1. Los estudiantes llegan a la Oficina de Servicios Administrativos a un promedio de uno cada 15 minutos y sus solicitudes tardan un promedio de 10 minutos en ser tramitadas. El mostrador de servicio sólo cuenta con una empleada, Judy Gumshoes, Gumshoes, que trabaja trabaja ocho horas horas al día. día. Suponga que las llegadas son de Poisson y tiempos de servicio son exponenciales. exponenciales.
a) ¿Qué porcentaje del tiempo está inactiva Judy? b) ¿Cuánto tiempo pasa pasa un estudiante, en promedio, en la línea de espera? espera? c) ¿Cuál es el promedio (de espera) en la línea? d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que llega (justo antes de entrar a la Oficina de Servicios Administrativos encuentre cuando menos a otro estudiante esperando en línea?
Datos λ = 15 minu minutos tos (4 por por hor hora) a) μ = 10 minu minuto toss (6 por hora) hora )
Literal a) ρ=
λ μ
=
4 6
= 0.66 0.667 7
porc porcen enttaje aje = 1 0.66 .667 = 0.33 .333 = .. %
Literal b) L =
λ
μ(μ λ)
W =
=
16 6(6 4)
=
16 6∗2
=
16 12
= 1.33
1.33 ∗ = 0.3325 0.3325 λ 4
= .
Literal c) L =
λ
μ(μ λ)
Literal d)
=
16 6(6 4)
=
16 6∗2
=
16 12
= 1.33
P = 1
λ μ
=1
4 6
= 0.333 ∗ 100
. %
3. Sharp Discounts Wholesale Club tiene dos escritorios de servicio a un promedio de una cada una de las entradas de la tienda. Los clientes se dirigen a cada uno de los escritorios de servicio a un promedio de una cada seis minutos. La tasa de servicio en cada escritorio es de cuatro minutos por cliente.
a) ¿con cuantas frecuencia (que porcentaje de tiempo está inactivo cada escritorio?
ρ=
λ μ
=
10 15
= 0.666
porcentaje = 1 0.666 = 0.333 = . %
b) Cuál es la probabilidad de que los dos empleados de servicio estén ocupados?
ρ=
λ μ
=
4 6
= 0.667
= . %
c) Cuál es la probabilidad de que los empleados de servicios estén inactivos? porcentaje = 1 0.667 = 0.333
= . %
d) Cuantos clientes esperan en línea, promedio frente a cada escritorio de servicios? L =
λ
=
μ(μ λ)
10
15(15 10)
=
100 15∗5
=
100 75
= .
e) ¿Cuánto tiempo pasa un cliente en un escritorio de servicios (tiempo de espera y del servicio? L =
λ (μλ)
=
=
∗
10 (15 10)
=
10 5
= 2
= . ∗ =
5. Burrito King (una nueva franquicia de comida rápida que estará operando en todo el país) ha conseguido automatizar la producción de burritos para sus establecimientos de comida rápida, con servicio en el automóvil. El burritoMaster 9000 requiere de 45 segundos constantes para producir un lote de burritos. Se ha estimado que los clientes llegaran a la ventanilla de servicio en el automóvil, en forma de distribución de Poisson, a un promedio de uno cada 50 segundos. A efecto de poder determinar la cantidad de espacio que se necesita para la línea de la ventanilla se servicio de automóvil, Burrito King quiere saber cuál es el tiempo promedio que se espera en el sistema, la longitud promedio de la línea (de automóviles) y el numero promedio de automóviles en el sistema (en línea en la ventanilla).
ρ=
λ μ
=
72 80
=
a)
W =
λ
∗
9 72
= 0.125 ∗ 60 = 7.5 .
b)
L =
λ μ(μ λ)
L =
=
λ (μλ)
72 80(80 72)
=
72 (80 72)
5184
=
=
80∗9
72 8
=
5184 720
= .
= 9 ()
7. La Heart Association, para apoyar la Semana Nacional del Corazón, piensa
instalar una caseta en El Con Mall donde tomará la presión sanguínea gratis durante una semana. La experiencia que ha tenido anteriormente indica que en promedio, hay diez personas que solicitan la prueba por hora. Suponga que las llegadas son de Poisson y la población es infinita. Las tomas de presión sanguínea son a un tiempo constante de cinco minutos. Suponga que la longitud de la fila puede ser infinita y tiene una disciplina de PEPS. a) ¿Qué número promedio de personas en línea cabe esperar? Datos: λ = 10 por hora μ = 12 por hora
L =
λ μ(μ λ)
=
10 12(12 10)
=
100 12∗2
=
100 24
= .
b) ¿Qué número promedio de personas cabe esperar en el sistema? L =
λ (μλ)
=
10 (12 10)
=
10 2
= ()
c) ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que una persona puede esperar que pasará en la línea?
W =
4.17 ∗ = 0.417 λ 10
=
d) ¿Cuánto tiempo llevará, en promedio, tomar la presión sanguínea de una persona, incluido el tiempo de espera?
W =
=
= 0.5 ∗
=
e) Se espera que, el fin de semana, la tasa de llegadas se incremente a más de 12 por hora. ¿Qué efecto tendrá esto en el número de personas en la línea de espera? Datos: λ = 12 por hora μ = 12 por hora
L =
λ μ(μ λ)
=
12 12(12 10)
=
144 12∗2
=
144 24
=
11. Judy Gray Income Tax Service está analizando las operaciones de servicios
brindados a los clientes durante el mes anterior a la declaración anual de abril. Con base en datos del pasado, el despacho ha estimado que los clientes llegan en forma de Poisson, con un tiempo promedio entre llegadas
de 12 minutos. El tiempo para llenar la forma de la declaración de un cliente está distribuido de forma exponencial, con una media de 10 minutos. Con base en la información anterior responda las preguntas siguientes: a)
Si usted acudiera a Judy, ¿cuánto tiempo consideraría que tardará
para que le prepararan su declaración? Datos: λ = 5 por hora μ = 6 por hora
L =
(−)
=
(−)
=
= ()
W = b)
∗ = 1 ∗ 60 = 1 ℎ
En promedio, ¿cuánto espacio se debe considerar que se necesitará
para el área de espera?
L =
λ μ(μ λ)
=
5 6(6 5)
=
25 6∗1
=
25 6
= . c )
Si Judy estuviera en su despacho 12 horas al día, ¿qué promedio
de horas estaría ocupada cada día?
ρ=
=
= 0.833 12 = 10
d) ¿Qué probabilidad existe de que el sistema esté inactivo?
porcentaje = 1 0.833 = 0.17 = %
e)
Si la tasa de llegadas no cambiara, pero el tiempo promedio en el
sistema fuera 45 minutos o menos, ¿qué habría que cambiar?
L = λ W = (5)(0.75) = 3.75 L =
(−)
=
(−)
=
.
+ 5 = 6.33 ℎ
12. Un negocio de reproducción de gráficos tiene cuatro equipos automáticos,
pero en ocasiones éstos se encuentran parados porque necesitan abastos, mantenimiento o reparación. Cada unidad requiere, más o menos dos servicios cada hora o, para ser exactos, cada unidad de equipo trabaja un promedio de 30 minutos antes de necesitar servicio. Los tiempos del servicio varían enormemente, desde un servicio simple (como oprimir el interruptor de reiniciar o reabastecer el papel) hasta la necesidad de desmontar el equipo en cuestión. No obstante, el tiempo promedio del servicio es de cinco minutos. El tiempo que el equipamiento está parado genera una pérdida de 20 dólares por hora. El único empleado que atiende el equipamiento gana 6 dólares por hora. Utilizando el análisis de fila finita, responda las preguntas siguientes: a)
¿Cuál es el número promedio de unidades en línea?
L =
λ μ(μ λ)
=
2 5(5 2)
=
4 5∗3
= .
=
4 15
= 0.2666
b)
¿Cuál es el número promedio de unidades que siguen operando?
L =
λ (μλ)
=
2 (52)
=
2 3
= 0.666
= .
c )
¿Cuál es el número promedio de unidades que están recibiendo
servicio?
porcentaje = 1 0.666 = 0.334
= . % d ) La
empresa está considerando añadir a otro encargado con el mismo
sueldo de 6 dólares por hora. ¿Lo debe hacer? R// El costo de las maquinas paradas es de $20 x 0.66 = $13.20 por hora; el costo de reparación es de $6 por hora, el costo total por un empelado es de: $13.20 + $6 = $19.20. No se debe de contratar otro empleado, ya que genera el mismo costo que tener uno solo lo que duplica el gasto en $19.20 x 2 = $38.40
