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SISTEMAS ELECTRÓNICOS DE CONTROL

TEORÍA DE FILTROS Introducción Diagramas de Bode Filtros Eléctricos Filtro Pasivos y Activos Analógicos Consideraciones Generales Sobre los Filtros Diseño de un Filtro Pasa bajo Diseño de un Filtro Pasa alto Diseño de un Filtro Pasa banda Diseño de un Filtro Elimina Banda Tablas de Coeficientes 6°B – ELECTRÓNICA 2011

E.E.T Nº 460 “Guillermo Lehmann” Departamento de Electrónica Sistemas Electrónicos de Control

1. INTRODUCCIÓN El filtro eléctrico fue in entado de manera independiente en 1915 por eorge Campbell en Campbell en Estados Unidos y por K. . Wagner en en Alemani A lemania. a. Con el surgimien su rgimiento to de la l radio en el periodo Wagner 1910 1910 – 192 1920, 0, se se creó creó la necesidad de reducir el efecto del ruido e la estática en el radiorreceptor. Cuando s rgieron las transmisiones regulares de radio en la década de 1920, Campb mpbell y otros de desarrollaron lar l on el filt filtro ro RLC RLC uti utiliz lizand andoo ind induc ucto tore res, s, capa capacit cit res y resistencias. A estos filtros se les llama filtros pasivos de debido a que se componen de ele entos pasivos. En la década de 1930, S. Darlington, lington, S. Butterworth y E. A. Guillemin d sarrollaron la teoría nece necesa sari riaa para para dise diseña ñarr fil fil ros pasivos. pasivos. El filtro pasa pasa bajo tipo tipo Butterwort Butterwort se di a conocer en en 1930. Wireles Engineering en Cuando se incorporan disp dispos osititiv ivos os acti activo vos, s, de mane manera ra típi típica ca ampl amplifific icaadores operacionales, en un filtro eléctrico, al filtro se le llama filtro activo . Puesto que los inductores son relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores i utilizando, por ejemplo, sólo amplific dores operacionale operacionales, s, resistencias resistencias y capacitare capacitare . Los primeros filtros activos RC prácticos se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en un escrito clásico de R. P. Sallen y Sallen y E.L. Key (Sallen Key (Sallen y Key, 1955).

2. DIAGRAMAS DE BODE Es com común ún usar sar grá gráfificc s logarítmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de gráficas lineales. Las gráficas logarítmicas se denominan Diagramas de Bode en en honor de H. W. Bode, Bode, quien la las ut utilizó am ampliam nte en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Bell Telephone durante las décadas de 1930 y 1940. En los diagramas de ode se rep repres resen enta ta en for forma ma sep separ arada ada,, el el mód módulo de la función de respuesta en frecuencia en ordenadas, ordenadas, en una escala lineal expresad expresad en decibeles, y la frecuen frecuencia cia en absci abscisas sas e una escala logarítmica, obteniéndose así el diagrama de Bode de amplitud o módulo. El dia rama rama de Bode Bode de fase fase se se obt obtie iene ne llev llevan ando do la f se en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal lineal,, y la frecuenci frecuenciaa en abscisas abscisas en escala logarítmica. Para representar gráficamente los resultados, suele emplearse papel semilogarítmico, en el cual la mag magnitud tud, expres resada ada en en dec decib ibel eles es y el el áng ángul uloo de de fas fase, e, expre xpresado en grados, se representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logarítmica. El uso de escalas logarítmicas amplía el interv intervalo alo de las las frecuen frecuencia cias representadas en el eje horizontal. A continuación se obs rva un filtro pasa bajo pasivo y su función de tra sferencia:

Figura 1.- Filtro 1.- Filtro pasa bajo pasivo de 1º orden. 1

V OUT V IN

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=

1 1 C .s = = 1 1 + R.C .s 1 + τ .s R + C .s

6º B – Electrónica

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1. INTRODUCCIÓN El filtro eléctrico fue in entado de manera independiente en 1915 por eorge Campbell en Campbell en Estados Unidos y por K. . Wagner en en Alemani A lemania. a. Con el surgimien su rgimiento to de la l radio en el periodo Wagner 1910 1910 – 192 1920, 0, se se creó creó la necesidad de reducir el efecto del ruido e la estática en el radiorreceptor. Cuando s rgieron las transmisiones regulares de radio en la década de 1920, Campb mpbell y otros de desarrollaron lar l on el filt filtro ro RLC RLC uti utiliz lizand andoo ind induc ucto tore res, s, capa capacit cit res y resistencias. A estos filtros se les llama filtros pasivos de debido a que se componen de ele entos pasivos. En la década de 1930, S. Darlington, lington, S. Butterworth y E. A. Guillemin d sarrollaron la teoría nece necesa sari riaa para para dise diseña ñarr fil fil ros pasivos. pasivos. El filtro pasa pasa bajo tipo tipo Butterwort Butterwort se di a conocer en en 1930. Wireles Engineering en Cuando se incorporan disp dispos osititiv ivos os acti activo vos, s, de mane manera ra típi típica ca ampl amplifific icaadores operacionales, en un filtro eléctrico, al filtro se le llama filtro activo . Puesto que los inductores son relativamente grandes y pesados, los filtros activos suelen construirse sin inductores i utilizando, por ejemplo, sólo amplific dores operacionale operacionales, s, resistencias resistencias y capacitare capacitare . Los primeros filtros activos RC prácticos se inventaron durante la Segunda Guerra Mundial y se documentaron en un escrito clásico de R. P. Sallen y Sallen y E.L. Key (Sallen Key (Sallen y Key, 1955).

2. DIAGRAMAS DE BODE Es com común ún usar sar grá gráfificc s logarítmicas de la respuesta en frecuencia en lugar de gráficas lineales. Las gráficas logarítmicas se denominan Diagramas de Bode en en honor de H. W. Bode, Bode, quien la las ut utilizó am ampliam nte en su trabajo con amplificadores en los laboratorios de la Bell Telephone durante las décadas de 1930 y 1940. En los diagramas de ode se rep repres resen enta ta en for forma ma sep separ arada ada,, el el mód módulo de la función de respuesta en frecuencia en ordenadas, ordenadas, en una escala lineal expresad expresad en decibeles, y la frecuen frecuencia cia en absci abscisas sas e una escala logarítmica, obteniéndose así el diagrama de Bode de amplitud o módulo. El dia rama rama de Bode Bode de fase fase se se obt obtie iene ne llev llevan ando do la f se en ordenadas, en grados sexagesimales en forma lineal lineal,, y la frecuenci frecuenciaa en abscisas abscisas en escala logarítmica. Para representar gráficamente los resultados, suele emplearse papel semilogarítmico, en el cual la mag magnitud tud, expres resada ada en en dec decib ibel eles es y el el áng ángul uloo de de fas fase, e, expre xpresado en grados, se representan como ordenadas en la escala lineal o rectangular, en tanto que la frecuencia se representa como abscisa en la escala logarítmica. El uso de escalas logarítmicas amplía el interv intervalo alo de las las frecuen frecuencia cias representadas en el eje horizontal. A continuación se obs rva un filtro pasa bajo pasivo y su función de tra sferencia:

Figura 1.- Filtro 1.- Filtro pasa bajo pasivo de 1º orden. 1

V OUT V IN

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=

1 1 C .s = = 1 1 + R.C .s 1 + τ .s R + C .s


2


Donde s = jω , j = - 1 y R.C = τ El módu módulo lo de l función de transferencia es: V OUT V IN = El módulo V OUT V IN

≅ 1

1 2

1 + (τ .ω )

2

cuando ω = 0,1 τ , es igual a 0,707 cuando ω = 1 τ y es

aproximadamente igual a 0,1 cuando ω = 10 τ . Estos puntos son utilizad os en la gráfica de la figura 2 para realizar una proximación asintótica del diagrama. La curva asintótica apr xima ximada da de la gana gananc ncia ia está está form formad adaa por por dos dos re tas, una coincidente con con el el eje eje de frecu frecuen enci ciaas, y otra otra con con una una pend pendiiente ente de -6d -6dB B/oct /octav avaa (cada duplicación de frecu frecuen enci ciaa rec recib ibee el nomb nombre de octava) o -20dB/década la cual corta a la tra recta en el punto de abscisa ω = 1 τ , llam da pulsación de corte. El diagrama de fase ara el filtro pasa bajo o cualquier otra función de transferencia es calc calcul ulad adoo segú segúnn la sig sigui uien ente ecuación:

 Re  −1  ω .τ   = −tg    Im   1 

φ = tg −1 

Figu a 2.- Diagrama 2.- Diagrama de Bode de un filtro pasa bajo pasivo.

El diagra diagrama ma de fase es muc mucho ho más más di difíci fícill de de apr aprox oxim imaar ya ya que que la fu ción tangente no es lineal neal.. Norma rmalmen mente el cál ulo de de fase se realiz realizaa para la la frecuen frecuencia cia de de cort cort . Como regla general, t do polo real produce produce una caída caída de -6dB/octav -6dB/octav a partir de su valor cambia cambiado do de de signo signo,, y tod tod cero cero real real produ produce ce una una elev elevac ación ión de la la pend pendie ie te en +6dB/octava a partir partir de su su valor valor cambi cambiad ad de signo.

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3. FILTROS ELÉCTRICOS Se empieza considera do un filtro ideal. Por conveniencia, se supone que tanto la entrada como la salida de este filtro son voltajes. Este filtro ideal separa su voltaje de entrada en dos partes. Una parte se deja pasar sin modificación a la salida; la otra e elimina. En otras palabras, la salida de un iltro ideal es una copia exacta de parte de la e trada del filtro. Para entender cómo opera un filtro eléctrico, considérese el siguiente voltaje de entrada: v ent (t ) = cos ω 1 ⋅ t + cos ω 2 ⋅ t + cos ω 3 ⋅ t

Esta entrada consiste en una suma de señales senoidales, cada una en una frecuencia diferente. (Por ejemplo, lo voltajes periódicos pueden representarse de e ta manera utilizando la serie de Fourier ) . El filtro separa el voltaje de entrada en dos partes, utiilizando la frecuencia como base de la separación. Hay varias formas de separar esta entrada en dos partes y, por consiguiente, son diverso los tipos de filtros ideales. En la figura 3 se m estran los diferentes tipos de filtros que existen.

Figura 3.- Filtros ideales.

Si tomamos como eje plo el filtro pasa bajo ideal, que aparece en la figura 3, y planteamos su función de red obtene os:

1∠0º → ω < ω c H (ω ) =  0 → ω > ω c A la frecuencia ωc se l llama frecuencia de corte. La frecuencia de corte separa el intervalo de frecuencias en dos ba das, la banda de paso, en donde ω < ωc y la banda supresora o de corte, en donde ω > ωc. os componentes de la entrada cuyas frecuenci s están dentro de la banda de paso experime tan una ganancia unitaria y un desplazamient de fase nulo. Estos términos se dejan pasar, in modificación, a la salida del filtro. Los componentes de la entrada cuyas frecuencias están n la banda de corte experimentan una ganancia igual a cero. Estos términos se eliminan o suprimen. Un filtro ideal separa su entrada en do partes: los términos cuyas frecuencias están n la banda de paso y los términos cuyas fre uencias están en la

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banda de corte. La salida del filtro consta de los términos cuyas frecuencias están en la banda de paso. Desafortunadamente, los filtros ideales no existen, en realidad los filtros prácticos son aproximaciones a los idealles.

4. FILTR S PASIVOS Y ACTIVOS ANAL

ICOS

Un filtro analógico, co o su nombre lo indica, es un filtro que funcio a con componentes analógicos, por lo que puede ser implementado físicamente con el mentos tales como resistencias, bobinas, cap citores y amplificadores operacionales. Los filtros pasivos son conocidos por este nombre, puesto que para su implementación se utilizan dispositivos pasivos como lo son capacitores, bobinas y resistencias. La principal desventaja de estos filtros es el tamaño de la bobina, las cuales llegan a ser muy voluminosas a bajas frecuencias, de allí la necesidad de contar con filtros sin inductores. En los filtros activos se incluyen resistencias, capacitores y amplifica ores operacionales, eliminándose las bobinas obteniéndose las siguientes ventajas: •

La bobina es el ele ento que más aleja al filtro de su comportamie to ideal, sobretodo a bajas frecuencias, por lo que su eliminación permite mejorar el comportamiento del mismo.

•

Generalmente tienen muy alta impedancia de entrada y muy baja d salida, presentando por lo tanto muy b ena capacidad de aislamiento, permitiendo la onexión en cascada de células de filtrado sin afectar la respuesta, ya que prácticamente es independiente de las impedancias de carga y fuente.

•

Posibilidad de a plificación, tanto de tensión como de cor iente, particularidad importante para señales de bajo nivel.

•

Factor de calidad relativamente grande, alcanzando valores de hast Q = 500.

Facilidad de puesta a punto y regulación continúa de la banda pasa te. Por otro lado, los filtros ac ivos presentan las siguientes desventajas respe to a los pasivos: •

•

Necesidad de una o dos fuentes de alimentación que pueden introd cir ruido.

•

Limitación del margen dinámico de salida, para valores mayores a 10 V de amplitud de la señal de entrada el amplificador operacional puede saturarse, además la corriente de salida se limita a algunos miliamperes. Con valores bajos de am litud de la señal de entrada el ruido intrínseco del amplificador puede enmascarar la l señal. El margen dinámico está limitado a unos 120 dB.

•

Muy sensibles a lo cambios de temperatura y al envejecimiento de componentes, que producen un consi erable desplazamiento de los polos de la función de transferencia, con la posibilidad d tornar inestable al circuito.

•

Limitación del rang superior de frecuencias, no utilizándoselos en eneral más allá de 1 MHz.

En resumen, puede decirse que el campo de utilización reservado a l s filtros activos es el de baja frecuencia, donde el filtro pasivo resulta muy costoso por la dificultad de construir bobinas de alto Q.

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Figur 4.- Filtro pasa bajo de segundo orden pasi vo y activo .

5. CONSIDERA IONES GENERALES SOBRE L S FILTROS El circuito RC que se observa en la figura 5, constituye el filtro pasa bajo más simple de implementar.

Figura 5.- Filtro pasa bajo pasivo de 1°orden.

Su función de transfer ncia es la siguiente: 1

A( s) =

1 R.C = 1 1 + s. R.C s+ R.C

La función de respuesta en frecuencia del circuito se obtiene reemplea do s por jω . Así: A( jω ) =

1 1 + jω . R.C

Con el objeto de analizar el problema de una forma más general, norm lizaremos la variable de frecuencia compleja s por la siguiente definición: sn =

s

ω c

De donde: jω

ω c

= j

f f c

= jΩ = s n

La frecuencia de corte el circuito de la figura 5 viene dada por: f c =

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1 2.π . R.C


.

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Por lo tanto s n = s. R.C y la función de transferencia puede reescribirse de la siguiente manera: A( s ) =

1 1 + sn

Para el valor absoluto e la función de transferencia, es decir para la rellación de amplitud en las señales senoidales de entrada obtenemos: A( jΩ ) =

1 1 + Ω

2

Para Ω >> 1, es decir ara f >> fc, |A| = 1/ Ω; esto corresponde a una r ducción de ganancia de -20dB por década de frecuencia o -6dB por octava. Si se requiere un decr cimiento más pronunciado de ganancia, se pueden conectar n filtros pasa bajo en cascada, co o se observa en la figura 6.

igura 6.- Filtro pasa bajo pasivo de cuarto orden.

La expresión de la función de transferencia queda, en forma general, d la siguiente forma: (sn ) =

1 (1 + α 1 .s n ).(1 + α 2 .s n )...(1 + α n .s n )

donde los coeficientes α1, α2, α3 son reales y positivos. Para Ω >> 1, |A| e proporcional a 1/ Ωn; la ganancia disminuye e tonces n x 20 dB por década. Se puede v r que la función de transferencia posee n pol s negativos reales. Ésta es la característica d los filtros pasa bajo RC pasivos de orden n . Si se conectan en cascada filtros pasa bajo de idénticas frecuencias de corte desacoplados, se tiene: α 1 = α 2 = ...α n = α =

n

2 -1

Cada filtro paso bajo i dividual tiene entonces una frecuencia de corte que es igual a la del filtro completo multiplicad por el factor 1/ α. En la figura 7 se mues ra la respuesta en frecuencia de un filtro pasa ajo de 4°orden, que se obtuvo de la conexión en cascada de cuatro filtros pasa bajo de 1°ord n. La atenuación de cada filtro individual es d -20 dB/década (curva 1), mientras que la ate uación total del filtro llega a -80 dB/década (c rva 2). Hay que tener en cuenta que en el ej de las abscisas se utiliza la frecuencia normalizada Ω, es decir Ω = f/fc.

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Nota: Curva 1: filtro pasa ajo de 1°orden, Curva 2: fil tro pasa bajo de 4°orden, Curva 3: filtro pasa baj o de 4° orden ideal.

Figura 7.- Respu sta amplitud-frecuencia un filtro pasivo RC pasa bajo de 4°orden.

La función de transferencia de un filtro pasa bajo tiene la forma general:: A( s) =

A0 2

2

(1 + a1 s + b1 s ).(1 + a 2 s + b2 s )...(1 + a n s + bn

2

)

Donde an y bn son real s y positivos. Para n de orden impar, el coeficie te b1 es cero. Existen diferentes asp ctos teóricos para los cuales la respuesta en frecuencia puede ser optimizada. Cualquiera de tales aspectos conduce a un grupo diferente de coeficientes an y bn. Al originarse polos c mplejos conjugados, éstos no se pueden obtener con elementos pasivos RC. Una manera de obtener polos complejos conjugados es el u o de redes RLC. En frecuencias altas, la realización de las bobinas necesarias no presenta us almente dificultades, pero en el margen de baja frecuencia suelen ser necesarias inductancias randes que, además de ser difíciles de obtener, tienen malas propiedades eléctricas. Sin embargo, el uso de bobinas en bajas frecuen ias se puede evitar por la adición de elementos activos (por ejemplo amplificadores operacionales) a las redes RC. Tales circuitos se llaman filt os activos. En los siguientes apar ados se va a analizar brevemente la respuesta en frecuencia de las optimizaciones más impor antes, cuyo diseño e implementación se explica an más adelante.

5.1 FILTRO PASA B JO DE BUTTERWORTH Los filtros pasa bajo d Butterworth tienen una respuesta horizontal o “plana” de amplitudfrecuencia todo lo “ancha posible y descienden bruscamente antes de la frecuencia de corte. Su respuesta muestra un considerable sobreimpulso que aumente en los filtros del orden más alto.

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Figura 8.- Res uesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de B tterworth.

5.2 FILTRO PASA B JO DE CHEBYSHEV Los filtros pasa bajo d Chebyshev tienen una caída en su ganancia ún más abrupta que los filtros pasa bajo de Butterworth. Sin embargo, en los filtros pasa banda la ganancia varía y tiene una ondulación o ri ado de amplitud constante. Para un orden da o, la atenuación por encima de la frecuencia d corte es más acusada cuanto mayor sea la on ulación permitida. El sobreimpulso en la parte inclinada de su respuesta es incluso mayor ue en los filtros de Butterworth.

Figura 9.- Res uesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de C ebyshev.

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5.3 FILTRO PASA B JO DE BESSEL Los filtros pasa bajo de Bessel dan la óptima respuesta de onda cu drada. La condición subyacente es que el ret rdo de grupo es constante en el margen de fr cuencia más amplio posible, es decir, el desliz miento de fase en este margen de frecuencia e proporcional a ésta, La respuesta amplitud-fre uencia de los filtros de Bessel no desciende tan bruscamente como los filtros de Butterworth o Chebyshev. La figura 7 muestra la respuestas amplitud-frecuencia de los tres tip s de filtro descritos, siendo todos ellos de 4°orden, mientras que en la figura 8 se observa su respuesta de fase. Se puede ver que el filtro pasa bajo de Chebyshev tiene la más abrupta transición desde la banda de paso a la banda de etención. Esto es ventajoso, pero tiene el efe to adicional de una ondulación en la banda d paso de la respuesta amplitud-frecuencia. Como esta ondulación se reduce gradualmente, el omportamiento del filtro de Chebychev se aproxima al del filtro de Butterworth. Por otra part , los filtros de Bessel sólo presentan un despreciable sobre impulso.

Figura 10.- Comparación de la respuesta amplitud-frecuencia de un filtro pasa bajo de 4°orden.

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Figura 11.- Comparación de la respuesta de fase de un filtro pasa bajo de 4°orden.

6. DI E O DE UN FILTRO PASA BAJ La siguiente ecuación epresenta la forma general de la función de tra sferencia de un filtro pasa bajo. A( s) =

A0 2

2

(1 + a1 s + b1 s ).(1 + a 2 s + b2 s )...(1 + a n s + bn

2

)

Como ya se había mencionada anteriormente, en un filtro de 1°or en el coeficiente b siempre es cero, por lo que la ecuación anterior la podemos reescribir de l siguiente forma: A( s) =

A0 1 + a1 s

Las etapas de 1°y 2° rden constituyen los bl oques básicos para la construcción de filtros de un orden mayor. La figura 12 muestra de que manera se construyen los filtros de orden superior, utilizando básicamente filtros de 1°y 2°orden. Solo se muest ra hasta un filtro de 6° rden, pero el mismo criterio se utiliza para filtros de orden superior.

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Figura 12.- Conexión en cascada de filtros de 1°y 2°orden par a la obtención de filtros de orden superior.

6.1 FILTRO PASA B JO DE 1°ORDEN La figura 13 y 14 muestran un filtro pasa bajo de 1°orden en s u configuración no inversora e inversora, respectivament .

Figura 13.- Filtro pasa bajo de 1°orden en configuración no inver sora .

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Figura 1 .- Filtro pasa bajo de 1°orden en configuración invers ra.

La función de transferencia de estos circuitos es: 1+

A( s ) =

R2

-

R3

y

1 + ω c . R1 .C 1 .s

A( s ) =

R2 R1

1 ω c . R2 .C 1 .s

El signo negativo indic que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180°en la señal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la señal de entrada invertida. Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos: A0 = 1 +

R2 R3

R2

y

A0 =

y

a1 = ω . R2 .C 1

a1 = ω c . R1 .C 1

R1

Para el diseño del circ ito, tendremos como dato la frecuencia de cort (fc), la ganancia del circuito (A0) y el valor de C1 que será definido de antemano. Con estos datos solo nos resta calcular R1 y R2. R1 =

a1

y

2.π . f c .C 1

R2 =

y

R2 = R3 .( A0 - 1)

a1 2.π . f c .C 1

R1 = -

R2 A0

El coeficiente a1 se obtiene por tabla (ver apartado 10). Para los filtros de 1°orden de todos los tipos, este coeficiente toma el valor 1, sin embargo, para filtros de u orden superior este coeficiente toma valores diferentes a 1. Ejemplo 1. Diseño de un filtro pasa bajo de 1°orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa bajo de 1°orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz y C1 = 47 nF. R1 =

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a1 2.π . f c .C 1

=

1 3

-9

2.π .1.10 Hz.47.10 F


= 3,38k

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Cuando la ganancia del amplificador es unitaria, la configuración no inversora del amplificador operacional se reduce a una configuración seguidor de tensión, como se observa en la siguiente figura:

Figura 15.- Filtro pasa bajo de 1°orden no inversor, con ganancia nitaria.

6.2 FILTRO PASA B JO DE 2°ORDEN Existen dos topologías para los filtros pasa bajo de 2°orden, la Sallen -Key o red con fuente controlada, la cual siempre tiene ganancia positiva en la banda pasante y no invierte la fase a frecuencias bajas. La otra topología de filtro es la llamada de Rauch o de realimentación múltiple, en la cual la ganancia en frecuencia cero, A0 es negativa, y por lo l tanto, produciendo un desfasaje de 180°ent e la salida y la entrada a frecuencias menores que la de corte. A continuación analizaremo en detalle la topología Sallen-Key.

6.2.1 Topología Sall n-Key La topología Sallen-Key general, para un filtro pasa bajo, se puede ob ervar en la figura 15 y su función de transferen ia se muestra a continuación: A( s) =

A0 2

1 + ω c .[C 1 .( R1 + R2 ) + (1 - A0 ). R1 .C 2 ].s + ω c . R1 .R2 .

1

.C 2 .s

2

Si el circuito de la fig ra 15 lo modificamos de manera tal que su g nancia sea unitaria, obtenemos el circuito de l figura 16, cuya función de transferencia es la si uiente: A( s =

1 2

1 + ω c .C 1 .( R1 + R2 ).s + ω c . R1 . R2 .C 1 .C 2 .s

2

Si comparamos la fun ión de transferencia anterior, con la función de ransferencia general de un filtro pasa bajo, pod mos obtener los coeficientes A0, a1 y b1. A0 = 1 a1 = ω c .C 1 .( R1 + R2 ) b1 = ω c2 . R1 . R2 .C 1 .C 2

Definiendo C1 y C 2 distintos, los valores de R 1 y R2 se obtiene resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incóg itas dado por a1 y b1. R1, 2 =

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a1 .C 2 ± a12 .C 22 - 4.b1 .C 1 .C 2 4.π . f c .C 1 .C 2


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Para obtener valores r ales dentro de la raíz, C2 debe satisfacer la siguiiente condición: C 2

≥

C 1 .

4.b1 2

a1

Figura 16.- Filtro pasa bajo de 2°orden de topología Sallen- K y.

Figura 17.- Filtro p sa bajo de 2°orden de topología Sallen- Key con gan ancia unitaria.

Ejemplo 2. Diseño de un filtro pasa bajo de 2°orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa bajo de Chebyshev de 2°orden con una frecuencia de cort e fc = 3 kHz y un ripple de 3 dB en la banda pasante. En primer lugar, de la tabla 1, obtenemos los coeficientes a1 y b1 para un filtro de Chebyshev con 3 dB de ri ple. a1 = 1,0650 b1 = 1,9305

Si definimos C1 = 22nF podemos determinar el valor de C2 como sigue: C 2

≥

C 1 .

4.b1 2 1

a

=

22.10 -9 nF .

4.1,9305 1,0650

2

≅ 150nF

Con el valor de C1 y C2 podemos determinar el valor de R1 y R2.

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-

R1 =

-9

2

-9

1,0650 .150.10 - (1,0650 .150.10 ) - 4.1,9305.22.10 .150.10

R2 =

3

-9

4.π .3.10 .22.10 .150.10 1,0650 .150.1

-9

-9

-9

2

-9

+ (1,0650 .150.10 ) - 4.1,9305.22.10 .1 0.10 3

= 1,26k Ω

-9

-9

4.π .3.10 .22.10 .150.10

-9

-9

= 1,30k Ω

Con estos valores el ci cuito queda formado de la siguiente manera:

Figura 18.- Filtro pasa bajo de Cebyshev de 2°orden con ganancia unitaria.

Tabla 1.- Coeficientes para un filtro de 2°orden.

En la topología Sallen Key, puede darse el caso especial en el que R 1 = R2 = R y C1 = C 2 = C. En tal caso, la función e transferencia queda de la siguiente forma: A( s) =

A0 1+

2

c

. R.C .(3 − A0 ).s + (ω c . R.C ) .s

2

con A0 = 1 +

R4 R3

Comparando esta fun ión de transferencia con la función de transfe encia general de un filtro pasa bajo, podemos btener los coeficientes a1 y b1. a1

R.

= ω c . R.C .(3 −

A0 )

b1 = (ω c . R.C )

2

Dando un valor a C y esolviendo el sistema de ecuaciones anterior obtenemos el valor de

R =

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b1 2.π . f c .C

y A0

=

3-


a1 b1

=

3−

1

Q

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El circuito de la figura 19, permite cambiar el tipo de filtro ajustando el valor de R4, es decir variando la relación R4 /R3.

Figura 19.- Filtro pasa bajo de 2°orden con ganancia unitari .

6.3 FILTRO PASA B JO DE ORDEN SUPERIOR Para necesidades en que la característica de un filtro de 2°orden no s a lo suficientemente abrupta en la región de at nuación de la banda deberán emplearse filtros e un orden superior, que pueden lograrse con ctando en cascada filtros de 2°orden para n par, y agregando a la cascada uno de primer or en para n impar. La respuesta en frecuencia del filtro total es igual al producto de las respuesta en frecuencia de los filtros individuales. Dicho sto, podríamos estar tentados a calcular un filtr de segundo orden, y, por ejemplo, para n = 6 , conectar en cascada tres secciones idénticas, sto no es correcto porque el filtro resultante ten rá una frecuencia de corte diferente a la de l s filtros individuales como puede demostrars si en un diagrama logarítmico sumamos tres respuestas iguales. Aquí es donde aparec la optimización de la respuesta frecuencial con los distintos tipos de filtros que conducen a grupos diferentes de coeficientes para los filtros indiividuales de tal modo que el producto de las respuestas frecuenciales de por resultado la respu sta con la frecuencia de corte y características eseadas. Ejemplo 3. Diseño de un filtro pasa bajo de 5°orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa bajo de Butterwoth de 5°orden con una frecue cia de cor te fc = 50 kHz. En primer lugar hay que obtener el valor de los coeficientes para un fil ro de Butterworth de 5°orden.

2011

ai

bi

Filtro 1

a1 = 1

b1 = 0

Filtro 2

a2 = 1,6180

b2 = 1

Filtro 3

a3 = 0,6180

b3 = 1


17


A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitore , calculamos el valor de las resistencias en ca a etapa. Recordemos la configuración de un filtro pasa bajo de 1° orden.


Si establecemos el val r de C1 en 1nF. R1

a1

=

1

=

2. . f c .C 1

3

=

-9

2.π .50.10 .1.10 F

3,18k Ω ≅ 3,1 k Ω


Para la segunda etapa definimos C1 = 820pF. C 2

≥

1

.

4.b2 2

a2

= 820.10

-12

F .

4 .1 1,618

2

= 1,26nF ≅ 1,5n

Con C1 y C2 calculamos el valor de R1 y R2 con la siguiente fórmula: R1, 2 =

a1 .C 2 ± a12 .C 22 - 4.b1 .C 1 .C 2 4.π . f c .C 1 .C 2

-9

R1 =

R2 =

2011

-9

2

-12

1,618.1,5.10 - (1,618.1,5.10 ) - 4.1.820.10 .1,5.10 3

-12

4.π .50.10 .820.10 .1,5.10 1,618.1,5.1

-9

-9

-

2

-12

+ (1,618.1,5.10 ) - 4.1.820.10 .1,5.10 3

-12

4.π .50.10 .820.10 .1,5.10


= 1,87 k Ω

-9

-9

-

= 4,42k Ω

18


Para el cálculo de la tercera etapa se procede de la misma manera qu en la etapa anterior, con la diferencia de que l s coeficientes a utilizar serán a3 y b 3 en lugar e a2 y b2. Para esta etapa definimos C1 = 330 F y obtenemos C2. C 2

≥

1

.

4.b2

a

2 2

= 330.10

-12

F .

4.1 0,618

2

= 3,46nF

4,7 F

Con C1 = 330pF y C2 = 4,7nF, los valores de R1 y R2 son: R1 = 1,45k Ω

1,47k Ω

R2 = 4,51k Ω

4,53k Ω

La figura 22 muestra el cir uito definitivo.

Figura 22.- Filtro pasa bajo de Butterworth de 5°orden con ganancia unitar ia y f c = 30kHz.

7. DI EÑO DE UN FILTRO PASA ALT Los filtros normalizad altos cambiando la varia gráfico de Bode, por en respuesta amplitud-frecu ganancia A0 en bajas frec

s pasa bajos pueden ser convertidos en filtro normalizados pasa le normalizada sn por 1/sn. Este cambio de variable significa en el ima de la frecuencia de corte, dibujar la ima en especular de la ncia del filtro pasa bajo, como se observa en la figura 23. La encias se convierte en A∞ o ganancia en alta frecuencia.

Figura 23.- Respuesta ampl itud-frecuencia de un filtro pasa alto comparada con l de un filtro pasa bajo.

2011


19


La función de transferencia general de un filtro pasa alto queda de la si uiente forma: A

∞

A( s ) = (1 +

a1 s

+

b1

a2

s

s

2 ).(1 +

+

b2

an

s

s

2 )...(1 +

+

bn s2

)

Como sucedía en los filtros pasa bajos de 1°orden, en un filtro pas alto de 1°orden el coeficiente b es cero, por lo que la ecuación anterior la podemos rees ribir de la siguiente forma: A

∞

A( s ) =

1+

a1 s

7.1 FILTRO PASA A TO DE 1°ORDEN La figura 24 y 25 muestran un filtro pasa alto de 1°orden en su configu ación no inversora e inversora, respectivament .

Figura 24. Filtro pasa alto de 1°orden en configuración no inver ora.

Figura 2 .- Filtro pasa alto de 1°orden en configuración invers r a.

La función de transferencia de estos circuitos es: 1+

A( s ) = 1+

2011

R2

R2

R3 1

.

1

y

A( s ) = 1

ω c . R1 .C 1 s


R1 1

.

1

ω c . R1 .C 1 s

20


El signo negativo indic que le amplificador inversor produce un cambio de fase de 180°en la señal de entrada. Es decir que a la salida obtendremos la señal de entrada invertida. Comparando los coeficientes de de ambas funciones de transferencia obtenemos: A = 1 + ∞

R2

y

R3

A = ∞

R2 R1

El coeficiente a1 es el ismo para ambos circuitos. a1 =

1

ω c . R1 .C 1

Para el diseño del circ ito, tendremos como dato la frecuencia de cort (fc), la ganancia del circuito (A∞) y el valor de C1 que será definido de antemano. Con estos datos solo nos resta calcular R1 y R2. R1 =

1 2.π . f c .a1 .C 1

y

R2 = R3 .( A - 1) ∞

R2

-R 1 . A∞

7.2 FILTRO PASA A TO DE 2°ORDEN Para un filtro pasa alto de 2°orden se utilizan las mismas dos topologí s q ue para los filtros pasa bajo de 2°orden, la Sallen -Key o red con fuente controlada y la topología llamada de Rauch o de realimentació múltiple.

7.2.1 Topología Sall n-Key La topología Sallen-Ke general, para un filtro pasa alto, se puede obs rvar en la figura 26 y su función de transferenci se muestra a continuación: A( s ) =

α R2 .(C 1 + C 2 ) + R1 .C 2 (1 α ) 1 1 1 1+ . + 2 . 2 s ω c . R1 . R2 .C 1 .C 2 s ω c . R1 . R2 .C 1 .C 2

on α = 1 +

R4 R3

Figura 26.- Filtro pasa alto de 2°orden de topología Salle n -Key.

2011


21


Si el circuito de la figura 26 lo modificamos de manera tal que su ganancia sea unitaria (α = 1), y C1 = C2 = C obtenemos la función de transferencia que se muestra a ontinuación. 1

A( s ) = 1+

2

.

1

ω c . R1 .C s

+

1 2 c

2

ω . R1 . R2 .C

.

1

s2

Si comparamos la fun ión de transferencia anterior, con la función de ransferencia general de un filtro pasa alto, pod mos obtener los coeficientes A∞, a1 y b1. A = 1 ∞

a1 =

b1 =

2

ω c . R1 .C 1

ω c2 . R1 . R2 .C 2

Definiendo previamen e el valor de C, a partir del sistema de e uaciones anteriores podemos encontrar el val r de R1 y R2. R1 =

R2 =

1

π . f c .C .a1 a1 4.π . f c .C .b1

Figura 27.- Filtro pasa alto de 2°orden de topología Sallen- Key con gan ncia unitaria.

7.3 FILTRO PASA A TO DE ORDEN SUPERIOR Al igual que los filtros pasa bajo, los filtros pasa alto de orden su erior son diseñados conectando en cascada etapas de filtros de 1º y 2º orden. Los coeficien es utilizados son los mismos que para los filtro pasa bajo, los que se obtienen por tabla (apart do 10). Ejemplo 5. Diseño de un filtro pasa alto de 3°orden con ganancia unitaria. Diseñar un filtro pasa lto de Bessel de 3°orden con una frecuencia de corte f c = 1 kHz. Los coeficientes del filtro se o tienen por tabla (ver sección 10).

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22


ai

bi

Filtr 1

a1 = 0,756

b1 = 0

Filtr 2

a2 = 0,996

b2 = 0,4772

A partir de estos coeficientes y especificando el valor de los capacitore , calculamos el valor de las resistencias en cad etapa. Si establecemos el val r de C1 en 100nF. R1

1

=

1

=

2.π . f c .a1 .

3

2.π .1.10 Hz.0,756.100.10

1

−9

=

F

2,105k Ω ≅ 2,1k Ω

Para la segunda etapa definimos C = 100nF. R1

R2

=

=

1

π . f c .C .

= 1

a1 4.π . f c .C .

= 1

1 3

π .1.10 Hz.100.10 −9 F .0,756

=

0,9996 3

4.π .1.10 Hz.100.10

−9

F .0,4772

3,18k Ω ≅ 3,16k Ω = 1,67 k

≅ 1,65k Ω

La figura 24 muestra el circuito definitivo.

Figura 28.- Filtro pasa alto de Bessel de 3°orden con ganancia unitaria y f c = 1kHz.

8. DISEÑO DE UN FILTRO PASA BAN A Un filtro pasa banda puede ser implementado conectando en serie un filtro pasa bajo y un filtro pasa alto con frecuencias de corte f1 y f2, respectivamente. simismo, los filtros normalizados pasa bajos pueden ser convertidos en filtros normalizados pasa banda cambiando la variable nor alizada sn por: 1  1  . s +  ∆Ω  s 

En este caso, el filtro pasa bajo es transformado en la mitad superior de la banda pasante del filtro y luego es espejado para formar la mitad inferior de la banda pasante, como se puede observar en la figura 29.

2011


23


Figura 29.- ransformación de un filtro pasa bajo en u n filtro pasa banda.

La frecuencia de corte del filtro pasa bajo, se transforma entonces en la frecuencia de corte inferior y superior del filtro pasa banda. La diferencia entre ambas frecuen ias es definida como el ancho de banda normaliizado: ∆Ω = Ω 2 − Ω1

En analogía con un cir uito resonante, el factor de calidad Q es definid como la relación entre la frecuencia media mitad (fm) y el ancho de banda (B). Q=

f m B

f m

=

f 2

−

1

=

f 1

=

Ω 2 − Ω1

1 ∆Ω

Como se dijo anterior ente, la forma más simple de implementar un filtro pasa banda es conectando en cascada u filtro pasa bajo y un filtro pasa alto, lo que es n criterio valido para la implementación de filtr s de banda ancha, es decir con un bajo valor de Q. Para valores de Q > 5 se recurre a circuitos resonadores. Por otro lado, si conectamos en cascada un filtro pasa bajo de 1º orden con un filtro pasa alto de 1º orden, obtendremos un filtro pasa banda de 2º orden, de la misma forma, si conectamos filtros pasa bajo y pasa alto de 2º orden, obtendremos un filtro pasa banda de 4º orden.

8.1 FILTRO PASA B NDA DE 2°ORDEN Para obtener la res uesta de un filtro pasa banda de 2º or en, aplicaremos la transformación antes mencionada sobre la función de transferencia de un filtro pasa bajo de 1º orden. A s ) =

A0 1+ s

reemplazando s por

1  1  . s +  s  ∆Ω 

De esta manera obten mos la función de transferencia de un filtro pasa banda de 2º orden.

2011


24


A( s )

A0 .∆Ω.s

=

1 + ∆Ω.s + s

2

Cuando diseñamos un filtro pasa banda, los parámetros a tener en cuenta para el diseño son la ganancia en la fr cuencia mitad (Am) y el factor de calidad Q, el que representa la selectividad del filtro pasa banda. Por lo tanto, reemplazando en la ecuación anterior A0 por Am y ∆Ω por 1/Q obtenemos: Am A( s )

=

1+

s Q 1 2 s+s Q

8.1.1 Topología Sall n-Key El circuito pasa band , de topología Sallen-Key, que se observa en la figura 29 tiene la siguiente función de transferencia: A( s) =

G. R.C .ω m .s 2

2

2

1 + R.C .ω m .(3 − G ).s + R .C .ω m .s

2

Figura 30.- Filtro pasa banda de topología Sallen-Key.

Si comparamos la fun ión de transferencia anterior, con la función de ransferencia general de un filtro pasa banda, p demos obtener las siguientes ecuaciones:

2011

Frecuencia media::

f m

Ganancia interna:

G

Ganancia en la frecuencia media:

Am

1

=

2.π . R.C = 1+

R2 R1 G

=

3−G


25


Factor de calidad:

Q

1

=

3−G

La configuración Sallen-Key tiene como ventaja que el factor de c lidad (Q) puede ser variado a través de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia media (fm). Como desventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia A m no ueden ser ajustadas independientemente. Se ebe tener cuidado cuando el valor de G se aproxima a 3, ya que la ganancia Am pasa a ser in inita, lo que provoca que el circuito comience a scilar. Para el diseño del filtro definimos la frecuencia media (f m) y el valor de C y a partir de estos valores calculamos el valor de R. 1

=

R

2.π . f m .C

Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades p ra el cálculo de R2. Definir el valor de la gana cia en la frecuencia media: R2

2. Am − 1

=

1 + Am

O definir el valor de Q: R2

=

2.Q − 1

Q

9. DISEÑO D UN FILTRO DE ELIMINACI N E BANDA Un filtro de eliminación de banda o supresión de banda puede implem ntarse conectando a un sumador analógico un filtro pasa bajo con frecuencia de corte f 1 y u filtro pasa alto con frecuencia de corte f2. Al igual que para un filtro pasa banda, el diagrama de Bode de un fil ro de eliminación de banda se puede hallar a artir de la respuesta en frecuencia de un filtro asa bajos utilizando una adecuada transformación de frecuencia. Para este caso se reemplaza la variable normalizada sn por: ∆Ω

s+

1

s

Donde ∆Ω tiene la misma definición que para un filtro pasa banda, ref rido aquí a la banda que suprime. Al igual que en el cas de un filtro pasa banda, la transformación de frecuencia duplica el orden del filtro. Así, apli ando la transformación a un filtro pasa bajos de 1º orden da por resultado la función de t ansferencia de un filtro supresor de banda q e tiene la siguiente expresión: 2

A( s )

=

A0 .(1 + s ) 1 + ∆Ω.s + s

2

En este caso, el filtro asa bajo es transformado en la mitad inferior de la banda suprimida del filtro y luego es espejado para formar la mitad superior de la banda suprimida, como se puede observar en la figura 31.

2011


26


Figura 31.- T ansformación de un filtro pasa bajo en un filtro elimin banda.

Tomando la función de transferencia anterior y reemplazando ∆Ω por 1 Q nos queda: A( s ) =

A0 .(1 + s 2 ) 1+

1

Q

.s + s

2

9.1 FILTRO ELIMINA BANDA EN T PARALELO En la figura 32 se o serva una red T pasiva cuyo factor de cali ad Q = 0,25. Para incrementar el valor de Q, el filtro pasivo es implementado dentro del lazo de realimentación de un amplificador, convirtié dose así en un filtro elimina banda activo, co o se observa en la figura 33.

Figura 32.- Sección T pasiva.

2011


27


Figura 33.- Filtro elimina banda activo.

La función de transferencia del circuito de la figura 32 es la siguiente: 2

A( s ) =

k .(1 + s ) 1 + 2.(2 − k ).s + s

2

Si comparamos la fun ión de transferencia anterior, con la función de ransferencia general de un filtro elimina banda, podemos obtener las siguientes ecuaciones: Frecuencia media::

f m

Ganancia interna:

G

Ganancia en la frecuencia media:

A0

Factor de calidad:

Q

1

=

2.π . R.C = 1+

=

R2 R1

G 1

=

2.(2 − G )

La configuración anterior tiene como ventaja que el factor de calidad ( ) puede ser variado a través de la ganancia interna (G) sin modificar la frecuencia media (f ). Como desventaja podemos decir que el factor de calidad Q y la ganancia Am no p eden ser ajustadas independientemente. Para el diseño del filtro definimos la frecuencia media (f m) y el valor de C y a partir de estos valores calculamos el valor de R. R

2011

=

1 2.π . f m .C


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Debido a la dependencia entre Q y Am, existen dos posibilidades p ra el cálculo de R2. Definir el valor de la gana cia en la frecuencia media: R2

=

( A0 − 1) R1

O definir el valor de Q: R2

2011

  

= R1 . 1 −

1 



2.Q 


29


10. TABLAS DE COEFICIENTES PARA LOS DI ERENTES FILTROS

Tabla 2.- Coeficientes de Butterworth.

2011


30


Tabl 3.- Coeficientes de Chebyshev para 0,5 dB de ripple.

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31


Tabla 4.- Coeficientes de Chebyshev para 1 dB de ripple.

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32



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33



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34

Teoria-de-Filtros-2011.pdf

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