UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA ÁREA DE TECNOLOGÍA DEPARTAMENTO DE GERENCIA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES AVANZADA TEORIA DE COLAS PROF.: ING. ROSA AMAYA 1. A los puertos de un rio llegan embarcaciones a razón de una cada tres horas, en promedio. Si el tiempo de llegadas tiene una distribución exponencial: a) ¿Cuál es el valor de λ?, b) ¿Cual es el tiempo medio entre llegadas? y c) ¿Cual es la tasa media de llegadas? 2. La estación de servicios PDV atendió 80 automóviles durante un periodo de 8 horas sin tiempos ociosos. Suponga que el tiempo de servicios sigue una distribución exponencial y estime: a) El valor de µ, b) El tiempo medio de servicio y c) La tasa media de servicio. 3. Cada 30 minutos, en promedio, llega un carro para su completa afinación. Si el tiempo entre llegadas se distribuye exponencialmente, calcule: tasa media de llegada y tiempo entre llegadas. 4. La llegada de automóviles a una estación de gasolina sigue un proceso Poisson con una tasa media de ocurrencias de 20 autos/hora. Calcula: a) La probabilidad de cero llegadas durante el periodo de 10 minutos. (R=0,0362) b) La probabilidad de dos llegadas durante el periodo de tiempo de 15 minutos. (R=0,0842) c) La probabilidad de llegada en menos de 5 minutos. (R=0,8099) 5. En Zoom, los correos se reciben de acuerdo a un proceso Poisson con una tasa media de 3 correos por hora. Determina: a) La probabilidad de que no se reciba ningún correo durante las horas de la mañana (8am–12m) (R=0,000006) b) la probabilidad de menos de dos correos en las horas de la mañana. (R=0,00008) 6. A un establecimiento comercial llegan clientes de acuerdo con una distribución de Poisson. La tasa de llegadas entre las 8:00 am y 10:00 pm es de 20 clientes por hora. Calcule: a) El número promedio de clientes que llegan en un periodo de dos horas. (R=40) b) Probabilidad de que ningún cliente llegue entre las 8:00 am y las 8:10 am. (R=0,0357) 7. Un avión tarda unos cuatro minutos en promedio para aterrizar a partir del momento en que la torre de control le da la señal de aterrizaje. Si las llegadas de los aviones siguen un proceso Poisson a razón de 8 por hora, ¿Cuánto tiempo va a estar dando vueltas el avión antes de recibir la señal? (R=0,0762) 8. Supongamos que en una gasolinera de una sola bomba, los automóviles llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una tasa media de llegadas de 30 autos/hora. El tiempo necesario para servir a un cliente es exponencialmente distribuido con media de 90 segundos. Determina: a) Las probabilidades de que hayan 1, 2 y 3 clientes en el sistema (R=0,1875 / 0,1406 / 0,1055) b) Las medidas de rendimiento. (L=3 / LQ=2,25 / W=0,1 / WQ=0,075) 9. Un hospital ofrece todos los jueves, completamente gratis, una prueba para detección de problemas renales. Hay tres especialistas y cada uno de ellos emplea en promedio 20 minutos en cada paciente (la distribución del tiempo de servicio puede aproximarse por una exponencial). La llegada de los pacientes es
de acuerdo a un proceso Poisson con media de seis por hora. La directiva del hospital esta interesada en conocer: a) Cuantas personas (en promedio) esperan para someterse al examen. (R=0,8888) b) El tiempo promedio que esperan en el hospital. (R=0,4815) c) El tiempo promedio que un medico cualquiera de los que atiende está desocupado. (R=0,3333) 10. En un banco, los clientes que quieren comprar certificados de depósito forman una sola fila y son atendidos por un oficinista específico del banco, con base en el primero que llega, será el primero en ser atendido. El tiempo de servicio tiene distribución normal y los clientes llegan exponencialmente a razón de uno cada 8 minutos. Un estudio del tiempo ha mostrado que los clientes tardan un promedio de 4,33 minutos en la cola y el 62,5% del tiempo tienen que esperar ¿Cuál es la tasa media de servicio y la desviación estándar? (R=0,2 / 0,99) 11. En un auto-banco con una sola ventanilla, los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con media de diez clientes por hora, el tiempo de servicio es exponencial con media de 5 minutos. El espacio en frente a la ventanilla, incluyendo el auto que está recibiendo servicio, tiene capacidad para un máximo de 3 autos. Determina: a) La probabilidad de que un cliente llegue directamente al sitio que esta justamente en frente de la ventanilla para recibir el servicio. (R=0,3219) b) La probabilidad de que un cliente que llegue no pueda entrar al espacio frente a la ventanilla. (R=0,1863) c) El tiempo promedio de espera de un conductor antes de recibir el servicio. (R=0,0733) 12. Una tienda de víveres es atendida por una sola persona, siendo el patrón de llegadas de 10 personas por hora, siguiendo un proceso Poisson. A los clientes se les atiende por orden de llegada y debido al prestigio de la tienda, los clientes están dispuestos a esperar. Se estima que el tiempo de servicio se distribuye exponencialmente, y es de cuatro minutos. Calcula: a) El número de clientes que están esperando ser atendidos. (R=1,3333) b) El tiempo que una persona deberá esperar para hacer su pedido. (0,1333) 13. En una fábrica, los trabajadores tienen que llevar sus productos al Departamento de Control de Calidad antes de que el producto llegue al final del proceso de producción. Hay un gran número de empleados y las llegadas son aproximadamente de 20 por hora, siguiendo un proceso de Poisson. El tiempo para inspeccionar una pieza sigue una distribución exponencial con promedio de cuatro minutos. Calcula el número medio de trabajadores en el Departamento de Control de Calidad si hay; a) 2 inspectores (R=2,3989) y b) 3 inspectores (R=1,4780). 14. CANTV tiene un representante en un centro de servicio para atender las preguntas de los clientes. El número de llamadas telefónicas que llegan al centro sigue una distribución de Poisson, con una tasa promedio de aproximadamente 10 por hora. El tiempo necesario para responder cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio de cuatro minutos: a) Cual es el tiempo promedio entre llamadas que llegan. (R=0,1) b) Cuál es la probabilidad de que una llamada entre dentro de los tres minutos posteriores a la llamada anterior. (R=0,3935) c) Cuál es la probabilidad de que hayan exactamente cinco llamadas en una hora. (R=0,0378) d) Cuál es el número promedio de llamadas que un representante puede atender durante una hora. (R=15) e) Calcule las medidas de rendimiento. (L=2 / LQ=1,33 / W=0,2 / WQ=0,1333) f) Considere que el número promedio de llamadas que llegan ha aumentado a 80 por hora. Si la compañía dispone de seis representantes, cada uno de los cuales puede atender aproximadamente 15 llamadas por hora, calcule las medidas de rendimiento del nuevo sistema.
15. En una instalación de servicio de lavado de autos, la información que se tiene indica que los autos llegan para ser atendidos, según una distribución de Poisson con media de cuatro por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varia, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos por automóvil. La instalación no puede atender a más de un auto a la vez y tiene un total de cuatro lugares en el estacionamiento. Cuando esté llena, los carros que lleguen buscarán servicio en otra parte, determina: a) Cuantos clientes por día de trabajo se pierden debido al limitado espacio del estacionamiento. (R=1,54) b) Cuál es la probabilidad de que un cliente que llegue busque servicio en otro autolavado. (R=0,0481) c) Cuál es la probabilidad de que un carro que llega reciba servicio inmediatamente. (R=0,3651) d) Cuál es el tiempo estimado de espera hasta que un servicio comienza. (R=0,207) e) Determina el número esperado de lugares de estacionamiento ocupados. (0,7883) 16. La sucursal de un Banco tiene dos cajeros, uno para depósitos y uno para retiros. El tiempo de servicio para cada cajero se distribuye exponencialmente, con una media de un minuto. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso poissoniano, con una tasa media de 40 por hora; se considera que las personas vienen con una tasa media de 20 por hora y que ningún cliente realiza tanto un deposito como un retiro. El banco está considerando cambiar el arreglo actual para permitir que cada cajero realice ambas funciones, el banco esperaría que el tiempo medio de servicio de cada cajero aumentara a 1,2 minutos, pero desea que el nuevo arreglo impida que se formen largas líneas frente a un solo cajero, mientras el otro permanece ocioso, situación que se presenta de tiempo en tiempo bajo el sistema actual. Analice ambos arreglos en lo que respecta al tiempo ocioso de un cajero y al número estimado de clientes esperados en el banco en cualquier momento dado. 17. Una cafetería tiene una barra de café donde los clientes se sirven. Las llegadas a la barra siguen una distribución de Poisson con tasa de tres por minuto. El tiempo para servirse es de unos 15 segundos, distribuido exponencialmente. Calcula: a) Cual sería el promedio de clientes haciendo cola frente a la barra de café. b) Cuanto tiempo tendría que esperar un cliente para servirse una taza de café. c) Cuál es el porcentaje de tiempo de uso de la barra. d) Cuál es la probabilidad de que estén tres o más personas en la cafetería e) Si la cafetería instalara una máquina automática que sirviera una taza de café en un tiempo constante de 15 segundos, como afectaría esto al número promedio de clientes frente a la barra de café y el tiempo de espera para servirse una taza de café. 18. La estación del metro de Caracas ubicada en la Plaza Altamira tiene cinco teléfonos públicos. Durante las horas de más movimientos en la tarde, las personas que desean realizar llamadas llegan a las casetas telefónicas siguiendo un proceso poissoniano, a una tasa de 100 por hora. La duración promedio de una llamada es de 2 minutos, con la duración real distribuida exponencialmente. Determina: a) El tipo de sistema de línea de espera, justifique. b) La cantidad de tiempo estimada que un individuo deberá esperar para hacer uso de un teléfono público, una vez que llega a las casetas. c) El numero esperado de personas que hacen uso o esperan un teléfono. 19. En un local de comida rápida la tasa media de llegadas sigue un proceso Poisson de 10 personas por hora, el tiempo de servicio es de 4 minutos distribuido exponencialmente. Compare este sistema con otro, en el que la tasa de llegadas también es de 10 clientes por hora pero el tiempo de servicio ahora es de 5 minutos con una desviación típica de 1 minuto. Tomando como base el número de clientes en el sistema y su tiempo de espera en el local, cual sistema recomienda.
20. En la oficina de correos de una localidad los clientes esperan en una sola cola para que se desocupe la primera de las ventanillas, entra un promedio de 100 clientes por hora y cada ventanilla puede despachar un promedio de 45 clientes por hora. La oficina de correos calcula que el costo es de 10 centavos de dólar por cada minuto que un cliente espera en la cola, y cree que cuesta 20 dólares por hora mantener abierta una ventanilla. Los tiempos de llegada y de servicio son exponenciales. Para minimizar los costos totales, deberán estar abiertas tres o cuatro ventanillas. 21. En una fábrica hay una oficina de Seguridad Social a la que los obreros tienen acceso durante sus horas de trabajo. El jefe de personal, que ha observado la afluencia de obreros a la ventanilla, ha solicitado que se haga un estudio relativo al funcionamiento de este servicio. Se designa a un especialista para que determine el tiempo promedio de espera de los obreros en la cola y la duración media da la conversación que mantiene cada uno con el empleado de la ventanilla. Este analista llega a la conclusión de que durante la primera y la última media hora de la jornada la afluencia es muy reducida y fluctuante, pero que durante el resto de la jornada el fenómeno se puede considerar estacionario. Del análisis de 100 periodos de 5 minutos cada uno, sucesivos o no, pero situados en la fase estacionaria, se dedujo que el numero medio de obreros que acudían a la ventanilla era de 1.25 por periodo y que el tiempo entre llegadas seguía una distribución exponencial. Un estudio similar sobre la duración de las conversaciones, llevo a la conclusión de una duración promedio de 3.33 minutos. Determina: a) El número promedio de obreros en la cola b) El tiempo promedio que cada obrero tiene que esperar para hablar con el empleado. c) El tiempo perdido por los obreros. d) El tiempo ocioso del oficinista. e) Calcula el costo para la empresa, si una hora de inactividad del oficinista cuesta 25 bolívares y una hora del obrero 40. ¿sería rentable colocar otra ventanilla? 22. A una instalación portuaria llegan barcos a una tasa promedio de dos barcos cada tres días. En promedio, una sola cuadrilla necesita un día para descargar un barco. Suponga que los tiempos entre llegadas y de servicio son exponenciales. La compañía naviera posee tanto los barcos como el muelle. Se calcula que a la naviera le cuesta 1.000 dólares por día que pasa un barco en el puerto. La cuadrilla que atiende a los barcos consiste en 100 trabajadores, y se les paga en promedio 30 dólares a cada uno de ellos. Un consultor ha recomendado que la naviera contrate 40 trabajadores adicionales y divida a los trabajadores en dos cuadrillas iguales de 70 personas cada una. Esto haría que el tiempo promedio de carga o descarga para cada cuadrilla fuera de 3/2 día. ¿Qué organización de cuadrillas recomienda para la naviera? 23. Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de 10 mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén está a cargo de un mecánico a quien se le paga 30 bolívares la hora y tarda un promedio de 5 minutos para buscar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 50 bolívares por hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 50 Bs a la empresa. Esta ha de decidir si vale la pena contratar, a 20Bs/h a un ayudante de almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 minutos para atender las solicitudes. Suponga que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el tiempo entre llegadas. ¿Se debe contratar al ayudante?
