Guia de integrales .pdf

Fer n na n a d o u Para funciones de una variable, el área que encierra la gráfica de la función sobre un intervalo se puede d S a medir con á m n U D e “área” = f ( x ) dx = f ( x ) dx e Integración Inte gración sobre conjuntos sencillos

r a

y

ò

= f ( x) r t

x

a

E I

b

ò

I

c

a

h

(se han puesto las comillas intencionadamente e ya que la integral mide la diferencia de áreas por encima y por debajoz del eje X ). Para - la función y se hacer el cálculo de la integral se halla una primitiva de aplica la regla de Barrow.

b

[ a, b ] = e

-

d En el caso de funciones de dos variables, va riables, la integral d a z = F ( x, y )

d i

D

e

òò W F ( x, y ) dx dy

p a

r a

mide el “volumen” del sólido que tiene a W como t suelo y a la s gráfica de la función como techo (se han puesto comillas en la r palabra volumen porque la integral mide diferencia de volúmenes). e v El cálculo de la integral doble requiere colocar los límites de W integración del conjunto W , es decir, colocar los valores en los que varían las dos variables x e y , y luego calcular primitivas de la función. La principal novedad con respecto a integrales de una variable es que ya no es inmediato (ni s fácil) colocar los límites de integración. El esquema es el siguiente: c

m

n

U 

d e

M t a á t e m

a i

Límites de integración

ìa £ x £ b W = íï ïïî c £ y £ d

òò W F ( x, y ) dx dy

b

d

ò ò a

e

n t o

i

c

F ( x , y ) dy dx 

d

Cálculo de rimitivas

b

ò ò F ( x, y ) dx dy er n F n an a a r d o escribirse siempre siguiendo u Los límites de integración y los diferenciales dentro de la integral deben d S el esquema límite externo a con diferencial externa y límite interno con diferencial interno (marcados á con colores distintos más arriba) m n e -

r t

Ejemplo. Para el rectángulo

x

E

c

a

W = [ 0, 2 ]´[ 0,1 ] los límites de integración son ìï 0 £ x £ 2 íï ïî 0 £ y £ 1

c

h

e

z 1 s a a c r - W u y así i t d e 2 á a 3 ù1 é 2 1 ó y m ú dx e m x d x + y 2 ) dy dx = ô ê xy + + y 2 ) dx dy = 2 ( ( e t ê ú W 0 0 3 e r a t õ0 ë û0 d p M x 2 2 e E 2 a a d e ó æç x + 1 ö÷ dx = êé x + x úù = 2 + 2 = 8 = d o ÷ ç d êë 2 3 úû 0 r õ0 è 3ø 3 3 t d i n t e a s d Además, según el teorema de Fubini, se puede hacer cambiando el orden de los límites y los a i m s r a t r r e diferenciales: e a i v 1 v p e é x 2 ù2 1 2 ó i e n 2 2 2 ( x + y ) dx dy = 0 0 ( x + y ) dx dy = ô êê 2 + xy úú dx D U W

òò

ò ò

òò n

U

D

òò

m

õ0 ë

n t û o

d

M á t e m

0

3 ù1 é y 2 2 8 s = ò ( 2 + 2 y 2 ) dx = ê 2 y + eú = 2 + = a êë c 0 3 úû 3 3 i t a 0

-

1

1

n p i a v e r r t a s i d m a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s

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Fer n na n a d o u = [ 0,1 ]´[ 0, 3 ] se tiene Ejemplo. Para el rectángulo W d S a á ù ó é yn m ê ú dx = = e y d x d y e y d y d x e y ô ( ) ( ) òò W e òò ê 2 ú Integración Inte gración sobre conjuntos sencillos

r a

-

1

1

x

r

2 3

x

x

õ0 ë

ûc 0 1 æç x 9 ö÷ é x 9 x ù1 9 e ó 3 = ç 3e - ÷ dx = ê 3e - ú = 3e - -z õ0 è 2ø 2 úû 0 2 êë 0

t

x

E

También

3

e

0

h

-

d òò W( e x - y ) dx dy = ò0 ò0 ( e x - y ) dx dy = ò 0 éë e x - xy ùû0 dy d 3 é ù3 y 2 3

1

3

= ò ( e - y - 1) dy = ê e ⋅ y êë 0 d i Ejemplo. Para s el rectángulo W = [ 4, 6 ]´[ 2, 3 ] r ó 6 3 x 6 x 3 óó dx e dy = ô ó dy dx = ò [ x ln y ]2 dx õõ y v 4 õ4 õ 2 y

a

W

i

n

é x 2 3 ù 3 x ln dx = ê ln ú êë 2 2 úû 2 4 6

ó U = õ

6

= 10 ln

3 2

óó x dx dy = 3 6 x dx dy = ó ô ò2 ò 4 y õõ y õ

2

W

2

D

9

e

- y ú = 3e - a -3 úû 0 2 r t

p

a

m

e

n t o

d e

M

4 s a c i t a á t e m 3 6

Además,

1

W

é x2 ù ê ú dy êë 2 y úû 4

3

1 3 = 10ó dy = [ 10 ln y ]32 = 10 ( ln 3 - ln 2 ) = ln õ2 y Fer n 2 n

a u r

a d

-

an a

d

o Los rectángulos son conjuntos cuyos límites de integración, izquierda-derecha y abajo-arriba son cuatro números. Son los únicos conjuntos que tienen esta propiedad. Cualquier otro tipo de conjunto tiene los límites de integración algo más complicado y alguno de e c dibujado a la ellos no será un número. Por ejemplo, el triángulo t izquierda no tiene límites de integración tan sencillos. Se trata de y = 1 - x e escribir las condiciones z s a a ïì 0 £ x £ 1 c r - u i íï t d e á a îï 0 £ y £ 1 - x = y 0 m d e m que cumplen los puntos de ese triángulo. e t e r a t x = 1 = x 0 W d En general, para un conjunto en el plano, los límites izquierdo M x e E a y derecho son las dos rectas verticales que delimitan a al conjunto. d e o d Estas dos rectas son las que marcan el valor izquierdo y derecho t d i n t e a de los límites de integración. s = ( ) : j D y x d i m r En las ecuaciones de la curvas C y D , al despejar la variable y a s t r r e e se obtiene y = f ( x ) para C (es el límite de abajo) y y = j ( x ) a v

m

r

x

E

S á n

h

D

d

p

r a

m

U D n e i p v a e r r t a s i d m a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s









na n n a a F Ejemplos de integrales dobles sobre r conjuntos sencillos d o u          d S 1 9 3 (x + + y y)) dy dx = dx = a xy xy + + y dx = 3 x + dx =á x er

-

1

3

0

3

e r t

x

1

  0

0

1

  −1

m

0

e

d

a

1

  π

1

2

x + xy

s r

3



dy =

 

9 + x 2

2

2

n



1 y + dy = 2

0

0

1

 

2

0

0

c

x2 sen( sen(yy)

−1

  1

π



2

y

2

3

+e y

2z 0

3

0

0 dx = 0

1



π

x 3 cos( cos(yy )

= 6

D

e

−1



= 6

0

-



dx =

0

1



 1 h  1

1

π

x2cos cos((y) dxdy dxdy = = d −1 i

0

2

0

x2cos cos((y) dy dx = dx = d

0

2

0

3

E

1

2

  1

(x + + y = y)) dxdy dxdy =

π

3

1

dy =

0

−1

2 cos(y cos(y ) dy = 3

 2 p  a

π

r t a

3

sen(yy ) sen(

= 0

0

  m(5))))) dx [(x [( x + 1) 1) lo logg (y + 1)] dx = (−(x + 1)(log 1)(log (4) − log (5) dx = e i   n 1 n = − (lo (logg (4 (4)) − log (5) (5))( )(x x + 2 x) = −4 log (4) log (5 (5)) t+ 4 log o 2 U d e s   M    x + 1   1 a  t x c + i 2 t x á e 1 a 2

4

  0

3

x + 1 e dy dx = dx = y + 1 v

2

2

4 3

0


0

2

2

0

-

4

3

2

4

y + 1

0

dxdy = dxdy =

3

2

2

2 y + 1

0

4

m dy =

4

y + 1

3

dy =

= [4 [4 log (y + 1)]43 = −4 log (4 (4)) + 4 log (5 (5))

1

3

3

1

1

Fer n na n a d o u       a d   2  S  2 2  1 x + y dxdy dxdy = = x + xy dy = 2y + dy =á y + y 3 3 3 3 m n e

      1  x + y dy dx = dx = x y + y 2

−1

−2

3

1

2

r a − 3

−1



3

r  t

x ye

E

0

x

dy dx = dx =

−2

e1 2

d − d

  2

−1

2

35 x 3 + x 3 3



1

= −1

3

3

−2

−1

= −2

c

1

  1 

2

y 2 e

2

0

h

1



dx =

x

e

0 dx = 0

z

0

−2

- 2

ye dxdy dxdy = = x

0



2

1 0

[ye ] dy = x

−2



(e − 1) 1)yy dy =

−2

2

2

3

2

−3

5

3

   a   1   d x y − 1/y dy dx = dx = x y − log( log(yy ) i 2 s 1  r 3



35 5 x2 + dx = 3

2

−2

2

2

dx =

1

3

2

1

s a a c r u i t d á a m e m e t r a t M x e E d e o d t d n e a d i m s a t r r a e v

3

−1

2

−2

2

 

2

1

2

−3

1

3

e

=

2

x 3 − x lo logg (2 (2))

1 2

2

 D (ee − 1) ( 1)yy = 0 2

e

−2

3

dx =

  3 −3

2

a

r x − lo logg (2 (2) ) dx =

= −6 lo logg (2 (2)) + 27 27

−3

p

2



t

a

m

80 3

80 3









er n F nrg). .n a a Otra forma de hac a Estos Est os eje ejempl mplos os se han cre creado ado con SA SAGE GE (www.s (ww w.sage agemat math.o h.org) hacer er in integ tegral rales es es con r d u o y abrirlo desde WxMAXIMA. WxMAXIMA: cortando y pegando hay que crear un ﬁchero Prueba.wxm d S a á -

m

/* [w [wxM xMax axim ima a ba batc tch h fi file le ve vers rsio ion n 1] [ DO NO NOT T ED EDIT IT BY HA HAND ND! ! ]* ]*/ / /* [ Cr Crea eate ted d wi with th wx wxMa Maxi xima ma ve vers rsio ion n 0. 0.8. 8.3 3 ] */ e

r

t input inp ut

x

/* [wx [wxMa Maxi xima ma: : f(x,y):=(x+y); a: 0; b: 1; e c: 0; d: 3; /* [wxMaxim d a: in put

E

star st art t ] */

n

c

h

e

z -

d

D

e nd

a

e

] */

p a

d

/* [wx [wxMa Maxi xima ma: : inp input ut star st art t ] */ i print pri nt (’i (’inte ntegra grate( te(’in ’integ tegrat rate(f e(f(x (x,y) ,y), , y, c, d), x, a, b), " = ", s ’integ ’in tegrat rate(i e(inte ntegra grate( te(f(x f(x,y) ,y), , y, c, d), x, a, b), " = ", r integr int egrate ate(in (integ tegrat rate(f e(f(x, (x,y), y), y, c, d), x, a, b)) b)); ; e /* [wxMaxima: in v p ut e nd ] */

r t a

m

e

n n t /* Max Maxima ima can’t loa load/b d/batc atch h fil files es whi which ch end with a com commen ment! t! */ o U i

d

"Created "Crea ted with wxMa wxMaxima" xima"$ $

M

e s a c El resultado en el programa WxMAXIMA debe ser similar a esto: i t a á t e m -

(%i1) f(x,y):=(x+y); a: 0; b: 1; c: 0; d: 3;

u d a m e

(%o1) (%o2)

r a

r t

Fer n na n a d o f (x, ( x, y) := := x x + + y y S á n 0 -

c

h

x

E

e

(%o3) 1 z s a a c r - u i t d e á(% 0 ao4) m d e m e t e r a t (% ) 3 o5 d p M x e E a a d e (%i6) (%i 6) print pri nt (’inte (’i ntegra grate( te(’in ’integ tegrat rate( e(f(x f(x,y) ,y), , y, c, d), x, a, b), " = ", d o d r t d i ’integ ’in tegrat rate(i e(inte ntegra grate( te(f(x f(x,y) ,y), , y, c, d), x, a, b), " = ", n t e a s d integr int egrate ate(in (integ tegrat rate(f e(f(x, (x,y), y), y, c, d), x, a, b)); b)) ; a i m r a s t r r e e 1 1 1 3 a v 6 x + 9dx 9dx

D

 



m










Fer n na n a d o u Los conjuntos W que son rectángulos son los únicos que tienen sus límites de integración de la forma d S a á ìa £ x £ b m n W = íï ï c £ y £ d e Integración Integra ción so bre conjuntos más complejos

r a

-

U D n e i p v a t r a, b, c , d son números, e indican los bordes izquierdo, derecho, e donde los valores abajo y arriba que e r t a s i m delimitan el rectángulo. Para estos conjuntos se cumple además el teorema de Fubini,z que af irma que d a e n d t b d d b - o d F ( x, y ) dy dx = F ( x, y ) dx dy e e d a c c a E e d x M e siempre que la función F sea continua en el rectángulo [ a, b ]´[ c, d ] . t r a dque no son rectángulos, es preciso saber calcular cuáles son esos bordes. p e t Para conjuntos m e m a a a á d t d r i 0 , 0 , 1 , 0 0,1 ( ) ( ) ( ) W es el triángulo de vértices y u c i r a t ( 0,1) s 1 1- x a s ìï 0 £ x £ 1 a F x y F x y d y d x ( ) ( ) y , , = W = í recta y = 1 - x r 0 0 ïïî 0 £ y £ 1 - x W

r

ïî

c

h

x

E

W

ò ò

ò ò

n

U ( )

o también ìï 0 £ y £ 1

W = í ïïî 0 £ x £ 1 - y

1

y

d e

W s para cualquier función F ( x, y ) .

W

( 0,1)

=x

W

M t a á t e m

m

e r t

x

E

0

1 y

0

es el triángulo triángulo de vértices ( 0, 0 ) ,( 1, 0 ) y ( 1,1 ) x 1 ì 0 £ x £ 1 F ( x, y ) = F ( x , y ) d y dx y W = íï 0 0 ïïî 0 £ y £ x W o también er 1 1 ì 0 £ y £ 1 F ( x ,o y) = F ( x , y ) d x dy y W = íï 0 y ïïî y £ x £ 1 W para cualquier función F ( x, y ) .

r a

d u

( 1, 0 a )

e

n = t òò F ( x, y ) o ò ò F ( x, y ) dx dy

a c i

recta y

ò m ò

òò

e v i

1, 0

D

F

òò

ò ò

n a n n a

òò d S ò ò á n c

h

W es la región delimitada por y = x y la parábolae y = x 2 z 1 x ì 0 £ x £ 1 ( x, y ) dy dx y òò F ( x , y ) = ò ò F- W = íï 2 0 x ïïî x £ y £ x W

s a a c r ( 1,1) u i 2 t d e á a recta y = x m o también d e m e t r a t 1 y e ì 0 £ y £ 1 W ï F ( x, y ) = F ( x, y ) dx dy d y W = í p M x 2 y 0 ï y £ x £ y = e E y x ï î a W a d e d o para cualquier función F ( x, y ) . d r t d i n t e a s d a i Por ejemplo, para m este último conjunto, si F ( x, y ) = 1 - x entonces la integral doble se puede hacer r a s t r r e de dos formas distintas, e aunque el resultado es mismo a v

òò

ò ò

D

m









Fer n na n a d o u y también d S a á é çæ x ö÷ ù m ê ú n , 1 ( ) ( ) F x y = x d x d y = x d y ÷ òò ò ò ò ê èçç 2 ø÷ú e Integración Integra ción so bre conjuntos más complejos

r a

y

1

W

r

0

t 1 æ x= ò çç ç 0 è

E

-

y

0

y -

y 2

- y+

y

2

2

y

2

1

ë

û y

c

ö÷ é2 3y + ÷÷ dy = êê y 3 2 3 4 ø ë 2

y

6

h

ù 3 1 1 ú = 2 -e + = úû 0 3 4z 6 12

3 1

e

-

No es necesario calcular la integral haciendo los cálculos de las dos formas posibles, aunque es una d buena técnica para hacer ejercicios de integrales, ya que los resultados deben coincidir. e

D

dno olvidar que los límites que son ambos números deben ir en la integral exterior, es Es importante a a se puede decir, en la primera que se coloca en la integral doble. En conjuntos que sean rectángulos poner en primer los diferenciales ilugar cualquiera de los límites, ya que los cuatro son números, y t s siempre deben ir en el orden correcto.

p

d

r a

m

r

e Además, se pueden aplicar las reglas de simplificación cuando los conjuntos están formados por varios v e i trozos con límites de integración distintos. Si W = A È B entonces (*) n

n t o U , , , F x y F x y F x y F ( ) ( ) ( ) = = + òWò òÈò òò òò ( x, y ) . d e s a M También, la integral integral (tanto sencilla como doble) es lineal, lin eal, es decir, c i t a á t e m òWò ( F ( x, y ) + G( x, y )) = òWò F ( x, y ) + òWò G( x, y ) y òWò F ( x, y ) = òWò F ( x, y ) -

A B

A

B

l

l

y estas dos reglas permiten simplificar los cálculos en muchos casos.

Fer n na n a d o u S a d á (*) unión disjunta o con intersección con medida cero. m n e r a

r t

s a a c r u i t d á a m e m e t r a t M x e E d e o d t d n e a d i m a s t r r a e v

x

E e

d d

a

d i

s r

e

-

c

h

e

z -

D

e

p a

r t a

m












Fer n na n a d o u Coordenadas polares en el d plano. Para conjuntos que no están delimitados por líneas rectas, S coordenadas, como las a especialmente los conjuntos circulares, se suelen utilizar otro tipo deá n U D coordenadas polares. m e e Coordenadas polares

r a

-

c r h Las coordenadas t polares de un punto ( x, y ) del plano son dos números ( r , j ) donde

n p i a v e r r t e y a 2 2 s r= x +y y tg ( j ) z = i m ( x, y ) d x a e n d t - es decir, y o d er e d ìï x = r cos ( j ) E e d íï j x M y r = ( ) sen j e ïî t r a d x p e t Las coordenadas polares ( r , j ) siempre verifican las m e m a a a á r ³ 0, j Î [0, 2p ) . El número r indica la distancia al origen y el condiciones número j la d t d r u i i inclinación con respecto al semieje X positivo en sentido contrario a las agujas del reloj. Por ejemplo, r c t a a s s a el punto ( 1,1 ) en coordenadas cartesianas se escribe como ( 2, p 4 ) es coordenadas polares. r

x

E

D

e v i

y = 4

n

U W

r = = 1

ì 2 £ x £ 6 W = íï ïïî 2 £ y £ 4

r = = 2

s a c y = 2 t ì 2 £ r i a £3 á t ï e m D= í ïïî 0 £ j £ p

x = 2

e

n t o

d e

r = = 3

M

-

m j

=p

D

4

x = 6

Fer n na n a a r d Teorema de cambio de variables. Si se definen nuevas variables va riables y v de forma que u u o d ì x = y ( u, v ) ï S a í á -

entonces

s a a c r u

m e

r t

F ( x, y ) dx dy xòWò

E e

( x , y )

ïïî y = f ( u, v )

=

n

c

h

òWò F ( y ( u, v ), f( u, v ) ) ⋅ J ⋅ du dv e ( u, v )

z

4

j = 0









Fer n na n a d o u Ejemplo. Si W es la parte del d círculo unidad del primer cuadrante, como muestra el dibujo, se puede S a calcular la integral en coordenadas cartesianas, á m n 1 U D e e Coordenadas polares

r a

r t

-

1 c ó é y 2 ù 1 ú y dy dx = ô ê ô ê 2 õ ëe úû 0

n p i a v y dx dy = dx e r 0 0 r t W a 0 s i m z d 0 1 1 2 e a 1 - x 1 1 1 n d t = ó - dx = - = o õ0 2 2 6 3 d e e d E e d y también en coordenadas polares, x M e t r a d p 1 p 2 1 1 t e p 2 1 2 2 2 m e é ù y dx dy = r s e n d dr = r c o s dr = r dr = j j j m a û0 a3 0 0 0ë 0 a á W d t d r i u c i r a t Ejemplo. Un círculo polares los límites a s s W centrado en el origen y de radio 7 tiene como coordenadas a r 0 £ r £ 7, 0 £ j £ 2p . Por tanto, su área es

òò

x

E

1- x 2

1

òò

x 2

h

D

òò

òò

e v i

ò

òWò

7 n

1 dx dy =

U

òWò

ò

r dr dj =

7

2p

m

e r dj dr = 2p

ò ò n 0

0

t o

d

M

72 2

= p 72

Si F ( x, y ) = x entonces e 7 2p s a = òò x dx dy = ò ò r2 cos( j ) dj dr F ( á x, m y ) dx e dy t t a ò c ò i 0 0

-

W

W

7

2p = ò éë r 2 sen ( j ) ùû 0 dr = 0 0

Ejemplo. Para medir el volumen de la mitad superior de una esfera de radio R se necesita conocer el suelo sobre el que se va a calcular la integral (en el dibujo er 2 2 2 z = R - x - y aparece rallado) y la gráfica de la función que marca el techo del objeto. Si W denota el suelo y

d u

a

W s a a c r u

m e

r t

x

E e

r a

F

n a n n a

d o S á F ( x, y ) = R -n x -y 2

2

2

c

h

entonces el volumen de la mitad superior de la esfera es

òò W

F ( x , y ) dx dy .

e

z









Fer n na n a d o u Las d coordenadas polares son idóneas para calcular integrales sobre S a conjuntos circulares del tipo de los que aparecen á a la izquierda. Por m n U D e ejemplo, resultan muy fáciles las integrales e

Coordenadas polares

D

r a

W r 1 t2

x

òDò x dx dy, òWò dx dy,

E

c

dx dy òò ( y - x )h W

e

z

siempre que se utilicen coordenadas polares. En estas coordenadas

e

y así

-

ì 0 £ r £1 D = ïí ïîï p 4 £ j £ p

d d

a

d i

1

s r

p 2

òDò x dx dy = ò ò r 0

eòò W v i

dx dy

=ò

1

2

p 4

-

2

ì 1 £ r £ 2 D W = ïí ïîï 0 £ j £ p 4 e

p

2

a

r t a

cos j dj dr

m

p 4

ò r dj dr 0

e

n n y x dx dy r d dr j j j s e n c o s = ( ) ( ) ò ò ò ò t o U D 2

1

W

p 4

2

0

s a c i t a á t e m

r a

u d a m e

r t

s a a c r u

x

E e

d e

M

-

-

Fer n na n a d o S á n

c

h

e

z

n p i a v e r r t a s i m d a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s









Fer n na n a d o u en los dos primeros dibujos) Conjuntos W en el plano ( W d es el S a á z = f ( x , y ) m n e ¿Qué miden las integrales dobles y triples?

r a

-

suelo

U D n e i p v a e r “vol” = f ( x, y ) dxdy dx dy r t e a s W i m z d a e n d t - o d e d E e x M e t r a p e t m e m a a vol = 1 dxdy = área ( W ) = W d á r i u t W r c a t a W y altura 1 tiene a s (un sólido de base como volumen el área de su base)

r

c

t

h òò

x

E e

W

d d

f ( x , a y ) dxdy dx dy òò W

D

z = 1

d i

s r

òò

W

e v i

n

d ( x, y ) = densidad

U

e

n t o

òò d ( x y )dx dy d e masa ( W ) =

W

-

m

M

s a c i t a á t e m

,

W

Conjuntos T en el espacio

r a

u d a m e

r f ( x , y , z t dx dydz dz ) dxdy

òòò s a a c r u

T

x

E e

-

FeTr n na n a d vol ( T ) = T = òòò 1 dx dy dz o S á n T

c

h

e

z









Fer n na n a d o u Ejemplo. Si W es el rectángulo el producto de su base por d[ 0, 2 ]´[ 0,1 ] entonces su área es 2 (esS a su altura), aunque se puede calcular con integrales á m n 1 e ¿Qué miden las integrales dobles y triples?

r a

2

r

h

2

e

1

dx = 2. W = òò 1 dx dy = ò ò d yc 0 0 W e z Si en cada punto ( x, y ) la densidad viene dada por la función d ( x, y ) = x + y entonces la masa de W es -

t W x

E

-

d d

m( W ) =

a

òWò

=ò

d i

2

0

s

r T delimitado por las superficies Ejemplo. El cilindro

e v i

n

( x + y ) d x dy =

2

1

ò ò 0

0

( x + y ) dy dx

D

e

1 é 2 y 2 ù a= 3 ê xy + ú dx = ò çæç x + 1 ÷÷ö dx êë 0 è 2 úû 2 ø r 0 t

p

a

z = 10

m

ìï x 2 + y 2 = 1 ïï e = ïí z n =0 ïï t z = 10 ïîï o

T

d

U

M

tiene como volumen el área de la base por la altura, e s x 2 + a y 2 c = i 1 es decir, a t á tT = 10p . Utilizando integrales e m -

T

z = 0

= òòò 1 dx dy dz T

F

=ò

1

0

2p

10

ò ò 0

0

r dz d z d j dr = 10p

Si en cada punto ( x, y , z ) del cilindro se sabe quee lar densidad es d ( x, y, z ) = 10 - z , la masa del cilindro será o

r a

1 2 a , , d x y z d x d y d z = ( ) òòò òò

m

m( T ) =

0

0

d

p

z )á r dz d dr ò ( 10 -S n 10

0

j

e c por Los mismos cálculos (volumen y masa) se puede hacer con el cilindro U delimitado r t ìï x 2 + y 2 = 1e x ïï z U =ï z=0 íï z = 10 - x - y ï T

s a a c r u

d u

n a n n a

E e

h

U D n e i p v a e r r t a s i m d a e n d t o d e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s











Fer n na n a d o u El promedio o valor medio de es duna función F ( x,... ) en un conjunto AS a á 1 m n F promedio de F en A = ò e A c La integral como p romedio. Centros Centros geomé geométrico trico s

r a

-

r

A

t

h

x

donde la integral es simple, doble, triple,… dependiendo del número de variablese involucradas. Si z en el plano, el conjunto A es un intervalo de  entonces la integral es simple; si el conjunto está la integral es doble, etc. -

E e

d d

Ejemplo. El valor medio de la función f

0, 2 ] es ( x ) = x 2 en el intervalo A = [ 0,2 1 é x 3 ù

F = ò x dx = ê ú A ò 2 2 êë 3 úû 1

a

1

2

A

d i

2

0

2

e

4

=

p a

3

0

Ejemplo. Sobre los puntos de un círculo de centro el origen y radio s rdel círculo viene dado por distancias al centro 1

A

A

F

e v i 1

=

òò n

pR

2

x

2

+y =

U A

2

1 pR

R

2

ò ò 0

2p

0

r djdr = 2

M

m

e 2

n ò t o R R

0

r dr = 2

d

i á

2

2

r t R el a promedio de las ⋅ 2

R 3 3

2

= R 3

eque en cada punto ( x, y ) la s [ 0, 3 ]´[ 0, 2 ] del dibujo se supone W = a c t m apor T ( x, y ) = x + y . Por ejemplo, en temperatura viene dada t e

-

Ejemplo. En el rectángulo

2p pR

D

el origen la temperatura es 0 y en el punto ( 3, 2 ) la temperatura es 5 . La temperatura media en el rectángulo es

W

1 3

W

a

-

T

=

1

òò

(x+ y)=

W Fer n n a a W

6

1 6

3

2

ò ò ( x + y ) dydx 0

0

U D n e i p v a e r r t a s i m d a e n d t d o e d E e x M t r a e t m e m a á d t i u c r a a s









Fer n na n a d o u y ) donde Para un conjunto W del plano, dse llama centro geométrico al punto ( x ,S a á y x m n òò òò 1 e 1 W W c La integral como p romedio. Centros Centros geomé geométrico trico s

r a

= r t x

x

òò x

W

=

-

òò 1

W

y

,

=

W

òò y = W

1 òòh e

z E Para un conjunto T del espacio, se llama centro geométrico al punto ( x , y , z ) donde W

e

x ò ò ò d 1 x = x= T , ò ò ò T d T òòò 1

a

y

=

1

T

W

òòò y , òòò y = òòò 1 T

z

D ò òò z

1

z= e 1 T òòò p òòò

=

T

T

d

-

T

T

T

a T

r a

A veces se i pueden no hacer integrales para calcular W o T si son figuras de las que se conoce t su área o su s volumen, como en los casos de círculos, esferas, rectángulos y paralelepípedos. En otro r caso se debe hacer la integral doble o triple con la función constante 1 para calcular esa área o ese e volumen. v

m

i

n

e

n t o

Cada centro geométrico pasa por cualquier eje de simetría del conjunto, así que para figuras conocidas como rectángulos, círculos,… el centro geométrico es el corte de los ejes de simetría. En un rectángulo es donde se cortan slas diagonales, por ejemplo. En un círculo, donde se cortan dos diámetros. Para conjuntos que sólo presentan un eje de simetría esta propiedad puede ayudar en c e los cálculos de las coordenadas del centro geométrico.

U

d e

M t a á t m

a i

Ejemplo. Para el triángulo

W del dibujo el centro geométrico se calcula así: x

( 0,1) recta y

= 1- x

a

-

=

1

W òò

x

= 2ò

Fer n na a W

1

0

1- x

ò 0

x dy dx =

1 3










Fer n na n a d o u Si se hace girar una figura plana d W alrededor de un eje que no la atraviesa, S a se obtiene un sólido , cuyo volumen y superficie vienen dados á m n por e El teorema de Pappus

r a

-

de revolución

rV = 2 t

⋅ dist ( eje, ( xW , yW ) ) ⋅ W S = 2p ⋅ dist ( eje, ( x L , yL ) ) ⋅ L

x

E

c

p

h

e

z

donde ( xW , yW ) y ( x L , y L ) son los centros de W y L (1) . Este resultado se conoce como eteorema de Pappus (de Alejandría, siglos III-IV).

d d

W

L

-

D

Ejemplo. Si se considera un toro de radio menor r y radio mayor R , e como en la figura, entonces su superficie y su volumen son

a

R d i

s r

r

p

S

= 2p ⋅ R ⋅ 2 pr = 4p 2 rR

V

= 2p ⋅ R ⋅ p r = 2p r R 2

e v i

2 2

a

r t a

m

Ejemplo. Para un cilindro de altura h cuya base sea un círculo de radio r el volumen es V = 2p ⋅ ( r 2 ) ⋅ rh = pr 2h , que es el área de la base por la altura. También se puede conocer su superficie, 2 que es S = 2p ⋅ r ⋅ h + 2 p ⋅ r = 2 pr ( r + h ) , y se corresponde con el área lateral más el área de las dos tapaderas del cilindro.

n

n t o

d

U

M

e

e s a c i Estos ejemplos muestran que algunas veces se puede utilizar el teorema de Pappus de forma casi t a á t e m

instantánea si se conocen (por motivos geométricos por ejemplo o bien porque el enunciado dice qué valores son) las magnitudes que se utilizan: la distancia del eje al centro de gravedad y el área y el perímetro de lo que se hace girar. En general, para hacer el cálculo de un volumen de revolución alrededor de un eje de una figura plana W requiere hacer lo siguiente. er

a

-

F

n a n a










Fer n na n a d o u Ejemplo. Un cono cuya base altura 5 es un sólido de des un círculo de radio 2 y que tiene unaS a revolución, resultado de hacer girar un triángulo de á base 2 y altura 5 m del eje Y , tal y como muestra la figura. n alrededor e El teorema de Pappus

5

W

r a

-

c El eje es la recta x = 0 y así la distancia del centro geométrico al eje es x . El r t volumen del cono es e x 5⋅ 2 20 z V = 2 ⋅x⋅ = 10 ⋅ x =

h

E

p

p

e

p

2

3

-

puesto que el valor de x es

2 d

x

d

=

a

1

W

òò

x

=

W

1 5

2

ò ò 0

-5 x + 5

0

2

x d y dx dx =

1 5

2

D

2 x ( -25 x + 5 e ) dx = 3 . p

ò 0

d

Para un cono de altura 1 cuya base tenga radio 1 el volumen que se obtiene i tercera parte s del cilindro que se forma con las mismas dimensiones.

a

r 3 . Siempre la t a p

m

r

Ejemplo. El volumen e de una semiesfera de radio R es el resultado de hacer girar un cuarto de v círculo del mismo radio alrededor de un diámetro. Así, el volumen de la esfera es

i

V

n

= 2 ⋅ 2p ⋅ x ⋅ W = 4p ⋅ òò x d x d y = 4p

U

= 4p

n t ⋅ ò ò r o cos ( ) d d R

0

p

2

0

e M

W

-

s 4 R a ⋅ ò r 2 d r c = i R3 t a á t e m 0 3 p

e

2

a

a

dr

donde W es el cuarto de círculo de radio R situado en el primer cuadrante, cuyos límites de integración son 0 £ r £ R, 0 £ a £ p 2 Ejemplo. Calcular el volumen del sólido que se obtiene al hace girar el cuadrado W = [ 1 2 ]´[ 0 1 ] alrededor de la er

a

-

F

n a n a










El teorema de Pappus

r a

u d V = a 2 ⋅ y⋅ W =2 m e p

r =

t

x

E

Si hacemos girar a

p

f ( x)

b

p

b

Fer n na n a d o ⋅ òò y d x d y = 2 ⋅ ò ò S dy d x yá W n

-

p

a

⋅ ò f ( x ) d x 2

0

c

h

a

e

W alrededor del eje Y , el volumen del sólido de revolución seráz

e V = 2p ⋅ x ⋅ W = 2p ⋅ òò x d x d y = 2p ⋅ ò

d d

b

a

W

ò x dy d x D 0

= 2p ⋅ ò x f ( x ) d x

p a

a

d i

r t a

Nota. Para el s cálculo del centro geométrico  x , y , ...  de una curva

r

e v i

hay que escribir

L :

n

r

( t ) = ( x ( t ), y ( t ) ), t Î [ a , b ] b

2

2

a

b

-

2

2

á t e m Así, para el semicírculo superior de radio R cuya ecuación es a

L :

r

( t ) = ( R cos ( t ) , R sen ( t )) , t Î [ 0, p ]

na ( ) er n a ò a F p

-

m

e

n t o

x ⋅ x¢ ( t ) + y ¢ ( t ) dt ò x = d e s x t y t dt ¢ M ( ) a ò ¢ ( ) + a c i t

U

se obtiene

-

e

b

a

f ( x)












Fer n na n a d o u Integrales simples, dobles d y triples S a á el intervalo I , en Área que delimita la función f ( x ) sobre m n e concreto cuánto hay de positivo menos cuánto hay de Distintos tipos de integrales

( x ) dx ò f t r x I I

E

e f ( x ) dx ò

d d f ( x ) - g ( x ) dx I I

ò a I I

d 1 i f ( x ) dx

ò I s I I

r

e v i

y )dx dx d dyy òò F ( x, n W

r a

-

negativo. Por ejemplo

1

ò -

1

x dx

=0

c

h

e

z

Área que delimita la función f ( x ) sobre el intervalo I en total: cuánto hay de positivo más cuánto hay de- negativo. Por ejemplo

1

ò -

1

x dx

=1

D

e

f y g en el Área encerrada por las gráficas de las funciones p intervalo I a

Valor medio de f en el intervalo I

r a t

m

Volumen (parte positiva menos parte negativa) del sólido que tiene a W como suelo y como techo la gráfica e de F . Para la función F ( x, y ) = 1 se obtiene

n òò










Fer n na n a d o u Para una función f : [ a , b]  Es evidente que d , ¿cómo se mide la longitud de la gráfica?S a á ò 1dx = I = b - a m n e Integrales de superficie



r t

c encerrad a por lah gráfica ò f ( x )dx = área encerrada I

x

e expresión. así que esa longitud (en rojo) debe medirse con otra z Resulta que

E a

e I

b

d d

-

I

y = f ( x x)

I ¢

r a

long ( f )[ a ,b ] = I ¢

= ò

I

1 + f ¢ ( x ) dx - 2

D

e

En el caso a de dos variables, si S es la imagen de W en la gráfica de la función (son las dos a tapaderas del sólido), entonces z = f ( x , y ) i t 1 dxdy = W s W r S

d

e v i

n

p

r a

òò

m

f ( x, y ) dxdy dxd y = volumen del sólido òò e W 2

æ ¶ f ö

n

æ ¶f ö2


Guia de integrales .pdf

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