MODELO DE COLAS
Docente Rene Hernán Linares Silva Catedra: Investigación de Operaciones 2 Integrantes: • • • •
López Jaime, Jaime, erson erson Sael 2!"#!""$2 2!"#!""$2 onzalez arcia,%nman&el 'le(andro 2!"#!2!!2 Calderón )&rcios, %milio Javier 2!"#!2*$2 C+acón Rivera, Javier Henr-&ez 2!"#!!.!.
r&po/Sección: 2/2 ".0!$02!"*
Objetivo General
Comprender 1 analizar los dierentes modelos de cola derivados de la distri3&ción 4oisson, as mismo entender la aplicación de cada &no de las acetas -&e presentan para cada sit&ación e5p&esta 1 rasgos caractersticos caractersticos en s& &tilización6
Objetivos Específicos
%ntender dierentes sim3ologas &tilizadas en el mane(o 1 &tilización de modelo de cola6 Conocer la aplicación de cada &no de los modelos seg7n convenga a la sit&ación e5p&esta6 Conocer la interpretación de las varia3les n&m8ricas -&e se nos p&eden representar en la vida v ida cotidiana relacionadas al tema de est&dio6
Investigación de Operaciones 2
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Índice
Introducción
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2
La teora de colas es el est&dio matemático de las colas o lneas de espera dentro de &n sistema6 %sta teora est&dia actores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de tra3a(o del sistema sin -&e lleg&e a colapsarse6 Dentro de las matemáticas, la teora de colas se englo3a en la investigación de operaciones 1 es &n complemento m&1 importante a la teora de sistemas 1 la teora de control6 Se trata as de &na teora -&e enc&entra aplicación en &na &na ampl amplia ia vari varied edad ad de sit& sit&ac acio ione ness como como nego negoci cios os,, comer comerci cio, o, ind&stria, ingenieras, transporte 1 logstica o telecom&nicaciones6 %n el caso concreto de la ingeniera, la teora de colas permite modelar sistemas en los -&e varios agentes -&e demandan cierto servicio o prestación, conl&1en en &n mismo servidor 1, por lo tanto, p&eden registrarse esperas desde -&e &n agente llega al sistema 1 el servidor atiende s&s demandas6 %n este sentido, la teora es m&1 7til para modelar procesos tales como la llegada de datos a &na cola cola en cien cienci cias as de la comp comp&t &tac ació ión, n, la cong conges estitión ón de red red de comp&tadoras o de telecom&nicación, o la implementación de &na cadena prod&ctiva en la ingeniera ind&strial6 %n el cont conte5 e5to to de la in inorm ormátic ática a 1 de las tecno ecnolo log gas as de la inormación 1 la com&nicación las sit&aciones de espera dentro de &na &na red red son son más más rec rec&e &ent ntes es66 's, s, por por e(em e(empl plo, o, los los proc proces esos os enviados a &n servidor para s& e(ec&ción orman colas de espera mientras no son atendidos9 la inormación solicitada, a trav8s de Internet, a &n servidor e3 p&ede reci3irse con demora de3ido a la congestión en la red9 tam3i8n se p&ede reci3ir la se;al de lnea de la -&e depende n&estro tel8ono móvil oc&pada si la central está colapsada en ese momento, etc6
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3
Modelo de Colas de Poisson Generalizado
-&e prevalece d&rante el inicio de &ncionamiento del sistema6 %l modelo generalizado s&pone -&e las rec&encias tanto de llegada como como de salida salida depen depende den n del del estado estado,, 1 eso eso -&iere -&iere decir decir -&e -&e dependen de la cantidad de clientes en la instalación de servicio6 4or e(emplo, en la caseta de co3ro de &na a&topista, los empleados tienden a acelerar el co3ro d&rante las +oras picos6 Se deinirá lo sig&iente:
?@ Cantidad de clientes en el sistema =en la cola 1 en el servicio> λn
@ Arec&encia de llegada c&ando +a1 n clientes en el sistema
µn
@Arec&encia de salida c&ando +a1 n clientes c lientes en el sistema
Ps
@ 4ro3a3ilidad de estado esta3le de -&e +a1a n clientes en el sistema
Ba(o condiciones de estado esta3le, para n!, las tasas esperadas de l&(ode entrada 1 salida del estado n de3en ser ig&ales6 Con 3ase en el +ec+o -&e el estado n solo p&ede cam3iar a los estados n/" 1 n", se o3tiene6 =)a =)asa esperada de l&(o +acia el estado n>@
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λn−1 Pn−1
+ μn+1 Pn+1
De ig&al manera, =)a =)asa esperada de l&(o -&e sale del estado n>@ =
λn + μn ¿ Pn
Las ec&aciones de 3alance se res&elven rec&rsivamente en &nción de Po como sig&e: 4ara n@!, P1
❑ @ ❑
Se p&ede demostrar por ind&cción -&e, en general Pn
@=
λn−1 λ n−2 … λ 0 µn µn−1 … µ1
>
Po
, n@",2,E
%l valor de 4o se determina con la ec&ación: ꝏ
P =0 ∑ ¿ = n
n 0
Ejercicio de Aplicación
BF roceries opera con tres ca(as6 %l gerente &sa el sig&iente programa para determinar la cantidad de ca(eras en operación, en &nción de la cantidad de clientes en la tienda6
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CTD. DE CLIENTE EN LA CTD. DE TIENDA #$NCIONANDO " % A& 2 ' A( G )A DE (
CA!E"O
Los Los clie client ntes es lleg llegan an a las las ca(as ca(as sig&ie sig&iend ndo o &na &na dist distri ri3& 3&ci ción ón de 4oisson, con &na rec&encia media de "! por +ora6 %l tiempo promedio promedio de atención atención a &n cliente es e5ponenci e5ponencial, al, con "2 min&tos min&tos de promedio6 Calc&lar la pro3a3ilidad p de estado esta3le de -&e +a1a n clientes clientes en las ca(as6 ca(as6 De la inormación del pro3lema se tiene -&e: λn λ =
=
clientes por hora 10 clientes
{
60
=5 client clientes es por por hora hora , n =1,2,3 12 clientes por horan =4,5,6 2 x 5 =10 clientes clientes porhora n =7,8 … 3 x 5=15 clientes
µ n= ¿
%nto %ntonc nces es,, &til &tiliz izan ando do la orm orm&l &la a gene genera rall para para dete determ rmin inar ar las las pro3a3ilidades 4"@
10
4o@24o
5
2
10
42@ ( 5 ) Po =4 Po 4G@
( )
4#@ (
3
15 5
10 5
3
)
Po = 8 Po
10 10
4o@$4o
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6
10 5
4@ =
¿ ¿3
( ) 10 10
2
Po =8 Po
10 5 10
4*@ =
10
¿ ¿ 3 ¿¿ ¿ 10 10
¿ ¿
10
4n@
2
@ 8( 3 )
15
¿ ¿
(
10 5
n− 6
4o, n@,$E
3
)¿
%l valor de 4o se determina con la ec&ación 2
2
2 Po ( 31+8(1+( 3 ¿ + ( 3 ) + …=1
Se aplica la órm&la de la s&ma de &na serie geom8trica para o3tener 4o
(
31 + 8 (
1 1−
2 3
)
)
@"
%n consec&encia 4o@"0 Conocida 4o, 1a se p&ede determinar c&al-&iera de las pro3a3ilidades del pro3lema6 4or e(emplo, la pro3a3ilidad de -&e solo +a1a &na ca(a a3ierta se calc&la como la de -&e +a1a entre " 1 G clientes en el sistema, esto es 4"p2 pG@!62
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Colas especializadas de Poisson
Caso especial de colas de 4oisson c&ando +a1 c servidores en paralelo6 n cliente en espera se selecciona de la cola para iniciar s& servi servici cio o en el prim primer er serv servid idor or disp dispon oni3 i3le le66 La rec rec&e &enc ncia ia de llegadas al sistema es K clientes por &nidad de tiempo6 )odos los servidores están en paralelo 1 son id8nticos, lo -&e -&iere decir -&e la tasa de servicio en c&al-&ier servidor es clientes por &nidad de tiempo6 La cantidad de clientes en el sistema incl&1e, por deinición, los -&e +a1 en el servicio 1 los -&e esperan en la cola6 na notación cómoda para res&mir las caractersticas de la cola es la notación de Fendall est&diada posteriormente6
Notación eneral de la situación general de colas !a" #" c$ % !d" e" &$
na notación cómoda para res&mir las caractersticas de la cola en la ig&ra "6# es &na -&e tiene el sig&iente ormato: =a030c> : =d0e0> %n a @ Distri3&ción de las llegadas
donde:
b @ distri3&ción de las salidas =o del tiempo de servicio>
@ Cantidad de servidores en paralelo =@ ", 2,E, c @
'>
@ Disciplina de cola d @ e @ Cantidad má5ima =inita o ininita> admisi3le en el sistema =en la
cola más en servicio> @ )ama;o de la &ente =inita o ininita> f @
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Las notaci aciones norma rmales o estándar para rep repres resentar las distri3&ciones de llegadas 1 de salidas =sm3olos a 1 b> son: M @ Distri3&ción de de las llegadas o de las
salidas =o lo -&e es ig&al, distri3&ción e5ponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio> D = )iempo constante =Determinstico> E K @ Distri3&ción de %rlang o gamma del tiempo =o 3ien, la s&ma de
distri3&ciones e5ponenciales independientes> @ Distri3&ción general del tiempo de llegada GI @ G Distri3&ción general del tiempo de servicio
%ntre la notación de disciplina de cola =sm3olo d> están:
4L4S @ 4rimero en llegar, primero en ser servido6 L4S @ Nltimo en llegar, primero primero en ser servido6 S%O' @ Servicio en orden aleatorio6 D @ Disciplina en general6
Los Los prim primer eros os tres res elem elemen ento toss de la not notació ación n =a0 =a030c> 30c> &e &eron ron inventados por D6 Fendall en ".G, 1 en las p&3licaciones se llaman llaman notación de Fendall6 Fendall6 Desp&8s en ".** '6 < Lee agrego los sm3olos d 1 e, por 7ltimo 7ltimo en ".*$ ".*$ Hamd1 Hamd1 '6 )a )a+a agrego agrego el 7ltimo elemento, el sm3olo f.
)edidas de rendi*iento en estado esta#le
Las medidas de desempe;o, eiciencia o &ncionamiento de &na cola son: Ls @ Cantidad esperada de clientes en el sistema Lq @ Cantidad esperada de clientes en la cola w s @ )iempo )iempo esperado de espera en el sistema Investigación de Operaciones 2
(
w q @ )iempo esperado de espera en la cola c @ Cantidad esperada de servidores ocuados
%l sistema a3arca tanto a la cola como a la instalación de servicio6 La relación entre L s 1 s =tam3i8n L s 1 s> se llama orm&la de Little, 1 es la sig&iente: Ls @ Ke s L- @ Ke %stas relaciones son válidas 3a(o condiciones 3astante generales6 %l parámetro K e es la rec&encia efecti!a de llegada al sistema6 %s ig&al a la tasa =nominal> de llegada K c&ando todos los clientes -&e llegan se &nen al sistema6 %n caso contrario, si alg&nos clientes no se p&ed p&eden en &nir &nir porpor-&e &e el sist sistem ema a esta esta llen lleno o =por =por e(em e(empl plo, o, &n estacionamiento>, entoces Ke K6 )am3i8n +a1 &na relación directa entre s 1 - 6 ,ie*po de espera en el siste*a
,ie*po @ de espera pro*edio en la cola
,ie*po @ esperado de servicio
%sto se trad&ce a: s @ - "0 ' contin&ación, se p&ede relacionar L s con L- , m<iplicando am3os lados de la 7ltima ec&ación por K e , 1 (&nto con la órm&la de Little se o3tiene: Ls @ L- = Ke 0> 4or 4or dei deini nici ción ón,, la die diere renc ncia ia entr entre e la cant cantid idad ad prom promed edio io en el sistema, Ls, 1 la cantidad promedio en la cola, L -, 1 la cantidad promedio de servidores oc&pados, c 6 %ntonces9
c @ Ls P L- @ =Ke 0>
4or lo anterior entonces, =tilizacion de la instalación> @ Q c 0c Investigación de Operaciones 2
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%(ercicios de medidas de desempe;o estacionario: %(ercicio " S&ponga &na estación de gasolina a la c&al llegan en promedio # clientes por +ora, se tiene capacidad para atender en promedio a *! clientes por +ora se sa3e -&e los clientes esperan en promedio G min&tos en la cola6 Sol&ción: La tasa media de llegadas λ es # clientes clientes por +ora o #0*! #0*! @ !6 clientes por min&to, La tasa media de servicio µ es *! clientes por +ora o *!0*! @ " cliente por min&to6 Con la rec&encia eectiva de llegada 1 la tasa nominal de llegada podemos podemos identiic identiicar ar n&estras n&estras medidas medidas de desempe;o desempe;o s&stit&1en s&stit&1endo do en las orm&las: W q W s L s Lq
=
=
=
λ W q
3 min
1
W q
λ W s
=
+
=
=
µ
=
3+
0.75 × 4
1 1 =
=
4 min
3 clientes
0.75 × 3 = 2.25 clientes
%(ercicio 2 S&ponga &n Call Center el c&al atiende en promedio . llamadas por min&to Se tiene capacidad para atender en promedio a "2 llamadas por min&to Se sa3e -&e los clientes esperan en promedio seg&ndos en la cola6 Calc&le las medidas de desempe;o del sistema6
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Sol&ción: La tasa media de llegadas λ es . llamadas por min&to o .0*! @ "6G2 llamadas por seg La tasa media de servicio µ es "2 llamadas por min&to o "20*! @ 26!$ llamadas por seg6
%l actor de &tilización del sistema si se mant&viera &n servidor serv idor es = " = 1.3#"#.$8 = $.%3& = %3.&'
o) dos se*!ido*es (s = #, = "s = 1.3#"(#-#.$8 = $.31 = 31.'
%(ercicio G Iden Identitiii-& -&e e la el sig& sig&ie ient nte e orm ormat ato o a trav trav8s 8s de la nota notaci ción ón de Fendall: =<0<0">: =D0 '0'>6 Sol&ción: ' @ so de llegadas poisson B @ )iempo de servicio e5ponencial C @ n solo servidor D @ Disciplina general =c&al-&ier tipo> % @ ?o +a1 lmite de clientes A @ )ama;o de &ente ininita
)O-./O0 -. N 0O/O 0.I-O
%s el tipo más sencillo de estr&ct&ra 1 e5isten órm&las directas para resolver el pro3lema con distri3&ción normal de patrones de llegada 1 de servicio6 C&ando las distri3&ciones no son normales se res&elve con sim&laciones =e(emplo: lavadero a&tomático de a&tos, m&elle de descarga de &n solo l&gar, etc6 El sistema (M"M"1 , (DG"/"/ de u) solo se*!ido* Investigación de Operaciones 2
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na cola <0<0" es &n sistema al -&e los clientes llegan seg7n &na distri3&ción de 4oisson, la atención se presta seg7n &na negativa e5ponencial 1 tienen &n 7nico servidor6 4or tanto: La tasa de llegada es a=t>@ Ke/Kt La tasa de salida es a=t>@e6t ' partir de estos datos se p&ede derivar =ross 1 Harris, 2!"#> mediante el análisis de procesos de nacimiento 1 m&erte e5plicados en el capt&lo anterior -&e la pro3a3ilidad de -&e +a1a n clientes en el sistema es:
por tanto se p&ede %l n7mero medio de clientes en la cola es:
Dado -&e:
Se incl&1e -&e:
De este modo aplicando las relaciones &ndamentales
Se p&ede estimar tam3i8n La cola media c&ando el sistema no está vaco6 el res<ado es6
%s m&1 interesante o3servar como la cola o3servada por el cliente -&e espera depende de la tasa de servicio, mientras -&e la cola Investigación de Operaciones 2
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o3se o3serv rvad ada a por por el serv servid idor or -&e -&e espe espera ra depe depend nde e de la tasa tasa de llegada6 Otro res<ado interesante es conocer c&al es la pro3a3ilidad de -&e +a1a T o más elementos en el sistema, p&es nos permitirá tomar decisiones respecto al dimensionamiento del mismo6
El sistema (M/M/1) : (DG/N/¥) De un solo servidor
%ste modelo diiere del =<0<0"> : =D0U0U> en -&e +a1 &n lmite ? para la cantidad de clientes en el sistema =longit&d má5ima de la cola @ ?/">6 %ntre los e(emplos de este caso está stán los de man&act&ra en donde &na ma-&ina p&ede tener &n área limitada de reserva 1 &na ventana e servicio para &n carril de a&tos, en &n resta&rante de comida rápida6 C&ando la cantidad de clientes en el sistema llega a ? no se permite más llegadas, 1 entonces
Sea
ρ
=
λ μ
, entonces el modelo generalizado da como res<ado6
∞
%l valor de po se determina con la ec&ación n∑ Pn=1 1 res<a =0
O sea
'sV,
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%l valor de
ρ
=
λ μ
no necesita ser menor -&e " en este modelo,
por-&e las llegadas al sistema están controladas por el limite ? del mismo6 %sto -&iere decir -&e la rapidez -&e importa en este caso es Ke 1 1 no K como los clientes se pierden c&ando +a1 ? en el sistema, entonces,
%n este caso, Ke W6 La cantidad esperada de clientes en el sistema se calc&la como sig&e:
C&ando p @ ", L s @
N 2
6 Se p&eden o3tener s, - 1 L - a partir de
Ls &sando Ke6
MODELO DE SERVIDORES SERVIDO RES MULTIPLES MULTIPLES Colas con servidores múltiples (MMC! " (D#$$!
n sistema con servidores en paralelo se caracteriza por-&e +a1 más de &n servidor -&e e(ec&ta la misma &nción con la misma eiciencia6 %n &n sistema con servidores en paralelo no +a1 varias colas, sino &na 7nica cola6 4ero Se deine K r @ mientras -&e la tasa de oc&pación del sistema es K X cY @ C&ando se consideran c Investigación de Operaciones 2
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servidores en paralelo, las tasas de llegada 1 de servicio pasan a ser:
Donde
Siendo la pro3a3ilidad -&e el sistema este vaco 6
La longit&d de la cola medida es:
%l tiempo medio de espera en la cola:
por tanto6
4ara acilitar el cálc&lo de L- se +a considerado interesante incl&ir el sig&iente sig&iente á3aco -&e relaciona relaciona el valor de X con L- para distintos distintos valores de c6
Investigación de Operaciones 2
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Colas con servidores múltiples (MMC! " (D#%$!
%n alg&nos sistemas la cola no p&ede al3ergar a &n n7mero indeinido de clientes6 %n este caso se dice -&e el sistema es de capacidad limitada6 %l lmite lo i(a el parámetro F -&e incl&1e a los servidores6 Las pro3a3ilidades de cada estado del sistema
4ara acilitar el cálc&lo de L- se +a considerado interesante incl&ir los sig&ientes á3acos -&e relacionan el valor de X con L- para distintos valores de F/c6
)O-./O -. 0.I-O.0 )/,IP/.0 !))$ % !-$
%n este modelo, la cantidad de servidores es ilimitada, por-&e el cliente tam3i8n es &n servidor6 n e(emplo caracterstico es +acer la parte escrita de la pr&e3a de mane(o para o3tener licencia6 Las gasolineras de a&toservicio 1 los Investigación de Operaciones 2
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ca(eros a&tomáticos no caen en la descripción de este modelo, por-&e en esos casos los servidores servidores son las 3om3as de gasolina 1 los ca(eros6 %n el modelo se s&pone &na llegada contin&a, con las tasas de servicio K 1 W, respectivamente6 se tiene -&e:
Z&e es de 4oisson con promedio Ls @ X6 Como era de esperar, L- @ - @ !, por-&e es &n modelo de a&toservicio6 %(emplo ": %l sistema =<0<0"> : =D0U0U> de &n solo servidor n promedio de "! a&tomóviles por +ora llegan a &n ca(ero con &n solo servidor -&e proporciona servicio sin -&e &no descienda del a&tomóvil6 S&ponga -&e el tiempo de servicio promedio por cada cliente es # min&tos, 1 -&e tanto los tiempos entre llegadas 1 los tiempos de servicios son e5ponenciales6 Conteste las preg&ntas sig&ientes: a6 [C&ál es la pro3a3ilidad -&e el ca(ero est8 ocioso\ 36 [C&ál es el n7mero promedio de a&tomóviles -&e están en la cola del del ca( ca(ero\ ero\ =se =se cons consid ider era a -&e -&e &n a&to a&tomó móvi vill -&e -&e está está sien siendo do atendido no está en la cola esperando> c6 [C&ál es la cantidad promedio de tiempo -&e &n cliente pasa en el estacionamiento del 3anco, =incl&1endo el tiempo de servicio>\ d6 [C&ántos clientes atenderá en promedio el ca(ero por +ora\ Sol&ción: Se conoce la sig&iente inormación: K@ "! clientes0+ora =media de llegada de los clientes> @ "0* clientes0min&tos @ " cli client entes0# es0#m min&to n&toss =med =media ia de serv servic iciio de los clie client ntes es>@ >@"0 "0# # cliente0min&to a> 4or tanto @ @ "0* "0# @ 2 G @ **6*] actor de &tilización del sistema6 %s decir -&e el sistema permanece ocioso el GG6GG]6 3> [C&ál es el n7mero promedio de a&tomóviles -&e están en la cola del ca(ero\
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@ =^> @ 0 0= ^ > @ @ 6 4&ede +a3er 2 a&tos en la cola6 c> [C&ál es la cantidad cantidad promedio de tiempo -&e &n cliente cliente pasa en el estacionamiento del 3anco =incl&1endo el tiempo de servicio>\ ?os preg&ntan por el tiempo promedio -&e el cliente pasa en el sistema6 s6 "0"2 @ "2 @ " ^ @ " " # ^ "0* @ " "0 6 d> [C&ántos clientes atenderá en promedio el ca(ero por +ora\ Si el ca(ero siempre est&viera oc&pado, atendera &n promedio de W@" clientes por +ora6 Seg7n la sol&ción encontrada en el inciso a ="0#_*!@">, el ca(ero está oc&pado 20G del tiempo6 4or tanto dentro de cada +ora, el ca(ero atenderá &n promedio de =20G>=">@ "! clientes6 %sto es X_@ 20G _ " @ "! clientes6 %(emplo 2: Colas con servidores m7ltiples =<0<0C> : =D0U0U> 4ara e(empliicar el modelo <0<0S, s&ponga -&e e5isten c&atro canales de servicio con tasas promedio de servicio m @ " clientes por +ora 1 &na tasa de llegada de " @ "2 cliente por +ora, esto implica -&e S @ # Calc&lar: a> 3> c> d>
%ic %icie ienc ncia ia )iempo )iempo -&e no no +a3rá cliente clientess en el sistema6 sistema6 4romedio 4romedio de cliente clientess espera en el el sistema sistema o servicio6 servicio6 4romedio 4romedio de de cliente clientess en la cola6 cola6
K @ tasa promedio de llegada al sistema W @ tasa promedio de servicio S @ ` servidores K @ "2 W @ " S@# 4@\
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1(
4o @ \ L- @ \ - @ \ 4 @ %iciencia 4@
λ μ
12
@
@ !6$_"!! @ $!]
15
4o @ )iempo no +a3rá clientes en el sistema =ni en la cola, ni reci3iendo servicio>
L- @ n&mero promedio de personas o &nidades en la lnea o cola, en espera de servicio6 L- @
L@
( )
( 12∗15 )∗
12
4
15
( 4 −1 ) ¡∗( 4∗12 −15 )2 0.0023952 +
12 15
∗0.449102 =0.0023952 clientes
= 0.8023952 clientes
- @ )iempo promedio -&e &na persona o &nidad se tara en la cola esperando por servicio6 - @
0.0023952 12 1
=
= 0.0001996 clientes 1
@ ( μ − λ ) ( 15−12 ) =0.33 %(em %(empl plo o G: > : =D0?0b> %n &n pe-&e;o taller de a(&ste de motores oc&pa a tres mecánicos6 C&ando los clientes -&e llegan ven -&e el piso del taller está c&3ierto de tra3a(os en espera, van a otra parte6 %l piso del taller p&ede dar ca3ida c&ando m&c+o a " segadoras o podadoras, además de las -&e reci3en el servicio6 Los clientes llegan al taller Investigación de Operaciones 2
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cada " min&tos en promedio, 1 &n mecánico tarda &n promedio de G! min&tos en terminar cada tra3a(o6 %l tiempo entre llegadas 1 el tiempo de servicio tienen distri3&ción e5ponencial6 Sol&ción: =<0<0G>:=D0"$0b>
a> Cantidad Cantidad promedio promedio de mecánic mecánicos os sin tra3a(o tra3a(o @ c/=Ls/L->
Ls @ !6$# !6... @ "6$" ` de mecánicos no tra3a(ando @ G P ="6$"/!6$#> @ 26!!!G 3> 4orció 4orción n del tra3a(o tra3a(o -&e -&e va a la compet competenc encia ia en &n da de "! +oras, por la capacidad limitada del taller6 Kperdido @ K ^ Ke @ # ^ G6 ..$* @ !6 !!"# tra3a(os por +ora %n &n da de "! +oras se pierden: "!5!6!!"#@!6!"# tra3a(os6 c> La pro3a3ilidad de -&e el sig&iente cliente -&e lleg&e reci3a servicio6
d> La pro3a3ilidad de -&e al menos &n mecánico este sin tra3a(o6
e> La cantidad promedio de segadoras o podadoras -&e esperan servicio6 L- @ !6 $# esperan servicio !6$# segadoras o podadoras > 4rod&ctividad del taller@
l s− Lq c
=
1.8771 −0.8774
La prod&ctividad es de GG6G2]
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3
= 0.3332
)odelo de servicio de *uinas9
%ste modelo p&ede descri3irse como &n taller con F má-&inas6 C&ando se descompone &na má-&ina, se llama a &n mecánico para +ace +acerr la repa repara raci ción ón66 La rec rec&e &enc nciia es K desco escom mpost post&r &ras as por por má-&ina 1 por &nidad de tiempo, 1 &n mecánico las repara a &na tasa de má-&inas por &nidad de tiempo6 Se s&pone -&e todas las descompost&ras 1 los servicios sig&en &na distri3&ción de 4oisson6 %ste modelo se dierencia de todos los anteriores por tener &na &ente inita de clientes6 %so se p&ede vis&alizar si se considera -&e c&ando todas las má-&inas del taller están descomp&estas, no se p&eden generar más llamadas o solicit&des de servicio6 %n esencia, sólo las má-&inas -&e están &ncionando se p&eden descomponer, Investigación de Operaciones 2
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por lo -&e tienen el potencial de generar llamadas de servicio6 Dado -&e la rec&encia de descom compost&ras por má-&ina es K, la rec&encia de descompost&ras en todo el taller es proporcional a la cantidad de má-&inas -&e están &ncionando6 )am )am3i8n, 3i8n, si se tienen n má-& má-&in inas as en el sist sistem ema a -&ie -&iere re deci decirr -&e -&e n má-& má-&in inas as está están n descomp&est descomp&estas as =el sistema es las má-&inas descomp&estas, descomp&estas, no el taller>6 taller>6 %ntonces, la rec&encia rec&encia de descompost& descompost&ras ras en todo el taller taller es %n t8rmino generalizados:
%ntonces para el modelo generalizado se p&ede o3tener:
%n este modelo es dicil o3tener &na orma cerrada de Ls, 1 en consec&encia se de3e calc&lar a partir de la sig&iente deinición 3ásica:
%l valor de Ke se calc&la como sig&e:
%(emplo ": %milio tiene &n taller con 22 má-&inas en total6 Se sa3e -&e cada má-&ina se descompone con &na rec&encia promedio de &na vez cada dos +oras6 Se necesita &n promedio de "2 min&tos para terminar &na reparación6 )anto el tiempo entre desc descom ompo post st&r &ras as com como el tiem iempo de repa repara raci ción ón sig& sig&en en &na &na distri3&ción e5ponencial6 ' %milio le interesa determinar la cantidad de mecá mecáni nico coss nece necesa sari rios os para para mant manten ener er el tall taller er &nc &ncio iona nand ndo o Investigación de Operaciones 2
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&ni &nio orm rmem emen ente te6 6 %l caso caso se p&ed p&ede e anal analiz izar ar inve invest stig igan ando do la prod prod&c &ctitivi vida dad d de las las má-& má-&in inas as en &nci &nción ón de la cant cantid idad ad de mecánicos6 %sa medida de prod&ctividad se p&ede deinir como sig&e:
Los res<ados para este caso se p&eden o3tener con los sig&ientes datos a )OR':
La m&estr m&estra a las medidas medidas compara comparatitivas vas para para R de " a #, &sando &sando )OR'6 )OR'6 La prod&ctivi prod&ctividad dad correspondie correspondiente nte se calc&la calc&la en la sig&iente sig&iente ta3la:
%stos res<ados indican -&e con &n mecánico, la prod&ctividad es 3a(a = #6##]>6 'l a&mentar la cantidad de mecánicos a 2, la prod&ctividad crece en G#6"] para llegar a:
Res<ados o3tenidos con )OR' $!6"]6 C&ando se emplean tres mecánicos, la prod&ctividad sólo a&m a&menta enta $6*# $6*#] ] para para lleg llegar ar a $$6 $$6.] .],, mientr entras as -&e c&at c&atro ro mecánicos +arán a&mentar la prod&ctividad sólo "6**], alcanzando .!6# por ciento6 Seg7n estos res<ados, se (&stiica &sar dos mecánicos6 %l caso de tres mecánicos no es tan sólido, por-&e sólo a&m a&menta enta la prod prod&c &cttivi ividad dad $6*# $6*#] ]6 Z&izá &izá se p&ed p&eda a &sa &sar &na &na comp compar arac ació ión n econ económ ómic ica a entr entre e el cost costo o de contr contrat atar ar &n terce tercer r mecánico 1 el ingreso correspondiente al $6*#] de a&mento de prod&ctividad6 %n c&anto a contratar &n c&arto mecánico, podra Investigación de Operaciones 2
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s&ceder -&e el pe-&e;o a&mento de prod&ctividad de "6**] no (&stii-&e esa acción6
%(emplo 2: Desp&8s de esperar m&c+o, el matrimonio Campos/ peraza &e recompensado con -&intillizos, dos ni;os, tres ni;as, gracias a las maravillas del progreso de la medicina6 D&rante los primeros cinco meses, la vida de los 3e3es transc&rra en dos estados: despiertos 1 dormidos6 seg7n la amilia las actividades fdespi fdespiert erto/d o/dorm ormido idoff n&nca n&nca coinci coinciden den,, parece parecen n ser aleato aleatoria rias6 s6 La se;ora peraza -&ien es e5perta en estadstica, cree -&e el tiempo de -&e llora cada 3e3e es e5ponencial, con G! min de promedio6 %l tiempo d&rante el c&al d&erme cada 3e3e es e5ponencial, con &na media de 2 +oras determine: a> La cantidad cantidad de e3es e3es despiertos despiertos en c&al-&i c&al-&ier er momento momento 3> La pro3a3ili pro3a3ilidad dad de -&e todos todos los 3e3es 3e3es est8n est8n dormidos dormidos c> 4ro3a3ilidad de -&e -&e +a1an a1an mas 3e3es despierto rtos -&e dormidos
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a> ?&mero ?&mero de 3e3es 3e3es despierto despiertos: s: /ls@ /ls@ " 3e3e 3> 4ro3a3ilid 4ro3a3ilidad ad de -&e est8n est8n dormidos@ dormidos@ !6G2*$ !6G2*$ c> 4ro3a3ilidad de -&e -&e +a1an a1an mas 3e3es despierto rtos -&e dormidos:
%(emplo G: Fleen 'll es &na compa;a de servicios -&e realiza vari varios os tra3 tra3a( a(os os pec& pec&liliare ares, s, como como (ard (ardin iner era, a, poda poda de ár3o ár3ole less 1 pint&ra de casas6 Los # empleados de la compa;a salen de la oicina con la primera asignación del da6 Desp&8s de completar &na asignación, el empleado llama a la oicina para pedir instr&cciones para para el sig& sig&ie ient nte e tra3 tra3a( a(o o -&e -&e se va a real realiz izar ar66 %l tiem tiempo po para para completar &na asignación es e5ponencial con &na media de # min&tos6 %l tiempo de via via(e entre los tra3a(o a(os tam3i8n es
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e5ponencial
con
&na
media
de
2!
min&tos6
a> Dete Determ rmin ine e el prome promedi dio o de empl emplea eado doss -&e -&e via( via(an an entr entre e los los tra3a(os6 Ls@ "62G!* b* Calc&le la pro3a3ilidad de -&e ning7n empleado ande en camino6 4o@ !622.222
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:;)/< -. PO//?>@IN,C@IN. !P?>$
Los modelos de cola en -&e las llegadas 1 las salidas no sig&en la distri3&ción de 4oisson son complicados6 %n general, en esos casos se acon aconse se(a (a &sar &sar la sim& sim&la laci ción ón como como m8to m8todo do alte alterna rnatitivo vo para para analizarlos6 Se presenta &na clases de cola -&e no es de 4oisson, para la c&al se dispone de res<ados6 %s para el caso en el -&e el tiempo de servicio t se representa por &na distri3&ción de pro3a3ilidades con media %th 1 varianza varth6 %ntre los res<ados del modelo están las medidas 3ásicas de desempe;o Ls, L-, s 1 -6 %l modelo no proporciona &na ec&ación cerrada para pn de3ido a -&e no se p&ede mane(ar en orma analtica6 Sea K la rec&encia de llegadas a la instalación con &n servidor6 Dadas %th 1 varth de la distri3&ción del del tiem tiempo po de serv servic icio io,, 1 como como K%t K%thh ", se p&ed p&ede e demo demost stra rar, r, median mediante te compli complicad cados os anális análisis is de pro3a3 pro3a3ili ilidad dades es 1 cadenas cadenas de
La pro3a3ilidad de -&e la instalación est8 vaca =sin tra3a(ar> se calc&la con: Como Ke K, las medidas restantes de desempe;o =L-, s 1 -> se p&eden o3tener a partir de Ls6 %(emplo: %n el lavado de a&tos '&tómata , s&ponga -&e se cam3ia el sistema de lavado, de tal orma -&e el tiempo de servicio en todos los ve+c&los sea constante, ig&al a "! min&tos6 [Cómo aecta ese n&evo sistema al &ncionamiento &ncionamiento de la instalación\ Ke K # a&tomóviles por +ora6 %l tiempo de servicio es constante, por lo -&e +ora %th @ "0* 1 varth@! %ntonces,
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Los Los res& res<ltad ados os tien tienen en sent sentid ido, o, porpor-&e &e &n tiem tiempo po de serv servic icio io constante indica -&e +a1 más certid&m3re en el &ncionamiento de la instalación6 %(emplo 2: n lava carros p&ede atender &n a&to cada min6 la tasa media de llegadas es de . a&tos0+ora j@2min a> O3te O3teng nga a las las medi medida dass de rend rendim imie ient nto o de ac&e ac&erd rdo o con con el modelo =<00"> 3> Calc&lar la pro3a3ilidad de tener ! clientes en el sistema
%(emplo G: )ed repara televisores 1 videogra3adoras6 Datos de s& )ra3a(o: • %l tiempo promedio para &no de estos arteactos es de 262+ • La desviación estándar del tiempo de reparación es de #min • Los clientes llegan a la tienda promedio cada 26+, de ac&erdo a &na distri3&ción de poisson • )ed tra3a(a . +oras diarias 1 no tiene a1&dantes • %l compra todos los rep&estos necesarios
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2(
• %n promedio, el tiempo de reparación esperado de3era ser 2
+oras • La desviaciónestandar esperada de3era ser de #! min6 )ed desea conocer los eectos de &sar n&evos e-&ipos para: /
Con e-&ipo
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3+
Concl&sión
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