Teoria de Conjuntos Guia Didactica

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

Teoría de Conjuntos Guía Didáctica

3 CICLO

DATOS DE IDENTIFICACIÓN:

MENCIÓN ELABORADO POR PROFESOR (A) TELÉFONO E-MAIL TUTORÍA

:

Físico - Matemáticas

:

Lic. César Willam Granda Lazzo

:

Yofre Medardo Tene Morocho

:

(07) 2 570 275 Ext. 2304, 2302

:

[email protected]

:

Lunes a Jueves de 14h00 a 15h30

Estimado Estudiante, dígnese conﬁrmar la información aqui s eñalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail [email protected]

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

OCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008 MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA, PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ............................... INTRODUCCIÓN ................................................................... ......................................................................... ................................................. ............ 5 OBJETIVOS GENERALES................. GENERALES..................................................... ........................................................................ .................................................. .............. 6 BIBLIOGRAFÍA...................................... BIBLIOGRAFÍA.. ......................................................................... ......................................................................... .............................................. .......... 7 ORIENTACIONES ORIENT ACIONES GENERALES................. GENERALES..................................................... ........................................................................ ........................................ 9

PRIMER BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................... ......................................................................... ..................................................................1 .............................1 3 CONTENIDOS ................................ .................................................................... ......................................................................... ......................................................1 .................144 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE............................... .................................................................... ......................................................1 .................155 CAPÍTULO 1 Breve introducción a los conjuntos................................... ........................................................................ ..................................................... ................ 15 CAPÍTULO 2 Aplicaciones ............................... .................................................................... ......................................................................... ......................................................... ..................... 29

SEGUNDO BIMESTRE OBJETIVOS ESPECÍFICOS .................................... ......................................................................... ..................................................................7 .............................7 1 CONTENIDOS ................................................................................................... ..........................................................................................................................7 .......................7 2 DESARROLLO DEL APRENDIZAJE ............................... .................................................................... ......................................................7 .................7 4 CAPÍTULO 3 Relaciones de equivalencia y de orden................................................................................. orden....................................................................................76 ...76 SOLUCIONARIO ................................ ..................................................................... ......................................................................... ..................................................... ................. 91

..................................................................... ......................................................................... ............................................................ .......................95 95 GLOSARIO . ................................. ANEXOS ... ................................. ..................................................................... ......................................................................... ............................................................ .......................97 97

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EVALUACIONES A DISTANCIA

Guía Didáctica: Teoría de Conjuntos

INTRODUCCIÓN El profesor se siente superior. El educador se siente colaborador de un posible superior a él

A fines del siglo XIX la Teoría de Conjuntos fue desarrollada por G. Cantor (1845 1918). Esta teoría influyó en casi todas las ramas de la Matemática y ayudó a clarificar las relaciones entre matemáticos y filósofos, Cantor publicó en seis partes su teoría de conjuntos entre los años 1879 -1884. Con el trabajo de Cantor Cantor,, la Teoría de Conjuntos fue considerada dentro de la Matemática básica. La Teoría Teoría de Conjuntos se encuentra en los fundamentos de la matemática, que, explícita o implícitamente, en todas sus ramas, utiliza conceptos de la citada teoría, tales como los de frecuencia y relación. En la actualidad Teoría de Conjuntos es un medio indispensable en la vida del hombre moderno, le ayuda a desenvolverse en forma segura y rápida hacia el progres progreso, o, a través de la ciencia y la tecnología, prueba de ello son los viajes espaciales, la informática, etc. Es impresionante observar como a partir de la sencilla noción de conjunto y elemento la potencia de la mente humana nos permite elaborar un complejo sistema de leyes, axiomas y teoremas que puedan aplicarse lo mismo a circuitos electrónicos, que a biología, sociología o, si usted lo prefiere, para resolver el acertijo del periódico dominical. Usted puede tener un mayor impacto en otras áreas de la matemática usando conceptos teóricos de conjuntos. Es una materia que sirve para comprender y analizar matemáticamente diferentes aspectos de la realidad, desde una clasificación que implica utilizar intuitivamente la idea de una relación entre dos conjuntos o en un mismo conjunto, hasta las asombrosas operaciones que realiza una computadora, todo se basa en la noción de conjunto. Le invitamos a usted al estudio de esta asignatura que, naturalmente, requiere de esfuerzo y dedicación, pero que resulta satisfactorio al comprobar que en base de sacrificio y práctica se vencen las dificultades, adquiriendo así una sólida preparación que le permitirá afrontar los problemas cotidianos y continuar sus estudios y alcanzar la meta propuesta propuesta.. El proceso de enseñanza se realizará a través de a investigación bibliográfica, haga una lectura comprensiva de cada uno de los temas, así como de los ejercicios

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desarrollados, luego de lo cual subraye lo más importante y fundamental del contenido. Con esta base científica de la parte teórica, aplíquela en el desarrollo de ejercicios prácticos, que existen en el texto. Señor estudiante usted sabe que las matemáticas solo se aprenden cuando uno realiza la mayor cantidad de ejercicios, es por esta razón que le sugiero a usted dedique por lo menos una hora diaria a esta asignatura de forma que no tenga problemas al evaluarse y cumplir con los objetivos propuestos. propuestos. Para dar fiel cumplimiento a dichos objetivos, se estudiarán los siguientes temas: -

Conjuntos y Subconjuntos Subconjuntos..

-

Aplicaciones.

-

Relaciones.

-

Conjuntos Finitos e Innitos Numerables.

OBJETIVOS G ENERALES ENERALES Al término del estudio y desarrollo de la presente asignatura los alumnos estarán en condiciones de: 1.

Aplicar las simbología conjuntista como nuevo lenguaje matemático.

2.

Conocer los términos y símbolos que se emplean en teoría básica de conjuntos.

3.

Aplicar los conceptos básicos de teoría de conjuntos en la realización de operaciones entre conjuntos.

4.

Aplicar la noción de la relación y las formas que éstas obtienen a ser denidas entre conjuntos, mediante el análisis de ejercicios.

5.

Identicar en base a su concepto y al desarrollo de ejercicios una función y sus diferentes clases.

6.

Realizar operaciones con aplicaciones.

7.

Aplicar las propiedades fundamentales de los conjuntos nitos en los diferentes ejercicios.

8.

Realizar ejercicios con conjuntos de aplicaciones entre conjuntos nitos.

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B IBLIOGRAFÍA IBLIOGRAFÍA BÁSICA

•

FERNÁNDEZ Laguna, Víctor, Teoría Básica de Conjuntos, Grupo Anaya, S.A. 2003, Juan Ignacio Luca de Tena, 15-28027, Madrid-Printed in spain - Imprime: Huertas Industrias Grácas, S.l.-C/ Antonio Gaudi; 17 - fuenlabrada (Madrid). El texto básico intenta proporcionar al alumno procedimientos prácticos para la realización de ejercicios, es actualizado en donde el autor para mejorar la conceptualización utiliza palabras más concretas. Esta obra, de carácter introd uctivo, permite al lector aproximarse a la teoría elemental de conjuntos. Esta rama de las Matemáticas; a pesar de que no se estudia como tal ni en el bachillerato ni en las carreras universitarias de ámbito cientíco, tecnológico o humanístico, está presente, sin embargo, en los fundamentos de asignaturas universitarias tan comunes como cálculo, geometría o álgebra.

La noción de «conjunto» es fundamental para adentrarse de forma rigurosa y con ciertas garantías en cualquier disciplina matemática. A partir de dicha noción y de las operaciones fundamentales entre conjuntos (unión, intersección, diferencia ... ), nos encontraremos con conceptos como: ƒ

Correspondencia

ƒ

Aplicación (lnyectiva, sobreyectiva, biyectiva)

ƒ

Relación de equivalencia

ƒ

Relación de orden

ƒ

Conjunto numerable

En este libro se abordan todos estos conceptos de una forma clara y sencilla, con una gran cantidad de ejemplos en cada tema. •

GRANDA César, (2004): Guía didáct didáctica, ica, Loja - Ecuador, Editor Editorial ial UTPl. La guía de Teoría de Conjuntos está incluida dentro de la bibliografía básica y tiene por objeto fundamental servirle de ayuda en la realización y cumplimiento de los objetivos propuestos. Además le permitirá esta blecer contacto con el profesor, dado que en ella se encuentran las orientaciones



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pertinentes para el estudio sistemático de la asignatura, así como para el cumplimiento de las actividades propuestas en las evaluaciones a distancia y presenciales. COMPLEMENTARIA

SEYMOUR, Lipschuttz, Teoría de Conjuntos y Temas Anes , Editorial Mc GrawHill Latinoamericana S.A: Bogotá Colombia, pág. 1982,232.

•

La obra de Seymour Lipschuttz contiene una amplia información de cada una de las fases de estudio en esta signatura, se incluyen además problemas resueltos y lo hace de manera clara con la única nalidad de caminar junto con el alumno en la solución. Presenta una gran cantidad de ejercicios propuestos propuestos par que usted los desarrolle y pueda darse cuenta del avance de sus conocimientos. Los temas que se estudiarán en el presente ciclo en esta asignatura constan en los capítulos 1- 7 de este texto complementario. ZILL Dennis, DEW AR Jacqueline, Álgebra y Trigonometría, Editorial Mc GrawHill Americana S.A. Bogotá Colombia, 1999,657 pág.

•

Se ha creído conveniente utilizar este texto como libro complementario para teoría de conjuntos, debido a la forma de abordar los temas y por la gran cantidad de ejercicios. BARNOSO, María, Matemáticas Aplicada a la Administración, Limusa (Noriega editoriales) México, España, Venezuela, Venezuela, Colombia.

•

La característica de este libro son la claridad y sencillez con que aborda cada uno de los temas de estudio. Por esta razón utilizaremos los capítulos III y IV IV.. DIRECCIONES INTERNET

•

http://www.terra.es/persona l /jftjft /AIgebra/Teoria % 20de % 20Conjuntos / ReICon.htm

•

http://espanoI.geocities.comenguajesautoma tasi tq /inves 1.h tmI

•

www.geogIe.com

•

www.yahoo.com

•

http://www.profesorenIinea.cl/quinto/matematca/conjuntosrepresentacion. htm

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ORIENTACIONES G ENERALES ENERALES ¿CÓMO PROCEDER A REALIZAR EL ESTUDIO DE LA ASIGNATURA?

ESTIMADO ALUMNO:

Recuerde que el sistema de estudios a distancia que usted escogió tiene sus frutos de acuerdo al modo de trabajar del alumno. Pues con este antecedente me permito sugerirle, siempre que estudie 10 haga con la guía y el texto t exto de una forma conjunta. Para que usted no se confunda me permito aclararle que el autor del texto utiliza la palabra aplicación en vez de función, esto con el fin de establecer la diferencia cuando una relación es aplicación y cuando es correspondencia. Para una adecuada planificación de estudio, habrá de tenerse en cuenta que todos los contenidos tanto del primer bimestre como del segundo constan en el texto básico en el siguiente orden: el primer bimestre capítulo 1 y 2; el segundo bimestre capítulo 3 y 4, los mismos que están reforzados con ejercicios en la guía didáctica para una mejor comprensión del estudiante. Señor estudiante una de las formas prácticas de obtener aprendizaje es: C

Lea detenidamente la parte teórica de cada tema, luego subraye las ideas principales y por último revise las fórmulas y grácos de los ejercicios y problemas resueltos.

C

Una sugerencia de su profesor es no pase de un contenido si no está completamente comprendido pues los siguientes son aplicaciones de los anteriores.

Por último señor estudiante recuerde que las matemáticas se aprenden haciendo matemáticas, entonces realice la mayor cantidad de ejercicios para obtener satisfacción en el aprendizaje. Solo para indicarle que en mi tienen t ienen un amigo más y le pido que si tiene algún problema con la asignatura no dude en llamarme al teléfono 2585974 02570275 ext 2355 en el horario de 18:30 a 19:30 de martes a viernes, estaré gustoso de poder servirle.

ÉXITOS Y MANOS A LA OBRA



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NO LEA ESTO

Las Drogas y la Teoría de Conjuntos

Por Johannes Geometricus 23 de mayo del 2003

En estos días la ciudad de Rosario fue visitada por uno de los candidatos a Presidente de la Nación, el Dr. Ricardo López Murphy. Al ser entrevistado por varios periodistas, el candidato respondió preguntas sobre todos los temas: política, economía, educación, salud, defensa. La opinión de mucha gente -y la mía tambiénes que éste es el candidato intelectualmente más lúcido y mejor preparado para el cargo al cual postula. Sin embargo, la solvencia que venía mostrando -sobre todo en cuestiones económÍcasecon ómÍcasse vio opacada cuando un periodista le preguntó: «¿Y qué harían ustedes, si llegaran al gobierno, con el problema de las drogas?» El candidato respondió sin vacilar: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico.» Tres cosas debo aclarar: 1.

Su respuesta fue una frase hecha, muy trillada;

2.

La misma no mereció la repregunta de ninguno de los periodistas presentes; y

3.

La nota no perdió ritmo como consecuencia de esta respuesta.

Estas observaciones son importantes porque revelan que: 1.

Muchos piensan lo mismo que López Murphy;

2.

Nadie advirtió la trampa que la respuesta encierra; y

3.

Todos (entrevistadores y entrevistado) parecían más preocupado preocupadoss por mantener el ritmo de la nota que por lo l o que se estaba diciendo. Y la verdad es que la respuesta sorprendió como un detalle «progresista» que provenía de alguien a quien se lo ha rotulado de partidario de la «mano dura».

Más allá de las cuestiones políticas, la propuesta p ropuesta de López Murphy y otros proviene de un planteo incorrecto. Para P ara mostrar cuál es el inconveniente recurriré a la Teoría de Conjuntos. 10

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Quienes concuerdan con la propuesta de López Murphy representan la situación del problema que plantean las drogas como se muestra en la figura 1. consumidores

traficantes

Figura 1 Pero cualquiera que haya estudiado los llamados problemas de conteo sabe que esta no es la disposición más general de dos conjuntos. La disposición más general es la que se muestra en la figura 2. consumidores

traficantes

Figura 2 Es decir, hay tres categorías: la de los que consumen, la de los que trafican, y la de los que consumen y trafican. Esto es importante porque, desde el punto de vista del Derecho Penal, si uno dice: «Despenalizar el consumo y penalizar el tráfico», está diciendo: «Los consumidores al hospital y los traficantes a la cárcel» La pregunta que surge entonces es: «y los que consumen y trafican: ¿A dónde deben ir?» Si la ley se hace con el esquema de la figura 1, todo traficante va a preferir que se lo trate como consumidor y los productores de drogas usarán a los consumidores como traficantes. Se debe legislar sobre la base del esquema de la figura 2. Es decir, lo que hay que discutir es qué se hace con quienes están en la intersección de los dos conjuntos. Con los otros es fácil ponerse de acuerdo. La propuesta de López Murphy y otros hace referencia a los casos fáciles y elude el caso difícil. Por eso no sería injusto tildarla de demagógica: pone de su lado al interlocutor pero no resuelve el problema. No me gustaría cerrar esta nota sin una propuesta. ¿Qué se debe hacer con quienes consumen y trafican? Si se volvieron traficantes como consecuencia de la desesperación que les produce su adicción, enviarlos al hospital. Si se volvieron adictos cuando ya eran traficantes, enviarlos al hospital hasta que se curen y luego a la cárcel como castigo. Yo sé que esta propuesta es opinable desde el momento que fija una posición. Lo que nadie podrá decir es que se trata de una propuesta demagógica.



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Creo que hemos asistido al nacimiento de una disciplina intermedia entre el Derecho Penal y la Matemática. Podríamos llamarla “Derecho Penal Matemático”

B&N

N. del E. Este artículo muestra que es posible hacer una aproximación a los temas de la actualidad que no sea de izquierda ni de derecha. La propuesta de un político ha sido analizada y e autor ha demostrado que la misma tiene un error de planteo. (Esto es algo que toda persona intelectualmente honesta estará dispuesta a reconocer). Por otra parte, aquí se puede ver la importancia de formar a la gente en el pensamiento científico, uno de los objetivos del proyecto Luventicus. Cuando los temas se presentan despojados de ideologías y cuestiones religiosas, el público en condiciones de discutido es el más amplio posible. ¿Hay una forma mejor de democratizar la discusión de los temas que nos involucran a todos? Bajado de Internet http://www.luventicus.ar http://www .luventicus.arg/articulos/03R008 g/articulos/03R008

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P RIMER

BI IM ME ES ST TR RE E B

“Cuántos preguntan más que leen y leen más que estudian Desde luego, muy poco reflexionan“

(Fernando Rielo)

OBJETIVOS E SPECÍFICOS SPECÍFICOS 1.

Emplear la notación simbólica en la elaboración de conjuntos y distinguir cuando está denido por enumeración y cuando por comprensión.

2.

Identicar los diferentes tipos de conjuntos y representarlos

mediante diagramas lineales y de Venn. 3.

Resolver ejercicios, aplicando las operaciones: unión, intersección, diferencia y complemento.

4.

Aplicar los elementos de pares ordenados en la realización de ejercicios.

5.

Determinar los elementos de una aplicación mediante la realización de ejercicios prácticos.

6.

Denir los diferentes tipos que adopta una aplicación, resolver

ejercicios en base a las mismas. 7.

Aplicar los conceptos de aplicaciones para resolver ejercicios de composición.



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C ONTENIDOS ONTENIDOS CAPÍTULO 1. BREVE INTRODUCCIÓN A LOS CONJUNTOS CONJUNTOS 1.

CONJUNTOS. GENERALIDADES

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 2.

Noción de Conjunto. Nomenclatura y Deniciones. Representación Gráca. Igualdad de Conjuntos.

SUBCONJUNTOS

2.1. Relación de Inclusión 2.2. El Conjunto de Partes de un Conjunto. 3.

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Unión de Subconjuntos. Intersección de subconjuntos subconjuntos.. Complementario de un Subconjunto. Diferencia de dos subconjunto subconjuntos. s. Producto Cartesiano de Conjuntos. CAPÍTULO 2. APLICACIONES

1.

CORRESPONDENCIA CORRESPONDENCI A Y APLICACIONES

1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 2.

TIPOS DE APLICACIONES

2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 3.

Aplicaciones Inyectivas. Aplicaciones Sobreyectivas. Aplicaciones Biyectivas. Producto Cartesiano de Dos Aplicaciones.

COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 14

Conceptos de Correspon Correspondencia dencia y Aplicación. Imagen de una Aplicación. Extracción de Aplicaciones de una Correspon Correspondencia. dencia. Algunas Aplicaciones Importantes. Representación Gráca de Aplicaciones. Propiedades de las Aplicaciones.

Composición de Aplicaciones: Denición y Propiedades. Aplicación Inversa. Caracterización de las aplicaciones Biyectivas. Inversas Parciales de una Aplicación. Restricción de una Aplicación a un Subconjunto.

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DESARROLLO DEL A PRENDIZAJE PRENDIZAJE CONCEPTOS CONCEPT OS BÁSICOS

UNIDAD 1

“Ningún hombre ha llegado nunca a ser sabio por casualidad“

(Séneca)

GENERALIDADES CONJUNTO

conjunto como Consideraremos a un conjunto como una colección cualquier de objetos. Un conjunto elementos o o queda definido por los objetos que a él pertenecen; dichos objetos son los elementos miembros del miembros del mismo. Si x es un miembro del conjunto A , escribimos x∈A y decimos que x pertenece a A; en caso contrario, escribimos x ∉A y decimos, análogamente, que x no pertenece a A. a A. REPRESENTACIÓN DE UN CONJUNTO Diagrama de Venn y entre llaves

Es habitual representar los conjuntos en forma gráfica mediante los Diagramas de Venn. En estos diagramas el conjunto se representa mediante una superficie limitada por una línea. En su interior se colocan, los elementos del conjunto. Cada porción del plano limitada se nombra con una letra mayúscula. El conjunto A está formado por los elementos 1, 2, 3. El conjunto B está formado por los elementos a, b, c, d. A 1

3

2 a

b

c

B

d



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Existe, además, otra forma de representados que es entre llaves. En estos ejemplos se escribe: A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c, d}

Por díagrama

Entre llaves S = {a, e, i, o, u}

S a

b

c

Se escribe una coma para separar los elementos.

d

Conjuntos Vacíos

Es útil tener el concepto de un conjunto sin elemento. Definición: un conjunto sin elementos recibe el nombre de conjunto vacío o conjunto Definición: un nulo y se representa por [ ] o por Ø. Ejemplo: considérese el conjunto S de todos los elementos que los son tanto [ a, b, c] como de [ d, e, f]. El conjunto S no tiene elementos; luego, S = [ ]. Ejemplo: El conjunto de dinosaurios vivos en el Museo del Municipio de Loja. Asumiendo que no se está realizando experimentos siniestros en dicho museo, éste conjunto tiene la propiedad de no tener ningún elemento, a lo que llamamos conjunto nulo o vacío. Conjuntos Finitos e Innitos

Los elementos de un conjunto infinito no pueden ser listados explícitamente. Ejemplo: N = {1, 2, 3, ... } Los elementos de un conjunto finito son aquellos que sí están listados explícitamente. T = {a, b, c, ... , x, y, z} Conjuntos Iguales

Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. i guales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.

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Ejemplo:

( D

( F

D=F

Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los elementos. Conjuntos Equivalentes

Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual número de elementos.

T=

#T=3

{ a, b, c }

P=

#P=3

Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen las misma cardinalidad. Conjunto Universo (U)

1

5

M N

U 4

7

1

3

En el Diagrama de Venn de la parte de arriba se puede observar que el conjunto U contiene los conjuntos M y N. U es el conjunto universo porque es un conjunto que contiene a todos los conjuntos. Otro ejemplo: y = {enero, febrero};

Ñ = {marzo, junio, agosto}

El conjunto universo será:

U = {meses del año}



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Denición Matemática de Conjunto Por Extensión y por Comprensión

Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir decir,, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo representa, siempre se usa una letra que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de mayúscula que mayúscula elementos. Existen dos maneras de definir un conjunto dado: Por extensión o enumeración: se enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto. Por comprensión: se comprensión: se define mediante un enunciado a atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular). Por comprensión A = {Números dígitos dígitos}} B = {Números pares} C = {Múltiples de 5}

Por extensión A = {0, 1, 2,3,4,5,6,7,8, 9} B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ..... } C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, .... }

Relaciones entre Conjuntos

Sean los conjuntos: A = {5, 7} B = {3, 5, 7, 9}

A 5

3

B

7

9 A⊂ B

Los elementos 5 y 7 forman parte del conjunto A. En otras palabras, los elementos 5 y 7 pertenecen (∈) al conjunto A. 5∈A

y

7 ∈ B

Los elementos 3, 5, 7, 9 forman parte del conjunto B, es decir, pertenecen al conjunto B.

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3 ∈ B

5 ∈ B

7 ∈ B

9 ∈ B

Se puede observar, además, en el diagrama, que los elementos del conjunto A están incluidos dentro del conjunto B; por lo tanto, dichos elementos también pertenecen al conjunto B. En otras palabras, A es subconjunto de B. A ⊂ B Tipos de Conjuntos Conjunto Disjunto, conjunto Subconjunto

1.

Conjuntos disyuntos:

común.

son aquellos conjuntos que no tienen elementos en

Por ejemplo: A 1

3

2 a

b

c

B

d

El conjunto A tiene como elementos a los números 1, 2, 3. El conjunto B tiene como elementos a las letras a, b, c, d. No hay elementos comunes entre los conjuntos A y B. En otras palabras, ningún elemento del conjunto A pertenece al conjunto B; a su vez, ningún elemento de B pertenece al conjunto A.

En consecuencia los conjunto A y B son disjuntos. Tomando otro ejemplo: Si E = {pizarrón, tiza, borrador} F = {tiza, profesor, regla}

(Conjunto E formado por pizarrón, tiza, borrador) (Conjunto F formado por tiza, profesor, regla)

G = {niño, cuaderno, sala, lápiz} (Conjunto G formado por por niño, cuaderno, cuaderno, sala, lápiz) E y G son conjuntos disjuntos porque: pizarrón, tiza, borrador no pertenecen al conjunto G. E y F no son disjuntos ya que tiza pertenece a E y también a F. MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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F y G sin conjuntos disjuntos porque: tiza, profesor, regla no pertenecen a G, y niño, cuaderno, sala, lápiz no pertenecen a F. F. 2.

Conjunto Subconjunto: Un Subconjunto: Un conjunto es subconjunto de otro si todos los elementos de un conjunto también pertenecen al otro.

Si se tienen los siguientes conjuntos: P = {a, e, i, o, u}

y

R = {a, i}

R es subconjunto de P porque todos los elementos de R están en P.

En general, para expresar que un conjunto es subconjunto de otro conjunto se pone entre ellos el símbolo C En este ejemplo se escribe: Se lee «R es subconjunto de P» R⊂P No es subconjunto de otro cuando al menos un elemento del primero no pertenece al segundo conjunto. El símbolo que representa la frase «no es subconjunto de» es ⊄ Si se tienen los siguientes conjuntos: C = {3, 5, 7, 9}

y

H = {3, 5, 8}

H no es subconjunto de C porque el elemento 8 no pertenece al conjunto C. Se escribe: H ⊄ C Se lee «H no es subconjunto de C» También los subconjuntos pueden representarse mediante Diagramas de Venn. Ejemplo: C S S ⊂ C

Propiedades de la relación subconjunto 1.

Todo conjunto es subconjunt subconjuntoo de sí mismo. Si T = {x, z, y, z}, se tiene que T ⊂ T

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2.

El conjunto vacío es su conjunto de cualquier conjunto (el conjunto vacío es aquel que no tiene elementos; se representa por { } o bien por ∅. Si se tiene el conjunto B se puede establecer que ∅ ⊂ B.

VERIFIQUE SU APRENDIZAJE ACTIVIDAD Nro. 1 1.

INDIQU E CON UNA F SI EL CONJUN INDIQUE CONJUNTO TO ES FINITO, CON UNA I SI ES INFINITO Y CON UNA V SI ES VACÍO. _____________________________________________ ______________________ __________ a. N = {1, 2, 3, 4, 5, ... } _________________________________

b. {Los alumnos de una aula de clase} ________________________ __________________________________ __________ c. {Elefantes que vuelan} _________________ ____________________________________ ____________________________ _________ d. {Puntos de un segmento} __________________ ____________________________________ _________________________ _______

e. {a, b, c, d, e, ... } ______________________________________________ 2.

DETERMINE SI LOS SIGUIENTE CONJUNTOS SON IGUALES, CUALQUIERA QUE SEA SU RESPUESTA. RESPUESTA. INDIQUE EL POR QUÉ

a. A = {a, b, c, d} y B = {b, c, a, d} Porque ................................. ..................................................................... ........................................................................ .................................................. .............. ....................................................................................................................... b.

C = {1, 2, 3, 4, 5} y D = {2, 2, 3, 4, 5, 5, 1} Porque ................................. ..................................................................... ........................................................................ .................................................. .............. .......................................................................................................................

c. E = {Habitantes de Júpiter} y F = {Hombres Tortugas} Porque ................................. ..................................................................... ........................................................................ .................................................. .............. ....................................................................................................................... d.

H = {x/x es uno de los tres socios de Almacenes TIA} y I = {Juan López Raúl Pérez, Jesús Gómez} Porque ................................. ..................................................................... ........................................................................ .................................................. .............. .......................................................................................................................



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3.

DEFINA POR COMPRENSIÓN LOS SIGUIENTE SIGUIENTESS CONJUNTOS. 1. R = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} 2. S = {2, 4, 6, 8} 3. T = {a, b, c, d}

4.

DEFINA POR EXTENSIÓN LOS SIGUIENTES CONJUNTOS. 1. P = {x/ x ∈ ∅} 2. Q = {x/ x es una cifra del número 1234} 3. K = {x/x ∈ B} PAR ORDENADO

Un par ordenado, tal como su nombre lo indica, corresponde a dos números o figuras dos números encerradas en un paréntesis. Su represen representación tación general es: (a, b) Un par ordenado puede representar a un subconjunto del producto cartesiano entre dos conjuntos, a un punto del plano en un diagrama cartesiano o bien a una razón. a)

Producto Cartesiano: Cada par ordenado es una combinación entre elementos del conjunto A y elementos del conjunto B. Siempre el primer elemento pertenece al revés porque primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto pero no al revés porque conmutativa , es decir, su represen representación tación no es conmutativa , decir, no se puede alterar el orden. B

A

Observa en el recuadro los conjuntos A y B y las combinaciones que se pueden hacer entre los elementos de ambos conjuntos. Estas combinaciones se pueden representar mediante pares ordenados, tal como se indican en la siguiente tabla: 22

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AxB

b.

Plano cartesiano: Todo par ordenado escrito con números representa un punto del plano, donde la primera componente (el primer número) recibe el nombre de abscisa (eje x) y la segunda componente recibe el nombre de ordenada (eje y).

Los pares ordenados (3,4) y (5,2) están representados en el siguiente plano cartesiano (Gráfico):

6 o r d e n a d a

Abscisa: X Ordenada: Y

5 (3, 4)

4 3

(5, 2)

2 1 1

c)

2

3

4 abscisa

5

6

x

Razón: Es una comparación entre dos cantidades.

Ejemplo: En un curso hay 12 mujeres y 20 hombres. Al representar estas cantidades en un par ordenado, éste es: (12, 20)



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DIAGRAMAS LINEALES

Otra de las formas de representar gráficamente varios conjuntos es mediante los diagramas lineales. Los conjuntos se unen a través de segmentos verticales o inclinados, teniendo presente que el subconjunto está ubicado en la parte superior y contiene a los que se encuentran más abajo (parte inferior). Ejemplos. 1.

Representar mediante diagramas lineales los siguientes conjuntos. A = {1, 3, 4, 5}

B = {1, 3, 5}

C = {4, 5}

Solución. A

B

C 2.

Emplee un diagrama lineal para representar los conjuntos si se conoce que: A ⊂ B; B ⊂ C; F ⊂ B; E ⊂ F Solución.

A

B

C

F

E

24

UTPL




OPERACIONES CON CONJUNTOS

Recordemos rápidamente el concepto de las operaciones: Unión, Intersección, Diferencia y Complemento. La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto formado por los elementos UNIÓN: La UNIÓN: que pertenecen a A o a B, se representa por (A ∪ B). conjuntos A y B es otro otro conjunto conjunto cuyos cuyos INTERSECCIÓN: La intersección de los conjuntos INTERSECCIÓN: elementos son comunes a A y B, es decir aquellos elementos que pertenecen pertene cen a A y que también pertenecen perte necen a B, se representa por (A ∩ B). conjunto formado por los DIFERENCIA: La diferencia de dos conjuntos A y B es otro conjunto elementos que pertenecen a A pero no a B, se representa por (A - B). COMPLEMENTO: Para Proaño Viteri complemento de un conjunto es: El complemento COMPLEMENTO: Para de un conjunto es otro conjunto cuyos elementos pertenecen al conjunto Universo y no pertenecen a A. Puede definirse también como la diferencia del conjunto Universo y del conjunto A, se representa por A’. Ejemplo: 1.

Dados los conjuntos:

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 6}, P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {1, 2, 4, 5} y R = {3, 4, 5} Hallar: a. b. c. d. e.

(Q ∪ R) (P ∩ Q) (P - Q) (Q’) (P - Q)’

1.1

(Q È R)

Solución: (Q ∪ R) = {x/x ∈ Q o x ∈ R} = {l, 2, 4, 5} ∪ {3, 4, 5} = {l, 2, 3, 4, 5} =P 1.2

(P ∩ Q)

Solución: (P ∩ Q) = {x/x ∈ P y x ∈ Q} = {l, 2, 3, 4, 5} ∩ {l, 2, 4, 5} MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


UTPL

25


= {1, 2, 4, 5} =Q 1.3

Q’

Solución: El conjunto Q’ consiste en los elementos que están en U pero no en A. A’ = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Q = {1, 2, 4, 5} Q’ = {3, 6}

1.4

(P - Q)’

Solución: P - Q = {1, 2, 3, 4, 5} - {1, 2, 4, 5} P - Q = {3} (P-Q)’= {1, 2, 4, 5, 6}

VERIFIQUE SU APRENDIZAJE ACTIVIDAD Nro. 2 1.

REPRESENTA REPRE SENTA LOS CONJUN CONJUNTOS TOS EN UN DIAGRAM DIAGRAMA A LINEAL LINEAL..

1.1 P = {2, 6, 8}

Q = {2, 8}

C = {6}

1.2 R ⊂ S ⊂ Q 1.3 D ⊂ B ⊂ A C ⊂ A B ⊄ C D ⊄ C 2.

CON LOS CONJUNT CONJUNTOS OS A = {1, 2, 3, 4} CALCULE:

B = {2, 5, 7} C = {5, 7, 8}

2.1 A ∪ B 2.2 A ∩ B 26

UTPL




2.3 B ∪ C 2.4 B - C 3.

SEA M = {a, b, c, d, e}; I= {e, d, f, g}; J = {b, d, h, i} y U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. DETERMINE LOS ELEMENTOS DE LOS CONJUNTOS. 3.1 H ∩ I’ 3.2 A ∩ J’ 3.3 H ∪ I ∪ J

4.

DETERMINE LOS ELEMENTOS DE P Y Q, SI SE CONOCE QUE: 4.1 Q’ ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8} 4.2 Q’ - p’ = {1} 4.3 {x ∈ Q, x ∉ P} = {1} 4.4 Q’ ∩ P’ = {6, 7, 8}

5.

HALLE LOS ELEMENTOS DE L, M, N, SI SE CONOCE QUE: L ⊂ M ⊂ N 5.1 (L ∩ M) È (L ∩ M’) = {b, d, f, e, g, h, i, j} 5.2 L’ ∩ (M.N) = {h, i, j} 5.3 L’ ∩ M ∩ N’) = {k, l}

EJERCIOS PROPUESTO PROPUESTOSS

1.

Halle A ∩ B si A y B son los conjuntos que a continuación se indican: 1.1. A = {1, 2, {3}}, {4, 5, {6}}; B = {3, 4, 5, 6}

1.2. A = {x ∈ R / x ≥ 2};

B = {x ∈ R / |x| > 3}

1.3. A = {x ∈ R / x3 + x = 0}; B = { x ∈ R / x2 ≥ 0} 2.

Sea el conjunto universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B = {a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}. Halle:



UTPL

27


2.1

C-B

2.2

(A - C)’

2.3

(A - B’)’

2.4

(A ∧ A’)’ RINCON DE REFLEXION

En el otoño, cuando veas a los gansos ir hacia el sur buscando el verano, volando en una formación en V, V, considera lo que la ciencia ha descubierto sobre por qué vuelan en esa forma. Mientras cada ave mueve sus alas, crea una elevación del aire para que la aproveche el ave que sigue volando atrás en la formación. De esta forma la bandada agrega un setenta y uno por ciento al alcance que cada ave lograría por sí misma. Personasquecompartenunadirecciónysentidode comunidad, pueden llegar a su destino más rápida y fácilmente porque viajan con el impulso del grupo. Cuando un ganso cae de la formación, siente inmediatamente la resistencia de ir solo, y rápidamente vuelve a la formación para aprovechar el poder de elevación del ave delantera. Cuando el ganso líder se cansa, rota atrás y otro ganso torna la punta. Es razonable turnarse en hacer trabajos pesados con personas. Los gansos graznan desde atrás para alentar a los de adelante a mantener la velocidad. ¿Qué decimos nosotros cuando graznamos desde atrás? Finalmente, y esto es importante, cuando un ganso se enferma o está herido por una bala, y cae de la formación, otros dos gansos caen con él y le siguen para dade ayuda y protección. Ellos se quedan con el ganso caído hasta que pueda volar o hasta que muera, y sólo entonces se lanzan por si mismos, o con otra bandada, para alcanzar al grupo. Tal vez podemos imitar este comportamiento y apoyamos los unos a los otros. ¿Tú qué opinas? (Bajado de Internet)

28

UTPL




APLICACIONES

UNIDAD 2

“Saber más que los otros es fácil; lo difícil es saber algo mejor que que los otros.“

(Lucio Anneo Séneca)

NOTA:

Vale aclarar que en el texto básico de Víctor Laguna, este autor llama aplicación a lo que nosotros nosotros conocemos y consta en todo texto como función. ¿Cómo denimos una Aplicación?

Imaginemos un conjunto de personas que laboran en un Departamento de la UTPL, formado por el Director, Subdirector, Decano, Subdecano, Secretaria y Conserje. Vamos a suponer que el Director tiene 50 años, la Subdirectora 45, el Decano 45, el Subdecano 42, Secretaria 35 y el Conserje 30, formemos dos conjuntos, el conjunto A de personas que laboran en el Departamento de la UTPL y el conjunto B formado por sus respectivas edades. A = {Director, Subdirector, Decano, Subdecano, Secretaria, Conserje} B = { 50, 45, 42, 35, 30} Representamoss estos conjuntos mediante diagrama digital. Representamo Personas Director Subdirector Decano Subdecano Secretaria Conserje

Edad - Años 50 45 42 35 30

Observamos que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un elemento del segundo conjunto, de este modo hemos establecido una correspondencia entre los elementos de ambos conjuntos.



UTPL

29


De igual forma observamos el siguiente diagrama: C 1

D 3

2

6

3

9

4

12

5

15 18

R = { (1,3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)} En el diagrama podemos ver que cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento de segundo conjunto, lo cual se indica con la flecha respectiva, esto es, a un mismo elemento de D llega al menos una flecha de un elemento de C. En el conjunto de pares ordenados, si tomamos dos pares cualquiera de R podemos ver que no tienen el mismo primer elemento. A este tipo de correspondencia o relaciones se las llama APLICACIONES. En consecuencia Aplicación, es una correspondencia entre dos conjuntos A y B (no vacíos) que cumplen con una regla, en la cual todo elemento del conjunto A tiene una sola imagen en el conjunto B. Pero este concepto es un tanto limitado porque pueden presentarse presentarse casos en que alguno o algunos elementos del dominio no tengan su imagen en el codo minio, sin embargo no dejan de ser corresponden correspondencia. cia. Ejemplo:

definida en los R.

Representemos gráficamente y comprobemos que el elemento 3 no tiene imagen en el conjunto B.

30

UTPL




A 2

B -2/5

-1

-1/2

0

-2/3

1

-1

2

-2

3 4

2

Nota:

Existen varias notaciones usuales para denotar aplicaciones. 1.

f: x → y

Se lee « f es la aplicación de x hacia y» Esta definición es genérico y no específica.

2.

x → f (x)

Se lee «Por la aplicación f, x se aplica sobre f (x)»

3.

«f es la la aplicación aplicación cuyo cuyoss pares pares ordenad ordenados os son son (x, y) y) {(x, y)/y = f (x)} Se lee «f donde la regla es y = f (x) »

4.

f: y = f(x)

Se lee «f es la aplicación determinada por la rega y = f (x) » Es una forma abreviada de (3)

5.

f: (x, y)

Se lee «f es la aplicación constituida por el conjunto de pares ordenados (x, y)» dos pares ordenados pueden estar determinados por una regla dada o en los casos sencillos, pueden enumerarse.

6.

f: A → B

Se le lee «f «f es es la ap apli liccación de de A en B» B» o f ma manda a A en B (entre conjuntos).



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31


En las notaciones 2, 3 y 4 aparece el símbolo f (x). Este símbolo se lee «f de equis» y represen representa ta el «valor de la aplicación x» y como tal, es un elemento de dominio de imágenes f (x). El par ordenado (x, y) podría también escribirse (x, f (x)). No debe confundirse f, que es una aplicación, con f(x) que es el valor de la aplicación en x. Osea: f (x) = y. ELEMENTOS DE UNA U NA APLICACIÓN APLICACIÓN

El siguiente gráfico nos permitirá identificar los elementos de una aplicación. f

1. 2.

A

B

Dominio

Imagen o Codominio

x

f(x) = y

El conjunto A, se llama dominio de la aplicación (f) y lo denotamos por Dom (f) = A. El conjunto B, se llama codominio o imagen de la función y lo denotamos por cod (f) o Im (f).

Al hablar de codominio de una aplicación, es decir, que clase de valores puede tomar la la aplicación sin que sea necesario detallar el dominio de imágenes. Así, podemos hablar de aplicaciones reales, esto es, aplicaciones cuyo dominio es R. También podemos considerar una aplicación de valores complejos, esto es, funciones cuyo codominio son los números complejos, o una aplicación de valores enteros, esto es, aplicaciones cuyo codominio es el conjunto de los números enteros, etc. ¸ EJERCICIOS DESARROLLADOS •

A.

Determine si las siguientes correspondencias son aplicaciones:

1.

Dado P = {1, 2, 3, 4, 5}, Q = {7, 8, 9, 10} y la relación f denida de P en Q mediante el siguiente conjunto de pares ordenados.

{(1, 7), (2,8), (4,9), (3, 10), (2, 9), (5, 7)} Solución: La correspondencia de P en Q no es una aplicación porque dos pares ordenados tienen la misma componente, como lo demostramos grácamente que del elemento 2 nacen 2 echas.

32

UTPL




f C 1

D 7

2

8

3

9

4

10

5

2.

Sean los conjuntos A {a, b, c, d, e}, B {2, 3, 4, 5, 6} y la correspondencia h definida mediante el siguiente diagrama sagital. =

=

f A a

B 2

b

3

c

4

d

5

e

6

Solución:

La correspondencia h de A en B es una aplicación porque de todo elemento del conjunto A sale una sola echa a algún elemento del conjunto B. Lo demostramos formando el conjunto de pares ordenados {(a, 3), (b, 4), (c, 2), (d, 5), (e, 4)}. NOTA

Analizando los ejemplos anteriores podemos concluir: * Que la denición de aplicaciones no pone restricciones a los elementos del conjunto de llegada (codominio), de tal forma que puede haber elementos en el segundo conjunto que no estén relacionados con elementos del primer conjunto y elementos del



UTPL

33


segundo conjunto que le corresponden más de un elemento en el primer conjunto. * Que las aplicaciones constituyen un caso caso particular particular de las correspondencias correspondencias y de esta manera podemos armar que toda aplicación es una correspondencia, pero no toda corresponden correspondencia cia es una aplicación. aplicación. 3.

x + 3 defnida en los N

g A 1

B 4

2

5

3

6

4

7

5 . . .

8 . . .

R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 5), (5, 8),... } Solución: La correspondencia x + 3 definida en los N si es una aplicación porque en el gráfico observamos que cada elemento de A tiene su imagen en B. B.

Cuales de los siguientes conjuntos representan una aplicación:

1.

h = {(x, y)/x, y ∈ R, y = x - 1}

Solución: Tomemos algunos elementos del conjunto de los reales y determinemos la imagen de cada uno de ellos. Por lo cual podemos decir si el ejemplo planteado es o no una aplicación.

34

UTPL




h A -5/2

B -7/2

-2

-3

-1

-2

0

-1

1

0

2

1

5/2

3/2

√2

0.4

y=x-1

Si x = -5/2

y = -5 - 2/2

y = -7/2

=>

y = -5/2 - 1

∴ h es una aplicación porque a cada número real del conjunto de partida (A) le

corresponde un elemento en el conjunto de llegada (B). 2.

k = {(x, y)/x, y ∈ R, y = 4 - x} Solución: g


A -5

B 5

-1/3

13/3

0

4

1/3

11/3

1

3

√3

2.3

3.14

0.86


UTPL

35


y=4-x

Si x = -1

=>

y = 4 - (-1)

y=4+1 y=5 ∴

3.

g es una aplicación

k = {(x, y)/x, y ∈ R, y = x 2 - x + 1} Solución: k A -5

B 31

-3

3

-1

1

0

3

2

19

4

5.35

3/5 √3

C.

En los siguientes ejercicios hallar los elementos de una aplicación.

1.

La función f(x) = 3x -1; f: Z → Z. Hallar: a)

El dominio

b)

El codominio

Solución: El conjunto dominio está formado por números enteros que los tomamos en forma arbitraria. a)

Dom (f) = {-5, -3, -1, 0, 1, 2, 3} Para el codominio (f (x)) se reemplazan los valores dados a x, en la función. Así: y = 3x - 1 Si x = -5 Si x = -3

36

UTPL

⇒ ⇒

y = 3 (-5)-1 = -15 - 1= -16 y = 3 (-3)- 1 = -9 - 1 = -10




Si x = -1 Si x = 0 Si x = 1 Si x = 2 Si x = 3 b)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y = 3 (-1) -1 = -3 -1 =-4 y = 3 (0) - 1 = 0 - 1 = -1 y = 3 (1) -1 = 3 -1 = 2 y = 3 (2) - 1 = 6 - 1 = 5 y = 3 (3) - 1 = 9 - 1 = 8

Im (f) = {-16, -10, -4, -1, 2, 5, 8} Dado el conjunto A = {2, a, 3, b, 4} donde h: A →A se define por: h

A

A

2

2 a

3

3

a b

4

4 b

Hallar la imagen de h(2), h(a), h(3), h(b) y h(4). Solución: h(2) = 2 h(a) = a h(3) = a h(b) = b h(4) = b 3.

Sea f(x) = 3x2 + 2x - 5. Determinar f(0), f(-l), f(a), f(b), f(a + b), f(a - b). Solución: Para encontrar el conjunto imagen reemplazamos el valor de cada elemento del dominio en la aplicación dada. f(x) = 3x2 + 2x - 5 f(0) = 3(0)2 - 2(0) - 5 = -5 f(-1) = 3(-1)2 - 2(-1) - 5 = 3 + 2 - 5 = 0



UTPL

37


f(a) = 3(a)2 - 2(a) - 5 f(b) = 3(b)2 - 2(b) - 5 f(a + b) = 3(a + b)2 - 2(a + b) - 5 = 3a 2 + ab + 3b2 - 2a - 2b - 5 f(a - b) = 3(a - b)2 - 2(a - b) - 5 = 3a 2 - ab + 3b2 - 2a + 2b - 5 Sea f una aplicación de R en R f (x) = x - 3. Determinar el dominio y la imagen. Solución: f (x) = x - 3 f (-3) = -3 - 3 = -6 f (-2) = -2 - 3 = -5 f (0) = 0 - 3 = -3 f (1/2) = 1/2 - 3 = -5/2 f (Ö2) = √2 - 3 = 1.4 - 3 = -1.6 f (-3) = 3 - 3 = 0 f (-1/2) = -1/2 - 3 = -7/2 ∴Dom (f) = R

Im (f) = R TIPOS DE APLICACIONES

A las aplicaciones las podemos clasificar de la siguiente manera: 1.

Inyectivas: uno a uno o inyecciones.

2.

Sobreyectiva, sobre Suryectiva o Suprayectiva.

3.

Biyectivas: cuando es Inyectiva y Sobreyectiva.

4.

Inversa. Caracterización de las aplicaciones biyectivas.

1.

Aplicación Inyectiva

Consideremos la aplicación f «a cada número entero hacerle corresponder su cubo» Luego representémosla representémosla por las diferentes formas o métodos.

38

UTPL




a) f A . . . -3

B . . . -27

-2

-8

-1

-1

0

0

1

1

2

8

3

27

b)

f: A → B = {(-3, -27), (-2, -8), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27)}

c)

f (x) = x3

o

y = x3

d) (2, 8)

x -3 -2 -1 0 1 2 3

f (x) -27 -8 -1 0 1 8 27

(0, 0)

(1, 1)

(-1,-1)

(-2, 8)

Como observamos en las diferentes formas de representar una aplicación que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento en el codominio. También en el paso (b) en el grafo las componentes de los pares ordenados son diferentes y en gráfico paso (d) vemos que a cada par ordenado le corresponde un punto en el plano cartesiano y solo uno.



UTPL

39


POR LO TANTO:

Una aplicación f: A → B es inyectiva si y sólo si cumple con la siguiente propiedad: Que a los elementos distintos de A corresponden imágenes diferentes en B, es decir: Si

a ≠ b ⇒ f (a) ≠ f (b) es equivalente a: a ≠ b ⇒ f (a) = f (b)

¸ EJERCICIOS DESARROLLADOS •

NOTA:

Señor estudiante realice los ejercicios en forma conciente y luego verique en la solución, esto le servirá para medir el aprendizaje obtenido.

Dadas las siguientes aplicaciones identifique cuales son inyectivas. 1.

f: A → B = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)}

2.

f: C → D = {(1, 3), (2, 6), (6, 2), (3, 1), (4, 2)}

3.

f (x) = x2 denida en los N

4. g A 1 2 3 4 5

40

UTPL


B a e i o u



5. f A

B

ß

ß

ß ß ß ß ß

6. g A

B

ß

ß

ß

ß

7.



UTPL

41


8.

9.

«Siguiente de» definida en los Z.

10.

«a cada persona asignarle su número de años»

Solución:

1.

f: A → B Si es inyectiva porque los elementos de los pares ordenados son diferentes.

2.

f: C → D No es inyectiva porque dos pares ordenados ordenados tienen la misma imagen.

1.

Si es inyectiva porque dos a cada número natural le corresponde un solo número que es su cuadrado.

2.

Si es inyectiva porque a cada elemento del dominio tiene una sola imagen en el codominio.

3.

f no es inyectiva.

4.

g si es inyectiva.

5.

Nota: Si una aplicación, está denida en forma gráca, se reconoce que es inyectiva trazando paralelas al eje x, si estas cortan la gráca en un solo punto entonces se trata de una aplicación inyectiva. Por lo tanto el ejemplo 7 corresponde a una aplicación inyectiva.

6.

No es inyectiva, porque si trazamos paralelas al eje x éstas cortan a la gráca de la aplicación en dos puntos.

7.

Si es inyectiva.

8.

No es inyectiva porque dos o más personas pueden tener el mismo número de años.

42

UTPL




Demuestre que las siguientes aplicaciones son inyectivas. (Todas las aplicaciones están definidas de R → R). 1.

Solución: Para que una aplicación sea inyectiva debe cumplirse que: a = b ⇒ f (a) = f (b) Para mayor comprensión en la demostración de los ejercicios dados reemplazamos: a = x1 b = x2 entonces tenemos:

2.

a=b

⇒

f (a) = f (b)

x1 = x2

⇒

f (x1) = f (x2)

h(x) 2x +1

Solución 2x1 + 1 = 2x2 + 1 2x1 = 2x2 x1 = x2 l.q.q.d ∴ f(x) = 2x + 1 es inyectiva



UTPL

43


2.

Aplicaciones Sobreyectivas

Ejemplo: Consideremos la aplicación f «a cada número entero hacerle corresponder su cuadrado». Luego representemos representemos la aplicación dada por las diferentes formas o métodos. f A -3

B

-2 -1

0

0

1

1

4

2

9

3 b)

f: A → B = { (-1, 1), (1, 1), (-2, 4), (2, 4), (-3, 9), (3, 9), (0, 0)}

c)

f(x) = x2

o y = x2

d)

e) x 1 -1 -2 2 -3 3 0

f (x) 1 1 4 4 9 9 0

Como observamos en las diferentes formas de representa representarr una aplicación cada elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento del dominio. En el gráfico paso (b) hay pares que tienen la misma segunda componente y en el gráfico paso (c) vemos también que algunos puntos tienen la misma ordenada. 44

UTPL




POR LO TANTO:

Una aplicación f: A → B es sobreyectiva si y sólo si cumple con la siguiente propiedad: Que todos los elementos del codominio son imagen de por lo menos un elemento del dominio, es decir: ∀ b ∈ B E a ∈ A tal que f (a) = b ¸ EJERCICIOS DESARROLLADOS •

Dadas las siguientes aplicaciones identifique cuáles son sobreyectivas. 1.

f: A → B = { (6, 2), (9, 3), (3, 1), (12, 4), (16, 4)}

2.

f: C → D = { (1, 4), (2, 8), (3, 12), (4, 16)}

3.

h(x) = 2x - 7 denida de Z → Z

4.

g(x) = x + 3 de N → N

5. f A 4 -2 9 15

B 2 4

6. g C

D

ß

ß

ß

ß

ß

ß

ß

ß



UTPL

45


7. h

8.

A

B

ß

ß

ß

ß

ß

ß

«a cada número racional hacerle corresponder su cuadrado».

9.

10.

46

UTPL




Solución: 1.

f: A → B Si es sobreyectiva porque existen pares ordenados que tienen la misma segunda componente.

2.

f: C → D Si es sobreyectiva.

3.

h(x)

Si es sobreyectiva.

4.

g(x)

No es sobreyectiva porque los elementos 1, 2, 3 no son imagen de ningún ningún elemento del codominio.

5.

f

Si es sobreyectiva.

6.

g

No es sobreyectiva, porque existe un elemento en el codominio que no es imagen de algún elemento del dominio.

7.

h

Si es sobreyectiva, porque en el conjunto B todos los elementos son imagen de por lo menos un elemento de A.

8.

Si es una aplicación sobreyectiva ya que todo número racional tiene por imagen su cuadrado.

9.

No es aplicación porque al trazar las paralelas al eje eje y éstas cortan en más de un un punto.

10.

NOTA: Si una aplicación está denida en forma gráca, se reconoce que es sobreyectiva si las rectas horizontales que pasan por el eje y cortan por lo menos es un punto la gráca de la función. Por lo tanto el ejemplo 10 corresponde a una función sobreyectiva.

Demuestre que las siguientes aplicaciones son sobreyectivas. (Todas (Todas las aplicaciones están definidas de R → R). 1.

f (x) = -x2 + 2

Solución: Para que una aplicación sea sobreyectiva debe cumplirse que: ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A tal que f (a) = b

Para realizar la demostración de los ejercicios dados, substituimos: a=x b = y entonces tenemos: tenemos: ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A tal que f (x) = y



UTPL

47


Para conocer si una aplicación f: A → B es sobreyectiva, se procede de la siguiente manera: Se toma y0 , un elemento cualquiera de los los reales, conjunto conjunto B. Aplicando la denición de aplicación se halla un x 0 también elementos de los reales, conjunto A tal que (x0 , y0) ∈ f. Esto demuestra que B ≤ imagen de f puesto que y es arbitrario. Pero como sabemos que imagen de f ≤ B entonces el recorrido de f es igual al conjunto B.

y = -x2 + 2 y0 = -x02 + 2 x02 = y0 + 2 f (x0) = y0 f(x0) = -x02 + 2 f(x0) = (y0 - 2) + 2 f(x0) = y0 - 2 + 2 f(x0) = y0 l.q.q.d ∴ f (x) = -x2 + 2 es sobreyectiva

2.

f (x) = 2x

Solución: y = 2x y0 = 2x0

48

UTPL




3.

g(x) = 6x + 3

Solución: y = 6x + 3 y0 = 6x0 + 3 6x0 = y0 + 3

3.

Aplicaciones Biyectivas

Ejemplo: Consideremos la aplicación h «al doble de cada número entero sumarle 3». Ejemplo: Consideremos Representamoss la aplicación propuesta por las diferentes formas o métodos. Representamo a) h A -3 -2 -1 0 1 2 3


B -3 -1 1 3 5 7 9 La Universidad Católica de Loja

UTPL

49


b)

f: A → B = { (-3, -3), (-2, -1), (-1, -1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3,9)}

c) x -3 -2 -1 0 1 2 3 d)

f (x) -3 -1 1 3 5 7 9

f (x) = 2x +3

o

y = 2x + 3

e)

Como observamos en las diferentes formas de representa representarr una aplicación cada elemento del dominio tiene imagen diferente del codominio y que todos los elementos del codominio son imágenes de por lo menos un elemento del dominio. En el gráfico vemos que a cada par ordenado le corresponde un punto en el plano cartesiano y solo uno. POR LO TANTO:

Una función f: A → B, es biyectiva, si al a mismo tiempo es inyectiva y sobreyectiva.

50

UTPL




¸ EJERCICIOS DESARROLLADOS •

Dadas las siguientes aplicaciones identifique cuáles son biyectivas. 1.

f: A → B = { (2, 1), (3, 2), (4, 3), (-1, -2), (0, -1), (-2, -3)}

2.

f (x) = x

o

y=x

3. f A a e i o u

B 1ero 2do 3ero 4to 5to

4. g A

B

ß

ß

ß

ß

ß

ß ß

5.



UTPL

51


6.

7.

f (x) = 2x +4

8.

f (x) = x/x - 5

9.

f (x) = x/2

Solución: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

f: A→B Si es biyectiva. f (x) = x Si es biyectiva. f: A→B Si es biyectiva. g: C→D No es biyectiva, es únicamente sobreyectiva. Si es es biyectiva. No es biyectiva, es solamente sobreyectiva. Cuando las aplicaciones están denidas mediante fórmula, es necesario comprobar si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo; t iempo; comprobación que la podemos hacer realizando un gráco o vericando las propiedades. Como ejercicios revisaremos si es inyectiva: x1 = x2

⇒

f (x1) = f (x2)

f (x0) = f (y0) Es inyectiva si: x1 = x2

52

UTPL

⇒

f (x1) = f (x2)




f (x) = 2x+4 2x1 + 4 = 2x2 +4 2x1 = 2x2 x1 = x2 l.q.q.d Es sobreyectiva si: f (0) = y0 f (x) = 2x + 4 y0 = 2x0 + 4

(1)

2x0 = y0 - 4 (2) f(x0) = y0

(3) reemplazamos (1) en (3)

f(x0) = 2x0 + 4

(4) reemplazamos (2) en (4)

simplicamos

f(x0) = y0 - 4 + 4 f(x0) = y0 l.q.q.d ∴ La aplicación f (x) = 2x + 2 es biyectiva

8. Es sobreyectiva si: f (0) = y0

y0x0 - 5y0 = x0 y0x0 - x0 = 5y0 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


UTPL

53


f(x0) = y0

l.q.q.d

∴ La función

es biyectiva.

9. Para este ejercicio como práctica utilizaremos el método gráco, y también demostraremos que cumple con las propiedades.

Solución: Realicemos el gráco de h.

x f(x)

54

-3 -3/2

UTPL

-2 -1

-1 -1/2

0 0

1 1/2


2 1

3 3/2



Del gráco se ve que:

a)

Dom (f) = R

b)

Im (f) = R

Los dos conjuntos son iguales ∴ La función

es biyectiva.

También podemos decir que es biyectiva demostrando que cumple con las propiedades. Es inyectiva si: f (x1) = f (x2)

⇒

x1 = x2

2x1 = 2x2 x1 = x2 Es sobreyectiva si:

∴ La aplicación


es biyectiva


UTPL

55


2.

PROAÑO, Ramiro, 1982

La aplicación g: R+ U {0} → R = {(x, y)/y = transformarla de la siguiente manera.

} no es biyectiva, pero podemos

Solución: Para que g sea biyectiva, debe ser sobreyectiva, por lo que es necesario modificar el conjunto de llegada (R). Del siguiente gráfico, se puede determinar que: x 4 2 1 0

f (x) -2 -1.4 -1 0

Conjunto. Recorrido = R- U {0} Para que sea sobreyectiva es necesario que: Conjunto de llegada (R) = Conjunto de recorrido. Por lo que el conjunto de llegada debe ser R- U {0} g: R+ U {0} → R- U {0} = {(x, y)/y =

}

Esta aplicación g ya es sobreyectiva, y como también es inyectiva, se concluye que: g: R+ U {0} → R- U {0} = {(x, y)/y =

56

UTPL


} es biyectiva.



NOTA: Si una aplicación no es sobreyectiva, para que sea, debe restringir el conjunto de llegada.

Si una aplicación no es inyectiva, para que sea, debe restringir el conjunto de salida. 4.

Aplicación Inversa. Caracterización de las aplicaciones biyectivas

Consideremos el siguiente ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4}, {a, b, c, d} y h: A → B una función definida en las diferentes formas o métodos. 1.

Diagrama Sagital

Aplicación A 1 2 3 4 2.

Inversa B a b c d

B a b c d

A 1 2 3 4

Grafo de la aplicación o pares ordenados

h = {(1, a), (2, b), (3, c), (4, d)} h-1 = {(a,1), (b,2), (c,3), (d,4)} 3.

Tabla

Aplicación A B 1 a 2 b 3 c 4 d Inversa B A a 1 b 2 c 3 d 4



UTPL

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4.

Gráco

d

4

c

3

b

2

a

1 1

2 3 4

a b c

d

5.

Descripción Común

f:

A cada número natural menor que 5 hacerle corresponder las cuatro primeras letras del abecedario.

f -l:

A las cuatro primeras letras del abecedario hacerle corresponder los números naturales menores que cinco. Al observar las diferentes formas de representar una aplicación vemos que a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del codominio y en su inversa se intercambia el orden de los componentes de cada par ordenado, es decir, aquellas que estaban como primeras componentes pasan a ser segundas componentes y recíprocamente. Todo esto nos indica que para determinar la inversa de una aplicación se requiere que sea biyectiva. La aplicación inversa de una aplicación inyectiva f se denota por el símbolo f -1 que se lee «f inversa» o «aplicación inversa». Cuando f viene dada por y = f (x) , hemos dicho que x es la variable independiente y que y es la variable dependiente. Los pares ordenados son de la forma (x, y). La aplicación inversa f -1 puede escribirse como x = f -1 (y) de donde y es la variable independiente, x es la variable dependiente y los pares ordenados son (y, x).

POR LO TANTO: Si una aplicación f: A→ B, es biyectiva entonces podemos denir su inversa f -1 B→A de la siguiente forma: Para cada y ∈ B existe un único elemento x ∈ A tal que f (x) = y; denimos entonces: x por f -1 (y), lo cual se expresa así: y = f (x) ⇔ x = f -1(y) 58

UTPL




¸ EJERCICIOS DESARROLLADOS: •

1.

Determine la inversa de la aplicación f (x) = 3x - 1 Solución: Comprobamos si la aplicación dada es biyectiva para lo cual vericamos si es inyectiva y sobreyectiva.

Inyectiva

Sobreyectiva

f (x) = 3x -1 3x1 - 1 = 3x2 - 1 3x1 = 3x2 x1 = x2

f(x) = 3x - 1 y0 = 3x0 - 1 y0 - 1 = 3x0

x1 = x2

f (x0) = y0

Si es biyectiva

f(x0) = 3x0 - 1

= y0 + 1 - 1 = y0 Si es sobreyectiva La aplicación dada es biyectiva por lo tanto podemos determinar su inversa así: f (x) = 3x - 1 y = 3x - 1

despejamos x de la igualdad

y + 1 = 3x entonces la aplicación inversa es:



UTPL

59


f(x) = 3x - 1

2.

A -3 -2 -1 0 1 2 3

B -10 -7 -4 -1 2 5 8

A -10 -7 -4 -1 2 5 8

B -3 -2 -1 0 1 2 3

Pruebe si las siguientes aplicaciones son biyectivas, luego calcule su inversa. a)

f (x) = |x|

b)

h(x) = -3x + 2

c) Solución: a)

60

f (x) = |x|

UTPL

f (x) = |x|




|x1| = |x2|

y= |x|

x1 ≠ ± x2

y0 = |x0| Si es sobreyectiva

En consecuencia no es biyectiva, por lo tanto no tiene t iene inversa. b)

h(x) = -3x + 2

Solución: -3x1 + 2 = -3x2 + 2 -3x1 = -3x2 x1 = x2

y = -3x + 2 y0 = -3x0 + 2 y0 - 2 = -3x0

Si es inyectiva

-3x0 = 2 - y0

= y0 = -3x0 + 2

= -2 + y0 + 2 = y0 Si es sobreyectiva Por lo tanto la aplicación es biyectiva. Determinemos su inversa. h(x) = -3x + 2 y = -3x + 2 y - 2 = -3x 3x = 2 - y



UTPL

61


c)

10 - 75x1 = 10 - 75x2 -75x1 = -75x2 x1 = x2

5y0 = 2 - 15x0 15x0 = 2 - 5y0

Si es inyectiva = y0

= y0 Si es sobreyectiva ∴ Es biyectiva Determinamos su inversa.

62

UTPL




15x = 2 - 5y

3.

Encuentre el dominio y el recorrido de

.Luego calcule la inversa si

es posible y realice una gráfica de f y f -1 en el mismo sistema de coordenadas. Solución: a)

El dominio de la aplicación dada son los reales (R).

b)

Determinemos el codominio.

5y = x - 25 5y + 25 = x El codominio de la aplicación son los reales. c)

Verique si la aplicación es biyectiva.

5x1 - 125 = 5x2 - 125

5y0 = x0 - 25

5x1 = 5x2

5y0 + 25 = x0

x1 = x2

x0 = 5y0 + 25

Si es inyectiva


= y0


UTPL

63


= y0 Si es sobreyectiva ∴ Es biyectiva d)

Determinamos su inversa.

5y = x - 25 5y + 25 = x h-1(y) = 5y + 25 e)

Realizamos su gráco.

h-1(y) = 5y + 25 A -5 0 5

B -6 -5 -4

B -6 -5 -4

A -5 0 5

h-1

h

64

UTPL




COMPOSICIÓN DE APLICACIONES

1.

Con el conjunto conjunto A = {-2, -1, 0, 0, 1, 2} y las aplicaciones aplicaciones de A en A denidas por las fórmulas g(x) = 2x, k(x) = x + 1 determinar la función producto kog y gok, luego realizar el diagrama de Venn de cada uno de ellos.

Solución: Hallamos la fórmula de la aplicación producto kog. k = og = k(g(x)) = k(2x) = 2x+1 Calculamos las imágenes de kog. kog = 2x + 1 kog(-2) = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3 kog(-1) = 2(-1) + 1 = -2 + 1 =-1 kog(0) = 2(0) + 1 = 0 + 1 = 1 kog(1) = 2(1) + 1 = 2 + 1 = 3 kog(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5

Hallamos la fórmula de la aplicación producto gok. gok (x) = g(k(x)) = g( x + 1) = 2x+2



UTPL

65


Calculamos las imágenes de gok. Otra fórmula de determinar las imágenes de una aplicación producto es sustituyendo cada elemento del conjunto dado en la fórmula (k = x + 1) y este valor en la forma (g = 2x). gok(-2) = g(k(-2)) = g (-1) =-2 gok(-1) = g(k(-l)) = g (0) = 0 gok(0) = g(k(0)) = g (1) = 2 gok(1) = g(k(1)) = g (2) = 4 gok(2) = g(k(2)) = g (3) = 6

Comparando las dos imágenes de gok y kog vemos que son diferentes, esto permite hacer la siguiente conclusión:

NOTA:

El producto de aplicaciones no siempre es conmutativo gok ≠ kog

Digo, no siempre, porque existen casos en los cuales gok = kog, como se indica en el siguiente ejemplo, en él cual si se cumple la propiedad conmutativa; pero es muy raro.

66

UTPL




2.

Con el conjunto P = {1, 2, 3} y las aplicaciones g: P → P tal que g(1) = 2; g(2) = 4; g(3) = 1; g(4) = 3 k: P → P tal que k(1) = 4; k(2) = 3; k(3) = 2; k(4) = 1 Halle gok y kog

Solución: Aplicando la definición de aplicación compuesta tenemos: gok(1) = g(k(1)) = g (4) = 3 gok(2) = g(k(2)) = g (3) = 1 gok(3) = g(k(3)) = g (2) = 4

kog(1) = k(g(1)) = k (2) = 3 kog(2) = k(g(2)) = k (4) = 1 kog(3) = k(g(3)) = k (1) = 4



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VERIFIQUE SU APRENDIZAJE ACTIVIDAD Nro. 3

Lo invito a que verifique sus logros, desarrollando los siguientes ejercicios. 1.

DADAS LAS SIGUIENTES RELACIONES. SELECCIONE LAS QUE CUMPLEN CON LOS REQUISITOS DE APLICACIONES. ARGUMENTE SUS RESPUEST RESPUESTAS. AS.

1.1 «Nieto de» 1.2 {(x, y) ∈ R2 / x2 + y2 = 1} 1.3 {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} 2.

INDIQUE CUÁLES DE LOS SIGUIENTES GRÁFICOS Y TABLAS CORRESPONDEN A UNA APLICACIÓN.

a

b x 0 1 1 2 3

y 1 3 3 4 5 c

3.

DETERMINE CUÁLES DE LAS APLICACIONES DEFINIDAS A CONTINUACIÓN SON APLICACIONES SOBREYECTIV SOBREYECTIVAS. AS.

1.1 f: N → N denida por f (x) = 2x 1.2 f: N → N - {l} denida por f (x) = x + 1 68

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1.3 h: R → R+ U {0} denida por f (x) = x2 4.

ESCRIB A LA FÓRMUL ESCRIBA FÓRMULA A QUE DEFINA LA APLICAC APLICACIÓN IÓN INVERSA DE CADA UNO DE LOS EJERCICIOS.

4.1 4.2 3x + 4 4.3 2x + 4 5.

SI f (x) = x2 - 2 |x| y h(x) = x2 -1. HALLE UNA EXPRESIÓN PARA: PARA:

5.1 f o h 5.2 h o f



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S EGUNDO BI IM ME ES ST TR RE E B

“De la sabiduría sigue la ignorancia“

(Fernando Rielo)

OBJETIVOS E SPECÍFICOS SPECÍFICOS 1.

Determinar los elementos de una relación mediante la realización de ejercicios prácticos.

2.

Demostrar las diferentes formas que adopta una relación e identicar y proponer relaciones de equivalencia.

3.

Reconocer las relaciones que son aplicaciones y determinar su dominio e Imagen.

4.

Realizar ejercicios con respecto a la factorización de aplicaciones.

5.

Reconocer cuando una relación es de orden y orden total.

6.

Realizar ejercicios con las diferentes operaciones de conjuntos nitos.



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C ONTENIDOS ONTENIDOS CAPÍTULO 3. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y DE ORDEN

1.

RELACIONES 1.1. Denición de Relación. 1.2. Relación Inducida. 1.3. Relación por por la derecha y por por la izquierda de un elemento.

2.

RELACIONESS DE EQUIV RELACIONE EQUIVALENCIA ALENCIA 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6.

3.

Denición de Relación de Equivalencia. Relación de Equivalencia Asociada a una Aplicación. Clases de Equivalencia. Partición de un Conjunto. Conjunto Cociente. Aplicación. Proyección. Factorización de Aplicaciones.

RELACIONES DE ORDEN 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6.

Denición de Relaciones de Orden y Orden Total. Relaciones de Orden y Orden Total Inducidas. Conjunto Bien Ordenados. Algunos Conceptos Relativos a Conjuntos Totalmente Ordenados. Propiedad del Supremo. Propiedad del Inmo. CAPÍTULO 4. CONJUNTO CONJUNTOSS FINITOS E INFINIT INFINITOS OS NUMERABLES

1.

CONJUNTOS FINITOS 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7.

Noción de Conjunto Finito. Cardinalidad de un Conjunto Finito. Subconjunto de un Conjunto Finito. Unión de una Colección Finita de Conjuntos Finitos. Producto Cartesiano de un Número Finito de Conjuntos. El conjunto de Pares de un Conjunto Finito. Conjuntos Finitos Totalmen otalmente te Ordenados.

2.

CONJUNTOS DE APLICACIO APLICACIONES NES ENTRE CONJUNTOS FINITOS

3.

CONJUNTOS NUMERABLE NUMERABLESS 3.1. Concepto de Conjunto Innito Numerable. 3.2. Relación entre Sucesiones y Conjuntos Innitos Numerables. 3.3. Concepto de Conjunto Numerable.

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3.4. Conjuntos Numerables y Aplicaciones Sobreyectivas. 3.5. Subconjuntos de los Conjuntos Numerables. 4.

COMPOSICIÓN COMPOSICIÓ N DE APLICACIONES 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.

Composición de Aplicaciones: Denición y Propiedades. Aplicación Inversa. Caracterización de las aplicaciones Biyectivas. Inversas Parciales de una Aplicación. Restricción de una Aplicación a un Subconjunto.



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DESARROLLO DEL A PRENDIZAJE PRENDIZAJE RINCON DE REFLEXIÓN EL AMOR Y LA LOCURA

Cuentan que una vez, se reunieron en un lugar de la Tierra todos los sentimientos y cualidades de los hombres. Cuando el ABURRIMIENTO había bostezado por tercera vez, la LOCURA, como siempre tan loca, les propuso: -« Vamos a jugar a las escondidas» La INTRIGA levantó la ceja intrigada, y la CURIOSIDAD, sin poder contenerse preguntó a la LOCURA: - ¿Y cómo es eso? Es un juego, explicó la LOCURA, en que yo me tapo la cara y comienzo a contar desde uno hasta un millón, mientras ustedes se esconden y cuando yo haya terminado de contar, el primero de ustedes que encuentre ocupará mi lugar para continuar el juego. El ENTUSIASMO bailó, secundado por la EUFORIA. La ALEGRÍA dio dio tantos saltos que acabó por convencer a la DUDA, e incluso a la APATÍA, a la que nunca le interesaba nada. Pero no todos quisieron participar, la VERDAD prefirió no esconderse ... ¿ para qué, si al final siempre la hallaban? La SOBERBIA opinó que era un juego muy tonto (en el fondo lo que le molestaba era que la idea no hubiese sido de ella), y la COBARDÍA prefirió prefirió no arnesgarse . ... uno, dos, tres, comenzó a contar la LOCURA. El primero en esconderse fue la PEREZA, que como siempre se dejó caer tras la primera piedra del camino. La FE subió al cielo y la ENVIDIA se escondió tras la sombra del TRIUNFO, que con su propio esfuerzo había logrado subir a la copa del árbol más alto. La GENEROSIDAD casi no alcanzaba a esconderse, pues cada sitio que hallaba le parecía maravilloso para alguno de sus amigos: que si un lago cristalino ideal para la BELLEZA, que le rendija de un árbol, perfecta para la TIMIDEZ, que si el vuelo de una mariposa, lo mejor para la VOLUPTUOSIDAD, que si una ráfaga de viento, magnífico para la LIBERTAD LIBERTAD ... y así fue como terminó por ocultarse en un rayito de sol.

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El EGOÍSMO encontró en cambio un sitio muy bueno desde el principio, ventilado, cómodo, pero sólo para él. La MENTIRA se escondió en el fondo del océano (mentira, en realidad se escondió detrás del arco iris) la PASIÓN y el DESEO en el centro de los volcanes. Cuando la LOCURA contaba 999.999, el AMOR aún no encontraba sitio alguno para esconderse, pues todo se encontraba ocupado, hasta que vio un rosal y enternecido decidió esconderse entre sus flores. Un MILLÓN!!!, contó la LOCURA y comenzó a buscar. La primera en aparecer fue la PEREZA a sólo tres pasos en una piedra. Después se escuchó a la FE discutir con Dios sobre teología y la PASIÓN y el DESEO los sintió en el vibrar de los volcanes. En un descuido encontró a la ENVIDIA y claro, así pudo deducir en donde estaba el TRIUNFO. El EGOÍSMO no tuvo ni que buscado, el solito salió disparado de su escondite que resultó ser un nido de avispas. De tanto caminar sintió sed, y al acercarse al lago descubrió a la BELLEZA, y con la DUDA resultó resultó todavía más fácil, pues la encontró sobre una cerca sin decidir aún de que lado esconderse. Así fue encontrando a todos, el TALENTO entre la hierba fresca, a la ANGUSTIA en una oscura cueva, a la MENTIRA detrás del arco iris, y hasta el OLVIDO, que ya se le había olvidado que estaba jugando, pero sólo el AMOR no aparecía en ningún sitio. La LOCURA buscó detrás de cada árbol, bajo cada arroyuelo del planeta, en la cima de las montañas y cuando estaba a punto de darse por vencida vio un rosal y sus flores. Tomó una horquilla y comenzó a mover las ramas, cuando de pronto escuchó un doloroso grito. Las espinas habían herido al AMOR en los ojos. La LOCURA no sabía que hacer para disculparse, lloró, rogó, imploró, pidió perdón, y hasta prometió al AMOR que sería su lazarillo. Desde entonces, desde la primera vez que se jugó a las escondidas en la tierra ... ¡EL AMOR ES CIEGO Y LA LOCURA SIEMPRE LO ACOMPAÑA. (Bajado de Internet)



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RELACIONES

UNIDAD 3

“Las matemáticas no mienten lo que hay son muchos matemáticos matemáticos mentirosos“ (Thoreau, Henry D)

PAR ORDENADO

Intuitivamente un par ordenado consta de dos elementos x, y que se simboliza por (x, y); x es el primer elemento ∧ y es el segundo elemento.

Dos pares ordenados (x, y) y (a, b) son iguales si x = a ∧ y = b (x, y) = (a, b) ↔ x = a ∧ y = b Nótese que si x = y, el par ordenado (x, y) es precisamente {{x}}. Ejemplo: Los pares ordenados (6, 9) y (9, 6) son diferentes. Ejemplo: Los Los pares ordenados (√49, √36) y (7, 6) son idénticos. TERNA ORDENADA

Dados tres objetos matemáticos x, y ∧ z, se amplía el concepto de pareja ordenada y se define: (x, y, z) = ((x, y), z) Llamándole a (x, y, z) una terna ordenada. Ejemplo: T = { e, a, o} E = { s, m, i} Los pares ordenados posibles respetando el orden de que el primer elemento pertenezca al conjunto «T» y el segundo a «E» T * E = {(e, s), (e, m), (e, i), (a, s), (a, m), (a, i), (o, s), (o, m), (o, i)} T * E = 9 pares ordenados 76

UTPL




PRODUCTO CARTESIANO

El producto cartesiano (o conjunto producto) de dos conjunto no vacíos A * B es el conjunto de todas las parejas (x, y) tales que x ∈ A ∧ y ∈ B. A * B = {(x, y): x ∈ A ∧ y ∈ B} Existen métodos prácticos para construir prod uctos cartesianos corno son: los diagramas de «árbol». Ejemplo: si A = {m, a}, B = {r, s, t, u} y C = {x, y, z} obtener A * B * C. Ejemplo: si Para determinar el producto de 3 o más conjuntos utilizamos los diagramas de árbol y se procede de la siguiente manera: # de elementos =

r

s

A=2 B=4 C=3

x

(m, r, x)

y

(m, r, y)

z

(m, r, z)

x

(m, s, x)

y

(m, s, y)

z

(m, s, z)

x

(m, t, x)

y

(m, t, y)

z

(m, t, z)

x

(m, u, x)

y

(m, u, y)

z

(m, u, z)

x

(a, r, x)

y

(a, r, y)

z

(a, r, z)

x

(a, s, x)

y

(a, s, y)

z

(a, s, z)

x

(a, t, x)

y

(a, t, y)

z

(a, t, z)

x

(a, u, x)

y

(a, u, y)

z

(a, u, z)

2 * 4 * 3 = 24 ternas

m t

u

r

s a t

u



UTPL

77


Entonces: A * B * C ={(m, r, x), (m, r, y), (m, r, z), (m, s, x), (m, s, y), (m, s, z), (m, t, x), (m, t, y), (m, t, z), (m, u, x), (m, u, y), (m, u, z), (a, r, x), (a, r, y), (a , r, z), (a, s, x), (a, s, y), (a, s, z), (a, t, x), (a, t, y), (a, t, z), (a, u, x), (a, u, y), (a, u, z)} ¿Cómo denimos a una relación?

Casi en todas las relaciones de la vida cotidiana, siempre estamos escuchando expresiones expresiones como: a)

José es alumno de la UTPL

b)

12 es menor que 30 30

c)

Carlos tiene 38 años

d)

Raquel es madre de Carmen

e)

Quito es capital del Ecuador

Todas estas expresiones y muchas más son relaciones porque estamos asociando o relacionando dos personas, dos cantidades, dos cosas, dos elementos o dos conjuntos, etc. POR LO TANTO:

Podemos damos cuenta que cada expresión relaciona dos elementos de un mismo conjunto o de dos conjuntos diferentes, así En a) se relaciona una persona con un establecimiento educativo; En b) se relaciona dos cantidades; En c) se relaciona una persona con una cantidad;

En c) se relaciona una ciudad con un país. RELACIONES COMO CONJUNTO CONJUNTOSS DE PARES ORDENADOS

En matemáticas, la palabra relación tiene un significado más preciso que en el lenguaje usual. Para identificar la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos o los elementos de un conjunto, vamos a utilizar los pares ordenados. Así, por ejemplo: Si Marco tiene 18 años y Segundo 22 años, designando por M al conjunto de personas y por N al conjunto de edades. Entonces escribimos: M = {Marco, Segundo}

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UTPL




N = {18, 22} Realizando el producto cartesiano M * N, tenemos: M * N = {(Marco, 18), (Marco, 22), (Segundo, 18), (Segundo, 22)} ¿Cuál es el conjunto de pares ordenados en los cuales se cumple la condición entre la persona y la edad establecida? E = {(Susana, 13), (María, 20)} De los pares ordenados del producto cartesiano, solamente dos cumplen con la condición y con ellos se ha formado un nuevo conjunto que se llama Relación Binaria designado con R a esta relación tenemos: R = {(Susana, 13), (María, 20)} Entonces podemos decir que la relación no es más que un subconjunto del producto cartesiano M * N. Ejemplo: Dados los conjuntos A = {2, 3, 4} y B = {1, 5} y la relación «ser mayor que», Ejemplo: Dados determinar los pares ordenados que sastifacen la condición. Solución: a)

Primeramente formamos el producto cartesiano A * B así: A * B = {(2, 1), (2,5), (3, 1), (3, 5), (4, 1), (4, 5)} Los pares ordenados que cumplen con la condición dada son: R = {(2, 1), (3, 1), (4, 1)}

De estos ejemplos podemos concluir que: NOTA:

Relación Binaria: es un subconjunto de un producto cartesiano donde se asocia cada elemento del primer conjunto con algún elemento del segundo conjunto. En símbolos: Una relación R de A en B se puede escribir así: R = {(a, b) / a ∈ A ∧ b ∈ B} A * B



UTPL

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NOTA:

Recuerde que, para escribir una relación necesitamos: a)

un conjunto A.

b)

un conjunto B.

c)

un enunciado formal (criterio, condición, propiedad) tal que sea V o F para todo par ordenado de un producto cartesiano.

EJERCICIOS DESARROLLADOS ¸ • 1.

Sea la relación «alcalde de» denida en los conjuntos

p = {Jaime Nebot, José Bolívar Castillo} y Q = {Quito, Guayaquil, Loja} Solución: a)

Formamos el producto cartesiano P * Q P * Q = {(Jaime Nebot, Guayaquil), (Jaime Nebot, Loja), (Jaime Nebot, Quito), (José Bolívar Castillo, Loja), (José Bolívar Castillo, Quito), (José Bolívar Castillo, Guayaquil)}

b )

Tomando en cuenta la condición condición «alcalde de» se tiene R = {(Jaime Nebot, Guayaquil), (José Bolívar Castillo, Loja)}

2.

Sea R una relación en F = {2, 3, 4, 5} denida por el enunciado formal «a ∧ b son primos»

Solución: a)

Elaborando el producto cartesiano F * F tenemos: F * F = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}

b)

Analizando al condición se tiene que los pares ordenados que cumplen con la condición son: R = {(2, 3), (2,5), (3,2), (3,5), (5, 2), (5, 3)} De lo expuesto anteriormente podemos decir que:

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NOTA:

Una Relación está bien definida si se puede decir de cualquier par ordenado, si satisface o no la relación; es decir, si es V o F. Pero para algunos que presentan ambigiiedad es necesario adjuntar notas aclaratorias como la extensión o alcance que se va a utilizar. A continuación citamos algunos algunos ejemplos de relaciones en las que se indica la extensión o alcance.

1. 2. 3. 4. 5.

Condición

Alcance

«ser se «ser seme meja jant nte» e» «ser «s er co cong ngru ruen ente te»» «ser «s er má máss nu nuev evoo qu que» e» «ser «s er má máss al alto to»» «se serr pri rim mo»

entree tr entr triá iáng ngul ulos os entr en tree re rect ctas as entr en tree ob obje jeto toss entr en tree pe pers rson onas as ent ntrre nú núme merro

DOMINIO E IMAGEN DE UNA RELACIÓN

Desarrollamos el siguiente ejercicio para indicar las partes de las que está formada una relación. Dada la relación «triplo de» definida en los conjuntos: A = {8, 9, 27, 64, 125}

y

B = {1, 2, 3, 4, 5}

Solución: Representamos gráficamente la relación dada Solución: Representamos



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81


ƒ

El conjunto (A) de partida o alcance está formado por todos los elementos que forman el conjunto, es decir {8, 9, 27, 64, 125}

ƒ

El conjunto (B) de llegada o rango está formado por todos los elementos que forman el conjunto, es decir {1, 2, 3, 4, 5}

ƒ

El dominio está formado por las primeras componentes de los pares ordenados que satisfacen con la condición dada, es decir, {8, 9, 27, 64, 125}

ƒ

El cominio. contradominio o imagen está por los segundos componentes de los pares ordenados que satisfacen con la condición, es decir decir,, {2, 3, 4, 5}

NOTA:

RECUERDE El dominio es un subconjunto del Alcance.

Dm ⊂ A

Imagen es un subconjunto del Rango.

Im ⊂ B

Gráficamente tenemos:

¿DE QUÉ MANERA SE PUEDEN DEFINIR RELACIONES?

A las relaciones se las puede representar de las siguientes maneras: (VARSAVKY, Oscar, 1973) F

Por frase

F

Por tabla

F

Por medio de fórmula

F

Por representación gráca

82

UTPL




Relaciones dadas por frases

Las relaciones se las puede expresar por medio de palabras, es decir, por descripciones comunes como por ejemplo: «es pariente de» «desembarca en»

«es colegio de» «estudia en»

Relaciones dadas por tablas

Hay ocasiones que se presentan relaciones no muy comunes, entonces es conveniente indicar cuáles son los pares de elementos que cumplen con las condiciones dadas y de esta manera sabemos cual es el dominio y la imagen de R. Esta clase de relaciones se expresan mejor con tablas: en la primera columna se anotan los elementos del dominio y en la columna de la derecha, la imagen correspondiente, por ejemplo: 1.

Planilla de calicaciones de los alumnos de la Maestría en Educación a Distancia de la UTPL

Solución: Realizamos una tabla de la siguiente manera: «calificaciones de» Dominio Teresa Luis Giovanna Lucía Yadira César

Imagen 95 90 83 80

Observando la tabla vemos que: Alcance (R) = {Teresa, Luis, Giovanna, Lucía, Yadira, César} Rango (R) = {0, 1, 2,3 .... 100} Dominio (R) = {Luis, Giovanna, Yadira, Yadira, César} Imagen (R) = {95, 90, 83, 80}



UTPL

83


.

2

Analizando la relación «Es profesor de» con alcance igual a: profesores del Departamento de Físico Matemático de la UTPL. U TPL. (Modalidad Abierta)

Solución: «es profesor de» Dominio Nancy E. Pablo R Fanny Q. César G. Luis E. Guido B. Yadira R.

Imagen Geometría Analítica Estadística Inferencial Didáctica de Matemática Teoría de Conjuntos Física Cálculo Trigonomet rigonometría ría

la

Alcance (R) = {Profesor {Profesores es del Departamento Fi- Ma} Rango (R) = {Materias del Departamento} Dominio (R) = {Nancy E, Pablo R, Fanny Q, César G, Luis E, Guido B, Yadira Yadira R} Imagen (R) = {Geometría Analítica, Estadística Inferencial, Didáctica de la Matemática, Teoría de Conjuntos, Física, Cálculo, Trigonometría} Relaciones dadas por fórmulas Para representar relaciones mediante fórmulas, se emplean signos y símbolos matemáticos. Así por ejemplo: Lenguaje Común 1. 2. 3. 4.

«x es truiplo de y» «x es es me menor o igual qu que» P es su subbco connju junnto de Q La edad de x en el 2004 será

Lenguaje Matemático x =3y x≤y P ⊂ Q x+4

Relaciones dadas por grácos

Para representar gráficamente relaciones, debemos recordar como ubicar un par ordenado en el plano cartesiano. Por ejemplo:

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UTPL




Representar grácamente las relaciones: 1.

«menor que» denida en los naturales (N)

Solución: Realizamos una tabla para la relación dada «x < y» Dominio 1 2 3 4 5 . . . . 8 7 6 5 4 3 2 1

Imagen 3, 4, 5 ... 4, 5, 6 ... 5, 6, 7 ... 6, 7, 8 ... 7, 8, 9 ... ............ ............ ............ ............

* * * * * * * * * * * *

1 2 3 4 5 6 7 8 NOTA:

Como sé que usted es una persona dedicada lo invito a revisar el Álgebra para escuelas secundarias de Oscar Varsavsky, donde encuentra mayor información sobre este tema. RELACIONES DE ORDEN

Son relaciones de orden aquellas que cumplen con las siguientes propiedades (o relaciones):



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Antisimétrica: si a está relacionada con b y b está relacionada con a entonces a es igual a b. a R b ∧ b R a ⇒ a = b o’ si a está relacionada con by b no está relacionada con a entonces a no es igual a b. a R b ∧ b R a ⇒ a ≠ b Transitiva: si a está relacionada con by b está relacionada con centonces a se relaciona con c. a R b ∧ b R c ⇒ a R c NOTA:

Si una relación cumple con las propiedades (relaciones), anteriormente indicadas se llaman Reladones de Orden Estricto , pero si a más de las propiedades propiedades (relaciones) (relaciones) indicadas se cumple la propiedad reflexiva entonces es un Orden no Estricto o simplemente Orden. Si existen elementos que no están relacionados entre sí (elementos incomparables), el orden es parcial y si los elementos son comparables o cumple la ley del tricotomía. (a R b o’ b R a) ⇒ a ≠ b el orden es total. Concluyendo tenemos Orden Estricto: Antisimétrica, Transitiva Orden Estricto: Reflexivo, Antisimétrica y Transitivo Orden Estricto: Antisimétrica, Transitiva, Elementos incomparables Orden Estricto: Estricto: Antisimétrica, Transitiva, Transitiva, Ley de Tricotomía Tricotomía (a R b o’ b R a) ⇒ a ≠ b

Ejercicios: Dados los siguientes ejercicios, determinar el orden al que corresponden: 1.

«mayor que» denida en el conjunto A = {-2,-1, 0, 1, 2}

Solución: Escribimos todos los pares ordenados que cumplen con la condición.

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R = {(1, 0), (1, -1), (1, -2), (2, 1), (2, 0), (2, -1), (2, -2), (-1, -2), (0, -1), (0, -2)} Vemos que las propiedades cumple: Antisimétrica porque: (1, 0) ∈ R ∧ (0, 1) ∉ R Transitiva porque: 1 > -1 ∧ -1 > - 2 ⇒ 1 > - 2 1 > 0 ∧ 0 > -1 ⇒ 1 > -1 Por lo tanto la relación « >» es una orden estricta, por cumplir las propiedades antisimétrica y transitiva. 2.

Sean la relación «anterior a» denida N

Solución: Reflexiva: No cumple porque ningún número es anterior a sí mismo. Ejemplo 5 R 5 Antisimétrica: Si se cumple porque todo número es anterior a otro número. Ejemplo: 3R4∧4R3 Transitiva: Si se cumple porque todo número es anterior a otro y este anterior a un tercero, entonces el primer número es anterior al tercero. Ejemplo: 4 R 5 ∧ 5 R 6 ⇒ 4 R 6 Luego es una relación de orden estricto por cumplir las propiedades Antisimétrica y Transitiva. Ahora analicemos si el ejemplo propuesto es de orden total o parcial, para lo cual debemos tener presente que cumpla una de las premisas; a R b o’ b R a con dos elementos cualesquiera. Elegimos el 9 y el 5, vemos que la primera premisa no se cumple ya que 9 no está antes que 5, pero al revés 5 antes que 9 si se cumple. Luego extendiendo este concepto a todos los números N, siempre se va a cumplir una de las dos premisas, por lo tanto se trata de un orden total. 3.

«≤» denida en el conjunto A = {t, 2, 3}

Solución: Escribimos todos los pares ordenados que cumplen con la condición. R = {(1, 2), (1,3), (2,3), (1, 1), (2,2), (3, 3)} Vemos que las propiedades cumple: MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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Reflexiva: si porque todo número es igual a sí mismo. Antisimétriea: sí porque

1 < 2 ∧ 2 < 1

Transiti ransitiva: va: sí porque

1 < 2 ∧ 2 < 3 ⇒ 1 < 3 RELACIONES DE EQUIVA EQUIVALENCIA LENCIA

Una relación se dice que es una relación de equivalencia si: 1.

R es reexiva, esto es para todo a ∈ A, (a, a) ∈ R

2.

R es simétrica, esto es, (a, b) ∈ R implica (b, a) ∈ R

3.

R es transitiva, esto es, (a, b) ∈ R; y (b, c) ∈ R implica (a, c) ∈ R

EJEMPLO: 1.

Sea A el conjunto de triángulos triángulos del plano plano Euclidiano. Sea R la relación relación en A denida por «x es semejante a y», entonces, como se demuestra en geometría R es reexiva.

a.

R es reexiva: pues todo triángulo es semejante a sí mismo por el enunciado formal.

b)

R es simétrica: puesto que si el triángulo a es semejante al triángulo b, b, entonces el triángulo b es también semejante al a.

c)

R es transitiva: puesto que si el triángulo a es semejante al triángulo b, y el triángulo b es semejante al triángulo c, esto implica que el triángulo a es semejante al triángulo c.

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Por lo tanto: R es una relación de equivalencia 1.

El ejemplo más importante de relación de equivalencia es el de la «igualdad». Para cualesquier elemento en todo conjunto. a)

R es reexiva: a es igual a sí mismo.

a=a b)

R es simétrica: si a es igual a b implica que b es igual a a. a = b implica b = a

c)

R es transitiva: si a es igual a b y b es igual a centonces a es igual a c. a = b y b = c implica a = c VERIFIQUE SU APRENDIZAJE ACTIVIDAD Nro. 4

1.

SEA P = {2, 3}, Q = {1, 3, 5} y K = {3, 4} DETERMINE MEDIANTE UN DIAGRAMA DE ÁRBOL EL PRODUCTO P * Q * K

2.

GRAFIQUE EN R*R LA SIGUIENTE RELACIÓN, DÉ EL DOMINIO Y EL RECORRIDO «y ≤ X2».



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3.

CON UN EJEMPLO DETERMINE SI LAS SIGUIENTES RELACIONES 1) «=» 2) «⊥» 3) «paralelo a» 4) «es hermano de» SON REFLEXIVAS. REFLEXIVAS.

4.

DETERMINE SI LA RELACIÓ RELACIÓN N «MÚLTIPLE DE» EN LOS NATURALES ES UNA RELACIÓN DE EQUIVALENCIA.

NOTA

Estimado alumno le sugiero realizar las autoevaluaciones que constan en la guía pues éstas serán de mucha ayuda para realizar las pruebas presenciales, no se conforme con lo del texto básico busque consultar en la bibliografía complementaria y en las páginas web que tiene anotadas en su guía didáctica; así también realice la mayor cantidad de ejercicios que pueda, los mismos que están en los anexos.

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S OLUCIONARIO OLUCIONARIO ACTIVIDAD N. 1

1. a) b) c) d) e)

I F V I F

a) b) c)

Si A = B porque porque no importa que los elementos no estén en el mismo mismo orden. Si C = D porque porque son iguales a pesar pesar de que se repiten repiten sus elementos. Si E = F porque dos conjuntos vacíos son iguales, esto conrma que el conjunto vacío es el único. Si H = I dos dos conjuntos pueden ser iguales denidos por el método de comprensión aunque las frases que lo denan sean diferentes.

2.

d)

3. a) b) c)

R = {x/x x = x + 2, -5 ≤ x ≤ 2} S = {x/x ∈ es un natural par 2468} T = {x/x es letra del alfabeto}

a) b) c)

P = {Ø} Q = {l, 2, 3, 4} K = {no es posible determinar los elementos del conjunto k porque no hay}

4.

ACTIVIDAD N. 2

1. 1.1

1.2 Q

P Q

1.3

C

A S

B

C

R D



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91


2.

3.

4.

A È B {1, 2, 3, 4, 5, 7} A ∩ B { 2} B ∩ C { 2, 5, 7,8} B - C { 2} 3.1 3.2 3.3

H ∩ I’ {a, b, e} H ∩ J’ { a, c, e} H ∪ I ∪ J { a, b, c, d, e, f, g, h, i}

P = {1, 2, 3, 4} Q = {2, 3, 4, 5} 5. 5.1

L = {b, d, e, f, g, h, i, j} M = {b, d, e, f, g} N = {b, f, e, g, h, i, k, l} ACTIVIDAD N. 3

1. 1.1 1.2 1.3

Si es aplicación No es aplicación Si es aplicación

a) b) c)

No porque algunos elementos del dominio tienen 2 imágenes. Es una aplicación. No es una aplicación.

3.1 3.2 3.3

No es sobreyectiva Es sobreyectiva Es sobreyectiva

2.

3.

4. 4.1 4.2

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UTPL




4.3 5. 5.1 5.2

f o h(x) = x4 - 4x2 | x | + 4 | x | 2 - 1 f o h(x) = x4 - 2x2 - 2 | x2 - 1 | + 1 ACTIVIDAD N. 4

1.

2

3

1

3 4

(2, 1, 3) (2, 1, 4)

3

3 y

(2, 3, 3) (2, 3, 4)

5

3 4

(2, 5, 3) (2, 5, 4)

1

3 4

(3, 1, 3) (3, 1 4)

3

3 y

(3, 3, 3) (3, 3, 4)

5

3 4

(3, 5, 3) (3, 5, 4)

2. x 0 1 2 -1 -2 -3

y 0 1 4 1 4 9

y ≤ x2



UTPL

93


3. 3.1 3.2 3.3 3.4

4.

Si es reexiva, porque toda persona, objeto, gura es igual a sí mismo. No es reexiva, porque una recta no puede ser perpendicular a si mismo. mismo. Si es reexiva, porque una recta puede ser paralela a sí misma. No es reexiva, porque una persona no puede ser hermano de sí mismo.

Para que sea una relación de equivalencia debe cumplir con la relación simétrica, reexiva, transitiva. Reexiva: La

relación «múltiplo de», denida en el conjunto de los números naturales si es reexiva, ya que todo número natural es múltiplo de sí mismo.

Simétrica: La relación «múltiplo de» denida en el conjunto de los números naturales no es simétrica. 3 múltiplo de 9 pero 9 no es múltiplo de 3 9 es múltiplo de 81 Transitiva: La relación «múltiplo de» denida en el conjunto de los números naturales si es transitiva. En conclusión la relación «múltiplo de» denida en el conjunto de los naturales no es relación de equivalencia porque no es reexiva, ni simétrica, solo es transitiva.

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G LOSARIO LOSARIO CONJUNTO: La palabra conjuntos será uno de los términos básicos no definidos. En CONJUNTO: La lo que sigue se tratará de aclarar y precisar la idea intuitiva de conjunto de objetos por medio de ejemplos. CONJUNTO VACÍO: Es el conjunto que no tiene elementos. Se representa como Ø. DIAGRAMAS DE VENN: Es VENN: Es un método gráfico que sirve para la mejor comprensión de los conjuntos y sus relaciones. Estos diagramas son utilizados también para comprobar la validez de ciertos teoremas de la Teoría de Conjuntos y/o para seguir métodos de demostración de los mismos. B

A

RELACIÓN: Dados dos conjuntos A y B una relación es un subconjunto del producto RELACIÓN: Dados cartesiano A * B. A las relaciones también se las llama correspondencias correspondencias.. RELACIÓN BINARIA: Dado BINARIA: Dado el producto cartesiano A * A, una relación binaria es un subconjunto G (llamado grafo) de este producto cartesiano. RELACIÓN DE EQUIVALENCIA: Una EQUIVALENCIA: Una relación de equivalencia es una relación binaria que tiene las propiedades: Reflexiva: a R a Simétrica: Si a R b, b R a Transitiva: Si a R b y b R c, entonces a R c RELACIÓN DE ORDEN: Una ORDEN: Una relación binaria es una relación de orden que tiene las propiedades: Reflexiva: a R a Simétrica: Si a R b, b, R a, entonces a = b Transitiva: Si a R b y b R c, entonces a R c MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA


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DOMINIO DE UNA APLICACIÓN: APLICACIÓN: El subconjunto de partida formado por los elementos x ∈ E para los cuales existe un y ∈ F F,, que verifica y = f(x), se llama dominio de la función. Lo simbolizamos con Df. RANGO, CODOMINIO O CONJUNTO CONJU NTO DE VALORES: VALORES: Es el subconjunto del conjunto de llegada formado por los elementos que son imágenes del conjunto de partida. Lo simbolizamos Rf. Rf - {y ∈ F: y = f (x) } EPIGRAFE: Cita o sentencia que suele ponerse a la cabeza de una obra científica o literaria o de cada uno de sus capítulos o divisiones de otra clase. CORRESPONDENCIA: La que relaciona cada elemento imagen con su elemento CORRESPONDENCIA: origen. APLICACIÓN: Operación por la que se hace corresponder a todo elemento de un APLICACIÓN: conjunto un solo elemento de otro conjunto. NOCIÓN: Conocimiento o idea que se tiene de algo. PROTOTIPO: Ejemplar original o primer molde que se fabrica una figura u otra cosa. PROTOTIPO: Ejemplar EL SÍMBOLO ∃: Se llama el cuantificador existencial. Ejemplo: ∃ X, P(x)

Se lee «existe x tal que P(x)» y es verdadero precisamente cuando el conjunto de verdad P(x) no es vacío.

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A NEXOS

El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.


Señor estudiante le recordamos que en los anexos existe un sin número de ejercicios propuestos por cada unidad que usted puede resolverlos para reforzar sus conocimientos teóricos y que le serán de mucha ayuda para presentarse a las evaluaciones en presencia, tomando en cuenta que aplicación es igual a función entonces no tiene porque causarle de nuevo.

ANEXO.

1

CONJUNTOS

Ejercicios propuestos de conjuntos y subconjuntos tomados del libro Seymour Lipschuz y de Álgebra y Trigonometría de Dennis Zill, Jacqueline DEWAR.



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CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS Escribir una armación que relacione cada par de conjuntos del diagrama. Debe haber seis armaciones. Solución :

En primer lugar se ve que C ⊂ B, D ⊂ B y B ⊂ A. pues estos conjuntos están unidos por segmentos. Por el Teorema 1-1 se deduce que C ⊂ A y D ⊂ A. Por último, los conjuntos C y D no son comparables, ya que no están unidos por una línea ascendente. 28.

Construir diagramas de Venn Venn de los conjuntos conjuntos A, B, B, C y D del diagrama lineal del del Problema Problema 27. Solución: Hagamos dos diagramas posibles: A

B B C

D

A

C

D

La principal diferencia entre estos diagramas es que los conjuntos C y D aparecen disjuntos en el segundo diagrama. Pero ambos tienen el mismo diagrama lineal. 29.

¿Qué signica el símbolo {{ 2, 3}}? Solución: Se trata de un conjunto que tiene un elemento: el conjunto de los elementos 2 y 3. Obsérvese que {2, 3} pertenece a {{2, 3}} no es un subconjunto de {{2, 3}}. 3}} . Asi que se puede decirquc {{2. 3}} es un conjunto de conjuntos.

30.

Dado A = {2, {4, 5}, 4}, ¿qué armaciones son incorrectas y por qué? (1) {4, ó} ⊂ A (2) {4, 5} ε A (3) {{4,5} ⊂A Solución: Los elementos de A son 2, 4 y el conjunto {4, 5}. Por tanto, (2) es correcta y (1) es incorrecta. (3) es una armación correcta porque el conjunto que consta del único elemento {4, 5} es un subconjunto de A.

31.

Uado E = {2, {4, 5}, 4}, ¿qué armaciones son incorrectas y por qué? (1) 5 ε E (2) {5} ε E (3) {5} ⊂ E Solución: Todas son incorrectas. Los elementos de E son 2. 4 y el conjunto {4, 5}; por tanto. (1) y (2) son incorrecras. Hay ocho subconjuntos de E y {5} un está entre ellos, de modo que (3) es incorrecla. Hallar el conjunto potencia 2S del conjunto S = {3, {1, 4}}. Solución: Observar primero que S contiene dos elementos. 3 y el conjunto {1, 4}. Por tanto, 2 S contiene 2S = 4 elementos: S mismo. el conjunto vacío. {3} y el conjunto formado por {1, 4} solo, es decir,, {{1, 4}} :” Más breve: decir 2S = {S, {3}, {{1, 4}}, Ø} En lo que sigue, ¿qué es lo que no se dene en un desarrollo axiomático de la teoría de conjuntos?: (1) conjunto, (2) subconjunto de, (3) disjunto, (4) elemento. (5) es igual a, (6)

32.

33.

pertenece a, (7) superconjunto de. Solución:

Los únicos conceptos no denidos en la teoría de conjuntos son: conjunto, elemento y la relación «pertenece a» o sea (1), (4) y (6). 100

UTPL




CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

34.

Demostrar : Sean A y B no vacíos, esto es, A ≠ Ø y B ≠ Ø. Si A y B son disjuntos, Demostrar: entonces A y B no son comparables. Solución: Como A y B no son vacíos, hay elementos a ε A y b ε B. Por otra parte, como A y B son disjuntos, A ε B y B ε A. Por tanto. A ⊄ B y B ⊄ A. es decir, A y B no son comparables.

35.

Dados A y B no comparabl comparables, es, ¿se sigue que A y B son disjuntos? Solución: No. Los conjuntos del siguiente diagrama de Venn no son comparables; pero tampoco son disjuntos.

A B

Problemas propuestos NOTACIÓN

36.

Escribir en notación conjuntista: (1 ) (2)) (2 (3) (4)

37.

R es un superconjunto de T. x es el elem emen ento to de Y. M no es subconjunto de S. El conjunto potencia de W.

z no pertenece a A. B es está tá in incl clu uid idoo en F. El conjunto vacío. R pertenece a A.

(3) (4)

C = { x | x es mayor de 21 años}. D = { x | x es ciudadano francés}.

Enunciar verbalmente: (1) A = { x | x vive en París}. (2) B = { x | x habla danés}.

38.

(5) (6)) (6 (7) (8)

Escribir en forma tabular: (1) (2) (3) (4) (5)

P = {x | x2 - x - 2 = 0}. Q = {x | x es una letra de la palabra «calculan»}. R = {x | x2 = 9, x - 3 = 5}. S = {x | x es una vocal}. T = {x | x es una cifra del número 2324}.

39.

Si E = {1, 0}, decir entre las armaciones armaciones siguientes cuáles son correctas o incorrectas. incorrectas. (1) {0} ε E, (2) Ø ε E, (3) {0} ⊂ E, (4) 0 ε E, (5) 0 ⊂ E

40.

En una una exposición exposición axiomática de la teoría de conjuntos, decir cuáles de estos símbolos representan representan una relación no denida: (1) ⊄, (2) ε , (3) ⊃.



UTPL

101


CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS SUBCONJUNTOS 41. Si B = {0, 1, 2}, hallar todos los subconjuntos de B.

42.

Si F = {0, {1, 2}}, hallar todos los subconjuntos de F.

43.

Sean A = {2,3,4} B = {x | x’ = 4, x es positivo}

C = {x | x’ - 6x + 8 = 0} D = {x | x es par}

Completar las siguientes armaciones insertando ⊂ , ⊃ o «nc» (no comparables) entre cada par de conjuntos: (1) A .... B, (2) A .... C, (3) B .... C. (4) A .... D, (5) B .... D. (6) C .... D. 44.

Sean A = {1, 2 .... , 8, 9}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}, D = {3, 4, 5} y E = {3, 5}. ¿Cuáles conjuntos pueden ser iguales a X dadas las condiciones siguientes? (1) X y B son disjuntos (3) X ⊂ A y X ⊄ C. (2) X ⊂ D y X ⊄ B. (4) X ⊂ C y X ⊄ A.

45.

Decir si son correctas o incorrectas las siguientes armaciones: (1) Todo subconjunto de un conjunto nito es nito. (2) Todo subconjunto de un conjunto innito es innito.

PROBLEMAS DIVERSOS 46. Hacer un diagrama lineal de los conjuntos A. B, e y D del Problema 43.

47.

Hacer un diagrama lineal de los conjuntos A, B, C. D y E del Problema 44.

48.

Entre las allrmaciones siguientes decir cuáles son correctas o incorrectas: (1) {1, 4, 3} = {3, 4, 1} (4) {4} ⊂ {{4}} (2) {1, 3, 1, 2, 3, 2} ⊂ {1, 2, 3} (5) Ø ⊂ {{4}} (3) {4} ε {{ 4}}

49.

Decir cuáles de los siguientes conjuntos son nitos o innitos: (1) El conjunto de rectas paralelas al eje x. (2) El conjunto de letras del alfabeto. (3) El conjunto de números que son múltiplos de 5. (4) El conjunto de animales que viven en la Tierra. (5) El conjunto de números que son raices de la ecuación x38 + 42x23 - 17x18 - 2x5 + 19 = 0 (6) El conjunto de círculos que pasan por el origen (0, 0).

50.

Entre las armaciones siguientes siguientes decir cuál es correcta y cuál incorrecta. Aquí S es un conjunto cualquiera no vacío. S ⊂ 2s (3) (1) S ε 2s (2) {S} ε 2s (4) {S} ⊂ 2S

51.

Hacer un diagrama lineal de los conjuntos del siguiente diagrama de Venn. Q

P

102

UTPL


S

R



CONJUNTOS Y SUBCONJUNTOS

Respuestas a los problemas propuestos 36.

(t) R ⊃ T, (2) X ε Y, (3) M ⊄ S, (4) 2w , (5) z ε A, (6) B ⊂ F, (7) ∅ , (8) R ε A.

37.

(1) A es el conjunto de los x tales que x vive en París. (2) B es el conjunto de los x tales que x habla danés. (3) C es el conjunto de los x tales que x es mayor de 21 años. (4) D es el conjunto de los l os x tales que x es ciudadano francés.

38.

(1) P = {2, -1}, (2) (2) Q = {a, c, l, u, r}, r}, (3) R = ∅ , (4) S = {a, e, i, o. u}, u}, (5) T= {2, 3. 4}.

39.

(1) incorrecto, (2) incorrecto, (3) correcto, (4) correcto, (5) incorrecto.

40.

El símbolo t representa una relación no denida.

41.

Hay ocho subconjuntos subconjuntos:: B, {0, 1}, {0, 2}, 2}, {1, {1, 2}, 2}, {0}, {0}, {1}, {1}, {2}, ∅.

42.

Hay cuatro subconjuntos subconjuntos:: F, {0}, {{ l. 2}}, ∅.

43.

(1) ⊃ , (2) ⊃ , (3) ⊂ , (4) nc, (5) ⊂ , (6) ⊂.

44.

(1) C, E. (2) D, E. (3) A, B, D. (4) Ninguno.

45.

(1) correcto, (2) incorrecto.

46. D

A C B

47. A B

D

C E

48.

(1) correcto, (2) correcto, (3) correcto, (4) incorrecto, (5) correcto.

49.

(1) innito, (2) nito, (3) innito, (4) nito, (5) nito, (6) innito.

50.

(1) correcto. (2) incorrecto (3) incorrecto, (4) correcto.

51. Q

P

R S



UTPL

103


OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS

Problemas resueltos UNION 1. En los diagramas de Venn que siguen, rayar A unión B, o .sea A U B:

A

B A

B (a)

A

(b)

B

A B

(c)

(d)

Solución: La unión de A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. Se rayan entonces las áreas de A y de B como sigue:

A

B (a)

2.

B A

A

(b)

A B

B (c)

(d)

Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A ∪ B, (b) A ∪ C, (c) B ∪ C, (d) B ∪ B. Solución: Para formar la unión de A y B se reúnen todos los elementos de A con todos los elementos de B. De modo que

De igual manera.

A∪B A∪C B∪C B∪B

= = = =

{1, 2, 3, 4, 6, 8} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 4, 6, 8, 3, 5} {2, 4, 6, 8}

Nótese que B ∪ B es precisamente B. 3.

Sean A, B y C los conjuntos del Problema 2. Hallar (1) (A ∪ B) ∪ C, (2) A ∪ (B ∪ C). Solución:

(1) (2)

4.

Se determin determinaa primero A ∪ B = (1, 2, 3. 4. 6, 8}. Entonces la unión de A ∪ B y C es (A ∪ B) ∪ C = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5} Se determina primero B ∪ C = {2. 4, 6, 8, 3, 5}. Entonces la unión de A y B ∪ C es A ∪ (B ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 5} Nótese que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).

Sean el conjunto X = {Tomás, Ricardo, Enrique}, el conjunto Y = {Tomás, Marcos, Emilio} y Z = {Mar. cos, Emilio, Eduardo}. Hallar (a) X ∪ Y, (b) Y ∪ Z, (c) X ∪ Z. Solución: lo s nombres de Y; Y; así Para hallar X ∪ Y se hace la lista de los nombres de X con los

X ∪ Y = {Tomás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio} Del mismo modo 5.

Y ∪ Z = (Tomás, Marcos, Emilio, Eduardo} X ∪ Z = {T {Tomás, omás, Ricardo, Enrique, Marcos, Emilio, Eduardo}

Sean A y B dos conjuntos que no son comparables. Hacer el diagrama diagrama lineal de los conjuntos A, B y A ∪ B. Solución: Nótese primeramente, según la Observación 2-2, que A y B son ambos subconjuntos de A ∪ B, es decir, que A ⊂ (A ∪ B) y B ⊂ (A ∪ B)

De acuerdo con esto, el diagrama lineal de A, B y A ∪ B es A

104

UTPL


A ∪ B B



OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS 6.

Demostrar la Observación 2-2: A y B son subconjuntos de A ∪ B. Solución:

Puesto que A ∪ 8 = B ∪ A solo se requiere demostrar que A es subconjunto de A ∪ B, esto es, que x ε A implica x ε A ∪ B. Sea x un elemento de A. Se sigue entonces que x es elemento de A o de B, es decir, que x ε A ∪ B. Así que A ⊂ (A ∪ B). 7.

Demostrar: Demostra r: A = A ∪ A. Solución:

A)) ⊂ A. Según la Observación Según la Denición 1-1, hay que q ue demostrar que A ⊂ (A ∪ A) y que (A ∪ A 2-2, A ⊂ (A ∪ A). Sea ahora un x ε (A ∪ A). Entonces, según la denición de unión, x ε A o x ε A; así que x pertenece a A. Por tanto, (A ∪ A) ⊂ A y, por la Denición 1-1, A = (A ∪ A). 8.

Demostrar: U ∪ A = U, dónde U es el conjunto universal. Solución :

Por la Observación 2-2, U ⊂ (U ∪ A). Como todo conjunto es un subconjunto del conjunto universal, (U ∪ A) ⊂ U y la conclusión se sigue de la Denición 1-1. 9.

Demostrar: Ø ∪ A = A. Solución:

Por la Observación 2-2, A ⊂ (A ∪ Ø). Sea ahora un x ε (A ∪ Ø), entonces x ε A o x ε Ø. Por la denición de conjunto vacío, x Ø; de modo que x ε A. Se ha demostrado que x ε (A ∪ Ø) implica x ε A, es decir, que (A ∪ Ø) ⊂ A. Por la Denicion 1-1, A = Ø ∪ A. 10.

Demostrar: A ∪ B = Ø implica A = Ø y B = Ø. Solución: c onjunto; en parPor la Observación 2-2, A ⊂ (A ∪ B), es decir, A ⊂ Ø. Pero Ø es subconjunto de todo conjunto; ticular, ∅ ⊂ A. Luego, por la Denición 1-1, A = ∅. De igual manera se puede demostrar que B = ∅.

INTERSECClÓN

11.

En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar la interse intersección cción de A y B, esto es, de A ∩ B. Solución : La intersección de A y B consiste en el área que es común tanto a A como a B. Para encontrar A ∩ B, se raya primero A con trazos oblicuos hacia la derecha (///) y luego se raya B con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\) como se ve en la gura: .

A

A

B A

(c)

(b)

(a)

B

A

AB (d)

Entonces A ∩ B es el área que tiene los dos.¡ayados. El resultado nal, que es A ∩ B, se raya ahora con líneas horizontales, como sigue: A

A (a)

B A (b)

B

A (c)

AB (d)

A ∩ B lo rayado Nótese que A ∩ B es vacía en (c) en que A y B son disjuntos.



UTPL

105



12.

Sean A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A∩ B, (b) A ∩ C, (c) B ∩ C, (d) B ∩ B. Solución: Para formar la intersección de A y B se inscriben todos los elementos comunes a A y B; así A ∩ B = {2, 4}. De igual manera, A ∩ C = {3, 4}, B ∩ C = {4, 6} y B ∩ B = {2, 4, 6, 8}. Nótese que B ∩ B es efectivamente B.

13.

Sean A, B y C los conjuntos del Problema 12. Hallar (a) (A (A ∩ B) ∩ C, (b) A ∩ (B ∩ C). Solución: (a) A ∩ B = {2, 4}. Así que la intersección de {2, 4} con C es (A ∩ B) ∩ C = {4}. (b) B ∩ C = {4, 6}. La intersección de este conjunto con el A es {4}, esto es, A ∩ (B ∩ C) = {4}. Nótese que (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

14.

Sean A y B dos conjuntos conjuntos no comparabIes. Hacer el diagrama lineal lineal de A, B y A ∩ B. SoIución: Por la Observación 2-4, A ∩ B es un subconjunto tanto de A como de B, esto es. (A ∩ B) ⊂ A y (A ∩ B) ⊂ B. De acuerdo con esto se tiene el siguiente diagrama lineal: A B

15.

A ∩ B Demostrar la Observación 2-4: A ∩ B es un subconjunto de A y de B. Solución: Sea x un elemento cualquiera de A ∩ B. Por denición de la intersección, x pertenece a ambos conjuntos A y B; en particular, x ε A. Se ha demostrado que x ε (A ∩ B) implica x ε A, esto es, que (A ∩ B) ⊂ A. De igual modo, (A ∩ B) ⊂ B.

16.

Demostrar: A ∩ A = A. Solución : Por la Observación 2-4, (A ∩ A) ⊂ A. Sea x un elemento cualquiera de A; entonces es obvio que x pertenece a los conjuntos A y A, es decir. x pertenece a A ∩A. Se demuestra así que x ε A implica x ε (A ∩ A). es decir. que A ⊂ (A ∩ A). Por la Denición 1.1, A ∩ A = A.

17.

Demostrar: U ∩ A = A, donde U es el conjunto universal.. Solución: Por la Observación 2-4, (U ∩ A) ⊂ A. Sea x un elemento cualquiera de A. Como U es el conjunto universal x pertenece también a U. Como x ε A y x ε U, por la denición de intersección, x ε (U ∩ A). Se ha demostrado que x ε A implica x ε (U ∩ A), es decir. que se ha demostrado que A ⊂ (U ∩ A). Por la Denición 1-1. U ∩ A = A.

18.

Demostrar: A ∩ Ø = Ø. Solución: Por la Observación 2-4, (A ∩ Ø) ⊂ Ø. Pero el conjunto vacio es subconjunto de todo conjunto; en particular,, Ø ⊂ A ∩ Ø Por tanto, A ∩ Ø = Ø. particular

DIFERENCIA

19.

Sea A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) (A - B), (b) (C - A), A), (c) (B (B - C), C), (d) (B - A), A), (e) (B - B). Solución: (a) El conjunto A - B consiste en los elementos de A que no están en B. Como A = {1, 2, 3, 4} y 2, 4 ε B, entonces A - B = {1, 3}. (b) Los únicos elementos de C que no están en A son 5 y 6; por tanto, C - A = {5, 6}. (c) B - C ={2, 8}. (d) B - A = {6, 8}. (e) B - B = Ø

106

UTPL





20.

En los diagramas de Venn del Problema 1, rayar A menos B o sea A - B. Solución: En cada caso el conjunto conju nto A - B consiste en los elementos e lementos de A que no están en B, es decir, de cir, el área en A que no está en la de B.

A

A (a)

B A

B

A (c)

(b)

AB (d)

Nótese que como en (c), A - B = A si A y B son disjuntos. Nótese también que, como en (d), A - B = Ø si A es subconjunto de B. 21.

Dados dos dos conjuntos conjuntos A y B no comparables, comparables, construir construir el el diagrama lineal de los conjuntos conjuntos A, B, (A - B), (B - A), Ø y el universal U. Solución: Notar primero según la Observación 2-6, que (A - B) A y que (B - A) ⊂ B. Como Ø es subconjunto de todo conjunto y como, por la Observación 2-7. (A - B) y (B - A) no son comparables. se puede trazar primero. B-A

A-B Ø

Como A ⊃ (A - B) y B ⊃ (B - A). se añaden A y B al diagrama como sigue: A

B

A-B

B-A Ø

Como U contiene a todo conjunto. se completa el diagrama así: U A

B

A-B

B-A

Ø

Si no se incluyera U o Ø en el diagrama. entonces el diagrama lineal no se cerraría. 22.

Demostrar la Observación 2·6: (A - B) ⊂ A. Solución: Sea x cualquier elemento dd conjunto A-B. Por denición de diferencia. x ε A y x B; en particular. x pertenece a A. Se ha demostrado que x ε (A - B) implica x ε A: es decir, que (A - B) ⊂ A.

23.

Demostrar: (A - B) ∩ B = Ø. Solución: Sea x perteneciente a (A - B) ∩ B. Por la denición de intersección. x ε (A-B) y x B. Pero por la denición de diferencia, x ε A y x B. Como no hay ningún elemento que cumpla x ε B y x B. entonces (A - B) ∩ B = Ø.

COMPLEMENTO

24.

Sean U = {1, 2, 3, ... , 8, 9}, A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6, 8} y C = {3, 4, 5, 6}. Hallar (a) A’, A’, (b) B’, (c) (A∩ C)’, (d) (A ∪ B)’, (e) (A‘) ‘, (f) (B - C)’. Solución: (a) El conjunto A’ consiste en los elementos que están en U pero no en A. Por Por tanto, A’ = {5. 6, 7,8, 9}.



UTPL

107


OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTO CONJUNTOSS

(b) (c) (d) (e) (f) 25.

El conjunto de los elementos de U que no están en B es B’ = {1, 3, 5, 7, 9}. (A ∩ C) = {3, 4} y entonces (A ∩ C)’ = {1, 2, 5,6,7.8, 9}. (A ∪ B) = {1, 2, 3, 4, 6, 8} y entonces (A ∪ B)’ = {5, 7, 9}. A’ = {5, 6, 7, 8, 9} y entonces (A’)’ (A’)’ = {1, 2, 3, 4}, es decir, (A’)’ = A. (B - C) = {2, 8} y entonces entonces (B (B - C)’ = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

En el diagram diagramaa de Venn siguient siguiente, e, rayar (a) B’, (b) (A ∪ B)’, (c) (B - A)’, (d) A’ ∩ B’. A

B

Solución: (a) Como B’. complemento complemento de B, consta de los elementos que no no están están en B. se se raya el área exterior a B. A

B

B’ lo rayado

(b)

Primero se raya el área A ∪ B; luego, (A ∪ B)’ es el área exterior a (A ∪ B). A

B

A ∪ B lo rayado

(c)

B

(A ∪ B)’ lo rayado

Primero se raya B - A; y así (B - A)’ es el área exterior a B - A. A

B

B - A lo rayado

(d)

A

A

B

(B - A)’ lo rayado

Primero se raya A’, el área exterior exterior a A, con trazos oblicuos oblicuos inclinados inclinados a la derecha (///) y se raya B’ con trazos oblicuos inclinados a la izquierda (\\\\), entonces A’ ∩ B’ resulta ser el área con doble rayado. A

B

A’ y B’ lo rayado

A

B

A’ ∩ B’ lo rayado

Nótese que el área de (A ∪ B)’ es la misma que la de A’ ∩ B’.

108

UTPL




OPERACIONES FUNDAMENTALES CON L0NJUNTOS

26.

Demostrarr el Teorema de De Morgan: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’. Demostra Solución: Sea x ε (A ∪ B)’; así, pues, x no pertenece a A ∪ B. Por tanto, x A y x B, es decir, x ε A’ y x ε B’ y, por la denición de intersección, x pertenece a A’ A’ ∩ B’. Se ha demostrado que x ε (A ∪ B)’ implica x ε (A’ ∩ B’) es decir, que (A ∪ B)’ ⊂ (A’ ∪ B’)

Sea ahora y ε A A’’ ∩ B’; entonces y pertenece a A’ A’ e y pertenece a B’. Asi que y A e y B y, por tanto, y A ∪ B, o sea que y ε (A ∪ B)’. Queda demostrado que y ε (A’ ∩ B’) implica y ε (A ∪ B)’. es decir. que (A’ ∩ B’) ⊂ (A ∪ B)’ Por consiguiente, por la Denición 1-1, (A’ ∩ B’) = (A ∪ B)’. PROBLEMAS DIVERSOS

27.

Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, {b, d, e}. Hallar (a) A ∪ B, (b) B ∩ A. (c) B’. (d) B - A, (e) A’ ∩ B, (f) A ∪ B’, (g) A’ ∩ B’, (h) B’ - A’, (i) (A ∩ B’), (j) (A ∪ B’). Solución: (a) La unión de A y B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir. A ∪ B = {a, b, d. e}. (b) La intersección de A y B consta de los elementos que son comunes a A y B es decir, A ∩ B = {b, d} (c) El complemento de B consta de las letras letras que están en U pero no en B; así que B’ = {a, c}. (d) El conjunto B - A está formado formado por los elementos elementos de B que no están en A, esto es, B - A = {e}. (e) A’ = {c, e} y B = {b, d, e}; así que A’ ∩ B = {e}. (f) A = {a, b, d} y B’ = {a, c}; así que A ∪ B’ = {a, b, c, d}. (g) A’ = {c, e} y B’ = {a, c}; entonces A’ ∩ B’ = {c}. (h) B’ - A’ = {a}. (i) Según (b), A ∩ B = {b, d}; luego (A ∩ B)’ = {a, c, e}. (j) Según (a), A ∪ B = {a, b, d, e}; luego (A ∪ B)’ = {c}.

28.

En el diagrama de Venn que sigue, rayar (1) A ∩ (B ∪ C), (2) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (3) A ∪ (B ∩ C). (4) (A

∪ B) ∩ (A ∪ C).

A

B C

Solución:

(1)

Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha y rayar B ∪ C con trazos inclinados a la izquierda; entonces A ∩ (B ∪ C) es el área con doble rayado.

A

(2)

B

A

B

C

C

A y B ∪ C aparecen rayados

A ∩ B ∪ C lo rayado

Primero rayar A ∩ B con trazos inclinados a la derecha y A ∩ C con trazos inclinados a la izquierda: entonces (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) resulta ser el área total rayada como se muestra en seguida.



UTPL

109



A

A

B

B

C

C

A ∩ B y A ∩ C lo rayado

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) lo rayado

Nótese que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). (3)

Primero se raya A con trazos inclinados a la derecha derecha y se raya B ∩ C con trazos inclinados a la izquierda; así resulta ser A ∪ (B ∩ C) el área total rayada. A

(4)

A

B

B

C

C

A y B ∩ C lo rayado

A ∪ (B ∩ C) lo rayado

Primero se raya A ∪ B con trazos inclinados a la derecha y se raya A ∪ C con trazos inclinados a la izquierda; (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) es el área con doble rayado. A

A

B

B

C

C

A ∪ B y A ∪ C lo rayado

(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) lo rayado

Nótese que A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). 29.

Demostrar:: B - A es un subconjunto de A’. Demostrar Solución: Sea x perteneciente a B - A. Entonces x ε B y x A; por tanto, x es elemento de A’. Como x B - A implica x ε A’, B - A es subconjunto de A’.

30.

Demostrar:: B - A’ = B ∩ A. Demostrar Solución: B - A’ = { x | x ε B, x A’) =

{x | x B, x A} =

B ∩ A.

Problemas propuestos 31.

Sea el conjunto universal universal U = {a, b, c, d, e, f, g} y sean A = {a, b, c, d, e}, B ={a, c, e, g} y C = {b, e, f, g}. Hallar: (1) A ∪ C (2) B ∩ A

110

UTPL

(3) C - B (4) B’

(5) A’ - B (6) B’ ∪ C


(7) (A - C)’ (8) C’ ∩ A

(9) (A - B’)’ (10)) (A ∩ A’)’ (10 MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA



32.

Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces A ⊂ B’.

33.

En los diagramas de Venn que siguen. rayar (1) V ∩ W W,, (2) W’, (3) W - V, (4) V’ ∪ W, (5) V ∩ W’, (6) V’ - W’. V

V

W

(b)

(a)

34.

35.

36.

37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46.

W

Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos conjuntos no vacios A, B y C de de modo que A, B y C tengan tengan las siguientes caracteristicas: (1) A ⊂ B, C ⊂ B, A ∩ C = Ø (3) A ⊂ C, A ≠ C, B ∩ C = Ø (4) A ⊂ (B ∩ C), B ⊂ C, C ≠ B, A ≠ C (2) A ⊂ B, C ⊄ B, A ∩ C ≠ Ø Determinar: (1) U ∩ A (3) Ø’ (5) A’ ∩ A (7) U ∪ A (9) A ∩ A (2) A ∪ A (4) Ø ∪ A (6) U’ (8) A’ ∪ A (10) Ø ∩ A. Completar las siguientes armaciones insertando ⊂, ⊃ o no (no comparables) entre cada par de conjuntos. Aquí A y B son conjuntos arbitrarios. (1) A...A - B (3) A’...B - A (5) A’...A - B (2) A...A ∩ B (4) A... A ∪ B (6) A... B - A La fórmula A - B = A ∩ B’ puede denir la diferencia de dos conjuntos mediante las solas operaciones de intersección y complemento. Encontrar una fórmula que dena la unión de dos conjuntos, co njuntos, A ∪ B, mediante estas dos operaciones de intersección y complemento. Demostrar: A - B es un subconjunto de A ∪ B. Demostrarr el Teorema 2-1 : A ⊂ B implica A ∩ B = A. Demostra Demostrar: Si A ∩ B = Ø, entonces B ∩ A’ = B. Demostrarr el Teorema 2-2: A ⊂ B implica A ∪ B = B. Demostra Demostrar: Demostra r: A’ - B’ = B - A . Demostrarr el Teorema 2-3: A ⊂ B implica B’ ⊂ A Demostra A’.’. Demostrar: Si A ∩ B = Ø. entonces A ∪ B’ = B’. Demostrar: (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’. Demostrarr el Teorema 2-4: A ⊂ B implica A ∪ (B - A) = B. Demostra Respuestas a los problemas propuestos

31. 32. 33.

(1) U (3) {b, f} (5) {f} (7) C = {b, e, f, g} (9) {b, d, f, g} (2) {a, c, e} (4) {h, d, f} (6) {b, d, f, c, g) (8) {a, c, d} (10) U Demostración: Sea x ε A. Como A y B son disjuntos x B; luego x pertenece a B’. Queda demostrado que x ε A implica x ε B’, es decir, que A ⊂ B’. (a) (1)

(3) V

V

W

(4) V

W

W’ lo rayado


V

W

W

V ∩ W’ lo rayado

W - V lo rayado

V ∩ W lo rayado

(2)

(5)

(a)

(6) V

W

V’ ∪ W’ lo rayado

V

W

V’ - W’ lo rayado


UTPL

111



(b)

(1)

(3)

V

(4)

(6)

W’ lo rayado

(1)

W

V

W

V

W

V ∩ W’ lo rayado

W - V lo rayado

V ∩ W lo rayado

(2)

W

V

W

V

34.

(5)

V

W

V’ - W’ lo rayado

V’ ∪ W lo rayado

(3) C

B

A

B

C

(2)

A

(4) C

A

C B

A

B

35.

(1) A

(2) A

36.

(1) ⊃

(2) ⊃ (3) ⊃ (4) ⊂ (5) nc (6) nc

37.

A ∪ B = (A’ ∩ B’)’.

112

UTPL

(3) U (4) A (5) Ø (6) Ø (7) U (8) U (9) A (10) Ø




EJERCICIO 0.8

En los problemas 1 al 20,suponga U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} A = {a, b, c, d, e}, B = {d, e, f, g}, C = {e, f, g, h, i}, D = {a, c, e, g, i}, E = {b,d, f, h}, F = {a, e, i}, y determine lo se indica. 1. 3. 5. 7. 9. 11. 13. 15. 17. 19.

A ∪ B C ∩ D A ∩ C C ∪ D A’ B - A A- B A ∩ (B ∪ C C)) (A ∩ D D)) - B (C Δ A A)) - E

2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 20.

A ∩ B E ∪ F A ∩ C E ∩ F B’ E’ ∩ F’ E’ (E ∪ F)’ (A ∩ B) ∪ (A ∪ C) (A - E)’ (B Δ F)’ ∪ A

En los problemas 41 al 50, suponga dados los conjuntos A, B, C no vacíos; use diagramas de Venn para ilustrar los resultados obtenidos al efectuar las operaciones indicadas en las expresiones dadas. 41. 43. 45. 47. 49.

A ∪ B A - D (A’ ∩ B’) ∩ C’ A’ ∩ B (A’ Δ B’) ∩ C’

42. 44. 46. 48. 50.

A ∩ B A Δ B B’ ∪ A A’’ (A ∪ B)’ ∩ (A ∩ C)’ A ∩ B’

En los problemas 51 al 56, si sabemos que un conjunto G es subconjunto de un conjunto conjunto A no vacío, determine la veracidad de los enunciados dados. 51. A ∩ B = G 53. (G - A) ⊃ A A ∪ G 55. G Δ A = A ∪

52. G ∪ A = A 54. (G - A) ⊇ G 56. (A-G)∩A = (A - G)

51.

52.

53.

54.

En los problemas 21 al 30, suponga los conjuntos K = {2, 4,,6, 8}, L = {1, 2, 3, 4}, M= {3, 4, 5, 6, 8}, U = {1, 2, 3,..., 10}, y determine En los problemas 57 al 62, considere los lo que se indica. conjuntos A1 = {2, 3, 5}, A2 = {1, 4}, A3 = {1, 2, 3,} A4 = {1, 3, 5, 7}, A5 = {3, 5, 8}, A6 = {1, 21. K’ 22. (K ∪ L)’ 7}, U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, y determine 23. (M’ ∩ K K)) 24. K Δ M’ lo que se indica. 25. (K - L)’ ∆ M 27. U’ - Ø Ø’’ 29. (U’)’ ∆ Ø

26. (M’ - K’) - L 28. U Δ L 30. (K ∆ L) M

En los problemas 31 a 40, suponga que los 56. conjuntos A, B, C son cualesquiera. U el 55. conjunto universo y Ø vacío, y simplifique En los problemas 63 al 67, considere las esxpresiones dadas. conjuntos A y B cualesquiera y realice las demostraciones propuestas propuestas.. 31. (A ∩ U) ∪ ∅ 32. (A-U)∩(B-∅) 33. 35. 37. 39.

(Ø∪A)∩(B∪A) (B∪U)∩(A∩A’)’ U ∩ U B∆Ø

34. 36. 38. 40.


A ∩ (A ∪ B) (A ∩ A’)’ A Δ U (B ∆ U)’

63. Demuestre que (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ 64. De Demu mues estr tree qque ue (A ∪ B) ∩ B’ = A si y sólo si A ∩ B = Ø 65. Demu Demuestre estre que si si A y B son son subconjun subconjuntos tos de U, entonces A ∩ B’ = A si y sólo si A ∩ B=Ø 66. De Demu mues estr tree que que (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 67. De Demu mues estr tree que que (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)


UTPL

113


EJERCICIO 0.9 En los problemas 1 al 6, suponga que |B| = 12, |C| = 11, |D| = 8, |B ∪ C | = 20, |B ∪ D| = 20 y |D ∩ C| =3 y determine lo que se indica. 1. 3. 5.

|B ∩ C|

2. 4. 6.

|D ∪ C| |B - C|

|B - D| |B ∩ D|

15.

16.

|B Δ D|

En los problemas 7 al 10, suponga que |A| = 35, |B| = 23, |C| = 28, |A ∩ B| = 15, |A ∩ C| = 13, |B ∩ C| = 11, |A ∪ B ∪ C | = 52, y determine lo que se indica. 7. 9. 11.

12.

13.

14.

114

|A ∩ B ∩ C| |(A ∩ B) - C|

8. |(A ∩ C) - B| 10. |(A ∩ C) - A|

17.

En una encuesta de 60 personas se encontró que 25 leen revistas políticas, 26 leen revistas cientícas y 26 leen revistas de 18. entretenimiento. Se determinó además que nueve personas leen revistas políticas y de entretenimiento, once leen revistas políticas y cientícas, ocho leen revistas cientícas y de entretenimiento y ocho no leen revista alguna. (a) Determine el número de personas que leen los tres tipos de revistas. (b) Determine el número de personas que leen exactamente un tipo de revistas. Una encuesta a 100 músicos populares mostró 19. que 40 de ellos usaban guantes en la mano izquierda y 39 usaban guantes en la mano derecha. Si 60 de ellos no usaban guantes, ¿cuántos usaban guantes en la mano derecha solamente? ¿cuántos usaban guantes en la mano izquierda solamente?, ¿cuántos usaban guantes en ambas manos? En la clase de educación física se inscribieron 20. 200 estudiantes; se les pregunto si querían trotar o nadar como únicas dos alternativas. Decidieron trotar 85 de ellos, 60 también aceptaron nadar. En total, ¿cuántos tomaron natación?, ¿cuántos tomaron natación pero no aceptaron trotar? Un archivo de datos de tamaño igual a 96k debe ser cppiado en un minidisco de capacidad 143k. Si 100k del disco está ocupado con otros archivos, ¿cuál esl mínima cantidad del disco que debe ser borrada para poder almacenar el nuevo archivo?

UTPL


De 30 estudiamcs en una dase de matemática, 26 aprobaron el primer examen parcial y 21 aprobaron el segundo examen parcial. Sí dos estudiantes reprobaron ambos exámes, ¿cuántos aprobaron ambos exámenes? Un total de 60 clientes potenciales visitaron una tienda de artículos de computadores. De éstos, 52 compraron algún articulo; 20 compraron papel, 36 compraron disquetes y doce compraron cintas para impresoras. Si seis compraron papel y disquetes, nueve compraron disquetes y cintas y cinco compraron papel y cintas, ¿cuántos compraron los tres artículos? Un total de 35 sastres fueron entrevistados para un trabajo; 25 sabían hacer trajes, 28 sabían hacer camisas, y dos no sabían hacer ninguna de las dos cosas, ¿cuántos sabían hacer trajes y camisas? A principios de los años setenta se hizo una encuesta a 120 residentes de una ciudad latinoamericana sobre su interés en los tres equipos del área más cercana a la ciudad. De éstos, 40 seguían al equipo A, 28 seguían al equipo B y 31 al equipo C; 23 seguían al A y al B; 19 seguían al equipo B y al equipo C, 25 seguían al equipo A y al equipo C y 18 personas seguían a los tres equipos. ¿Cuántas de estas personas no seguían a equipo alguno? ¿cuántos seguían al equipo A y al equipo al equipo C, pero no al equipo B? De 1200 estudiantes de primer año en una universidad. 582 tomaron educación física, 627 tomaron español, 543 tomaron matemática, 217 tomaron educación física y español, 307 tomaron educación física y matemática, 250 tomaron matemática y español, 122 tomaron los tres cursos. ¿Cuántos no tomaron ninguno de los tres cursos? En una encuesta aplicada a 260 estudiantes se obtuvieron los siguientes datos: 64 toman un curso de matemática. 94 toman un curso de computación, 58 toman un curso de administración, 28 toman cursos de matemática y administración, 26 toman cursos de matemática y computación, 22 toman cursos de administración y computación, y 14 toman los tres cursos. a) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta no toman ninguno de los tres cursos? b) ¿Cuántos de los estudiantes de la encuesta toman sólo el curso de computación?



ANEXO.

2

APLICACIONES Recuerde que el término función es igual que aplicación, este último es utilizado por el autor del texto básico para una mejor comprensión del tema.



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115


PROBLEMAS DIVERSOS

43.

Sea la función f: R → R denida por f(x) = x 2 - 3x + 2. Hallar: (a) (b) (c) (d)

f( -3) f(2) - f(-4) f(y) f(a 2)

( e) (f) (g) (h)

f(x2) f(y - z) f(x + h) f( f(x +3)

(i) (j) (k) (l)

f(2x - 3) f(2x - 3) + f(x + 3) f(x2 - 3x + 2) f(f(x))

(m) (n) (o)

f(f(x + 1)) f(x + h) - f(x) [f(x + h) - f(x)]/h

Solución: La función hace corresponder a cada elemento el cuadrado del elemento menos 3 veces el elemento más 2. (a) f(-3) = (-3)2 - 3(-3) + 2 = 9 + 9 + 2 = 20 (b) f(2) = (2)2 - 3(2) + 2 = 0, f(-4) = (-4)2 - 3(-4) + 2 = 30. Entonces f(2) - f(-4) = 0 - 30 = -30 2 2 (c) f(y) = (y) - 3(y) + 2 = y - 3y + 2 (d) f(a2) = (a2)2 - 3(a2) + 2 = a4 - 3a2 + 2 (e) f(x2) = (x2)2 - 3(x2) + 2 = x 4 - 3x2 + 2 (f) f(y - z) = (y - z)2 - 3(y - z) + 2 = y 2 - 2yz + z2 - 3y + 3z + 2 (g) f(x + h) = (x + h)2 - 3(x + h) + 2 = x 2 + 2xh + h 2 - 3x - 3h + 2 (h) f(x + 3) = (x + 3)2 - 3(x + 3) + 2 = (x 2 + 6x + 9) - 3x - 9 + 2 = x2 + 3x + 2 (i) f(2x - 3) = (2x - 3)2 - 3(2x - 3) + 2 = 4x2 - 12x + 9 - 6x + 9 + 2 = 4x2 - 18x + 20 (j) Usando (h) e (i) tenemos f(2x - 3) + f(x + 3) = (4x 2 - 18x + 20) + (x 2 + 3x + 2) = 5x 2 - 15x + 22 (k) f(x2 - 3x + 2) = (x 2 - 3x + 2) 2 - 3(x2 - 3x + 2) + 2 = x 4 - 6x3 + 10x2 - 3x (1) f(f(x)) = f(x2 - 3x + 2) = x 4 - 6x2 + 10x2 - 3x (m) f(f(x + 1)) = f([(x + 1)2 - 3(x + 1) + 2]) = f([x 2 + 2x + 1 - 3x - 3 + 2]) = f(x2 - x) = (x 2 - x)2 - 3(x2 - x) + 2 = x 4 - 2x3 - 2x2 + 3x + 2 (n) Para (g), f(x + h) = x2 + 2xh + h 2 - 3x - 3h + 2. De donde f(x + h) - f(x) = (x 2 + 2xh + h 2 - 3x - 3h + 2) - (x 2 - 3x + 2) = 2xh + h 2 - 3h (o) Empleando (n) tenemos [f(x + h) - f(x)]/h = (2xh + h 2 - 3h)/h == 2x + h - 3

44.

Sean las funciones f: R → R y g: R → R denidas por f(x) = 2x - 3 y g(x) = x2 + 5. Hallar (a) f(5), (b) g( -3), (c) g(f(2)), (d) f(g(3)), (e) g(a -1), (f) f(g(a -1)), (g) g(f(x)), (h) f(g(x + 1)), (i) g(g(x)). Solución: (a) f(5) = 2(5) - 3 = 10 - 3 = 7 (b) g(-3) = (-3)2 + 5 = 9 + 5 = 14 (c) g(f(2)) = g([2(2) - 3)) = g([4 - 3]) = g(1) = (1)2 + 5 = 6 (d) f(g(3)) = f([32 + 5]) = f([9 + 5]) = f(14) = 2(14) - 3 = 25 (e) g(a - l) = (a - 1)2 + 5 = a2 - 2a + 1 + 5 = a 2 - 2a + 6 (f) Usando (e) tenemos f(g(a - 1)) = f(a2 - 2a + 6) = 2(a 2 - 2a + 6) - 3 = 2a 2 - 4a + 9 (g) g(f(x)) = g(2x - 3) = (2x - 3)2 + 5 = 4x2 - 12x + 14 (h) f(g(x + 1)) = f([(x + 1)2 + 5]) = f([x2 + 2x + 1 + 5]) = f(x2 + 2x + 6) = 2(x 2 + 2x + 6) - 3 = 2x 2 + 4x + 9 (i) g(g(x)) = g(x2 + 5) = (x 2 + 5)2 + 5 = x4 + 10x2 + 30

116

UTPL




Problemas propuestos DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 45.

46.

Decir cuándo los diagramas siguientes siguientes denen denen o no una función de { 1, 2, 3} en en {4, 5, 6}.

1

4

1

4

1

4

2

5

2

5

2

5

3

6

3

6

3

6

(3) (2) (1) Denir por una fórmula las siguientes funciones: (1) Hacer corresponder a todo número real por f su cuadrado más 3. (2) A cada número real asignarle por g el número más el valor absoluto del número. (3) A todo número número real real mayor o igual que 3 atribuirle por h el número número al cubo; y a cada número número menor o igual que 3 atribuirle por h el número 4.

47.

Sea la función f: R → R denida por f(x) = x 2 - 4x + 3. Hallar (1) f(4), (2) f(- 3), (3) f(y-2z), (4) f(x - 2).

48.

Sea la función g : R → R denida por g(x) = Hallar (1) g(5), (2) g(0), (3) g(-2).

49.

Sea T = [-3, 5] y sea la función f: T → R denida por f(x) = 2x 2 - 7. Calcular (a) f(2), (b) f(6), (c) f(t - 2).

50.

Sea la función h: R → R denida por h(x) = Calcular (a) h(3), (b) h(12), (c) h(- 15), (d) h(h(5)), es decir decir,, h2(5).

51.

Sean X = {2, {2, 3} e Y = {1, {1, 3, 5}, ¿Cuántas ¿Cuántas funciones diferentes hay de X en Y?

DOMINIO DE IMAGENES DE UNA FUNCIÓN 52.

Los diagramas siguientes siguientes denen denen funciones funciones f, g y h que aplican el conjunto {1, 2, 3, 4} en sí mismo.

f 1 2 3 4

g 1 2 3 4

1 2 3 4

h 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

Averiguar (1) el dominio de imágenes de f (2) el de g, (3) el de h. 53.

Dado W = {- 1, 0, 2, 5, 11}, Sea la función f: W → R denida por f(x) = x 2 - x - 2 ¿ Cuál es el dominio de imágenes de f?

54.

Considérense las seis funciones siguientes:

Si cada función viene denIda por ]a misma fórmula. f(x) = x2 es decir. si cada función asigna a cada número x el x2 , calcular el dominio dominio de imágenes imágenes de (1) f 1 , (2) f 2 , (3) f 3 , (4) f 4 , (5) f 5 , (6) f 6.



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117


55.

Dadas las seis funciones del Problema 54. denida cada una por la fórmula f(x) = x3

o sea que a cada número x cada función le asigna el x 3 , encontrar el dominio de valores de (1) f 1 , (2) f 2 , (3) f 3 , (4) f 4 , (5) f 5 , (6) f 6. 56.

Si las funciones del Problema 54 se denen por la fórmula f(x) = x - 3

hallar el dominio de imágenes de (1) f 1 , (2) f 2 , (3) f 3 , (4) f 4 , (5) f 5 , (6)f 6 , 57.

Si las funciones del Problema 54 se denen por la fórmula f(x) = 2x + 4

averiguar el dominio de imágenes de (1) f 1 , (2) f 2 , (3) f 3 , (4) f 4 , (5) f 5 , (6) f 6. 58.

Seaf: A → B. En lo que sigue. ¿qué es cierto siempre? (1) f(A) ⊂ B, (2) f(A) = B, (3) f(A) ⊃ B.

FUNClONFS INYECTIV INYECTIVAS AS

59.

Sea f: X → Y Y.. Decir entre las condiciones siguientes cuándo se dene o no una función inyectiva: (1) f(a) = f(b) implica a = b. (2) a = b implica f(a) = f(b).

(3) f(a) ≠ f(b) implica a ≠ b. (4) a ≠ b implica f(a) ≠ f(b).

60.

Decir de cada función del Problema 54 si es o no inyectiva.

61.


62.


63.

Demostrar: Si f: A → B es inyectiva y si g : B → C es inyectiva, la función producto g o f: A → C es inyectiva.

FUNCIONES PRODUCTO

64.

En el siguiente diagrama se representan las funciones f: A → B, g : B → A, h : C→B, F: B → C y G: A

→ C.

G

A g f

C h

B

F

Decir en lo que sigue cuándo se dene una función producto. y siendo el caso, determinar su dominio y su codominio.

(1) g o f, (2) h o f, (3) F o f, (4) G o f, (5) g o h, (6) F o h, (7) h o G o g, (8) h. o G. 65.

Dadas las funciones f, g y h del Problema 52, hallar las funciones funciones producto producto (1)f o g, (2) h o f, (3) g o g, o sea g2.

66.

Sean las funciones f: R -+ R y g ; R -+ R denidas por

f(x) = x2 + 3x + 1, g(x) = 2x - 3 Dar fórmulas para las funciones producto (1) f o g, (2) g o f, (3) g o g, (4) f o f. 67.

Sean las funciones f: R → R y g: R → R denidas por f(x) = x2 - 2 |x , |,

g(x) = x2 + 1

Hallar (a) (g o f)(3), (b) (f o g)(-2), g)(-2), (c) (g o f)(-4), (d) (f o g)(5).

118

UTPL




RECIPROCA DE UNA FUNCIÓN 68.

Sea f: R → R denida por f(x) = x 2 + 1. Hallar (1) f -1(5), (2) f -1 (0), (3) f -1 (10), (4)f -1 (-5), (5) f -1 ([10,26]), (6) f -1 ([0, 5]), (7) f -1 ([-5, 5]), (8) f -1 ([-5, 5]).

69.

Sea g: R → R denida por g(x) = sen x. Hallar (1) g -1 (0), (2) g-1(1), (3) g-1(2), (4) g-1([ -1, 1]).

70.

Seaf: A → B, Averiguár f -1 (B).

PROBLEMAS DIVERS0S

71.

Sea f: R → R denida por f(x) = 3x + 4, f es, pues, inyectiva y sobreyectiva. Dar una fórmula que dena f -1.

72.

Sean A = R - {- 1/2} y B = R - {1/2}. Sea f: A → B denida por f(x) = (x - 3)/(2x + 1) Entonces f es inyectiva y sobrcyectiva. Hallar una fórmula para denir f -1.

73.

Sea W= [0, ∞[ Dadas las funciones f: W → W.g : W → W y h : W → W denidas por

f(z) = x2 ,

g(x) = x2 + l,

h(x) = x + 2

¿cuál de estas funciones. si la hay hay,, es sobrcyectiva? 74.

Sea la función f: R → R denida por f(x) = x 2 + x - 2. Hallar (a) f(3) (b) [(-3) - f(2)

75.

(c) f(x - 2) (d) f(f(-2))

(e) f(y) (f) f(x + h)

(g) f(x + h) - f(x) (h) f(f(x)

(i) [-1 (10) (j) f -1 (4)

(k) f -1 (-5)

Sean f: A → B, g: B → A y g o f = 1A la función idéntica sobre A. Decir qué es cierto o falso entre lo que sigue: (1)

g = f-1 .

(3) f es una fun funció ciónn iny inyect ectiva iva..

(2)) (2

f es es una una fu func nció iónn sob sobre reye yect ctiv iva. a. (4 (4)) g es es una una fu func nció iónn sob sobre reye yect ctiv iva. a.

(5) g es un unaa fun funció ciónn iny inyect ectiva iva..


(1) No, (2) Si, (3) No.

46.

(1) f(x) = x2 + 3, (2) g(x) = x + | x |, (3) h(x) =

47.

(1) 3, (2) 24, (3) y2 - 4yz + 4z2 - 4y + 8z + 3, (4) x 2 - 8x + 15 .

48.

(1) 10, (2) 2, (3) 0 .

49.

(a) 1, (b) No denido. pues 6 no pertenece al dominio de denición. (c) 2t 2 - 8t + 1 si -1 ≤ t ≤ 7.

50.

(a) 6, (b) 29, (c) -19. (d) 45.

51.

Nueve.

52.

(1) {1, 2, 4}, (2) {1, 2, 3, 4}, (3) {1, 3},

53.

{0, -2, 18, 108}.

54.

(1) [0, 4], (2) [0, 9], (3) [0, 9], (4) [25, ∞[, (5) [0, 16[, (6) [0, 25].



UTPL

119


55.

(1) [-8, 8], (2) [0, 27], (3) [-27, [-27, 0], (4) ]-∞, ]-∞, -125], (5) [-1, 64[, (6) [-125, 27[.

56.

(1) [-5, -1], -1], (2) [-3, 0), (3) [-6, -3], -3], (4) ]-∞, -8], (5) [-4, [-4, 1[, (6) [-8, [-8, 0[.

57.

(1) [0, 8], (2) [4, 10], (3) [-2, [-2, 4], (4) ]-∞, ]-∞, -6], (5) [2, 12[, (6) [-6, [-6, 10[.

58.

f(A) ⊂ B.

59.

(1) Sí, (2) No, (3) No, (4) Sí.

60.

(1) No, (2) Sí, (3) Sí, (4) Sí. (5) No, (6) No.

61.

Todas son inyectivas.

62.

Solo g es inyectiva.

63.

Hay que demostrar que que (g o f)(a) f)(a) = (g o f)(b) implica implica a = b. Sea (g o f)(a) = (g o f)(b). f)(b). Entonces, Entonces, por la denición de función producto, g(f(a)) ≅ (g o f)(a) = (g o f)(b) ≅ g(f(b)). Como g es inyectiva, f(a) = f(b), y como f es inyectiva, a = b. Por consiguiente, g o f es inyectiva.

64.

(1) g o f: A → A, (2) No denido, (3) F o f: A → C, (4) No denido, (5) g o h : C →A. (6) F o h C → C, (7) h o G o g : B → B, (8) h o G : A → B.

65.

(1)

fog

(2) 1 2 3 4

1 2 3 4

hof

1 2 3 4

66.

(1) (f o g)(x) = 4x2 - 6x + 1 (2) (g o f)(x) = 2x2 + 6x - 1

67.

(a) 10, (b) 15, (c) 65, (d) 624

68.

(1) {-2, 2} (2) (Ø)

69.

(1) { ... , -2π, -π, 0, π, 2π, ... } = {x|x = nπ donde n ε Z}. (2) {x|x = (π/2) + 2πn donde n ε Z}. (3) Ø (4) R, el conjunto de todos los números reales.

70.

f -1 (B) = A

71.

f -1 (x) = (x - 4)/3

72.

f -1 (x) = (3 + x)/(1 - 2x)

73.

Solo f es sobreyectiva.

74.

(a) 10 (b) 0 (c) x2 - 3x

75.

(1) Falso, (2) Falso, (3) Cierto, (4) Cierto, (5) Falso.

120

UTPL

(3) {3, -3} (4) Ø

(3) (4)

(3)

gog 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

(g o g)(x) = 4x - 9 (f o f)(x) = x4 + 6x3 + 14x2 + 15x + 5

(5) {x | -5 ≤ x ≤ -3 o 3 ≤ x ≤ 5} (6) {x | -2 ≤ x ≤ 2}

(d) -2 (e) y2 + y - 2 (f) x2 + 2xh + h 2 + x + h - 2


(7) {0} (8) {x | x - 2 ≤ x ≤ 2}

(g) 2xh + h2 + h (h) x4 + 2x3 - 2x2 - 3x (i) {3, -4}

(j) {2, -3} (k) Ø



EJERCICIO 3.4 En los problemas 1 al 6, determine si la correspondencia dada por el conjunto de pares ordenados (x, y) es una función.

En los problemas 19 al 22, halle

donde h ≠ 0 es una constante.

1.

{(1, 2), (2,-3), (-4, 1), (1, 5)}

2.

{(1, 1), (2, 8), (-1, 1), (-2, 8)}

3.

{(0, 1), (1, 1), (2, 1)}

4.

{(0, 0), (1, 1), (2, 2)}

5.

{(4, 2), (-4, 3), (8, 6)(5, 4)}

6.

{(-3, 2), (6, 2), (-3, 9), (-6, 9)}

7.

Si f(x) = x2 - 2, halle f(0), f(-1), f(√2) y f(2).

8.

Si f(x) = x2 - 2x, halle f(0), f(√2) y f(-2)

9.

Sí f(x) = f(-1/2).

10.

Sí f(x) = f(-3/2).

11.

Si f(x) = (1/2).

, halle f(0), f(√2), f(-√2), y f

12.

Si f(x) = f(1/2).

, halle f(0), f(-2), f(√2), y

13.

Si f(x) = x2 - 3x3 , halle f(a2), f(a-1), f(a2), y f(1/b).

14.

Si f(x) = 2x2- x4 , halle f(a), f(a+1), f(a+1), y f(1/b)

15.. Si f( 15 f(x) x) = halle f(3), f(-3) 17. Si f(x) =

19. f(x) = x2 + 2 21. f(x) = x3

20. f(x) = -3x + x2 + 5 22. f(x) = 1/√x

En los problemas 23 y 24, halle

h donde h ≠ a es una constante.

23.

24. f(x) = x3 + x - 1

En los problemas 25 al 34, halle el dominio de la función.

, halle f(0), f(-8), f(1/2) y

, halle f(0), f(4), f(-2) y

En los problemas 35 al 42, halle el dominio y el rango de la función.

16. Si f( f(x) x) = halle f(-1), f(-2), y f(2) 18. Si f(x) =



UTPL

121


EJERCICIO 3.6 En los problemas 1 al 8, halle las funciones indicadas y dé sus dominios. 1.

f(x) = 3x - 2x + 4, g(x) = x - 1; f + g, fg

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

f(x) = x, g(x) = ; fg, f/g ; f+g, fg f(x) = 3x + , g(x)= 3x f(x) = 3x3 - 4x2 + 5x - 6, g(x) = (1 -x)5; f + g, f/g f(x) = x2 - 9, g(x) = x - 3; fg, f/g f(x) = (3x+2)1/2 , g(x) = (3x+ 2)+(3x+2)1/2; f - g, fg. ; f + g, fg f(x) = , g(x) = -2; f - g, f/g f(x) = 2 + 1 ,g(x) =

En los problemas 9 al 12, utilice la suma de las coordenadas y para graficar la función f + g. 9.

f(x)=x; g(x)=|x| 10. f(x)=x, g(x)=1/x

11. f(x)=x2 ,g(x)=2x 12. En los problemas 13 y 14, utilice las gráficas de y = f(x) y y = g(x) dadas para graficar y =f(x) + g (x). 13.

En los problemas 31 al 34, halle f o f y f o (1/f).

31.

f(x) = 6x - 2

32.

f(x) = (x-2)2 - 4x

33.

f(x) = 1/x2

34.

f(x) = f(x)

En los problemas 35 al 38, exprese la función F como una composición f o g de dos funciones f y g. 35. 37.

f(x) = 4x2+1 f(x) = (x-3)2 + 4

39. 40. 41. 42.

f(x) = 1/4(x-1 - 1), g(x) = 1/x2 , h(x) = 2x + 1 f(x) = , g(x) = x2 - 1, h(x) = f(x) = √x, g(x) = x2 , h(x) = x - l f(x) = -x2 , g(x) = 3x2 - x, h(x) =3x

En los problemas 43 y 44, halle las gráficas de las funciones indicadas, trasladando la gráfica de la función dada. 43. y

y

y = f(x) y = g(x)

f(x)=5x4 - 8x2 f(x}= 1 - 9x+ 2

En los problemas 39 al 42, halle (f o g o h) = f(g(h(x))) para las funciones dadas.

14.

y

36. 38.

y = g(x) x

x FIGURA 99

f(x) = x2

y = f(x)

x

FIGURA 100

En los problemas 15 al 24, halle f o g y g o f. FIGURA 101 (a) y = f(x) + 1 (b) y = f(x) -1 (c) y = f(x + 1) (d) y = f(x - 1) 44. y

En los probremas 25 al 30, halle el dominio de f o g.

f(x) = x + 2 x FIGURA 102 (a) y= f(x) + 2 (b) y = f(x) - 3 (c) y = f(x + 3) (d) y= f(x) - 4

122

UTPL




En los problemas 45 al 50, la gráfica dada es una gráfica trasladada de la función dada. Halle la ecuación de la gráca. 45.

f(x) = - x

46. y

49.

f(x) = x2

50.

y

f(x) = - x y

1

f(x) = x2 - 1

1

y

x 1 1

x

FIGURA 107

x

FIGURA 103 47.

48.

y

f(x) = (2 - x)1/2 y

x

1 1

x

FIGURA 105

FIGURA 108

En los problemas 51 al 56, halle la gráfica de la función indicada, de la gráfica de f.

FIGURA 104

f(x) = - x2

x

FIGURA 106

51.

f(x) = x2 , y = (x - 2)2 +3

52.

f(x) =

53.

f(x) = |x - 4| + 1, y = |x|

54.

f(x) = x3 , y = (x - 2)3 - 2

55.

f(x) = x2 - 4, y = -(x 2 - 4)

56.

f(x) =

4, y =

,y=

EJERCICIO 3.6 En los problemas 1 al 10, determine si la función dada es uno a uno, examinando su gráfica. Si f es uno a uno. Halle f -1.


En los problemas 11 al 20, la función dada es uno Halle f -1.


UTPL

123


En los problemas 21 al 24, verifique que las funciones En los problemas 37 y 38, trace la gráfica de f a partir dadas sean inversas entre sí. de la gráfica de f -1. 37.

y x y = f -1(x)

En los problemas 25 y 26, determine el dominio y el rango de f -1 , sin hallar la Inversa.

FIGURA 117

38. En los problemas 27 al 30, la función dada es uno a uno. Sin bailar f -1 , halle en el valor x indicado el punto correspondiente en la gráfica de f -1.

y

y = f -1(x) x FIGURA 118

En los problemas 31 al 34, trace las gráficas de f y f -1 , utilizando los mismos ejes de coordenadas.

Una definición equivalente a la función uno a uno está dada por lo siguiente: La función f es uno a uno si y sólo si f(x1) = f(x2) implica que x1 = x2 para x1 y x2 en el dominio de f. En los problemas 39 al 44, utilice esta definición para verificar que la función sea uno a uno.

En los problemas 35 y 36, trace la gráfica de f -1 a partir de la gráfica de f. 35.

y En los problemas 45 al 48, verifique que la función dada sea su propia inversa.

y = f(x)

x FIGURA 115

36.

y y = f(x)

En los problemas 49 y 50, la función f dada no es uno a uno. Halle F-1 para la función F yel dominio de F-1. x

FIGURA 116

124

UTPL




ANEXO.

3

RELACIONES



UTPL

125


RELACIONES (2)

(3)

El dominio de denición de lR ∩ lR’ es [- 1, 2], pues toda vertical por cada punto de este intervalo, y solo por esos puntos, contiene un punto de lR ∩ lR’. El dominio de imágenes de lR ∩ lR’ es [0, 4], porque toda horizontal por cada punto de este intervalo, y solo por esos puntos, contiene al menos un punto de lR ∩ lR’.

Problemas propuestos PROPIEDADES FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES DE LAS RELACIONES

41.

Sea lR una relación en A = {2, 3, 4, 5} denida por el enunciado formal «x e y son primos relativos», esto es, «el único divisor común de x e y es 1». (1) (2)

Averiguar el conjunto de solución de lR , o lo que es lo mismo, escribir escribir lR como un conjunto de pares ordenados. Representar lR en un diagrama de coordenadas de A x A.

42.

Sea lR la relación en B = {2, 3, 4, 5, 6} denida por el enunciado formal « |x - y| es divisible por 3». Escribir lR como un conjunto de pares ordenados .

43.

Dados C = {1, 2, 3, 4, 5} y la relación lR en C por el conjunto de puntos representados en el siguiente diagrama de coordenadas de C x C: 5 4 3 2 1 1

(1) (2)

2

{x | 3 lR x} {x | (4, x) ε lR}

(d)

Hallar (3) el dominio de denición de

lR.

lR}

(4) el dominio de imágenes de

lR ,

(5)

lR-1.

y < x2 - 4x + 2 y≥ +2

(3) (4)

x < y2 x ≥ sen y

Representar lR en el diagrama de R x R. Hallar (2) el dominio de denición de dominio de imágenes de lR.

lR.

(3 ) el

Sea lR = {(x, y) x ε R , y ε R , x2 - y2 ≥ 4}. (1)

47.

(c) {x | (x, 2) {lR | x lR 5}

Sea lR = {(x, y) x ε R, y ε R, x2 + 4y2 ≥ 4}. (1)

46.

5

Los enunciados formales que siguen denen sendas relaciones en los números reales. Representar cada relación en un diagrama de coordenadas de R x R.

(1) (2) 45.

4

Establecer si es verdadero o falso: (a) 1 lR 4, (b) 2 lR 5, (c) 3 lR 1, (d) 5 lR 3. Escribir los siguientes subconjuntos de C en forma tabular: (a) (b)

44.

3

Representar lR en el diagrama cartesiano de R x R. Hallar (2) el dominio de denición de (3) el dominio de imágenes de lR. (4) Denir lR-1.

lR.

Sea lR la relación en los números naturales N denida por el enunciado formal «x + 3y = 12». Dicho de otra manera. sea lR = {(x, y)| x ε N, y ε N, x + 3y = 12}

(1)

126

Escribir lR como un conjunto de pares ordenados. Hallar (2) el dominio de denición de lR , (3) el dominio de imágenes de lR. (4) lR-1

UTPL




RELACIONES

48.

Sea lR la relación en los números naturales N denida por 2x + 4y = 15. (1)

Escribir lR como conjunto de pares ordenados. Hallar (2) el dominio de denición de lR , (3) el dominio de imágenes de lR. (4) lR-1.

RELACIONES REFLEXIVAS. SIMETRICAS, ANTISIMETRICAS y TRANSITIV AS

49.

Dado W = {1, 2, 3, 4} considérense las siguientes relaciones en W: lR1 = {(1, 1), (1, 2)} lR2 = {(1, 1), (2, 3), (4, 1)} lR3 = {(1, 3), (2, 4)}

lR4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} lR5 = W x W

Establecer para cada una si es o no: (1) simétrica, (2) antisimétrica, (3) transitiva. (4) reexiva.

50.

Establecer la verdad o falsedad de los razonamientos que siguen, suponiendo que lR y relaciones en un conjunto A. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)

lR’

son

Si (lR es simétrica, entonces lR-1 es simétrica. Si lR es antisimétrica, entonces lR-1 es antisimétrica. Si lR es reexiva, entonces lR ∩ lR-1 ≠ Ø. Si lR es simétrica, entonces lR ∩ lR-1 ≠ Ø. Si lR es transitiva y lR’ es transitiva, entonces lR ∪ lR’ es transitiva. Si lR es transitiva y lR’ es transitiva, entonces lR ∩ lR’ es transitiva. Si lR es antisimétrica y lR’ es antisimétrica, entonces lR ∪ lR’ es antisimétrica. Si lR es antisimétrica y lR’ es antisimétrica, entonces lR ∩ lR’ es antisimétrica. Si lR es reexiva y lR’ es reexiva, entonces lR ∪ lR’ es reexiva. Si lR es reexiva y lR’ es reexiva, entonces lR ∩ lR’ es reexiva.

51.

Sea L el conjunto de rectas del plano euclidiano y sea la relación lR denida en L por «x es paralela a y». Decir si lR es o no (1) reexiva, (2) simétrica, (3) antisimétrica, (4) transitiva. (Se acepta que una recta es paralela a si misma.)

52.

Dado L, el conjunto de rectas del plano eudidiano, sea lR la relación en L denida por «x es perpendicular a y». Decir si lR es o no (1) reexiva, (2) simétrica, (3) antisimétrica, (4) transitiva.

53.

Dada una familia A de conjuntos, sea lR la relación denida en A por «x es disjunto de y». Decir si lR es o no (1) reexiva, (2) simétrica, (3) antisimétrica, (4) transitiva.

54.

¿Qué clase de relación es lR si (1) lR ∩ lR-1 = Ø, (2) lR = lR-1?

55.

Cada enunciado formal de los que siguen dene una relación en los números naturales N.

(1) «x es mayor que y». (2) (x es múltiplo de y».

(3) «x por y es el cuadrado de un número». (4) «x + 3y = 12».

Decir de cada relación si es o no (a) reexiva, (b) simétrica, (e) antisimétrica, (d) transitiva. RELACIONES Y FUNCIONES

56.

Dado T = {a, b, c, d}, considerar las siguientes relaciones en T: (1) (2) (3)

lR1 = {(a, b), (b, c), (c, d), (d, a)} lR2 = {(b, a), (c, d), (b, a), (a, b), (d, b)} lR3 = {(d, c), (c, b), (a, b), (d, d)}

(4) (5)

lR4 = {(a, a), (b, a), (c, a), (d, d)} lR4 = {(b, a), (a, c), (d, d)}

Establecer si cada relación es o no una función. 57.

Sea A = [-4, 4], B = [0, 4], C = [-4, 0], y sea el enunciado formal formal P(x, P(x, y) que quiere quiere decir «x2 + 4y2 = 16». Considerar las relaciones siguientes: (1) (2)

lR1 = (A, B, P(x, y)) lR2 = (A, C, P(x, y))

(3) (4)

lR3 = (B, A, P(x, y)) lR4 = (B, C, P(x, y))

Representar cada relación en un plano cartesiano como en el Problema 36, y establecer si la relación es o no una función.



UTPL

127


RELACIONES 58.

Dados A = [0, ∞[, B = ] - ∞, 0], C = [2, ∞ [, D = ]- ∞, -2] y el enunciado formal P(x, y) que signica «x2 - y2 = 4» considerar la relación lR = (X, Y, P(x, y))

donde X e Y son conjuntos desconocidos. Si X e Y pueden ser cualesquiera de los cuatro conjuntos anteriores. ¿cuáles de las dieciseis relaciones son funciones? (Sugerencia: primero representar P(x, y) en un plano cartesiano.) 59.

Sea A cualquier conjunto. (1) (2)

60.

¿Hay más de una relación reexiva en A que sea una función? ¿Hay alguna relación reexiva en A que sea una función?

Demostrar: Si A no es vacío y lR es una relación transitiva en A que no contiene ningún «elemento de la diagonal (x, x) ε A x A, entonces lR no es una función en A.

PROBLEMAS DIVERSOS

61.

Considérense las siguientes relaciones en los números reales: lR = {(x, y) | x ε lR, y ε lR , x2 + y2 ≤ 25} lR’ = {(x, y) | x ε lR, y ε lR , y ≥ 4x2/19}

(1) (2) (3) 62.

Representar la relación lR ∩ lR’ en un diagrama de coordenadas de R x R. Averiguar el dominio de denición de lR ∩ lR’. Hallar el dominio de imágenes de lR ∩ lR’.

Considérense los siguientes conjuntos de pares de números reales, o sea relaciones en R: (1) {(x, y) | x2 + y2 ≤ 25 } ∩ {(x, y) | y ≥ 3x/4} (2) {(x, y) | x2 + y2 ≥ 25 } ∩ {(x, y) | y ≥ 4x2/9} (3) {(x, y) | x2 + y2 ≤ 25 } ∪ {(x, y) | y ≥ 4x2/9} (4) {(x, y) | x2 + y2 < 25 } ∩ {(x, y) | y < 3x/4} Representar cada relación en un diagrama de coordenadas de R x R y establecer el dominio de denición y el domimo de imágenes.

63.

Sea A el conjunto de las personas. Cada enunciado formal siguiente dene una relación lR. Para cada una de estas relaciones, hallar un enunciado formal, el llamado a veces «enunciado recíproco», que dena la relación recíproca.

(1) «x es el marido de y» (2) «x es mayor que y» (3) «x es más alto que y» 64.

(4) «x es más rico que y» (5) «x es más inteligente que y»

Sean N los números naturales. Cada enunciado formal de los que siguen siguen dene una relación en N. Para cada una de tales relaciones. encontrar un enunciado formal que dena la relación recíproca.

(1) «x es mayor que y» (2) «x es mayor o igual que y»

(3) «x es múltiplo de y» (4) «2x + 3y = 30»


(1) lR = {(2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5,4)} (2) 5 4 3 2 2

128

UTPL

3

4

5


CG/gc-19-07-07-128


Teoria de Conjuntos Guia Didactica

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