$os a los )untos donde la l a a$)litud de vi"raci+n del ca$)o es $enor 3ue en los otros )untos# )ero sin ser
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil cero )or3ue )or ellos de"e )asar un 9u(o de energía )ara el resto del siste$a# tal 3ue co$)ense las di*erentes )>rdidas, Cual3uier siste$a *ísico tiene *recuencias de vi"raci+n 3ue l e son características# %a sea el Sol o un )uente, Es c>le"re la destrucci+n del )uente de Taco$a en 1H7 )or vientos de B M$J6, Cuando el aire 9u%e alrededor de una l4$ina .o de una cuerda2 se *or$an re$olinos )eri+dicos de aire 3ue se alternan a uno % otro lado de la l4$ina# lo 3ue origina una *uer!a )eri+dica )er)endicular a ella, En el caso caso del del )uen )uente te re*er e*erid ido# o# la *recuencia de los re$olinos coin coinci cidi+ di+ con con una una de las las su%a su%as# s# entraron en resonancia % la a$)litud de las ondas estacionarias del )uente au$ento tanto 3ue cola)s+, Re$olinos del $is$o ti)o son los res)onsa"les de la generaci+n del sonido en los instru$entos de viento, Una onda en un es)acio 5nito da lugar a ondas estacionarias# %a 3ue en los lí$ites del es)acio de"ido a la onda incidente se origina una onda re9e(ada# % la inter*erencia de a$"as )roduce una onda estacionaria, Esto se )resenta en el interior de un 6orno $icroondas< en los sitios nodales la cocci+n de los ali$entos es )o"re# % )or ello se de"en )oner so"re un )lato rotatorio, Co$o dic6as ondas son tridi$ensionales# en lugar de 6a"lar de )untos nodales co$o en la cuerda 3ue es unidi$ unidi$ens ension ional# al# de"e$o de"e$os s 6a"lar 6a"lar de )lanos )lanos nodale nodales, s, Ade$4 Ade$4s# s# las $icroondas no son ondas el4sticas sino electro$agn>ticas, electro$agn>ticas,
1.". Ondas Ondas Estacion Estacionarias arias # Condici Condiciones ones de $ront $rontera: era: Las *recuencias )osi"les de vi"raci+n de una cuerda in5nita# *or$an un con(un con(unto to contin continuo# uo# * [ 0, # ) < o# con otras )ala"ras# cual3uier *recuencia *recuencia es )osi"le, Una condici +n de *rontera es una condici+n 3ue de" de"e cu$)l u$)lir ir una *unci unci+n +n,, ac ace$o e$os 3ue 3ue la *unci unci+n +n de onda onda estacionaria en la cuerda sea cero en 8 0 7 % en 8 0 L< estas dos condic condicion iones es in$edi in$ediat ata$ a$ent ente e tienen tienen co$o co$o consec consecuen uencia cia 3ue las *recuencias de(en de )ertenecer a un con(unto continuo# % )asen a con*or$ar un con(unto discontinuo f m # cu%os in5nitos ele$entos son enu$era"les con un entero $# * f m 0 m f f 0 f f # ? f f
# @ f f # , , , , Esto es característico de cual3uier onda
con5nada a una regi+n 5nita del es)acio, Un e(e$)lo nota"le de lo e8)uesto lo constitu%e un electr+n de un 4to$o cual3uiera, -ase$os a considerar las ondas sonoras 3ue se )ro)agan en un tu"o, Tu%o &%ierto en &m%os E'tremos Los e8tre$os del tu"o de la Fig, est4 est4n n a"ie a"iert rtos os## % en su interior se )ro)aga una onda sonora< la onda )uede )rovenir de un )arlante le(ano le(ano,, La onda onda 3ue )enetr )enetra a en el tu"o tu"o su*r su*re e una una re9 e9e8 e8i+ i+n n en el e8tr e8tre$ e$o o der derec6o ec6o## lo 3ue 3ue es e8tra;o e8tra;o )uesto 3ue allí 6a% aire % no una *rontera rígida, -ero -ero al llegar l legar al e8tre$o sí 6a% un ca$"io de $edio los ele$entos de volu$en en
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil el inte interi rior or del del tu"o tu"o solo solo se )ued )ueden en e8)a e8)and ndir ir o co$) co$)ri ri$i $irr en la direcc direcci+n i+n 8# en ca$"io ca$"io un ele$e ele$ento nto de volu$e volu$en n in$edi in$ediata ata$e $ente nte des) des)u> u>s s de 8 0 L sí )ued )uede e ca$" ca$"ia iarr de volu volu$e $en n ca$" ca$"ia iand ndo o sus sus di$ensiones transversales# %a 3ue transversal$ente lo li$ita aire % no el tu"o tu"o<< esto esto es lo 3ue 3ue )rov )rovoc oca a la re9 e9e8 e8i+n i+n,, En el inte interi rior or se )resenta# )resenta# entonces# inter*erencia entre la ondas incidente % re9e(ada, re9e(ada, Su)o Su)ond ndrre$os e$os## % es una una su)o su)osi sici ci+n +n *uer *uerte te %a 3ue 3ue la realid ealidad ad es di*erente# 3ue la onda re9e(ada tiene la $is$a a$)litud 3ue la onda incidente# lo 3ue e3uivale a decir 3ue el e8tre$o a"ierto no e$ite sonido al es)acio a"ierto en *rente de >l, En estas condiciones 6a% )unt )untos os noda nodale les s en el inte interi rior or del del tu"o tu"o o# $e(o $e(or# r# )lan )lanos os noda nodale les s )er)endiculares a 8 donde la inter*erencia es destructiva# % )lanos antin antinoda odales les donde donde es constr construct uctiva iva,, En los e8tr e8tre$ e$os os a"iert a"iertos os es constructiva# )or3ue en ellos la ondas de des)la!a$iento incidente % re*le(ada est4n en *ase# lo 3ue 6ace 3ue las variaciones de / sean $48i$as, Cuando se tiene en cuenta 3ue el e8tre$o a"ierto sí radia sonido sonido al $edio $edio circun circundan dante# te# el antinodo de des)la!a$iento des)la!a$iento se corr corre e una una cant cantid idad ad ϵ # lla$ada correcci+n de e8tre$o li"re# a*uera del tu"o a)ro )ro8i$ 8i$ada$ da$ente nte igua gual a 7,@D# donde D es el di4$etro del tu"o# ϵ =0.3 $ Esto signi5ca 3ue la longitud e*ectiva L 7 de la colu$na de aire sea la longitud *ísica L del tu"o $4s la correcci+n# % = +ϵ .1,12 %
Esta es la longitud 3ue se de"e tener en cuenta en lugar de L# en las )r+8i$as ecuaciones# si se 3uiere una $a%or concordancia con $edid $edidas as e8)er e8)eri$e i$enta ntales les,, En la Fig, se $uestran nodos % antinodos de des)la!a$iento sin cone8i+n con ningn siste$a *ísico en )articular, -ara un tu"o a"ier a"ierto=a to=a"ie "ierto rto## su e8tr e8tre$o e$o i!3uie i!3uierd rdo o tiene 3ue coincidir con un A# % el derec6o con otro A $4s a la derec6a del )ri$er A, Co$o Co$o entre entre antino antinodos dos consec consecuti utivos vos la distancia es J?# esta$os diciendo 3ue entr entre los e8tr e8tre$o e$os s del del tu"o tu"o de"e$ de"e$os os aco$odar un n$ero entero de se$ilongitudes de onda< e8)rese$os con una ecuaci+n lo dic6o# mλ = # $07#1#?#@#,, 2 Des)e(e$os la longitud de onda# 2 2 =2 , , , , .. λ = 3 2 m .1,1:2
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil Ecuaci+n 3ue es id>ntica a la l a Ec, 1,17< esta )roviene de e8igir 3ue los e8tre$os de la cuerda sean nodos# % la lti$a de e8igir 3ue los e8tre$os del tu"o sean antinodos, Recuerde 3ue co$o el des*ase entre / % K) es H7 # los nodos de des)la!a$iento coinciden con antinodos de )resi+n# % los antinodos de des)la!a$iento con nodos de )resi+n .) 0 ) 72, Las *recuencias )ro)ias del tu"o son v v = =m f = m=1,2,3,. . 2 < λ .1,1B2 v es la ra)ide! del sonido en el 9uido dentro del tu"o< si es aire, La *recuencia $íni$a o *unda$ental es f f = v / 2 .1,12 La Ec, 1,1B la reescri"i$os co$o =m f f = f f , 2 f f , 3 f f , .. f = .1,12 El sonido )roducido )or un tu"o a"ierto=a"ierto contiene una o varias de las anteriores *recuencias< todos sus so"retonos son ar$+nicos, Casi sie$)re en nuestra vida cotidiana e8iste un ruido de *ondo 3ue contie contiene ne una ga$a ga$a a$)li a$)lia a de *recu *recuenc encias ias,, Cuando Cuando acerc acerca$ a$os os el e8tre$o de un tu"o a un oído .el tu"o se )uede *or$ar con la $ano sola2 la intensidad de los sonidos del a$"iente con una *recuencia igual o cercana a cual3uiera de las *recuencias dadas )or la Ec, 1,1 se ve re*or!ada res)ecto res)ecto a las de$4s# % esto e8)lica el ca$"io 3ue se )resenta en el sonido# 3ue se escuc6a co$o el ru$or del $ar, El 3ue s+lo sean )osi"les deter$inadas longitudes de onda %# co$o consecuencia# solo ciertas *recuencias# )roviene de 6a"er i$)uesto dos condic condicion iones es de *ront *ronter era a 3ue los e8tr e8tre$o e$os s sean sean antino antinodos dos de des) des)la la!a !a$i $ien ento to,, De nuev nuevo# o# las las *rec *recue uenc ncia ias s )ro) )ro)ia ias s de)e de)end nden en nic nica$ a$en ente te de la geo$ geo$et etrí ría a % )ro) )ro)ie ieda dade des s *ísi *ísica cas s del del sist siste$ e$a, a, Cuando un instru$ento $usical se lleva de un lugar *río a uno $4s caliente sus *recuencias ca$"ian# %a 3ue 6a% dilataciones# lo 3ue daría *recuencias *recuencias $4s "a(as %# si es de viento# au$enta la ra)ide! del sonido# lo 3ue daría un au$ento de ellas, La Fig, 1,:a corres)onde a cuando aco$oda$os un se$ilongitud de onda en el tu"o# $ 0 1< la Fig, 1,:" a dos se$ilongitudes de onda# $ 0 ?# o sea una longitud de onda< la Fig, 1,:c a tres se$ilongitudes de onda# $ 0 @, Las curvas en el interior del tu"o re)resentan la a$)litud de vi"raci+n de los los ele$ ele$en ento tos s de $asa $asa## esto esto es# es# los los lí$i lí$ite tes s entr entre e los los 3ue 3ue tale tales s ele$entos vi"ran, Recuerde 3ue las vi"raciones son longitudinales# )or3ue el sonido en un 9uido lo es# % los lí$ites dados )or dic6as curvas se de"en entender a lo largo del e(e 8# centrados en una coord coordena enada da 8 en )artic )articula ularr, Las Las curvas curvas no re)r re)res esent entan an las ondas ondas incidente % re9e(ada< re)resentan# co$o se di(o# la distri"uci+n de a$)litud, La escala en % de las curvas es di*erente de la escala en 8 la $48i$a a$)litud de las vi"raciones dentro de un tu"o o colu$na de aire# )or e(e$)lo dentro de una tro$)eta# )uede ser de $il>si$as de $ilí$etro,
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Tu%o con un E'tremo &%ierto # e Otro Cerrado Ta)e$os Ta)e$os el e8tre$o e8tre$o derec6o del tu"o , En 8 0 L %a el aire no tiene li"ertad de des)la!arse# el e8tre$o es de una inercia $uc6o $a%or 3ue el e8tre$o li"re % co$o conse consecue cuenci ncia a la onda onda re9e( re9e(ad ada a de des)la!a$iento est4 allí en contra*ase con la incidente# R 0 W1# e inter inter5er 5eren en destr destruct uctiva iva$e $ente nte en todo instante, Al ta)ar# el e8tre$o se convierte# entonces# en un nodo de des)la!a$iento % un antinodo de )res )resi+ i+n n no 6a% 6a% 9uct 9uctua uaci cion ones es del del des)la!a$iento# )ero las 9uct 9uctua uaci cion ones es de la )res )resi+ i+n n son son $48i$as# alrededor de ) 7, El e8tr e8tre$ e$o o i!3u i!3uie ierrdo de"e de"e coin coinci cidi dirr con con un A de la Fig, ig, % el e8tr 8tre$o e$o der derec6o ec6o con con un N, La $íni$ íni$a a distancia entre A % N es J# la )r+8i$a entre el $is$o A % el otro N $4s ale(ado es J J?# la 3ue sigue es J J? J?# , , , , Generalice$os# λ λ λ = + m =( 2 m + 1 ) & m=0,1,2,3, … 4
2
4
.1,1H2 E8clui E8clui$os $os $ negati negativos vos )or3ue )or3ue L % son )ositivo )ositivos, s, La Fig, Fig, 1,:H" 1,:H" corres)onde a cuando aco$oda$os en el tu"o un cuarto de # $ 0 7< la Fig, 1,:Hc a cuando aco$oda$os J J?# $ 0 1< la Fig, cuando aco$oda$os J J? J?# $ 0 ?, Des)e(e$os de la Ec, 1,171 % ree$)lace$os en X 0 vJ )ara o"tener las *recuencias )ro)ias o de resonancia resonancia del tu"o# v =( 2 m+1 ) & m=0,1,2,3, … f = 4
.1,?72 Ve$os 3ue la *recuencia *unda$ental es f f = v / 4 .1,?12 La Ec, 1,1H la reescri"i$os co$o =( 'um(r)impar ) f f = f f , 3 f f , 5 f f , .. f = .1,??2 Al co$) co$)ar arar ar la Ec, Ec, 1,?1 1,?1 con con la Ec, Ec, 1,1 1,1 ve$os ve$os 3ue 3ue al ta)a ta)arr un e8tre$o la *recuencia *unda$ental se reduce a la $itad< en t>r$inos $usicales se dice 3ue "a(a una octava, Ade$4s# al co$)arar la Ec, 1,?? con la Ec, 1,1# desa)arecen los ar$+nicos )ares# solo 3uedan los i$)ares, Un )o!o se co$)orta co$o un tu"o a"ierto=cerrado< el
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil sonido sonido )rodu )roducid cido o al arro arro(ar (ar una )iedra )iedra en >l tiene tiene re*or re*or!ad !ados os los ar$+nicos i$)ares# los )ares no e8isten o son relativa$ente d>"iles, Las ondas de des)la!a$iento % de )resi+n est4n des*asadas H7# lo 3ue lleva lleva a 3ue los antino antinodos dos de des)la des)la!a$ !a$ien iento to sean sean nodos nodos de )resi+n# % viceversa, Esto 3uiere decir 3ue donde ocurre inter*erencia inter*erencia constructiva entre las ondas de des)la!a$iento incidente % re9e(ada .ondas en *ase2 se )resenta inter*erencia destructiva entre las ondas de )resi+n incidente % re9e(ada .ondas en contra*ase2# % viceversa, En consecuencia# en la re9e8i+n en el e8tre$o cerrado de un tu"o las ondas de des)la!a$iento incidente % re9e(ada est4n en contra*ase# % las de )resi+n en *ase,
Cuando dentro del tu"o se usa un )e3ue;o $icr+*ono co$o sonda# % )uesto 3ue este res)onde es a ca$"ios de )resi+n# se co$)rue"a 3ue la se;al el>ctrica )roveniente de >l es $48i$a en los nodos de des)la!a$iento % $íni$a en los antinodos< o con otras )ala"ras# con el $icr $icr+* +*on ono o dete detect cta$ a$os os nodo nodos s % anti antino nodos dos de )res )resi+ i+n, n, El oído oído ta$"i>n res)onde a ca$"ios de )resi+n# % cuando escuc6a$os un $48i $48i$o $o de la inte inter* r*er eren enci cia a de dos dos onda ondas# s# escu escuc6 c6a a$os $os es la inter*erencia destructiva iva entre las res)ectivas ondas de des)la!a$iento# o constructiva entre las ondas de )resi+n, -ara 3ue las )redicciones concuerden con lo 3ue escuc6a$os es# entonces# )re*eri"le )re*eri"le anali!ar las ondas sonoras en t>r$inos de ondas de )resi+n antes antes 3ue en t>r$in t>r$inos os de ondas ondas de des)la des)la!a$ !a$ien iento to,, Ade$4 Ade$4s# s# las ondas de )resi+n tienen la venta(a de ser escalares $ientras 3ue las de des)la!a$iento son vectoriales,
E'perimento: &ateriales
Una cuerda de Longitud L %
$asa & Una )olea 5(a Un oscilador el>ctrico Crono$etro Regla $ili$etrada Yalan!a -esas Canastilla
-rocedi$ientos
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil 12 n L &edir % 1 @,B c$ ? 7 c$ @ H c$ 1@@ c$ : 1B: c$ )esar la cuerda ?2 Ar$a Ar$arr el siste$ siste$a a @2 &edi &edirr la longit longitud ud )ara )ara cada cada caso 2 Colocar las )esas adecuadas adecuadas )ara )ara cada caso 3ue se se re3uiera, re3uiera, :2 -ara ara cada cada val valor or de F T to$ar dos valores de n# $edir L res)ectivo % calcular la *recuencia .*2# velocidad velocidad .v2 % longitud de onda . 2,
"* u(r+a u(r+a=
10 g 335 *m
=0.02985
g kg =0.002985 *m m
&asa de la canastilla
&asa A
&asa Y
&asa C
&asa D
1:, g
:7,? g
?7 g
17 g
17 g
&asa .? soles2 :,B g
&asa .1 sol2 ,? g
&asa .17 c>nti$os2 @,B g
1er caso: Tensi+n constante T 0 .&A&Y&canastilla2, Gravedad 07,@BB N
aciendo el a(uste lineal
Su$a
8 @,B 7 H 1@@ 1B: HB,B
% 1 ? @ : 1:
8% @,B 17 ?? :@? ?: 11@,B
Z? 11H,1B H77 @B 1BH ???: :H,1B
&asa .?7 c>nti$os2 , g
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil ' ( x i - i )−( x i)( - i ) a= 2 2 ' ( x i )−( x i ) a=
5 ( 1813.6 ) −( 496.6)( 15 ) 5 ( 59847.16 ) −( 496.6)
2
a =0.030765
/=
/=
xi ) ( , - i) −a ( ' 15 −( 0.0308 )( 496.6 ) 5
/ = 0.556 B :
*.82 0 7,7@8 = 7,7B
Ar$onico @ ? 1 7 ?7
7
B7
7
1 77 1? 7 17 1B7 1 7
Longitud de la cuerda .c$2
-or lo tanto# segn ' T ' = = v f = 2 " 2
√
De donde V es constante e igual a T m 0.84366 = =16.8116 v= " 0 0.002985
√ √
La )endiente de la gr45ca seria
Universidad Nacional de Ingeniería Física II Facultad de Ingeniería Civil ' 3.08 =3.08 & +( +)'+ = +)'+(( : f = . 16.8116 =25.8898 12 2
